Práctico 3: El teorema del valor medio

Práctico 3: El teorema del valor medio
1. Hallar limx→∞ f (x) para

3 −x

1. 2x

x4 −1




f (x) =
4. senx34x





 7.
2x4 −1
−4x4 +x2
2.
cos x
x
3.
x2 +1
πx2 −1
5.
5x4 −x3 +3x+2
x3 −1
6.
−x2 +1
x+5
8.
2x4 −1
−4x3 +x2
2x4 −1
−4x5 +x2
9.
2. Encontrar, cuando las haya, asíntotas en el infinito de las siguientes curvas.
1. y =
2x3 −x
x4 −1
2. y =
cos x
x
3. y =
x2 +1
πx2 −1
4. y =
5x4 −x3 +3x+2
x3 −1
5. y =
−x2 +1
x+5
6. y =
1
x
10
7. y =
2x4 −1
−4x4 +x2
8. y =
√ 2x
x2 +1
9. y =
3x2
x2 +1
+
cos x
x
3. Calcular los siguientes límites.
1.4.-
4
lim 2x 4−1 2
x→0 −4x +x
2.-
2x3 −x
4
x→−1 x −1
5. -limx→ π −
(2)
lim
lim1
x→ √π
x2 +1
πx2 −1
3.£¡ π
2
3
lim 2x4 −x
x→1 x −1
¢
¤
− x tan x
4. Encontrar, cuando las haya, asíntotas verticales de las siguientes curvas.
1.- y =
7x+2
3x−2
4.- y =
1
sin x
2.- y =
x2 −2x+1
x+3
3.- y =
√1
x−2
5.- y =
sin 2x
x2
5. Determinar máximos y mínimos, locales y globales relativos a los intervalos señalados,
de las siguientes funciones.
1. x2 − 2x + 5
en £[−1, ¢2]
2. 2x2 − 3x − 1
en (−∞, ∞)
en 16 , 1
4. − x2 + 2x + 2 en (−∞, 0]
3. 3x2 − x + 1
5. − 2x2 + 3x − 1 en [0,
2] √ ¤
6. x3 + 2
en [−1,
√
£
¡ 3π1]¢
3
7. x − 3x
en − 3, 3
8. cos x
en 0, 2
9. sin x + cos x
en (−∞, ∞)
6. Probar, usando el teorema 3, y el ejercicio 53 del capítulo 1 que, si f es continua en
el intervalo I, entonces
y1 , y2 ∈ f (I) ⇒ [y1 , y2 ]∗ ⊂ f (I) .
(En la sección 3.4. podrá encontrar este ejercicio resuelto, al igual que el ejercicio 8.)
1
7. Probar que Rg (sin) = Rg (cos) = [−1, 1] .
8. Probar que si f es una función continua en un intervalo y hay dos puntos x1 , x2 tales
que f (x1 ) < 0 y f (x2 ) > 0, entonces existe por lo menos un punto ξ ∈ (x1 , x2 )∗ tal
que f (ξ) = 0. (este resultado se conoce habitualmente como Teorema de Bolzano).
9. Si f es continua en un intervalo (a, b) y no se anula en ese intervalo, entonces sg (f )
es constante.
10. Para cada una de las siguientes funciones determinar los intervalos donde es creciente
y aquellos donde es decreciente.
1.
3.
5.
7.
f (x) = x3 + 1
f (x) = x3 + x − 2
f (x) = 2x3 + 5
f (x) = −4x3 − 2x
2.
4.
6.
8.
f (x) = x2 − x + 5
f (x) = −x3 + 2x + 1
f (x) = 5x2 + 1
f (x) = 5x3 + 6x
11. Usar el comportamiento de la función en intervalos contiguos para determinar si los
puntos críticos corresponden a máximos o mínimos locales o ninguno de los dos.
1. y = x3 − 2x2 + 3x + π
3. y = sin x
2. y = 2x4 − 4x2 + 5
4. y = x3 − 3x
12. Para cada una de las funciones siguientes
a) Hallar el máximo y el mínimo en el intervalo dado.
b) Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento.
1. (x − 1)1/3 + 12 (x + 1)2/3
2. x2/5 + 1
[−2, 7]
[−1, 1]
13. Se va a fabricar una caja sin tapa con una base cuadrada y una superficie constante
C. Determinar los lados de la caja si el volumen ha de ser máximo.
14. Un recipiente en forma de cilindro sin tapa superior ha de tener un área de superficie
fija C. Hallar el radio de su base y su altura si ha de tener un volumen máximo.
15. Resolver los dos problemas anteriores cuando la caja y el recipiente están cerrados por
arriba. (El área de un círculo de radio x es πx2 y su longitud es de 2πx. El volumen
de un cilindro de altura y y cuya base tiene radio x es πx2 y.)
16. Demostrar que entre todos los triángulos de área dada, el triángulo equilátero es el de
menor perímetro.
17. Probar que tan x > x si 0 < x < π/2.
18. Probar que
1
≥2
t
(Ver qué pasa a ambos lados de 1).
t+
2
para t > 0
19. Para las siguientes funciones, estudiar intervalos de concavidad - convexidad, puntos
de inflexión y máximos y mínimos locales. Trazar gráficos aproximados.
1.- 3x2 − 3x − 6
2.- −x2 + 2x − 4
3.- −2x3 − 3x + 5
4.- 2x3 − 9x2 + 12x
5.- x4 − x2 + 1
6.- x5 + x
20. Determinar todos los puntos de inflexión de sin x y de cos x.
21. Para la función
f (x) = x4 − 8x2 + 16
(a) Demostrar que f tiene exactamente dos puntos de inflexión.
(b) Trazar la gráfica de f . Deteminar explícitamente los puntos críticos. Determinar
las regiones de convexidad-concavidad.
22. Considerando los siguientes aspectos:
(i) Puntos críticos. Máximos y mínimos locales.
(ii) Intervalos de crecimiento - decrecimiento.
(iii) Puntos de inflexión.
(iv) Intervalos de convexidad - concavidad.
(v) Asíntotas.
(vi) Intersecciones con ejes y asíntotas.
Trazar gráficas de las curvas que se indican a continuación.
x2 +2
x−3
1. −
y=
4. −
y =x+
3
x
2. −
y=
x+1
x2 +1
5. −
y=
2
√x
x+1
7. −
y=
x2 −1
x2 −4
3. −
y=
2x−3
3x+1
6. −
y=
x+1
x2 +5
23. Mostrar que la condición f 0 = 0 en un conjunto S no basta para afirmar que f es
constante si S no es un intervalo.
24. Suponer que f es una función diferenciable de t.
(a) Si f 0 (t) = −3 para todo t ∈ R, ¿Qué pueden decir acerca de f (t) ?
(b) Y si f 0 (t) = −3 y f (0) = 1?
3
25. Supongamos que existen dos soluciones, f y g de la ecuación diferencial
dy
= y,
dx
x ∈ R,
y que f (x) 6= 0 para todo x. Demostrar que existe una constante C tal que g = Cf.
Hint. Diferenciar el cociente g/f .
26. Una partícula se mueve sobre el eje x hacia la derecha a velocidad constante de 7m/seg.
Si al instante t = 9 la partícula está a una distancia de 2m a la dereche del origen,
hallar su posición en función de t.
Ejercicios complementarios
27. Demostrar:
(a) Si la función f es creciente en (a, b) entonces, para todo c ∈ (a, b), limx→a+ f (x) ≤
f (c) ≤ limx→b− f (x). Si f es decreciente las desigualdades se invierten y si f
es estrictamente monótona las desigualdades son estrictas.
(b) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces limx→c− f (x) ≤ f (c) ≤
limx→c+ f (x) . Para f decreciente valen desigualdades inversas.
(c) Si f es creciente en (a, b) y c ∈ (a, b), entonces, para a < x1 < c < x2 < b,
f (x1 ) ≤ lim− f (x) ≤ f (c) ≤ lim+ f (x) ≤ f (x2 ) .
x→c
x→c
Y si f es estrictamente creciente,
f (x1 ) < lim− f (x) ≤ f (c) ≤ lim+ f (x) < f (x2 ) .
x→c
x→c
Obvias modificaciones para el caso decreciete.
28. Si f es creciente en (a, b) y continua en [a, b] , entonces f es creciente en [a, b].
Esto es, ∀x ∈ (a, b) , f (a) ≤ f (x) ≤ f (b). Si el crecimiento de f en (a, b) es estricto,
el crecimiento en [a, b] también resulta estricto: ∀x ∈ (a, b) , f (a) < f (x) < f (b) .
29. Si limx→c f (x) = ∞, dado M > 0, en cualquier entorno reducido de c es posible
encontrar un x tal que |f (x)| > M.
Hint. Usar ejercicio 30 del capítulo 2.
30. Si f es una función convexa y en algún intervalo es creciente o en algún punto es
f 0 (x) > 0, entonces limx→+∞ f (x) = +∞. Estudiar propiedades similares en −∞ y
para funciones cóncavas.
4