Control Automático – Primera Parte Sistema: Grupo de

Control Automático – Primera Parte
Sistema: Grupo de componentes que trabajan en conjunto para conseguir un objetivo
determinado. Este objetivo es el Control de alguna magnitud física, y si lo hace sin la
necesidad de una supervisión humana, se dice que es Automático.
Debido a que los sistemas y procesos a ser controlados son dinámicos (no estáticos), su
comportamiento se describe mediante ecuaciones diferenciales (no algebraicas).
Diagrama Conceptual de un Sistema de Control de Lazo Cerrado
Planta: Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de las partes
de una máquina que funcionan juntas, el propósito de la cual es ejecutar una operación
particular. Planta es cualquier objeto físico que se va a controlar (tal como un
dispositivo mecánico, un horno de calefacción, un reactor químico o una nave espacial).
Proceso: Proceso es una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo,
marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en una forma
relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados; o una
operación artificial o voluntaria progresiva que consiste en una serie de acciones o
movimientos controlados, sistemáticamente dirigidos hacia un resultado o propósito
determinados. Proceso es cualquier operación que se va a controlar. Algunos ejemplos
son los procesos químicos, económicos y biológicos.
Entrada de Referencia, Consigna o Set Point: También se le llama señal Controlante,
es lo que se quiere obtener del Sistema, hacia donde debe tender la salida.
Controlador o Compensador: Es el cerebro del Sistema, es el lugar donde se compara
lo que se quiere obtener (Entrada de Referencia) y lo que realmente se tiene (Una
medición de la Salida real); en función de esta comparación generara las Señales de
Mando o Acciones de Control que a través de los Actuadores modificara la Planta o
Proceso para obtener la Salida Deseada. También se los llama Elemento Anticipativo.
Puede tener distintas naturalezas y se clasifican en Analógicos y Digitales.
Controladores Analógicos: Solo sirven para manejar señales analógicas, y en general se
puede decir que se usan principalmente en sistemas SISO (Single Input Single Output)
ya que en sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output) se complica demasiado su
análisis y diseño (Se usa análisis Vectorial-Matricial en donde, en muchas ocasiones, la
matemática hace perder de vista el sentido físico); sirve solo en Sistemas de Parámetros
Concentrados (Geográficamente cercanos) ya que para Sistemas de Parámetros
Distribuidos (Geográficamente distantes) presentan problemas de comunicación y
conectividad; además es bastante difícil integrarlos a sistemas informáticos para
compartir información y recursos. Los siguientes son algunos tipos de Controladores
Analógicos: Controlador Proporcional (P), Derivativo (D), Integrativo (I), ProporcionalDerivativo (PD), Proporcional-Integrativo (PI) y Proporcional-Integrativo-Derivativo
(PID).
Controladores Digitales: Sirven para sistemas SISO y MIMO, la mayoría pueden
manejar señales digitales y analógicas digitalizadas; sirven para Sistemas de Parámetros
Concentrados y de Parámetros Distribuidos y pueden integrarse a sistemas informáticos
para formar redes y poder compartir información y recursos. Desde el punto de vista de
la implementación física de los controladores (Hardware) se pueden distinguir dos tipos:
1 – Lógica Cableada: Se pueden usar contactores, relés, temporizadores, contadores, etc.
como elementos básicos.
2 – Lógica Programada: Se pueden usar Computadoras Personales (PC), Controladores
Lógicos Programables (PLC), Microcontroladores (uC), FPGA, etc. como elementos
centrales.
Desde el punto de vista de la implementación lógica de los controladores (Software) se
pueden mencionar: Lógica Tradicional, Lógica Difusa, Inteligencia Artificial y Sistemas
Expertos, Redes Neuronales, etc.
Actuadores o Elementos Finales de Control: Son los músculos del Sistema de
Control, a través de ellos el Controlador modifica la Planta o Proceso para llevar la
Salida al valor deseado.
Elementos de Medición o Sensores: Son los sentidos del Sistema de Control, gracias a
ellos, el Controlador puede saber que esta pasando realmente con la variable que se
pretende controlar.
Perturbaciones Externas: Una perturbación es una señal que tiende a afectar
negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del
sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera
del sistema y es una entrada.
Automático vs. Manual: Un Sistema de Control es Automático si tiene una minima
intervención humana en el establecimiento del Set Point; en cambio, es Manual si para
“cerrar” el Lazo de Realimentación es necesaria la intervención humana.
Diagrama Conceptual de un Sistema de Control de Lazo Abierto
Un Sistema de Control de Lazo Abierto es tal que ni la salida ni ninguna otra variable
del sistema tiene algún efecto sobre el control de la salida.
En contraposición, un Sistema de Control de Lazo Cerrado la salida del sistema y otras
variables del sistema efectúan el control del sistema.
El éxito en el Sistema de Control de Lazo Abierto depende de dos cosas:
1 – La CALIBRACION del elemento de control.
2 – La ausencia de PERTURBACIONES EXTERNAS.
Es obvio que el sistema de Lazo Cerrado es más complejo pero aquí el compromiso es
COMPLEJIDAD y RENDIMIENTO.
Realimentación: Es esa propiedad de un Sistema de Control de Lazo Cerrado que
permite que la salida (o cualquier otra variable controlada del Sistema) sea
comparada con la entrada del Sistema (o con una entrada a cualquier componente
interno del Sistema o con un subsistema de este) de tal manera que se pueda
establecer la acción de control apropiada como función de la entrada y la salida.
Una de las mayores dificultades en el diseño y la síntesis de sistemas de control de
lazo cerrado de alto rendimiento es el necesario compromiso entre rendimiento
deseado y estabilidad requerida.
Las consideraciones que se deben realizar antes de inclinarse por uno u otro sistema de
control son: Complejidad, Rendimiento y Estabilidad.
Características de la Realimentación:
1 – Aumenta la Exactitud del Sistema (La habilidad de reproducir fielmente la entrada).
2 – Disminuye la Sensibilidad del Sistema a la variación de los parámetros.
3 – Reduce los efectos de No Linealidades, Distorsión y Ruido Interno.
4 – Aumenta el Ancho de Banda del Sistema. El Ancho de Banda de un sistema es ese
intervalo de frecuencias (de la entrada) por sobre el cual el sistema responde
satisfactoriamente.
5 – Tendencia a la Oscilación o a la Inestabilidad.
Clasificación: Dependiendo de la naturaleza de los procesos, los sistemas de control
pueden ser:
- Sistemas Naturales: Por ejemplo el control de la temperatura del cuerpo humano, por
medio de la transpiración. La entrada del sistema es la temperatura habitual de la piel y
la salida, su temperatura actual. Si existe una señal de error, se pone en funcionamiento
el proceso de activar la sudoración para que, por evaporación, se produzca un
enfriamiento de la piel, cuando comienza a descender la temperatura la señal de error se
atenúa lo que provoca la disminución de la secreción del sudor.
- Sistemas realizados por el hombre: Por ejemplo el control de la temperatura de una
habitación por medio de un termostato. La entrada del sistema es la temperatura de
referencia considerada confortable, que se introduce en el termostato (comparador), la
salida del sistema es la temperatura de una habitación. Si en la salida del comparador se
tiene una señal de error, esta activara los dispositivos pertinentes para poner en
funcionamiento los medios adecuados para corregir ese error, que continuaran actuando
mientras persista la señal de error.
- Sistemas Mixtos: Es el caso del control de la dirección de un automóvil. La entrada
seria la dirección de la carretera, y la salida la dirección del automóvil. Por medio del
cerebro, los ojos, las manos….., y también el vehiculo, el conductor gobierna y corrige
la salida para ajustarla a la entrada.
El problema de la Ingeniería de Control: el Análisis y el Diseño.
La ingeniería de Control consiste en el Análisis y el Diseño de las configuraciones de
los Sistemas de Control.
Análisis: Es la investigación de las propiedades de un Sistema existente.
Diseño: Es la elección y ordenamiento de los componentes del Sistema para que
realicen una tarea especifica. Hay dos métodos de diseño:
1 – Diseño por Análisis: Se efectúa modificando las características de un Sistema
existente.
2 – Diseño por Síntesis: Se define la forma del Sistema directamente de las
especificaciones.
“Todo lo que se puede medir, se puede controlar (Excepto el TIEMPO)”.
Clasificación de Sistemas de Control desde el Punto de Vista de la cantidad de Entradas
y salidas:
1 – SISO (Single Input / Single Output)
2 – MISO (Multiple Input / Single Output)
3 – SIMO (Single Input / Multiple Output)
4 – MIMO (Multiple Input / Multiple Output)
Estructura de un Sistema de Control Automático Analógico del tipo SISO.
Estructura Clásica:
Donde:
F: Filtro de Entrada (Opcional)
C: Controlador
G: Actuador + Planta
H: Sensor de Realimentación
Estructura Alternativa Con Controlador en Serie con la Realimentación:
Estructura con dos Controladores:
Estructura con dos Controladores para dos Plantas y con dos Realimentaciones:
La elección de la Estructura tiene que ver con la relación de compromiso
RENDIMIENTO vs. COMPLEJIDAD.
Clasificación de Sistemas:
Sistema Dinámico: La Salida o Respuesta depende del Tiempo.
Sistema Estático: La Salida o Respuesta no depende del Tiempo.
Principales Características de los Sistemas de Control:
VELOCIDAD, EXACTITUD, SENSIBILIDAD y ESTABILIDAD.
Ejemplos:
1 – Supóngase que se trata de una ducha:
Entrada: Angulo de apertura de la válvula o grifo.
Sistema: Ducha.
Salida: Flujo o caudal de agua que sale.
Un Sistema de Control en Lazo Abierto seria como sigue:
Para que el Sistema de Control sea de Lazo Abierto, la Persona que gobierna la posición
del Grifo no ve, y por lo tanto no sabe, la cantidad de agua que realmente esta saliendo
por la Ducha; es como si estuviera detrás de una pared.
Para que el Sistema de Control sea de Lazo Cerrado, la Persona debe saber que cantidad
de agua esta saliendo realmente, esto lo puede lograr colocándose debajo de la ducha y
así, realizando una medición, lo siente en su cuerpo, puede saber cuanto es el ERROR,
diferencia entre lo que quiere y lo que esta obteniendo; de esta manera puede ajustar o
calibrar el ángulo de apertura de la válvula hasta obtener lo que desea. Con la medición
hay realimentación.
2 - Supóngase que se trata de un motor eléctrico:
Entrada: Tensión eléctrica que alimenta al motor.
Sistema: Motor eléctrico.
Salida: Torque o Velocidad en el eje del motor.
Un Sistema de Control en Lazo Abierto seria como sigue:
¿Qué se debería agregar para que sea un Sistema de Control Automático y de Lazo
Cerrado?
3 - Supóngase que se trata de la velocidad de un vehiculo:
Entrada: Angulo o Inclinación del Acelerador.
Sistema: Vehiculo.
Salida: Velocidad Real del Vehiculo.
Un Sistema de Control en Lazo Cerrado seria como sigue:
4 - La siguiente figura (a) es un diagrama esquemático de un sistema de control de nivel
de líquido. Aquí el controlador automático mantiene el nivel de líquido comparando el
nivel real con un nivel deseado y corrigiendo cualquier error mediante un ajuste de la
apertura de la válvula neumática. La figura (b) es un diagrama de bloques del sistema de
control.
El diagrama de bloques correspondiente a un sistema de control de nivel de líquido
operado por personas.
5 - Control de temperatura del compartimiento del pasajero de un automóvil. La
siguiente figura muestra un diagrama funcional del control de temperatura del
compartimiento del pasajero de un automóvil. La temperatura deseada, convertida a un
voltaje, es la entrada del controlador. La temperatura real del compartimiento del
pasajero se convierte a un voltaje mediante un sensor y se alimenta al controlador para
que éste la compare con la entrada. La temperatura ambiente y la transferencia térmica
por, radiación del Sol, que no son constantes conforme se conduce el automóvil,
funcionan como perturbaciones.
La temperatura del compartimiento del pasajero de un automóvil difiere
considerablemente dependiendo del lugar en donde se mida. En lugar de usar sensores
múltiples para medir la temperatura y promediar los valores, es económico instalar un
pequeño ventilador de succión en el lugar en donde los pasajeros normalmente detectan
la temperatura. La temperatura del aire del aspirador es una indicación de la temperatura
del compartimiento del pasajero y se considera la salida del sistema.
El controlador recibe la señal de entrada, la señal de salida y las señales de los sensores
de las fuentes de perturbación. El controlador envía una señal de control óptima al aire
acondicionado o al calefactor para controlar la cantidad de aire frío o caliente a fin de
que la temperatura del compartimiento del pasajero se mantenga al valor deseado.
6 - Sistemas empresariales. Un sistema empresarial está formado por muchos grupos.
Cada tarea asignada a un grupo representará un elemento dinámico del sistema. Para la
correcta operación de tal sistema deben establecerse métodos de realimentación para
reportar los logros de cada grupo. El acoplamiento cruzado entre los grupos funcionales
debe reducirse a un mínimo para evitar retardos de tiempo inconvenientes en el sistema.
Entre más pequeño sea dicho acoplamiento, más regular será el flujo de señales y
materiales de trabajo. Un sistema empresarial es un sistema en lazo cerrado. Un buen
diseño del mismo reducirá el control administrativo requerido. Observe que las
perturbaciones en este sistema son la falta de personal o de materiales, la interrupción
de las comunicaciones, los errores humanos, etcétera.
El establecimiento de un sistema bien fundado para obtener estimados, basado en
estadísticas, es imprescindible para una administración adecuada.
Con el propósito de aplicar la teoría de control para mejorar el desempeño de tal
sistema, se debe representar la característica dinámica de los grupos componentes del
sistema mediante un conjunto de ecuaciones relativamente simples. Aunque es
ciertamente una dificultad obtener representaciones matemáticas de los grupos de
componentes, la aplicación de técnicas de optimización a los sistemas empresariales
mejora significativamente el desempeño de los mismos.
Nota Importante: Debido a que la salida de un bloque es la entrada a otro/s; debe haber
correspondencia entre las unidades empleadas.
Modelado Matemático de Sistemas Físicos:
Modelar o Modelizar un Sistema es convertirlo a un equivalente matemático
(normalmente Ecuaciones Diferenciales) que lo representa. Teniendo el modelo
matemático del Sistema se lo puede analizar y modificar para que cumpla con
determinados requerimientos (Especificaciones). Sin embargo obtener un modelo
matemático que caracterice de forma adecuada el comportamiento de un determinado
sistema no es sencillo, y es uno de los grandes problemas de la ingeniería de control.
Ningún modelo matemático puede abarcar toda la realidad del sistema, sin embargo,
para que un modelo sea útil no es necesario que sea excesivamente complicado. Basta
con que represente los aspectos esenciales del mismo y que las predicciones sobre el
comportamiento del sistema, basadas en dicho modelo, sean lo suficientemente precisas.
Las Ecuaciones Diferenciales se obtienen usando leyes físicas.
Representación de un Sistema en Forma de Ecuaciones Diferenciales
Una propiedad común a todas las leyes básicas de la física es que ciertas cantidades
fundamentales se pueden definir por medio de valores numéricos y generalmente se
representan por ecuaciones. Una Ecuación Diferencial es cualquier igualdad algebraica
que involucra diferenciales o derivadas, o sea, sirve para relacionar velocidades de
cambio de variables y otros parámetros.
Ejemplo: La segunda Ley de Newton
Ecuaciones Diferenciales Parciales y Ordinarias
Ecuación Diferencial Parcial:
Es una igualdad que involucra una o mas variables dependientes y dos o mas variables
independientes, al igual que derivadas parciales de la(s) variable(s) dependiente(s) con
respecto a las variables independientes.
Ejemplo: La ecuación de Difusión: La variable dependiente es la Concentración T de
alguna cantidad que depende de la posición que se trate (variable independiente x), en
algún momento determinado (variable independiente t). La ecuación de Difusión
vincula las variaciones de la Concentración T con respecto de las variaciones de la
posición y el tiempo.
Otro Ejemplo:
Variables Independientes: t, x
Variable Dependiente: y
Ecuación Diferencial Ordinaria o Total:
Es una igualdad que involucra una o más variables dependientes, una variable
independiente y una o mas derivadas de la(s) variable(s) dependiente(s) con respecto a
la variable independiente.
Ejemplo: La Ley de Ohm:
Otro Ejemplo:
Variable Independientes: x
Variable Dependiente: y
Orden y Grado de una Ecuación Diferencial:
Orden: Se refiere a la mayor derivada.
Grado: Se refiere al mayor exponente de la mayor derivada.
Ejemplo:
Esta Ecuación Diferencial es de Orden 3 y Grado 1.
Otro Ejemplo:
Esta Ecuación Diferencial es de Orden 2 y Grado 3.
Ecuaciones Diferenciales Lineales: Para que una Ecuación Diferencial sea Lineal se
deben cumplir dos condiciones:
a) La Variable Dependiente y todas sus derivadas deben ser de Primer Grado.
b) Todos y cada uno de los Coeficientes dependen solo de la Variable Independiente.
Ejemplos:
Ecuaciones Diferenciales Variantes e Invariantes en el Tiempo
Ecuación Diferencial Variante en el Tiempo:
Es una Ecuación Diferencial en la cual uno o más términos dependen explícitamente de
la variable independiente tiempo t.
Ejemplo:
Ecuación Diferencial Invariante en el Tiempo:
Es una Ecuación Diferencial en la cual ninguno de los términos dependen
explícitamente de la variable independiente tiempo t.
Ejemplo:
Donde los coeficientes ai y bi son constantes. La ecuación depende implícitamente de t
a través de las variables dependientes x e y.
Ejemplo Sistema Mecánico:
Considerar la siguiente situación:
Se trata de una masa M suspendida mediante un Resorte (rigidez de K [N/m]) de un
techo, inserta en un Tubo, cuando se mueve M aparece una fuerza debida a la Fricción
con las paredes del mismo. En la figura de arriba se pueden observar todas las fuerzas
intervinientes en el fenómeno:
Viéndolo como sistema, r(t) es la Entrada y y(t) es la salida; de acuerdo a la fuerza r(t)
que se aplique a la masa M será el desplazamiento y(t) que tendrá la misma. La fuerza
total F será la resultante de la combinación de las distintas fuerzas intervinientes:
Esta ultima es la Ecuación Diferencial que sirve para modelar el sistema y hacerlo apto
para ser analizado y controlado.
Otro Ejemplo Mecánico:
La siguiente figura muestra un diagrama esquemático de un sistema de suspensión de un
automóvil. Conforme el automóvil avanza por un camino, los desplazamientos
verticales de las llantas funcionan como una excitación de movimiento para el sistema
de suspensión del automóvil. El movimiento de este sistema consiste en un
desplazamiento del centro de la masa y un desplazamiento de rotación alrededor del
centro de la masa. El modelado matemático del sistema completo es muy complicado.
Una versión muy simplificada del sistema de suspensión aparece en la figura (b).
Suponiendo que el movimiento xi en el punto P es la entrada al sistema y el movimiento
vertical x0 del cuerpo es la salida, obtenga la relación x0/xi. (Considere el movimiento
del cuerpo sólo en la dirección vertical.) El desplazamiento x0 se mide a partir de la
posición de equilibrio en ausencia de la entrada xi.
Solución. La ecuación de movimiento para el sistema de la figura (b) es
O bien:
Ejemplo en Sistemas eléctricos:
En un circuito en el que existan resistencias, bobinas y condensadores, las ecuaciones
diferenciales que lo gobiernan se obtienen aplicando las leyes de Kirchhoff en las
mallas o en los nodos. A continuación se muestran algunos casos en los que se da una
combinación de estos tres elementos y sus respectivas ecuaciones diferenciales.
Sistema eléctrico resistencia-bobina-condensador
En el sistema de la figura, la entrada en el circuito en la tensión vi y la salida es la
tensión vo suponiendo que la corriente de salida es nula, o lo que es lo mismo, el
circuito se conecta a un dispositivo de alta impedancia de entrada. En el sistema de
ecuaciones diferenciales interviene una variable intermedia: la intensidad i. Es difícil en
el dominio temporal eliminar del sistema de ecuaciones estas variables intermedias para
obtener una única ecuación diferencial que relacione la salida con la entrada.
Sistemas electromecánicos: Los sistemas electromecánicos combinan elementos
mecánicos y eléctricos. Un ejemplo es el motor de corriente continua que hace girar una
inercia. La entrada es la tensión v y la salida es el giro .
Modelo de un motor de corriente continua arrastrando una inercia
La primera ecuación del sistema responde a la única malla del circuito. La tensión e que
aparece en el motor es proporcional a la velocidad de giro del mismo. El par
que
ejerce el motor es proporcional a la intensidad que circula por el. Las constantes de
velocidad y de par son la misma K, donde es posible demostrar que tienen las mismas
unidades. La ultima ecuación del sistema es la del modelo mecánico de inercia J y
viscosidad B.
Consideraciones Generales:
- Es bastante difícil, en general, encontrar la solución para las Ecuaciones Diferenciales
(Dominio del Tiempo); es decir, obtener una expresión que vincule la salida del Sistema
con la entrada del mismo en el dominio del tiempo. Por otro lado, existe una
componente muy importante que no se tuvo en cuenta hasta ahora: Las Condiciones
Iniciales. Estas tienen mucha influencia a la hora de encontrar la respuesta del Sistema
ante una determinada entrada.
- Un experto en la materia debe proveer las Ecuaciones Diferenciales que rigen el
comportamiento del Sistema que se quiere controlar y a partir de ahí se trabaja.
Sistemas Lineales: Un Sistema es Lineal si cumple con las Propiedades de
Superposición y de Homogeneidad.
Superposición: Sea:
(a)
Una entrada x1(t) que produce una salida y1(t)
(b)
Una entrada x2(t) que produce una salida y2(t)
Entonces
(c)
Una entrada x1(t) + x2(t) = y1(t) + y2(t)
Homogeneidad: Sea una entrada x1(t) que produce una salida y1(t). Entonces, se debe
cumplir que:
Una entrada A x1(t) = A y1(t)
Analizar ejemplos:
Linealización: Normalmente se buscan modelos matemáticos en los que intervengan
ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Si se encuentran ecuaciones
no lineales, lo habitual es linealizarlas en las proximidades del punto de operación.
Linealizar es convertir un Sistema No Lineal en Lineal. Hay que encontrar un Sistema
Equivalente pero en un determinado Rango en el cual se comporta como Lineal. En
estos casos, a pesar de que el Sistema No Lineal describe de mejor manera al sistema en
cuestión, se sacrifica la exactitud por la complejidad (Menos exacta pero más sencilla de
tratar).
Serie de Taylor: Es una aproximación lineal. Sea y = g(x)
Se trunca la Serie de Taylor para obtener una aproximación lineal de g(x):
Observar que m es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto analizado.
Haciendo pasaje de términos:
Se hizo un cambio de variable y se obtuvo una función lineal.
Ejemplo: Linealizar
en el punto x = 4:
Ejemplo: Linealizar
en el punto 0º:
Servomecanismos y Reguladores
Servomecanismo: Es un Sistema de Control a Lazo Cerrado de Amplificación de
Potencia, donde la variable controlada es una posición mecánica o sus derivadas con
respecto al tiempo: Velocidad o Aceleración. Un ejemplo de Servomecanismo es la
Dirección Hidráulica de un automóvil.
Regulador: Es un Sistema de Control a Lazo Cerrado donde la variable de entrada es
una constante por largos periodos de tiempo. Esa entrada se llama Punto de Referencia.
Un ejemplo de Regulador es una Fuente de Alimentación Regulada.
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Coeficientes
Constantes
Considérese la clase de ecuaciones diferenciales de la forma:
Donde t es tiempo, los coeficientes ai y bi son constantes, x=x(t) (la entrada) es una
función de tiempo conocida e y=y(t) (la salida) es la solución desconocida de la
ecuación. Si esta ecuación describe un sistema físico, entonces por lo general m =< n, y
n es lo que se denomina el orden de la ecuación diferencial. Para especificar
completamente el problema con el fin de obtener una solución única y(t), se deben
especificar dos cosas adicionales:
1 – El intervalo de tiempo durante el cual se desea la solución. (Generalmente entre 0 e
infinito positivo)
2 – Un conjunto de n condiciones iniciales para y(t) y sus primeras n-1 derivadas.
La solución de una ecuación diferencial de esta clase se puede dividir en dos partes: En
una Respuesta Libre y en una Respuesta Fija. La suma de estas dos respuesta
constituye la Respuesta Total o solución y(t) de la ecuación.
La Respuesta Libre: Es la solución de la ecuación diferencial cuando la entrada x(t) es
idéntica a cero y solamente depende de las n condiciones iniciales.
La Respuesta Fija o Forzada: Es la solución de la ecuación diferencial cuando todas las
condiciones iniciales son idénticas a cero y solamente depende de la entrada x(t).
Las Respuestas de Estado Estacionario y Respuesta Transitoria
Respuesta de Estado Estacionario o Permanente: Es la parte de la Respuesta Total que
no tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
Respuesta Transitoria: Es la parte de la Respuesta Total que tiende a cero cuando el
tiempo tiende a infinito.
Causalidad y Sistemas Físicamente Realizables
Un Sistema en el cual el tiempo es la variable independiente se llama Causal si la salida
depende solamente de los valores presente y pasado de la entrada. Un Sistema Causal
no puede prever lo que será su entrada futura, también se los llama Físicamente
Realizables.
Repaso de los principales conceptos de la Transformada de Laplace
Para encontrar la respuesta del Sistema analizado hay que resolver la Ecuación
Diferencial que lo representa. El método de la transformada de Laplace es un método
operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones
diferenciales lineales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible
convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las
senoidales amortiguadas y las exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s
compleja (tienen una parte Real y una parte Imaginaria). Las operaciones tales como la
diferenciación y la integración en el dominio del tiempo se sustituyen mediante
operaciones algebraicas en el plano complejo (dominio de la frecuencia). Por tanto, una
ecuación diferencial lineal se transforma en una ecuación algebraica en la variable
compleja s. Si se resuelve la ecuación algebraica en s para la variable dependiente, la
solución de la ecuación diferencial (la transformada inversa de Laplace de la variable
dependiente) se encuentra mediante una tabla de transformadas de Laplace o una técnica
de expansión en fracciones parciales, que se presenta posteriormente.
Ventajas:
1 - Permite el uso de técnicas gráficas para predecir el desempeño del sistema. En la
practica casi nunca se hace la Transformada Inversa, basta con entender lo que pasa en
el Plano Complejo.
2 - Cuando se resuelve la ecuación diferencial, es posible obtener simultáneamente tanto
el componente transitorio como el componente de estado estable de la solución.
Definición y propiedades: Se define la transformada de Laplace F(s) de una
determinada función temporal f(t) como:
Donde f(t) es una función real de variable real, generalmente el tiempo, y su
transformada de Laplace F(s) es una función compleja de variable compleja. Para que
exista la transformada de Laplace es suficiente que la integral exista para algún valor s
complejo. Se reservaran las letras minúsculas para las funciones temporales y las
mayúsculas para sus transformadas de Laplace.
Condición de Convergencia:
La transformada de Laplace no existe para cualquier función temporal f(t). Condiciones:
1 – f(t) debe ser Lineal.
2 - f(t) debe cumplir con la Condición de Convergencia (No debe crecer
indefinidamente cuando
). Matemáticamente hablando seria:
En la siguiente Tabla se resumen las principales propiedades de la transformada de
Laplace:
Tabla: Propiedades de la transformada de Laplace
Transformada de Laplace de funciones elementales
La función escalón unidad u(t) se define como:
Su transformada de Laplace se obtiene por definición:
Para el caso de la función pulso de área unidad p(t), también por definición:
La función impulso unidad
se define como:
En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como limite de la función
pulso de área unidad, cuando el parámetro tiende a cero, es decir,
Tabla: Transformadas de las entradas habituales en los sistemas
Las funciones que mas se emplean como entradas en los sistemas controlados son
precisamente aquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la función
impulso unidad, como se observa en la Tabla anterior. En la siguiente Tabla se muestran
las transformadas de otras funciones, definidas para tiempos positivos.
Tabla: Transformadas de Laplace de diversas funciones
Transformada de la Derivada:
Para el caso en que las Condiciones Iniciales valgan todas cero:
Transformada de la Integral:
Para el caso en que la Condición Inicial valga cero:
Transformada Inversa de Laplace: El proceso matemático de pasar de la expresión
matemática en el dominio de Laplace a la expresión en el dominio del tiempo se
denomina transformada inversa de Laplace. Su expresión es:
Donde c es cualquier constante real mayor que la parte real de cualquier polo de F(s).
Evaluar la integral puede ser bastante complicado por lo que se suele calcular acudiendo
a Tablas. Si en la tabla no se encuentra una determinada función F(s), se recomienda
descomponerla en funciones simples en s, de las cuales si se conozcan sus
transformadas inversas. Como las funciones de Laplace que se van a utilizar suelen ser
fracciones de polinomios en s, el calculo de transformadas inversas se reduce a dividir
estas expresiones en fracciones simples.
Función Compleja: Es un numero complejo (con parte real y parte imaginaria) que
resulta de “combinar” adecuadamente una variable compleja (con parte real y parte
imaginaria). Por ejemplo: Sea
Se puede expresar como:
Uso del plano complejo en teoría de control: En teoría de control, el plano complejo
se conoce como el 'plano s'. Se usa para visualizar la ubicación de las raíces y de los
ceros de la función de transferencia de un sistema LTI. La visualización gráfica de las
raíces (es decir de aquellos valores que anulan la ecuación característica) y de los ceros
(aquellos valores que anulan el numerador de la función de transferencia) permite inferir
el comportamiento del sistema (por ejemplo permite saber si el sistema es estable o
inestable). La función de transferencia se expresa normalmente como un cociente de
polinomios de la variable 's' de la transformada de Laplace.
El plano z es una versión de tiempo discreto del plano s, donde se utiliza
la transformada Z en lugar de la de Laplace.
Expansión en Fracciones Parciales. Transformada Inversa de Laplace
Un método conveniente de obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de
transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una
forma que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que
la función en cuestión no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace que posee
el ingeniero. Si una transformada específica F(s) no se encuentra en la tabla, puede
expandirse en fracciones parciales y escribirse en términos de funciones simples de s
para las cuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace. Observe que estos
métodos más sencillos para encontrar las transformadas inversas de Laplace se basan en
que en la correspondencia única de una función de tiempo y su transformada inversa de
Laplace prevalecen para cualquier función continua del tiempo.
Método de expansión en fracciones parciales para encontrar las transformadas
inversas de Laplace
Para problemas de análisis de sistemas de control, F(s), la transformada de Laplace de
f(t) ocurre con frecuencia en la forma: F(s) = B(s)/A(s) en donde A(s) y B(s) son
polinomios en s. En la expansión de F(s) = B(s)/A(s) en fracciones parciales, es
importante que la potencia más alta de s en A(s) sea mayor que la potencia más alta de s
en B(s). Si tal no es el caso, el numerador B(s) debe dividirse entre el denominador A(s)
para producir un polinomio en s además de un residuo (un cociente de polinomios en s,
cuyo numerador sea de un grado menor que el denominador).
Si F(s) se separa en componentes,
F(s) = F1(s) + F2(s) + …. + Fn(s)
y si se pueden obtener con facilidad transformadas inversas de Laplace de F1(s), F2(s), .
. . , y Fn(s), entonces la Transformada Inversa de Laplace de F(s) es igual a la suma de
las Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),……., y Fn(s).
La transformada inversa de Laplace de F(s) obtenida de tal modo es única, excepto, tal
vez, en los puntos en los que es discontinua la función de tiempo. Cuando la función del
tiempo es continua, la función del tiempo f(t) y su transformada de Laplace F(s) tienen
una correspondencia uno a uno.
La ventaja del enfoque de expansión en fracciones parciales es que los términos
individuales de F(s), provenientes de la expansión en una forma de fracciones parciales,
son funciones muy simples de s; en consecuencia, no es necesario consultar una tabla de
transformadas de Laplace si se memorizan varios pares simples de transformadas de
Laplace. Sin embargo, debe señalarse que, al aplicar la técnica de expansión en
fracciones parciales en la búsqueda de la transformada inversa de Laplace de
F(s) = B(s)/A(s), deben obtenerse con anticipación las raíces del polinomio del
denominador A(s). Es decir, este método no se aplica hasta que se ha factorizado el
polinomio del denominador.
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) sólo involucra polos distintos.
Considere F(s) escrita en la forma factorizada:
para m < n. En donde p1, p2, . . . , pn y z1, z2, . . . , zm, son cantidades reales o
complejas, pero para cada pi o zi complejo se tendrá el complejo conjugado de pi o zi,
respectivamente. Si F(s) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma
de fracciones parciales simples del modo siguiente:
en donde ak (k = 1, 2, . . . , n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo del
polo en s = -pk. El valor de ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la
ecuación anterior por (s + pk) y suponiendo que s = -pk, esto nos lleva a:
Se observa que todos los términos expandidos se cancelan con excepción de ak. Por
tanto, el residuo ak se encuentra a partir de:
Observe que, debido a que f (t) es una función real del tiempo, si pl y p2 son complejos
conjugados, en tal caso los residuos al y a2 también son complejos conjugados. Sólo
necesita evaluarse uno de los conjugados, al o a2, porque el otro se conoce
automáticamente. Debido a que, f(t) se obtiene como:
Para t > 0
Ejemplo: Encuentre la transformada inversa de Laplace de:
La expansión en fracciones parciales de F(s) es:
Donde a1 y a2 se encuentran de la siguiente forma:
Por tanto:
Ejemplo: Obtenga la transformada inversa de Laplace de:
Aquí, dado que el grado del polinomio del numerador es mayor que el polinomio del
denominador, se debe dividir el numerador entre el denominador.
Observe que la transformada de Laplace de la función impulso unitario S(t) es 1 y que la
transformada de Laplace de dS(t)/dt es s. El tercer término del segundo miembro de esta
última ecuación es F(s) en el ejemplo anterior. Por tanto, la transformada inversa de
Laplace de G(s) se obtiene como:
Ejemplo: Encuentre la transformada inversa de Laplace de:
Observe que el polinomio del denominador se factoriza como:
Si la función F(s) contiene un par de polos complejos conjugados, es conveniente no
expandir F(s) en las fracciones parciales acostumbradas, sino expandirlas en la suma de
una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada.
Si se observa que
Y teniendo en cuenta la tabla de transformadas de Laplace se ve que:
La F(s) dada se escribe como una suma de una función seno amortiguada y una función
coseno amortiguada.
Antitransformando seria:
Expansión en fracciones parciales cuando F(s) involucra polos múltiples. En lugar
de analizar el caso general, se usara un ejemplo para mostrar cómo obtener la expansión
en fracciones parciales de F(s). Considere la siguiente F(s):
La expansión en fracciones parciales de esta F(s) involucra tres términos:
En donde b1, b2 y b3 se determinan del modo siguiente. Si se multiplica ambos
miembros de esta última ecuación por
, se tiene que:
(1)
Por tanto, suponiendo que s = -1, se cancelan los términos de la derecha que tienen
(s+1) y
; quedando:
para s = -1
Asimismo, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación (1) con respecto a s
produce:
(2)
Si se supone que s = - 1 en la ecuación (2), se cancelan los términos de la derecha que
tienen (s+1); quedando entonces:
para s = -1
Diferenciando ambos miembros de la ecuación (2) con respecto a s, el resultado es:
(3)
A partir del análisis precedente, se observa que los valores de b3, b2 y bl se encuentran
sistemáticamente del modo siguiente:
para s = -1
para s = -1
Por tanto, se obtiene:
Comentario: Para funciones complicadas con denominadores que involucran
polinomios de orden superior, una expansión en fracciones parciales puede ser
complicada y tomar mucho tiempo. En tal caso, se recomienda el uso de MATLAB.
La Respuesta Temporal: En la mayoría de los sistemas de control la variable
independiente es el tiempo, por lo tanto es de interés conocer como responde el sistema
en el tiempo. La respuesta temporal consta de dos partes: una respuesta transitoria y otra
en el régimen permanente. Cada una de ellas está asociada a características del sistema
tales como la estabilidad, la rapidez o la precisión del sistema.
La respuesta ante una excitación cualquiera debe ser estudiada para analizar la
gobernabilidad del equipo. Pero en la práctica no es conocido a priori el tipo de entrada
que va a recibir el sistema de control (es de naturaleza aleatoria), sin embargo, al
analizar y diseñar estos sistemas se necesita de una base para comparar el
comportamiento de ellos. Con tal propósito se presentan las señales de pruebas de
entradas más utilizadas, haciendo especial hincapié en las entradas: impulso, escalón,
rampa y parábola y se estudia el comportamiento de la salida.
Por último, si se considera que el sistema es lineal e invariante, se comprobará que los
polos de la función de transferencia definen la naturaleza de la respuesta del régimen
transitorio.
Se comienza estudiando tres aspectos: la distinción entre la respuesta transitoria y la
permanente, las señales de prueba y la influencia de la ubicación de los polos del
polinomio característico con la respuesta del régimen transitorio.
En Control Automático, la mayoría de los sistemas deben comportarse de forma que
sigan lo más fielmente posible a la entrada.
Función de Peso:
Suponga un sistema tal que:
La respuesta al impulso es:
Siendo la respuesta temporal:
Respuesta Temporal:
La respuesta en el tiempo se divide normalmente en dos partes: la respuesta transitoria y
la respuesta en estado estable:
La respuesta del régimen transitorio cesa cuando el tiempo se hace grande respecto a los
parámetros temporales del sistema:
Si el Sistema es ESTABLE
La respuesta del régimen permanente permanece después de que la transitoria ha
desaparecido:
yrp(t) es una Constante si el Sistema es ESTABLE
Si el modelo dinámico del sistema es una ecuación diferencial, la solución de la
homogénea corresponde con la respuesta transitoria y la solución particular con el
régimen permanente.
Todos los sistemas de control reales presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar
la respuesta del estado estable. La masa, la inercia, las bobinas, los condensadores, etc.,
no pueden seguir los cambios súbitos en la entrada de forma instantánea. En general,
aquellos elementos que almacenan algún tipo de energía no pueden transferirla
instantáneamente, requieren de un tiempo. Esta idea intuitiva de la Física, hace entender
que al estimular a los sistemas de control, éstos necesitarán un tiempo en alcanzar los
valores deseados.
La respuesta del régimen transitorio define la rapidez de la respuesta, su estabilidad y
las oscilaciones alrededor del estado permanente. Por contra, la respuesta del régimen
permanente determina el estado estable del sistema, su valor nominal de funcionamiento
y el error cometido. Al recordar que los sistemas de control deben de seguir a la señal de
mando, la diferencia entre la señal de referencia y la de salida cuantificará la precisión
del equipo.
Respuesta al Impulso en Funciones Continuas según la ubicación de sus Polos en el
Plano s
Señales de prueba:
Las entradas a las que van a ser sometidos los sistemas de control no se conocen con
anticipación. A priori no hay forma de saber cómo se va a dirigir el timón de un barco,
qué señales eléctricas llegarán a la entrada de un amplificador o cuál será la variación
del acelerador de un vehículo. En cambio, hay casos donde si se sabe, por ejemplo, la
señales de referencia de una fuente conmutada o la temperatura de un termo, éstas más o
menos están bien definidas en el tiempo y se suelen corresponder con señales de tipo
escalón.
La falta de conocimiento a priori, en la mayoría de los casos, sobre la evolución
temporal de la señal de entrada, provoca dificultades tanto para el análisis como para el
diseño de los sistemas de control.
Para señales de entrada que no presenten excesivas variaciones en el tiempo, éstas
pueden ser representadas mediante el truncamiento de la serie de Taylor para los
términos superiores a segundo grado:
Siendo x0, x1 y x2 los coeficientes constantes asociados a los tres tipos de señales
básicas. Se plantea que la señal de entrada puede ser modelada como una combinación
lineal de señales de prueba deterministas: escalón, rampa y parábola. De forma que para
evaluar el comportamiento del sistema de control se emplean estas tres señales de
prueba o de test. Cuando el sistema es LTI y por aplicación del teorema de
superposición, la respuesta ante una entrada compleja puede ser descompuesta en
aquellas debidas a las señales de pruebas simples.
Sistemas de primer orden: Ganancia y Constante de Tiempo. Relación entre la
ubicación del polo y la respuesta temporal.
Suponga el siguiente Sistema de Control:
La Función de Transferencia es:
Es un Sistema de Primer Orden, con un Polo en s=-K/T. Observar que la ubicación del
Polo depende de K (Ganancia del Compensador) y de T que es una característica de la
Planta.
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Ganancia_en_Sistemas_de_1_Orden.m
Observar:
Frecuencia (Diagramas de Bode)
Aumenta el Ancho de Banda cuando
aumenta la Ganancia K.
La curva de Fase se va “corriendo” hacia
la derecha cuando aumenta K.
Tiempo: Respuesta al Escalón
El Valor Final siempre es 1; o sea que el
error en Estado Estacionario es siempre 0.
La Velocidad va aumentando cuando
aumenta la Ganancia K.
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Sistema_de_1_Orden_en_3D.m
Las posibles ubicaciones del Polo pueden ser:
Semiplano Derecho
En el Origen
Semiplano Izquierdo
INESTABLE
MARGINALMENTE ESTABLE
Cerca del Origen
LENTO
Lejos del Origen
RAPIDO
Sistemas de segundo orden:
En forma general, un sistema de Segundo Orden obedece a una Función de
Transferencia de la forma:
Con una ecuación característica:
La respuesta ante entrada Escalón puede ser Subamortiguada, de Amortiguamiento
Critico y Sobreamortiguada.
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Segundo_Orden.m
Definir y analizar:
(Coeficiente de Amortiguamiento) y
(Frecuencia Natural).
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Ganancia_en_Sistemas_de_2_Orden.m
Definir y analizar: Ganancia y/o Atenuación y Frecuencia Natural Amortiguada.
Observar:
Frecuencia (Diagramas de Bode)
Se mantiene porcentualmente el Sobrepico
La grafica del Modulo se mantiene
siempre a la misma frecuencia (2 rad/seg)
La grafica de la Fase se mantiene siempre
a la misma frecuencia (2 rad/seg)
Tiempo: Respuesta al Escalón
Se mantiene porcentualmente el Sobrepico
El Valor Final va aumentando cuando
aumenta la Ganancia K
Se
mantiene
la
frecuencia
de
establecimiento en torno al Valor Final
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Wn_en_Sistemas_de_2_Orden.m
Observar:
Frecuencia (Diagramas de Bode)
Se mantiene el Sobrepico
Se va corriendo la grafica del Modulo
Se va corriendo la grafica de la Fase
Tiempo: Respuesta al Escalón
Se mantiene el Sobrepico
Se mantiene el Valor Final
Va aumentando la frecuencia de
establecimiento en torno al Valor Final
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Psi_en_Sistemas_de_2_Orden.m
Observar:
Frecuencia (Diagramas de Bode)
Tiempo: Respuesta al Escalón
El Sobrepico va disminuyendo a medida El Sobrepico va disminuyendo a medida
que aumenta Psi (Entre 0 y 1)
que aumenta Psi (Entre 0 y 1); algunas
curvas no tienen Sobrepico
La grafica del Modulo se mantiene Se mantiene el Valor Final
siempre a la misma frecuencia (2 rad/seg)
La grafica de la Fase se mantiene siempre No todas las curvas tienen una frecuencia
a la misma frecuencia (2 rad/seg)
de establecimiento en torno al Valor Final
Demostración con MatLab: Cargar el archivo Sistema_de_2_Orden_en_3D.m
Polinomio característico. Influencia de la respuesta transitoria: Para los equipos de
control, cuya FDT sea del tipo LTI, ésta se definirá como un cociente entre los
polinomios de numerador y del denominador, donde los coeficientes son constantes:
Al denominador de la FDT global del sistema se le denomina polinomio característico.
Las raíces del polinomio característico van a definir el comportamiento de la respuesta
transitoria.
Para que la señal de salida esté acotada o lo que es lo mismo, para que el sistema sea
estable, se exige que todos sus polos de G(s) deban de estar en el dominio complejo
negativo. Las partes reales de las raíces del polinomio característico deben ser
negativas, de forma que las exponenciales sean monótonamente decrecientes en el
tiempo.
En caso contrario, serían crecientes con el tiempo y la salida no estaría acotada. Cuando
al menos un polo está en el semiplano positivo, el sistema será inestable o de salida no
acotada.
El sistema oscilaría constantemente si los polos son complejos conjugados y en el eje
imaginario. La señal de salida ante una entrada en escalón sería un armónico, cuyo valor
medio sería el nivel del escalón. A esta situación se le llama críticamente estable.
La respuesta del sistema se atenuará más rápidamente, cuanto más alejados se
encuentren los polos, con la parte real negativa, del eje imaginario. Y por último, la
frecuencia de oscilación alrededor de valor final, aumentará cuando los polos complejos
y conjugados se encuentren a mayor distancia del eje real.
Sistemas de orden superior. Polos Dominantes.
Básicamente, las propiedades dinámicas de las plantas pueden ser aproximadas por las
características temporales de sistemas más simples. Se entiende por modelos simples,
aquellos que definen su dinámica por ecuaciones diferenciales lineales de primer o de
segundo orden.
Los modelos de los equipos pueden ser abordados por funciones de transferencias
sencillas. Este paso se da en una doble vertiente. Desde el punto de vista del análisis, al
reducir el modelo se podrá predecir sus características temporales, empleando
expresiones matemáticas de los modelos sencillos. Por otro lado, desde la visión del
diseño, se suele emplear las medidas de las características temporales de los modelos
simples para fijar los requisitos del comportamiento dinámico de los sistemas a
compensar.
El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen
tres o más polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos más lentos del
sistema. Como se ha visto, el polo mas lento es el que posee la constante de tiempo más
grande, es decir, aquel polo se encuentra más cerca del origen en el plano complejo S.
La inclusión de polos adicionales a un determinado sistema no influye en la respuesta
temporal del mismo mientras los nuevos polos se encuentren suficientemente alejados
del eje imaginario del plano complejo S respecto a los que ya tenia el sistema. Por
norma general se puede admitir que los polos que se encuentren más alejados que cinco
veces la distancia de los polos más lentos al eje imaginario, tienen una influencia en la
respuesta temporal del sistema prácticamente despreciable. Por esta razón, los polos
lentos se llaman también polos dominantes del sistema.
Demostración con MatLab:
Considerar el sistema de 3 polos, 1 real y 2 complejos conjugados:
1 - Comparar sys1 con un solo polo (K=10, p=2), con sys2 con tres polos (El polo real
se ubica en -2, los polos complejos conjugados en -10+j5 y -10-j5; esto da: K=10, p=2,
Wn=11.18, Psi=0.89); visualizar sus respuestas en tiempo y en frecuencia.
Cargar el archivo Polos_Adicionales_1.m
2 - Comparar sys1 con un solo polo (K=10, p=10), con sys2 con tres polos (El polo real
se ubica en -10, los polos complejos conjugados en -2+j5 y -2-j5; esto da: K=10, p=10,
Wn=5.38, Psi=0.37); visualizar sus respuestas en tiempo y en frecuencia.
Cargar el archivo Polos_Adicionales_2.m
Influencia de los Ceros: Los ceros del sistema son las raíces del numerador de la
función de transferencia. La presencia de ceros en la función de transferencia, modifica
la respuesta que se podría esperar del sistema atendiendo a la posición de los polos.
Demostración con MatLab:
1 - Comparar sys1 con dos polos complejos conjugados en -2+j5 y -2-j5; (esto da:
Wn=5.38, Psi=0.37), con sys2 que tiene un cero en s = -2 y los mismos polos que sys1;
visualizar sus respuestas en tiempo y en frecuencia.
Cargar el archivo Cero_Adicional.m
La presencia de un cero real negativo hace el efecto contrario un polo, es decir, adelanta
la respuesta temporal en lugar de retrasarla. Además, modifica las condiciones iniciales
de la respuesta temporal. Si el sistema tenía dos polos, la pendiente inicial del sistema
pasa de ser nula a no nula. Si el sistema tenia tres polos, la derivada segunda en el
instante inicial para se ser nula a no nula. Y así sucesivamente. Por lo tanto, conforme el
cero esta más cerca del origen mayor es el valor de la pendiente inicial.
Otro efecto muy interesante que se puede dar en un sistema es la cancelación de un polo
con un cero. En la práctica, para cancelar un polo con un cero no es necesario que
ambos se encuentren exactamente en la misma posición. Basta con que estén muy
próximos para que el efecto de uno se anule con el del otro.
Sistemas de Fase No Minima.
Los sistemas de fase no minima son aquellos que poseen un cero real positivo. La
respuesta temporal de este tipo de sistemas tiene la característica de que comienza
evolucionando en la dirección contraria al valor en régimen permanente. Demostración
con MatLab: Cargar el archivo Fase_No_Minima.m
Representación de los sistemas. Función de Transferencia. Definición.
Propiedades.
Los sistemas de control se pueden representar gráficamente de diversas formas, en esta
asignatura solo se empleara un tipo denominado diagrama de bloques. Estos diagramas
usan las ecuaciones diferenciales del sistema en el dominio de Laplace.
Generalidades: En la siguiente figura se muestra la forma grafica mas elemental de
representar un sistema. En dicha figura aparecen tres elementos: 1) la variable física de
la entrada, que se suele representar con una flecha dirigida del exterior al sistema, 2) la
variable física de la salida, que es la flecha dirigida del sistema al exterior y 3) el propio
sistema, representado aquí como una “caja negra” del que se desconoce a priori su
“funcionamiento” interno.
Diagrama de un sistema cualquiera
Esta forma tan elemental de representar un sistema permite al ingeniero establecer una
primera descripción del mismo, sus posibles partes, así como las diferentes líneas de
causalidad que se dan.
Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra esquemáticamente el sistema “Central
hidroeléctrica”, que tiene como entrada el caudal de agua y como salida la tensión
eléctrica. Este sistema se puede dividir en dos subsistemas: 1) la turbina que trasforma
el caudal de agua entrante en una velocidad de giro en su eje, y 2) la dinamo o
alternador que convierte el giro mecánico en tensión eléctrica.
Diagramas equivalentes de una central hidroeléctrica
Evidentemente se podría haber dividido el sistema completo en muchas otras partes,
conservando todas las representaciones igual validez. También se podrían haber
encontrado otras variables intermedias entre la entrada y la salida, que unieran los
distintos subsistemas, y que harían referencia a otras realidades físicas o incluso sin
sentido físico, pero coherentes desde el punto de vista matemático.
El ingeniero evitara por todos los medios cambiar el orden natural de la causalidad. En
el ejemplo anterior, no debe definir la tensión como entrada y el caudal de agua como
salida. Y esto aunque se pueda encontrar la relación matemática inversa que deduce la
segunda variable a partir de la primera. Por otro lado, existen infinitas formas de
representar gráficamente un sistema cualquiera. Sin embargo, hay formas mas
adecuadas que otras (por ejemplo, porque muestren las variables físicas mas importantes
que intervienen en el sistema).
Encontrar el esquema o modelo mas adecuado para un sistema físico es uno de los
principales retos a los que se enfrenta el ingeniero. En esta asignatura no es posible
detenerse aquí de forma exhaustiva.
Cada ejemplo mecánico, eléctrico, hidráulico, térmico, etc. que se estudiara en
profundidad podría requerir mucho tiempo de análisis y simplificación. Se manejaran
solo sistemas cuyas ecuaciones diferenciales se puedan obtener fácilmente aplicando las
leyes que se enumeraron anteriormente.
También es posible que las leyes matemáticas aparezcan directamente en el enunciado.
En este caso se supondrán correctas y se tomaran como punto de partida para la
resolución del ejercicio. Sin embargo, el ingeniero no suele aceptar de forma acrítica
cualquier ley matemática que se le sugiera. Por lo general debe obtenerlas a partir de
ensayos experimentales que pueden llevar más tiempo que el posterior calculo de un
controlador adecuado para el gobierno del sistema. Uno de los principales
inconvenientes de trabajar con leyes matemáticas que no han sido deducidas por el
propio ingeniero es que se puede perder fácilmente el sentido físico de los problemas de
control. Conviene aquí recordar que detrás de una ley matemática se esconde un sistema
físico real, del que se trabaja solo con un modelo.
Función de transferencia de un sistema: En los esquemas propuestos en el apartado
anterior el funcionamiento interno del sistema o subsistemas es desconocido. Una forma
de ofrecer esa información es escribir la ecuación diferencial que relaciona la entrada
con la salida. Sin embargo, raramente se utiliza esta forma. Lo habitual es trabajar en el
dominio de Laplace, definiendo la función de transferencia del sistema.
Diagramas generales de un sistema
La función de transferencia, en general G(s), de un determinado proceso o sistema es la
relación en el dominio de Laplace entre la función de salida c(t) y su correspondiente
entrada r(t), con condiciones iniciales nulas para ambas funciones. La función de
transferencia es un invariante del sistema, es decir, para cualquier entrada que se
produzca en el sistema, la salida que se obtiene siempre esta relacionada con la entrada
a través de la función de transferencia.
Como la función de transferencia es un invariante del sistema, se puede obtener
experimentalmente introduciendo una función temporal conocida y midiendo la salida.
Aplicando la transformada de Laplace a las dos señales y calculando su cociente, se
consigue la función de transferencia. Si es posible introducir en el sistema una función
impulso en la entrada, la función de transferencia es directamente la transformada de
Laplace de la función temporal de salida del sistema.
De forma teórica es posible obtener la función de transferencia de un determinado
sistema a través de las ecuaciones diferenciales de su modelo matemático.
Conviene resaltar que:
- La función de transferencia es una propiedad intrínseca del sistema. Conocida la
función de transferencia de un sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo
ante cualquier tipo de entrada.
- La función de transferencia responde a la ecuación diferencial resultante que gobierna
un sistema pero no ofrece información acerca de su configuración interna. Dos sistemas
físicos diferentes pueden poseer idénticas funciones de transferencia.
Diagramas de bloques: Los diagramas de bloques aparecen cuando el sistema se
divide en varios subsistemas. En este caso, en lugar de hallar de función de transferencia
del sistema completo se deben encontrar las funciones de transferencia de cada uno de
los subsistemas. En este diagrama, cada subsistema es un "bloque" del sistema
completo.
El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones
diferenciales que lo gobiernan. El procedimiento es siempre igual, primero se toman las
transformadas de Laplace de estas ecuaciones, con la suposición de condiciones
iniciales nulas. Posteriormente cada ecuación en el dominio de Laplace se representa en
forma de bloque. Finalmente se unen los elementos para formar un único diagrama para
todo el sistema.
Algebra de Diagramas de Bloques: Cualquier sistema de regulación y control puede
representarse por medio de un diagrama de bloques. En él se reproducirá la forma en la
que están relacionadas las salidas en función de las entradas de todos los elementos que
constituyen el sistema.
Para facilitar la comprensión de los procesos de control, es muy conveniente realizar la
simplificación y reducción de estos diagramas.
Se estudiaran una serie de pautas de actuación para operar con estos diagramas de
bloques y conseguir simplificarlos y reducirlos a otros equivalentes más operativos y
más sencillos de manejar.
Comparadores o detectores de error: Son sumadores, se representan como se indica en
la figura, realizan la función de efectuar sumas algebraicas, respetando el signo de las
variables que entran en ellos.
Combinación entre líneas de actuación: La interacción entre los distintos tipos de
bloques se representa mediante líneas de actuación en las que las flechas indican el
sentido del flujo de información.
Partiendo de estos conceptos básicos es posible realizar las siguientes combinaciones
básicas de bloques:
Conexión serie: En este tipo de conexión la salida de un bloque constituye la entrada del
siguiente:
Conexión paralelo: Según se representa en la figura, en este caso se debe disponer de un
sumador en la salida:
Conexión en anillo con realimentación directa: Corresponde a un diagrama como el
representado en la figura:
En el comparador se tiene:
Por otro lado en el bloque;
Sustituyendo R(s) queda:
.
.
.
Y así se obtiene la expresión:
Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento: Cuando en el
bucle de realimentación existe un bloque, como el representado en la figura.
Donde las funciones de cada elemento son:
Primero se sustituye en R(s):
Luego se cambia X(s) por su valor y queda:
Agrupando y despejando se obtiene la función de transferencia:
Transposición de ramificaciones y nudos: Se recurre a estas técnicas de transposición
para facilitan la reducción y simplificación de diagramas de bloques. A continuación se
muestran los casos más importantes:
Ejemplos de simplificación de diagramas de bloques: Se realizara la simplificación de
dos tipos de modelos de diagramas de bloques. En primer lugar se estudia un caso en el
que hay lazos pero no se producen cruces entre ellos, en el segundo caso se vera un tipo
más complejo en el cual uno de los lazos se cruza con otro.
Lazos sin cruces: El diagrama de bloques en este caso será del tipo:
Se resuelven en primer lugar los lazos más internos, teniendo en cuenta las pautas
estudiadas anteriormente:
Con lo que se obtiene como función de transferencia total:
Lazos que se cruzan: El diagrama de bloques en este caso será:
En primer lugar se deshacen los cruces aplicando la transposición de bifurcaciones y
nudos, y a continuación se continúa simplificando como en el caso anterior:
Con lo que se obtiene como función de transferencia total:
Función de Transferencia de Compensadores y Controladores
Se presenta el Diagrama de Bloques de un Sistema de Control con Realimentación tipo
SISO de señales analógicas:
La figura muestra un sistema de Control típico Simple Entrada – Simple Salida (SISO).
Se debe destacar que las flechas indican la dirección del flujo de las señales de control
(no necesariamente el flujo de la energía principal del sistema).
Nomenclatura: Las letras minúsculas representan variables de entrada y de salida de los
elementos, como también de los símbolos de los bloques en el dominio del tiempo (t).
Las letras mayúsculas se reservaran para representar funciones transformadas de
Laplace o de Fourier (dominio de la frecuencia). Lo común es que dichas funciones de
Laplace se omita la variable s, en cambio la variable (jw) de Fourier nunca se abrevia.
Planta: El conjunto de piezas o sistema, objeto a ser controlado por el sistema de
control.
Camino Directo: Es la relación c/r; Salida-Entrada cuando se abre el Lazo de
Realimentación.
Elemento Anticipativo: Son los componentes que se adicionan a la Señal Actuante para
adecuarla a excitar a la Planta. Por ejemplo Amplificadores, Controladores,
Compensadores, Filtros, etc.
Ganancia de Lazo: Es la transferencia o ganancia que sufre una señal cuando se abre el
lazo y lo recorre completamente. En la figura es g1.g2.h
Elementos de Realimentación (h): Es la relación b/c, normalmente son sensores,
compensadores, etc.
Error o Señal Actuante: Es la diferencia entre la Referencia r y la Señal Primaria de
Realimentación (b).
Realimentación Negativa: Significa que el punto de suma es sustractor: e= r – b
Realimentación Positiva: Significa que el punto de suma es sumador: e= r + b
Transductor: Es un dispositivo que convierte una forma de energía en otra. Por ejemplo
un potenciómetro transforma un movimiento angular en una tensión eléctrica. Cuando
el elemento de realimentación y la entrada necesitan un transductor, esa parte del
sistema de control se llama Detector de Error.
Noise, Ruido o Perturbación (n): Es una señal de entrada no deseada, puede ingresar por
la planta, en el punto de suma o cualquier otro punto y que afecta la salida c.
Controlador o Compensador: Es el elemento anticipativo (g1) entre el error e y la
entrada u a la planta y que da el algoritmo de control:
1 – Controlador On-Off: Tiene dos valores posibles en la salida u, dependiendo del
valor de la entrada e (error).
u = 1 si e>a
u = 0 si e=<a
2 – Controlador Proporcional (P): La salida u es proporcional a la entrada e.
u = kp e
donde kp=Constante de Proporcionalidad
3 – Controlador Derivativo (D): La salida u es proporcional a la derivada (relación de
cambio o variación) de la entrada e.
u = kd d e
dt
donde kd=Constante de Proporcionalidad
4 – Controlador Integrativo (I): La salida u es proporcional a la integral (área encerrada
bajo la curva) de la entrada e.
5 – Control Proporcional-Derivativo (PD):
u = kp e + kd d e
dt
6 – Control Proporcional-Integrativo (PI):
7 – Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID):
Sistema de realimentación negativa no unitaria
;
Los sistemas de realimentación negativa son los más extendidos para el control de
sistemas, por eso su estructura se estudia de forma pormenorizada. Hay que en cuenta
que las funciones de transferencia G(s) y H(s) pueden ser el resultado del producto de
varias funciones de transferencia.
Se muestra la solución del sistema de ecuaciones de Laplace de la realimentación
negativa no unitaria, es decir, la salida en función de la entrada.
A la señal E(s) se le llama error y a B(s) señal de realimentación. Las funciones de
transferencia que intervienen en el sistema son:
- Función de Transferencia Directa o Ganancia de Camino Directo: es la que relaciona
la señal de error y la salida:
- Función de Transferencia en Lazo Abierto o Ganancia de Lazo: es la que relaciona la
señal de error y la realimentación. Es el producto de todas las funciones de transferencia
que se encuentran dentro del lazo de control:
- Función de Transferencia en Lazo Cerrado: es la que relaciona la señal de entrada y la
salida. Es igual a la Función de Transferencia Directa dividido en uno más la Función
de Transferencia en Lazo Abierto.
Con la Función de Transferencia en Lazo Cerrado se puede representar el sistema de la
figura anterior con un único bloque:
Sistema equivalente en lazo cerrado
Para el diseño de controladores son especialmente importantes las expresiones de las
funciones de transferencia en lazo abierto y cerrado. El sistema controlado responde a la
función de transferencia en lazo cerrado, sin embargo, muchas de las características del
sistema controlado se deducen a partir de la función de transferencia en lazo abierto,
como se demuestra seguidamente.
El denominador de la Función de Transferencia de Lazo Cerrado es una característica
esencial del sistema y es especialmente necesario estudiar cuando se hace igual a cero
(el cociente se hace infinito); lo cual indica inestabilidad.
Estudiando dicha condición:
1+GH=0
G H = -1
Y como se trata de una expresión compleja quiere decir el modulo de G H es igual a 1 y
la fase es igual a 180º.
Efectos de Ruido y Disturbio en Sistemas de Control: Suponga el siguiente Sistema de
Control:
Debido a que se trata de un sistema lineal se puede aplicar Superposición.
1º - Se supone D(s)=0; N(s)=0 y se calcula el aporte de R(s):
2º - Se supone R(s)=0; N(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de D(s):
3º - Se supone R(s)=0; D(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de N(s):
Por lo tanto la salida Y(s) es la suma de los efectos por separados:
Para determinar el Error E(s) se lo puede hacer de 2 maneras:
A – Calcular E(s) = R(s) – ( Y(s) + N(s)). (Es más complicado)
B – Suponer que E(s) es la salida y aplicar Superposición:
1º - Se supone D(s)=0; N(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de R(s):
2º - Se supone R(s)=0; N(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de D(s):
3º - Se supone R(s)=0; D(s)=0, se redibuja y se calcula el aporte de N(s):
Al final será:
Al observar esta expresión se deduce que:
1 – Con el aporte de R(s) no se puede hacer nada.
2 – Para disminuir el aporte de D(s) se puede hacer Gc(s) lo mas grande posible.
3 - Para disminuir el aporte de N(s) se puede hacer Gc(s) lo mas grande posible.
Conclusión:
Para disminuir el Error se debe poner alta la Ganancia del Controlador.
Sensibilidad: Determinar la Sensibilidad del Sistema Realimentado es encontrar cuanto
varia la variable controlada cuando varia algún parámetro de la Planta. Supóngase el
siguiente Sistema de Control:
En donde:
es la F. de T. del Controlador.
es la F. de T. de la Planta.
representa pequeñas variaciones de la F.
de T. de la Planta que puede deberse a variaciones por el paso del tiempo, desgastes
mecánicos, variaciones por temperatura, tolerancia de los componentes, etc.
se adopta para simplificar los cálculos.
Evidentemente, las variaciones en la Planta se verán reflejadas en la salida Y(s); una
forma de cuantificar esas modificaciones es estudiar el Error E(s). En condiciones
normales E(s) vale:
Considerando las variaciones de la Planta, se modifica:
Operando algebraicamente se puede obtener la expresión de la Variación del Error:
Lo ideal seria que
valga 0. Las siguientes suposiciones simplificativas ayudan a
visualizar mejor el problema:
Entonces:
Si se supone que
tiene un valor muy alto (>100); entonces:
Entonces:
El denominador es bastante grande, o sea que tiende a 0. Observar también que la
entrada R(s) puede ser cualquiera. Recordar que todas estas consideraciones son para
pequeñas variaciones de la Planta.
¿Qué pasa si la Planta tiene variaciones en un Sistema de Lazo Abierto?
Evidentemente toda variación de la Planta se ve reflejada directamente en la salida Y(s).
Se define como Sensibilidad al cociente entre el Porcentaje de Cambio de la F. de T. del
Sistema y el Porcentaje de Cambio de la F. de T. de la Planta.
La F. de T. del Sistema es:
Entonces la Sensibilidad S es:
Si los cambios son muy pequeños, se pueden considerar diferenciales; entonces:
Para el caso estudiado seria:
se lee Sensibilidad de T(s) respecto de G(s).
Conclusión: La Sensibilidad depende de
y de
. Sobre la Planta no se puede
es grande, la Sensibilidad tendera a 0.
hacer nada, pero si la Ganancia de
En Lazo Abierto:
Que la Sensibilidad valga 1 significa que todo cambio en la Planta se refleja en la
Salida.
¿Cuánto vale la Sensibilidad en un Sistema de Control de Lazo Cerrado que tenga H(s)
distinto de 1?
Exactitud:
Se estudia el Error en Estado Estacionario, es decir cuando la salida del Sistema alcanzo
el Régimen Permanente. En Lazo Abierto seria:
En Lazo Cerrado seria:
Teorema del Valor Final: Sirve para estudiar el Error en Estado Estacionario.
Si se supone una Entrada r(t) = 1 para t > 0. (Entrada Escalón)
Entonces, en Lazo Abierto será:
Se puede conseguir
si
; para lo cual se debe calibrar exactamente.
En Lazo Cerrado será:
Si
tiene un valor muy alto, se puede conseguir que
sea muy próximo a 0.
Con lo visto, podría parecer que Lazo Abierto es mejor que Lazo Cerrado pero esto no
es así ya que la Sensibilidad de uno y otro es totalmente distinta (considerar pequeños
cambios en la Planta que pueden deberse a oxidación de elementos móviles, variaciones
de valores de componentes por efectos térmicos, etc.).
Estabilidad:
Se comienza analizando un ejemplo mecánico. Suponga que se dispone de una bolita a
la cual se le aplica una pequeña fuerza instantánea y que no existe rozamiento:
En la situación A: La bolita se moverá sin detenerse nunca. Esto esta Marginalmente
Estable.
En la situación B: La bolita se moverá en forma oscilatoria, sin detenerse nunca; pero al
existir rozamiento oscila en forma amortiguada hasta quedarse quieta en la posición
inicial. Esto esta Estable.
En la situación C: La bolita se moverá y nunca más vuelve a la posición inicial. Esto
esta Inestable.
“Un Sistema Estable es un Sistema Dinámico con una Salida Limitada cuando se
expone a una Entrada Limitada”
Otro ejemplo mecánico: Un cono.
Situación A: Estable
Situación B: Inestable
Situación C: Marginalmente Estable
Estabilidad en Sistemas de Control – Análisis en el dominio del tiempo:
Suponga un Sistema al cual se le aplica una entrada r(t) acotada (puede ser un Impulso o
un Escalón) y se observa el comportamiento de la salida y(t).
La Estabilidad o Inestabilidad de un Sistema no se refiere a si esta quieto o en
movimiento; se refiere a un Estado.
Estabilidad en Sistemas de Control – Análisis en el dominio de la frecuencia compleja:
La Función de Transferencia del Sistema G(s) se la puede expresar mediante el cociente
de dos polinomios:
Se llama Ecuación Característica del Sistema al polinomio denominador igualado a 0.
Se analiza la ubicación de las raíces del polinomio Q(s) en el Plano S (Polos del
Sistema); si todos los Polos se ubican en el Semiplano Izquierdo el Sistema es Estable;
si se ubican sobre el eje imaginario el Sistema es Marginalmente Estable y si por lo
menos un Polo se ubica en el Semiplano Derecho el Sistema es Inestable.
Estabilidad Absoluta: Un sistema es estable, si con condiciones iniciales nulas, ante una
entrada acotada, la respuesta también está acotada. Hay dos tipos de estabilidad, la
absoluta y la relativa. La primera hace mención a si el sistema es estable o no, mientras
la estabilidad relativa cuantifica el nivel de estabilidad del sistema. En esta sección se
tratara de determinar la estabilidad absoluta de sistemas LTI de tipo SISO.
Estabilidad absoluta de Sistemas LTI en el dominio complejo: Un primer método para
conocer la estabilidad absoluta del sistema es calcular las raíces del polinomio
característico y observar que todas están en semiplano negativo.
Criterio de Routh-Hurwitz: Este criterio es un método algebraico que determina si las
raíces de un polinomio de coeficientes constantes están en el semiplano izquierdo del
dominio en s, sin necesidad de calcular las raíces. Hoy en día, con los simuladores, la
utilidad de este criterio es menor. Actualmente, se suele emplear cuando hay un
parámetro intrínseco y variable dentro del sistema y se desea predecir cuál es el rango
que puede tener sin comprometer la estabilidad.
La estabilidad de un sistema LTI-SISO depende de sus polos en Lazo Cerrado. Las
condiciones de Cardano-Viete dice que para que un polinomio tenga sus raíces con
parte real negativa, es necesario pero no suficiente que todos los coeficientes tengan el
mismo signo y que ninguno sea nulo.
Para dar condición de suficiencia se requiere el criterio de Routh-Hurwitz basados en
los determinantes de este último. Con el objeto de simplificar el cálculo de los
determinantes de Hurwitz, Routh propuso una tabulación tal que si los elementos de la
primera columna no cambian de signo, las raíces están en el semiplano negativo. Sea la
Función Transferencia siguiente:
su ecuación característica posee n + 1 coeficientes ai reales:
Primero se comprueba que todos los coeficientes ai sean positivos. Si hubiese algún
coeficiente nulo o negativo, el sistema no seria estable. Si se cumple la condición
anterior, que se conoce como condición de Cardano-Viete, el sistema puede ser estable
o no. Para comprobar si es estable, se disponen los coeficientes ai de forma que sigan el
patrón impuesto por la siguiente tabla:
Donde los coeficientes ai se distribuyen en las dos primeras columnas. Los coeficientes
de las sucesivas filas se calculan empleando los coeficientes de las dos columnas
inmediatamente superiores. Así los coeficientes bi se calculan como sigue:
A partir de un momento, los coeficientes de las filas valen sucesivamente cero. Estos
ceros a veces son necesarios para calcular coeficientes posteriores. Se puede observar
que el cálculo de los coeficientes sigue un patrón que se puede memorizar. El
denominador siempre es el primer coeficiente de la fila inmediatamente superior. El
numerador depende de los coeficientes de las dos filas inmediatamente superiores y es
la diferencia de dos productos cuyos términos poseen una posición cruzada. Para
sucesivos coeficientes, los dos primeros términos siempre se emplean en el producto
cruzado, mientras que los otros dos van avanzando.
El proceso acaba cuando se calcula la fila de coeficientes en s0, que solo posee un
coeficiente no nulo, d en la expresión. El criterio afirma que el sistema es estable si y
solo si todos los coeficientes de la primera columna de Routh-Hurwitz son positivos. Es,
por tanto, una condición necesaria y suficiente. La primera columna la forman los
primeros coeficientes de todas las filas. Aunque el criterio solo se fije en los primeros
coeficientes, las filas hay que completarlas enteras, porque todos los coeficientes son
necesarios para calcular los inferiores.
Cuando no se cumple el criterio de Routh-Hurwitz, es posible conocer el número de
polos del sistema que están en el semiplano de parte real positiva. Existen tantos polos
con parte real positiva como cambios de signo aparecen a la largo de la primera
columna de Routh-Hurwitz.
Es importante recalcar que criterio de Routh-Hurwitz informa sobre la estabilidad
absoluta, es decir, se limita a mostrar si el sistema es estable o no, sin indicar el grado
de estabilidad o inestabilidad, lo próximo o lo alejado que se esta de volverse inestable
o estable.
Estabilidad de los sistemas de segundo orden: En el caso de sistemas de segundo orden,
discernir la estabilidad del sistema es especialmente sencillo. Sea la ecuación
característica general de segundo orden:
Si los tres coeficientes a1, a2 y a3 son positivos no nulos, se cumple la condición de
Cardano-Viete y el sistema puede ser estable. Se construye entonces la tabla de RouthHurwitz:
En este caso concreto, los coeficientes de la primera columna coinciden exactamente
con los coeficientes del polinomio de la ecuación característica. Por tanto, basta con
observar si los tres coeficientes de la ecuación característica son positivos para que se
cumpla tanto la condición de Cardano-Viete como el criterio de Routh-Hurwitz y se
pueda afirmar que el sistema es estable.
Estabilidad de los sistemas de tercer orden: En el caso de sistemas de tercer orden,
también resulta relativamente sencillo predecir la estabilidad o no del mismo. Sea la
ecuación característica general de tercer orden:
Si los coeficientes son positivos no nulos, el sistema puede ser estable. Se construye
entonces la tabla de Routh-Hurwitz:
Para que todos los coeficientes de la primera columna sean positivos, la única condición
que se debe cumplir es:
Ejemplo numérico de sistema de cuarto orden: El número de condiciones que se deben
cumplir para casos genéricos de sistemas de orden elevado es cada vez mayor. En este
apartado se resuelve el caso concreto de un sistema de cuarto orden con la siguiente
ecuación característica:
Todos los coeficientes son positivos no nulos, por lo que se construye la tabla de RouthHurwitz:
Todos los coeficientes de la primera columna son positivos menos uno que es negativo,
por tanto el sistema es inestable. Asimismo, existen dos cambios de signo en la
columna, por tanto existen dos raíces con parte real positiva. Las raíces de la ecuación
característica, es decir, los polos del sistema son:
Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz
La confección de la tabla de Routh-Hurwitz puede ser imposible en varios casos, por
ejemplo cuando alguno de los denominadores de los coeficientes se hace nulo. En los
siguientes apartados se presenta el modo de actuar para el caso de las dos situaciones
especiales mas frecuentes.
Caso 1: Se anula el primer coeficiente de una fila:
Si existe un cero en la primera posición de una fila, todos los coeficientes de la fila
inmediatamente inferior se hacen infinitos. Para evitar esta situación, se puede sustituir
el coeficiente nulo por una constante positiva e muy próxima a cero. Esta constante se
arrastra en el cálculo de los siguientes coeficientes y permite estudiar el signo de todos
ellos.
Como ejemplo se puede observar que ocurre cuando la ecuación característica es:
No cumple la condición de Cardano-Viete, por la que ya se puede afirmar que el sistema
es inestable.
Si se construye la tabla de Routh-Hurwitz:
Si e toma un valor positivo muy pequeño, el siguiente coeficiente de la columna es
negativo muy grande, por lo que el sistema es inestable. Existen dos cambios de signo,
de la segunda a la tercera fila y de la tercera a la cuarta, por tanto existen dos polos de
parte real positiva. En efecto, s = 1 es un polo doble con parte real positiva, como ya se
mostró en la definición de la ecuación característica.
Caso 2: Se anula toda una fila:
Cuando se anula toda una fila de la tabla de Routh-Hurwitz significa que existen raíces
simétricas respecto un eje y situadas encima del otro. Es decir, serán raíces imaginarias
puras conjugadas o reales de signo contrario. También pueden existir raíces en el
origen. Estas raíces peculiares, se obtienen resolviendo la ecuación que se construye con
la fila superior a la nula, es decir, el ultimo renglón no nulo. Como ejemplo, se puede
observar como se obtienen esas raíces peculiares en la siguiente ecuación característica:
Toda la fila en s1 es nula. Con los coeficientes de la fila inmediatamente superior no
nula, la fila en s2, se construye una ecuación llamada ecuación auxiliar.
Las raíces de la ecuación auxiliar, en este caso + y - j, son también raíces de la ecuación
característica. Para poder seguir construyendo la tabla de Routh-Hurwitz, se realiza de
la forma habitual una vez que se ha sustituido la fila de ceros por los coeficientes que
resultan de derivar el polinomio de la ecuación auxiliar respecto de s. Como ejemplo se
puede observar que ocurre cuando la ecuación característica es:
Su Tabla de Routh-Hurwitz es:
Donde la nueva fila en s3 se obtiene derivando respecto de s el polinomio de la ecuación
auxiliar:
La anterior fila en s3 no se tiene en cuenta para la construcción de la tabla. En este caso,
como era de esperar, por Cardano-Viete, el sistema es inestable y, por tener un único
cambio de signo, le corresponde una sola raíz con parte real positiva.
Respuesta en frecuencia
Es importante estudiar la respuesta del sistema ante una entrada sinusoidal. Esto permite
hallar la función de transferencia de un sistema con una planta compleja mediante un
método práctico sencillo.
La representación de la respuesta en frecuencia de un sistema sirve para dar una medida
de su estabilidad relativa, completando la información que puede dar el criterio de
Routh-Hurwitz.
Respuesta a una entrada sinusoidal
Sea G(s) la función de transferencia de un sistema y R(s) una entrada sinusoidal. La
salida del sistema en el dominio temporal y régimen permanente es:
Por tanto el sistema amplifica o atenúa en función de la frecuencia de la señal de
entrada. Lo mismo ocurre con el adelanto o retraso de la señal de salida respecto de la
entrada.
Existen varias formas de representar esos cambios en función de la frecuencia, la
siguiente grafica ilustra lo dicho:
Estabilidad Relativa - Análisis de Bode
La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y desempeño de los
sistemas dinámicos, es en el dominio del tiempo.
Ejemplo de esto es cuando se dice que un sistema responde más rápido que otro, o
cuando se dice que el tiempo de establecimiento de tal sistema es de 0.25 segundos. Sin
embargo a medida que los sistemas se presentan más complejos (en dimensión,
parametrización, identificación, etc.), sus comportamientos son más difíciles de
determinar analíticamente. Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar
tales sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia.
Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control, proveen un conjunto
de análisis y herramientas gráficas que no están limitadas por el orden del sistema o por
otras complejidades.
El análisis de respuesta en frecuencia:
• Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre.
• Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones racionales.
• Las pruebas de respuesta en frecuencia son relativamente fáciles de realizar y se
puede modelar una Función de Transferencia a partir de datos experimentales.
• Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.
• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.
• Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y la
respuesta transitoria en el tiempo.
Cuando a un sistema se le somete a una excitación de tipo senoidal en la entrada y se
observa la señal de salida en el régimen permanente, las relaciones que se establecen
entre estas dos señales son conocidas como la respuesta en frecuencia de ese equipo. En
los métodos de respuesta en frecuencia, la frecuencia de la señal de entrada es la
variable independiente, haciéndose recorrer la frecuencia en un determinado rango o
espectro frecuencial. Esta técnica presenta grandes ventajas. En primer lugar, la
descripción del método muestra que es muy accesible en el terreno experimental.
Resulta relativamente fácil someter un sistema ante una entrada de tipo senoidal y
registrar su salida con una multitud de instrumentos existentes hoy en día. Así, en
general, este procedimiento se aplica para la identificación de la función de
transferencia de sistemas complejos. En segundo lugar, con esta técnica es posible
cuantificar la estabilidad relativa de una estructura de realimentación negativa. Hasta
ahora, sólo es posible indicar si el sistema es estable o no, pero todavía no se ha medido
cuán estable es. Por último y con el objeto de destacar sólo las propiedades más
significativas, los reguladores de control calculados a partir de criterios de respuesta en
frecuencia tienen un comportamiento robusto. Quizá, el mayor inconveniente, aunque
de carácter menor, es la falta de relación directa entre la respuesta en frecuencia y el
comportamiento transitorio del sistema en el tiempo, excepto para los modelos de
segundo orden. No obstante, no resulta difícil correlacionar la respuesta frecuencial con
el comportamiento temporal. De hecho, es un objetivo de esta asignatura que los
alumnos maduren en las relaciones existentes entre la respuesta temporal y frecuencial.
Aun más, el futuro ingeniero podrá interpretar los resultados de un analizador de
espectros.
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema
ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por
una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia w, su salida seguirá siendo senoidal de
la misma frecuencia w pero probablemente con otra magnitud C y fase.
Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.
La transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura anterior es:
como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por
donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo:
La relación entre la salida
y la entrada
permanente se llama función de transferencia senoidal:
en el régimen senoidal
Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de una función en
estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuación
característica:
. Por razones de sencillez se
Por ser estado senoidal permanente, se cambia s por
trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.
Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.
Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia
. Para graficar la magnitud de
, se hace uso de la norma de magnitud:
Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar.
La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función
de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente
sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos ellos.
La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros elementos al sistema.
En estos casos para obtener la nueva gráfica de Bode no es necesario recalcular todo el
sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.