Tema 5: Ecuaciones

Tema 5: Ecuaciones
Ejercicio 1.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
1 − x x x + 7 2 3x
− +
= −
25 6
9
5 15
a)
3x
3x 9
−x=− +
15
3 5
h)
b)
x x 4 x 11 x
+ −
=
−
3 9 27 27 9
i)
c)
x x − 3 2x + 2 x − 2
+
+
=
2
8
16
2
j)
d)
13 + x 5 x 10 + x 1 − 12 x
−
=
+
20
2
5
10
k) x +
e) 3 x −
x+3
= 13
4
x+2
= x−4
4
f)
4−
g)
x 2(x + 2 ) x − 3
−
=
2
7
4
l)
(1 + x )2
5
=
2x + 4 x 2 1
+
+
25
5 5
x − 4 9 − x 2x − 7
+
−
+5 = x −8
8
12
24
9(5 + x )
=9− x
5
(2 x − 1)(2 x + 1) = 3(4 x 2 + 1) − x
4
m) ( x − 3)( x + 3) =
n)
12
3( x − 1)
+ x2
2
x − 7 25(x − 2 ) 5 x + 35 5
+
=
+ (x − 7 )
4
3
4
2
Solución:
a)
3x
3x 9
3 x 15 x 15 x 27
−x=− + →
−
+
−
= 0 → 3 x − 15 x + 15 x − 27 = 0 → 3 x = 27 → x = 9
15
3 5
15 15
15 15
b)
x x 4 x 11 x
9 x 3x 4 x 11 3x
+ −
=
− →
+
−
=
−
→ 9 x + 3x − 4 x + 3x = 11 → 11x = 11 → x = 1
3 9 27 27 9
27 27 27 27 27
c)
x x − 3 2x + 2 x − 2 4x x − 3 x + 1 4x − 8
+
+
=
→
+
+
=
→ 4 x + x − 3 + x + 1 = 4 x − 8 → 2 x = −6 → x = −3
2
8
16
2
8
8
8
8
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
d)
13 + x 5 x 10 + x 1 − 12 x 13 + x 50 x 40 + 4 x 2 − 24 x
−
=
+
→
−
=
+
→ 13 + x − 50 x = 40 + 4 x + 2 − 24 x →
20
2
5
10
20
20
20
20
− 29 x = 29 → x = −1
e) 3 x −
f) 4 −
x+3
12 x x + 3 52
= 13 →
−
=
→ 12 x − x − 3 = 52 → 11x = 55 → x = 5
4
4
4
4
16 x + 2 4 x − 16
x+2
= x−4→ −
=
→ 16 − x − 2 = 4 x − 16 → 5 x = 30 → x = 6
4
4
4
4
g)
x 2(x + 2 ) x − 3 14 x 8( x + 2 ) 7( x − 3)
−
=
→
−
=
→ 14 x − 8 x − 16 = 7 x − 21 → − x = −5 → x = 5
2
7
4
28
28
28
h)
1 − x x x + 7 2 3x 18 − 18 x 75 x 50 x + 350 180 90 x
− +
= −
→
−
+
=
−
→
25
6
9
5 15
450
450
450
450 450
18 − 18 x − 75 x + 50 x + 350 = 180 − 90 x → −18 x − 75 x + 50 x + 90 x = 180 − 18 − 350 → 47 x = −188 → x = −4
i)
(1 + x )2
5
=
(
)
2 x + 4 x 2 1 5 1 + x 2 + 2 x 2 x + 4 5x 2
5
+
+ →
=
+
+
→ 5 + 5 x 2 + 10 x = 2 x + 4 + 5 x 2 + 5 →
25
5 5
25
25
25 25
5 x 2 − 5 x 2 + 10 x − 2 x = 4 + 5 − 5 → 8 x = 4 → x = 0,5
j)
x − 4 9 − x 2x − 7
3 x − 12 18 − 2 x 2 x − 7 120 24 x 192
+
−
+5= x −8→
+
+
+
=
−
→
8
12
24
24
24
24
24
24
24
3x − 12 + 18 − 2 x − 2 x + 7 + 120 = 24 x − 192 → −25 x = −325 → x = 13
k) x +
9(5 + x )
5 x 9(5 + x ) 45 − 5 x
5 x 45 + 9 x 45 − 5 x
→
+
=
→ 5 x + 45 + 9 x = 45 − 5 x →
=9− x→
+
=
5
5
5
5
5
5
5
19 x = 0 → x = 0
l)
(2 x − 1)(2 x + 1) = 3(4 x 2 + 1) − x → 3(2 x − 1)(2 x + 1) = 3(4 x 2 + 1) − 12 x → 12 x 2 − 3 = 12 x 2 + 3 − 12 x →
4
12
12
12
12
12
12
12
12 x 2 − 3 = 12 x 2 + 3 − 12 x → 12 x = 6 → x = 0,5
m)
2
(x − 3)(x + 3) = 3(x − 1) + x 2 → 2(x − 3)(x + 3) = 3(x − 1) + 2 x
2
2
2
2
2
→ 2 x 2 − 18 = 3x − 3 + 2 x 2 → 3x = −15 → x = −5
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
n)
x − 7 25(x − 2) 5 x + 35 5
3x − 21 100(x − 2) 15 x + 105 30(x − 7 )
+
=
+ (x − 7 ) →
+
=
+
→
4
3
4
2
12
12
12
12
3 x − 21 + 100 x − 200 = 15 x + 105 + 30 x − 210 → 58 x = 116 → x = 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para conocer el valor de la incógnita en una ecuación, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá un esquema como el siguiente, en el
que hay un hueco para cada miembro de la ecuación. Lo rellenaremos con nuestros datos y al pinchar en
‘=’ conoceremos el resultado. También debemos recordar que para insertar una fracción o una potencia,
pincharemos en sus respectivos iconos (señalados con un círculo rojo) y rellenaremos los huecos con los
datos.
Figura 1.
2. Apartado a.
Figura 2.
3
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Apartado b.
Figura 3.
4. Apartado c.
Figura 4.
5. Apartado d.
Figura 5.
4
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
6. Apartado e.
Figura 6.
7. Apartado f.
Figura 7.
8. Apartado g.
Figura 8.
5
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
9. Apartado h.
Figura 9.
10. Apartado i.
Figura 10.
11. Apartado j.
Figura 11.
6
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
12. Apartado k.
Figura 12.
13. Apartado l.
Figura 13.
14. Apartado m.
Figura 14.
7
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
15. Apartado n.
Figura 15.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
Resolver estas ecuaciones:
Solución:
a) x 2 − 6 x + 5 = 0
x=
6±
(− 6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5
2 ⋅1
=
6 ± 36 − 20 6 ± 16 6 ± 4
=
=
2
2
2
x1 = 5
x2 = 1
b) 4 x 2 + 4 x + 1 = 0
x=
− 4 ± 4 2 − 4 ⋅ 4 ⋅1 − 4 ± 0
1
=
=−
2⋅4
8
2
Solución única y doble.
c) 3 x 2 + 2 x + 7 = 0
− 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 7 − 2 ± − 80
x=
=
2⋅3
6
8
No tiene solución ya que el radicando es negativo.
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. En ese momento veremos el esquema de la ecuación, en el que escribiremos nuestros
datos teniendo en cuenta que tenemos un hueco para cada miembro. Para insertar potencias pinchamos
en el icono ‘Potencia’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’ y escribimos el número al que queremos
elevar. Cuando lo tengamos todo planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el valor de la
incógnita.
Figura 16.
2. Apartado a.
Figura 17.
3. Apartado b.
Figura 18.
9
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
4. Apartado c.
Se puede ver como Wiris no puede resolver la ecuación porque no tiene solución, expresándolo como se
puede ver en la Figura 19.
Figura 19.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 3.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 − 5 x + 6 = 0
d) 5 x 2 − 7 x + 3 = 0
g) x 2 − 3 x + 15 = 0
b) 9 x 2 + 6 x + 1 = 0
e) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0
h) x 2 − 0,1x + 0,2 = 0
c) 9 x 2 − 6 x + 1 = 0
f)
6 x 2 − 5x + 1 = 0
Solución:
a) x 2 − 5 x + 6 = 0
x=
5±
(− 5)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6
2 ⋅1
x1 = 2
x2 = 3
=
5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1
=
=
2
2
2
=
− 6 ± 36 − 36 − 6 ± 0 − 6 − 1
−1
=
=
=
→x=
18
18
18
3
3
b) 9 x 2 + 6 x + 1 = 0
x=
10
−6±
(6)2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 1
2⋅9
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
c) 9 x 2 − 6 x + 1 = 0
x=
6±
(− 6)2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 1
2⋅9
=
6 ± 36 − 36 6 ± 0 6 1
1
=
= = →x=
18
18
18 3
3
=
7 ± 49 − 60 7 ± − 11
No tiene solución, ya que tiene una raíz
=
10
2
d) 5 x 2 − 7 x + 3 = 0
x=
7±
negativa.
(− 7 )2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 3
2⋅5
e) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0
x=
−5±
(5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 3)
2⋅2
=
− 5 ± 25 + 24 − 5 ± 49 − 5 ± 7
=
=
4
4
4
x1 = −3
x 2 = 0,5
f) 6 x 2 − 5 x + 1 = 0
x=
5±
(− 5)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 1
2⋅6
=
5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1
=
=
12
12
12
x1 = 0,5
x 2 = 0,33
g) x 2 − 3 x + 15 = 0
x=
3±
negativa.
(− 3)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 15
2 ⋅1
=
3 ± 9 − 60 3 ± − 51
No tiene solución, ya que tiene una raíz
=
2
2
h) x 2 − 0,1x + 0,2 = 0
x=
0,1 ±
(− 0,1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 0,2
2 ⋅1
una raíz negativa.
=
0,1 ± 0,01 − 0,8 5 ± − 0,79
=
2
2
No tiene solución, ya que tiene
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para conocer el valor de la incógnita en una ecuación, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá un esquema como el siguiente, en el
11
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
que hay un hueco para cada miembro de la ecuación. Lo rellenaremos con nuestros datos y al pinchar en
‘=’ conoceremos el resultado. También debemos recordar que para insertar una potencia, pincharemos
en su icono (señalado con un círculo rojo) y rellenaremos el hueco con nuestra potencia.
Figura 20.
2. Apartado a.
Figura 21.
3. Apartado b.
Figura 22.
12
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
4. Apartado c.
Figura 23.
5. Apartado d.
Figura 24.
Se puede ver como Wiris no puede resolver la ecuación porque no tiene solución, expresándolo como se
puede ver en la Figura 24.
6. Apartado e.
Figura 25.
13
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
7. Apartado f.
Figura 26.
8. Apartado g.
Figura 27.
9. Apartado h.
Figura 28.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
14
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
Ejercicio 4.
Resolver:
Solución:
a) 2 x 2 − 98 = 0
98
= 49 → x = ± 49 = ±7
2
Las soluciones son x1 = 7 , x 2 = −7
2 x 2 − 98 = 0 → 2 x 2 = 98 → x 2 =
b) 2 x 2 + 98 = 0
2 x 2 + 98 = 0 → 2 x 2 = −98 → x 2 = −
98
= −49
2
No tiene solución, porque el cuadrado de un número no puede ser negativo.
Es decir,
− 49 no tiene sentido.
c) 5 x 2 + 95 x = 0
x =0
5 x 2 + 95 x = 0 → x(5 x + 95) = 0 →  1
5 x + 98 = 0 → x 2 = −95 / 5 = −19
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. En ese momento veremos el esquema de la ecuación, en el que escribiremos nuestros
datos teniendo en cuenta que tenemos un hueco para cada miembro. Para insertar potencias pinchamos
en el icono ‘Potencia’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’ y escribimos el número al que queremos
elevar. Cuando lo tengamos todo planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el valor de la
incógnita.
Figura 29.
15
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Apartado a.
Figura 30.
3. Apartado b.
Figura 31.
4. Apartado c.
Figura 32.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 5.
Resuelve:
a) 7 x 2 − 28 = 0
16
b) 7 x 2 + 28 = 0
c) 4 x 2 − 9 = 0
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
d) 3 x 2 + 42 x = 0
f) 11x 2 − 37 x = 0
e) 3 x 2 = 42 x
g) 2( x + 5) + ( x − 3) = 14( x + 4 )
2
h) 7 x 2 + 5 = 68
2
Solución:
a) 7 x 2 − 28 = 0 → 7 x 2 = 28 → x 2 =
28
→ x 2 = 4 → x = ± 4 → x = ±2
7
− 28
→ x 2 = −4 → x = ± − 4 → No tiene solución porque una
7
raíz cuadrada de un número negativo no tiene sentido.
b) 7 x 2 + 28 = 0 → 7 x 2 = −28 → x 2 =
c) 4 x 2 − 9 = 0 → 4 x 2 = 9 → x 2 =
9
9
3
→x=±
→x=±
4
4
2
x=0
3 x + 42 = 0 → 3 x = −42 → x = −14
d) 3 x 2 + 42 x = 0 → x(3 x + 42) = 0
x=0
3x − 42 = 0 → 3x = 42 → x = 14
e) 3 x 2 = 42 x → 3 x 2 − 42 x = 0 → x(3 x − 42) = 0
x=0
11x − 37 = 0 → 11x = 37 → x = 3,36
f) 11x 2 − 37 x = 0 → x(11x − 37) = 0
(
)
g) 2( x + 5) + ( x − 3) = 14( x + 4 ) → 2 x 2 + 25 + 10 x + x 2 + 9 − 6 x = 14 x + 56 →
2
2
2 x 2 + 50 + 20 x + x 2 + 9 − 6 x = 14 x + 56 → 3x 2 = −3 → x 2 = −1 → x = ± − 1 No tiene solución porque
una raíz cuadrada de un número negativo no tiene sentido.
h) 7 x 2 + 5 = 68 → 7 x 2 = 63 → x 2 = 9 → x = ± 9 → x = ±3
17
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para conocer el valor de la incógnita en una ecuación, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá un esquema como el siguiente, en el
que hay un hueco para cada miembro de la ecuación. Lo rellenaremos con nuestros datos y al pinchar en
‘=’ conoceremos el resultado. También debemos recordar que para insertar una potencia, pincharemos
en su icono (señalado con un círculo rojo) y rellenaremos el hueco con nuestra potencia.
Figura 33.
2. Apartado a.
Figura 34.
3. Apartado b.
Figura 35.
18
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
4. Apartado c.
Figura 36.
5. Apartado d.
Figura 37.
6. Apartado e.
Figura 38.
19
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
7. Apartado f.
Figura 39.
8. Apartado g.
Figura 40.
9. Apartado h.
Figura 41.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
Resolver la ecuación siguiente:
x 2 + 3 x 2 − 7 (x + 4) 1 − 9 x
+
=
−
6
4
2
12
2
20
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
Solución:
x 2 + 3 x 2 − 7 (x + 4) 1 − 9 x
+
=
−
6
4
2
12
2
•
m.c.m (6, 4, 2, 12)=12
Quitamos denominadores multiplicando por 12:
(
) (
)
2 x 2 + 3 + 3 x 2 − 7 = 6( x + 4 ) − (1 − 9 x )
•
2
Desarrollamos los cuadrados, simplificamos y quitamos paréntesis:
(
)
2 x 2 + 6 + 3 x 2 − 21 = 6 x 2 + 8 x + 16 − 1 + 9 x
2 x + 6 + 3 x − 21 = 6 x + 48 x + 96 − 1 + 9 x
2
•
2
2
Agrupamos los términos, pasándolos todos al primer miembro:
2 x 2 + 3 x 2 − 6 x 2 − 48 x − 9 x + 6 − 21 − 96 + 1 = 0
− x 2 − 57 x − 110 = 0 → x 2 + 57 x + 110 = 0
•
Aplicamos la fórmula, teniendo en cuenta que a = 1 , b = 57 , c = 110 :
− 57 ± 57 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 110 − 57 ± 2809 − 57 ± 53
=
=
x=
2 ⋅1
2
2
•
x1 = −2
x 2 = −55
Comprobamos que tanto para x = −2 como para x = −55 , el valor que toma el primer miembro
de la ecuación inicial coincide con el valor que toma el segundo miembro.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, plantearemos la ecuación; para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y
dentro de esta, en el icono ‘Resolver ecuación’. En ese momento nos aparecerá el esquema de la
ecuación con un hueco para cada miembro de la misma.
Figura 42.
21
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Para plantear esta ecuación en concreto, necesitaremos utilizar fracciones, y para insertarlas,
pinchamos en el icono ‘Fracción’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, nos aparecerá
un esquema de una fracción, con un hueco para el numerador y otro para el denominador.
Figura 43.
3. Rellenamos los dos huecos correspondientes a los miembros de la ecuación ayudándonos de las
herramientas que ya conocemos (‘Fracción’ y ‘Potencia’) y cuando esté totalmente planteada pinchamos
en el icono ‘=’ que se encuentra a la derecha del planteamiento y conoceremos la solución.
Figura 44.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 7.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
22
(3x + 4)(5 x − 7 ) = (2 x + 7 )
2
+ 53
b)
x 2 − 3x
x + 12
+2=
2
6
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
c)
(x + 1)2
2
3(x − 1) 3x(x + 1) 3
−
+
=
4
2
2
d)
2
(
x − 2)
= ( x + 1)(x − 1) + 15
3x( x + 1) −
2
Solución:
a) (3 x + 4 )(5 x − 7 ) = (2 x + 7 ) + 53 → 15 x 2 − x − 28 = 4 x 2 + 49 + 28 x + 53 → 11x 2 − 29 x − 130 = 0
2
x=
b)
29 ±
(− 29)2 − 4 ⋅ 11 ⋅ (− 130)
2 ⋅ 11
x 2 = −2,36
x 2 − 3x
x + 12
3x 2 − 9 x 12 x + 12
+2=
→
+
=
→ 3x 2 − 9 x + 12 = x + 12 → 3x 2 − 10 x = 0
2
6
2
6
6
x=0
3x − 10 = 0 → 3x = 10 → x = 3,33
3 x 2 − 10 x = 0 → x(3 x − 10) = 0
c)
x1 = 5
29 ± 6561 29 ± 81
=
=
22
22
(x + 1)2
2
(
)
2 x 2 + 1 + 2 x 3( x − 1) 6 x( x + 1) 6
3( x − 1) 3x( x + 1) 3
−
+
= →
−
+
= →
4
2
2
4
4
4
4
2 x 2 + 2 + 4 x − 3x + 3 + 6 x 2 + 6 x = 6 → 8 x 2 + 7 x − 1 = 0
x=
d)
−7±
(7 )2 − 4 ⋅ 8 ⋅ (− 1)
2⋅8
x1 = 0,125
− 7 ± 81 − 7 ± 9
=
=
16
16
x 2 = −1
2
2
(
6 x(x + 1) ( x − 2 )
x − 2)
3x(x + 1) −
= (x + 1)(x − 1) + 15 →
−
2
2
2
=
2( x + 1)(x − 1) 30
+
→
2
2
6 x 2 + 6 x − x 2 + 4 x − 4 = 2 x 2 − 2 x + 2 x − 2 + 30 → 3x 2 + 10 x − 32 = 0
x=
− 10 ± 10 2 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 32 )
2⋅3
− 10 ± 484 − 10 ± 22
=
=
6
6
x1 = 2
x 2 = −5,33
23
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para conocer el valor de la incógnita en una ecuación, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá un esquema como el siguiente, en el
que hay un hueco para cada miembro de la ecuación. Lo rellenaremos con nuestros datos y al pinchar en
‘=’ conoceremos el resultado. También debemos recordar que para insertar una fracción o una potencia,
pincharemos en sus respectivos iconos (señalados con un círculo rojo) y rellenaremos los huecos con los
datos.
Figura 45.
2. Apartado a.
Figura 46.
3. Apartado b.
Figura 47.
24
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
4. Apartado c.
Figura 48.
5. Apartado d.
Figura 49.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
En un triángulo rectángulo, un cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa y 14 cm más que el otro
cateto. Calcular la longitud de los tres lados.
x+2
x-14
x
Solución:
Para relacionar las tres longitudes, aplicamos el teorema de Pitágoras, donde Si un cateto es x, el otro
cateto es x-14 y la hipotenusa será x+2, y por tanto la expresión que tendremos que calcular será:
25
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
(x − 14)2 + x 2 = (x + 2)2
Desarrollamos: x 2 − 28 x + 196 + x 2 = x 2 + 4 x + 4
Simplificamos: x 2 − 32 x + 192 = 0
Resolvemos la ecuación:
•
•
32 ± 32 2 − 4 ⋅ 192 32 ± 256 32 ± 16
x=
=
=
2
2
2
x1 = 24
x2 = 8
x1 = 24 . Solución: los lados miden 10 cm, 24 cm y 26 cm.
x 2 = 8 . No es solución válida, porque uno de los lados tendría una medida negativa.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. El primer paso es plantear la ecuación, para lo que pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que
encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 50.
2. Para rellenar el esquema de la ecuación, necesitaremos utilizar potencias. Para insertarlas escribimos la
base y después pinchamos en el icono ‘Potencia’ que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’, por lo
que solamente nos quedaría rellenar el hueco de la potencia.
Figura 51.
26
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
3. Por último, cuando esté todo planteado (los paréntesis podemos escribirlos con el teclado o
insertándolos pinchando en el icono ‘Paréntesis’ que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’),
pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos la solución.
Figura 52.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
Un repostero ha mezclado 12 Kg. de azúcar de 1,10 €/Kg. con una cierta cantidad de miel de 4,20
€/Kg. La mezcla sale a 2,34 €/Kg. ¿Cuánta miel puso?
Solución:
AZÚCAR
MIEL
MEZCLA
CANTIDAD (Kg.)
PRECIO (€/Kg.)
COSTE (€)
12
x
12 + x
1,10
4,20
2,34
1,10 ⋅ 12 = 13,20
4,20 x
2,34(12 + x)
Relación: COSTE DEL AZÚCAR + COSTE DE LA MIEL = COSTE DE LA MEZCLA
13,20 + 4,20 x = 2,34(12 + x) → 13,20 + 4,20 x = 28,08 + 2,34 x
1,86 x = 14,88 → x = 14,88 / 1,86 = 8 Kg. de miel.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, escribimos la ecuación. Para que Wiris entienda que es una ecuación y que queremos
resolverla, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.
27
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 53.
2. Escribimos toda la ecuación teniendo en cuenta que los paréntesis podemos escribirlos con el teclado
y que el signo de multiplicación lo introduciremos usando el asterisco (*), Cuando esté toda la operación
planteada pinchamos en el icono ‘=’ para obtener el resultado.
Figura 54.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 10.
La base de un rectángulo es 9 cm mayor que su altura. Su área mide 400 cm2. Calcula las
dimensiones de este rectángulo.
Solución:
En primer lugar, definiremos que la altura es x y la base es x+9. Aplicando la fórmula del cálculo del área
del rectángulo, tenemos la siguiente ecuación:
Área _ rectángulo = base ⋅ altura → 400 = x ⋅ ( x + 9)
Ahora debemos resolver la ecuación:
400 = x ⋅ ( x + 9) → x 2 + 9 x − 400 = 0 →
28
− 9 ± 9 2 − 4 ⋅ (− 400 ) − 9 ± 1681 − 9 ± 41
x=
=
=
2
2
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
x1 = −25
x 2 = 16
Vemos que tenemos dos soluciones posibles para x, aunque sólo una tiene sentido, porque una medida
no puede ser negativa. Por lo tanto, podemos ver que la altura del rectángulo es de 16 centímetros.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, escribimos la ecuación. Para que Wiris entienda que es una ecuación y que queremos
resolverla, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 55.
2. Después nos aparecerá este esquema anterior, en el que hay un hueco para cada miembro de cada
ecuación y lo rellenamos con nuestros datos.
Figura 56.
3. Por último, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 57.
29
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 11.
Al mezclar 60 Kg. de café de 7,20 €/Kg. con café superior de 9,60 €/kg, resulta una mezcla de 8,70
€/Kg. ¿Cuánto café superior se ha utilizado?
Solución:
Sabemos que del café de 7,20€ se utilizan 60 kilogramos, por lo que analíticamente lo expresaríamos así:
60*7,2.
Además, sabemos que se usa café superior pero no en qué cantidad, lo que nos dejaría una incógnita:
x*9,6.
Finalmente, obtenemos café de 8,7 que es la suma de los 60kg. y la cantidad x, a un precio diferente:
(x+60)*8,7.
Planteamos la ecuación sabiendo que los dos primeros puntos se suman para obtener el segundo:
(60 ⋅ 7,2) + ( x ⋅ 9,6 ) = ( x + 60 ) ⋅ 8,7 → 432 + 9,6 x − 8,7 x − 522 = 0 → 0,9 x = 90 → x = 100
Por lo tanto, concluimos que se necesitarán 100 kilogramos de café superior.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. El primer paso es plantear la ecuación, para lo que pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que
encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 58.
30
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
3. Por último, cuando esté todo planteado (los paréntesis podemos escribirlos con el teclado o
insertándolos pinchando en el icono ‘Paréntesis’ que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’),
pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos la solución.
Figura 59.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 12.
De los socios de un club deportivo, los 2/5 juegan al fútbol; 1/3 de los que quedan, al baloncesto;
28, al balonmano, y aún queda 1/6 que hacen atletismo. ¿Cuántos socios son?
Solución:
x son los socios del club.
2
3
x juegan al fútbol → quedan x
5
5
1 3
1
2
⋅ x = x juegan a baloncesto → quedan x
3 5
5
5
2
x − 28 son los que hacen atletismo.
5
Por tanto,
2
1
x − 28 = x
5
6
Resolvemos: 12 x − 840 = 5 x → x = 120 son los socios del club.
31
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, plantearemos la ecuación; para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y
dentro de esta, en el icono ‘Resolver ecuación’. En ese momento nos aparecerá el esquema de la
ecuación con un hueco para cada miembro de la misma.
Figura 60.
2. Para plantear esta ecuación en concreto, necesitaremos utilizar fracciones, y para insertarlas,
pinchamos en el icono ‘Fracción’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, nos aparecerá
un esquema de una fracción, con un hueco para el numerador y otro para el denominador.
Figura 61.
3. Rellenamos los dos huecos correspondientes a los miembros de la ecuación ayudándonos de las
herramientas que ya conocemos (‘Fracción’ y ‘Potencia’) y cuando esté totalmente planteada pinchamos
en el icono ‘=’ que se encuentra a la derecha del planteamiento y conoceremos la solución.
Figura 62.
32
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 13.
Dos hermanas se llevan 3 años y su padre tiene 45. Hace 7 años, la suma de las edades de las hijas
era la mitad que la del padre. ¿Qué edad tiene cada hija?
Solución:
EDAD
HOY
HACE 7 AÑOS
HIJA MENOR
x
x+3
45
x−7
x +3−7
38
HIJA MAYOR
PADRE
Hace 7 años, la suma de la edades se las hijas debía ser 19.
x − 7 + x + 3 − 7 = 19 → 2 x = 30 → x = 15
Las hijas tienen 15 y 18 años, respectivamente.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, plantearemos la ecuación; para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y
dentro de esta, en el icono ‘Resolver ecuación’. En ese momento nos aparecerá el esquema de la
ecuación con un hueco para cada miembro de la misma.
Figura 63.
3. Rellenamos los dos huecos correspondientes a los miembros de la y cuando esté totalmente
planteada pinchamos en el icono ‘=’ que se encuentra a la derecha del planteamiento y conoceremos la
solución.
33
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 64.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 14.
Dos ciudades, A y B, distan 250 Km. Un camión sale de A hacia B a 90 Km/h. A la misma hora, sale
de B hacia A un coche que tarda una hora y cuarto en encontrarse con el camión. ¿Qué velocidad
lleva el coche?
Solución:
•
•
En una hora, el coche recorre x Km., y el camión, 90 Km.
La velocidad con que se acercan es la suma de ambos, (90 + x ) Km./h
•
Tardan, 1,25 h en recorrer 250 Km. entre los dos.
Por tanto:
1,25(90 + x) = 250 → 112,5 + 1.25 x = 250 → x = 110 Km./h es la velocidad del coche.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Plantearemos una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’, dentro de la pestaña
‘Operaciones’. En ese momento, veremos el esquema de la ecuación.
Figura 65.
34
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 5. Ecuaciones.
2. Ahora sólo queda rellenar el esquema que hemos planteado y pinchar en el icono ‘=’ para obtener la
solución.
Figura 66.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 15.
Un depósito de agua para riesgo tiene un grifo de abastecimiento y un desagüe. El grifo llena el
depósito en 9 horas. Si además del grifo se abre el desagüe, el depósito tarda 36 horas en llenarse.
Averiguar cuánto tarda el desagüe en vaciar el depósito lleno, estando cerrado el grifo.
Solución:
•
•
1
del depósito.
9
1
El desagüe vacía, en 1 hora,
del depósito.
x
El grifo llena, en 1 hora,
Abriendo los dos, llenan en 1 hora
Por tanto:
1
del depósito.
36
1 1 1
− =
9 x 36
Resuelve la ecuación y di cuál es la solución.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Escribimos una ecuación, pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que encontramos en la pestaña
‘Operaciones’.
35
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 67.
2. Después, rellenamos los miembros de esta con nuestros datos y pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer nuestro resultado.
Figura 68.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
36