Documento 790877

Colegio Antil Mawida
Departamento de Matemática
Profesora: Nathalie Sepúlveda
Matemática
DOCUMENTO N° 3
Guía Tercer Año Medio
Probabilidades
N°
Fecha
Tiempo
2 Horas
Unidad Nº
Nombre:
Curso:
Cero
Núcleos temáticos de la Guía
Objetivos de la Guía
Aprendizaje Esperado
Números
Conocer, comprender y aplicar conceptos relacionados a Probabilidades
Conocen, comprenden y aplican conceptos relacionados a Probabilidades
Instrucciones
1. Revisión de conceptos asociados a Probabilidades
2. Desarrollo de ejemplos en forma individual.
3. Desarrollo individual de los ejercicios propuestos.
4. Tiempo 50 minutos para resolución.
5. Entrega de alternativas.
6. Revisión de dudas o ejercicios más complejos.
PROBABILIDAD
∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas
condiciones un número indefinido de veces.
∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir,
habiendo un conjunto de resultados posibles.
∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento
aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es
llamado punto muestral.
∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En
otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.
∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados,
cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que
se indique otra cosa.
TIPOS DE EVENTOS
∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.
∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el
subconjunto vacío (∅) del espacio muestral.
∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos
impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras
palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.
∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos
comunes y la unión de ellos es el espacio muestral.
∗ PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos
favorables al evento A por el número total de casos posibles.
La probabilidad de A se denotará por P(A).
∗ Observación:
1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad
de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre
2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%
∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS
∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo
tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo
tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no
ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia
del otro.
∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad
condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la
suposición de que el suceso B ha ocurrido.
∗ Probabilidad y triángulo de Pascal
Caras y sellos
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden
salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier
combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres
caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC,
SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de
sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.
Tiradas
Resultados posibles (agrupados)
Triángulo de Pascal
1
C
S
1, 1
2
CC
CS SC
SS
1, 2, 1
3
CCC
CCS, CSC, SCC
CSS, SCS, SSC
SSS
1, 3, 3, 1
4
CCCC
CCCS, CCSC, CSCC, SCCC
CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC
CSSS, SCSS, SSCS, SSSC
SSSS
1, 4, 6, 4, 1
... etc ...
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan
6
exactamente dos caras. Así que la probabilidad es
, o 37.5%
16
Triángulo de Pascal
DIAGRAMA DEL ARBOL:
· Representa de manera grafica todos los resultados posibles.
Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres
veces seguidas una moneda.
C
C
Resultados favorables: 8
(CCC – CCS – CSC – CSS –
SCC – SCS – SSC – SSS)
S
C
S
Casos favorables: 3
S
(CCS – CSC – SCC)
Probabilidad =
C
CCS
S
CCS
C
CSC
S
CSS
C
SCC
S
SCS
C
SSC
S
SSS
3
8
La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al
repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de
cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado
probabilidad de un suceso.
Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso
"salir cara al lanzar una moneda".
Al
Lanzamientos
100
150
200
300
400
500
fi
56
68
108
132
208
255
hi
0,56
0,45
0,54
0,44
0,52
0,51
aumentar
los
lanzamientos,
las
frecuencias relativas se aproximan a un valor 0,5. Ésa es la probabilidad del
suceso salir cara al lanzar una moneda.
La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su
frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de
veces.
EJERCICIOS
1) La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es
1
. ¿Cuál es la
3
probabilidad de sacar una bola que no sea roja?
1
3
B) 1
2
C)
3
1
D)
6
E) Falta I nformac ión
A)
2) Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3
ó 4?
1
6
7
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
21
E)
36
3) Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?
A)
A)
B)
C)
D)
E)
7
8
1
4
1
2
3
8
5
8
4) Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?
A) 0,4
B) 0,41
C) 0,42
D) 0,5
E) Ninguna de las anteriores
5) En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y
18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla
y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?
12 20 18 11



50 50 50 50
12 20 18 11
B)



50 49 48 47
12 20 18 12
C)



50 50 50 50
12 20 18 12
D)



50 49 48 47
12 20 18 11
E)



50 49 48 47
A)
6) La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un
cargo administrativo
NIVEL EDUCACIONAL
Sexo
Universitaria
Media
Básica
Masculino
250
100
40
Femenino
225
110
25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La probabilidad que sea varón es de
390
750
II) La probabilidad que sea mujer es de
360
390
III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de
475
750
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
7) Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra
HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que
en ésta esté escrita una vocal es:
A)
B)
C)
D)
E)
1
10
2
5
1
5
1
4
2
3
8) En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los
4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ?
I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de
1
2
II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de
1
4
III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de
2
3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
9) En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una
persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha
verde antes de la roja?
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
1
2
3
4
1
8
1
24
10) En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual tamaño y
peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una
ficha negra sea
2
?
3
A) 1N y 0B
B) 1N y 3B
C) 1N y 4B
D) 1N y 1B
E) 0N y 1B
11) Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un
número par menor que 5?
1
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
E ) Ninguna de las anteriores
A)
12) Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la probabilidad de
que ese número sea múltiplo de 4?
3
30
23
B)
30
7
C)
30
8
D)
30
6
E)
30
A)
13) Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que
obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3
y Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?
A) Todos tienen probabilidad
B) Todos tienen probabilidad
1
de ganar.
2
1
de ganar.
3
C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.
D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.
E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.
14) ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean
caras y 1 sea sello?
3
8
1
B)
8
2
C)
8
1
D)
3
2
E)
3
A)
15) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados?
3
216
1
B)
216
3
C)
8
1
D)
18
A)
E) Ninguno de los valores anteriores