PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO FACULTAD DE CIENCIAS INSTITUTO DE MATEMÁTICAS TRABAJO FINAL PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS ALUMNA: DANIELA BONILLA BARRAZA PROFESORA GUÍA: MARCELA PARRAGUEZ G 2012 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Agradecimientos a : PROGRAMA DE FORMACIÓN DE CAPITAL HUMANO AVANZADO – CONICYT Por financiar estudios de postgrado con el objetivo de obtener el grado Académico de Magíster en didáctica de la Matemática. AÑO ACADÉMICO 2011- 2012 2 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 AGRADECIMIENTOS: A mi profesora guía, Marcela Parraguez G, por su entrega y disposición al trabajo realizado, por confiar siempre en mis capacidades y guiar mis ideas. Gracias a su constante apoyo puedo decir que he finalizado con éxito esta etapa. Infinitas gracias A mi familia Mamá, Papá y Hermanas por el cariño que me entregan día a día y por apoyarme siempre en cada una de mis metas. A mis estudiantes, por motivarme a aprender más y por permitirme aportar desde la matemática en el desarrollo de su pensamiento. A ti DM por tu paciencia, comprensión y cariño. A Dios, por guiar con sabiduría cada uno de mis pasos. 3 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 INDICE GENERAL RESUMEN ............................................................................................................................. 7 ABSTRACT ........................................................................................................................... 8 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 9 CAPÍTULO I: ....................................................................................................................... 15 ANTECEDENTES, PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN ........... 15 ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN .................................................................... 16 DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA ................................................................... 23 OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN ............................................................................... 25 CAPÍTULO II: ...................................................................................................................... 26 ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICOS, MATEMÁTICOS Y DIDÁCTICOS ........................ 26 EPISTEMOLOGÍA DE LA ELIPSE ................................................................................ 27 GEOMETRÍA EUCLIDIANA O SINTÉTICA ............................................................ 27 GEOMETRÍA ANALÍTICA......................................................................................... 32 LA ELIPSE EN LA MATEMÁTICA .............................................................................. 37 LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ........................................................ 37 CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE ............................................................ 38 CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE ................ 42 INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ..... 52 CAPÍTULO III: ................................................................................................................... 53 MARCO TEÓRICO: LOS MODOS DE PENSAMIENTO. ............................................ 53 JUSTIFICACIÓN DEL MARCO TEÓRICO .................................................................. 54 DESCRIPCIÓN DEL MARCO TEÓRICO ..................................................................... 54 EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TEÓRICO ................................................. 57 CAPÍTULO IV: .................................................................................................................... 62 REFERENTES METODOLÓGICOS ................................................................................. 62 MARCO METODOLÓGICO ........................................................................................... 63 ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................... 64 PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: CUESTIONARIO EXPLORATORIO .... 65 EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................................................................... 65 4 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO ........................................... 65 SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: ANALISIS DOCUMENTAL .................. 65 TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO ELIPSE. .............................. 66 OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO ......................................................................... 66 DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL CUESTIONARIO .......................... 66 LOS CASOS EN ESTUDIO ......................................................................................... 67 CAPÍTULO V: ..................................................................................................................... 69 ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DE CUESTIONARIO EXPLORATORIO .. 69 ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO ............................................................... 70 IMPLEMENTACIÓN DE LA SITUACIÓN ................................................................... 73 ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO .................... 73 CONCLUSIONES EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN .......................................................................................................................................... 81 CAPÍTULO VI: .................................................................................................................... 82 INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE. ..... 82 INDICADORES A PRIORI DE TRÁNSITO ENTRE LOS MODOS DE COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO ................................................ 83 DESCRIPCIÓN GENERAL E INTENSIÓN DE LAS ACTIVIDADES ........................ 84 ANÁLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO ................... 85 ACTIVIDAD 1:............................................................................................................ 86 ACTIVIDAD 2 ............................................................................................................. 91 ACTIVIDAD 3 .............................................................................................................. 95 MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE .................................................................. 99 CAPÍTULO VII: ................................................................................................................. 103 APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE ............................................................................................................................................ 103 APLICACIÓN DEL DISEÑO ........................................................................................ 104 ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO ................................................... 104 CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4° AÑO MEDIO) ..................................................................................................................................... 104 5 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONCLUSIONES DEL CASO 1 .............................................................................. 137 CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2° MEDIO) .......... 138 CONCLUSIONES DEL CASO 2 ............................................................................... 163 CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AÑO MEDIO) . .................................................................................................................... 164 CONCLUSIONES DEL CASO 3 ............................................................................... 185 CAPÍTULO VIII: ............................................................................................................... 186 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 186 SUGERENCIAS DIDÁCTICAS .................................................................................... 187 CONCLUSIONES TEÓRICAS Y REFLEXIONES FINALES ................................... 189 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 191 ANEXOS ............................................................................................................................ 193 ANEXO 1: DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN LIBROS DE CÁLCULO UTILIZADOS EN EDUCACIÓN SUPERIOR .................... 194 ANEXO 2: CUESTIONARIO EXPLORATORIO ........................................................ 198 ANEXO 3: ...................................................................................................................... 201 SECUENCIA DE APRENDIZAJE ................................................................................ 201 CUESTIONARIO: CASO 1........................................................................................ 202 CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3 .............................................................................. 210 ANEXO 4: .......................................................................................................................... 218 PONENCIAS ...................................................................................................................... 218 PARTICIPACIÓN EN RELME 26............................................................................. 219 PARTICIPACIÓN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR ........................... 220 PARTICIPACIÓN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA .......................................................................................................... 221 6 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 RESUMEN La investigación que reportamos, da cuenta de un estudio sobre la comprensión del concepto Elipse en estudiantes entre 16 y 18 años, bajo un enfoque cognitivo, donde se utiliza los modos de pensamiento de Anna Sierpinska como marco teórico y, estudio de casos como diseño metodológico. La elipse forma parte de los contenidos propuestos en los programas oficiales de nuestro país, con un marcado énfasis en las técnicas analíticas. Nuestra problemática de investigación se sitúa al abordar la elipse solamente a través de las ecuaciones cartesianas, afirmamos que estas técnicas no son suficientes para lograr una comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda, estamos pensando en que el estudiante pueda comprender la elipse en los modos: SintéticoGeométrico (como sección cónica en el espacio/curva que la representa en el plano), Analítico-Aritmético (como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse) y Analítico - Estructural (como lugar geométrico). A lo largo de la investigación hemos evidenciado que los estudiantes desde el enfoque tradicional priorizan un modo de pensamiento analítico-aritmético, presentando grandes dificultades para comprender la elipse en otros modos. Desde la teoría de los modos de pensamiento y utilizando antecedentes epistemológicos, diseñamos actividades de aprendizaje, las cuales fueron aplicadas a distintos grupos de estudiantes, evidenciando que los estudiantes logran una mayor comprensión del concepto elipse cuando se enfrentan a situaciones donde interactúan los tres modos de pensar. Palabras claves: La teoría de los modos de pensamiento, La elipse, Lugar geométrico, Ecuaciones cartesianas, sección cónica. 7 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ABSTRACT The research we report, reports a study on understanding the concept Ellipse in students between 16 and 18 years under a cognitive approach, which uses the modes of thought of Anna Sierpinska theoretical framework and study cases as methodological design. The ellipse is part of the content offered in the official programs of our country, with a strong emphasis on analytical techniques. Our research problem lies in addressing the ellipse only through Cartesian equations, we affirm that these techniques are not sufficient to achieve a deep understanding of the concept, when we say deep understanding, we are thinking that the student can understand the ellipse in the modes: Synthetic-Geometric (as conic section in space / curve that represents it on the plane), Analytical Arithmetic (as ordered pairs that satisfy the equation of the ellipse) and Analytical - Structural (and locus). Throughout the investigation we have shown that students from the traditional approach a way to prioritize analytic-arithmetic thinking, presenting great difficulty understanding the ellipse in other ways. from the theory of modes of thinking and using epistemological background, design learning activities, which were applied to different groups of students, showing that students achieve a greater understanding of ellipse when faced with situations where the three thinking modes interact. Keywords: theory of the modes of thought, the ellipse, Locus, Equations Cartesian conic section. 8 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 INTRODUCCIÓN La enseñanza de la matemática1 en nuestro país en la formación general (doce años de escolaridad obligatoria) se organiza en torno a cuatro ejes temáticos: Números, Algebra, Geometría y Datos y Azar. Donde los contenidos mínimos obligatorios de enseñanza media son en su mayoría pertenecientes al eje de álgebra e incluso ciertos contenidos de geometría presentan un enfoque algebraico, esto lo podemos evidenciar a través de los ejercicios presentados en textos escolares propuestos por el ministerio de educación y en preguntas de la prueba de selección Universitaria (PSU). A continuación mostramos ejemplos de preguntas donde se prioriza un enfoque algebraico: Ejemplo 1 En el estudio de los teoremas relativos a la proporcionalidad de trazos en la circunferencia en el Texto de estudiante: Matematica 2° medio, Autor : Eduardo Cid Figueroa Editorial : Cal y Canto (2008) se presenta el siguiente ejercicio: a) Utilizando los teoremas vistos en esta sección , determine el valor de x en los siguientes problemas Figura 1 : Ejemplo de texto del estudiante, teorema de las secantes Las actividades que predominan en el texto, requieren del uso del teorema de las secantes para plantear una ecuación y posteriormente determinar el valor de la incógnita, por lo tanto , un problema geométrico se reduce en un ejercicio netamente algebraico y el teorema se transforma en una fórmula necesaria para resolver la ecuación. 1 “La enseñanza de la Matemática se concibe como un proceso de diseño e implementación de un conjunto de actividades que mediaticen la relación entre los estudiantes y los contenidos del curriculum de matemática, el proceso de mediatización incluye espacios guiados deconstrucción de los conceptos, procedimientos y estrategias de razonamiento y resolución de problemas”. Fundamentos del ajuste curricular(2009) 9 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Ejemplo 2 Respecto al contenido ángulos en la circunferencia correspondiente a Segundo Año Medio,en un modelo de prueba PSU , Proceso de Admision 2009 ,Universidad de Chile se plantea el siguiente ejercicio: Figura 2: Ejercicio PSU , Teorema del ángulo inscrito en la circunferencia Ejemplo 3 En relación al Teorema de Thales , contenido del segundo año medio. en un Modelo de prueba PSU, Proceso de Admision 2008 ,Universidad de Chile aparece el siguiente ejercicio: Figura 3:Ejercicio PSU , Teorema de thales En general podemos darnos cuenta que algunos teoremas y contenidos de enseñanza media en geometría ,como : ángulos en la circunferencia , Teorema de Thales, Teorema de Pitágoras y teoremas relativos a proporcionalidad en la circunferencia , se convierten en fórmulas que se utilizan para resolver ecuaciones. La geometría es sin duda unos de los contenidos que presenta mayores dificultades en su aprendizaje, esto se evidencia en las mediciones PSU en relación a ello el DEMRE2 Publicaciones PSU N° 13 ,proceso de admisión 2012, señala “de los cuatro Ejes Temáticos 2 El DEMRE es el organismo técnico de la Universidad de Chile responsable del desarrollo y construcción de instrumentos de evaluación y medición de las capacidades y habilidades de los egresados de la enseñanza media 10 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 en la PSU de Matemática , Geometria es el que presenta , año a año , el menor porcentaje medio de respuestas correctas y el mayor porcentaje de respuestas omitidas , en especial en los contenidos de tercer y cuarto año medio”. Si bien la enseñanza de la geometría3 en el curriculum oficial trata temas relativos a la geometría euclidiana o sintética, geometría analítica y geometría vectorial a lo largo de los 12 años de escolaridad, no podemos dejar de mencionar que el sistema escolar carece de una real conexión entre los enfoques sintético y analítico de la geometría. En la enseñanza básica se trabajan algunos elementos de la geometría sintética, es decir, la geometría basada en axiomas y teoremas para la construcción de formas y lugares geométricos, como son las construcciones de triángulos, propiedades relativas a polígonos, entre otros. Para luego dar paso en la enseñanza media donde principalmente se enfoca en el estudio de la geometría analítica, la geometría de las gráficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones algebraicas para representar figuras geométricas. no se evidencian en el curriculum elementos que permiten la transición entre ambos enfoques , a pesar de que la epistemología se encarga de recordarnos “que son precisamente las limitaciones de la técnicas sintéticas las que dan sentido a las técnicas analíticas” (Gascón, 2003) , por lo tanto , una es el complemento de la otra, ya que “ las técnicas analíticas requieren en muchas ocasiones, de manera casi imprescindible , el uso previo de ciertas técnicas sintéticas que son las que sugieren el diseño de la estrategia que se llevara a cabo con la técnica analítica “ (Gascón, 2003). Esta falta de complementariedad entre técnicas sintéticas y analíticas se ve claramente reflejada en la presentación del objeto matemático, las secciones cónicas en la asignatura de Algebra y modelos analíticos de tercer año medio del plan diferenciado. Elegimos para nuestro estudio la asignatura Algebra y modelos analíticos regida por los programas de estudios del ministerio de educación , la importancia radica fundamentalmente en que dicha asignatura tiene por objetivo principal preparar a los alumnos(as) en los contenidos mínimos que se necesitan para enfrentar con éxito los primeros cursos de las carreras científicas en la educación superior. Sobre las cónicas podemos decir que no son un tópico propio de la enseñanza media , sino que también es abordado en cursos de cálculo u otros equivalentes en la educación superior cuando se tratan sólidos en revolución , ejemplos típicos podemos encontrar en Leithold(1998),El Cálculo. 3 se refiere a la comprensión de formas, la posición y transformaciones, mediciones, estimación y comparación e magnitudes. Mapa de Progreso (2009) 11 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Ejemplo 1 “En los ejercicios 13 a 20, obtenga una ecuación de la superficie de revolución generada al girar la curva plana alrededor del eje indicado, dibuje la superficie ” (Leithold, El Cálculo, p.879) Ejemplo 2 “Describa como dibujaría la superficie cilíndrica generada al girar la curva del plano xy alrededor del eje y .En su descripción invente un ejemplo de una curva particular e incluya la ecuación de la superficie cilíndrica obtenida. “ (Leithold, El Cálculo, p.879) En los ejemplos 1 y 2, observamos que se requiere de la interacción de técnicas analíticas y sintéticas para abordar los problemas. En base a lo anterior descrito, nuestra investigación la centraremos en el objeto matemático: La elipse, una de las secciones cónicas tratada en la asignatura de Álgebra y Modelos analíticos del plan científico de tercer año medio. Desde la teoría de los modos de pensamiento, indagaremos en la forma en que los estudiantes comprenden el objeto matemático y si estas nociones permiten movilizar la elipse entre los diversos enfoques (analíticos, sintéticos y estructurales), indagaremos también en los elementos que facilitan la conexión entre las distintas definiciones de la elipse, para así lograr una mayor comprensión de ella. Con nuestra investigación buscamos aportar evidencias con sustento teórico, en la enseñanza del concepto elipse. Organizamos nuestro trabajo en nueve capítulos como se describe a continuación: CAPÍTULO I: PROBLEMÁTICA, ANTECEDENTES OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN Y En este capítulo mostramos los enfoques predominantes en la enseñanza del concepto elipse, ya sea, en el programa de estudio y en los textos utilizados por los docentes como apoyo a la asignatura, a partir de estos antecedentes damos cuenta de nuestra problemática nos planteamos preguntas y definimos objetivos que guiaran nuestra investigación. 12 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO II: DIDÁCTICOS ANTECEDENTES EPISTEMOLÓGICOS, MATEMÁTICOS Y En busca de los elementos que permitan conectar las distintas definiciones de la elipse, efectuamos las siguientes indagaciones: Realizamos un estudio epistemológico de las secciones cónicas, enfocándonos en aquellas etapas de la historia donde se presentan los distintos modos de pensar la elipse. Realizamos indagaciones de la presentación del objeto elipse en distintos libros, para documentar matemáticamente las conexiones entre las definiciones de elipse. Además presentamos una mirada general de los trabajos existentes desde la didáctica de la matemática, que se relacionan con nuestro objeto de estudio. CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO En este capítulo, justificamos la elección del marco teórico que guiará nuestra investigación, describimos los elementos más importantes de la teoría de los modos de pensamiento (Sierpinska 2000) y presentamos ejemplos que ilustran la teoría. CAPÍTULO IV: REFERENTES METODOLÓGICOS En esta sección damos cuenta del diseño metodológico de estudio de caso, que dan sustento empírico a nuestra investigación. Fundamentando, el diseño de los instrumentos y la elección de las unidades de análisis. CAPÍTULO V: ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO En este capítulo, evidenciamos a través del estudio de un caso, los modos de pensamiento que priorizan los estudiantes que han trabajado la elipse desde el enfoque tradicional cuando se enfrentan a tareas planteadas en los distintos modos de pensar la elipse en el plano cartesiano. Estableciendo conclusiones en relación al primero objetivo específico de investigación. CAPÍTULO VI: INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE En este capítulo realizamos un análisis a priori del conjunto de actividades que construimos a partir de nuestros hallazgos (capítulo II) y desde la teoría de los modos de pensamiento para el aprendizaje del concepto elipse. 13 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO VII: APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE En este capítulo obtenemos las evidencias empíricas las cuales se analizan a partir del análisis a priori. Evidenciamos la forma en que los estudiantes de distintos casos, relacionados con los conocimientos matemáticos de la formación dependiendo del nivel donde se encuentren, comprenden la elipse cuando se da fuerza al tránsito SG- AE. Estos resultados son fundamentales para establecer las conclusiones de nuestra investigación. CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES Finalmente establecemos las conclusiones del objetivo general a partir de la evidencia empírica con sustento teórico obtenido en el capítulo anterior. Presentamos conclusiones teóricas y reflexiones didácticas, en relación al aporte de nuestra investigación para investigaciones posteriores. 14 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO I: ANTECEDENTES, PROBLEMÁTICA Y OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN 15 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANTECEDENTES DE INVESTIGACIÓN En esta sección daremos cuenta de elementos presentes en el “saber enseñar” del objeto matemático la elipse. Se describirá la presentación de dicho objeto, programa de estudio, libros de Geometría analítica y textos de los estudiantes, utilizados en nuestro país, con el propósito de evidenciar los enfoques predominantes en la enseñanza. A continuación se describe la presentación del objeto elipse en: El programa de estudio 4de la asignatura de tercer año medio del plan científico álgebra y Modelos analíticos del ministerio de educación de Chile. (1999) Matemática Algebra y Modelos Analíticos Programa de Estudio Tercer Año Medio de Ministerio de Educación. Chile Único Libro de geometría analítica, Geometría Analítica (1987) de Lehman,C editorial: Itesa, México, que aparece como referencias bibliográfica en el programa de estudio de álgebra y Modelos analíticos, nos parece interesante analizar los elementos matemáticos que se consideran para hacer la transposición didáctica en el currículo oficial. Textos de apoyo para el estudiante Matemática, plan electivo III y IV medio (1995) de Blanco, S; Delas Heras, R; Fuenzalida, G; Riveros, J. editorial: Santillana, chile. donde se tratan temas de los cursos del plan científico para tercero y cuarto medio. DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN PROGRAMA DE ESTUDIO La presentación de La elipse en el programa de estudio (Ministerio de Educación, 2001) es en la unidad II: Lugares geométricos, la cual, tiene por objetivos uno de los principios fundamentales de la geometría analítica: reconocer que los lugares geométricos se pueden describir mediante ecuaciones cartesianas. (Ministerio de Educación, 2001)(p.41) En las actividades planteadas se pide caracterizar la elipse como un lugar geométrico y establecer su correspondiente ecuación analítica y a través de la ecuación dada, determinar el lugar geométrico. Ejemplo de actividades propuestas 1) “¿Qué lugar geométrico en el plano representa la siguiente ecuación? 4 Los programas de estudio ofrecen una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular . 16 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 2) ¿Cuáles son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo? Figura 4: distintas elipse en el plano (Ministerio de Educación, 2001) (p.49) 3) Figura 5: ejemplos de actividades del programa Las actividades propuestas priorizan la obtención de la ecuación de la elipse a partir de los elementos: focos, centro, parámetros a y b. o bien a partir de la ecuación determinar el lugar geométrico que representan. Entre las sugerencias al docente se destaca que: Los alumnos asocien los puntos de intersección con los ejes del sistema de coordenadas con los parámetros a y b de la ecuación de la elipse. 17 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Los alumnos puedan relacionar la elipse con la sección cónica (cortes del cono). los alumnos realicen alguna construcción concreta de la elipse para que la frase “ la suma de las distancias a los focos es constante’ cobre sentido y sea comprendida por ellos(as). En el Programa de estudio predomina un enfoque analítico, lo podemos deducir a partir del objetivo planteado respecto a la elipse. Si bien en las sugerencias al docente hay intención de desarrollar otras técnicas para la comprensión de la elipse, no se dan ejemplos o ideas de cómo abordar las situaciones propuestas, parecen ser solo actividades anexas a las técnicas analíticas que se desarrollan. DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN LIBRO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA El libro de Geometría Analítica de Lehman C (1987) trata el tema de elipse en dos capítulos (VII y IX). En el Capítulo VII, llamado La elipse (pág173 a 186) , se estructura de la siguiente forma : definiciones , ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse , ecuación de la elipse de centro (h.k) y ejes paralelos a los coordenados , propiedades de la elipse. A continuación serán descritos solo aquellos temas que tengan directa relación con nuestro objeto de estudio. En primer lugar define la elipse como: “el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos” (p.173) La definición es apoyada por una imagen (sin sistema de coordenadas) donde se muestran los elementos de la elipse: focos, vértices, eje mayor, eje focal, eje menor y lado recto. Luego exprese la condición geométrica” la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante” en forma analítica y utilizando un procedimiento algebraico obtiene la ecuación de la elipse con centro en el origen con eje focal el eje x: =1 . De la misma forma se busca la ecuación de la elipse con eje focal, eje y: =1 con respecto a los elementos de la elipse , los relaciona de manera que si se conoce la ecuación de la elipse se puede determinar su gráfica. A partir de relaciones algebraicas obtiene la fórmula para determinar la longitud del lado recto . 18 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 expone sobre la excentricidad : “ un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón y se representa usualmente por la letra e , como c<a la excentricidad es menor a la unidad “(p.176). No se realiza mayor explicación sobre en que radica su importancia y ni de los relaciones que la definen. a partir de lo anterior , enuncia el siguiente teorema: “La ecuacion de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje x , distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es: =1 . si el eje focal coincide con el eje y , de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0,-c) , la ecuación de la elipse es =1 . Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, a, b y c están ligados por la relación también para cada elipse la longitud del lado recto y la excentricidad está dado por la fórmula √ ” (p.177) Luego se presenta un ejemplo: “Una elipse tiene su centro en el origen, y su eje mayor coincide con el eje Y. Si uno de los focos es el punto (0, 3) y la excentricidad es igual a . Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y la longitud de cada uno de sus lados rectos” En el ejemplo anterior, se muestra la obtención de la ecuación a partir de las fórmulas obtenidas para la excentricidad, lado recto y la relación de los parámetros . Se complementa con una figura que representa el lugar geométrico. Luego se presentan una serie de ejercicios donde se da prioridad a situaciones como: determinar la ecuación de la elipse conociendo algunos elementos de ella o bien a partir de la ecuación determinar los elementos de la elipse (se pide realizar un dibujo para cada uno de los ejercicios). También se presentan algunos ejercicios donde se pide demostrar relaciones que se pueden deducir a partir de las fórmulas obtenidas anteriormente como por ejemplo: “Demostrar que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las longitudes de su eje mayor y su lado recto.” (p.179) Además se proponen 2 situaciones donde se solicita demostrar procedimientos para: obtener puntos de una elipse, dado algunos elementos de ella (focos, longitud de su eje mayor y menor) utilizando escuadra y compás. 19 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Posteriormente se determinan las ecuaciones para una elipse con centro paralelos a los ejes coordenados a partir de la ecuación ecuación ordinaria y ejes obteniendo la =1 (eje focal paralelo al eje x) y como consecuencia de procedimientos algebraicos de la ecuación anterior se obtiene una ecuación de segundo grado, enunciando el siguiente teorema: “Si los coeficientes son del mismo signo, la ecuación representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.” (p.173) y seguidamente se proponen ejercicios de los temas tratados y como último tema del capítulo se dan a conocer propiedades relativas a la elipse , entre ellas: tangentes a la elipse y propiedades de reflexión . En el capítulo IX, titulado Ecuación general de segundo grado (páginas 212-233) se dan a conocer temas como: transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados, el indicador definición general de cónica, tangente a la cónica general, sistemas de cónicas y secciones planas de un cono circular recto. Se presentan la ecuación general de segundo grado Como la definición analítica de las cónicas, teniendo en cuenta que cada ecuación representa una cónica o bien una cónica degenerada, se analizan las características que deben tener los parámetros de la ecuación para representar una parábola, elipse o hipérbola. Luego se da a conocer una definición geométrica de las secciones cónicas, que incluye a la elipse, parábola e hipérbola. “Dada una recta fija y un punto fijo no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar geométrico de un punto P que se mueve en el plano de de tal manera que la razón de su distancia de a su distancia de es siempre igual a una constante positiva “ La recta se llama directriz el punto fijo , foco y la constante positiva, a la que designamos por , excentricidad de la cónica. “(p. 220) A partir de la definición dada y utilizando procedimientos algebraicos obtiene la ecuación para las cónicas. Lo anterior se resume en el siguiente teorema: “Una cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola, según que su excentricidad sea igual a, menor que, o mayor que la unidad.” (p.222) 20 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Explica también sobre el origen del nombre de secciones cónicas con que se designa a la parábola , elipse e hipérbola se origina a partir del hecho de que estas curvas se obtuvieron por primera vez como secciones planas de un cono circular recto. Propone una demostración para fundamentar que la intersección de un plano y un cono es una sección cónica , se apoya en la figura adjunta y a través de propiedades geométricas determinadas por triángulos rectángulos y razones trigonométricas relacionando los ángulos , obtiene la definición geométrica de las secciones cónicas . Figura 6: la elipse en el espacio De la demostración concluye las siguientes relaciones entre los ángulos y las compara con los valores de la excentricidad. El ángulo es una constante para un cono dado, varía dependiendo de las posiciones del plano secante. Si , entonces , la sección es una parábola, el plano es paralelo a una generatriz del cono. Si , entonces , la sección es una elipse, el plano corta a todas las generatrices del cono. Si , entonces , la sección es una hipérbola, el plano corta a las dos hojas o ramas de la superficie cónica. Los procedimientos utilizados en la presentación de objeto elipse en libro analizado , privilegian un enfoque analítico, se define la elipse como un lugar geométrico para obtener la ecuaciones que las describen, en el capítulo VII, los ejercicios propuestos varían entre obtener la ecuación a partir de los elementos conocidos o bien dada una ecuación determinar los elementos de una elipse. Si bien se presenta otra propuesta (capítulo IX) donde se combinan técnicas sintéticas y analíticas, la transposición didáctica realizada por el programa de estudio se enfoca únicamente en elementos propios de la geometría analítica presentes en el capítulo VII del libro. 21 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 DESCRIPCIÓN DE LA PRESENTACIÓN DEL TEMA ELIPSE EN TEXTO DEL ESTUDIANTE PLAN ELECTIVO III Y IV MEDIO El libro (Blanco Molleda , De las Heras Karl, Fuenzalida Correa, & Riveros Rojas , 1995) está diseñado como un complemento para el trabajo del estudiante en los cursos de tercer y cuarto año medio del Plan electivo de Matemática, la elipse se sitúa en el capítulo III, llamado Geometría analítica del plano el cual se organiza de la siguiente forma: La línea recta, la circunferencia, la parábola, la elipse, la hipérbola, definición general de cónicas. El objetivo que plantea el capítulo, respecto a nuestro objeto de estudio es: “Reconocer la ecuación de una elipse y determinar sus elementos “(p.90) Para introducir el concepto de la elipse, define una sección cónica como una curva que se obtiene al intersectar un plano y un cono de revolución, según la inclinación del plano respecto al eje del cono se obtiene una circunferencia, elipse, parábola o hipérbola. Aparecen figuras que muestran las secciones cónicas. Luego define la elipse como “el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) cuya ubicación en el plano es tal , que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de él es constante.” (p.114), también describe sus elementos: focos, recta focal, recta secundaria, centro, vértices, eje mayor, eje menor, distancia focal, lado recto. Se agregan dos observaciones: la primera de ellas es sobre las leyes de Kepler descubiertas en 1610 que entregan información sobre las trayectorias elípticas de los planetas que giran alrededor del sol, donde el sol uno de los focos. La segunda observación propone el “método del jardinero” para trazar elipses. A continuación se verifica a partir de distancias el valor de la constante, la relación de los parámetros que determinan el semieje mayor, semieje mayor, semieje focal. Sobre la excentricidad de elipse, expone: “A toda elipse se le asocia un número real que llamamos excentricidad, designado por la letra cuyo valor es “(p.115), explica también que dependiendo del valor de su excentricidad se tienen elipse “más, o menos achatadas”. Posteriormente a partir de la definición de elipse, por medio de un tratamiento algebraico determina la ecuación canónica de la misma forma se busca la ecuación canónica con el eje y. reemplazando en la ecuación obtiene la fórmula , , cuando el eje focal coincide para el lado recto. 22 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Luego se dan a conocer la ecuación principal con Centro (h,k) ecuación general métodos algebraicos pero no se desarrolla. + y la . Se explica que se obtiene por En seguida, se proponen ejemplos y ejercicios donde los enunciados son los siguientes: i) determina los elementos de las elipses, ii) determina la ecuación de la elipse, con los elementos dados en cada caso. Después de tratar todas las secciones cónicas de forma similar a la descrita anteriormente, propone una definición general de las cónicas, a partir de los valores de la excentricidad, como se describe a continuación: “es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, cuyas distancias a un punto (Foco) y a una recta (Directriz) fijos están en una razón constante (excentricidad)”. (p.129) Realizando procedimientos algebraicos se obtiene una ecuación principal de una cónica En particular la elipse se determina cuando la excentricidad es menor a 1. A través de la definición dada y utilizando un desarrollo algebraico determina las relaciones entre los elementos de la elipse. En el texto del estudiante, los objetivos del texto son coherentes con los objetivos enunciados en el programa de estudio, es decir, se centran en las ecuaciones cartesianas que la describen. Además, existen propiedades geométricas como la excentricidad y lado recto que se convierten en fórmulas para determinar ecuaciones de las elipses correspondientes. DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Nuestra problemática de investigación se sitúa al abordar la elipse puramente a través de las ecuaciones cartesianas como se muestran en programa de estudio (Ministerio de Educación, 2001), consideramos que estas técnicas no son suficientes para lograr una comprensión profunda del concepto, cuando decimos comprensión profunda , estamos pensando en que el estudiante pueda relacionar las distintas definiciones de elipse , ya sea , la elipse como una sección cónica, elipse como lugar geométrico y la elipse a partir de las ecuaciones que la describen. A partir de nuestra problemática nos planteamos las siguientes preguntas, que guiarán la investigación: La noción de elipse que construyen los estudiantes del plan científico tercer año medio de la asignatura algebra y modelos analíticos ¿permite movilizar la elipse 23 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 entre las definiciones como: sección cónica, lugar geométrico y ecuaciones cartesianas? ¿Qué elementos de la Matemática están presentes en noción del concepto elipse que presentan estos estudiantes? Con intenciones de lograr una comprensión profunda entre los aprendices del concepto elipse, nos planteamos abordar las siguientes interrogantes ¿Cuáles son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que promueve alcanzar una comprensión profunda de este? ¿Qué elementos de la Matemática están presentes en la comprensión profunda del concepto elipse? ¿Estos elementos tienen características geométricas, analíticas u obedecen a estructuras matemáticas? Apoyándonos en las preguntas anteriores daremos a conocer el siguiente supuesto de investigación “el estudiante logra una comprensión profunda del concepto elipse cuando logra transitar entre los modos de pensamiento analítico- aritmético, sintéticogeométrico y analítico- estructural”. (Ver figura 7) Figura 7: Modos de pensar la elipse. 24 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 OBJETIVOS DE INVESTIGACIÓN A partir de las interrogantes planteadas y la problemática descrita, se determinan los siguientes objetivos de investigación: Objetivo general Ofrecer un conjunto de sugerencias didácticas basada en nuestra investigación para la enseñanza del concepto elipse. Objetivos específicos: 1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus distintas definiciones en el plano cartesiano. 2. Indagar en los elementos de la matemática5 que propician el tránsito entre las definiciones de elipse como: sección cónica en el espacio/curva que la representa en el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse y como lugar geométrico. 3. Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el tránsito entre los modos de pensamiento (Sintético-Geométrico, Analítico-Aritmético, AnalíticoEstructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento educacional chileno. 5 Conceptos matemáticos, nociones, propiedades. 25 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO II: ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICOS, MATEMÁTICOS Y DIDÁCTICOS 26 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 EPISTEMOLOGÍA DE LA ELIPSE En relación a nuestro segundo objetivo específico de investigación, describiremos de manera general la epistemología de las secciones cónicas, centrándonos en épocas donde aparecen con mayor fuerza y enfocándonos particularmente en aspectos de la elipse que consideramos importantes, como el surgimiento de enfoques analíticos, sintéticos y estructurales a través de la historia y en los elementos que permiten su interacción. GEOMETRÍA EUCLIDIANA O SINTÉTICA Las secciones cónicas surgen en el periodo del Helenismo en Grecia “El helenismo significa, tanto en política como en filosofía, una auténtica fragmentación. En política, el imperio de Alejandro se fragmenta en reinos más o menos pequeños que compiten en ser dignos herederos de la tradición del siglo de oro helénico. En filosofía se produce también una fragmentación del saber unificado al que Platón y Aristóteles, siguiendo el trazo de la corriente pitagórica, aspiraron. El saber orientado hacia el hombre, con sus hondas conexiones con la estética, ética, religión, política,... cede el paso al saber especializado que en matemáticas viene a ser representado por Euclides, Arquímedes y Apolonio” (Tapia, 2002 ,p.19 ). En este periodo los avances en matemática se basan en “un pensamiento hipotético – deductivo, en métodos racionales de demostración y en la utilización de técnicas sintéticas en los razonamiento geométricos” (Gonzales , Paniagua , & Patiño, 2008) Bajo este enfoque nacen las secciones cónicas, como se detalla a continuación: Las secciones cónicas fueron inicialmente tratada por autores como: Menecmo, Arquímedes Aristeo y Euclides. Su descubrimiento se atribuye a Menecmo (350 a.c) mientras se ocupa del problema clásico de la duplicación del cubo, obtiene las curvas que hoy conocemos como elipse, hipérbola y parábola determinándolas por secciones de un plano perpendicular a una generatriz de conos rectos de tres tipos, dependiendo del ángulo del vértice (agudo, obtuso o recto). A finales de siglo IV ya se conocían dos obras sobre las cónicas, La primera es de Aristeo, “el Libro de los lugares sólidos” y la segunda de Euclides (4 libros), si bien no hay evidencias de ellas, estas obras fueron los pilares fundamentales para las famosas cónicas de Apolonio. Se cree que fue Arquímedes quien dio el nombre elipse a las “secciones de cono acutángulo “(como se conocían anteriormente). La palabra elipse fue utilizada por el 27 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 famoso Matemático Pitágoras, “en las soluciones de ecuaciones cuadráticas por el método de duplicación de áreas, Ellipsis, significa una deficiencia, se utilizaba cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado” (Boyer,1986. pág. 195). El gran geómetra griego Apolonio de Perga (262 - 190a.c) educado en Alejandría con discípulos de Euclides, fue quien en el siglo III a.c dio “el rigor la consistencia y sistematización a las secciones cónicas” (Ruiz, p 80) demostrando que las propiedades de las curvas son las mismas si se obtienen como cortes de conos oblicuos o de conos rectos. Es Apolonio quien define una superficie cónica: “Si una línea recta de longitud indefinida y que pasa siempre por un punto fijo se hace mover sobre la circunferencia que no está en el mismo plano que el punto dado, de tal manera que pase sucesivamente por todos los puntos de dicha circunferencia , entonces la recta describirá la superficie de un cono doble “ (Gonzales , Paniagua , & Patiño, 2008) Figura 8: superficie cónica de Apolonio Apolonio sustituye el cono de una sola hoja por el cono de dos hojas (par de conos orientados en sentido opuesto con vértices coincidentes y ejes sobre la misma recta) con lo cual cambia las 2 hipérbolas, como las llama Euclides, por una hipérbola de dos hojas. 28 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 9: cono de una y dos hojas Apolonio define las secciones cónicas, como, una curva obtenida cortando una superficie cónica con un plano, según la inclinación del plano se puede formar una parábola, una elipse o una hipérbola. Figura 10: secciones cónicas de Apolonio Sobre las secciones cónicas escribe 8 libros, donde se dan a conocer modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas, propiedades de sus elementos (diámetros, ejes, focos), teoremas relativos a diámetros conjugados, entre otros. Entre las propiedades destacamos: la suma de las distancias de un punto de la elipse a dos puntos fijos (focos) es constante (proposición 52 del libro III) la cual es utilizada en la actualidad como una de las definiciones de la elipse como lugar geométrico. La construcción de la elipse está fundamentada en los métodos predominantes de la época nos referimos, al razonamiento deductivo a partir de proposiciones y teoremas demostrados utilizando técnicas geométricas sintéticas. 29 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 A continuación se describe el enfoque de la elipse como fue trabajada en la antigüedad, Apolonio define “La elipse como una sección de un cono por un plano no perpendicular a su eje” (Grégoire , 1992) a partir de la definición dada, razona de la siguiente forma: Sean C y C’ dos puntos cualesquiera de la elipse y KCL y K’C’L’ dos secciones circulares del cono perpendiculares al eje. (Figura 11) Figura 11: secciones cónicas de Grégoire Dados los triángulos rectángulos KCL y K’C’L’, Se tendrá: Además los triángulos GMK y GM’K’ son semejantes, Se deduce que: los triángulos AML y AM’L’ también son semejantes, Por lo que Por tanto al multiplicar miembro a miembro , por el teorema de la altura ( Es decir la relación ) , se obtiene es constante para todo punto c de la elipse (Grégoire , 1992) Apolonio determina una propiedad geométrica para todo punto que pertenece a la elipse, lo que es equivalente a pensar la elipse como un lugar geométrico que cumple una cierta propiedad geométrica. 30 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Es importante destacar que Apolonio descubre un sin número de propiedades para las cónicas, muchas de ellas son el inicio de grandes descubrimientos en otras áreas como la física, la óptica, astronomía entre otras. Entre los numerosos geómetras que siguieron los pasos de Apolonio destacamos a Pappus (Siglo IV d c) quien escribió La Colección Matemática, obra donde realiza una recopilación de una cantidad indeterminada de teoremas y problemas propuestos por sus antecesores, además agrega proposiciones nuevas e incluso problemas que se trataran de resolver siglos después. En relación a las secciones cónicas propone un teorema (libro VII n° 238) que permite definir las tres cónicas como lugares geométricos a través de la relación de distancias de un punto al foco y a una recta (directriz) como se detalla a continuación: “El lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a un punto dado (Foco) y a una recta dada (Directriz) están en una razón constante es una sección cónica: Una parábola si la razón es la unidad, una elipse si es más pequeña que la unidad y una hipérbola si es más grande que la unidad “ (Española, 2000) El teorema de Pappus permite definir una sección cónica como el lugar geométrico de los puntos talque , donde . Según el valor de la constante se clasifican en: . . . Figura 12: clasificación de las secciones cónicas, según el valor de e. 31 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 La constante determinada por Pappus posteriormente es conocida con el nombre de excentricidad de una cónica. GEOMETRÍA ANALÍTICA Hasta el siglo XVI el enfoque de las secciones cónicas fue basado en las cónicas de Apolonio, el gran geómetra de la Antigüedad donde se destaca la elegancia que utiliza para describir las cónicas a través de relaciones de áreas y longitudes que caracterizan a cada una de las curvas, en su estudio además considera sistemas de referencia (diámetros conjugados) a posteriori de la construcción de la curva para el estudio de las propiedades. Podemos decir que Apolonio es uno de los primeros en utilizar el análisis en la geometría, “el lenguaje de Apolonio es sintético, utilizando con una pericia increíble la técnica pitagórica de la Aplicación de las Áreas, pero sus "métodos de coordenadas" guardan una gran similitud con los de la Geometría Analítica” (González Urbaneja , Raices histórica y trascendencia de la Geometría Analítica , 2007). En los siglos XVI y XVII durante la Revolución científica , época en que se nacen nuevas ideas y conocimientos en distintas áreas como : Química , Biología, Astronomía , Física y Matemática, ideas que posteriormente se convertirán en la base de las ciencias modernas. Es durante esta época que surge la geometría analítica, es decir, "la aplicación del Álgebra simbólica al estudio de problemas geométricos mediante la asociación de curvas y ecuaciones en un sistema de coordenadas". (González Urbaneja , Raices histórica y trascendencia de la Geometría Analítica , 2007) Sobre la geometría Analítica destacamos : “Fermat y Descartes son los verdaderos artífices de la Geometría Analítica. Descartes publica en 1637 La Geometría junto con La Dióptrica y Los Meteoros como apéndices de su Discurso del Método o éste como prólogo de aquellos opúsculos. El mismo año, Fermat envía al Padre Mersenne sus investigaciones de alrededor de 1629 contenidas en la memoria Introducción a los Lugares Planos y Sólidos. Las obras citadas de Descartes y Fermat contienen los fundamentos de la llamada más tarde Geometría Analítica. Estos matemáticos encontraron un terreno muy abonado por el Análisis Algebraico en el que Vieta había transformado el Análisis Geométrico de los griegos con la intervención de su incipiente Álgebra simbólica. (González Urbaneja , Raices histórica y trascendencia de la Geometría Analítica , 2007)” Los aspectos novedosos de la geometría analítica son : la introducción de coordenadas , el trazado de curvas construyendo ordenadas a partir de abscisas dadas y conectando con 32 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 puntos finales , la aplicación del álgebra simbólica a los problemas geométricos, la derivacion de ecuación a los lugares geométricos y la construcción geometrica de las soluciones de las ecuaciones , estudio de las propiedades de las curvas dadas por las ecuaciones y representacion grafica de una curva dada por la expresion analitica funcional. Este nuevo método permite resolver problemas geometricos de la antigüedad y avanzar en terrenos inexplorados de la matematica en ese momento. En relación a las secciones cónicas, destacamos los avances de Descartes, Fermat, Witt, Wiles y Euler. René Descartes, matemático francés (1596-1650) el segundo libro de la Geómetrie de Descartes, “De la Naturaleza de las curvas”, da a conocer métodos para encontrar líneas rectas que corten las curvas o a sus tangentes, en particular las secciones cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. lo cual, conlleva a la posterior aparición de la ecuación de la elipse como se muestra a continuación: Descartes calcula la normal a una curva en un punto de la figura siguiente: Llama = Figura 13: normal a una curva Todo punto P perteneciente a la recta AG, verifica las dos relaciones siguientes √ ; √ Para calcular la ecuación de la elipse (figura 3), descartes utiliza la definición de Apolonio , donde q es la longitud del lado AG Con las notaciones elegidas por Descartes, la ecuación de la elipse es: 33 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 , utilizando la relación √ , se obtiene la ecuación fundamental de la elipse Figura 14: Normal de una curva, Descartes Para obtener la ecuación canónica, se considera la elipse referida a su centro O. Obteniendo la siguiente ecuación: , siendo Si se toman , se obtiene así la ecuación de la elipse de Descartes. (Grégoire , 1992) Pierre de Fermat, matemático francés ( 1601-1665), crea una reformulación de la obra Las Cónicas de Apolonio con los instrumentos del Álgebra, demuestra en su obra Ad locos planos et solidos isagoge (introducción a los lugares geométricos planos y sólidos) que las ecuaciones de primer grado representan rectas y las de segundo grado determinan cónicas o rectas. Durante los periodos siguientes, mitad del siglo XVII y comienzo del siglo XVIII se difundieron los métodos analíticos propuestos por Descartes y Fermat, en relación a las cónicas, matemáticos de la época como Witt y Wallis completaron y perfeccionaron sus obras. Wallis en su Tractatus de sectionibus conicis deduce todas las propiedades conocidas de las cónicas a partir de las ecuaciones obtenidas de las relaciones de Apolonio y considera estas ecuaciones como la definición de la sección, por su parte Jan de Wittt en la primera parte de su obra Elementa curvarum linearum, introduce la definición de cónicas utilizando la razón de las distancias al foco y a la directriz, propiedad descubierta por Pappus. 34 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Posteriormente Desargues realiza también estudios sobre las cónicas y los puntos del infinito y Pascal también escribe sobre las cónicas (Essay pour las coniques ) estos estudios son los cimientos para la geometría proyectiva. Leonhard Paul Euler, Matemático Suizo (1707-1783) señala que las propiedades de las cónicas no pueden derivarse de un único principio; a veces se obtienen de la ecuación de las curvas, otras de su generación por la sección de un cono (como habían hecho los grandes geómetras griegos) y otras se obtienen de la forma como han sido descritas mediante construcción geométrica” (González Urbaneja , Euler y la Geometría Analítica , 2008 ). Euler escribe un primer volumen de introducción una teoria general de curvas , basada en ideas de función , en el que deriva las propiedades de las cónicas del cono o de la construcción geométrica, luego en un volumen posterior realiza un tratamiento analítico general, obtiene las propiedades de las cónicas mediante la informacion entregada solo por la ecuacion sin recurrir a otros medio , escribe una ecuación cuadrática general con seis términos para las secciones cónicas : y expresa la ecuación en términos de en terminos de (González Urbaneja , Euler y la Geometría Analítica , 2008 ) Euler determina la ecuación central de las cónicas a partir de la cual realiza la clasificación de cada una de ellas mediante el valor del discriminante, encontrando así de manera sencilla puntos, líneas y rectas, razones asociada a cada curva, completando el trabajo iniciado por Witt y Wallis. A partir de la ecuación , con A, B, C, D, E, F reales y A, B y C no todos nulos. Podemos clasificar las cónicas dependiendo del valor del discriminante . Si Se trata de una Elipse Si Se trata de una Parábola Si Se trata de una Hipérbola 35 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Sobre las propiedades determinadas por Apolonio y Pappus en la antigüedad y trabajadas en forma analítica por Descartes, Fermat, Witt , Willes y Euler. El matemático Belga Germinal Pierre Dandelin (1794 – 1847) propone en 1822 el siguiente teorema, demuestra que si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica son los puntos donde éste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono. Figura 15: Esferas de Dandelin A partir del teorema propuesto por Dandelin, se puede probar con herramientas sintéticas las propiedades que definen a la elipse: La suma de las distancias de un punto de la elipse a dos puntos de su eje principal es constante. La razón entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los focos y a la distancia de la directriz correspondiente, es un valor constante menor a 1. fijos 36 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 LA ELIPSE EN LA MATEMÁTICA En busca de los elementos de la matemática que conecten las distintas definiciones de elipse, como: sección cónica, lugar geométrico y a través de las ecuaciones algebraicas., realizamos una indagación en libros de Geometría plana y del espacio, Cálculo, geometría analítica y trigonometría. A partir del análisis de los textos (Ver anexo 1) y el análisis epistemológico (antes descrito), elaboramos esta sección, donde conectamos las distintas definiciones de elipse. Centrándonos mayoritariamente en aquellas que utilizaremos para nuestra investigación. A continuación se enuncian los textos utilizados: Cálculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edición (2008) - James Stewart editorial: Cengage Learning Editores. Leithold, l (1998) el cálculo 7ª edición .México: Orfoxd university press-harla. Masjuan,G;Arenas,F;Villanueva,F.(2001). Trigonometría y geometría analítica. Santiago: ediciones universidad católica de chile. Para las definiciones y en busca de elementos distintos a los presentados en los libros anteriores utilizamos: Wentworth, d; Smith, d (2001) geometría plana y del espacio. México: Porrúa. Romero, A (2005) Estudio sobre las cónicas, Caracas: Innovación tecnológica. LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE A continuación se presentan las definiciones de elipse, como: sección cónica, lugar geométrico y a través de las ecuaciones algebraicas, previo a ello se definen conceptos matemáticos que se utilizan en la interacción entre los enfoques del concepto elipse. Posteriormente se describen relaciones entre las definiciones de una elipse a partir de elementos de la matemática6 que permiten una movilidad entre los distintos enfoques del concepto. (Figura 16: distintas definiciones de Elipse) 6 Conceptos, propiedades o teoremas. 37 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 16: distintas definiciones de Elipse CONCEPTOS ASOCIADOS A UNA ELIPSE 1.- Superficie cónica: superficie engendrada por una recta que se mueve de tal modo que siempre corta una curva plana fija y que pasa por un punto exterior al plano de esa curva. La curva fija se llama directriz y el punto fijo se llama vértice 2.- Generatriz de una superficie cónica: recta que engendra la superficie y también toda recta que representa una de las posiciones por las que pasa aquella, es decir, toda recta que va desde el vértice a la directriz. 3.- Cono: sólido limitado por una superficie cónica y por un plano que corta a todas las generatrices. 4.- Cono circular: cono que tiene un círculo de base. Llamase eje del cono a la recta que va del vértice al centro de la base. 5.-Cono circular recto: cono circular cuyo eje es perpendicular al plano de la base. 6.-Esfera: sólido limitado por una superficie todos cuyos puntos equidistan de un punto interior. 7.- Sección cónica Definición geométrica: Es la intersección de un plano cualquiera y una superficie cónica. i) Si el plano no es paralelo a las generatrices es una elipse. ii) Si el plano es paralelo estrictamente a dos generatrices es una hipérbola. iii) Si el plano es paralelo a una sola generatriz. La sección obtenida se llama parábola 38 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 17: Secciones cónicas Si el plano intersecta al vértice se forma cónicas degeneradas, es decir, un punto, una recta o par de rectas concurrentes. Definición a partir de propiedades: Es una sección cónica puede definirse como el conjunto de los puntos P del plano tales que la razón de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva . (Figura 18 : la secciones cónicas, según el valor de la excentricidad) i) Si la cónica es una parábola ii) Si es una elipse iii) Si es una hipérbola. Figura 18 : la secciones cónicas, según el valor de la excentricidad 39 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Definición Analítica: Una sección cónica está definida por una ecuación general de segundo grado , Con y no todos nulos. La grafica de la ecuación es una cónica, o bien, una cónica degenerada. Los parámetros A, B y C permiten identificar el tipo de cónica analizando el discriminante como sigue: i) Si se trata de una parábola ( o como caso degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes ) ii) Si , se trata de una elipse ( o como caso degenerado un punto ) iii) Si , se trata de una hipérbola ( o como caso degenerado un par de rectas que se cortan ) A continuación se define la elipse como una sección cónica, luego se presentan dos alternativas para tratar la elipse como lugar geométrico7 y a partir de las definiciones se obtienen ecuaciones (cartesianas – polares) que describen una elipse. Como sección cónica: Es una sección cónica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna generatriz. Figura 19: La elipse como sección cónica 7 conjunto de puntos que cumple una propiedad geométrica. 40 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Como lugar geométrico: 1.- Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre una constante positiva (mayor que la distancia entre los focos). Figura 20: la elipse como lugar geométrico 2.- Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la razón de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1. A través de las ecuaciones algebraicas: 1. Si y si , entonces su ecuación de la elipse es: Donde la excentricidad: ecuación de la Directriz F 3. (– es la constante en la definición, si los focos se encuentran en es ) =1 √ , , la y los focos son : ) Una elipse se describe a partir de la ecuación general de segundo grado , Con y todos nulos. Donde Si no 41 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONEXIONES ENTRE LAS DISTINTAS DEFINICIONES DE ELIPSE DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS A continuación se presentan dos descripciones del concepto elipse como se muestra a continuación: La primera de ellas parte de la elipse como sección cónica, luego utilizando el teorema de las esferas de Dandelin permite determinar la elipse como lugar geométrico donde la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los focos es constante, posteriormente a través de las herramientas algebraicas dadas por el concepto de distancia entre dos puntos del plano se determinan las ecuaciones cartesianas y los elementos principales de la elipse en el plano. La segunda alternativa parte de la definición de elipse como sección cónica, y a través del teorema de Dandelin permite encontrar el lugar geométrico que describe la elipse a partir de la excentricidad (razón entre la distancia de un punto al foco y la distancia del punto a la directriz), luego a través de elementos trigonométricos y algebraicos permiten determinar las ecuaciones polares y cartesiana de la elipse. DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 1 La elipse, es una sección cónica que se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna generatriz. A partir de esta definición utilizando el Teorema de Dandelin8, se puede construir la definición 1 de elipse como lugar geométrico. Figura 21: Teorema de Dandelin 8 Si un cono es cortado por un plano en una cónica, los focos de dicha cónica son los puntos donde éste plano es tocado por las esferas inscritas en el cono. 42 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al plano secante ambas esferas . La esfera es tangente al cono a lo largo de las circunferencias , y es tangente al plano cortante en el punto . La esfera es tangente al cono a lo largo de las circunferencias , y es tangente al plano cortante en el punto . Los planos de la circunferencia son paralelos. Se demostrara que son los focos de la elipse al probar que si P es un punto de la elipse, entonces |̅̅̅̅̅| ̅̅̅̅̅̅̅ | | es una constante. La generatriz del cono que pasa por un punto cualquiera P de la elipse sección corta a las circunferencias tangentes a la esfera en los puntos , como todas las tangentes que puedan trazarse desde un punto a una esfera tienen la misma longitud, se tiene ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ Las circunferencias de tangencia cortan segmentos iguales de igual longitud en todas las generatrices del cono, como consecuencia todos los puntos de una elipse tienen las propiedades “La suma de las distancias a dos puntos fijos de su eje principal es constante”. Considerando la definición de elipse: “La elipse es el conjunto de puntos de un plano tales que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante e igual . Cada punto ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ | | | | fijo se llama foco”. (Figura 20: la elipse como lugar geométrico) Obtenemos las ecuaciones cartesianas que la describen. |̅̅̅̅| √ √ , |̅̅̅̅̅| √ +√ √ Como 43 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Si es la constante en la definición, si los focos se encuentran en y si , entonces su ecuación de la elipse es: Elementos de una elipse 1.-Los puntos A, A’, B, B’ se llaman vértices de la elipse. 2.- El valor de se conoce como semieje mayor, se llama semieje menor y como semi distancia focal. 3.-las cuerdas focales perpendiculares al eje focal de esta elipse se conocen como lado recto (latus rectum) de la elipse y su longitud es igual a . DESDE LAS SECCIONES CÓNICAS A LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS 2 En figura adjunta, el interior del cono puede situarse dos esferas tales que sean tangentes al plano secante ambas esferas tienen su centro sobre el cono y son tangentes a este a lo largo de las circunferencias situadas en planos normales al eje del cono. Figura 22: Teorema de las esferas de Dandelin se puede deducir otra propiedad: el plano de la elipse corta a los planos de las circunferencias de las dos esferas de Dandelin según rectas directrices ) si los puntos y el vértice principal de la elipse giran alrededor del eje del cono hasta situarles paralelamente al plano de proyección , como son los segmentos se tiene = para la distancia espacial del punto a la directriz , que se proyecta en su verdadera magnitud , en virtud de la semejanza de triángulos, se tiene: 44 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 La razón entre distancia desde un punto cualquiera de la elipse a uno de los focos y a la distancia de la directriz correspondiente, es igual a la razón entre 2e de los focos y la longitud 2a del eje mayor. La relación e: a es lo que se denomina excentricidad de la elipse A partir de la definición: Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano tal que la razón de la distancia no dirigida de P a un punto fijo a la distancia no dirigida de P a una recta fija, la cual no contiene al punto fijo, es una constante positiva menor a 1. Se generan las ecuaciones polares y cartesianas que la describen como se explica a continuación. Primero se obtendrá una ecuación polar del conjunto de los puntos descritos. Considere que denota el punto fijo y representa la recta fija. Se toma como polo a y el eje polar y su prolongación a . Se considerara el caso en que la recta esta a la izquierda del punto . Sean D el punto de intersección de con la prolongación del eje polar y, la distancia no dirigida de a . Sea cualquier punto del conjunto a la derecha de y en el lado terminal del ángulo ( Figura 23: eje polar) Figura 23: eje polar El punto P está en el conjunto descrito si y solo si: |̅̅̅̅| Como P está a la derecha de ̅̅̅̅ ; |̅̅̅̅| además ̅̅̅̅ porque ̅̅̅̅ Sin embargo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , y como ̅̅̅̅ esta expresión para ̅̅̅̅ , se obtiene: ̅̅̅̅ +̅̅̅̅ , se tiene ̅̅̅̅ , al sustituir 45 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ), Despejando Obteniendo la ecuación Polar de la elipse el caso en que la recta esta a la izquierda del punto (1) Con el fin de determinar una ecuación cartesiana de la elipse a partir de la ecuación Polar (1) se reemplaza el por así: √ Ahora al sustituir , resulta √ Elevando al cuadrado Como Para completar cuadrados se agregan en los dos miembros de la ecuación anterior ( ) Se divide por Donde ( Ahora considere ) ( ) donde a>0 , Entonces la ecuación de la elipse se puede expresar: 46 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Si entonces y puede considerarse donde . La ecuación de la elipse que tiene su eje principal sobre el eje x y su centro en (h, 0) donde h>0 es: Ecuación cartesiana de una cónica central que tiene su eje principal sobre el eje x y su centro en el origen , Donde , los focos son F , las ecuaciones de la directriz: . Figura 24: ecuación de la elipse, a partir del valor de e 47 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA A PARTIR DE SU ECUACIÓN A partir de la ecuación: , se deduce despejando y √ Podemos decir: a) la curva consta de √ dos ramas dadas por las funciones √ b) la curva está definida solamente para valores de x comprendidos en el intervalo c) la curva está definida solamente para valores de y comprendidos en el intervalo d) Intersección con los ejes: cuando se obtiene los puntos de intersección de la curva con el eje y, . cuando se obtiene los puntos de intersección de la curva con el eje x , . e) Simetría: comparamos ; y la ecuación no varia, entonces, la curva es simétrica respecto a los ejes y al origen. f) Tabla de valores : obteniendo las simetrías es suficientes dar valores a x entre Teniendo en cuenta, que una ecuación de un lugar geométrico plano es una ecuación de la forma cuyas soluciones reales para valores correspondientes de son todas coordenadas de puntos que satisfacen la condición geométrica dadas que definen el lugar geométrico. De esta forma se puede obtener la curva representada por la ecuación , donde el conjunto solución es Figura 25: elipse en el plano cartesiano 48 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 DADO LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO HALLAR EL CONO DE REVOLUCIÓN A partir de la definición de elipse como, un conjunto de puntos de un plano tales que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos es constante. Cada punto fijo se llama foco. (ver Figura 25: elipse en el plano cartesiano) Usando el teorema de Dandelin: “Todo plano tangente a una esfera inscrita en un cono circular recto, determina en este una cónica, cuyo foco es el punto de tangencia y cuya directriz es la intersección del plano tangente con el plano que contiene a la circunferencia de contacto entre el cono y la esfera.”, podemos encontrar un cono circunscrito a una esfera tangente en unos de sus focos. Figura 26: La elipse en el espacio Existen infinitos conos de revolución que contiene una elipse, dependiendo de las esferas que se elijan, estas no puede tener radio cero, ni crecer indefinidamente. En los conos de revolución que contienen una elipse dada, el lugar geométrico de sus vértices es una hipérbola situada en un plano perpendicular al plano de la cónica que contiene al eje y tiene por vértices los focos de la elipse y por focos los vértices de la elipse . 49 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 LA ELIPSE DESDE EL ESPACIO AL PLANO A continuación presentaremos algunos casos particulares de la elipse como sección cónica, a partir de las ecuaciones de cono circular centrado en el origen del espacio, y un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices, con el fin de mostrar, la obtención de la ecuación de la elipse a través de herramientas algebraicas y luego graficar la curva representada por la ecuación. La elipse como sección cónica se obtiene cuando el plano cortante no es paralelo a ninguna generatriz. La ecuación de una de las superficies cónicas en el espacio (ver Figura 27: superficie cónica), es en sistema tridimensional. Figura 27: superficie cónica La ecuación de un plano no paralelo a ninguna de las rectas generatrices es: , La elipse se determina al intersectar el cono circular recto con el plano, para obtener la ecuación resolvemos el siguiente sistema de ecuación. ⌋ Como y son mayores a cero la ecuación corresponde a una Elipse 50 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Ejemplo: Ecuación del cono: cono : , Ecuación de un plano que intersecta al En forma gráfica Figura 28: la elipse como una sección cónica de forma analitica Sistema de ecuaciones: ⌋ Ecuación de la elipse en el plano: ( Figura 29) Figura 29: representación de la elipse en el plano 51 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 INVESTIGACIONES DE LA ELIPSE EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA También se reportarán investigaciones en Didáctica de la Matemática que tengan relación con nuestro objeto de investigación, ya sea, en el tema a estudiar o bien en que los resultados obtenidos entregan información relevante para sustentar nuestra problemática. A continuación se reportan dos investigaciones en Didáctica de la Matemática relacionadas con nuestra problemática sobre el concepto elipse. Se describe la naturaleza de la investigación, sus objetivos y resultados. Contreras, Contreras & García (2002) realizan un estudio sintético – analítico de las construcciones de la elipse , ofreciendo una propuesta integradora donde es posible abordar la elipse desde una doble perspectiva. Su interés se produce al observar que en la mayoría de los textos de Bachillerato se da, casi exclusivamente, un enfoque analítico a las secciones cónicas. Si bien la propuesta está basada en el plano cartesiano, consideramos que entrega referentes para la comprensión de la elipse como lugar geométrico Del castillo (2004), propone un estudio de la elipse a través de distintas representaciones, utilizando la teoría de Duval, aprovechando los ambientes de la calculadora simbólica Voyage 200 de Texas instruments(Figura 30). Como recurso didáctico, partiendo del hecho que la visualización dinámica puede favorecer los procesos de abstracción y generalización. Figura 30: la elipse, Texas instruments Destacamos de la investigación, las formas que se proponen para construir la elipse como lugar geométrico, donde la suma de los puntos de ella a dos puntos fijos (focos) es constante, lo cual se puede evidenciar fácilmente utilizando software de geometría dinámica. 52 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO: LOS MODOS DE PENSAMIENTO. 53 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 JUSTIFICACIÓN DEL MARCO TEÓRICO Desde nuestros objetivos de investigación, realizamos la elección del marco teórico: los modos de pensamiento propuestos por Anna Sierpinska (2000), porque nos provee de elementos teóricos para describir la forma en que los estudiantes comprenden los objetos matemáticos, en este caso, la elipse. También permite explicitar los enfoques (analíticos, geométricos o estructurales) que priorizan los estudiantes al momento de desarrollar distintas tareas y cuáles son las conexiones que logran establecer entre ellos. Aunque este marco teórico nace y se desarrolla para dar respuestas a problemáticas propias del ámbito del álgebra lineal, con nuestra investigación pretendemos abrir una vía de acceso de la teoría al estudio de objetos de otros ámbitos de la matemática DESCRIPCIÓN DEL MARCO TEÓRICO Sierpinska (2000) distingue tres modos de pensamiento: uno que tiene que ver con el pensamiento práctico (sintético-geométrico) y otros dos que tienen que ver con el pensamiento teórico (analítico-aritmético y analítico-estructural). Según Sierpinska (2000) el modo sintético-geométrico surge primero y de manera subsiguiente el analíticoaritmético y el analítico-estructural. “Se podría decir que el desarrollo del álgebra lineal es en cierto sentido el resultado de una tensión entre los modos de razonamiento. Para la enseñanza, la pregunta no es cuál modo de razonamiento vale más para fomentar en el estudiante, sino cómo llevar a los estudiantes al uso flexible y consciente de ellos. Más que ver los modos de razonamiento en el álgebra lineal como niveles en el desarrollo del pensamiento algebraico, es preferible verlos como modos de pensamiento igualmente útiles cada uno en su propio contexto y para propósitos específicos, principalmente cuando ellos interactúan” (Sierpinska, 2000). En relación a la elipse, consideramos que se puede abordar desde los tres modos de pensamiento, propuesto por Sierpinska, aunque estos en la historia no aparecen en forma secuencial, como sucede con el álgebra lineal. Se origina en primer lugar un modo sintético geométrico, con la aparición de las secciones cónicas, luego el modo analítico estructural con el desarrollo de propiedades, que hoy permiten definirlas como un lugar geométrico, posteriormente a partir de ellas se obtiene las ecuaciones que la definen. (Ver epistemología de la elipse) En resumen en nuestro objeto de estudio surgen los modos SG-AE-AA, aunque uno no reemplaza a los otros, si no son igualmente útiles al momento de comprender el objeto matemático. 54 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Anna Sierpinska (2000) señala que los objetos matemáticos adquieren diferentes significados al ser trabajados en diferentes modos de pensamiento, y al encontrarse interactuando estos modos permite la comprensión de objeto. Sierpinska, distingue tres modos de pensamiento: Pensamiento Sintético-geométrico (SG): los objetos son descritos directamente por la mente, la visualización matemática (en el sentido de Zimmermann y Cunningham, 1991) que tenga el sujeto del objeto toma un rol fundamental en el entendimiento de dicho objeto. Utiliza el lenguaje de las figuras geométricas, planos y líneas, intersecciones, así como sus representaciones gráficas convencionales. Ejemplo: En este modo, podemos pensar la elipse como una figura ovalada, simétrica, plana o bien como la intersección de un cono y un plano (Figura 31) Figura 31: SG de la elipse en el plano y el espacio Modo Analítico-Aritmético (AA): los objetos se dan indirectamente, ellos se construyen por la definición de sus elementos. Las figuras se entienden como conjuntos de n-adas de números que satisfacen ciertas condiciones. Ejemplo: En este modo, pensamos la elipse como: “Conjunto de pares ordenados que satisfacen una ecuación” Ecuación cartesiana de la elipse, con centro en el origen. =1 donde 55 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Modo analítico-estructural (AE): sintetiza los elementos algebraicos de las representaciones analíticas dentro de conjuntos estructurales. Es decir, son definidos por una propiedad. Ejemplo: En este modo pensamos la elipse como un lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre constante positiva (mayor que la distancia entre los focos). (Figura 32) Figura 32: AE de la elipse en el plano Respecto a la diferencia entre los modos de pensamiento analítico-aritmético y analíticoestructural, es que en el primero un objeto es definido por una fórmula que permite calcularlo, en este caso la ecuación por otro lado, en el pensamiento analítico-estructural, un objeto es mejor definido por un grupo de determinadas propiedades. Consideramos, igualmente útiles estos tres modos de pensar la elipse (Figura 33) para alcanzar la comprensión del objeto, principalmente cuando se complemente e interactúan. Muchas veces necesitamos de técnicas sintéticas para resolver problemas analíticos. O bien técnicas analíticas para dar respuesta a problemas geométricos, o de la definición de la elipse para resolver problemas geométricos o analíticos. Aunque consideramos los 3 modos igualmente útiles para la comprensión del objeto, creemos que el modo AE de la elipse es fundamental para el desarrollo de distintas tareas en otros ámbitos de la matemática, como por ejemplo, cuando trabajamos con otras métricas. Figura 33: Modos de pensar la elipse. 56 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 EJEMPLOS QUE ILUSTRAN EL MARCO TEÓRICO 1.- Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x) igual a 10 unidades, donde uno de los focos de la elipse es el punto F’ (3,0). Determine si el punto M (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede ubicar los puntos dados en el plano cartesiano y establecer si la figura que se forma al unir los puntos tiene una forma similar a la elipse que él conoce. También puede pensar en la opción en que existan otras elipses con las mismas condiciones (coordenadas de los focos y longitud del eje mayor) que pasen por otros puntos distintos a M en el eje y (ver Figura 34 y Figura 35) Figura 34: elipse que pasa por el punto M Figura 35: figura que no pasa por M Los argumentos posibles desde el modo SG no son suficientes para responder correctamente a la pregunta planteada. Un estudiante que se sitúa en un modo Analítico –Aritmético puede responder en forma correcta, utilizando argumentos como: 57 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Argumento 1: Puede recurrir a la relación algebraica , donde a es la longitud del semieje mayor, c es la semi distancia focal y b es la longitud del semieje menor. Conociendo c = 3 y a = 5 reemplaza , entonces b=4. Por lo tanto concluirá que M (0,4) es un punto de la elipse, ya que, coincide con unos de los vértices. Argumento 2: puede responder pensando en que si el punto M (0,4) pertenece a la elipse debe satisfacer la ecuación . Para ello determinaría los valores de a, b y c a través del argumento anterior y reemplazando en la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje x, , una vez encontrada la ecuación puede evaluar el punto M en ella, obteniendo la siguiente igualdad . - Un estudiante que coordine un modo SG con el modo AA puede graficar la elipse en el plano y mostrar que el punto pertenece a la elipse, basándose en los cálculos de los argumentos 1 y 2(ver Figura 36) Figura 36: modo AA de la elipse Un alumno desde un modo Analítico – Estructural piensa la elipse como un lugar geométrico de los puntos del plano tales la suma de sus distancias a los focos es siempre constante. Coordinando el modo AE con el modo SG de la elipse, puede ubicar los elementos dados en el plano cartesiano, para determinar la longitud de MF y MF’, para ello puede utilizar el teorema de Pitágoras o bien la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. Obteniendo MF + M F’=10. Luego puede determinar la distancia de unos de los puntos de los extremos del eje mayor (ver Figura 37 ) a F y luego a F’ y sumarlas, como AF= 2 y AF’= 8, la suma será 10 unidades. Por lo tanto puede concluir que el punto M pertenece a la elipse ya que 58 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 la suma de las distancias del punto a los focos es constante (igual a la longitud del eje mayor). Figura 37: modo AE de la elipse 2. Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ ( Figura 38 ) Figura 38: elipse en otras posiciones en el plano Un estudiante desde un modo analítico – estructural, puede determinar el valor de la constante de la elipse ( √ ) eligiendo un punto de coordenadas exactas y luego plantear la 59 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ecuación para un punto cualquiera de la elipse, utilizando la definición como lugar geométrico a través de las distancia entre un punto P(x,y ) y los focos de coordenadas (10,3) y (9,4) . Resultando una ecuación de la siguiente forma: √ √ √ Un estudiante que está en vías de comprender el AE de la elipse, puede determinar el valor de la suma de las distancias a los focos (constante) y tratar de determinar la ecuación solo para casos particulares (coordenadas exactas). O bien tratar de establecer la ecuación utilizando el valor de la constante y recurriendo a las ecuaciones que conoce. En este caso muestra argumentos de los modos AA y AE pero no logra interacción entre ellos, ya que, las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta al problema. Un estudiante que se sitúa únicamente en un modo analítico aritmético, tratará de establecer los valores de a, b y c para reemplazarlo en las ecuaciones que él conoce. 3.-Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos. Los estudiantes que logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y luego argumentar desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG- AE de la elipse. Ellos pueden graficar la elipse en el plano, utilizando técnicas analíticas para determinar los puntos. Podrían justificar que la figura obtenida es una elipse, ya que, la suma de las distancia a los focos es siempre 20 unidades (Figura 39) Figura 39: la elipse en los modos AA-SG-AE 60 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Si los estudiantes grafican la elipse en el plano y justifican en base a la figura obtenida logran transitar de un modo AA a un modo SG. Para la realización de la gráfica pueden utilizar técnicas analíticas como: buscar pares ordenados que cumplan con la ecuación o bien determinar los valores de los vértices de la elipse a partir de la relación pitagórica entre los elementos a, b y c. Los estudiantes que determina que la ecuación representa a una elipse argumentando a partir de la forma de la ecuación se sitúan en un modo AA y no logran establecer conexiones con los otros modos. 61 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO IV: REFERENTES METODOLÓGICOS 62 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 MARCO METODOLÓGICO A partir de los objetivos específicos de investigación 1. Indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus distintas definiciones en el plano cartesiano. 2. Indagar en los elementos de la matemática9 que propician el tránsito entre las definiciones de elipse como: sección cónica en el espacio/curva que la representa en el plano, como pares ordenados que satisfacen la ecuación de la elipse y como lugar geométrico. 3. Diseñar y aplicar actividades de aprendizaje que promuevan el tránsito entre los modos de pensamiento (Sintético-Geométrico, Analítico-Aritmético, AnalíticoEstructural) de la elipse, para estudiantes de la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento educacional chileno. Hemos considerado pertinente para los objetivos 1 y 3 utilizar un diseño metodológico cualitativo de, estudio de caso, estos “son particularmente apropiados para estudiar una situación en intensidad en un período de tiempo”, (Arnal, Del Rincón y Latorre, 1992). Los estudios de caso no pretende establecer leyes generales, si no se centra en realidades particulares de los sujetos, donde “el mundo personal de los sujetos no observable directamente ni susceptible de experimentación… [Son estudiados] en su globalidad sin fragmentarla y contextualizándola” (Arnal, Del Rincón y Latorre, 1992). El tipo de conocimiento que deriva de esta estrategia metodológica, es de un tipo de conocimiento conceptual, que sirve para comprender realidades concretas, dentro de un contexto global. Estos estudios permiten aproximarse a la complejidad de los múltiples y diferentes procesos que se desencadenan en el transcurso de una situación particular en estudio. Enfatiza tanto en aquellos elementos comunes de los casos, como en aquellos elementos diferenciadores que complejizan, diversifican y especifican cada una de las diferentes experiencias estudiadas. Entendemos que “La investigación de estudio de caso no es una investigación de muestras. No estudiamos un caso fundamentalmente para comprender otros casos. Nuestra primera obligación es comprender el caso concreto” (Stake 1995, pág. 4), pero si destacamos que estos son claves en la toma de decisiones. Los estudios de casos utilizan técnicas cualitativas en la recolección de datos como: Entrevista, observación, Cuestionarios, Análisis de documentos. Nos preocupamos, como señala Stake (1995), de seleccionar aquel caso que ofrezca las mejores y mayores oportunidades de aprendizaje con respecto a la problemática («issue») objeto de estudio 9 Conceptos matemáticos, nociones, propiedades. 63 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN A continuación presentamos las etapas de investigación (tabla 1) Etapa 1 : Estudio exploratorio Diseño metodológico Instrumento Población Estudio de caso Cuestionario 10 estudiantes que aprobaron el curso de álgebra y modelos analíticos. Etapa 2 : Análisis epistemológico y Matemático de la elipse Revisión documental Antecedentes epistemológicos y Matemáticos (revisión Bibliográfica ) Etapa 3 : diseño y aplicación de las actividades de aprendizaje del concepto elipse Diseño Metodológico Instrumento Población Estudio de caso Cuestionario Caso 1: 19 estudiantes que conocen la elipse (4° Año Medio ) Caso 2: 10 estudiantes que desconocen la elipse (2° Año Medio ) Caso 2: 11 estudiantes que desconocen la elipse (3° Año Medio ) Tabla 1: Etapas de Investigación 64 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 PRIMERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: CUESTIONARIO EXPLORATORIO En relación al primer objetivo de investigación, realizaremos un estudio de caso, de tipo exploratorio, estos nos permiten aproximarnos a fenómenos desconocidos, contribuyendo con ideas que puedan documentar la problemática planteada. Con el fin de indagar en los modos de pensamiento que privilegian estos estudiantes. EL CUESTIONARIO EXPLORATORIO El cuestionario exploratorio se diseñó con el fin de indagar en los modos de comprender la elipse que prevalecen en los estudiantes que aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos de un establecimiento educacional chileno, y explorar si estos modos permiten movilizar la elipse en sus distintas definiciones en el plano cartesiano. Además nos permite documentar nuestra problemática de investigación. El instrumento (ver anexo 1) consta de cinco preguntas abiertas. Las dos primeras preguntas del cuestionario se crearon con el objetivo de verificar si los estudiantes reconocen la ecuación que define a la elipse, que es el objetivo que propone el programa de estudio. Las siguientes tres preguntas del cuestionario dan evidencias sobre la forma en que los informantes comprenden la elipse. LOS ESTUDIANTES DEL GRUPO EXPLORATORIO Unidad de análisis: Grupo de 10 estudiantes de buen rendimiento10 de un establecimiento educacional de dependencia compartida (particular subvencionado). Ellos aprobaron la asignatura de álgebra y modelos analíticos (donde se trata la elipse). Actualmente (2012) cursan cuarto año de enseñanza Media. Este grupo de informantes pertenecen a un establecimiento educacional de la comuna de Ovalle, dónde actualmente tiene acceso uno de los investigadores. Ellos accedieron voluntariamente a ser partícipes de esta investigación. SEGUNDA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: ANÁLISIS DOCUMENTAL En relación al segundo objetivo de investigación, indagamos de los elementos de la matemática que permiten conectar las distintas definiciones de elipse y además ayudan en su comprensión (ver capitulo II). Para ello realizaremos una revisión documental, entendida como: “el proceso dinámico que consiste esencialmente en la recogida, clasificación, recuperación y distribución de la información” Latorre, Rincón y Arnal (2003, pág. 58). A partir del análisis realizado documentamos las posibles conexiones entre las distintas definiciones de elipse (ver capitulo II, conexiones entre las distintas definiciones de elipse). 10 Promedio sobre 5,0 de una escala de 1,0 a 7,0. 65 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 TERCERA ETAPA DE INVESTIGACIÓN: DISEÑO DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA EL ESTUDIO DEL CONCEPTO ELIPSE. Para el tercer objetivo específico, diseñamos un conjunto de actividades con el fin de documentar las articulaciones entre los tres modos SG–AA–AE de la elipse. Estas actividades fueron construidas desde la teoría de los modos de pensamiento y utilizando elementos encontrados en las indagaciones epistemológicas, matemáticas (Referidas al segundo objetivo de investigación). OBJETIVOS DEL CUESTIONARIO Indagar en los elementos11 que propician el tránsito entre los distintos modos de comprender la elipse, y evidenciar la naturaleza de ellos, es decir, sus características geométricas, analíticas o estructurales (si es pertinente). Obtener evidencia empírica con sustento teórico para dar respuesta al objetivo general de investigación. DESCRIPCIÓN Y FUNDAMENTACIÓN DEL CUESTIONARIO Esta secuencia de actividades(Ver anexo 3 ) presentadas en 18 preguntas fue diseñada para aplicarlas tanto a estudiantes que han visto la elipse en cursos anteriores al año 2012, es decir, estudiantes que cumplen con el objetivo que propone el programa, este es, identificar las ecuaciones que describen la elipse, y también para aquellos que se introducen por primera vez en el estudio de este concepto. Se consideró pertinente realizar modificaciones en algunas de las preguntas del cuestionario diseñado para el primer caso, debido a que los conocimientos previos de los grupos son distintos. Estas modificaciones se explican al finalizar el análisis a priori del guión del cuestionario inicial. (Ver capítulo 6) Las actividades diseñadas a lo largo de todo el cuestionario son en su mayoría distintas a las presentadas en el programa de estudio y libros de geometría analítica, ya que buscamos generar conflicto en los estudiantes en base a los conocimientos ya enseñados, para ver de qué forma se enfrenta a las actividades y que conocimientos pone en juego a la hora de responder. Es importante destacar que el tipo de actividades en este caso, “mostrar ejemplos”, “mostrar definiciones”, “mostrar justificaciones” son situaciones que exhiben el 11 pueden ser: nociones, conceptos matemáticos, propiedades de los conceptos. 66 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 estado de comprensión del estudiante en torno al concepto elipse a medida que avanza en el desarrollo del cuestionario. La intención del cuestionario es indagar en las conexiones entre los modos de pensar la elipse en el plano: sintético - geométrico, analítico- aritmético y analítico- estructural y los modos sintético - geométrico y analítico estructural en el espacio que presentan los estudiantes en distintos niveles (segundo, tercer y cuarto año de enseñanza media) Para ello los estudiantes serán enfrentados a diversas situaciones que fueron diseñadas en su totalidad para documentar las articulaciones entre los tres modos SG–AA–AE de la elipse, que muestran a través de su argumentación a las distintas preguntas, y por sobre todo indagar en el modo en que sitúa y como a partir de este va articulando con otros. Consideramos importante dar prioridad al tránsito entre SG- AE de la elipse, debido a que investigaciones anteriores han evidenciado que los estudiantes que logran establecer mejores conexiones entre los modos de pensamiento son aquellos que presentan una mayor comprensión de la definición formal de los conceptos. Entre relación a ellos Bozt y Parraguez (2011) concluyen para sus objetos matemáticos de estudio “Cada vez que los estudiantes lograron transitar entre los modos de pensamiento el argumento que se puede observar tenía que ver con la definición formal del concepto tanto de dependencia e independencia lineal de vectores como de solución de un sistema de ecuaciones lineales” (p.12) Ochoviet y Oktac (2009) en relación al estudio del concepto solución de ecuaciones lineales en estudiantes de entre 14 y 15 años sugieren “presentar a los estudiantes situaciones que involucren sistemas con diferente número de ecuaciones y que tengan diferente conjunto solución, situaciones en las que el alumno deba explicar por qué tal o cual punto (par) es solución del sistema o por qué tal o cual punto (par) no lo es” (p.268) LOS CASOS EN ESTUDIO Utilizaremos la metodología de estudio de caso múltiple. Nuestra participación como investigadores es moderada, ya que, somos los encargados de la toma de datos y además responderemos algunas dudas que puedan surgir durante el desarrollo del cuestionario. 67 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Unidades de análisis CASO 1: El primer grupo de 19 estudiantes aprobaron el curso de álgebra y modelos analíticos (tercer año medio plan científico) y actualmente cursan cuarto año medio. Estos estudiantes han trabajado la elipse, dando prioridad a las ecuaciones que las describen, por lo tanto, queremos indagar en las conexiones entre los modos de pensar la elipse que realizan los estudiantes con los conceptos que logran comprender en el desarrollo del cuestionario y los conocimientos previos. Además 10 de estos estudiantes participaron en el cuestionario exploratorio, priorizando argumentos analíticos al enfrentarse a las preguntas. Por lo tanto, indagaremos en los modos de pensamiento que priorizan estos estudiantes para responder a las preguntas planteadas. CASO 2: El tercer grupo de estudiantes (10 estudiantes) son estudiantes de segundo año medio, los cuales, desconocen el concepto elipse y además presentan menos herramientas matemáticas en comparación a los demás grupos. En este último grupo se seleccionaron los 10 estudiantes que presentan mejores calificaciones en la asignatura de matemática, debido a que, son aquellos que presentan mayores posibilidades de pertenecer al plan científico en los años posteriores. Elegimos estos estudiantes porque consideramos importante evidenciar cuales son las conexiones posibles entre los modos de comprender la elipse, que logran realizar los estudiantes a medida que avancen en el desarrollo de las actividades y cuáles son los elementos de la matemática que ponen en juego. CASO 3: El segundo grupo de 11 estudiantes, cursan la asignatura de álgebra y modelos analíticos (tercer año medio), pero aún no han trabajado en los temas relativos a lugares geométricos, por lo tanto, desconocen la elipse. Elegimos estos estudiantes al igual que el caso 2 consideramos importante evidenciar cuales son las conexiones posibles entre los modos de comprender la elipse, que logran realizar los informantes a medida que avancen en el desarrollo de las actividades. Con los conocimientos matemáticos que tienen hasta el momento. Los casos 1 y 3 corresponden a la totalidad de alumnos del plan científico de un establecimiento educacional de la comuna de Ovalle, dónde actualmente tiene acceso uno de los investigadores. Todos los informantes accedieron voluntariamente a ser partícipes de esta investigación. VALIDACIÓN DE LOS INSTRUMENTOS Los cuestionarios aplicados a los estudiantes fueron sometidos a diversas instancias de co-evaluación por un grupo de didactas que ha realizado investigaciones utilizando el marco teórico de los modos de pensamiento. 68 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO V: ANÁLISIS A PRIORI Y RESULTADOS DE CUESTIONARIO EXPLORATORIO 69 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS A PRIORI DEL CUESTIONARIO 1.- A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R. Explica cual o cuales de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la respuesta. Esta pregunta tiene por objetivo, verificar si los estudiantes identifican las ecuaciones que describen la elipse. Los estudiantes para responder se pueden situar en los modos: Analítico – aritmético: puede dar argumentos de acuerdo a la forma de la ecuación. Sintético – geométrico: puede graficar puntos que satisfacen la ecuación y verificar que la figura que se forma es una elipse. Analítico – estructural: los estudiantes puede determinar algunos puntos de la figura y verificar si la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante. 2.- Determine la ecuación de la elipse de la figura 1. Explique en detalles el procedimiento que ha realizado. Figura 1 Con esta pregunta se espera verificar si los estudiantes reconocen la ecuación cartesiana de la elipse con centro en el origen. Un estudiante que se puede situar en un modo: Analítico – Aritmético: Utilizando la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje y, como a=6 y b=3√3 y reemplazará en la ecuación , resultando: Analítico – Estructural: puede tomar un punto cualquiera de elipse P (x,y) y utilizando la definición de la elipse como lugar geométrico puede pensar que , : d(PF)+d(PF’) = 2a. como conoce las coordenadas de los focos y la medida de a (6 unidades ) puede plantear la 70 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 siguiente ecuación : √ √ y al desarrollar los cálculos puede llegar a la ecuación : 3) Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x) igual a 10 unidades, donde uno de los focos es el punto (3,0). Determine si el punto (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta. Un estudiante puede situarse en los modos: Sintético – geométrico: puede ubicar los puntos dados en el plano cartesiano y establecer si la figura que se forma al unir los puntos tiene una forma similar a la elipse que él conoce. También puede pensar en la opción en que existan otras elipses con las mismas condiciones (coordenadas de los focos y longitud del eje mayor) que pasen por otros puntos distintos a M en el eje. Analítico –Aritmético: puede responder en forma correcta, utilizando argumentos como: Argumento 1: Puede recurrir a la relación algebraica entre los elementos a, b y c, donde a es la longitud del semieje mayor, c es la semi distancia focal y b es la longitud del semieje menor. Obteniendo b=4. Por lo tanto concluirá que M (0,4) es un punto de la elipse, ya que, coincide con unos de los vértices. Argumento 2: puede responder pensando en que si el punto M (0,4) pertenece a la elipse debe satisfacer la ecuación . Para ello determinaría los valores de a, b y c a través del argumento anterior y reemplazando en la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje x, una vez encontrada la ecuación puede evaluar el punto M en ella, obteniendo la siguiente igualdad . Modo Analítico – Estructural: puede pensar la elipse como un lugar geométrico de los puntos del plano tales la suma de sus distancias a los focos es siempre constante. Coordinando el modo AE con el modo SG de la elipse, puede ubicar los elementos dados en el plano cartesiano, para determinar la longitud de MF y MF’, para ello puede utilizar el teorema de Pitágoras o bien la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. Obteniendo MF + M F’=10. Luego puede determinar la distancia de unos de los puntos de los extremos del eje mayor (ver figura 4) a F y luego a F’ y sumarlas, como AF= 2 y AF’= 8, la suma será 10 unidades. Por lo tanto puede concluir que el punto M pertenece a la elipse ya que la suma de las distancias del punto a los focos es constante (igual a la longitud del eje mayor). 71 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 4) En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P ( √ ) de la elipse a un foco mide 11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta. Los estudiantes pueden responder desde un modo: Analítico – aritmético: a partir de los datos dados obtenemos a= 10, b=6 a través de la relación entonces c=8. Las coordenadas del otro foco es (-8,0). Luego calculamos la distancia de P al otro foco. La distancia de P al otro foco es 11. Analítico – estructural: Utilizando la definición como lugar geométrico y conociendo la medida del eje mayor. Puede obtener que: como la distancia de P a un foco es 11, por lo tanto, la distancia de P al otro foco es 9. Sintético – Geométrico: puede dibujar la elipse en el plano cartesiano y estimar la medida del segmento PF. 5.- En la Figura 3, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y F’. Figura 3 Un estudiante puede responder desde un: Modo analítico – aritmético: realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16 cm y luego podrán determinar que la medida de BF+BF’ o bien AF+AF’ es igual a la longitud del eje mayor (AB), por lo tanto, la medida de AB es 16 cm. Sintético – geométrico: para responder trataran de estimar la medida de AB, en relación a las medidas conocidas. 72 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 IMPLEMENTACIÓN DE LA SITUACIÓN La situación que se implementó en la investigación corresponde a la aplicación de un cuestionario a 10 estudiantes de un establecimiento educacional de dependencia compartida (particulares subvencionados), chilenos, estudiantes que aprobaron el curso de álgebra y modelos analíticos. Toma de datos La toma de datos consistió en la aplicación del cuestionario a principio de abril, el cual respondió cada uno de los 10 estudiantes que conforman el grupo exploratorio de manera individual, en 90 minutos aproximadamente. ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO EXPLORATORIO Aplicamos un cuestionario exploratorio a 10 estudiantes de buen rendimiento12 que aprobaron el curso de Álgebra y Modelos Analíticos. Llamamos a los informantes de este grupo exploratorio como I1, I2, I3, I4……..I10. A continuación se presenta el análisis a posteriori de las preguntas del cuestionario. Pregunta 1: A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R. Explica cuál o cuáles de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la respuesta. Resultados de la pregunta 1 7 de los estudiantes se sitúan en un modo AA para responder, estableciendo cuál de las ecuaciones corresponde a elipse por la forma de la ecuación. Los demás estudiantes se sitúan en un modo SG realizando la gráfica de la elipse. A continuación se muestran ejemplos de respuestas 12 Calificaciones superiores o iguales a 5,0 en una escala de 1,0 a 7,0. 73 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El informante I7, se sitúa en un modo SG para responder, ya que, concluye a partir de la gráfica. Para establecer la gráfica se basa en la relación de los elementos de a, b y c. Figura 40: Respuesta del informante 7 El estudiante I6 argumenta desde un modo AA, cuando escribe “entonces la ecuación cumple con la ecuación de la elipse” además determina los valores de a y b. Figura 41: respuesta del informante 6 El estudiante I8, en la ecuación b) se sitúa en un modo AA, claramente reconoce las ecuaciones que describen la elipse y la hipérbola Figura 42: respuesta del informante 8 74 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante I5, también se sitúa en un modo AA, determinando que la ecuación “no corresponde a una elipse, según su fórmula que es…...” Figura 43: respuesta del estudiante 5 Pregunta 2: Determine la ecuación de la elipse de la figura1. Explique en detalles el procedimiento que ha realizado. Figura 1 Resultados de la pregunta 2 Los estudiantes I1, I3, I4, I5, I6, I7, I9, I10. Se sitúan en el modo Analítico – Aritmético, identifican los valores de a y b en la gráfica y luego reemplazan en la ecuación. A continuación se muestra solo un ejemplo, debido a que respuestas similares. los estudiantes presentan 75 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 44: respuesta del informante 4 Los estudiantes I2, I8 se sitúan en un modo AA, pero responden en forma errónea confundiendo la forma de la ecuación con respecto a los valores de a y b. Como se muestra a continuación: Figura 45: respuesta del informante 8 Pregunta 3: Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x) igual a 10 unidades, donde uno de los focos de la elipse es el punto F’ (3,0). Determine si el punto M (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta Resultados de la pregunta 3 Los estudiantes I2, I3, I4, I6, I7, I8, I9, I10 abordan la pregunta desde un modo Analítico –Aritmético. Los I3, I7, I9, I10 responden en forma correcta determinando el valor de b a partir de la relación algebraica entre a, b y c. A continuación mostramos la respuesta de uno de los estudiantes. Figura 46 : respuesta del informante 3 76 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante I8 muestra en sus desarrollos(Figura 47) elementos que evidencian la interaccion entre los modos SG y AA de la elipse en relacion a los valores de a , b y c . Figura 47 : respuesta del informante 8 El I4 muestra evidencias de un modo analítico- aritmético al escribir” si reemplazamos el punto en la ecuación cumple la igualdad”. También tiene en mente una relación para a, b y c pero plantea en forma incorrecta. Sus argumentos muestran algunos elementos de AA y de SG pero no son suficientes para establecer una respuesta. Figura 48 : respuesta del informante 4 El I6 realiza cálculos relacionados con la ecuación, sin establecer una respuesta. 77 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Pregunta 4: En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P ( √ ) de la elipse a un foco mide 11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta. Respuesta de la pregunta 4 En esta pregunta la mayoría de los estudiantes (7 ) aborda la pregunta desde un modo AA, uno de ellos se sitúa en un modo SG y los otros 2 no responden. El informante I7, se sitúa en un modo AA para responder, utiliza la relación entre los valores de a , b y c para obtener las coordenadas de los focos , realiza la gráfica de la elipse(SG), luego utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, determina la distancia del punto P a uno de los focos , obteniendo un valor cercano a 9. El estudiante no comprende que significa “que el punto este en la elipse” al parecer piensa que está en el interior. Figura 49: respuesta del informante 7 El informante I9, responde desde un modo AA, encuentra las coordenadas de los focos y complementa con el modo SG determinando su gráfica, al igual que el informante 7 muestra en sus argumentos dificultades para ubicar el punto P. lo ubica en el interior de la figura. A través de procedimientos algebraicos, obtiene la distancia de P a unos de los focos, el valor se aproxima a 9. 78 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 50: respuesta del informante 9 Pregunta 5: En la Figura 2, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y F’. Figura 2 Resultados de la pregunta 5 Los estudiantes I1, I3, I10 no responden. Los estudiantes I2, I6, I7 se sitúan en un modo SG para responder, suponen que el triángulo que se forma es rectángulo en P, uno de ellos (Figura 52) argumenta desde el teorema de la circunferencia (todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto) y los demás se guían por la representación usual de un triángulo rectángulo (Figura 47). 79 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 51 : respuesta del informante 7 Figura 52: Respuesta del informante 6 El I4 argumenta que no se puede determinar la longitud pedida, por falta de datos. Esto evidencia que los estudiantes I1, I2 I3, I6, I7, I10 no se sitúan en un modo AE para enfrentar la pregunta. Los estudiantes I5, I8, I9 argumentan “que la suma es constante igual a 21” (ver Figura 53) pero no lo relacionan con la longitud del eje mayor. Muestran evidencias de estar en vías de comprender el modo AE de la elipse. Figura 53 : respuesta del informante 8 Ninguno de los estudiantes logra responder correctamente la pregunta. 80 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONCLUSIONES EN RELACIÓN AL PRIMER OBJETIVO DE INVESTIGACIÓN La mayoría de los estudiantes del caso 1 logran identificar la ecuación de la elipse con el centro en el origen, reconocen la expresión algebraica que la describe, cumpliendo con los objetivos que propone el programa en relación al concepto. La mayoría de estos estudiantes muestran en sus argumentos evidencias del tránsito entre los modos SG y AA de la elipse, es decir, son capaces de graficar la elipse dada la ecuación o bien obtener la ecuación a partir de la gráfica (conociendo focos y vértices). Los mismos estudiantes presentan grandes dificultades para pensar el concepto en un modo analítico - estructural. Esto queda en evidencia, por los argumentos que priorizan los estudiantes en las preguntas 4 y 5, Al parecer para ellos la elipse está definida por una ecuación y no por una propiedad geométrica. Si bien tres de los estudiantes muestran en la pregunta 5, indicios de conocer el AE de la elipse no logran establecer conexiones entre los modos SG y AE. Las estrategias que muestran los estudiantes corresponden a los modos AA o SG de la elipse, por lo tanto, en algunos casos (pregunta 5) no son suficientes para dar una respuesta. Evidenciamos también que los estudiantes no comprenden la elipse como un conjunto de puntos, si no, más bien como una figura. En la pregunta 4 la mayoría de los estudiantes no saben dónde ubicar el punto P, aunque dice claramente en el planteamiento del problema que P es un punto de la elipse. En conclusión, la noción de elipse que construyen estos estudiantes del plan científico tercer año medio de la asignatura algebra y modelos analíticos permite movilizar la elipse entre su gráfica (dado algunos elementos) y las ecuaciones cartesianas que la definen. Utilizando elementos en su mayoría analíticos, como: las ecuaciones con centro en el origen, la forma de la ecuación, la relación entre los valores a, b y c, la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, entre otros. A partir de estos resultados donde evidenciamos que el enfoque tradicional en estos estudiantes no permite una comprensión profunda del concepto, consideramos pertinente promover la enseñanza del concepto elipse a partir de la interacción entre los distintos modos de comprender la elipse. 81 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO VI: INTENCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE. 82 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 INDICADORES A PRIORI DE TRÁNSITO ENTRE LOS MODOS DE COMPRENDER LA ELIPSE EN EL CUESTIONARIO Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético – geométrico y Analítico – estructural e interactuar entre ellos, son capaces de: establecer una definición (AE) de la elipse donde determinan la característica que presentan sus puntos en relación a los focos, a partir de la representación gráfica (SG1) de la elipse, ya sea en el plano del taxista o en el plano cartesiano. Y una vez comprendida la definición la pueden graficar sin problemas. Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético – geométrico, Analítico -estructural y analítico – aritmético e interactuar entre ellos, son capaces de: a partir de la representación de la elipse en el plano (SG1), determinar la propiedad que la define (AE) y utilizar esta propiedad para establecer las ecuaciones (AA), independiente del centro que estas posean, solamente conociendo los focos y algún punto de ella. También deberían ser capaces conociendo la ecuación (AA), graficar la elipse (SG1) y determinar el valor de la constante de la suma de los puntos de la elipse a los focos (AE). Del mismo modo, comprendiendo la definición de elipse en el plano (AE), deberán encontrar la ecuación (AA) y su representación gráfica (SG1). SG1: Representación de la elipse en el plano AA: Ecuación de la elipse en el plano AE: la elipse como lugar geométrico de todos los puntos del plano talque la suma de sus distancias a los focos es constante (mayor que la distancia entre los focos). Figura 54 : Modos de comprender la elipse en el plano. Los estudiantes que muestran en sus argumentos comprender la elipse en un modo sintético – geométrico y Analítico – estructural e interactuar entre ellos en el espacio, son capaces de: Una vez conocida la representación de la elipse en el plano (SG1), establecer todas las posiciones de los planos que generan la elipse, al intersecar un plano y un cono (SG2) en el espacio. y a partir de la elipse que se establece en los cortes del cono(SG2), deberán identificar si cumplen las propiedades que la definen (AE). SG1: representación de la elipse en el plano SG2: representación de la elipse en el espacio Figura 55: modos de comprender la elipse desde el plano al espacio AE: la elipse como lugar geométrico de todos los puntos del plano talque la suma de sus distancias a los focos es constante. (mayor que la distancia entre los focos). 83 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 DESCRIPCIÓN GENERAL E INTENSIÓN DE LAS ACTIVIDADES La primera pregunta del cuestionario (ver anexo 3) tiene por objetivo explorar el SG del estudiante, esto permite evidenciar la representación asociada al concepto en estudio que posee el estudiante al momento de realizar el cuestionario, información importante en el análisis de las posibles conexiones entre los modos de comprender la elipse, que realizan los informantes que tienen una representación asociada y los que no cuentan con ella. La primera de las actividades es presentada en la geometría del taxista, llamamos “Geocity” a una ciudad ficticia en donde los taxistas recorren la ciudad transitando por las calles paralelas llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y siempre utilizan los recorridos más cortos posibles. Elegimos esta actividad para iniciar a los aprendices en el estudio del concepto elipse, por que, la distancia discreta facilita la comprensión de la propiedad que define a la elipse (AE). En esta situación se presenta una serie de preguntas que pretenden en el estudiante propiciar el tránsito entre los modo sintético geométrico y analítico estructural de la elipse. Las actividades a, b, c, d se diseñaron con el fin de “familiarizar” al estudiante con los elementos propios de la geometría del taxista: cuadras para medir la distancia entre dos puntos, una cantidad finita de calles y avenidas, distancia discreta (no continua), entre otros. Las actividades e, f, g, h muestran los posibles tránsitos que realiza el estudiante entre los modos SG –AE y AE-SG de la elipse en “geocity”. La segunda actividad tiene por objetivo evidenciar los tránsitos que realizan los estudiantes entre los modos sintético geométrico, analítico estructural y analítico aritmético de la elipse en el plano cartesiano, para ello diseñamos una serie de preguntas en donde se dispone de elipse en distintas posiciones en el plano, en algunas de ellas se han realizado rotaciones y traslaciones de elipse con centro en el origen, para ver a que modo de pensamiento recurre el estudiante al enfrentar las preguntas. En la tercera actividad, las dos primeras preguntas tienen por objetivo dar a conocer que modo priorizan los estudiantes cuando estas son planteadas en un modo AA y en un modo SG. Más bien, queremos evidenciar si recurren a un modo AE o siguen recurriendo a las ecuaciones que es a lo que están acostumbrados. Las siguientes cuatro preguntas muestran los argumentos que utilizan los estudiante en el tránsito de SG1-SG2-AE del plano al espacio. Para ello planteamos dos actividades en donde puedan determinar las posiciones de los planos que generan la elipse al intersecar el plano y el cono. Posterior a ello 84 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 presentamos una animación en cabrí, software de geometría dinámica, donde se muestra la elipse con las esferas que se pueden inscribir en el cono, esferas tangentes al plano y donde sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. La intención es evidenciar la naturaleza de los argumentos que presentan los estudiantes para justificar que la figura que se forma es una elipse y cuales son los elementos de la matemática que pone en el juego al momento de dar sus justificaciones. ANÁLISIS A PRIORI DE LAS ACTIVIDADES DEL CUESTIONARIO En cada una de las actividades propuestas en el cuestionario, se dan a conocer las posibles respuestas, clasificándolas de acuerdo a los modos de pensamiento en que sitúan los estudiantes para dar sus argumentos. 1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en dibujos para responder. El objetivo de esta pregunta es explorar el modo sintético geométrico de la elipse que posee el informante. Se espera que los estudiantes puedan dar las siguientes respuestas: R1: Representación de la elipse en el plano (Figura 56) Figura 56: representación de la elipse en el plano (SG1) R2: Representación de la elipse en el espacio (Figura 57 Figura 57: Representación de la elipse en el espacio (SG2) R3: no tiene ninguna representación asociada a la elipse. 85 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ACTIVIDAD 1: 1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y siempre utilizan los recorridos más cortos posibles. Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura Figura 1 a) Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista. Se espera que el estudiante marque en la figura 1: R1: los caminos más cortos posibles entre A y B, se estrategias de los estudiantes se podrían diferenciar entre: los estudiantes que se sitúan en un modo un SG, marcaran los recorridos mas cortos dando respuestas como las que se presentan a continuación: Figura 58: Recorridos más cortos entre desde A a B. Otra estrategia que pueden utilizar los estudiantes, situándose en un modo analítico. Pensaran en las posibles combinaciones de calles y avenidas para llegar de A a B. por ejemplo: CCAAA, AAACC, ACACC, AACCA, etc . 86 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R2: Estudiantes que establecen recorridos deteniéndose en las esquinas, pero muestran no solo aquellos que son mas cortos (Figura 59). Figura 59: Ejemplos de recorridos entre A y B R3: estudiantes que establecen recorridos utilizando la distancia usual. Figura 60: distancia usual b) Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”. Se espera que el estudiante responda: R1: 5 cuadras R2: otras En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A esa distancia se le conoce como radio. c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3. d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. En c y d, clasificamos las posibles respuestas de los estudiantes en: R1: Un estudiante que logra transitar de la definición de circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista dibujará circunferencias como la siguiente: 87 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 61: circunferencia en la geometría del taxista R2: Un estudiante que no logra comprender la noción de distancia en la geometría del taxista, recurrirá a su representación usual de la circunferencia y las graficará como sigue: Figura 62: circunferencia de radio 3 con la distancia usual R3: grafica otros puntos al azar. e) Las figuras 2, Figura 3, figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos. Figura 2 Figura 3 88 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 4 Se espera que los estudiantes puedan pensar la elipse como un conjunto de puntos que cumplen una cierta condición. La distancia discreta facilita la comprensión de la propiedad que tienen los puntos de las elipses en relación a los focos en el hecho de que se puedan contar las cuadras. Las respuestas permitan evidenciar si los estudiantes a través de los elementos en juego (distancia, lo discreto, regularidades) pueden transitar desde un modo sintético geométrico a un modo analítico – estructural. Considerando los posibles argumentos clasificamos las respuestas de la siguiente forma: R1:Estudiantes que establecen que la suma de las distancias de los puntos de una elipse a los focos es siempre constante, determinado la medida de la suma correctamente en todas las figuras dadas. Muestra evidencias del AE de la elipse R2: Estudiantes que establecen que la sumas de las distancias de los puntos en relación a los focos es constante, solo en algunas de las figuras. Muestran que esta en vías de comprender un modo AE de la elipse. R3: Si el estudiante observa otras regularidades presente en cada una de las figuras, como: simetrías respecto a un punto o a una recta. Este se sitúa en un modo SG para responder. f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”. Ésta actividad evidencia el tránsito de un modo AE de la elipse a partir de la actividad anterior (e) a un modo SG de la elipse. Las posibles respuestas las podríamos clasificar en: R1: Estudiantes que manifiestan descriptores de tránsito de un modo AE a un modo SG, es decir, dibujar un conjunto de puntos de “geocity” tal que la suma de los puntos a los focos sea constante. 89 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R2: Estudiantes que logran establecer algunos puntos específicos que dan cuentan de la condición “la suma de la distancia de los puntos a los focos es constante” están en vías de comprender el concepto elipse desde un modo AE. Estos estudiantes no logran comprender la elipse como un conjunto de puntos. R3: Estudiantes grafican figuras similares a las presentadas en las actividad anterior. Ellos se sitúan en un modo SG para responder. g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”. Las posibles respuestas las clasificamos en: R1: Estudiantes que logran transitar de SG- AE de la elipse definiéndola como un conjunto de puntos de “geocity” tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante. R2: Estudiantes que están en vías de comprender el AE de la elipse, en su definición dan cuentan sólo de la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante”. R3: los Estudiantes que describen características geométricas (como simetrías, etc) de las elipses. Ellos se sitúan en un modo sintético – geométrico para responder a la pregunta. f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” . Figura 6 Figura 7 Ésta pregunta permite evidenciar si los estudiantes transitan desde un modo SG a un modo AE de la elipse. Las posibles respuestas se clasifican en: R1: Los estudiantes que se sitúan en un modo AE, responderán que la figura 6 no es una elipse, por que hay puntos que no cumplen la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante”. En cambio en la figura 7 todos los puntos cumplen. R2: Los estudiantes que prueban solo para algunos puntos de la elipse, significa que están en vías de construcción de un modo AE de la elipse, ya que, entienden la elipse como puntos que cumplen una condición. R3: Estudiantes que responden argumentado desde las características” observables” de la elipse, es decir, se sitúan en SG para contestar. 90 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ACTIVIDAD 2 1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos de la elipse. Figura 8 Figura 10 Figura 9 Figura 11 Esta actividad busca que los estudiantes puedan identificar la propiedad que define la elipse en el plano cartesiano. Para ello presentamos elipses en distintas posiciones, en cada una de las figuras se dan algunas coordenadas exactas, con el fin de facilitar el cálculo de las distancias. Los conceptos matemáticos en juego son: distancia entre dos puntos del plano (fórmula o bien teorema de Pitágoras), plano cartesiano. Las respuestas permiten evidenciar el tránsito de los estudiantes de un modo sintético geométrico a un modo analítico – estructural. Considerando los posibles argumentos clasificamos las respuestas de la siguiente forma: R1: Estudiantes que establecen que la suma de las distancias de los puntos de una elipse a los focos es siempre constante, determinado la medida de la suma correctamente en todas las figuras dadas. Logra comprender el AE de la elipse en el plano cartesiano. 91 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R2: Estudiantes que establecen que la sumas de distancias de los puntos en relación a los focos es constante, solo en algunas de las figuras. Esta en vías de comprender un modo AE de la elipse. R3: Estudiantes que observa otras regularidades presente en cada una de las figuras. No logran transitar al AE de la elipse, puede pensar la elipse solo en SG. 2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano Las respuestas las clasificamos en: R1: Estudiantes que logran transitar de SG- AE de la elipse definiéndola como un conjunto de puntos del plano cartesiano tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante. R2: Estudiantes que están en vías de construir el AE, en su definición dan cuentan sólo de la condición “la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante”. R3: Los estudiantes que describen características geométricas (como simetrías, etc) de las elipse dadas se sitúan en un modo sintético – geométrico. 3.-En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’. Figura 12 En esta actividad se presenta una elipse en el plano cartesiano con centro distinto al origen, que es donde los estudiantes han trabajado. Además a la elipse se le ha realizado una rotación y en relación a los puntos A y B no se conocen exactamente las coordenadas. 92 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Se espera que los estudiantes puedan responder a una pregunta planteada situándose en un modo AE. Para ello deberán identificar las coordenadas de al menos un punto de la elipse y determinar la suma de las distancias del punto a los focos. Por lo tanto clasificamos la respuesta en: R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE de la elipse para responder, buscan un punto de la elipse y determina la suma de las distancias del punto a los focos y luego lo relacionan con la longitud del eje mayor. R2: Estudiantes que tratan de determinar el valor de AB, utilizando estrategias de un modo SG, como: estimar la medida de AB, estimar las coordenadas y luego calcular la distancia. 4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno de ellos. Figura 13 En esta pregunta pretende mostrar los modos de pensamiento que privilegian los estudiantes, cuando se enfrentan a preguntas relacionadas con las ecuaciones. R1: El estudiante identifica la definición de la elipse como lugar geométrico como unos de los argumentos para determinar la ecuación. Éste tipo de respuesta muestra evidencias del tránsito SG – AE – AA de la elipse. R2: El estudiante argumenta desde un modo analítico – aritmético, reemplazando los valores de a y b en la ecuación de la elipse con centro en el origen. Este estudiante establece conexiones entre los modos SG- AA de la elipse. 93 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R3: El estudiante que identifica algunas relaciones algebraicas entre los valores de a,b y c, pero no logra establecer la ecuación pedida. Muestra argumentos del modo AA que en este caso no son suficiente para encontrar la ecuación. 5.- Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ (figura 14) Figura 14 Esta actividad busca evidenciar el o los modos de pensamiento a los cuales recurren los estudiantes cuando se enfrentan a preguntas relativas a las ecuaciones. Clasificamos las respuestas, considerando los siguientes argumentos R1: Si para establecer la ecuación los estudiantes se sitúan en un modo analíticoestructural, elegirán un punto de coordenadas exactas para determinar la constante de la elipse. Y luego plantearán la ecuación para un punto P(x,y) de la elipse utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. R2: Si los estudiantes logran determinar el valor de la suma de las distancias de los puntos a los focos (constante) y trata de determinar la ecuación solo para casos particulares (coordenadas exactas) ,muestra elementos del AE pero no logra transitar a AA. R3: si los estudiantes determinan la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los focos (constante). y trata de establecer la ecuación recurriendo a las ecuaciones que conoce, muestra elementos de AE y AA pero no logra coordinarlos , ya que , no se da cuenta que las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta a la pregunta. 94 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R4: si el estudiante para responder se sitúa solo en un modo analítico aritmético, tratará de establecer los valores de a, b y c para reemplazarlo en las ecuaciones que el conoce. Este estudiante no se da cuenta que las ecuaciones conocidas no son suficientes para dar respuesta a la pregunta. ACTIVIDAD 3 1.-Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos. Esta pregunta es planteada en un modo AA, por lo tanto, queremos descubrir en que modos de pensamiento se sitúan los estudiantes para argumentar: R1: Los estudiantes que logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y luego argumentar desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG-AE de la elipse. Ellos pueden graficar la elipse en el plano, utilizando técnicas analíticas para determinar los puntos. Podrían justificar que la figura obtenida es una elipse, ya que, la suma de las distancia a los focos es siempre 20 unidades. R2: Los estudiantes que grafican la elipse en el plano y justifican en base a la figura obtenida logran transitar de un modo AA a un modo SG. Para la realización de la gráfica pueden utilizar técnicas analíticas como: buscar pares ordenados que cumplan con la ecuación o bien determinar los valores de los vértices de la elipse a partir de la relación pitagórica entre los elementos a, b y c. R3: Los estudiantes que determina que la ecuación representa a una elipse argumentando a partir de la forma de la ecuación se sitúan en un modo AA y no logran establecer conexiones con los otros modos. 2.-La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de una justificación? Y ¿cuáles? Figura 15 95 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Esta pregunta esta planteada en SG, queremos evidenciar en que modos los estudiantes se situan para responder : R1: Un estudiante desde un modo analítico estructural, puede argumentar de las siguientes maneras: Puede pensar en determinar las distancias (medir o bien ubicar la elipse en el plano y calcular las distancias) de algunos puntos de la elipse a los focos y luego sumarlas, para determinar si hay una constante en la suma de las distancias. O bien pensar en colocar una cuerda tensa (de longitud igual a la longitud del eje mayor) atada a los focos de la elipse y ver si a medida que gira la cuerda pasa por todos los puntos de ella. R2: Un estudiante que piensa la elipse desde un modo analítico- aritmético puede argumentar de las siguientes formas, llevar la elipse al plano cartesiano para determinar los valores de a , b y establecer una ecuación y en base a las características de la ecuación concluir si es elipse o no. también puede tratar de medir a, b y c ( con regla ) y luego determinar la ecuación. R3: Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede recurrir a la representación de la elipse en el plano y concluir que es una elipse por las características de la forma (curva cerrada, ovalada, simétrica, etc). 3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. Figura 16 Figura 17 Figura 18 Esta actividad busca que los estudiantes puedan transitar del SG1 de la elipse en el plano a un SG2 de la elipse en el espacio, considerando las posiciones de los planos , clasificamos las posibles respuestas en: 96 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R1: Estudiantes que establecen posiciones correctas de los planos en todas las figuras , muestran evidencias de el tránsito desde un modo SG en el plano a un SG en el espacio. R2: Estudiantes que establecen algunas posiciones correctas de los planos en en las figuras , muestran evidencias de estar en vias de la comprensión de un modo de SG de la elipse en el espacio. R3: Estudiantes que responden otras condisiones de los planos que no generan una elipse 4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse con el cono. A partir de las posiciones del plano, consideramos las siguientes respuestas R1: Estudiantes que establecen todas las condiciones del plano para que al intersecarlo con el cono genere una elipse, sea un plano oblicuo (no paralelo a la base) que pase por todas las generatrices del cono. Estos estudiantes muestran evidencias del tránsito desde un modo SG en el plano a un SG en el espacio. R2: Estudiantes que establecen algunas condisiones correctas de las posiciones de los planos, ellos muestran evidencias de estar en via de comprender el modo de SG de la elipse en el espacio. R3: Estudiantes que responden otras condisiones de los planos que no generan una elipse. 5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente (http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para justificar que la curva formada es una elipse. En esta actividad se busca indagar en los modos de pensamiento que utilizan los estudiantes para justificar que la figura presentada en la animación es una elipse (ellos pueden manipular la animación). Consideramos las siguientes respuestas: R1: Estudiantes que muestran evidencias de tránsitos desde un modo SG2 a un modo AE. Pueden argumentar que figura formada es una elipse si las distancias de MF1+MF2 es constante para cualquier punto de ella. para ello, pueden establecer que si se mueve M a lo largo de la elipse, también se moverán P1 y P2 a lo largo de los dos círculos y como la distancia de F1 a M es la misma que la distancia de P1 a M, por ser MF1 y MP1 líneas que se intersecan en M y además ser tangentes a una misma esfera1(color verde en figura adjunta) .del mismo modo, la distancia de F2 a M es la misma que la distancia de P2 a M, por ser MF2 y MP2 líneas que se intersecan en M y además ser tangentes a una misma esfera2(color rojo en figura adjunta). En consecuencia, pueden concluir que la suma de las 97 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 distancias MF1+ MF2 debe ser constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva porque la suma de las distancias MP1 + MP2 también se mantiene constante. Esto se debe a que M se encuentra en la recta de P1 a P2, y la distancia de P1 a P2 se mantiene constante. Figura 63: animación de la elipse en cabri R2: Estudiante que muestran elementos que comprenden la elipse como un lugar geométrico, pero no logran conectar los modos AE y SG2 de la elipse. R3: Estudiantes que justifican que la figura formada es una elipse a través de un modo sintético geométrico, ya sea, por la inclinación del plano (SG2) o bien por la forma que tiene (SG1). 6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por qué? Esta pregunta tiene por objetivo indagar en los modos de pensamiento que utilizan los estudiantes para cuando se enfrentan a preguntas de elipse en el espacio. R1: Si los estudiantes establecen que el cono que genera la elipse en el espacio no es único, debido a la posición y tamaño de las esferas, argumentando que si una de las esferas aumenta de tamaño la otra disminuye en forma proporcional de modo que la constante de las elipses que se forman se mantienen. Significa que prioriza el modo AE para dar una respuesta. R2: Si los estudiantes responden que el cono que genera la elipse no es único, ya que, depende de la posición del plano en los conos. Establece conexiones entre SG1-SG2 de la elipse. R3: responde en forma incorrecta, desde un modo SG, argumentando que el cono es único. 98 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 MODIFICACIONES EN CUESTIONARIO INICIAL PARA ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN EL CONCEPTO ELIPSE Los estudiantes que trabajan por primer vez el concepto de elipse, no tiene el conocimiento de las ecuaciones que describen la elipse, por lo tanto, no pueden argumentar desde el modo AA, sin embargo propiciaremos el tránsito desde SG - AE- AA y desde AA- SG. La actividad 1, se mantiene tal cual como fue trabajada en el caso en que los estudiantes conocen la elipse. Con la intención de transitar entre los modos SG y AE de la elipse. En la actividad 2, se mantienen la pregunta 1 y 2 y se agregan las preguntas siguientes, de las cuales se presenta el análisis a priori. 3.-En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y F’. Figura 12 Se retoma esta pregunta realizada en el cuestionario exploratorio, para evidenciar si los estudiantes con el nivel de comprensión que logran en la actividad 1 y parte de la actividad 2 son capaces de situarse en un modo AE para responder, clasificamos las posibles respuestas en: R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE, realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16 cm y luego podrán determinar que la medida de BF+BF’ o bien AF+AF’ es igual a la longitud del eje mayor (AB), por lo tanto, la medida de AB es 16 cm. R2: Estudiantes que sitúan en un modo SG, para responder trataran de estimar la medida de AB, en relación a las medidas conocidas. 99 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse figura 13 Esta activiadad busca propiciar el transito entre los modos SG –AE-AA de la elipse en el plano , para plantear la ecuación ellos deberan conocer el concepto de distancia entre dos puntos del plano y al conectar estos elementos con el AE de la elipse, pueden establecer la ecuación para cualquier punto de la elipse de la figura 13. Considerando los argumentos desde los distintos modos de pensar la elipse, clasificamos las posibles respuestas en : R1: Estudiantes que son capaces de establecer una ecuación para la elipse , a partir de la definicion como lugar geometrico . estos estudiantes conectan los modos SG –AE-AA. R2: Estudiantes que logran establecer una expresión a partir de la definicion como lugar geometrico. estos estudiantes conectan los modos SG- AE. R3: Estudiantes que no logran establecer una expresion que se cumpla para todos los puntos de la elipse. es decir , no muestra evidencias del tránsito entre los modos. En la actividad 3 , se mantienen las preguntas 3, 4 ,5 y 6 que son las que se relacionan los tránsito de SG1- SG2- AE del plano al espacio. se reemplazan las preguntas 1 y 2 por las siguientes : 1.- determine si la ecuación cartesiano. Justifique su respuesta corresponde a una elipse en el plano Esta pregunta permite evidenciar los tránsitos entre los modos AA y SG de la elipse. si bien los estudiantes desconocen la ecuación de la elipse , ellos han trabajado con el concepto del conjunto solución de una ecuación con dos incógnitas en R x R , por lo tanto , creemos que este concepto es clave al momento de responder , clasificamos las posibles respuestas en : R1: Estudiantes que son capaces de realizar la gráfica de la elipse a partir de la ecuación, evidencian el tránsito entre los modos AA- SG. debido a que entienden que todos los puntos que satisfacen la ecuación pertenecen a la elipse. 100 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 R2: : Estudiantes que establecen algunos puntos de la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y los grafican como puntos aislados, estos estudiantes no logran transitar desde AA- SG , si bien presentan elementos de AA y de SG , no logra coordinarlos para dar una respuesta. R3: dibujan puntos al azar , es decir , no muestran en sus argumentos rastros de AA. 2.-Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles? Esta actividad pretende dar cuenta de los argumentos que utilizan estos estudiantes que desconocen la ecuación de las elipse para responder preguntas donde se les pide justificar.considerando los modos de pensar la elipse , clasificamos sus respuestas en : a) Figura 14 R1: Estudiantes que se sitúan en un modo AE de la elipse para responder, justificarán que para que sea una elipse debe cumplir con la condisión de que la suma de las distancias del punto a los focos sea constante. para ellos puede tomar pares de puntos que tengan coordenadas conocidas y verificar si la suma de las distancias a los focos es la misma. R2: Estudiantes que se sitúan en un modo SG de la elipse para responder , pueden responder que se trata de una elipse , por la forma que tiene. 101 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 b) Figura 15 Para este grupo de estudiantes consideramos estas posibles respuestas: R1: Un estudiante desde un modo analítico estructural, puede argumentar de las siguientes maneras: Puede pensar en determinar las distancias (medir o bien ubicar la elipse en el plano y calcular las distancias) de algunos puntos de la elipse a los focos y luego sumarlas, para determinar si hay una constante en la suma de las distancias. O bien pensar en colocar una cuerda tensa (de longitud igual a la longitud del eje mayor) atada a los focos de la elipse y ver si a medida que gira la cuerda pasa por todos los puntos de ella. R2: Un estudiante que se sitúa en un modo sintético – geométrico puede recurrir a la representación de la elipse en el plano y concluir que es una elipse por las características de la forma (curva cerrada, ovalada, simétrica, etc). 102 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO VII: APLICACIÓN Y ANÁLISIS A POSTERIORI DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE 103 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 APLICACIÓN DEL DISEÑO Toma de datos La toma de datos consistió en la aplicación del cuestionario a principio de mayo, los estudiantes de los casos de estudio respondieron en forma individual, en tres bloques de 90 minutos aproximadamente. Tabla 3: Resumen de informantes y técnica de recogida de información: Casos Caso 1: Con elipse 19 estudiantes Instrumento Curso Caso 2: Sin elipse 10 estudiantes Caso 3 : Sin elipse 10 estudiantes Aplicación del diseño (Cuestionario) Cuarto Año Medio Segundo Año Medio Tercer Año Medio ANÁLISIS A POSTERIORI DEL CUESTIONARIO El análisis a posteriori de las actividades se realiza considerando las clasificaciones de las respuestas descritas en el análisis a priori , se analizan de acuerdo a los objetivos planteados en cada una de las actividades , agrupando aquellas preguntas que tengan los mismo fines. En cada uno de los casos en estudio, se analizarán los siguientes puntos: Los tránsitos que logran los estudiantes entre modos de comprender la elipse. Los elementos de la matemática que ponen en juego al momento de establecer estos enlaces. Los modos qué priorizan los estudiantes al enfrentarse a preguntas planteadas en distintos modos. Dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de las actividades, ya sean, del dominio de la matemática o bien por los planteamientos de las preguntas. Los tránsitos entre los modos que resultaron más débiles, y las posibles causas que no permiten la conexión entre estos modos. En el análisis se incluirán ejemplos de las respuestas de los estudiantes, por el tamaño de la población solo incluiremos aquellas respuestas que consideramos suficientes para mostrar los distintos argumentos dados por los informantes. CASO 1: ESTUDIANTES QUE HAN TRABAJADO LA ELIPSE (4° AÑO MEDIO) Llamaremos E1, E2, E3,………………..E19 a los estudiantes de este grupo. La pregunta inicial del cuestionario permite explorar el modo sintético geométrico de la elipse que posee el informante. En este grupo todos los estudiantes tienen por SG la representación de la elipse en el plano. 104 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 1 Para realizar el análisis, dividimos la actividad en dos partes, de acuerdo a los objetivos planteados, como se describe a continuación: Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo habituar a los estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Las respuestas de los estudiantes permiten entregar los siguientes análisis: Todos los estudiantes dan argumentos que evidencian la comprensión de la distancia como el camino más cortos entre dos esquinas, ellos se sitúan en un modo un SG para responder. Como se muestra en las respuestas de E3, E18, E8, los informantes E3 y E18 buscan algunos de los recorridos posibles desde el punto A hacia B en cambio el E8 marca todos los recorridos que se pueden hacer entre A y B. Respuestas a las preguntas 1.a y 1.b Figura 64: Respuesta del estudiante 3 Figura 65 : Respuesta del estudiante 18 Figura 66 : Respuesta del Estudiante 8 105 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la preguntas c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3 y d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. La mayoría de los estudiantes muestran en sus ejemplos evidencias del tránsito de la definición de circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista. Aunque dos de ellos tienen dificultades para concebir la distancia discreta y unen los puntos de la circunferencia, al parecer no consideran la condición de la actividad que el taxi solo puede detenerse en las esquinas. Tres de los estudiantes realizan ambas representaciones, por lo tanto, no es posible discernir en este momento del cuestionario, si comprende la circunferencia en la geometría del taxista. En las respuestas que se presentan a continuación los estudiantes E12, E19 y E9 dibujan circunferencias de radios 1, 2 y 4, el E12 muestra claramente los recorridos realizados para ubicar los puntos de las circunferencias. Al parecer ambos estudiantes no presentan problemas con el uso de métricas discretas, en cambio, el E9 muestra en su gráfica dificultades en el uso de la distancia discreta o puede ser que este influenciado por el SG de la circunferencia usual como una curva cerrada. En las figura realizada por el estudiante 2 creemos que inicialmente dibuja la circunferencia usual y luego se plantea nuevamente la actividad logrando graficar la circunferencia en la geometría del taxista. Figura 67 : Respuesta del estudiante 12 Figura 68: Respuesta del Estudiante 19 106 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 69 : Respuesta del Estudiante 9 Figura 70: Respuesta del estudiante 2 107 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 La siguientes preguntas de la actividad 1 ( e, f, g y h) se crearon con el fin de propiciar el tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en la geometría del taxista. En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos. Todos los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, la mayoría (16) muestran en sus argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos talque la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante. Los demás solo establecen la característica común en algunas de las figuras. A continuación se presentan ejemplos de respuestas: El informante E3 (Figura 71), muestra en su descripción elementos del modo SG, cuando escribe “presenta un simetría respecto a la recta L “. Este estudiante conecta las características geométricas que describe con el modo AE de la elipse, para ello prueba con dos puntos a los que llama A y B determinando que las suma de las distancias de A hacia los focos es igual que la suma de las distancia de B a los focos. Figura 71: Respuesta del estudiante3 El estudiante E 11 (Figura 72), muestra en sus argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos que cumplen una condición, cuando escribe “no se pueden ubicar otros 108 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 puntos o si no, no seria elipse”. Para determinar la característica común elige solos dos puntos A y B, pero tiene claridad que la suma de las distancias de todos los otros puntos a los focos es la misma. Figura 72: respuesta del estudiante11 El estudiante 1 ( Figura 73) muestra en sus argumentos transitar entre el modo SG y AE de la elipse , al igual que los estudiantes anteriores solo prueban para dos puntos. a diferencia de los demas estudiantes , E1 muestra elementos propios de la geometria del taxista cuando se refiere a “ esquinas “ y “ cuadras “. Figura 73 : Respuesta del estudiante1 109 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”. La mayoría de los estudiantes muestra evidencias del transito de AE - SG, presentamos las respuestas de E10 y E5. Donde E 10 para dar los ejemplos se sitúa en un modo AE, lo cual se evidencia cuando escribe “distancia constante 4 cuadras, focos f y f’” y “distancia constante 7 cuadras, focos f y f’”. En cambio E5 grafica figuras continuas, al parecer no concibe la distancia discreta, además no queda claro si se sitúa en un modo AE o bien en un modo SG tomando ejemplos similares a las figuras de la actividad anterior.. Figura 74: Respuesta del estudiante 10 Figura 75 : Respuesta del estudiante 5 110 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”. 12 de los estudiantes muestran en su definición elementos del AE de la elipse, algunos de ellos presentan además elementos del SG, relativos a la forma, simetría, entre otras. 4 de los estudiantes muestran una parte del AE, solo dan cuenta de la condición de los puntos de la elipse en relación a los focos. A continuación se presentan algunas de las respuestas. Los estudiantes E13 y E16 definen a partir de la suma de las distancias de los puntos a los focos y luego fundamentan que se cumple para todos los puntos. E6 combina elementos del SG de la elipse cuando escribe “Figura en la cual existen dos puntos fijos llamados focos la cual esta delimitada por puntos” con elementos de AE, aunque con dificultades en la redacción, cuando dice “estos puntos deben cumplir con la suma de sus distancias de foco a foco debe ser constante” . Figura 76: Respuesta del estudiante 13 Figura 77: Respuesta del estudiante 16 111 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 78: Respuesta del estudiante 6 En la pregunta f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity”. 18 de los estudiantes responden en forma correcta argumentando desde un modo AE. A continuación se muestran algunos ejemplos. 112 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 79: Respuesta del estudiante 17 El informante E17, al probar distintos puntos de la elipse muestra comprender la elipse como un conjunto de puntos que cumple una condición. Esto se evidencia cuando escribe “lo mismo pasa con el punto B y los demás “refiriéndose al valor de la constante de la elipse. El estudiante 13, Calcula la distancia de todos los puntos a los focos f y f’ , en la figura 6 concluye cuando encuentre valores distintos en la suma de las distancias a los focos. En la figura 7 prueba la mayoría de los puntos y determine que si es una elipse. En ambas figuras argumenta desde AE. Figura 80: Respuestas del estudiante 13 113 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2 Las primeras tres preguntas buscan que los estudiantes puedan identificar la propiedad que define la elipse en el plano cartesiano. Es decir, evidenciar el tránsito entre el modo sintético – geométrico a un modo analítico – estructural. En la pregunta 1,Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos de la elipse. La mayoría de los estudiantes muestra en sus respuestas evidencias del tránsito entre los modos de SG – AE. 16 estudiantes establecen la condición de los puntos de la elipse en relación a los focos, para ello utilizan la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano. Los otros tres estudiantes establecen en forma correcta el valor de la suma de las distancias de los puntos a los focos, en algunas de las figuras y en otras no, estos estudiantes muestran elementos del modo AE, sus dificultades se relacionan con el cálculo de las distancias. A continuación se presentan ejemplos de respuestas: El estudiante E9 muestra evidencias de transito de SG – AE en el plano, para verificar la condición de los puntos en relación a los focos, utiliza la fórmula de distancias, aun cuando los puntos están en el eje x. Figura 81: respuesta del estudiante 9 114 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E14 al igual que el estudiante 9 determina las distancias desde los puntos a los focos, usando la fórmula de distancia. Determinando la constante de la elipse. Figura 82: Respuesta del estudiante 14 El estudiante 19 elige dos puntos simétricos respecto al eje x , de coordenadas exactas de la elipse y determina la distancia de los puntos a los focos, para ello utiliza la fórmula de distancia entre dos puntos y el teorema de Pitágoras. Figura 83: Respuesta del estudiante 19 115 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E4, ubica 4 puntos de coordenadas exactas en la elipse y determina la suma de las distancias de los puntos a los focos. E4 se sitúa en AE para responder, el hecho de que los focos estén en otras posiciones no genera dificultades. Figura 84 : respuesta del estudiante 4 En los ejemplos, evidenciamos que los estudiantes privilegian herramientas algebraicas en el tránsito de SG a AE de la elipse, en este caso, utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, aun cuando estos puntos se encuentran en la misma recta y no es necesario realizar este cálculo. En la pregunta 2, Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano. Los estudiantes muestran elementos de AE en sus definiciones, solo uno de ellos se sitúa en SG para responder. En comparación a la definición dada en la actividad 1 se presentan más estudiantes que se sitúan en AE .a continuación se presentan algunos ejemplos de respuestas: Figura 85 : Respuesta del estudiante 1 116 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 86 : respuesta del estudiante 3 Figura 87 : respuesta del estudiante 13 Figura 88: respuesta del estudiante 14 En las definiciones de los estudiantes E1, E14 y E13 predomina un modo analítico estructural, dan cuenta de la condición de los puntos y además comprenden que se cumple para todos los puntos de la elipse, esto se evidencia cuando escriben argumentos como: E1: “Toda figura en el plano cartesiano la cual cumple que la suma de cualquier punto, de coordenadas P(x,y) perteneciente a ella , con respecto a los focos tiene un valor constante independiente del punto que sea utilizado “ . E14: “para que los puntos sean parte de la elipse tiene que cumplirse una condición, lo cual dice que la distancia a sus focos es la misma”. 117 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 E3: “cumple una propiedad que es que la distancia de un punto P de la figura de F, mas la distancia del mismo punto a F´ , dará un total el cual se denomina constante , ya que este valor , será igual para cualquier punto que tomemos de la figura “. E14 complementa el modo AE con modo AA cuando describe que los puntos de la elipse “satisfacen la ecuación”. En E13 a diferencia de los informante E1, E14 y E3 predomina un modo sintético geométrico, esto se evidencia, cuando describe la elipse como “figura ovalada que posee focos y vértices donde la distancia del foco1 al vértice 1 es la misma del vértice 2 al foco 2 “. Aunque muestra elementos del AE, cuando escribe “Un punto cualquiera de la elipse a un foco debe cumplir una constante con respecto a la sumatoria de sus distancias “, no queda claro si comprende la elipse como lugar geométrico, debido a que, solo da cuenta de un foco. Es importante destacar que ninguna de los informantes, define la elipse utilizando la definición formal que aparece en los textos “la elipse como el lugar geométrico de todos los puntos del plano tal que la suma de sus distancias a los focos es constante “. Lo cual nos indica que la definición la construyen a partir de las actividades del cuestionario. En la pregunta 3, En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’. Figura 12 Se presenta una elipse en el plano cartesiano con centro distinto al origen, que es donde los estudiantes han trabajado. La mayoría de los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, identificando las coordenadas de uno de los puntos la elipse y luego determinan la suma de las distancias del punto a los focos y lo relacionan con la longitud del eje mayor. 3 de ellos se sitúan en un modo SG para responder, lo que no es suficiente para dar una respuesta. A continuación se presentan algunos ejemplos de respuestas. 118 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El informante E3(Figura 89 ) se sitúa en AE para responder , esto queda en evidencia por los cálculos presentados , elige un punto de coordenadas exactas al que llama C, determinando la suma de las distancias de C a ambos focos y también por los argumentos descritos “ la medida del segmento AB es igual a la constante ya que la medida del punto A a F mas la medida del mismo punto a F’ da una constante” utiliza además elementos geométricos en parte de su argumento cuando escribe “ la medida de B a F’ es la misma que de A a F, ya que, la elipse tiene un eje de simetría “. Figura 89 : respuesta del estudiante 3 119 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El informante E14 (Figura 90) se situa en un modo AE , esto queda en evidencia , por los procedimientos utilizados , elige un punto de coordenadas ( 5,6) y determina la suma de las distancias del punto a los focos y relaciona esa medida con la constante de la elipse, escribiendo “ si utilizo otro punto me daria la distancia que seria igual de punto A hacia los focos “. Figura 90 : respuesta del estudiante 14 El estudiante E1, elige un el punto (5,6) para determinar el valor de la constante, aunque no justifica queda en evidencia que se sitúa en un modo AE para responder, por los cálculos realizados. ( Figura 91 ) Figura 91 : respuesta del estudiante 1 120 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E2, se sitúa en un modo sintético – geométrico, observa propiedades geométricas como la relación entre las distancias de los segmentos F’B y FA. Establece relaciones algebraicas entre los segmentos involucrados tratando de determinar la medida del segmento AB. Figura 92: Respuesta del estudiante 2 Las preguntas 4 y 5 referidas a ecuaciones. Nos entregan información de los tránsitos SG AE – AA de los modos de comprender la elipse en el plano En la pregunta 4, Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno de ellos. Todos los estudiantes muestran evidencias del tránsito entre SG y AA, determinando la ecuación para la elipse de la figura 13. Nueve de ellos identifica la definición de la elipse como lugar geométrico como unos de los argumentos para determinar la ecuación y otros 10 muestran en sus argumentos un modo analítico –aritmético para determinar la ecuación. A continuación presentamos algunos ejemplos: 121 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E18 muestra en sus argumentos, evidencias claras del tránsito entre SG y AA. en un primer argumentos, identifica la ecuación de la elipse y reemplaza los valores de a y b en la fórmula para obtener la ecuación. Un segundo argumento da cuenta de que comprende la elipse como un conjunto de puntos que satisface una ecuación. Figura 93 : respuesta del estudiante 18 El estudiante E12 muestra en sus argumentos evidencias del tránsito SG- AE – AA, mostrando dos argumentos, el primero situado en un modo analítico - aritmético identificando la ecuación de la elipse y reemplazando los valores de a y b. El segundo argumento corresponde a un modo analítico estructural, determina un punto P(x,y ) en la elipse y determina la suma de las distancias de P a los focos. 122 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 94 : respuesta del estudiante 12 En la pregunta 5, Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ Figura 14 En esta pregunta, todos los estudiantes muestran elementos de un modo analítico – estructural, determinando el valor de la constante de la elipse (suma de las distancia de los puntos de la elipse a los focos). Seis de los estudiantes logran establecer una ecuación para la elipse de la figura 14, para ello se sitúan solo en un modo AE. Si bien algunos cometen errores en los cálculos algebraicos tienen claridad en el argumento a utilizar. Estos 6 estudiantes muestran evidencias de tránsitos entre los modos SG - AA - AE de la elipse. 123 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 7 de los estudiantes, una vez conocido el valor de la constante, tratan de determinar los valores de a, b y c para reemplazar en las ecuaciones conocidas. Ellos muestran elementos de AE y AA que no es posible conectar, debido a que no conocen ecuaciones de elipse que presentan una rotación. 6 de los estudiantes solo establecen el valor de la constante. A continuación se presentan algunos ejemplos de respuestas: El estudiante E17 muestra elementos de AE, al determinar el valor de la constante de la elipse para ello elige un punto P de coordenadas (11,5). Aunque da cuenta de la definición cuando escribe no logra establecer la ecuación. Figura 95: Respuesta del estudiante 17 El estudiante E10(Figura 96), muestra evidencias de los tránsitos entre SG – AE - AA, eligiendo un punto de la elipse P(8,2) para establecer la constante de la elipse , luego elige un punto L(x,y) y usando la definición , logra establecer una ecuación para la elipse. Figura 96: respuesta del estudiante 10 124 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E8(Figura 97), muestra en sus argumentos elementos de AE cuando determina el valor de la constante, luego trata de establecer los valores de a, b y c para reemplazar en la ecuación de la elipse con centro (h , k). Figura 97: Respuesta del estudiante 8 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3 Las respuestas obtenidas en las preguntas 1 y 2 permiten evidenciar los modos de pensamiento que priorizan los estudiantes cuando son enfrentados a preguntas planteadas en distintos modos. La primera pregunta esta planteada en AA y la segunda en SG. En la pregunta 1, Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos. La mayoría de los estudiantes (16) logran establecer la gráfica de la elipse a partir de la ecuación y justificar utilizando la representación de la elipse en el plano, ellos transitan desde un modo AA a un modo SG de la elipse. 8 de ellos argumentan desde la propiedad que define la elipse como lugar geométrico, muestran evidencias de tránsitos entre los modos AA- SG-AE de la elipse. Los demás (2) estudiantes justifican desde un modo AA utilizando la forma de la ecuación. A continuación se presentan algunos ejemplos: El estudiante E15 muestra evidencias del transito AA- SG, cuando dibuja la elipse en el plano a partir de los valores a, b y c . Los otros argumentos dados corresponde a un modo AA , están relacionados con la forma de la ecuación y la relación entre los valores de a , b y c. 125 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 98 : respuesta del estudiante 15 El estudiante E4, solo argumenta desde un modo AA, por la forma de la ecuación. Figura 99: Respuesta del estudiante 4 126 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E3 , muestra en sus argumentos evidencias de los tránsitos entre AA- SG-AE , a partir de la ecuación representa la elipse en el plano cartesiano , ademas determina que la suma de los puntos de la elipse a los focos es constante , igual a 20. Figura 100: Respuesta del estudiante 3 El estudiante E13, fundamenta a partir de la relación entre los elementos (a, b y c) y al igual que E4 se basa en la forma de la ecuación. Este estudiante no logra transitar a otros modos de pensamiento. Figura 101 : respuesta del estudiante 13 127 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta 2, La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de una justificación? Y ¿cuáles? Figura 15 La mayoría de los estudiantes (17) argumentan desde un modo analítico estructural, logran establecer conexiones entre los modos SG y AE de la elipse. Dos de ellos justifican que la figura formada es una elipse desde un modo AA. A continuación se muestran algunos ejemplos de respuestas : El estudiante 7(Figura 102 ) , se sitúa en un modo analítico – estructural, al dar respuesta como: “mediría la suma de algunos puntos a los focos y vería si son iguales “, “colocaría 2 estacas en los focos y colocaría una cuerda que estuviera atado y pasara por un punto movible el cual esta sobre un punto cualquiera de la elipse podría demostrar que la figura es una elipse”. Figura 102: Respuesta del estudiante 7 128 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E13(Figura 103), cuando escribe “yo lo pondría en el plano cartesiano y cada punto de la elipse al cualquiera de los dos focos, la suma de sus distancias tendría que ser una expresión, la cual debería ser constante para cada distancia “argumenta desde un modos analítico – estructural. También se sitúa en un modo SG cuando justifica “es una figura ovalada que consta de dos focos “. Figura 103 : respuesta del estudiante 13 El estudiante 15, argumenta desde un modo AE, cuando escribe ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅, también argumenta desde un modo AA, cuando escribe la relación entre las longitudes de los segmentos CA, CF y CD. Figura 104: Respuesta del estudiante 15 El estudiante E5, justifica desde un modo analítico – aritmético, esto se evidencia cuando escribe “de acuerdo a la posición de ésta en el plano podría conocer el valor de a, b y c, las cuales formarían parte de la ecuación ”. 129 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 105: Respuesta del estudiante 5 Las preguntas 3 y 4 evidencian el tránsito entre los modos SG1 de la elipse en el plano a un SG2 de la elipse en el espacio. En las preguntas 3, En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. La mayoría de los estudiantes (14) establecen posiciones correctas de los planos, muestra indicios del modo sintético – geométrico en el espacio. Los demás (5) estudiantes establecen algunas posiciones correctas de los planos y otros no. A continuación se muestran ejemplos: El estudiante E1 ubica dos planos inclinados que generan una elipse, también dibuja un plano paralelo a la base, escribiendo radio: 1 u. desconocemos si los estudiantes comprenden la circunferencia como un caso particular de la elipse. 130 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 106: respuesta del estudiante 1 El estudiante E18 dibuja planos que generan elipse, y dibuja las elipses. Muestra comprender el SG2 de la elipse en el espacio. Figura 107: Respuesta del estudiante 18 En la pregunta 4, Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse con el cono. Algunos (7) de los estudiantes establecen todas las condiciones de las posiciones de los planos. Los demás estudiantes (12) no analizan todos los casos. La mayoría concluyen que el plano debe estar en “diagonal” pero no descarta los casos en que se puede formar una hipérbola. Ejemplos de respuestas: El estudiante E18, explica las restricciones que deben tener el plano al intersectar con la superficie cónica. 131 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 108: respuesta del estudiante 18 El estudiante E9 indica que el plano no debe ir en forma paralela, explica que el plano debe tener un ángulo de inclinación, pero no descarta el caso en que se pueda formar una parábola. Figura 109: respuesta del estudiante 9 En la pregunta 5, A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente (http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para justificar que la curva formada es una elipse. Con esta pregunta evidenciamos el tránsito entre los modos sintético geométrico en el espacio (SG2) a un modo AE de la elipse. La mayoría de los estudiantes (14) logran 132 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 situarse en un modo AE para justificar que la figura que se forma es una elipse, logran establecer es un valor constante. Los demás estudiantes muestran elementos del AE de la elipse en el plano, pero no logran conectarlo con el modo SG2. El estudiante E17, argumenta desde un modo analítico estructural, cuando explica que: “ es un valor constante “para ello se da cuenta que “en algún punto se forma una línea recta que contiene a los puntos, pudiendo observar que se cumple esa suma cuyo valor es constante “ Figura 110: respuesta del estudiante 17 El estudiante E8 , da cuenta del modo analitico – estructural en el plano , cuando explica “que a medida que el punto M , se va moviendo , la suma total de sus distancias entre sus focos siempre va a ser la misma , ya que es una constante” . pero no logra argumentar con los elementos de SG2 respecto al valor de la constante. Figura 111: respuesta del estudiante 8 133 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante 19 muestra evidencias del tránsito de SG2 al modo analitico – estructural en el espacio , E19 relaciona elementos geométricos , en este caso, las esferas incritas en el cono, el teorema de las tangentes a la circunferencia en sus argumentos para concluir que “ la distancia hacia ambos puntos de tangencia seria constante , ya que al moverse M , la distancia desde M hacia los focos ; punto de tangencia aumentaria , mientras que el otro disminuiria , pero la sumatoria se mantendria constante “ Figura 112: Respuesta del estudiante 19 El objetivo de esta pregunta final, 6) Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por qué? Es indagar que modo privilegian los estudiantes cuando se enfrentar a preguntas relacionas al SG2 de la elipse. La mayoría de los estudiantes (11) se sitúan en un modo SG2 de la elipse. Otros estudiantes (7) responden en forma incorrecta. Un estudiante se sitúa en un modo AE para dar respuesta a la pregunta, esté estudiante muestra evidencias de transito de AE - SG2. A continuación se muestran algunos ejemplos: 134 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E7, responde desde el modo sintético geométrico de la elipse en el espacio, esto queda en evidencia cuando escribe “no es único porque la elipse que se forma dependerá no solo del cono si no también de la pendiente del plano “ Figura 113: respuesta del estudiante 7 El estudiante E8, responde en forma incorrecta desde un modo SG2, explica que “para cada elipse hay un único cono que le pertenece “ Figura 114: respuesta del estudiante 8 135 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E3 , es el único que logra argumentar desde un modo AE , utilizando las esferas inscritas en el cono , esto se evidencia cuando escribe : “ hay conos que pueden generar la misma elipse, pero estos deben tener la propiedad de que las esferas que contengan al cono deben de ser que si aumentamos el radio de la esfera 1 , debemos disminuir el radio de la esfera 2 en forma proporcional a la de las esferas de la figura 1 , teniendo que ser así de M a mas la distancia de M a la constante de la elipse”. Figura 115 : respuesta del estudiante 3 136 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONCLUSIONES DEL CASO 1 La mayoría de los estudiantes logra trabajar sin problemas en la actividad 1, evidenciamos que la distancia discreta ayuda en la comprensión de la propiedad que define la elipse. Estos estudiantes transitan entre los modos SG y AE de la elipse en la geometría del taxista. La mayoría de los estudiantes del caso 1, logra con éxito los siguientes tránsitos: entre SG y AE en el plano. Es decir, a partir de la representación de la elipse en el plano, son capaces de determinar que la suma de todos los puntos de la elipse a los focos es siempre constante y una vez que comprende esta propiedad que la define como lugar geométrico son capaces de graficarla. Un elemento de la matemática que es fundamental en el tránsito entre estos modos es el concepto de distancia. Con respecto a ello consideramos que este grupo de estudiante presenta una fuerte inclinación hacia desarrollos algorítmicos en el cálculo de las distancias. Entre AA y SG, la mayoría de los estudiantes son capaces de graficar la elipse dada la ecuación, para ello utilizan herramientas analíticos, ya sea, la relación pitagórica entre los elementos de la elipse (longitud del semieje mayor, semieje menor, semieje focal) o buscar puntos que satisfagan la ecuación. Entre SG y AA los estudiantes establecen conexiones cuando la elipse se centra en el origen, debido a que conocen las ecuaciones. Algunos de ellos logran establecer las ecuaciones de elipses que se ubican en otra posición en el plano, para ello recurren a la definición formal del concepto. Entre AA y AE, evidenciamos que el tránsito no es inmediato, los estudiantes tratan de buscar argumentos analíticos cuando se les pregunta por las ecuaciones. Aun dando evidencias de comprender parte de AE algunos de ellos no conectan ambos modos para dar una respuesta. El tránsito desde SG1 a SG2 de la elipse en el espacio es viable, debido a que la mayoría de los estudiantes establece posiciones correctas del plano al intersecarlo con un cono. Desde SG2 – AE, también consideramos que este tránsito es posible en este nivel, por los conocimientos previos que poseen los estudiantes. Esto se evidencia en las respuestas a la pregunta 5 donde utilizan elementos geométricos, como las esferas inscritas en los conos para argumentar. Consideramos que las mayores dificultades se presentaron cuando se enfrentan a preguntas donde tenían que dar definiciones o establecer condiciones. El diseño fue exitoso en este grupo de estudiantes, la mayoría de ellos logra comprender el concepto elipse, esto se evidencia en las conexiones que establecen los estudiantes entre los modos SG-AE- AA en el plano, y SG2- AE en el espacio. 137 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CASO 2: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (2° MEDIO) Este grupo esta compuesto por 10 estudiantes entre 15 y 16 años que cursan segundo año medio. Llamaremos a estos estudiantes E20, E21, E22, E23………E29. Todos los estudiantes muestran en sus respuestas a la pregunta 1, desconocer las representaciones asociadas a la elipse. Estos estudiantes tienen menos dominio de contenidos matemáticos en comparación con los otros casos, están recién comenzando en el estudio de la geometría analítica, han tenido dos clases de plano cartesiano, ubicación de puntos en el plano, distancia entre dos puntos del plano, ello además desconocen ecuaciones de rectas, entre otras. Aplicamos el cuestionario en este grupo para evidenciar que tan viable es el instrumento para iniciar a los estudiantes en el estudio del concepto elipse. Nos enfocaremos mayoritariamente en los tránsitos de SG – AE en la geometría del taxista y en el plano. Aunque se aplica el diseño completo para ver cuales son las conexiones factibles entre los modos de pensar la elipse en este caso. ANÄLISIS DE LA ACTIVIDAD 1 Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo habituar a los estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Todos los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias de la comprensión de la distancia como el camino más cortos entre dos esquinas, la mayoría (7) muestra todos los posibles recorridos como el estudiante E22 , los demás(3) muestran algunos recorridos como es el caso del estudiante E25, todos se sitúan un modo un SG para responder. Figura 116: Respuestas de los estudiantes 22 y 25 138 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En las preguntas c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3 y d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. La mayoría (8) de los estudiantes muestran en sus ejemplos evidencias del tránsito de la definición de circunferencia (AE) a la gráfica de la circunferencia (SG) en la geometría del taxista. Los demás presentan dos formas de representación de la circunferencia, circunferencia usual y circunferencia en la geometría del taxista. A continuación se presentan algunos ejemplos: Figura 117: Respuestas de los estudiantes 26 y 24 Figura 118: Respuesta del estudiante 20 El estudiante E26 y E20 grafican la circunferencia en la geometría del taxista, el E26 presenta dificultades para concebir la distancia descrita esto se evidencia al unir las esquinas. El E24 muestra ambas representaciones y además otros puntos, por lo tanto, no es posible discernir si el estudiante comprende o no la distancia discreta. 139 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Las respuestas a las preguntas de la actividad 1 ( e, f, g y h) evidencian el tránsito entre los modos SG y AE . En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”. Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos. Todos estudiantes muestran evidencias de comprender el AE de la elipse, 6 de ellos determinan la suma de las distancias de los puntos a los focos como una característica común en cada uno de los casos. A esta suma de distancia la llamaremos constante de la elipse. 4 de ellos establecen correctamente el valor de la constante de la elipse en algunos casos y en otros no. A continuación se analizan algunas de las respuestas dadas por los estudiantes: El estudiante E22, muestra en sus argumentos comprender el modo AE de la elipse, esto se evidencia en los cálculos realizados para todos los puntos de la figura 2, y también cuando escribe “ la suma de los puntos de F a F’ son los mismos, en este caso (la constante) que se repite es 8”. Figura 119: Respuesta del estudiante 22 140 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E27, logra transitar de un modo SG a un modo AE, observa distintas regularidades de algunos puntos en relación a ambos focos, entre ellas características geométricas que se cumplen para algunos puntos y una regularidad que se verifica para todos los puntos de la elipse, esta es, “ la suma de las distancias de un punto hasta F y F’ siempre es 6”. Figura 120: Respuesta del estudiante 27 El estudiante E28, muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión del modo AE, cuando escribe “ la suma entre las distancias que tienen entre F y F’ va a dar como resultado 6”. Figura 121: respuesta del estudiante 28 141 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En el estudiante E21 muestra elementos del modo analítico – estructural, cuando escribe “si se suman estos valores el resultado será 8 que será la suma de las distancias que hay entre el resto de los puntos a los focos”. El estudiante observa distinta regularidades, que se cumplen para esta figura, entre ellas con respecto a la suma de los puntos en relación a los focos concluye que es 8, y ese valor esta relacionado con el doble producto de la distancia de ambos focos. Figura 122 : respuesta del estudiante 21 142 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta f) Muestra un ejemplo distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”. La mayoría de los estudiantes (7) muestra estar en vías de comprender el AE de la elipse, debido a que dan cuenta de la condición de algunos puntos. Solo 3 de ellos muestran comprender la elipse como un conjunto de puntos que cumplen una regularidad. Los estudiantes E24 y E25, muestran en sus ejemplos comprender la elipse en un modo AE, aunque E25 une los puntos, mostrando dificultades para comprender la distancia discreta. Los estudiantes E23 y E26 muestran estar en vías de comprender el modo AE de la elipse, ambos establecen algunos puntos para los cuales se cumple una condición, pero no consideran, la existencia de más puntos que verifiquen la característica dada. Figura 123: Respuesta del estudiante 23 y del estudiante 24 Figura 124: Respuesta del estudiante 25 y del estudiante 26 143 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”. 8 de los estudiantes muestran en sus definiciones argumentos AE de la elipse, 4 de ellos muestran en sus respuestas comprender la elipse como un lugar geométrico. Los otros 4 tienen dificultades para identificar el conjunto de puntos, solo escriben la condición de los puntos en relación a los focos. 2 de los estudiantes se sitúan en un modo SG para responder describen características “observables” de la elipse. A continuación se presentan ejemplos de respuestas: El estudiante E25 presenta en la definición elementos del modo SG de la elipse cuando escribe “es una figura en torno a un punto o más, la condición que deben cumplir es la reflexión entre ellos”. También muestra otros argumentos que pueden corresponder a un modo AE, este es “la suma de la distancia sea igual para todos los puntos que componen la elipse”, pero no enuncia en relación a que elementos la suma de las distancias son iguales, por lo que el argumento no es suficiente para mostrar la comprensión en el modo AE. Este estudiante muestra elementos de ambos modos pero no logra establecer una definición de la elipse como lugar geométrico. Figura 125: Respuesta del estudiante 25 El estudiante E28 muestra en la definición, comprender el modo analítico – estructural de la elipse, esto se evidencia cuando escribe “ es un conjuntos de puntos que cumple la condición de que las sumas de sus distancias con F y F’ siempre será la misma”, entendiendo que las actividades anteriores F y F’ eran los focos de la elipse. Figura 126: Respuesta del estudiante 28 144 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E27 al igual que E28, se sitúa en un modo analítico – estructural para definir la elipse, escribiendo “la elipse son puntos que se encuentran a una cierta distancia de 2 focos y la suma de la distancia de cualquier punto hasta F y F’ tiene que ser igual a todos los puntos”. Figura 127: Respuesta del estudiante 27 En la pregunta f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity”. Esta pregunta resume las conexiones entre los modos SG y AE de la elipse en “Geocity”. 8 de los estudiantes logran discriminar cuales de las figuras corresponden a elipses y cuales no. Para ello se sitúan en un modo AE para responder. 2 de los estudiantes prueban solo para algunos puntos de la elipse. A continuación se muestran algunos ejemplos: 145 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E22 se sitúa en un modo analítico – estructural, probando para algunos puntos de la figura 6 concluye que no es una elipse, argumentando que “la suma de un punto con los focos dan diferente a las variantes “. y en la figura 7 , concluye que es una elipse , justificando que “al sumar todas dan el mismo resultado que es 4 ” . En ambas respuestas complementa con ejemplos de suma de distancia a los focos de algunos puntos. Figura 128: Respuesta del estudiante 22 El estudiante E25 , se situa en un modo analitico – estructural , en la figura 6 , se da cuenta de que la suma de las distancias a los focos de algunos puntos es 3 y en otros es 5. argumenta que : “ no todos los puntos cumplen la condición de tener en comun la misma distancia con F y F’ “ . es importante destacar que el estudiante da caracteristicas geometricas de la figura , cuando escribe “todos los puntos se reflejan” , caracteristica que 146 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 considera insuficiente para concluir. En la figura 7 , muestra argumentos del modo AE , cuando determina la suma de las distancias de los puntos a los focos, obteniendo 4 en todos en los puntos. Figura 129: Respuesta del estudiante 25 El estudiante 26, muestra en sus argumentos estar en vías de comprensión de un modo analítico – estructural de la elipse, en este caso considera suficientes probar algunos puntos para determinar si las figuras son elipses o no. Figura 130: Respuesta del estudiante 26 147 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2 Las preguntas 1,2 y 3 propician el tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en el plano cartesiano. En las pregunta 1) Las figuras 8, figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos de la elipse. Todos los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, 4 de ellos establecen la constante de la elipse en forma correcta en cada una de las figuras. Los otros 5 estudiantes establecen la constante solo en algunas de las figuras, las dificultades que presentan los informantes están relacionadas con el cálculo de la distancia, ya sea, en el uso de la fórmula o en las expresiones que resultan como raíces. El estudiante 21, muestra en sus argumentos elementos del modo analítico – estructural cuando escribe “la suma de las distancias que hay entre un punto exacto de la línea x y entre los focos es 10” , además evidencia que el valor de la constante es igual al doble producto de la distancia entre el vértice menor y un foco. Figura 131: Respuesta del estudiante 21 148 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante 29, se sitúa en un modo AE, argumentando que “el total de A y el total de B es el mismo “. No muestra procedimientos para determinar la distancia. Figura 132: Respuesta del estudiante 29 El estudiante E25, argumenta desde un modo AE, determinando las distancias de los puntos exactos a los que llama A, B,C y D. Utiliza el teorema de Pitágoras, y concluye “la suma de las distancias para cualquier punto exacto en la elipse hasta F y F’ y siempre es √ +√ ”. Figura 133: Respuesta del estudiante 27 149 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante 28, muestra en su desarrollo evidencias del tránsito de SG a AE, eligiendo algunos puntos de coordenadas exactas determina las distancias de estos puntos a los focos a través del teorema de Pitágoras. Figura 134 : Respuesta del estudiante 28 En la pregunta 2, Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano, 6 de los estudiantes se sitúan en un modo AE para dar la definición, 4 de ellos muestran en sus argumentos comprender la elipse como un conjunto de puntos tal que la suma de las distancias de los puntos a los focos es constante. 2 de ellos definen la elipse en función de la constante. Los demás estudiantes (3) definen características “observables” relativas a la forma o a la simetría de los puntos. En los argumentos de un estudiante no muestra en que modo se sitúa para responder. A continuación se dan ejemplos de respuestas: El estudiante E20, en su definición, al parecer piensa la elipse como puntos en el plano cartesiano que tiene relación con focos , pero no podemos determinar si se sitúa en un modo AE o SG, por que, no explica de que tipo es la “relación” a la que hace alusión. Figura 135 : respuestas del estudiante 20 150 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la definición del estudiante E21 predomina un modo SG, cuando escribe “es una figura que puede ser circular ovalada “, aunque explica que existe una “regularidad o tendrán una relación respecto a los focos”, en ello no profundiza. Aunque puede estar en vías de comprensión del modo AE. Figura 136: Respuestas del estudiante 21 El estudiante E21, muestra en su definición evidencias de la comprensión de un modo AE , cuando dice “ la regularidad que hay en la elipse en el plano cartesiano es que la suma de la distancia A hasta F y A hasta F’ deben ser iguales a todos los otros puntos que se plantean”. Figura 137: Respuestas del estudiante 22 En la pregunta 3 En la Figura 12, determine la medida del eje mayor (AB) de la elipse de focos F y F’. Figura 12 151 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Nueve de los estudiantes se sitúan en un modo AE para responder, realizaran la suma de (9+7) obteniendo 16 cm y luego lo relacionan con la medida de AB, obteniendo AB es 16 cm. Uno de los estudiantes se sitúa en un modo SG, tratando de estimar la medida de AB. A continuación se analizan algunas de las respuestas El estudiante E28, muestra en sus desarrollos elementos claros de un modo AE de la elipse cuando escribe “Para determinar la medida del eje mayor de la elipse, se debe sumar las distancias de P a F´y las de P a F”. Además complemente con un dibujo donde se observa el razonamiento utilizado. Figura 138: Respuesta del estudiante 28 El estudiante E27, también se sitúa en un modo AE, explicando que P, A y B son puntos de la elipse, por lo tanto, la suma de las distancias de los puntos a los focos es 16 cm. Figura 139: Respuesta del estudiante 27 El estudiante E23, se situa en un modo AE , esto se evidencia en su argumentos cuando escribe “ en una elipse se cumple que desde cualquier punto a los focos la distancia sera la misma ” , aunque no redacta sobre la suma de las distancias , escribe en sus desarrollos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ por lo que concluimos que estan pensando en ese modo. 152 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 140: Respuesta del estudiante 23 La pregunta 4 Sea P(x ,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse . Figura 13 Propicia el tránsito entre los modos SG – AE – AA de la elipse en el plano, queremos indagar si los estudiantes son capaces de establecer una expresión analítica para todos los puntos de la elipse. La mayoría de los estudiantes (6) logran establecer una expresión a partir de la definición como lugar geométrico. Estos estudiantes conectan los modos SG- AE. Solo uno de ellos logra establecer una ecuación para los puntos de la elipse. Tres de los estudiantes se sitúan en un modo SG para responder. A continuación se presentan alguna de las respuestas: El estudiante E22, muestra evidencias del tránsito entre los modos SG y AE de la elipse, cuando establece una expresión que se cumple para todos los puntos de la elipse, “ ”. 153 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 141: Respuesta del estudiante 22 El estudiante E24, también determina una expresión, esta es distancia de la elipse. Situándose en un modo AE. ”, donde es la Figura 142: Respuesta del estudiante 24 ̅̅̅̅, que es valida para esta El estudiante E21, escribe la expresión ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ elipse. Este estudiante muestra elementos de un modo AE, tratando de encontrar alguna regularidad para escribir una ecuación. Determinando una expresión que se cumple para la elipse de la figura 13. Figura 143: Respuesta del estudiante 21 154 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante 23 muestra evidencias del transito SG- AE- AA de la elipse en el plano, logrando establecer una expresión en el modo AE, que luego la reemplaza por elementos del modo AA (fórmula de distancia entre dos puntos del plano). Aunque la expresión encontrada no esta escrita en forma ordenada y no aparece el valor de la constante, consideramos que el estudiante comprende el AA de la elipse. Figura 144: Respuesta del estudiante 23 155 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3 En la pregunta 1) Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano cartesiano. Justifique su respuesta. Evidencia los tránsitos entre los modos AA- SG de la elipse del plano. Todos los estudiantes muestran elementos de un modo SG de la elipse, tratando de graficar, para ello obtienen algunos puntos reemplazando en la ecuación, la mayoría (7) dibuja solo algunos puntos de la elipse. Solo 3 de ellos unen los puntos y justifican que es una elipse por la figura que se forma. Las dificultades que se presentan están relacionadas con el cálculo algebraico utilizado para determinar los puntos de la elipse. El estudiante E20, determina dos puntos de la elipse, para ello utiliza argumentos algebraicos, entre ellos el concepto de conjunto solución de una ecuación. Muestra estar en vías del tránsito de AA- SG, pero al parecer las dificultades algebraicas no lo permiten. Figura 145: Respuesta del estudiante 20 El estudiante E23, evalúa dos puntos en la ecuación, cuando x= 3, obtiene valores negativos para . Luego prueba con x=-1 encontrando dos valores para y. Ubica los puntos en el plano, concluyendo que es posible que sea una elipse. El estudiante muestra estar en vías de transitar entre los modos AA y SG, utilizando el concepto de conjunto solución de una ecuación y desarrollos algebraicos. Consideramos que son estos procedimientos algebraicos los que dificultan la conexión entre estos modos. Figura 146: Respuesta del estudiante 23 156 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta 2) Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles? Figura 14 Figura 15 En ambas preguntas la mayoría de los estudiantes justifica desde un modo Analítico estructural, como se muestra a continuación. Solo 2 de ellos en ambas figuras se sitúan en un modo SG para responder. A continuación se presentan ejemplos de respuestas: El estudiante E27, establece conexiones entre los modos SG y AE de la elipse, esto se evidencia en los siguientes argumentos “si la distancia de A a B es igual a la distancia de un punto cualquiera hasta F mas la distancia de ese mismo punto hasta F’, es porque es una elipse” también establece características geométricas, cuando escribe “dividiría el plano en cuatro partes desde el centro y si las cuatro son iguales”. El estudiante se da cuenta que las características geométricas no son suficientes para justificar que la figura 15 es una elipse. Figura 147: Respuesta del estudiante 27 157 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E20, se sitúa en un modo AE cuando explica que “ corresponde a una elipse ya que entre los puntos (5,6) y (8,-1) tienen la misma medida o la misma constante, con respecto a los focos F y F’ ”. Este argumento también se ve reflejado en los segmentos que traza (ver Figura 148). Figura 148: respuesta del estudiante 20 En las siguientes preguntas 3, 4, 5 y 6 de la actividad buscamos evidenciar si es posible que los estudiantes de este nivel comprendan de la elipse en modos SG2 y AE en el espacio. Las preguntas 3 y 4 , 3) En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. 4) Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse con el cono. Muestran el tránsito entre los modos SG1 y SG2 de la elipse, del plano al espacio. En la pregunta 3, solo dos de los estudiantes muestran posiciones correctas de los planos. La mayoría de los estudiantes (9) establecen algunas posiciones correctas de los planos, teniendo dificultades para determinar todas las condiciones de la intersección entre el cono y un plano para que forme una elipse. La mayoría de los estudiantes dibuja planos paralelos a la base como uno de los casos. A continuación se muestran ejemplos de respuesta. El estudiante E25, dibuja planos paralelos a las bases e incluso planos paralelos que pasan por el vértice del cono. Este estudiante presenta dificultades en la comprensión del modo SG de la elipse en el espacio. 158 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 149:Respuesta del estudiante 25 El estudiante E21, dibuja dos planos que generan una elipse y un plano paralelo a la base. Muestra evidencia de estar en vías de comprender el modo SG de la elipse en el espacio. Figura 150: respuesta del estudiante 21 El estudiante E22, establece posiciones correctas de los planos, muestra evidencias del tránsito entre los modos SG1 a SG2. Figura 151: Respuesta del estudiante 22 En la pregunta 5, el estudiante E20, explica que “para formar una elipse se puede de cualquier forma, pero menos de forma vertical”, en este argumento se evidencia parte del modo SG2 al analizar solo algunas condiciones de los planos. 159 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 152 : respuesta del estudiante 20 El estudiante E25, no logra conectar los modos SG1 en el plano y SG2 en el espacio de la elipse, esto se evidencia cuando escribe “el plano debe ir de manera que muestre el interior de la figura” Figura 153: Respuesta del estudiante 25 En la pregunta 5, A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente (http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para justificar que la curva formada es una elipse. La mayoría de los estudiantes(7) se sitúa en un modo SG2 para responder que la figura formada corresponde a una elipse por la inclinación del plano, 2 de ellos muestran en sus argumentos elementos del AE de la elipse en el plano, pero estos argumentos no logran interactuar con el modo SG2 para justificar en AE. A continuación presentan algunas de las respuestas de los estudiantes 160 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E22, muestra en su argumento elementos de los modos: sintético – geométrico en el espacio aunque con algunas imprecisiones en el lenguaje, cuando se refiere a “perpendicular”. Pero al observar las respuestas dadas en la pregunta 3(Figura 151) nos damos cuenta de que dibuja posiciones correctas de los planos. También muestra elementos del modo analítico – estructural en el plano, cuando escribe “la figura que se forma al ser cortada es una elipse porque cada punto de la figura tiene relación con los focos, además siempre tienen constantes”. Los argumentos dados no son suficientes para conectar los modos SG2 y AE de la elipse en el espacio. Figura 154: respuesta del estudiante 22 El estudiante E28, muestra elementos del modo analítico estructural de la elipse, cuando escribe “al poner un punto cualquiera de la figura y calculamos la distancia a los dos focos y las sumamos, en todos los puntos de la figura dará el mismo resultado” pero no logra conectar este modo con el modo SG2 en el espacio, es decir, no muestra justificaciones a partir de las esferas inscritas en el cono. Figura 155: Respuesta del estudiante 28 161 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 La pregunta 6, Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por qué? Nueve de los estudiantes se sitúan en un modo SG2 para responder, solo dos de ellos responde en forma correcta. El estudiante E25, prioriza un modo SG para argumentar sobre la existencia de otros conos que puedan generar la misma elipse, cuando dice que debe reunir características como “circunferencias en su interior” “al pasar el plano inclinado formar una elipse “. También muestra parte del modo AE cuando escribe “la elipse tenga una distancia entre los focos y un punto de referencia, la distancia no cambie, aunque se mueva para cualquier lado la distancia debe ser la misma “. Figura 156: respuesta del estudiante 25 El estudiante E27 justifica desde un modo SG, explicando que “cada cono formará elipses distintas”. Consideramos que solo piensa en los tamaños de los conos y no en la posición de los planos respecto a él. Figura 157: Respuesta del estudiante 27 162 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONCLUSIONES DEL CASO 2 La mayoría de los estudiantes de este grupo muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión de un modo analítico- estructural, consideramos que la actividad 1 presentada en la geometría del taxista entrega importantes beneficios en la comprensión del modo AE a partir de un modo sintético geométrico de la elipse. Los elementos de la geometría del taxista (distancia discreta, puntos como “esquinas”) facilitan el tránsito entre estos modos. Lo descrito en el párrafo anterior, se ve reflejado en las conexiones que establecen los estudiantes en los modos SG y AE en el plano cartesiano, cuando a partir de la propiedad de la elipse comprendida en la actividad 1 buscan las mismas regularidades , utilizando elementos de la geometría analítica , como , la distancia entre dos puntos del plano. Este grupo utiliza mayoritariamente el teorema de Pitágoras para el cálculo de las distancias. A diferencia del grupo anterior no realizan todos los cálculos de las distancias usando un método, solo los necesarios. Consideramos que este grupo utiliza menos “cálculos algorítmicos” que el grupo anterior, Obteniendo resultados similares en estos tránsitos. En relación al tránsito entre los modos SG - AE- AA, los estudiantes de este grupo presentan dificultades para obtener una ecuación para la elipse, si bien la mayoría determina una expresión que se cumple para todos los puntos de la elipse, lo hacen desde un modo AE. Consideramos que esta dificultad sucede por que los estudiantes no están apropiados de la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, aunque la conocen, la mayoría no la utiliza. Por lo que, se quedan sin herramientas al momento de establecer una ecuación. En el tránsito entre los modos AA y SG, también presentan algunas dificultades. Ellos muestran evidencias de comprensión del concepto conjunto solución de una ecuación, esto se refleja cuando tratan de buscar puntos que satisfagan la ecuación dada, presentándose las dificultades en el desarrollo algebraico que esto requiere, debido a que son ecuaciones de segundo grado, las cuales las desconocen. Aun así algunos de ellos logran determinar algunos puntos y concluir que es una elipse por la figura que se forma. Con respecto a las conexiones entre los modos SG1 - SG2 - AE de la elipse en el espacio, este grupo de estudiantes tienen problemas al momento de dibujar o describir las posiciones de los planos al intersectar a un cono. La mayoría muestra elementos del modo SG2 pero no analizan para todos los casos. Los estudiantes no logran conectar los modos SG2 y AE, aunque en las actividades anteriores (1 y 2) muestran evidencias de la comprensión de un modo AE de la elipse en el plano. Puede ser que los elementos que se presentan en el tránsito, me refiero a las esferas inscritas en el cono, teorema de las tangentes. Sean distantes en relación a los métodos de justificación que utilizaron en las demás actividades. 163 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CASO 3: ESTUDIANTES QUE DESCONOCEN LA ELIPSE (TERCER AÑO MEDIO) . Este grupo esta compuesto por 11 estudiantes entre 16 y 17 años cursan tercer año medio. Llamaremos a estos estudiantes E30, E31, E32, E33………E40. Estos estudiantes tienen conocimientos previos de la ecuación de recta y distancia entre dos puntos del plano. Son estudiantes de la asignatura álgebra y modelos analíticos correspondiente al plan científico, que es donde se tratan los lugares geométricos, entre ellos la elipse. Ellos no habían iniciado el estudio de estos temas, cuando fue aplicado el instrumento. Aplicamos el cuestionario en este grupo para evidenciar que tan viable es el instrumento para iniciar a los estudiantes en el estudio del concepto elipse. Nos enfocaremos mayoritariamente en la tránsitos de SG – AE en el la geometría del taxista y SG – AE AA en el plano. Aunque se aplica el diseño completo para ver cuáles son las conexiones factibles entre los modos de pensar la elipse en este caso. Análisis a posteriori de la actividad 1 Dividimos la actividad en dos partes, de acuerdo a los objetivos planteados, como se describe a continuación: Las primeras cuatro preguntas del cuestionario tenían por objetivo familiarizar a los estudiantes en los elementos propios de la geometría del taxista. Podemos evidenciar en las preguntas a y b, que todos los estudiantes muestran en sus argumentos comprender la distancia como el camino más cortos entre dos esquinas. Ellos se sitúan en un modo un SG para responder. A continuación se presentan ejemplos de respuestas Figura 158: Respuesta del estudiante 31 y del estudiante 33 164 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 159 : Respuesta del estudiante 40 El estudiante E31 y E33, muestra algunos de los posibles recorridos que realiza el taxista, en cambio el estudiante E40 dibuja todos los recorridos desde A a B, todos muestran en sus argumentos comprender la distancia discreta, concluyendo que esta distancia es cinco cuadras. En las preguntas c y d, donde se les pide a los estudiante que grafiquen circunferencia, dada la definición. La mayoría de los estudiantes (8) logra graficar la circunferencia utilizando la métrica discreta, es decir, establecen conexiones entre los modos AE y SG de la circunferencia. Solo 3 de ellos dibujan la circunferencia con las métricas usuales o bien ambas. A continuación se presentan algunos ejemplos Figura 160: Respuesta del estudiante 34 y del estudiante 30 En la pregunta e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity”. Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos. 165 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Todos los estudiantes muestran evidencias del tránsito entre los modos SG y AE de la elipse, estableciendo en cada una de las figuras la siguiente condición : la suma de las distancias de todos los puntos de la elipse a los focos es constante. A continuación se muestran algunos ejemplos de respuestas. El estudiante E36, determina las distancia en cuadras de F y F’ a todos los puntos de la elipse. E36 Observa regularidades de las distancias, relativas a la simetría, cuando escribe “ los puntos cercanos a el foco F tienen la misma distancia que los puntos cercanos al foco F’ ”. Finalmente concluye que: “la suma de las dos distancias de los focos siempre es 8”. Figura 161: Respuesta del estudiante 36 166 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E35 , al igual que E36 establece las distancias de cada uno de los puntos a los focos F y F’ , concluyendo que “ la distancia al sumarla siempre sera 6 en los puntos “ . Figura 162: Respuesta del estudiante E35 El estudiante E40, elige algunos puntos a los que llama A, B, C, determinando las distancias de los puntos a F y F’, para concluir que “ la suma de las cuadras recorridas de cualquier punto a F y F’ es 6” Figura 163: respuesta del estudiante 40 En la pregunta f) Muestra un ejemplo distinto a los anteriores de elipses en “Geocity”. 7 de los estudiantes dan ejemplos de elipse desde un modo AE, los otros 4 están en vías de comprender el modo AE, por lo que, dibujan solo algunos puntos que cumplen la condición. a continuación se muestran dos ejemplos de respuestas : El estudiante E34 establece todos los puntos que cumplen la condición dada, en cambio el estudiante E38 no muestra la totalidad de los puntos que cumplen la condición. 167 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 164: Respuesta de los estudiantes 34 y 38 En la pregunta g) Escriba una definición de la elipse en “Geocity”. 5 de los estudiantes dan definiciones en donde se evidencia un modo AE de la elipse. Los demás establecen en la definición la condición de los puntos de la elipse, presentando dificultades al definir el conjunto de puntos. A continuación se muestran ejemplos de respuestas: Los estudiantes E38 y E35 solo dan cuenta de la relación de los puntos respecto a los focos, El informante E31 en cambio argumenta que es un conjunto de puntos que cumple una cierta característica. Figura 165: Respuesta del estudiante 38 Figura 166: Respuesta del estudiante 31 Figura 167: Respuesta del estudiante 35 168 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta h) Justifica si las figura 6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity”. Consideramos que esta pregunta resume las conexiones entre los modos de pensar la elipse en la geometría del taxista de las actividades anteriores. Debido a que el estudiante debe tener claridad de la elipse como un conjunto de puntos que cumple una condición para enfrentarse a la pregunta. En este caso todos los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias de la comprensión del modo analítico – estructural de la elipse. A continuación se presentan 2 ejemplos de respuestas. Los estudiantes E31 y E32 comprenden la elipse como un lugar geométrico, esto queda en evidencia cuando prueban la condición respecto a la suma de las distancias de los puntos de la elipse a los focos para varios puntos en las figuras. Argumentando respectivamente E31 y E32 en la figura 6, “no es una elipse, porque al sumar las cuadras no dan siempre los mismos valores “, “no es una elipse de los focos F y F’ ya que al sumar la distancia de un punto cualquiera con respecto al foco F con la distancia del mismo punto anterior al foco F’ este da resultado diferentes en cuadras”, y en la figura 7 concluyen que “si es elipse , porque al sumar las cuadras siempre va a dar 4 cuadras y no otro valor “, “si es una elipse de focos F y F’ , ya que al sumar la distancia de un punto cualquiera con respecto al foco F y la distancia del mismo punto anterior con respecto al foco F’ esta suma será de cuatro cuadras “. Figura 168: Respuesta de los estudiantes 32 y 31 169 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 2 La actividad 2 evidencia los tránsitos entre los modos SG-AE-AA de la elipse en el plano. En la pregunta 1) Las figuras 8, figura 9, figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos de la elipse. Todos los estudiantes logran conexiones entre los modos SG y AE de la elipse, estableciendo las distancias de los puntos de coordenadas exactas a los focos , para ello utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. 9 de ellos establecen correctamente el valor de la constante en todas las figuras y los demás(2) determina el valor de la constante en alguna de ellas. a continuacion se presentan algunos ejemplos : El estudiante E40 , determina las distancias de los vertices de la elipse a los focos ,utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano, concluye que “ la suma de la distancia entre los focos es igual para todos los puntos de la elipse”. Figura 169: respuesta del estudiante 40 170 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E31 , determina las distancias de los vertices de coordenadas (2,0) y (-2,0) a los focos ,concluyendo que “ al sumar las distancias con respecto a los focos F y F’ con un punto exacto de la elipse en el plano cartesiano , este dara el mismo resultado, en este caso 4” Figura 170: respuesta del estudiante 31 El estudiante 39 elige dos puntos de la elipse a los que llama A y B , luego determina las distancias de los puntos a ambos focos ,a traves de la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. concluyendo que “ la caracteristica común de los puntos respecto a los focos es √ √ ” “ la suma de los puntos es √ √ ”. Figura 171: Respuesta del estudiante 39 171 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E35,determina la distancia de dos puntos a los focos F y F’, utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano , solo en los casos que considera necesario. concluyendo que “ la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos f y f’ es √ ” Figura 172: Respuesta del estudiante 35 En la pregunta 2) Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano, 5 de ellos muestran en sus definiciones comprender la elipse en un modo AE , los demas estudiantes dan cuenta solo de la condición de los puntos en relacion a los focos, es decir , argumentan utilizando una parte del modo AE. a continuacion se presentan algunos ejemplos de respuestas El estudiante E32 , muestra en sus argumentos estar en vias de la comprension del modo AE, cuando escribe “ la distancia entre dos puntos exactos siempre va a sumar lo mismo que con otros dos puntos.” piensa la elipse como “ una figura que posee puntos en el plano cartesiano”. pero al parecer no logra comprender la elipse como un conjunto de puntos que cumple una condición. Figura 173: respuesta del estudiante 32 172 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E37, tambien muestra en sus justificaciones estar en vias de comprension del modo AE de la elipse, cuando escribe “ donde los puntos exactos (paralelos) tienen igual distancia con respecto a los focos”. aunque especifica que “es un conjunto de puntos que tienen una semejanza común “ no se aprecia en su redacción la comprension de la propiedad. Figura 174: Respuesta del estudiante 37 El estudiante E39 , muestra en su respuesta comprension del modo AE de la elipse , esto queda en evidencia cuando escribe “ la suma de las distancias entre los puntos y los dos focos que conforman la elipse sera la misma “. Figura 175: Respuesta del estudiante 39 En la pregunta 3, En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y F’. Figura 12 todos los estudiantes muestran evidencias de comprender el modo AE de la elipse, relacionan el valor de la constante de la elipse con la longitud del eje mayor. 173 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E32 , argumenta desde un modo AE de la elipse , cuando escribe “ la distancia entre A y B será de 16 cm , porque se suma la distancia entre P yF´( 9 cm ) y P y F ( 7 cm ) para que asi de la distnacia de A y B”. el estudiante para dar una respuesta , analiza que sucede en una las elipses de la pregunta 1 de esta actividad en relación al eje mayor. Figura 176: Respuesta del estudiante 32 El estudiante E34 , argumenta que “ la medida de AB es de 16, ya que, la medida de F’ hacia P es de 9 cm y la medida de P hasta F es 7 , y aunque el punto P se mueva hacia cualquier punto de la elipse va a medir lo mismo de distancia sumada entre F, el punto y F’, ya que cuando una medida entre F y P se achica , la medida de F’ y P se agranda”. observamos en la respuesta dada, que el estudiante entiende la elipse como un lugar geometrico , donde P es un punto que se mueve en relacion a los focos. Figura 177: respuesta del estudiante 34 174 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E40 , argumenta “ el eje mayor mide 16 cm , ya que del punto P a ambos focos suman 16 cm . sabiendo que de cualquier punto la distancia a los focos es la misma”. muestra en la definicion comprensión del modo analitico estructural de la elipse. Figura 178: respuesta del estudiante 40 En la pregunta 4, Sea P(x ,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse . Figura 13 7 de los estudiantes muestran en sus argumentos evidencias del transito SG – AE – AA. Estos estudiantes para transitar del modo SG a AA muestran comprender la elipse en un modo AE y a través de las distancias establecen la ecuación. Los demás (4) muestran conexiones entre los modos SG y AE. A continuación se presentan algunos ejemplos El estudiante E36 esta en vías de comprender el modo AA de la elipse, muestra en su desarrollo comprensión de la elipse en un modo AE cuando escribe “la distancia de P y F + distancia de P y F´= distancia de AB”. Se da cuenta que la fórmula de distancia entre dos puntos del plano permite escribir lo anterior de otra forma, pero no generaliza para un punto P(x, y), sino que usa un punto de la elipse. Figura 179: respuesta del estudiante 36 175 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 El estudiante E39 , muestra en sus desarrollo comprender la elipse en un modo analítico – aritmético , cuando escribe las distancias de PF y PF’ a partir de la fórmula de distancia entre dos puntos del plano para un punto P(x,y) , además explica que “ la suma de las dos expresiones dará el resultado del punto con respecto a los focos , el cual se repetirá con cualquier punto de la elipse , el cual será 10” Figura 180: respuesta del estudiante 39 El estudiante E35 (Figura 181), muestra evidencias del tránsito SG - AE - AA, entiende la elipse como un lugar geométrico cuando escribe “ dPF + dPF’ = 10”. A partir de la condición anterior y la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, E35 transita a un modo AA, esto se evidencia, cuando argumenta “ la suma de las distancias de P(x,y) a cada uno de los focos F’(-4,0) y F(4,0) es 10” y cuando escribe la ecuación √ √ . Figura 181: respuesta del estudiante 35 176 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANÁLISIS DE LA ACTIVIDAD 3 En la pregunta 1) Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano cartesiano. Justifique su respuesta. La mayoría de los estudiantes (8) muestra conexiones entre los modos AA- SG, obtiene la gráfica de la elipse reemplazando los puntos en la ecuación, aunque algunos de ellos solo grafican en discreto. Los demás estudiante (3) obtiene algunos puntos pero no los ubican en el plano, presentan dificultades en los cálculos para determinar los puntos. El estudiante E35, muestra en sus desarrollo evidencias del tránsito entre AA y SG, obteniendo distintos puntos de la elipse, para ello reemplaza puntos en la ecuación, y resuelve las ecuaciones cuadráticas que resultan. Aunque al ubicar los puntos en el plano cartesiano no los une, igualmente concluye que “la ecuación si corresponde a una elipse” Figura 182: Respuesta del estudiante 35 El estudiante E32, muestra evidencias del transito entre los modos AA y SG, para ello completa una tabla de valores, despejando de la ecuación las variable x e y. posteriormente ubica los puntos en el plano y justifica que “Si es una elipse, porque tiene la forma y se parece a una elipse”. Figura 183: Respuesta del estudiante 32 177 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En la pregunta 2) Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles? En la pregunta 2, ítem a y b, buscan evidenciar el tránsito entre los modos SG – AE. La mayoría de los estudiantes (10 y 9 respectivamente), en ambas figuras priorizan un modo AE para argumentar que las figuras son elipse de focos F y F’. A continuación se presentan ejemplos de respuestas: El estudiante E31, argumenta desde un modo AE, cuando escribe “ sacar la distancia de F al punto C; luego determinar la distancia de el foco F’ al punto C y sumarlas; después hago la misma operación con otro punto y comparo los resultados de la suma de las distancias “. Aunque no escribe que las sumas de las distancias deben ser iguales, consideramos que cuando dice “comparo los resultados” puede estar pensando en la igualdad. Figura 184: respuesta del estudiante 31 El estudiante E34, escribe dos estrategias desde un modo AE, estas son: “lo pondría en un plano cartesiano y le daría puntos exactos para sacar mas fácilmente la medida de Fa y las medidas de F’a y sumarlas y hacer el mismo cálculo con el punto b, cosa que den el mismo resultado” y “ hacer un triángulo FF’A y sacar el perímetro y hacer los mismo con un triángulo FBF’ y sacar perímetro y que tengan el mismo resultado los dos triángulos ” . 178 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 185: Respuesta del estudiante 34 Las preguntas 3 y 4 propician el tránsito entre los modos sintético-geométrico de la elipse en el plano y en el espacio. La mayoría de los estudiantes de este grupo en las preguntas 3 y 4 solo establecen algunas posiciones correctas de los planos, algunos de ellos utilizan material concreto, crean un cono de papel y a partir de ellas buscan las condiciones que debe tener un plano para que al intersectarse con el cono genere una elipse. Aún así presentan dificultades para transitar de SG1 a SG2. A continuación se presentan ejemplos de respuestas. 3) En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. Los estudiantes E39 y E37 presentan algunas posiciones correctas de los planos, pero ambos consideran el plano paralelo a la base como uno de los casos, al parecer no tienen claridad que la base de un cono es circular. Ambos están en vías de comprender el modo SG2 de la elipse en el espacio. Figura 186: Respuesta del estudiante 39 179 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 187: Respuesta del estudiante 37 4) Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse con el cono. El estudiante E37, muestras casos que no forman elipse, pero considera el plano paralelo a la base como uno de los casos que si forma una elipse. E38 en cambio, comprende el modo SG2 de la elipse, presentando mayores características de la posición del plano estas son: “no debe ser ni vertical ni horizontal” “debe posicionarse solo en los lados del cono y su punto limite es el punto de la base” “tiene que ser inclinado para que no forme una circunferencia”. Figura 188: Respuesta del estudiante 37 Figura 189 : Respuesta del estudiante 38 180 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 La pregunta 5 propicia el tránsito entre los modos SG2 y AE de la elipse. Nueve de los estudiantes muestran elementos del modo AE en el plano, pero no logran justificar en el espacio, aunque conocen el teorema de las tangentes desde un punto exterior a la circunferencia no lo utilizan. Los demás estudiantes justifican desde un modo SG2. A continuación se presentan ejemplos de respuestas: 5) A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente (http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para justificar que la curva formada es una elipse. Figura 190: animación de la elipse El estudiante E32, justifica desde un modo AE de la elipse en el plano cuando escribe “si es una elipse porque la distancia de cualquier punto de la elipse en este caso M, entre los focos F1 y F2; la suma de estas distancias va a ser igual, que las distancias de otro punto x de la elipse entre los focos F1 y F2”. Aunque el estudiante muestra comprender el AE de la elipse, este no interactúa con el modo SG2, por lo tanto, las esferas inscritas en el cono no tienen relevancia al momento de justificar. 181 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 191: Respuesta del estudiante 32 El estudiante E30, justifica desde un modo SG2 cuando escribe “para que exista elipse en un cono. el plano que lo intersecta tiene que ser inclinado” . E30 no logra conectar los modos SG2 y AE de la elipse. Figura 192: Respuesta del estudiante 30 El estudiante E40, muestra elementos de los modos SG2 cuando escribe “el punto en que choca la esfera con el plano es utilizado como foco, por lo que tiene mucha relación con la forma de la elipse” y también presenta elementos de modo AE de la elipse cuando escribe “si F1 y F2 se encuentran en determinadas posiciones y todos los puntos que forman la elipse están distribuidos de acuerdo a la suma de las distancias a los focos”. Este estudiante esta en vías de tránsito entre los modos SG2 y AE, aunque muestra elementos de ambos modos, justifica a partir de la forma de la elipse y no de la condición de los puntos de ella en relación a las esferas inscritas en el cono. 182 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Figura 193: respuesta del estudiante 40 La pregunta 6, evidencia el modo que priorizan los estudiantes cuando se pregunta por la elipse en el espacio. 6) Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por qué?. 6 de los estudiantes determinan que el cono no es único depende de la posición del plano en los conos, ellos se sitúan en SG2 para responder. Los demás responden desde un modo SG en forma incorrecta. A continuación se presentan ejemplos de respuestas El estudiante E40 argumenta desde un modo SG2, explicando que no es único porque “no solo depende de la forma y tamaño del cono y de cómo intercepte al plano, sino que también del tamaño y posición de las esferas inscritas en el cono y el punto que choquen al plano” “no importa si el plano intercepta mas cerca o lejos del eje si el punto de intersección del plano y las esferas pone los focos en cierta posición” Figura 194: respuesta del estudiante 40 183 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Los estudiantes E35 y E32 responden en forma incorrecta explicando que el cono es único, porque “hay un único cono para cada elipse, ya que depende de la forma del cono” o bien “otro cono con diferentes medidas va a generar otra elipse diferente” Figura 195: Respuesta del estudiante 35 Figura 196: Respuesta del estudiante 32 184 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CONCLUSIONES DEL CASO 3 En relación a los objetivos propuestos en las actividades: La mayoría de los estudiantes de este grupo al igual que en los casos anteriores (1 y 2) muestra en sus argumentos evidencias de la comprensión de un modo analítico- estructural en las actividad 1 y 2. Es fundamental la actividad 1 presentada en geometría del taxista para la comprensión del modo AE a partir de un modo sintético geométrico de la elipse. A partir de las comprensiones que logran en la actividad 1, establecen sin mayores dificultades las mismas conexiones entre los modos SG y AE en el plano cartesiano, ellos buscan las mismas regularidades de la actividad 1, pero con los elementos propios de la geometría analítica, como, la distancia entre dos puntos del plano. En este tránsito los estudiantes utilizan mayoritariamente la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. . En relación al tránsito entre los modos SG - AE- AA, la mayoría de los estudiante evidencia estar en vías de la comprensión del modo AA de la elipse, para obtener la ecuación utilizan la fórmula de distancia entre dos puntos del plano. A diferencia del caso 2 este grupo logra mayores conexiones entre estos modos. En el tránsito entre los modos AA y SG, muestran evidencias del tránsito a través de elementos analíticos como son: comprensión del concepto conjunto solución de una ecuación, desarrollo de ecuaciones de segundo grado. La mayoría busca puntos que satisfagan la ecuación dada, luego los grafican en el plano concluyendo en relación a la figura que se forma. La mayoría de los estudiantes de este caso, muestran evidencias de los tránsitos entre SGAE - AA y la comprensión de estos modos en el plano cartesiano. Las dificultades que se presentaron corresponden a desarrollos algorítmicos en su mayoría de fórmulas o ecuaciones de segundo grado. Con respecto a las conexiones entre los modos SG1 - SG2 - AE de la elipse en el espacio, este grupo al igual que el grupo anterior presenta dificultades al momento de dibujar o describir las posiciones de los planos que al intersectar a un cono forme una elipse. La mayoría muestra elementos del modo SG2 pero no analizan para todos los casos. En relación a las conexiones entre los modos SG2 y AE, los estudiantes presentan elementos de ambos modos pero no logran que ellos interactúen, las esferas inscritas en el cono, solo son vistas desde un modo SG2, ningún estudiante logra relacionarlas con el modo AE de la elipse, aunque tienen conocimiento previos relacionados con los teoremas de las circunferencias. Creemos que esto se debe principalmente a que las justificaciones de las actividades anteriores entregaban un valor numérico, en cambio en esta actividad necesitan generalizar a partir de los teoremas en juego. 185 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CAPÍTULO VIII: CONCLUSIONES 186 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 SUGERENCIAS DIDÁCTICAS A partir con los resultados obtenidos en nuestra investigación, en los estudios de los casos 1 ,2 y 3, entregamos un conjunto de sugerencias didácticas para el aprendizaje del concepto elipse en estudiantes de 15 a 17 años. Iniciar con actividades donde los estudiantes transiten entre los modos SG-AE, sugerimos para los aprendices las actividades presentadas en la geometría del taxista (actividad 1 del cuestionario), ya que, nos entregan importantes beneficios en la comprensión del modo AE a partir de un modo SG de la elipse. Los elementos de esta geometría (distancia discreta, puntos como “esquinas”) facilitan la comprensión de la propiedad que la define como lugar geométrico “la suma de las distancias de un punto de la elipse a ambos focos es siempre constante”, además permite probar que ésta se cumple para todos los puntos de la elipse, situación que no es evidente en la geometría euclidiana. Nuestra atención en las actividades presentadas se centran en el modo AE de la elipse, sin desconocer que estas actividades entregan importantes hallazgos respecto a características geométricas de la elipse, como es el caso de la simetría, en donde algunos de los estudiantes se dan cuenta que no es un criterio suficiente para determinar si las figuras presentadas son elipses o no (Actividad 1, pregunta h). Otras de las ganancias, que permite el trabajo con la geometría del taxista, es que se puede trabajar distintas posiciones de los focos de la elipse, lo cual no es un problema al momento de determinar la constante de la elipse. Situación que no es usual en el enfoque tradicional por la complejidad de las ecuaciones que las definen. Sugerimos además proponer otras actividades que promueven la comprensión del concepto como lugar geométrico, situaciones donde se les solicite a los aprendices graficar elipses en “ Geocity ” conociendo el(los) valor(es) de la constante y la distancia entre los focos, considerando que es una ciudad con una cantidad finita de calles y avenidas. Seria interesante que evidencien cuales se pueden construir y cuales no, y que puedan determinar las condiciones mínimas de existencia, por ejemplo: Sea “F “la intersección de calle 8 con avenida 10, y “F’ ” la intersección de calle 8 con avenida 14. Grafique las “elipses” de focos “F” y “F’ ”, para cada uno de los siguientes valores de la constante de la elipse (d) “d”: 3; 4;5;6;7;8 ¿existen todas ellas? ¿Qué forma tienen? Evidenciamos que los estudiantes que comprenden la elipse en el modo AE, presentan mayores posibilidades de alcanzar la comprensión profunda del concepto, debido a que esto ayuda en la conexión con los otros modos SG y AA de la elipse. 187 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Una vez comprendido el modo AE de la elipse en la geometría del taxista, los aprendices pueden establecer las conexiones entre los modos SG-AE en el plano cartesiano, con los elementos propios de la geometría analítica, como, la distancia entre dos puntos del plano. Es interesante presentar distintas elipses en el plano, no solo aquellas centradas en el origen que son en las que se propone en el enfoque tradicional. Cuando los estudiantes se enfrentan a tareas donde deben situarse en un modo AE para responder, proponemos trabajar en el valor de la constante, relacionándolo con la distancia entre los vértices del eje mayor de la elipse. (Actividad 2, pregunta 3). Una vez comprendido el modo AE en el plano cartesiano, se puede propiciar el tránsito al modo AA de la elipse, estableciendo las relaciones entre sus elementos a, b y c (semidistancia del eje mayor, semidistancia del eje menor, semidistancia del eje focal respectivamente), cobrando así sentido la expresión . Se puede proponer que establezcan una expresión entre los puntos de la elipse y los focos en un modo AE, y utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos del plano, pueden determinar una ecuación para la elipse. Es importante destacar que algunos de los estudiantes de los casos 2 y 3 presentaron dificultades en este tránsito, por lo tanto, se sugiere realizar un trabajo previo en el concepto de distancia entre dos puntos del plano. Para la comprensión del modo AA de la elipse, sugerimos presentar a los estudiantes situaciones como: donde el alumno deba explicar por qué tal punto (par) es solución de la ecuación o por qué tal punto (par) no lo es, donde grafique la elipse dada la ecuación, donde obtenga la ecuación a partir de las gráficas. Este tipo de actividades promueve que los estudiantes comprendan la elipse como “Un conjunto de puntos del plano que satisface una ecuación”, para que se realice con éxito esta conexión, es importante el concepto de conjunto solución de una ecuación por parte de los estudiantes. Posteriormente se pueden introducir situaciones donde los estudiantes complementen los modos SG, AA y AE de la elipse. Consideramos pertinente que los estudiantes de este nivel comprendan la elipse como una sección cónica desde un modo SG, como la intersección de un cono y un plano. Con respecto al tránsito entre los modos SG y AE de la elipse en el espacio (actividad 3, preguntas 5 y 6), en base a los resultados de esta investigación, consideramos que no es viable para estudiantes que se inician en el estudio del concepto, ya que, nuestros casos 2 y 3 presentaron grandes dificultades para comprender la interacción de estos modos en el espacio, aunque la mayoría de ellos comprende el modo AE de la elipse en el plano. Puede ser que los contenidos matemáticos y los procedimientos necesarios para dar una respuesta no están al alcance de estudiantes en estos niveles. Pero si, imaginamos que estas actividades (actividad 3, ítem 5 y 6) se pueden trabajar al finalizar el estudio del concepto elipse, muestra de ellos, son los resultados del caso 1, en 188 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 donde la mayoría justifica el modo AE de la elipse utilizando técnicas sintéticas, como, propiedades de las esferas inscritas en el cono, teorema de las tangentes a la circunferencia, entre otras. En los niveles posteriores, se pueden complementar los modos SG y AE de la elipse en el espacio, con el modo AA, que esta dado por el sistema de ecuaciones que se forma a partir de las ecuaciones del cono y del plano. CONCLUSIONES TEÓRICAS Y REFLEXIONES FINALES Al inicio de nuestra investigación nos planteamos las siguientes interrogantes ¿Cuáles son las conexiones entre las distintas definiciones de la elipse que promueve alcanzar una comprensión profunda de éste? ¿Qué elementos de la Matemática están presentes en la comprensión profunda del concepto elipse? ¿Estos elementos tienen características geométricas, analíticas u obedecen a estructuras matemáticas? En relación a la primera interrogante, evidenciamos que los estudiantes que comprenden la elipse como un lugar geométrico (modo AE), presentan mayores posibilidades de alcanzar la comprensión profunda del concepto, debido a que esto ayuda en la interacción con los otros modos SG y AA de la elipse en el plano. Desde los resultados de investigación argumentamos que la conexión entre los modos SG- AE en la geometría del taxista y SG-AE-AA en el plano cartesiano contribuyen a la comprensión del concepto elipse. Al inicio de la investigación planteamos dos modos SG de la elipse uno en el plano y otro en el espacio. Consideramos pertinente en la enseñanza del concepto, en un principio trabajar en los distintos enfoques de la elipse en el plano. Para luego propiciar los modos de comprender la elipse en el espacio. En relación a las otras interrogantes, planteamos que los elementos de la matemática que promueven el tránsito entre los modos de comprender la elipse en el plano cartesiano en estudiantes que se inician en el estudio, obedecen principalmente a estructuras, como se explica a continuación: Para transitar de SG a AE, se requiere de la comprensión de la definición de elipse como lugar geométrico (o descubrir su definición a través de la observación de regularidades ) y el concepto de distancia entre dos puntos del plano. Desde AA - SG necesitamos del concepto de conjunto solución de una ecuación en el plano y desarrollo algorítmicos de las ecuaciones de segundo grado. Desde AE – AA requerimos del concepto de distancia entre dos puntos del plano, ya sea, la fórmula analítica que la define o bien el teorema de Pitágoras. Desde AA - AE necesitamos elementos de SG y AE para establecer la constante y poder definir la elipse como un conjunto de puntos que 189 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 cumplen una condición. Desde AE-SG, hay distintos elementos que los conectan, puede ser la ecuación que la define, o bien utilizando la definición como lugar geométrico y el concepto de distancia. y desde SG - AA requerimos de la definición formal del concepto , en caso de que se desconozcan las ecuaciones. Enfatizamos que en la mayoría de las conexiones entre los modos de comprender la elipse, hay elementos que obedecen a la definición formal del concepto como son: el conjunto solución de una ecuación, el concepto de distancia, el concepto de elipse como lugar geométrico. Y también hay elementos en su mayoría analíticos que ayudan en la interacción: fórmula de distancia, desarrollos algorítmicos de las ecuaciones cuadráticas, cálculo de raíces cuadradas, entre otros. A partir de los resultados obtenidos en el caso 1 donde los estudiantes realizan con éxito las conexiones de los modos SG y AE en el espacio, evidenciamos que los elementos de la matemática que propician esta conexión tienen características geométricas, y los procedimientos de justificación requieren de un mayor nivel de abstracción. En relación a los modos de comprender la elipse, hacemos énfasis que si bien los tres modos son igualmente importantes para la comprensión del concepto. Una vez comprendido, el modo analítico – estructural es el que se conserva cuando trabajamos en otros ámbitos, por ejemplo, otras geometrías o la física. Para finalizar queremos enfatizar que las evidencias con sustento teórico, proporcionadas de los resultados de la investigación, contribuyen al desarrollo de la teoría de los modos de pensamiento en otros ámbitos, un tanto distante del álgebra lineal, como por ejemplo, en el estudio de las secciones cónicas u otros temas relativos al cálculo; sin descuidar los elementos principales de la teoría. 190 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 BIBLIOGRAFÍA Arnal, J.; Del Rincón, D.; Latorre, A. (1992). Investigación Educativa. Fundamentos y Metodología. Barcelona: Labor. Arnal, J.; Del Rincón, D.; Latorre, A. (1992). “La investigación colaborativa”. En J. Arnal; D. Del Rincón y A. Latorre: Investigación Educativa. Fundamentos y Metodología. Barcelona, Labor. Blanco Molleda , S., De las Heras Karl, R., Fuenzalida Correa, G., & Riveros Rojas , J. (1995). Matemática Plan Electivo III y IV medio. Santiago : Santillana . Boyer , C. (1986). 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Como se describe a continuación: El capítulo se inicia con una breve introducción historia del concepto, luego explica que las secciones cónicas se producen al intersecar una superficie cónica circular recta por medio de planos. Luego demuestra que una curva de intersección entre un cono y un plano una sección que tiene a por focos y a , respectivamente, como directrices correspondientes. Se apoya en la siguiente figura: A partir de relaciones geométricas y razonen trigonométricas deduce que toda intersección de un plano y el cono es una cónica, determinada por una constante positiva, denominada excentricidad. Luego “denomina elipse al lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (conocidos como focos) es constante” (577). Mediante desarrollo algebraico obtiene la ecuación canónica de la elipse , describe también los elementos de la elipse y da fórmula para la longitud el lado recto. Se dan a conocer también la ecuación + que presenta la elipse cuando los ejes mayor y menor de la elipse son paralelos a los ejes coordenados y el centro es C (h; k). Complementa con la ecuación paramétrica de la elipse { [ [ En otra sección precedente a la anterior , a la que llama, Ecuación directriz, foco, excentricidad, propone una definición para las cónicas a partir de la excentricidad: “Dados un punto fijos F,F’ llamado foco, una recta fija d, conocida como directriz y un número 194 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 real positivo e, denominado excentricidad, se llama cónica al lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cuociente entre sus distancias a F y a d es “ (p586) , obteniendo a través de métodos algebraicos la ecuación : ( apoyado en la figura adjunta) Propone para la elipse, un desarrollo algebraico cuando Finalmente presenta la ecuación general de segundo grado Realizando un análisis para determinar el tipo de lugar geométrico que representa en el plano esta ecuación, para ellos, considera sus dos partes: parte cuadrática y la parte lineal y la variación de los parámetros. En el libro descrito anteriormente, podemos identificar que entre las definiciones de una elipse como sección cónica, lugar geométrico y a partir de las ecuaciones que la describen, existen elementos matemáticos que las conectan, combinando técnicas sintéticas y algebraicas. Cálculo De Una Variable Trascendente tempranas - Sexta Edición (2008) - James Stewart editorial: Cengage Learning Editores. La elipse se trata en el capítulo X, Ecuaciones Paramétricas y Coordenadas Polares, Particularmente en secciones cónicas, se muestran la intersección del plano y un cono cuando genera una elipse. Luego se define la elipse como un conjunto de puntos, donde la suma de sus distancias de dos puntos fijos es una constante. A través de la definición con procedimientos algebraicos obtiene la ecuación cartesiana de la elipse. luego se la definición de elipse , como conjunto de puntos relacionados a partir de la excentricidad , y partiendo de la definición por medio de herramientas algebraicas establecidas por las relaciones geométricas dadas , obtiene las siguientes ecuaciones polares: “Una ecuación polar de la forma o bien representa una sección cónica con excentricidad . La cónica es una elipse si , una parábola ,o una hipérbola si ” (p.666) Finalmente se relaciona la ecuación polar de la elipse con la primera ley de Kepler “un planeta gira alrededor del Sol en orbita elíptica con el Sol en un foco “para determinar 195 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 cálculos astronómicos, a partir de la elipse, donde los vértices corresponden a perihelio y afelio13 Determinando la distancia al perihelio de un planeta al sol es afelio es . y la distancia al El foco del libro se centra en la obtención de las ecuaciones cartesianas y polares, y en la importancia de estas últimas (definidas a partir de la excentricidad) tienen para tratar temas de astronomía. El cálculo séptima edición, Louis Leithold (1998) editorial: Orfoxd university press-harla. México Nuestro objeto de estudio, aparece en el Capítulo IX: Ecuaciones paramétricas, curvas planas y gráficas polares en la sección titulada tratamiento unificado de las secciones cónicas y ecuaciones polares de las cónicas. Se definen las secciones cónicas, como el lugar geométrico que cumple una propiedad común, dada por la excentricidad. Para la elipse la excentricidad varía entre 0 y 1. A partir de la definición dada se obtienen las ecuaciones cartesianas y polares de las secciones cónicas, por medio de desarrollos algebraicos determinados por las propiedades geométricas involucradas. Para la elipse se encuentran las siguientes ecuaciones: a) Ecuación Cartesiana : F , , las ecuaciones de la directriz: con , los focos son . b) Ecuaciones Polares : Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz correspondiente es perpendicular al eje polar, entonces una ecuación es: ; Si un foco de la cónica está en el polo y la directriz correspondiente es paralela al eje polar, entonces una ecuación es: ; 13 Las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más cercanas a éste, se denominan Perihelio y afelio. (Stewart, 2008) 196 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 Los números son respectivamente, la excentricidad y la distancia no dirigida entre el foco y la directriz correspondiente de una cónica En unos de los apéndices del libro: Temas de Matemáticas previas al cálculo, aparece la elipse. Parte dando a conocer la elipse como sección cónica (intersección de un plano y un cono), luego propone la definición de elipse como lugar geométrico de los puntos donde la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante, posteriormente determina la ecuación cartesiana de la elipse con centro en el origen, y la generaliza para centro (h,k), seguidamente se determinan condiciones en los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que represente una elipse. Finalmente se demuestra que la definición de elipse como conjunto de puntos de un plano se deduce de la definición de elipse como sección cónica, esta demostración se basa en el teorema de las esferas de Dandelin. El cual, hace uso de propiedades geométricas. En el texto anterior también se privilegian la obtención de ecuaciones a partir propiedades geométricas que definen la elipse. Por otra parte en la presentación de la elipse en el apéndice del libro, existen elementos de la matemática, combinaciones de técnicas sintéticas y analíticas, que permite relacionar los distintos enfoques en la construcción del concepto elipse. 197 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANEXO 2: CUESTIONARIO EXPLORATORIO 198 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CUESTIONARIO EXPLORATORIO 1.- A continuación se presentan ecuaciones de curvas en R x R. Explica cual o cuales de ellas corresponden a elipses, y cuéntanos cómo llegas a la respuesta. 2.- Determine la ecuación de la elipse de la figura1. Explique en detalles el procedimiento que ha realizado. Figura 1 199 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 3) Dada una elipse con centro en el origen y longitud del eje mayor (sobre el eje x) igual a 10 unidades, donde uno de los focos es el punto (3,0). Determine si el punto (0,4) es un punto de la elipse. Justifique su respuesta. 4) En una elipse la longitud del eje mayor es 20 unidades y la longitud del eje menor es 12 unidades. Si la distancia del punto P ( √ ) de la elipse a un foco mide 11 unidades ¿Cuál es la distancia de P al otro foco? Justifique su respuesta. 5.- En la Figura 2, determine la longitud del semieje mayor de la elipse de focos F y F’. Figura 2 200 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANEXO 3: SECUENCIA DE APRENDIZAJE 201 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CUESTIONARIO: CASO 1 1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en dibujos para responder. ACTIVIDAD 1: 1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y siempre utilizan los recorridos más cortos posibles. Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura Figura 1 a) Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista. b) Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”. 202 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A esa distancia se le conoce como radio. c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3. d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos. Figura 2 Figura 3 Figura 4 203 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”. g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”. f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” . Figura 6 Figura 7 204 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ACTIVIDAD 2 1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos de la elipse. Figura 8 Figura 10 Figura 9 Figura 11 2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano 205 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 3.-En la Figura 12, determine la medida del segmento AB de la elipse de focos F y F’. Figura 12 4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse. Para ello utilice dos argumentos distintos, justificando cada uno de ellos. Figura 13 206 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 5.- Establezca una ecuación que defina la elipse de focos F y F’ (figura 14) Figura 14 207 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ACTIVIDAD 3 1.-Determine si la ecuación corresponde a una elipse en el plano cartesiano. Justifique su respuesta dando dos argumentos distintos. 2.-La figura 15 que se presenta a continuación es una elipse de focos F y F’. ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponde a una elipse? ¿Hay más de una justificación? Y ¿cuáles? Figura 15 208 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. 4.- En la figura 20 dibuje 2 planos que al intersectar al cono generen una elipse. Figura 16 Figura 17 Figura 18 4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse con el cono. 5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente (http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para justificar que la curva formada es una elipse. 6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por qué? 209 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 CUESTIONARIO: CASOS 2 Y 3 1.- ¿Qué es lo primero que imaginas cuando escuchas la palabra elipse? Apóyate en dibujos para responder. ACTIVIDAD 1: 1.- Los taxistas de “Geocity” recorren su ciudad transitando por las calles paralelas llamadas Calle1 , Calle 2 , etc.. hasta calle 30, y las avenidas , que son perpendiculares a las calles, llamadas Avenida 1, Avenida 2 , etc..hasta Avenida 25. Sólo les permite detenerse en las esquinas, por lo cual ellos miden las distancias en “cuadras” y siempre utilizan los recorridos más cortos posibles. Un taxista de “Geocity” recorre desde la esquina A hasta la esquina B. (ver figura Figura 1 a) Marca en la figura 1 los posibles recorridos que realiza el taxista. b) Determine la distancia recorrida por el taxista en “cuadras”. 210 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 En geometría decimos que una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia. A esa distancia se le conoce como radio. c) Grafique en “Geocity” la circunferencia de centro O y radio 3. d) Obtenga tres circunferencias con otros radios en “Geocity”. e) Las figuras 2, Figura 3 y figura 4 representan elipses en “Geocity” . Los puntos F y F´ se conocen como focos de la elipse. Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos en cada uno de los casos. Figura 2 Figura 3 Figura 4 211 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 f) Muestra 2 ejemplos distintos a los anteriores de elipses en ““Geocity”. g) Escriba una definición de la elipse en ““Geocity”. f) Justifica si las figura6 y figura 7 son elipses de focos F y F’ en “Geocity” . Figura 6 Figura 7 212 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ACTIVIDAD 2 1) Las figuras 8 , figura 9 , figura 10 y Figura 11 representan elipses de focos F y F’ en el plano cartesiano. ¿Qué característica común tienen los puntos de la elipse en relación a los focos? En cada uno de los casos justifique para algunos puntos de la elipse. Figura 8 Figura 10 Figura 9 Figura 11 2.-Escriba una definición para la elipse en el plano cartesiano 213 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 3.-En la Figura 12, determine la medida del eje mayor de la elipse (AB) de focos F y F’. Figura 12 4.- Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse (Figura 13) , Establezca una ecuación que defina la elipse figura 13 214 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ACTIVIDAD 3 1.- determine si la ecuación cartesiano. Justifique su respuesta corresponde a una elipse en el plano . 2.-Las figura 14 y figura 15 que se presenta a continuación son elipses de focos F y F’ ¿Qué harías tú para justificar que efectivamente corresponden a elipses? ¿Hay más de una justificación? ¿Cuáles? Figura 14 Figura 15 215 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 3.-En el espacio las elipses se obtienen de la intersección de un cono y un plano. En las figuras que se presentan a continuación (figura 16, figura 17 y figura 18) dibuje distintos planos de modo que formen una elipse con el cono. 4.- En la figura 20 dibuje 2 planos que al intersectar al cono generen una elipse. Figura 16 Figura 17 Figura 18 4.- Escriba las condiciones necesarias de la posición del plano para que forme una elipse con el cono. 216 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 5.- A continuación se muestra una animación en cabri de la elipse en el espacio. Donde existen dos esferas inscritas en el cono y tangentes al plano. Sus puntos de contacto con el plano serán los focos de la elipse. Observa atentamente (http://gallery.cabri.com/figures/space/dandEll.cg3) y luego escribe tus argumentos para justificar que la curva formada es una elipse. 6.- Dada una elipse en el plano, ¿Crees que el cono que genera la elipse es único? ¿Por qué? 217 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 ANEXO 4: PONENCIAS 218 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 PARTICIPACIÓN EN RELME 26 219 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 PARTICIPACIÓN EN LA XXV JORNADA DE LA ZONA SUR 220 La elipse desde la perspectiva de la Teoría de los modos de pensamiento 2012 PARTICIPACIÓN EN LA XV JORNADA NACIONAL DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA 221