ω ω ω π ω ω ω

CARGAS IMPULSIVAS: Integral de Duhamel
Osciladores simples equivalentes: cálculo de rigideces y masas
1) Viga en voladizo
uM = F =
1 1
L ⋅ L2
EI 3
EI
mL4
K 3EI
ω12 =
=
M ML3
ω12 = 1.8754 ⋅
K = F −1 =
⇒
EI , m
3EI
L3
⎫
⎪⎪
⎬ M = 0.243 ⋅ mL
⎪
⎪⎭
L
MfMAX = 1·L (carga unitaria)
3EI
MfMAX =
(despl. unitario)
L2
QMAX =
3EI
(despl. unitario)
L3
2) Viga bi-articulada
EI , m
2 1 L⎛L⎞
uM = F =
⎜ ⎟
EI 3 2 ⎝ 4 ⎠
2
⇒
K = F −1 =
⎫
⎪⎪
⎬ M = 0.493 ⋅ mL
⎪
⎪⎭
EI
mL4
K 48EI
ω12 =
=
M
ML3
ω12 = π 4 ⋅
48EI
L3
MfMAX = 1·L/4 (carga unitaria)
12EI
MfMAX =
(despl. unitario)
L2
24EI
(despl. unitario)
L3
3) Viga bi-empotrada
EI , m
12 EI
( L 2)
M MAX
=
f
3
=
6 EI
( L 2)
2
192 EI
L3
=
EI
mL4
K 192 EI
=
ω12 =
M
ML3
ω12 = 4.7304 ⋅
M
L
QMAX =
K =2
M
M
L
24 EI
L2
⎫
⎪⎪
⎬ M = 0.384 ⋅ mL
⎪
⎪⎭
MfMAX =
24EI
(despl. unitario)
L2
QMAX =
96EI
(despl. unitario)
L3
Ejemplos
Sea una viga simplemente apoyada (bi-articulada) con las siguientes propiedades:
L = 4m
E = 3 ⋅106 tn m 2
b ⋅ h3 0.2 ⋅ 0.43
=
= 1.067 ⋅10−3 m 4
12
12
48 ⋅ EI
= 2400 tn m
K=
L3
I=
EI = 3200 tn ⋅ m 2
2.5 tn m3
m = δ ⋅b ⋅ h =
⋅ 0.2 m ⋅ 0.4 m = 0.02039 tn ⋅ s 2 m 2
2
9.81 m s
M ≈ 0.50 ⋅ m ⋅ L = 0.04078 tn ⋅ s 2 m
ω = K M = 2400 0.04078 = 242.6 rad / seg
2π
T=
= 0.02590 seg
ω
;
ξ = 0 ⇒ ωD = ω
Calcular los esfuerzos máximos producidos por las cargas impulsivas indicadas que poseen el
mismo valor de impulso (I), definido como:
tD
I = ∫ P ( t ) ⋅ dt = 0.10 tn ⋅ seg
0
P(t)
P(t)
P(t)
PA
PC
PB
[A]
tD
[C]
[B]
t
tD
t
tD
t
Carga
Caso 1: t D = 0.1 seg
Caso 2: t D = 0.01 seg
Caso 3: t D = 0.001 seg
[A]
PA = 2 tn
PA = 20 tn
PA = 200 tn
[B]
PB = 2 tn
PB = 20 tn
PB = 200 tn
[C]
PC = 1tn
PC = 10 tn
PC = 100 tn
PA ⎡
t sin (ωt ) ⎤
⎢1 − cos (ωt ) − +
⎥
2
ω M⎣
tD
ωt D ⎦
N
U est
t ≤ tD
CASO 1
Carga [A]
U (t ) =
γ (t )
U (t ) =
sin (ω ( t − t D ) ) sin (ωt ) ⎤
PA ⎡
+
⎢ − cos (ωt ) −
⎥
2
ω M ⎣⎢
ωt D
ωt D ⎦⎥
N
U est
γ (t )
t ≥ tD
t D T = 3.86
γ MAX = γ = 1.87
⇒
MAX
U din
= γ ⋅ U est = γ
PA
2
= 1.87
= 1.558 ⋅10−3 m
K
2400
Carga [B]
U (t ) =
sin (ωt ) ⎤
PB ⎡ t
+
⎢
⎥
2
ω M ⎣ tD 2 ω tD 2 ⎦
N
U est
t ≤ tD 2
γ (t )
U (t ) =
sin (ω ( t − t D 2 ) ) sin (ωt ) ⎤
PB ⎡
t
2
−
+
2
−
⎢
⎥
ω 2 M ⎣⎢ t D 2
ω tD 2
ω t D 2 ⎦⎥
N
U est
tD 2 ≤ t ≤ tD
γ (t )
U (t ) =
PB ⎡ sin (ω ( t − t D 2 ) ) sin (ω ( t − t D ) ) sin (ωt ) ⎤
−
+
⎢2
⎥
2
ω
M
ω
t
2
ω
t
2
ω tD 2 ⎥⎦
⎢
D
D
N⎣
U est
γ (t )
t D T = 3.86
MAX
U din
=γ
⇒
γ MAX = γ = 1.04
PB
2
= 1.04
= 0.867 ⋅10−3 m
K
2400
Carga [C]
U (t ) =
PC
⎡1 − cos (ωt ) ⎤⎦
ω 2 M ⎣
N
U est
U (t ) =
t ≤ tD
γ (t )
PC
⎡cos (ω ( t − t D ) ) − cos (ωt ) ⎤⎦
ω 2 M ⎣
N
γ (t )
U est
t D T = 3.86
MAX
U din
=γ
⇒
γ MAX = γ = 2.00
PC
1
= 2.00
= 0.833 ⋅10−3 m
K
2400
CASO 2
Carga [A]
t D T = 0.386
MAX
U din
=γ
⇒
γ = 1.01
PA
20
= 1.01
= 8.417 ⋅10−3 m
K
2400
Carga [B]
t D T = 0.386
MAX
U din
=γ
⇒
γ = 1.06
PB
20
= 1.06
= 8.833 ⋅10−3 m
K
2400
t ≥ tD
t ≥ tD
Carga [C]
t D T = 0.386
MAX
U din
=γ
⇒
γ = 1.87
PC
10
= 1.87
= 7.792 ⋅10−3 m
K
2400
CASO 3
Carga [A]
t D T = 0.0386
MAX
U din
=γ
γ = 0.121
⇒
PA
200
= 0.121
= 10.08 ⋅10−3 m
K
2400
Carga [B]
t D T = 0.0386
MAX
U din
=γ
γ = 0.121
⇒
PB
200
= 0.121
= 10.08 ⋅10−3 m
K
2400
Carga [C]
t D T = 0.0386
MAX
U din
=γ
γ = 0.242
⇒
PC
100
= 0.242
= 10.08 ⋅10−3 m
K
2400
Cargas consideradas como impulsos
Cuando la duración de la carga es muy pequeña respecto al período, la respuesta sólo depende
del “área bajo la curva” de la función de carga (impulso) que el sistema siente como una
velocidad inicial:
U 0 = I M
U
U ( t ) = 0 sin (ωt )
ω
⇒
MAX
U din
=
U 0
ω
Carga [A]
PA ⋅ t D
2
U
P ⋅t
π ⋅ t D PA
2π
MAX
U din
= 0 = A D
=
2
T ω
⋅T N
⋅M
ω 2 ⋅ω ⋅ M ω
N
I=
1
MAX
U din
= 0.121 ⋅
γ
200
= 10.08 ⋅10−3 m
2400
U est
=
I
ω⋅M
Carga [B]
PB ⋅ t D
2
U
P ⋅t
π ⋅ t D PB
2π
MAX
U din
= 0 = B D
=
2
T ω
ω 2 ⋅ω ⋅ M ω
⋅T N
⋅M
N
I=
γ
1
MAX
U din
= 0.121 ⋅
U est
200
= 10.08 ⋅10−3 m
2400
Carga [C]
I = PC ⋅ t D
U
P ⋅ t 2π
2π ⋅ t D PC
MAX
U din
= 0 = C D
=
2
⋅ T ⋅M
T
ω
ω ω⋅M ω
N
1
MAX
= 0.242 ⋅
U din
γ
U est
100
= 10.08 ⋅10−3 m
2400
NOTA: Luego de analizar varias funciones de carga impulsivas se encuentra que para
duraciones adimensionales t D T ≤ 0.20 las cargas pueden considerarse como impulsos que
imponen al sistema una velocidad inicial. Los factores de amplificación resultan en este rango
proporcionales a la duración adimensional: γ = α ⋅ t D T . Los desplazamientos dinámicos
calculados por esta vía para duraciones adimensionales mayores ( t D T > 0.20 ) resultan
demasiado sobreestimados.
Cálculo de esfuerzos (Caso 1 – Carga [A])
EI , m
M
L
=
M MAX
f
12 ⋅ EI
12 ⋅ 3200
MAX
⋅ U din
=
⋅1.558 ⋅10 −3 = 3.739 tnm
2
42
L
Q MAX =
24 ⋅ EI MAX 24 ⋅ 3200
⋅ U din =
⋅1.558 ⋅10−3 = 1.870 tn
3
3
L
4