DEPARTAMENT DE TERMODINÀMICA Problemas de Física Diplomatura en Óptica y Optometría (Curso 2004/2005) Introducción: unidades Fundamentos matemáticos. Vectores y Campos. Propiedades de los sólidos. Fluidos ideales. Fluidos reales. Fenómenos de superficie Ondas Mecánicas. Acústica. Campo eléctrico. Corriente continua. Campo magnético. Inducción magnética. Manuel Dolz Departamento de Termodinámica. Facultad de Farmacia, 2do piso, Despacho: 2-51 http://www.uv.es/~mdolz/docencia J.A. Martinez-Lozano y Pilar Utrillas Departamento de Termodinámica. Facultat de Física. Bloque C (3er piso) Despachos: 3307/3310 http://pizarra.uv.es/ http://www.uv.es/~utrillas/docencia http://www.uv.es/~jmartine/docencia Física. Diplomatura óptica y optometría 3 Introducción: unidades 0.1.- Expresad 1 km en cm, micrómetros (µm), nanómetros y en las unidades del SI. Física. Diplomatura óptica y optometría Fundamentos Matemáticos.Vectores y Campos Resumen Teoría • Vector: 0.2.- Sabiendo que 1 atm es la presión ejercida por una columna de mercurio (ρ=13,6 g/cm3) de 76 cm • Suma vectores: de altura, hallad su valor en el S.I. • Resta vectores: 0.3.- Escribe en el S.I. : a) 10cc ; b) 3atm.; c) 7.2 km/h, d) 30ºC; e) 300g. 4 • Producto escalar: 0.4.- Calculad las dimensiones de la constante universal de la gravitación, G, y sus unidades en el Gm1m 2 sistema internacional (S.I.) sabiendo que: F= 2 r • Producto vectorial: L 0.5.- Demostrad que la fórmula del periodo del péndulo simple T=2π , donde L es la longitud del g G G G G v = vx i + vy j + vz k JG JG JG JG A+ B= C | C | = A+ B + 2AB cos (A, B) JG JG JG JG A- B= D | D | = A+ B - 2AB cos (A, B) G JJG JJG v G uv = µ v = (µ v) u v v JG JG JG JG A.B A . B = AB cos (A, B) cos (A, B) = AB JG JG A . B = AxBx + AyBy + AzBz JG JG JG JG Ax B= C | C | = AB sen (A, B) G G G i j k JG C= Ax Ay Az Bx péndulo y g la aceleración de la gravedad, es dimensionalmente correcta. 0.6.- Suponiendo que la velocidad de propagación del sonido, c, en un gas depende de la presión, p,y de la densidad, ρ, encontrad una expresión para c utilizando el análisis dimensional.. 0.7.- Calcular la altura de una tubería de 10m de larga, inclinada 30º sobre la horizontal. G • Circulación de v : a G • Flujo de un vector v : By Bz G b C = ∫ vdr =⌠ ⌡ (vxdx + vydy + vzdz) bG bG G φ = ∫ vds a a • Operador : • Gradiente (de un escalar): • Divergencia (de un vector): ∂G ∂ G ∂ G i+ j+ k ∂x ∂y ∂z ∂u G ∂u G ∂u G u= (es un vector) j+ k i+ ∂y ∂x ∂z G ∂vx ∂vy ∂vz v = ∂x + ∂y + ∂x (es un escalar) = • Rotacional (de un vector): (es un vector) G x v= • Campo Conservativo: G G G i G j G k ∂ ∂x vx ∂ ∂y vy ∂ ∂z vz b G G C = v∫ vdr = ∫ (∇xv)dr = 0 a a Física. Diplomatura óptica y optometría 5 Física. Diplomatura óptica y optometría 6 b) A lo largo de la recta x = y = z. Problemas: Vectores y Campos 1.1.- 1.2.- c) A lo largo del eje OX hasta (1,0,0); desde (1,0,0) paralelamente al eje OY hasta el punto (1,1,0); desde (1,1,0) paralelamente al eje OZ hasta A (1,1,1). G G De un cierto vector a se conoce su módulo, a = 6, y dos de sus cosenos directores, que son: G cosα = 1/2 y cosβ = 1/3. Calcular las componentes de un vector b , que cumpla la condición: G G G G a x b = i - (3/2) j . G Solución: b (0,0,1/2). ¿Es F un campo de fuerzas conservativo? Solución: a) 6 u.d.t.; b) 13/3 u.d.t.; c) 32/3 u.d.t. 1.9.- 1.4.- 1.5.- tomar tres vectores cuyos módulos son 2, 5 y 8, respectivamente, y que forman entre sí b) El flujo a través de toda la superficie ángulos de 60°. del paralelogramo. Solución: a) ΦABCD = abc; b) ΦT = 3abc G G Dados los vectores a (2,2,0) y b (3,-1.2), calcular: G G a) a · b ; G G b) a x b; c) G G G Solución: a) 4; b) 4 i - 4 j - 8 k ; c) 0; 0. G G G G G G 1.10.- (a xb ) · a ; (a x b ) · b G G G G G G G G G G Dados los vectores a = x i + z j + y k ; b = -z i + j - x k , hallar el gradiente de su producto b) G Considerar la superficie sombreada de campo de fuerzas a través de ella, y la circulación de dicho campo a lo largo G G G G G G G punto B (1,1,1) a lo largo de la curva: s = t i + t2 j + t3 k . Solución: 1/3. G G G G Dado el campo de vectores de posición r = xi + i j + zk , calcular: a) El gradiente del módulo. b) La divergencia. d) El rotacional. c) La circulación a lo largo de una línea cerrada. G Solución: a) r /r; b) 3; c) 0; d) 0. G G G G Una partícula se encuentra sometida a la fuerza F = (3x2+6x) i - 14yz j + 20xz2 k . Calcular el trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partícula se traslada desde el punto O (0,0,0) hasta el punto A (1,1,1) por los siguientes caminos: a) A lo largo de la curva x = t; y = t2; z = t3. A O de la línea que la delimita. (Febrero Solución: a) No se puede; 6x+3; 0; b) Calcular la circulación del vector a = xy i - z2 j + xyz k , desde el punto A (0,0,0) hasta el z la figura. Determinar el flujo del 1997) G G Dado el campo de fuerzas F = 3x2 i + y j + 2z k a) Determinar, si es posible, su gradiente, divergencia y rotacional. G G G Hallar la derivada del vector v = x i + y j , sabiendo que x = acosωt; y = asenωt. Comprobar G que resulta un vector perpendicular a v , y hallar la relación entre sus módulos. G G JJG Solución: v ' = -ωy i + ωx j ; v' = ωv. G 1.8.- G rayada. escalar en el origen de coordenadas. 1.7.- G a) El flujo a través de la superficie G G G Solución: k 1.6.- G Comprobar si el triple producto escalar ( a · b · c ) posee la propiedad asociativa. Para ello Solución: No posee la propiedad conmutativa. 1.3.- G Dado el campo vectorial r = xi + i j + zk calcular: 0;0. C B Física. Diplomatura óptica y optometría 7 Física. Diplomatura óptica y optometría 2.3.- Propiedades de los sólidos Del techo de una habitación se cuelga un alambre de acero de 0.8 mm de diámetro en cuyo extremo inferior va soldado otro alambre de aluminio de 1.2 mm de diámetro, lastrado por su otro extremo con un peso de 15 kp. La longitud total de los dos alambres es de 4 m. Sabiendo Resumen Teoría que el peso provoca alargamientos iguales en los dos alambres, se piden las longitudes • Ley de Hooke: ∆L 1 F • Tracción: L = E s ∆r σ F r = -E s ∆V p V = -Q • Flexión: Deformación = constante . esfuerzo originales de estos, así como la energía elástica almacenada en cada uno. E: Módulo de Young, s: superficie Datos: Módulos de Young: acero, 2.1 104 kp/mm2; aluminio, 0.7 104 kp/mm2. Solución: l1=2.3 m; l2 = 1.7 m; ∆l = 3.3 10-3 m; E = 0.243 J. σ: Coeficiente de Poison Q= E Q: Coeficiente de Compresibilidad 3 (1 -2σ) 2.4.- • Ángulo de Torsión: 1 F α=µ s 1 β=R M µ= E 2 (1+ σ) π r4 R = 2L µ diámetro, que lleva en su extremo inferior un disco metálico homogéneo de 500 g de masa y ángulo de 10°. Calcular el módulo de rigidez del alambre. Solución: µ=7 1013 N/m2. µ : módulo de rigidez 2.5.- de altura experimentará la columna líquida? ¿Cuál será la variación relativa de la densidad del agua, expresada en %?. Datos: Módulo de compresibilidad del agua: 2.2 104 kp/cm2. 1 1 W = 2 k α2 = 2 µ s L α2 • Oscilaciones (Tracción): d2x + ω2x = 0; x(t) = A cos( wt + f); dt2 d2β • Oscilaciones (Torsión): + ω2β = 0 dt2 En un tubo rígido de 1.2 m de longitud y 3.6 cm2 de sección, se introduce agua. Si se aplica una fuerza de 47 kp mediante un émbolo que actúa por un extremo del líquido ¿Qué cambio R : cte de torsión , M: momento. 1 • Energía elástica(Tracción): W = 2 k (∆L)2 • Energía elástica(Cizalla): Un péndulo de torsión está formado por un alambre de 40 cm de longitud y 1 mm de 8 cm de radio. Se aplica al disco un par de fuerzas de momento 3 Nm que le hace girar un 1 l3 4 l3 F s2 = 4E F b,d : dimensiones, s: flecha s1 = E 3 bd bd3 • Ángulo de cizalla: k ω=m ; R ω= I Solución: ∆h=-0.71 mm; (ρ'-ρ)/ρ = 0.059%. Es k= L ; k= T=2π mL Es 2L I πr4 µ 2.6.- Un bloque ortoédrico de cierto material sufre una variación relativa de volumen de 5.266 104 cuando es sometido a una presión de 135.8 atm. Se desea saber: a) El coeficiente de Poisson de dicho material b) El valor de la fuerza tangencial que debe actuar sobre una de sus caras de dimensiones 2.8x3.5 m para que le produzca un ángulo de cizalla de 0.22°. Datos: Módulos de Young: 1600 kp/mm2. Problemas: Propiedades de los sólidos 2.1.- Con qué fuerza tendremos que tirar de los extremos de un hilo de aluminio de 3.75 m de largo y 0.32 mm de espesor para que pueda pasar exactamente por un agujero de diámetro 0.30 mm. Datos: Módulo de Young: 7.0 1010 N/m2. Coeficiente de Poison: 0.13. Solución: 2.7 103 N. 2.2.- 8 Un bloque de mármol de 12 Tm se apoya sobre un tubo de acero vertical de 25 cm de largo, 12 cm de radio exterior y 4 cm de radio interior. a) Calcular el acortamiento producido en el soporte. Datos: Módulo de Young: 2.1 104 kp/mm2.Solución: a) 3.55 10-6 m. Solución: a) σ=0.40; b) F=2.11 108 N. Física. Diplomatura óptica y optometría 9 Física. Diplomatura óptica y optometría 3.3.- Fluidos ideales y reales. Fenómenos de superficie 10 Desde un punto situado a una altura de 10 m sobre la superficie de un estanque lleno de agua y de profundidad 5 m se deja caer una esferita de 0.2 cm de radio. a) Si la esferita es de hierro de densidad 7.5 (relativa al agua), calcular : (i) lo que tarda en llegar al fondo del estanque. Resumen Teoría • Ecuación hidróstatica: p = p0 - ρgh • P. Arquímedes: E=Vρg • Ecuación de continuidad: s v = s' v' = cte 1 • Teorema Bernoulli: p + ρgh + 2 ρ v2 = cte • Teorema Torricelli: v = 2gh ∆v • Viscosidad: F=ηs ∆h d • Número de Reynolds: R=vρ η • Fórmula de Stokes: F =6π r η v dW ∆W • Tensión superficial: σ = ds = ∆s 1 1 • Ecuación de Laplace: p L - p0 = σ ⎛ r + r ⎞ ⎝ 1 2⎠ 2σ Gota esférica: pL - p0 = r 4σ Burbuja esférica: p L - p0 = r • Ley de Tate: mg = k σ 2σ cosθ • Ley de Jurín: h= ρgR (ii) La energía cinética con que llega al fondo. b) Si la esferita es de madera de densidad 0.3. calcular : (i) la profundidad hasta la que llega a hundirse en el estanque. E: empuje (ii) La velocidad con que emerge a la superficie. Se prescinde en todo el problema de las fuerzas de rozamiento. Solución: ai) 0.32 s; aii) 3.5 10-2 J; bi) 4.29 m; bii) 14 m/s. v: velocidad 3.4.- En el fondo de un recipiente cilíndrico de 30 cm de diámetro se realiza un orificio circular de 5 cm de diámetro. Si dicho depósito se llena de agua, determinar la velocidad con que fluirá ésta por el orificio en el instante en que la altura del líquido en el depósito es de 60 cm. ¿Qué error, en %, se introduce en el resultado si se desprecia la velocidad propia de la superficie W: Trabajo libre del líquido en el depósito?. Solución: a) 3.43 m/s; b) 0.00241 %. 3.5.- Una fuente lanza un chorro de agua de 10 m de altura. La boca del chorro, que está a nivel del suelo, tiene un diámetro de 1.25cm. La bomba que impulsa el agua está 3 m por debajo de la boca, en la vertical de la misma. La tubería que conduce el agua desde la bomba hasta la boca de la fuente tiene un diámetro de 1.5 cm. Determinar la presión que ejerce la bomba. Solución: 1.79 atm. 3.6.- Se tiene un depósito de agua, de 2 m2 de sección, abierto por su parte superior. A 46 cm por debajo de la superficie libre del líquido se practica un orificio de 2 cm2. Problemas: Fluidos ideales y reales. Fenómenos de superficie a) Determinar la velocidad de salida del agua por dicho orificio. b) Es posible aumentar dicha velocidad ejerciendo una sobrepresión en la superficie superior del agua. Suponiendo que se optase por este método, colocando una plancha de plomo que 3.1.- Un barco que en el mar desplaza 4000 toneladas, tiene una sección por la línea de flotación de 1000 m2. Al navegar por un río se hunde 12 cm más que en el mar. Determinar la densidad cubriese toda la superficie, determinar el espesor que debería tener dicha plancha para del agua del mar. Datos: Densidad del plomo: 11300kg/m3. Solución: a) v2 = 3 m/s; b) 0.597 m.(Febrero 1996) duplicar la velocidad de salida obtenida en el apartado a). Solución:1031 kg/m3. 3.2.- En un recipiente se tiene aceite flotando sobre agua. Un corcho, de sección transversal cilíndrica de radio r y longitud l, está situado verticalmente entre las dos capas, de modo que En la conducción de la figura circula agua cuya viscosidad podemos considerar despreciable. a) Determinar la presión en A, PA. su parte superior está en el aceite y su base en el agua. Determinar la porción de corcho que está bajo el agua, en función de las densidades del corcho (ρ), del aceite (ρa) y del agua (ρo). Cerrando la llave T, el agua queda en reposo. Suponiendo que la presión en B no ha variado: b) Calcular la nueva presión en A, PA' . Solución: lo/l = (ρ-ρa)/(ρo-ρa). 3.7.- Física. Diplomatura óptica y optometría 11 Física. Diplomatura óptica y optometría 3.10.- A 12 Calcular la máxima diferencia de presión que puede haber entre los extremos de una conducción cilíndrica de 20 cm de longitud y de 3 cm de diámetro, para que por su interior v A SA circule un líquido de viscosidad 2,1 mPa s y cuya densidad es de 0,9, sin que su régimen llege h B S a turbulento, en el caso de que dicha conducción sea vertical y que el líquido ascienda. C v B S C B v C Solución: ∆P= 1766,8 N/m2 Datos de la conducción: Secciones: SA = 1.5 m2; SB = SC = 0.5 m2 Desnivel: h = 10 m. 3.11.- Un líquido viscoso de densidad 0.90 circula por una conducción cilíndrica horizontal de 180 cm2 de sección. Si el NR es 900 y la disminución de presión por unidad de longitud (pérdida Características del fluido en B: vB = 6 m/s; PB = 5 atm. de carga) es de 420 Pa/m, calcular: Solución: a) 4.18 atm. ; b) 4.03 atm.(Julio 1996) a) Velocidad media del fluído b) Viscosidad del líquido 3.8.- Mediante un sifón se saca agua de un Calcular la velocidad en 1, 2, y 3 y la presión c) Gasto cúbico depósito cilíndrico de 1000m de en el punto 2.(Febrero98). Solución: : a) 1.4 m//s, b) 0.214 Pa s, c) 0.0.252 m3/s diámetro, lleno de agua salada de densidad 1050kg/m3.El tubo 2 3.12.- que forma el sifón tiene una sección de 6 1 debajo de la superficie libre, ¿ cual es el radio de dichas partículas mas pequeñas?. (Viscosidad del agua 1,2 mPa s. Densidad de la sal 2,5 g/cm3) Solución: : 10-4 cm. cm2 y su punto más alto se encuentra a 60 cm de la superficie libre del agua, 36 cm mientras que la salida del desagüe se 3 halla 36 cm por debajo. 3.9.- Se quiere conocer el radio de las partículas más pequeñas de una sal insoluble. Si se echa en agua y dos horas después de agitar el producto, el agua estaba turbia a partir de 2 cm por 60 cm 3.13.- El esquema adjunto representa la salida de agua desde un depósito de gran sección, cuyo Los reogramas siguientes corresponden a diferentes tipos de fluidos que en general, responden a la ecuación: τ = τ0 + kγ n . Indica el tipo de fluido al que corresponde cada gráfica así como la ley correspondiente.( Sep2001) nivel permanece cte., que al final desemboca a la presión atmosférica. Esta salida está formada por dos tubos, uno de 2 m de longitud y 100 cm2 de sección, y otro, acoplado a éste, que tiene 50 cm de longitud y 25 cm2 τ τ a) τ b) τ c) d) de sección. Los puntos medios de ambos tubos están conectados con un manómetro que indica la diferencia de presión entre éstos. Calcular: a) Velocidad del agua en cada tubo. γ b) Lectura del manómetro. η γ γ e) η η γ g) f) h= 3 m γ L 1= 2 m M L = 0.5 cm 2 3.14.- γ γ Determinar el diámetro máximo que puede tener una aguja de acero para que, al depositarla sobre la superficie del agua, se mantenga a flote (sin que el agua la moje). Datos: Tensión superficial del agua 0.073 N/m. Densidad del acero 7500 Kg/m3. α = 20° Solución: a) v1 = 8.69 m/s; v2 = 2.17 m/s; b) 0.31 atm.(Febrero 1997) Solución: 1.6 mm. Física. Diplomatura óptica y optometría 3.15.- 13 Física. Diplomatura óptica y optometría 14 Se tienen dos burbujas de agua jabonosa de 3 cm y 5 cm de radio respectivamente. Ondas Mecánicas. Suponiendo que se juntan sin que ninguna de ellas desaparezca, determinar el radio de curvatura de la superficie esférica común. 3.16.- Solución: 7.5 cm. Resumen Teoría Con un cuentagotas de 0.5 mm de radio se dejan caer gotas de un líquido de densidad 1.5 g/cm3 sobre un recipiente cilíndrico cuya base tiene 5 cm de radio, a razón de 40 x t • Movimiento armónico simple (MAS): Ψ(x,t) = A cos [2π ( ± T ) + φ] λ 2π 2π λ ω= T k= v=T Ψ(x,t) = A cos [kx ± ωt + φ) λ ∂2Ψ(x,t) µ ∂2Ψ(x,t) • Ecuación de ondas: =F µ: densidad lineal ∂x2 ∂t2 gotas/minuto. En una hora, la altura alcanzada por el líquido en el recipiente es de 20 cm. Determinar la tensión superficial del líquido y el radio de una gota. Solución:: Tensión superficial 6.13 N/m; r = 5.4 mm. 3.17.- v=± Los radios de las ramas de un tubo de vidrio en forma de U son iguales a 1 mm y 3 mm respectivamente. ¿Que diferencia habrá entre las alturas alcanzadas en ambas ramas si se F µ 2 • Densidad de energía cinética: introduce agua, suponiendo que el ángulo de contacto es de 0° y la tensión superficial de 3.18.- 0.073 N/m. • Densidad de energía potencial: Solución::0,99 cm • Densidad de energía total: Al situar un líquido, de densidad 1.1 (relativa al agua) y tensión superficial desconocida, en • Efecto Doppler: G Ψ( r ,t) = 1 ∂ 2ψ (x, t) v2 ∂t 2 µ ∂Ψ(x,t) 2 ρec = 2 ⎛ ∂t ⎞ ⎝ ⎠ µ ⎛∂Ψ(x,t)⎞ 2 ρep = 2 ⎝ ∂x ⎠ ρE = 2ρec = 2ρep |v| - (vo -vm) ν' =|v| - (v -v ) ν F m un tubo de vidrio en forma de U, de ramas de diámetros 1 mm y 2 mm, se observa que la diferencia de las alturas alcanzadas en ambas ramas es de 4.17 cm (ver figura). Si el ángulo de contacto es 0o, determinar: a) La altura que alcanzaría el líquido en un tubo capilar de 0.2 mm de radio. b) Se utiliza un cuentagotas que forma gotas de agua de 0.3 g de masa ¿Cuántas gotas del líquido anterior serán necesarias para 1mm Problemas: Ondas Mecánicas 4.1. obtener 3 cm3 de dicho líquido? La posición de una partícula que vibra, en función del tiempo, viene dada por la gráfica a), y la de todas las partículas en función de la distancia en la gráfica b).¿Cual es la ecuación de la 2mm onda y su velocidad de propagación?. 4.17cm Datos: Tensión superficial del agua y(cm) 0.073N/m Solución: a) 0.21 m; b) 3.57 5 y(cm) 5 6 gotas ( Febrero 1997) 3.19.- 2 Se vierte un líquido en un depósito en el que hay dos tubos capilares de 25 y 100 µm de 3 8 t(s) 1 5 x(cm) -5 diámetro respectivamente. Una vez alcanzado el equilibrio, el líquido se encuentra 8 cm por debajo en el primero, respecto al segundo. Determinar el ángulo de contacto sólido-líquido. Datos: Tensión superficial 0.4 N/m. Densidad 2.5 g/cm3. Solución: 92.34°. 4.2.- La función de onda de una onda transversal en una cuerda tensa viene dada por la ecuación y = 0.03 sen(2 t - 3x). donde x e y se expresan en cm y t en segundos. Determinar: a) Amplitud, período, longitud de onda y velocidad de propagación de la onda. b) El desplazamiento respecto de la posición de equilibrio en x = 0.2, para t = 0.2 s y t = 0.4 s. Física. Diplomatura óptica y optometría 15 c) Las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración de oscilación de las partículas de la 4.3.- Física. Diplomatura óptica y optometría 4.8.- Un niño sentado a la puerta de su casa ve acercarse un autobús con velocidad uniforme y un cuerda. sonido de motor de 3000 r.p.m.. Al alejarse el autobús, observa una disminución aparente de Solución: a) A= 0.03 cm ; T = π s ; v = (2/3) cm/s ; b) y (x=0.2; t=0.2) = -0.006 , y (x=0.2; t=0.4) = 0.006 ; c) vy = 0.06 cos (2t -3x) , ay = -0.12sen (2t -3x) frecuencia de 15 Hz. El mismo autobús (a la misma velocidad), varias calles después, ve acercarse un coche por una calle perpendicular a su dirección y con una velocidad de 60 Km/h. Calcular la frecuencia del sonido que percibirá el conductor del coche en el momento Un foco puntual realiza un movimiento periódico representado por la ecuación t x y (cm) = 4 cos 2π (6 + 240 ). en que la línea que une el autobús y el coche forma un ángulo de 60° con la dirección del coche. Solución: 58.68 Hz. Determinar: a) La velocidad de la onda. b) La diferencia de fase para dos posiciones de la misma partícula cuando el intervalo de 4.9.- Un barco se acerca perpendicularmente a una costa acantilada. Pone en marcha la sirena, emitiendo un sonido de una determinada frecuencia. tiempo transcurrido es de 1 segundo. a) Si la relación entre las frecuencias que percibe un observador situado en el acantilado (ν') c) La diferencia de fase, en un instante dado, de dos partículas separadas 210 cm. y la que percibe el capitán del barco como eco (ν") es ν'/ν"=98/100, averiguar cual es la d) Si el desplazamiento (y) de una determinada partícula en un instante determinado es de 3 velocidad del barco. cm, determinar cuál será su desplazamiento 2 segundos más tarde. b) Debido a un fuerte oleaje, el barco sufre una desviación de 90° de su rumbo, manteniendo Solución: a) 0.4 m/s; b) 60°; c) 315°; d) -3.79 cm. 4.4 16 el módulo de su velocidad. Si la frecuencia del sonido que percibe el observador del Demostrar que las funciones: acantilado después de recorrer 80 m es 97/100 de la que percibía antes, determinar la y = y0 sen(kx-ωt) distancia a que se encuentra el barco del observador. y = A eik(x-vt) Solución: a) 6.93 m/s, b) 160 m. i=(-1)1/2 satisfacen la ecuación de ondas. 4.10.4.5.- Un avión se desplaza a velocidad v= 720 km/h constante a una altura h= 1000m sobre el A qué velocidad debería ir una nave espacial para ver verde el planeta Marte (planeta rojo) . suelo. Lleva una sirena a bordo que emite un sonido de frecuencia ν = 435 Hz. Datos: λ del rojo 750 nm; λ del verde 600 nm. a) Determinar la frecuencia que percibirá un observador en reposo situado en el suelo, Solución: 2.7 108 km/h cuando el avión haya recorrido 1000 m después de pasar por su vertical. b) Supongamos ahora, que la sirena esta fija sobre el suelo a una altura h' = 200 m. Un 4.6.- Un coche se desplaza con un movimiento uniforme y rectilineo a una velocidad de 30 m/s. En observador se desplaza sobre el suelo con una velocidad horizontal v' = 36 km/h, de forma sentido contrario va un camión a una velocidad de 21 m/s con una superficie reflectora en su que su trayectoria define con el punto donde se encuentra la sirena un plano vertical. Calcular parte posterior. Si el coche emite un sonido de 1000 Hz, calcular: la frecuencia percibida por el observador 30 s después de haber pasado por la vertical de la a) La frecuencia percibida por un observador fijo situado entre ambos. sirena. b) Frecuencia de las ondas que llegan a la superficie reflectora cuando ambos vehículos se Solución: a) 307.2 Hz; b) 424.3 Hz.(Febrero 1997) han cruzado. c) Frecuencia que percibirá el observador después de que las ondas se reflejen en el camión. Solución:: 1079 Hz; 862´2 Hz ; 812 Hz. 4.7.- Un foco emite un sonido de 310 hertz y se desplaza hacia un observador a una velocidad de 79 km/h. A su vez, el observador se mueve hacia el foco a una velocidad de 35 km/h y percibe el sonido con una frecuencia de 340 hertz. ¿ Cúal es la velocidad del sonido en el aire?. ¿ Qué frecuencia percibirá cuando se hayan sobrepasado y se alejen uno del otro?. Solución: : 349 m/s ; 284 Hz. Física. Diplomatura óptica y optometría 17 Acústica Física. Diplomatura óptica y optometría 5.5- 18 El máximo nivel de intensidad (en db) que pueden soportar los obreros de una fábrica es de 60 db. Si cada una de las máquinas produce 40 db, ¿cuántas de ellas podrán funcionar al mismo tiempo? Resumen Teoría • Ley de Beer: I =I0 exp (-βx) Solución: : 100 máquinas β: coeficiente del medio 5.6- I1 r22 • Atenuación: I = 2 r 1 2 El nivel de intensidad de cierto sonido vale 60 db después de atravesar cierta pared. Sabiendo que el coeficiente de absorción de la misma es de 0,5 cm-1, calcular: I1 φt =I a) La intensidad física de la onda en la primera cara de la pared si el espesor de esta es de 2 • Factor de transmisión: • Intensidad total: It+Ir=I0 b) El nivel de intensidad (en db) percibido, despues de atravesar el muro, si este fuera de • Nivel de intensidad (dB): ∆S=10 log cm. 2 I 10-12 Problemas: Acústica 5.1.- doble espesor. Solución: : 2,7 10-6 W/m2; 55,66 db 5.7.- absorción del material con que se tiene que construir un recinto para que a 20 m del foco y Un muro de 60 cm tiene un espesor de semiabsorción de 80 cm y una impedancia acústica de 4200 Ω acústicos. Si a este muro le llega una onda de 5 W/m2, con un espesor de 15 cm no se perciba sensación sonora alguna en el interior del recinto.(Considerar el factor de transmisión =0´5). a) ¿Cual es la intensidad reflejada en la primera cara del muro? Solución: : 1.136 cm-1 b) ¿Cual es la intensidad que llega a la segunda cara? c) ¿Cual es la intensidad reflejada en la segunda cara? (Impedancia del aire Za = 420 Ω acústicos) Solución: : 3,35; 0,98; 0,66 W/m2 5.2.- Una locomotora se acerca en linea recta desde 1 Km de distancia a un observador, quien percibe el silbato con un tono de 704 Hz. En este instante el tren empieza a frenar con una deceleración de 0,5 m/s2. En el momento de detenerse, el observador aprecia un aumento de nivel de intensidad de 20 db en relación al instante inicial. Calcular la frecuencia real del sonido. (Suponer 340 m/s para la velocidad del sonido) Solución: : 642 Hz 5.3.- A 100 m del lugar donde se produce una explosión de frecuencia media 60 Hz, el nivel de intensidad del sonido es de 100 db. Calcular: la distancia a la que deja de ser audible la explosión si se supone despreciable la absorción, y la potencia sonora del foco. Solución: : 31620 m; 1260 W 5.4.- Si 10 sonidos idénticos producen conjuntamente un nivel de intensidad de 50 db, ¿cual sería el nivel de intensidad en db, en las mismas condiciones, de uno solo de ellos? Solución: : 40 db Un foco sonoro emite un sonido de 1000 Hz y potencia 0,5 W. Calculese el coeficiente de 5.8.- A 3 km de la pista de aterrizaje de un aeropuerto se construye un hotel. a) Si a una distancia de 30 m un avión al despegar da un nivel de intensidad de 130 db, ¿Qué nivel de intensidad se percibirá a la puerta del hotel? b) ¿Qué grosor han de tener las paredes del hotel si el coeficiente de absorción del material empleado es de 0,6 cm-1 para que no se perciba sensación fisiológica en su interior.?(Supongase para dicho sonido que la intensidad umbral es de 10-11 W/m2 y que el factor de transmisión es 1). Solución: : 90 db; 30´7 cm. Física. Diplomatura óptica y optometría 19 Física. Diplomatura óptica y optometría 20 a) Calcular el valor de la tensión de los hilos en posición de equilibrio Campo eléctrico. Corriente continua b) Calcular la carga de cada esfera c) Si desaparece una carga, calcular el campo eléctrico que sería necesario aplicar para que la otra permaneciera en la misma posición. Resumen Teoría G qq G F = k 12 2 u r r G JG F q G = k 2 ur E= q r JG 0G φ = E.S Superficie no plana JG G φ = ∫ E.S = 4πk qint JG ∂V G ∂V G ∂V G E = −∇V = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z JG G ∆V = − ∫ Edr • Ley de Coulomb: • Campo eléctrico: • Flujo: Superficie plana • Teorema Gauss: • Potencial electrostático: • Corriente: dq I = dt • Resistencia: L R=ρ s • Asociación resistencias: • Ley de Ohm: • Energía: 6.4.- situadas en los puntos de coordenadas (a,0,0), (-a,0,0), (0,a,0) y (0,-a,0). a) Determinar el campo y el potencial creados por esa distribución de carga en un punto de JG G φ = ∫ E.S coordenadas (0,0,z). b) En el punto (0,0,0) se coloca una carga q de masa m. Seguidamente se desplaza ligeramente en la dirección del eje OZ ( a2+z2 ≈ a2 ) y se deja en libertad. Determina el periodo de oscilación si dicha carga es negativa. Si la carga es positiva ¿Que tipo de movimiento realizará?. Justifícalo. qz q ;V= πε0(a2 + z2)3/2 πε0(a2+z2)1/2 2πa b) T = q πmε0a . ρ: resistividad s: sección Paralelo 1 1 1 R = R1 + R2 6.5.- Sea el modelo simple del átomo, constituido por una carga puntual +q rodeada de una distribución esférica de carga de radio a con densidad de carga constante ρ y carga total -q. Se V=IR dEp = dq (VA - VB) dEp V2 P = dt = I V = I2R = R • Potencia: Sobre un sistema de referencia O(x,y,z) se disponen cuatro cargas q puntuales y positivas Solución: a) E = R = R1 + R2 Serie Solución: a) 0.023N; b) 1.12 10-6 C; c) 104 N/C pide: JG a) calcular E en puntos interiores (r<a) y exteriores (r>a) a la distribución. b) calcular el potencial eléctrico en cualquier punto del espacio. JJJG ∇E en cada una de las regiones en las que se ha dividido el espacio. JG JG q ⎛1 r ⎞G q ⎛ 1 r2 3 ⎞ − 3 ⎟ u r = ; r< a; E = 0 r > a; b) V = Solución: E = ⎜ − 3− ⎟ , ⎜ 2 ⎜ 4πε0 ⎝ r 4πε0 ⎝ r 2a 2a ⎟⎠ a ⎠ JJJG ρ r<a; V = 0 , r > a ; c) ∇E = c) calcular Problemas: Campo eléctrico. Corriente continua 6.1.- Consideremos un modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón gravita alrededor de ε0 un protón describiendo una trayectoria circular de radio r = 5 nm bajo el efecto de la fuerza de Coulomb. a) ¿Cuál es la energía total del electrón? b) ¿Cuál es la velocidad del electrón? me= 9.1 10-31 Kg, qe=-1.6 10-19 C Solución: a) ET = -2.3 10-20 J ; b) v = 2.25 105 m/s 6.2.- 6.3.- JG G 6.6.- Suponiendo que una carga positiva está distribuida uniformemente en un volumen esférico de R=10 cm, siendo la densidad de carga por unidad de volumen (3/4π) 10-5 C/m3, calcular el potencial y el campo creados en los siguientes puntos: Sea E = (a+bx) u x el campo eléctrico en cierta región del espacio. ¿Cuánto valen el potencial a) En un punto situado a 5 cm del centro de la esfera eléctrico y la densidad de carga correspondiente?. 1 Solución: V = -ax - 2 bx2 + C; ρ = εob c) En un punto de la superficie de la esfera b) En un punto situado a 20 cm del centro de la esfera Solución: a) E = 4500N/C; V = 1237.5V; b) E = 2250N/C; V = 450V; c) E = 9000N/C; V = Dos esferas muy pequeñas de dos gramos de masa, cargadas positivamente con la misma 900V. carga, se encuentran en los extremos de dos hilos de seda de un metro de longitud, Nota: Se recomienda resolver el problema en general para un volumen esférico de radio a y suspendidos en el mismo punto. Si en la posición de equilibrio, el ángulo que forma cada hilo con densidad de carga ρ, y posteriormente hacer la aplicación numérica. con la vertical es de 30°, se pide: Física. Diplomatura óptica y optometría 6.7.- 21 Física. Diplomatura óptica y optometría Para cargar una batería de 24 V y resistencia interna 2 Ω se utiliza un generador de 30 V y 1 Campo magnético. Inducción Ω de resistencia interna en serie con una resistencia de 3 Ω. Calcular: a) La potencia suministrada por el generador, b) las pérdidas de potencia por efecto Joule, y c) la energía almacenada durante 30 horas de carga. Solución: a) Pg = 29 W, b) ∆P = 6 W, c) E = 0.72 kWh 6.8.- Sea una pila cuya fuerza electromotriz es ε y su resistencia interna r. Si se conecta a una resistencia R, demostrar que la potencia consumida por la resistencia es máxima para R=r. ¿Cuánto vale esa potencia máxima?. ε2 Solución: Pmax = 4r 22 Resumen Teoría G G JG F = qv ∧ B G JG JG • Fuerza sobre un elemento de corriente: F = IL ∧ B (conductor recto o campo uniforme) JJG JJG JG dF = IdL ∧ B (conductor no recto o campo no uniforme) JG JJG JJG µ0 IdL ∧ u r • Ley de Biot y Savart: km = 4π dB = k m r2 • Fuerza de Lorentz • Campo creado por una corriente rectilínea: 6.9.- En el circuito de la figura: a) Calcular la resistencia equivalente a la asociación de R3 y R4. Hacer lo mismo con R1 y R2. Dibujar el circuito resultante equivalente al de la figura, señalando los puntos A y B. b) Calcular la corriente que pasa por d) I1 = I2 = I3 = I4 = 0.5 A, V1 = V2 la pila. =2 V, V3 =V4 = 8 V R1 c) Calcular la tensión en el punto A, en el punto B, y la diferencia de R2 tensión entre A y B. B d) Calcular la corriente que pasa por cada resistencia y decir qué tensión Conductor finito y • Teorema Ampere: • Flujo magnético: JG G v∫ Bdr = 4πk m Ic JG G φ = ∫ Bdr • Ley de Faraday- Henry: dφm ε = - dt R4 Problemas: Campo magnético. Inducción. VA = 2V; 7.1.- 6.10.a) Dados los dos circuitos de la figura Determinar el valor de RT para que los dos circuitos sean equivalentes, suponiendo que R1 = b) Determinar el valor de R para que por el circuito circule una intensidad de 1 A, suponiendo 5 Solución: a) 3 R; b) 3Ω - R3 ε R1 + R2 G G G G G G G G Solución: F = - 3 10-6 ( i + 4 j ) N 7.2.- que ε = 6 V y r =1 Ω. JG En cierta región del espacio actúa un campo eléctrico uniforme E = i - k (N/C), y un campo JG G G G magnético B = 3 i - j + 2 k (T). Determinar la fuerza total ejercida sobre una carga en movimiento q = 3 µC, en el instante en que lleva una velocidad v = 2 i - j (m/s). R2 = R3 = R4 =R + I B = 2 km y φm2 = L2 I2 + M21 I1 M12 = M21 = M dφm1 dI1 dI2 ε = - dt = -L1 dt - M dt I= 1A; c) VA = 8V, VB = 10V, VB - r Conductor infinito I R2 (x2+ R2)3 B =2π km Solución: a) R12 = 2Ω, R34 = 8Ω; b) ε L2 4 • Inducción mutua y autoinducción: φm1 = L1 I1 + M12 I1 A R3 resistencia. Datos: R1 = R2 = 4 Ω,R3=R4= 16Ω. y2+ • Campo espira: V = 10 hay entre los extremos de cada IL B = km a) ¿Cuál es la velocidad de un haz de electrones cuando la acción simultánea de un campo r eléctrico de 34 104 V/m y otro magnético de 2 x10-2 T, ambos perpendiculares entre sí, no - produce desviación de la trayectoria de los electrones? b) Cuál es el radio de la órbita del electrón cuando se suprime el campo eléctrico?. Solución: a) V = 1.7 107 m/s; b) r = 4.83 mm R4 RT Física. Diplomatura óptica y optometría 7.3.- 23 Física. Diplomatura óptica y optometría 24 Un electrón en el punto A de la figura tiene una velocidad v0 de 107 m/s. Hallar: a) La magnitud y dirección del campo magnético que obligará al electrón a seguir la trayectoria semicircular de A a B. b) El tiempo necesario para que el electrón se mueva desde A hasta B. c) ¿Cuáles son los resultados de los 7.7.v placas metálicas paralelas situadas a ambos lados de la trayectoria, separadas 1cm y apartados anteriores si la partícula es un protón en lugar de un electrón? A _ mp=1.67 10-27kg, me=9.1 10-31kg 10 cm conectadas a una d.d.p. de 80V. El campo B vale 2 10-3 Wb/m2. A la salida de las placas, el B campo magnético sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria del haz, y observamos que éste se curva convirtiéndose en una trayectoria circular de 1.14 cm de radio. Solución: a) B = 1.14 mT; b) t = 15.7 ns; c) B = 2.12 T; t = 15.7 ns 7.4.- Un haz de electrones pasa, sin ser desviado de su trayectoria rectilínea, a través de un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares entre sí. El campo eléctrico está generado por dos 0 a) Hallar la razón carga/masa de los electrones b) Calcular el tiempo que cada electrón invierte en recorrer una circunferencia completa Un hilo de 0.5 m de longitud está sobre el eje Y y transporta una corriente de 10 A en la c) Si el haz en su trayectoria circular equivale a una corriente de 20 mA ¿Qué campo dirección positiva de dicho eje. Si se aplica un campo magnético uniforme de componentes: Bx = 0.3 T, By = -1.2 T y Bz = 0.5 T. magnético B crea en el centro de la circunferencia?. q Solución: a) m = 1.754 1011 C/kg; b) T = 1.79 10-8 s; c) B = 1.1 10-6 T. Determinar: a) Componentes de la fuerza que actúa sobre el cable. b) Magnitud de la fuerza total que actúa sobre el cable. G Solución: a) F = (2.5, 0, -1.5) N , b) F = 2.92 N 7.8.- Hallar el campo magnético en el punto y P de la figura, que es el centro común I de los arcos de semicircunferencia. 7.5.- JG ⎛ 1 1 ⎞G Solución: B = πk m I ⎜ − ⎟k R R ⎝ 1 2⎠ Dos cables rectilíneos, paralelos y horizontales, uno sobre el otro, están separados por una distancia 2a. Si los dos transportan corrientes iguales en sentidos opuestos, ¿cuál es la I R2 R1 z magnitud del campo en el plano de los cables en un punto situado: a) a la mitad de la distancia que las separa y b) a una distancia a por encima del hilo superior?. Si los hilos transportan corrientes iguales en el mismo sentido, ¿cuál es la magnitud del campo en el plano de los cables en un punto situado: c) a la mitad de la distancia que los separa, y d) a una distancia a por encima del hilo superior?. µ0I 1 µ0I 2 µ0I Solución: a) B = πa ; b) B = 3 πa ; c) B=0 d) B = 3 πa 7.9.- En el eje x de un sistema cartesiano se sitúa un conductor rectilíneo infinito por el que circula circuito rectangular tiene dos de sus lados, de 10 cm de longitud, paralelos al conductor recto. Los otros dos lados miden 5 cm. El lado del circuito más próximo al Si por el circuito rectangular circula neta ejercida sobre el mismo. circula por el una corriente de 2A también en sentido positivo de x. Solución: a) B =-3.33 10-7 jT; b)F= -6 10-6 k N; c) F= -4 10-6 k N 20A 5A 10cm se indica en la figura, hallar la fuerza Solución: 7.14 10-5 i N sobre otro conductor, de 6m de largo, paralelo al primero, que pasa por el punto anterior, si 5cm separados por una distancia de 2 cm. a)Calcular el vector campo magnético que crea en un punto situado a 3m del origen, sobre el G G G v = (2i + 3j)m / s . ¿Qué fuerza actuará sobre ella?. c) Calcular el vector fuerza que actuaría y conductor recto y éste se encuentran una corriente de 5 A en el sentido positivo de x. eje z.. b)Si una partícula de carga q=9C pasa por dicho punto con una velocidad: x Por un conductor rectilíneo largo (longitud infinita) circula una corriente de 20 A. Un una corriente de 5 A en el sentido que 7.6.- I P G z 2cm x