1 - Uprm

Capítulo 31: Circuitos AC
Representaremos un generador AC en un circuito usando
θ G
A
G G
ΦB = NA ⋅ B = NBA cos θ
G
B
Pero θ=ωt, por lo tanto
ΦB = NBA cos ωt
La EMF inducida es:
d ΦB
E =−
= −NBA (−ω sin ωt )
dt
E = NBAω sin ωt
E = E max sin ωt,
E max = NBAω
+
−
E = E max sin ωt
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
∑V = 0 =E − IR,
∴ E = IR = E max sin ωt
Emax
I =
sin ωt = I max sin ωt
R
donde
I max
Emax
=
R
NOTA: La corriente y el
voltaje están en fase, según
ilustrado en la figura.
es la corriente máxima.
Promedio RMS (“root-mean-squared”)
I = I max sin ωt,
I rms
2
I =I
1
= I =
I max
2
2
2
max
1 2
sin ωt = I max
2
2
Similar para el voltaje.
+
+
−
−
E = E max sin ωt
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
q
∑V = E − C = 0
q
∴ E = = E max sin ωt
C
q = C Emax sin ωt
dq
I =
= C Emax (ω cos ωt ) = ωC Emax cos ωt
dt
I = I max cos ωt, donde I max = ωC Emax
Usando la identidad cos(ωt)=sin(ωt+90°), tenemos:
I = I max sin (ωt + 90 )
D
NOTA: La corriente está adelantada por 90
grados con respecto al voltaje (o el voltaje está
atrasado por 90 grados respecto a la corriente).
Vimos en circuitos DC que la corriente a través de una
resistencia es igual al voltaje en ésta dividida por la resistencia,
esto es, I = V/R (Ley de Ohm). Tratando de usar esta idea
escribimos la corriente Imax de la siguiente manera:
I max = ωC Emax
La cantidad XC dada por
Emax
Emax
=
=
1
XC
ωC
1
XC =
ωC
se conoce como reactancia capacitiva y sus unidades son omios.
+
−
+
−
E = E max sin ωt
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
⎛ dI ⎞⎟
∑V = E + ⎜⎜⎝−L dt ⎠⎟⎟ = 0
dI
∴E =L
= E max sin ωt
dt
Emax
sin ωt dt
dI =
L
Emax
Emax ⎛ − cos ωt ⎞⎟
⎜
ω
=
I =
sin
t
dt
⎟
⎜
∫
L
L ⎝ ω ⎠
Emax
I =−
cos ωt
ωL
Usando la identidad -cos(ωt)=sin(ωt-90°), tenemos:
I = I max sin (ωt − 90 ) donde I max
D
Emax
=
ωL
NOTA: La corriente está atrasada por 90 grados con respecto al
voltaje (o el voltaje está adelantado por 90 grados respecto a la
corriente).
Podemos escribir Imax en forma de la ley de Ohm definiendo una
nueva cantidad XL llamada reactancia inductiva:
I max
Emax
Emax
=
=
ωL
XL
La cantidad XL dada por
X L = ωL
es la reactancia inductiva y sus unidades son omios.
+
−
+
−
I aumentando
+
−
E = E max sin ωt
Aplicando la ley de Kirchoff para los voltajes tenemos:
⎛ dI ⎞⎟ ⎛ q ⎞
∑V = E + (−IR) + ⎜⎜⎝−L dt ⎠⎟⎟ + ⎜⎜⎝− C ⎠⎟⎟ = 0
La ecuación a resolver es:
dI
q
dq
L
+ IR + = Emax sin ωt, donde I =
dt
C
dt
La solución es:
I = I max sin (ωt − φ)
donde
I max =
X L − XC
tan φ =
R
Emax
Emax
=
2
2
Z
R + (X L − XC )
La cantidad
2
Z = R + (X L − XC )
2
es la impedancia del circuito. En términos de la impedancia, la
corriente está dada por:
Emax
I =
sin (ωt − φ)
Z
Podemos expresar estos resultados usando un diagrama de
fasores, ilustrado en la siguiente figura.
G
E
G
VL
G
VC
G
VR
I
G
G
VL −VC
G
VR
Tratamos los voltajes como si fuesen vectores. La magnitud de
cada vector es
G
G
VR = VR,max = I maxR, VL = VL,max = I max X L
G
G
VC = VC ,max = I max XC , E = Emax = I maxZ
De la figura (b) tenemos
2
max
E
= (VL,max −VC ,max ) + VR2,max
=I
2
max
2
2
(X L − XC ) + I
2
max
R
2
2
Emax = I max (X L − XC ) + R 2
I max
Emax
Emax
=
=
2
2
Z
X
−
X
+
R
( L
)
C
Del dibujo tenemos:
tan φ =
VL,max −VC ,max
VR,max
X L − XC
tan φ =
R
I max (X L − XC )
=
I maxR
G
E G
G
VL −VC
G
VR
Considera el siguiente circuito donde R=30 Ω, L=60 mH y C=10 µF.
El voltaje máximo del generador es 170 voltios y su frecuencia
angular es 1000 rad/seg. Calcula (a) la impedancia del circuito, (b) la
corriente RMS, (c) la constante de fase del circuito. ¿Cómo está el
voltaje, atrasado o adelantado relativo a la corriente?
Resonancia
Si la frecuencia del generador es tal que XL=XC, entonces la
constante de fase φ es cero y decimos que el circuito está en
resonancia. Observamos lo siguiente:
1. La corriente y el voltaje están en fase.
⎛
X − XC ⎞⎟
⎜⎜tan φ = L
⎝
⎠⎟⎟
R
2. La impedancia tiene su valor más pequeño:
2
Z = R + (X L − XC ) = R + (0) = R
2
2
2
3. La corriente Imax (y la RMS) tiene su valor más grande:
I max
Emax
Emax
=
=
Z
R
⎛
Erms ⎞⎟
⎜⎜ó I rms =
⎟
⎝
R ⎠⎟
Frecuencia de Resonancia
Calculamos la frecuencia de resonancia a partir de la condición XL=XC.
X L = XC
1
ω 0L =
ω0C
1
2
ω0 =
LC
1
ω0 =
LC
¿En el ejemplo anterior, cuál es la frecuencia de resonancia? ¿Cuál
es el valor de la corriente RMS si el circuito estuviese en
resonancia?
Potencia en Circuitos AC
La potencia instantánea del generador es:
P = EI = (Emax sin ωt )(I max sin (ωt − φ))
= EmaxI max sin ωt sin (ωt − φ)
Usar la identidad:
sin (ωt − φ) = sin ωt cos φ − cos ωt sin φ
⎛
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
2
P = EmaxI max ⎜⎜cos φ sin ωt − sin φ sin
ωt cos ωt ⎟
⎟⎟
1
⎜⎜⎝
sin 2 ωt
⎠
2
Potencia en Circuitos AC - continuación
La potencia promedio es:
⎛
⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
1
2
P = EmaxI max ⎜⎜cos φ sin
ω
t − sin φ sin
2ω
t ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
2
0
1
⎜⎝
⎠
2
⎛ 1
⎞⎛
⎞⎟
1
1
⎟
I max ⎟⎟ cos φ
= EmaxI max cos φ = ⎜⎜⎜
Emax ⎟⎟⎜⎜⎜
⎝ 2
⎠⎝ 2
⎠
2
= Erms I rms cos φ
R
Usando cos φ =
tenemos:
Z
R ⎛ Erms ⎞⎟
P = Erms I rms = ⎜⎜
I rms R,
⎟
⎟
⎝ Z ⎠
Z
P =I
2
rms
R
El Transformador Ideal
E
Vs
d φB
dt
d φB
= Vp = −N p
dt
d φB
= −N s
dt
Vp
Vs
=−
=−
Np
Ns
Ns
Vs = Vp
Np
Por conservación de energía tenemos:
I pVp = I sVs
∴ Is = I p
Np
Ns
I p = 100A
Vp = 4 × 103 v
Vs = 2.4 × 105 v = 240 kV
Rlínea = 30 Ω
Is = ?
Calcular corriente Is:
I pVp = I sVs
3
⎛Vp ⎞⎟
4
10
×
v
⎜
I s = I p ⎜⎜ ⎟⎟ = 100A
5
⎟
2.4
10
V
v
×
⎝ ⎠
s
I s = 1.67A
La potencia suplida por la planta es:
Pplanta = I pVp = (100A)(4 × 103 v )
= 400, 000W = 400 kW
La potencia perdida en la línea usando el transformador es:
2
(
)
Plínea = I R = (1.67A) 30 Ω = 83.3W
2
s
83.3W
Plínea
× 100% =
× 100%
% de pérdida =
Pplanta
400, 000W
= 0.02 %
La potencia suplida si no se usa transformador:
En ese caso la corriente que pasa por la línea es 100 A.
2
(
)
Plínea = I R = (100A) 30 Ω = 300, 000W = 300 kW
2
300, 000W
Plínea
× 100% =
× 100%
% de pérdida =
Pplanta
400, 000W
= 75 %