3.1.1 EJERCICIOS RESUELTOS Solución.

Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
3.1.1
1
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1 Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
1. Lanzar una moneda.
2. Lanzar un dado.
3. Lanzar una moneda y un dado simultaneamente.
4. Lanzar tres monedas.
5. Sexo de los tres hijos de una familia.
Solución.1. Si llamamos C a la posibilidad ”salir cara” y llamamos X a ”salir cruz” entonces el espacio muestral
será:
= fC; Xg
2. En este caso cada uno de los posibles resultados al lanzar un dado serían: Salir 1, salir 2, ....,salir 6.
Resultando:
= f1; 2; 3; 4; 5; 6g
3. En esta sitación tendremos que describir los sucesos elementales de modo bidimensional, donde la
primera componente indicará el posible resultado de la moneda y la segunda componente el posible
resultado del dado. El espacio muestral será el siguiente:
= f(C; 1) ; (C; 2) ; (C; 3) ; (C; 4) ; (C; 5) ; (C; 6) ; (X; 1) ; (X; 2) ; (X; 3) ; (X; 4) ; (X; 5) ; (X; 6); g
4. Con las consideraciones anteriores:
= f(C; C; C) ; (C; C; X) ; (C; X; C) ; (X; C; C) ; (C; X; X) ; (X; C; X) ; (X; X; C) ; (X; X; X)g
5. Llamando V a ser varón y H a ser hembra tenemos que:
= f(V; V; V ) ; (V; V; H) ; (V; H; V ) ; (H; V; V ) ; (V; H; H) ; (H; V; H) ; (H; H; V ) ; (H; H; H)g
Ejercicio 2 Consideremos el experimento aleatorio lanzar un dado dos veces seguidas, y llamemos A al
suceso salir par en el primer lanzamiento e impar en el segundo, asimismo llamemos B al suceso salir
número primo en los dos lanzamientos. En esta situación:
1. Describe el espacio muestral, el suceso A y el suceso B.
2. Describe los conjuntos:
(a) A [ B
(b) A \ B
(c) A0
(d) A0 [ B
(e) A
B
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2
3. Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores.
Solución.1. El espacio muestral
estará constituido por 36 sucesos elementales:
(1; 1)
(2; 1)
(3; 1)
(4; 1)
(5; 1)
(6; 1)
(1; 2)
(2; 2)
(3; 2)
(4; 2)
(5; 2)
(6; 2)
(1; 3)
(2; 3)
(3; 3)
(4; 3)
(5; 3)
(6; 3)
(1; 4)
(2; 4)
(3; 4)
(4; 4)
(5; 4)
(6; 4)
(1; 5)
(2; 5)
(3; 5)
(4; 5)
(5; 5)
(6; 5)
(1; 6)
(2; 6)
(3; 6)
(4; 6)
(5; 6)
(6; 6)
donde la primera componente de cada suceso elemental representa el posible resultado del primer
lanzamiento y la segunda componente el valor obtenido en el segundo lanzamiento del dado.
A continuación describamos los sucesos A y B.
A=
B=
(2; 1) ;
(2; 3) ;
(2; 5) ;
(4; 1) ;
(4; 3) ;
(4; 5);
(6; 1) ;
(6; 3) ;
(6; 5)
(2; 2) ;
(2; 3) ;
(2; 5) ;
(3; 2) ;
(3; 3) ;
(3; 5) ;
(5; 2) ;
(5; 3) ;
(5; 5)
(a) Sucede A [ B cuando ocurre A o bien sucede B:
A[B =
(4; 1) ; (4; 3) ; (4; 5); (6; 1) ; (6; 3) ; (6; 5) ; (2; 1) ; (2; 2) ;
(2; 3) ; (2; 5) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 5) ; (5; 2) ; (5; 3) ; (5; 5)
(b) El suceso A \ B estará formado por todos los sucesos elementales comunes de A y B.
A \ B = f(2; 1) ; (2; 3) ; (2; 5)g
(c) A0 se de…ne como
A, por tanto
que no son elementos de A.
8
(1; 1)
>
>
>
>
>
>
<
(3; 1)
0
A =
>
>
>
>
>
(5; 1)
>
:
(d)
estará formado por todos los elementos del espacio muestral
8
(1; 1)
>
>
>
>
>
>
<
(3; 1)
0
A [B =
>
>
>
>
>
(5; 1)
>
:
(1; 2)
(2; 2)
(3; 2)
(4; 2)
(5; 2)
(6; 2)
(1; 2)
(2; 2)
(3; 2)
(4; 2)
(5; 2)
(6; 2)
(1; 3)
(1; 4)
(2; 4)
(3; 4)
(4; 4)
(5; 4)
(6; 4)
(3; 3)
(5; 3)
(1; 3)
(2; 3)
(3; 3)
(5; 3)
(1; 5)
(3; 5)
(5; 5)
(1; 4)
(2; 4)
(3; 4)
(4; 4)
(5; 4)
(6; 4)
(1; 5)
(2; 5)
(3; 5)
(5; 5)
(1; 6)
(2; 6)
(3; 6)
(4; 6)
(5; 6)
(6; 6)
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
(1; 6)
(2; 6)
(3; 6)
(4; 6)
(5; 6)
(6; 6)
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
(e) Se de…ne A B como el suceso formado por todos los sucesos elementales de A menos los sucesos
elementales de A \ B:
A
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B=
(2; 1) ;
(4; 1) ;
(4; 3) ;
(4; 5);
(6; 1) ;
(6; 3) ;
(6; 5)
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3
2. Para calcular las probabilidades utilizaremos la regla de Laplace.
(a) p(A [ B) =
Ejercicio 3
Card(A[B)
Card( )
=
16
36
1. (a) p(A \ B) =
(b) p(A0 ) =
Card(A0 )
Card( )
=
=
3
36
27
36
(c) p(A0 [ B) =
Card(A0 [B)
Card( )
(d) p(A
Card(A B)
Card( )
B) =
Card(A\B)
Card( )
=
=
29
36
7
36
Ejercicio 4 Tenemos una urna con diez bolas numeradas del 1 al 10. Realizando extracciones con reemplazamiento, consideramos los siguientes sucesos:
A = {salir un número primo} y
B = {Salir un cuadrado perfecto}
Veri…ca las leyes de Morgan para los sucesos A y B.
(A [ B)0 = A0 \ B 0
(3.1)
(A \ B)0 = A0 [ B 0
(3.2)
Solución.Describamos los siguientes sucesos:
A = f2; 3; 5; 7g
B = f1; 4; 9g
A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g ) (A [ B)0 = f6; 8; 10g
) (A \ B)0 =
A\B =
A0 = f1; 4; 6; 8; 9; 10g
B 0 = f2; 3; 5; 6; 7; 8; 10g
A0 \B0 = f6; 8; 10g
A0 [B0 = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g =
se veri…ca trivialmente que:
(A [ B)0 = A0 \ B 0
y
(A \ B)0 = A0 [ B 0
Ejercicio 5 La probabilidad de un suceso A es 13 , la de B es
2
4
y la de la intersección 38 . Calcule:
1. La probabilidad de que se veri…que alguno de los dos sucesos.
2. La probabilidad de que no suceda A.
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3. La probabilidad de que no ocurra ni A ni B.
4. La probabilidad de que no ocurra A o bien no ocurra B.
Solución.1. La probabilidad de que ocurra el suceso A o bien ocurra el suceso B viene dada por:
p(A [ B) = p(A) + p(B)
p(A \ B)
(3.3)
resultando,
p(A [ B) =
2. La probabilidad del contrario de A sería 1
1 2
+
3 4
3
11
=
8
24
p(A): Por tanto:
p(A0 ) = 1
p(A0 ) = 1
p(A)
1
2
=
3
3
(3.4)
3. Se nos está pidiendo que calculemos p(A0 \B 0 ) , utilizando las leyes de Morgan será equivalente calcular
p((AU B)0 ): Por tanto,
p(A0 \ B 0 ) = p((AU B)0 ) = 1 p(A [ B)
p(A0 \ B 0 ) = 1
p(A [ B) = 1
11
13
=
24
24
4. Teniendo en cuenta que A0 [ B 0 = ”No ocurrir A , o no suceder B ”, aplicando las Leyes de Morgan
y calculando la probabilidad del suceso contrario tenemos:
p(A0 [ B 0 ) = p((A \ B)0 ) = 1
p(A \ B) = 1
5
3
=
8
8
Ejercicio 6 Lanzamos una moneda tres veces consecutivas. En cada uno de los lanzamientos denominamos
C al suceso ”obtener cara” y X al suceso ”obtener cruz”. Sea:
A = f(CCC) , (CCX) , (CXX) , (XXX)g
B = f(CCC) ; (CXC) ; (XCX) ; (XXX)g
C = f(CCC) ; (XCC) ; (XXC) ; (XXX)g
1. ¿Son Independientes A,B y C?
2. Calcule p(A [ B [ C)
Solución.-
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1. Observese que :
A \ B = A \ C = B \ C = A \ B \ C = f(CCC) ; (XXX)g
Al ser
1
2
= = p(A) p(B)
8
4
1
2
p(A \ C) = = = p(A) p(C)
8
4
1
2
p(B \ C) = = = p(B) p(C)
8
4
) A y B son Independientes
p(A \ B) =
) A y C son Independientes
) B y C son Independientes
Sin embargo
p(A \ B \ C) =
2
1
6= = p(A) p(B) p(C)
8
8
) A, B, C no son Independientes
En este ejercico podemos observar como tres sucesos que son independientes dos a dos no lo son los
tres a la vez.
2. La expresión que nos permite calcular p(A [ B [ C) es la extensión natural de la fórmula tradicional
de la probabilidad de la unión de dos conjuntos no disjuntos, calculémosla.
Aplicando la propiedad Asociativa de conjuntos tenemos
p(A [ B [ C) = p(A [ (B [ C))
Utilizando la expresión 3.3 tenemos:
p(A [ (B [ C)) = p(A) + p(B [ C)
p(A \ (B [ C))
aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión de sucesos resulta
p(A [ (B [ C)) = p(A) + p(B [ C)
p((A \ B) [ (A \ C))
bastará, utilizando la fórmula 3.3 , desarrollar las expresiones: p(B [ C) y
p(B [ C) = p(B) + p(C)
p(B \ C)
p((A \ B) [ (A \ C)) = p (A \ B) + p (A \ C)
(3.5)
p((A \ B) [ (A \ C))
p (A \ B \ C)
Sustituimos ambas expresiones en 3.5 y obtenemos …nalmente:
p(A [ B [ C) = p(A) + p(B) + p(C)
p(B \ C)
p (A \ B)
p (A \ C) + p (A \ B \ C)
(3.6)
Por tanto, basándonos en esta última expresión tenemos:
p(A [ B [ C) =
4 4 4
+ +
8 8 8
2
8
2
8
2 2
+ =1
8 8
como cabía esperar puesto que A [ B [ C = :
Ejercicio 7 En una urna hay tres bolas blancas , dos rojas y una negra. Construya el espacio muestral del
experimento ”extraer una bola”, y calcule la probabilidad de cada uno de los sucesos elementles.
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6
Solución.El espacio muestral sería
= fB; N; Rg donde cada uno de los sucesos elementales corresponden a
sacar una bola blanca, una bola roja y una bola negra. Utilizando la regla de Laplace:
p(B) =
3
6
p(R) =
2
6
p(N ) =
1
6
Ejercicio 8 Calcular la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar 4 veces un dado.
Solución.Sea A el suceso ”obtener al menos un seis al lanzar 4 veces un dado”, se veri…ca que:
p(A) = 1 P (A0 ); siendo A0 el suceso contrario de A, es decir, A0 representaría ”no sacar ningun seis en los
cuatro lanzamientos”. Por tanto:
p(A) = 1 p(A0 )
siendo
p(A0 ) = pfno salir 6 en los cinco lanzamientos}
= p({no salir 6 en 1o lanz} \ fno salir 6 en 2o lanzg \ fno salir 6 en 3o lanzg \ fno salir 6 en 4o lanzg)
al ser independientes entre sí losdistintos lanzamientos de dado, la probabilidad de la intersección es igual a
la probabilidad del producto,
p(A0 ) = p ({no salir 6 en 1o lanz}) p ({no salir 6 en 2o lanz}) p ({no salir 6 en 3o lanz}) p ({no salir 6 en 4o lanz})
p(A0 ) =
5 5 5 5
=
6 6 6 6
5
6
4
Por tanto, la probabilidad de obtener al menos un seis al lanzar cuatro veces un dado sería:
Ejercicio 9 Dados dos sucesos A y B , tales que p(A) = 0:6 , p(A \ B) = 0:3
y
1
5 4
6
p(A0 \ B 0 ) = 0:2 ,
1. Calcula la probabilidad de que ocurra B.
2. ¿Son A y B independientes?
Solución.1. Utilizando la expresión p(A [ B) = p(A) + p(B)
p(A \ B) , tenemos que :
p(B) = p(A \ B) + p(A [ B)
p(A)
utilizando la probabilidad del suceso contrario de A [ B, resulta:
p (A [ B)0
p(B) = p(A \ B) + 1
p(A)
y aplicando las leyes de Morgan :
p(B) = p(A \ B) + 1
p(A0 \ B 0 )
p(A)
resultando
p(B) = 0:3 + 1
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0:2
0:6 = 0:5
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7
2. Para comprobar si A y B son independientes bastará veri…car la igualdad:
p(A \ B) = p(A) p(B)
p(A \ B) = 0:3
p(A) p(B) = 0:6 0:5 = 0:3
Concluimos diciendo que los sucesos A y B son independientes.
Ejercicio 10 Un comerciante recibe mensulmente artículos de dos empresas distribuidoras A y B, de
acuerdo con la siguiente tabla:
Defectuoso No defectuoso
A
20
130
B
10
110
Si elegimos un artículo al azar, obténgase:
1. La probabilidad de que dicho artículo provenga de la empresa A.
2. La probabilidad de que sea defectuoso.
3. La probabilidad de que resulte defectuoso y sea de la empresa B.
4. La probabilidad de ser defectuoso si sabemos que es de la empresa B.
5. La probabilidad de ser de A supuesto que es defectuoso.
6. La probabilidad de ser de A o bien ser de B.
7. La probabilidad de ser de B o ser no defectuoso.
Solución.Describamos la tabla de contingencia con sus correspondientes distribuciones marginales:
A
B
TOTAL
Def.
20
10
30
No def.
130
110
240
TOTAL
150
120
270
y de…namos los siguientes sucesos:
E
:
Elegir artículo no defectuoso
F
:
Elegir artículo defectuoso
A :
Artículo de la empresa A
B :
Artículo de la empresa A
1. Utilizando la Regla de Laplace
Casos Favorables
Casos Posibles
150
p(A) =
270
p(A) =
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(3.7)
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2.
p(F ) =
30
270
3.
p(F \ B) =
10
270
4.
p(F=B) =
8
10
270
120
270
p(F \ B)
=
p(B)
=
10
120
Esta probabilidad condicionada podría haberse calculado directamente a partir de la tabal de contingencia con el siguiente razonamiento: Si sabemos que el artículo es de B, habrá como máximo
120 casos posibles, por tanto unicamente podremos considerar como casos favorables los 10 elementos
defectuosos que envía la empresa B.
5. Al igual que en el apartado anterior,
p(A=F ) =
20
30
6. Trivialmente la probabilidad es 1, puesto que cualquier artículo es de A o bien de B
7. Podremos realizar este cálculo de dos formas:
120+130
Casos Fav.
(a) p(B [ E) = Casos
= 250
Pos. =
270
270
(b) p(B [ E) = p(B) + p(E) p(B \ E) =
120
270
+
240
270
110
270
=
250
270
Ejercicio 11 En una familia de cuatro hermanos parece más probable que haya tres hermanos del mismo
sexo a que haya dos varones y dos hembras, pero ¿realmente es así?. Responda a esta cuestión.
Solución.Para resolver el problema podríamos dibujar un diagrama de árbol o bien representar un diagrama
cartesiano.
Diagrama de Árbol
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9
Diagrama Cartesiano
VV
HV
VH
HH
VV
VVVV
HVVV
VHVV
HHVV
HV
VVHV
HVHV
VHHV
HHHV
VH
VVVH
HVVH
VHVH
HHVH
HH
VVHH
HVHH
VHHH
HHHH
La probabilidad de que haya dos varones y dos hembras en una familia de cuatro hermanos sería:
mientras que la probabilidad de que haya tres individuos del mismo sexo sería:
diciendo que la a…rmación es correcta.
8
16 :
6
16
Por tanto concluiremos
Ejercicio 12 (MODELOS DE URNAS) Consideremos una urna U que contiene n bolas y de la cual se
realizan m extraciones. Poner un ejemplo práctico en cada una de estas situaciones y obtener el cardinal de
:
1. Sin reemplazamiento, es decir, una vez que se extrae una bola de la urna , ésta se queda fuera de la
misma.
(a) Muestra ordenada, importará el orden de extracción de las bolas.
(b) Muestra no ordenada, no importará el orden de extracción de las bolas.
2. Con reemplazamiento, es decir, una vez que se extrae una bola de la urna , ésta se devuelve a la urna.
En cada extracción siempre habrá n bolas.
(a) Muestra ordenada.
(b) Muestra no ordenada.
Solución.1.a. Realizamos m extracciones sin reemplazamiento teniendo presente que importa el orden de extracción
de las bolas. En este caso:
n!
Card( ) = V n; m =
(3.8)
(n m)!
Ejemplo 1 Se pretende conocer el número total de podiúms que pueden darse en una carrera de 8
caballos.
Solución.Nuestra urna …cticia estará formada por 8 bolas numeradas, una bola por cada caballo, si realizamos 3 extracciones sin reemplazamiento tendremos un posible podiums de la carrera.
El número total de casos vendrá dado por:
Card( ) = V8;3 =
8!
= 336 podiums posibles.
5!
Por tanto la probabilidad de que acertásemos los tres primeros puestos en una carrera de 8 caballos
1
sería: 336
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10
1.b. Si no importase el orden de extracción de las bolas el número de casos posibles vendrá dado por la
combinación de n elementos tomados en grupos de m, es decir:
Card( ) = Cn; m =
n
m
=
n!
m! (n m)!
(3.9)
Ejemplo 2 Calcular el número de posibles resultados que se pueden generar en el sorteo de la lotería
primitiva.
Solución.Como todos sabemos la lotería primitiva, es un juego de azar consistente en acertar los 6 números
extraidos al azar de una urna con 49 bolas numeradas del 1 al 49, dicha extracción se realiza sin
reemplazamiento y obviamente no importa el orden de extracción.
El número de casos vendrá dado por las distintas forms en que podamos combinar estos 49
números en grupos de 6.
Card( ) = C49;6 =
49!
= 13 983 816 casos posibles
6! (49 6)!
Si realizasemos una apuesta en este juego de azar, acertaríamos con una probabilidad de
1
13 983 816
2.a. En las extraciones con reemplazamiento es importante tener en cuenta que se pueden repetir las bolas
o elementos que extremos de la urna; por tanto, si tiene importancia el orden, el cardinal de vendrá
dado por:
Card( ) = V Rn;m = nm
(3.10)
Ejemplo 3 Calcular todos los posibles resultados en una quiniela de futbol.
Solución.En este caso tendremos una urna con tres bolas U = f1; X; 2g; y realizaremos 15 extracciones con
reemplzamiento, por supuesto consideraremos la muestra ordenada, ya que no sería lo mismo el
suceso elemental (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; X) que (1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; X; 2) :
Por tanto:
Card( ) = V R3;15 = 315 = 14 348 907
Si realizamos una apuesta, la probabilidad de acertar los quince resultados de la quiniela de la
1
semana sería: 14 348
907 :
2.b. En este caso, puesto que se pueden repetir los elementos y no importa el orden de extración, tendremos
que:
n+m 1
Card( ) = CRn;m =
(3.11)
m
Ejemplo 4 Calcular el número de sucesos elementles en el experimento aleatorio ”elegir al azar una
pieza del dómino”.
Solución.En este caso tendremos una urna con siete bolas numeradas U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6g;el suceso
elemental resultante al realizar dos extracciones con reemplazamiento y sin importar el orden de
la extracción sería una pieza de dominó. Por tanto:
Card( ) = CR7;2 =
7+2
2
1
= 28 casos posibles
que como todos sabemos coincide con el número de piezas de un juego de dominó.
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11
Ejercicio 13 De un bombo con 10 bolas numeradas del 0 al 9 se realizan 4 extracciones con reposición,
formando un número de 4 dígitos (que puede comenzar por cero).
1. ¿Cual es la probabilidad de que salga un número con cuatro cifras repetidas?
2. ¿Cual es la probabilidad de que salga un número con tres cifras repetidas y una distinta?
3. ¿cuál es la probabilidad de que el número sea capicua?
Solución.1. En virtud del ejercicio anterior y a partir de la expresión 3.10, tenemos que:
Card( ) = V R10;4 = 104 = 10000
Los casos favorables de este suceso serán 10, es decir:
(0000) ; (1111) ; (2222) ; ::::::; (9999)
Por tanto, la probabilidad de que salga un número con cuatro cifras iguales será:
p=
10
Casos Fav.
=
= 0:001
Casos Pos.
10000
2. Para calcular los casos favorables tendremos en cuenta que la cifra que se repite tres veces puede ser
cualquiera de las diez, y una vez elegida ésta se pueden seleccionar otras nueve para combinarlas entre
las tres cifras iguales (habiendo 4 posibles posiciones), por ejemplo:
(a; a; a; _) ; (a; a; _; a) ; (a; _; a; a) ; (_; a; a; a)
, por ello el número de casos favorables será: 10 9 4 . Siendo la probabilidad pedida:
p=
Casos Fav.
360
=
Casos Pos.
10000
3. Para calcular los casos favorables, tendremos en cuenta que la primera y cuarta cifra serán siempre
iguales y las dos restantes serán cualesquiera, siendo la situación similar a ésta:
(a; _; _; a)
por tanto el número de casos favorables será: 10 V R10;2 = 10 102 = 1000: La probabilidad de obtener
un número capicua es:
1000
p=
= 0:1
10000
Ejercicio 14 Calcular la probabilidad de extraer tres …guras en una baraja de cartas española
Solución.-
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
12
CASO1.- Consideremos las extraciones con reemplazamiento.
En tal caso sean los sucesos:
Ai : Obtener …gura en la i-ésima extracción
al ser las extracciones con reemplazamiento, éstas son independientes unas de otras, por tanto:
p(A1 \ A2 \ A3 ) = p(A1 ) p(A2 ) p(A3 ) =
12 12 12
=
40 40 40
12
40
3
CASO2.- Consideremos las extracciones sin reemplazamiento.
En tal caso las extracciones no son independientes unas de otras, utilizando uno de los criterios de la
probabilidad de la intersección en el tema de probabilidad condicionada, tenemos:
p(A1 \ A2 \ A3 ) = p(A1 ) p(A2 =A1 ) p(A3 =(A1 \ A2 )) =
12 11 10
40 39 38
Ejercicio 15 En el juego del mus, que se juega con baraja española, hay ocho cartas que valen como reyes
(los cuatro tres y los cuatro reyes) y otras ocho cartas que valen como unos (los cuatro doses y los cuatro
ases). Calcule la probabilidad de que al repartir 4 cartas:
1. Se tenga plena certeza de ganar o empatar un órdago a la grande, es decir , recibir cuatro reyes.
2. Obtener tres Reyes y un uno.
Solución.El número de casos posibles al extraer 4 cartas de una baraja de 40 serían: V40;4 = 2193360
1. Los casos favorables vendrían dados por V8;4 = 1680 , habría 1680 formas de repartir esas 8 cartas en
grupos de 4. La probabilidad pedida sería:
p=
V8;4
= 0:0008
V40;4
2. Teniendo en cuenta que al repartir nos podemos encontrar con alguna de estas siuaciones:
(R; R; R; 1) ; (R; R; 1; R) ; (R; 1; R; R) ; (1; R; R; R)
el número de casos posibles sería: 4 V8;3 V8;1 :
Cuatro son las disposiciones posibles entre reyes y unos , a su vez los reyes pueden ser repartidos de
V8;3 formas y los unos de V8;1 formas. Por tanto la probabilidad pedida es:
4 V8;3 V8;1
10752
=
V40;4
2193360
Ejercicio 16 ¿Cual es la probabilidad de elegir un número al azar del intervalo [0; 10] menor que 6?
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
13
Solución.Para calcular esta probabilidad nos encontramos con un pequeño problema, el espacio muestral es continuo , por ello utilizaremos la regla de Laplace con matices, es decir : Consideraremos como casos posibles
cualquier número del segmento [0,10], osea la longitud del segmento, y como caso favorable cualquier número
del segmento [0,6] es decir la longitud de dicho segmento. Por tanto:
p (elegir un número al azar del intervalo [0; 10] menor que 6 ) =
l ([0; 6])
6
Casos Fav.
=
=
Casos Pos.
l ([0; 10])
10
Ejercicio 17 Si elegimos al azar dos números reales comprendidos entre 0 y 1. ¿Cuál es la probabilidad de
que el producto sea menor que 12 ?
Solución.El planteamiento es similar al del ejercicio anterior, pero en dos dimensiones. Es decir los casos posibles
vendrán dados por el área del rectángulo [0; 1] x [0; 1] ; ya que en dicho rectángulo se encuentran todos las
elecciones posibles de pares de puntos comprendidos entre 0 y 1.8
< x y 12
0 x 1 son :
El conjunto de puntos de dicho rectángulo que veri…can que
:
0 y 1
Cuya área representará los casos favrables.
Por tanto la probabilidad de que el producto de dos números comprendidos entre 0 y 1 sea menor que 1/2
será:
Casos Fav.
Area coloreada
p=
=
Casos Pos.
Area ([0; 1] x [0; 1])
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
14
Observando los puntos de corte de las curvas:
tenemos:
p=
Z
0:5
dx +
0
Z
1
0:5
1
2x dx
= 0: 846 57
1
Ejercicio 18 Sea X una v.a. que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de
una hora. Dada la siguiente tabla:
xi
p(xi )
0
0.05
1
0.10
2
0.10
3
0.10
4
0.20
5
0.25
6
0.15
7
0.05
1. Veri…car que p(x) es función de probabilidad.
2. Obtener E[X] y var[X]
3. Calcular la probabilidad de que en una hora no lleguen menos de 4 clientes.
4. Representar grá…camente F (X):
Solución.1. Para comprobar que p(x) es función de probabilidad bastará veri…car que:
(a) p(xi )
(b)
7
X
0 ;
8i
p(xi ) = 1
i=0
Observese que efectivamente p(xi )
0 ;
8i y 0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 + 0:15 + 0:05 = 1
2. Para obtener el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X, tendremos en cuenta que:
E[X] =
var[X] =
n
X
i=1
n
X
xi p[X = xi ] =
(xi
)2 p[X = xi ] =
(3.12)
2
(3.13)
i=1
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
15
en el caso de la varianza será más cómodo utilizar la fórmula reducida:
var[X] = E X 2
(E[X])2
(3.14)
Por tanto, realizando los cálculos oportunos resulta:
E[X] = 0 0:05 + 1 0:1 + 2 0:1 + 3 0:1 + 4 0:2 + 5 0:25 + 6 0:15 + 7 0:05 = 3:9 clientes
E X 2 = 02 0:05 + 12 0:1 + 22 0:1 + 32 0:1 + 42 0:2 + 52 0:25 + 62 0:15 + 72 0:05 = 18:7
var[X] = E X 2
3. Se nos pide calcular p[X
(E[X])2 = 18:7
(3:9)2 = 3:49
4]; es decir:
p[X = 4] + p[X = 5] + p[X = 6] + p[X = 7]
Por tanto:
p[X
4] = p(4) + p(5) + p(6) + p(7)
p[X
4] = 0:2 + 0:25 + 0:15 + 0:05 = 0:65
Calculemos la función de distribución (F.d.D.) de esta variable aleatoria de tipo discreto; sabemos que:
X
F (x) = p[X x] =
p[X = xi ]
8x2<
(3.15)
xi x
Por ello:
F (x) =
resultando:
CURSO EIR-2003
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
0
0:05
0:05 + 0:1
0:05 + 0:1 + 0:1
0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1
0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2
0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25
0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 + 0:15
0:05 + 0:1 + 0:1 + 0:1 + 0:2 + 0:25 + 0:15 + 0:05
8
0
si
>
>
>
>
0:05
si
>
>
>
>
0:15 si
>
>
>
>
< 0:25 si
0:35 si
F (x) =
>
>
0:55 si
>
>
>
>
>
0:8 si
>
>
>
>
0:95 si
>
:
1
si
si
si
si
si
si
si
si
si
si
x<0
0 x<1
1 x<2
2 x<3
3 x<4
4 x<5
5 x<6
6 x<7
7 x
x<0
0 x<1
1 x<2
2 x<3
3 x<4
4 x<5
5 x<6
6 x<7
7 x
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
16
Bastará con representar esta función escalonada:
NOTA 5 Utilizando la función de distribución (F.d.D.) , el apartado número 3 se podría haber resuelto del
siguiente modo:
p[X 4] = 1 p[X < 4] = 1 p[X < 4] p[X = 4] + p[X = 4]
p[X
4] = 1
p[X
p[X
p[X
4] = 1
4] = 1
4] + p[X = 4]
F(4) + p(4)
0:55 + 0:2= 0:65
Ejercicio 19 Consideremos el lanzamiento de dos dados. Si X es v.a. y representa la suma de las caras.
1. Calcular la función de probabilidad de X.
2. Obtener E [X] ; var [X]
3. Calcular:
p[X > 7]
;
y la F:d:D. de la varible aleatoria X.
p[X = 7]
;
p[5
X
9]
Solución.1. El espacio muestral en el lanzamiento
8
(1; 1)
>
>
>
>
(2; 1)
>
>
<
(3; 1)
=
(4; 1)
>
>
>
>
>
(5; 1)
>
:
(6; 1)
de dos dados sería:
(1; 2)
(2; 2)
(3; 2)
(4; 2)
(5; 2)
(6; 2)
(1; 3)
(2; 3)
(3; 3)
(4; 3)
(5; 3)
(6; 3)
(1; 4)
(2; 4)
(3; 4)
(4; 4)
(5; 4)
(6; 4)
(1; 5)
(2; 5)
(3; 5)
(4; 5)
(5; 5)
(6; 5)
(1; 6)
(2; 6)
(3; 6)
(4; 6)
(5; 6)
(6; 6)
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
Si X representa la suma de las caras en el lanzamiento de dos dados , los posibles valores xi que podrá
tomar la variable serán:
2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
cuyas probabilidades asociadas, utilizando la regla de laplace, serían:
xi
p[X = xi ]
CURSO EIR-2003
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
c A. Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño
Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
17
2. Para calcular la esperanza matemática de la v.a. X utilizaremos la expresión 3.12, resultando:
E[X] = 2
2
+4
36
1
+3
36
3
+ ::::: + 10
36
3
+ 11
36
2
+ 12
36
1
=7
36
En cuanto al cálculo de la varianza utilizaremos la fórmula reducida 3.14 , siendo:
E[X 2 ] = 22
1
+ 32
36
2
+ 42
36
3
+ ::::: + 102
36
3
+ 112
36
2
+ 122
36
1
36
y resultando
(E[X])2 = 51:4
var[X] = E[X 2 ]
72 = 2:4
Para el cálculo de la F.d. D. , utilizaremos la expresión 3.15, y actuando del mismo modo que en el
ejercicio anterior obtendremos:
F (x) =
3. Calculemos las siguientes probabilidades:
8
>
0
>
>
1
>
>
>
36
>
>
3
>
>
36
>
>
6
>
>
36
>
>
10
>
>
>
< 36
15
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
36
21
>
>
36
>
26
>
>
>
36
>
30
>
>
>
36
>
>
33
>
>
36
>
>
35
>
>
>
: 36
1
x<2
x<3
x<4
x<5
x<6
x<7
x<8
x<9
x < 10
x < 11
x < 12
12 x
p[X>7]
p[X > 7] = 1
p[X
7] = 1
F (7) = 1
5
21
=
36
12
p[X=7]
6
36
Si el cálculo lo hubieramos querido realizar a partir del conocimiento de la F.d.D. hubiesemos
actuado del siguiente modo:
p[X = 7] =
p[X = 7] = p[X
7]
p[X
6]
p[5 X 9] Para calcular dicha probabilidad podremos actuar de dos formas posibles:
a.p[5
X
9] = p[X = 5] + p[X = 6] + p[X = 7] + p[X = 8] + p[X = 9] =
b.p[5
X
9] = p[X
9]
p[X
4] = F (9)
F (4) =
24
36
24
36
Ejercicio 20 Consideremos la variable aleatoria X: “Número de niñas en una familia de cuatro hermanos.”
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
18
1. Calcula la función de probabilidad de X.
2. Calcula la desviación típica y el número medio de niñas en estas familias.
3. Utiliza la distribución Binomial en la resolución de los apartados anteriores.
Solución.1. Construyamos el diagrama de árbol para obtener el espacio muestral asociado:
~O
(V ! N I N
8
VVVV
>
>
<
HVVV
=
VHVV
>
>
:
HHVV
;
VVHV
HVHV
VHHV
HHHV
~ A)
H ! N IN
VVVH
HVVH
VHVH
HHVH
VVHH
HVHH
VHHH
HHHH
9
>
>
=
>
>
;
Observamos que en una familia de cuatro hermanos puede haber cero, una, dos, tres o cuatro niñas .
Por ello los posibles valores que puede tomar la variable X serían:
X
0; 1; 2; 3; 4
Para obtener la función de probabilidad de X utilizaremos la regla de Laplace:
p[X = 0] =
p[X = 1] =
p[X = 2] =
p[X = 3] =
p[X = 4] =
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1
16
4
16
6
16
4
16
1
16
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
19
2. Para calcular la esperanza, varianza y desviación típica de X, utilizaremos en este caso una tabla:
xi
p[X = xi ]
xi p[X = xi ]
x2i p[X = xi ]
0
1
2
3
4
1
16
4
16
4
16
4
16
6
16
12
16
24
16
4
16
12
16
36
16
1
16
4
16
16
16
0
0
TOTAL
1
2
5
utilizando las expresiones 3.12 y 3.14 obtenemos:
E[X] = 2 niñas
2
= 5
p
= +
22 = 1
2
= 1 niñas.
3. No Obstante, podríamos calcular la función de probabilidad de dicha variable de otro modo:
Consideremos Xi la variable aleatoria Bernoulli siguiente:
Xi =
1 si el i-ésimo hermano de la familia es NIÑA
0 si el i-ésimo hermano de la familia es NIÑO
i = 1; 2; 3; 4
siendo :
p = p[Exito] = p[Xi = 1] =
1
2
q = p[F racaso] = p[Xi = 0] =
1
2
Como los nacimientos se consideran independientes unos de otros, implica que estas variables Bernoulli son
independientes entre sí, por tanto:
X1 ; X2 ; X3; X4 v.a. Be( 12 )
Xi son independientes
=) X =
4
X
Xi
i=1
1
B(4; )
2
es decir, la variable X , que representa el número de éxitos del experimento aleatorio de tipo Bernoulli
“NACER CHICA”, se distribuye según una Binomial B(4; 12 ):
Como todos sabemos en una v.a. X
B(4; 21 ), se veri…ca:
p[X = k] =
n
k
pk q n
k
(3.16)
y
1
= 2 niñas
2
1 1
var[X] = n p q = 4
=1
2 2
p
p
=
n p q = 1 = 1 niña
E[X] = n p = 4
Ejercicio 21 Consideremos la siguiente función:
f (x) =
CURSO EIR-2003
K x2 si 0
0
en
x 10
c:c:
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
20
1. Calcula el valor de K para que f (x) sea función de densidad de una v.a. X.
2. Calcula y representa la función de distribución.
3. Si X representa el número de unidades vendidas de cierto producto en un día, ¿cuál es el número
medio de ventas realizadas cada día?
Solución.1. f (x) será función de densidad si:
8
8x 2 <
>
< Zf (x) 0
f (x)dx = 1
>
:
(3.17)
<
por tanto imponiendo la segunda condición:
+1
Z
f (x)dx = 1 =)
1
Z10
K x2 dx = 1 =) K =
0
1
Z10
=
3
1000
x2 dx
0
resultando:
f (x) =
0:003 x2 si 0
0
en
x 10
c:c:
Siendo su representación grá…ca:
2. La F.d.D. de una variable aleatoria continua viene dada por :
F (x) = p[X
x] =
Zx
1
CURSO EIR-2003
f (s) ds
8x2<
(3.18)
c A. Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño
Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Por tanto tendremos que:
F (x) =
F (x) =
8
>
>
< Z
>
>
:
x
0
8
>
>
< Z
>
>
:
0
x
si
x<0
f (s)ds si 0
x
10
0
1
si
si
x<0
0:003s2
ds si 0
x
1
si
10 < x
10 =
0
cuya representación grá…ca sería:
3.
21
10 < x
8
<
:
0
0:003 x3
3
1
si
x<0
si 0 x 10
si
10 < x
+1
Z
E[X] =
x f (x) dx
(3.19)
1
E[X] =
Z10
x 0:003 x2 dx = 7:5 unidades.
0
Ejercicio 22 La v.a. X representa el intervalo de tiempo entre dos llegadas consecutivas a una tienda y su
f.d.d. es:
x
k e 2
si x > 0
f (x) =
0
c:c:
1. Determine el valor de k.
2. Obtenga la F.d.D. de X y calcule p[2 < X < 6]
;
p[X
8]
3. Calcule la desviación típica y el tiempo medio entre dos llegadas consecutivas.
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
22
Solución.1. Teniendo en cuenta la expresión 3.17 , f (x) será función de densidad si
+1
Z
k
e
x
2
dx = 1 () 2k = 1 () k =
R +1
1
f (x) dx = 1; es decir si:
1
2
0
2. Por tanto la función de distribución de X vendrá dada por el área que encierra la función de densidad
hasta el punto de abcisa x :
es decir :
Zx
F (x) =
f (t)dt
0
F (x) =
Zx
1
2
t
2
e
dt
0
0
F (x) =
e
1
x
2
si x 0
+ 1 si x > 0
p[2<X<6] Para calcular esta probabilidad, bastará con realizar la siguiente consideración:
p[2 < X < 6] =
Z6
f (x)dx = F (6)
F (2)
2
p[2 < X < 6] =
CURSO EIR-2003
e
1
2
6
+1
e
1
2
2
+1 =
e
3
+e
1
= 0:318
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Ejercicios Tema 3: CÁLCULO DE PROBABILIDADES
23
p[X 8] En este caso,
p[X
8] = 1
p[X < 8]
por tratarse de una v.a. continua sabemos que p[X < 8] = p[X
p[X
p[X
8] = 1
8] = 1
p[X
F (8) = 1
e
8]; por tanto:
8]
1
2
8
+1 =e
4
3. Para calcular el tiempo medio y la desviación típica, utilizaremos las expresiones 3.19 y 3.14,
E[X] =
+1
Z
x
2
e
x
2
dx = 2
u.t.
0
2
E[X ] =
+1
Z
x2
2
x
2
e
dx = 8
0
p
p
= + var[X] = + 8
p
22 = + 4 = 2 u.t.
Ejercicio 23 Una moneda corriente se lanza 3 veces. Hallar la probabilidad de obtener:
1. Tres Caras.
2. Dos Caras.
3. Una Cara.
4. Ninguna Cara.
Solución.Realicemos el experimento tipo bernoulli “lanzar una moneda corriente” tres veces ; la variable X que
nos da el número éxitos es una Binomial de parámetros 3; 12 : Por tanto:
p[X = k] =
1. p[X = 3] =
3
3
1 3
2
1 3 3
2
=
1
8
2. p[X = 2] =
3
2
1 2
2
1 3 2
2
=
3
8
3. p[X = 1] =
3
1
1 1
2
1 3 1
2
=
3
8
4. p[X = 0] = 1
CURSO EIR-2003
1
8
3
8
3
8
=
3
k
1
2
k
1
2
3 k
1
8
c A. Gámez, L.M. Marín, R. Huertas y S. Fandiño