1º del Grado en Ingeniería Mecánica – Grupo B Relación de

1º del Grado en Ingeniería Mecánica – Grupo B
Relación de Problemas 2 Tema 1
Continuidad de funciones
1.- Determinar el dominio de las siguientes funciones y discutir su continuidad:
a) =
௫ మ ିଵ
௫ିଵ
+ 1, ≤ 0 b) = ଶ
+ 1, > 0
c) = √1 − ଶ
௫ , ≠ 0
d) = 0, = 0
ଵ
e) = ௫ , ≠ 0
0, = 0
ଵ
2.- Encontrar los valores de a y b para que las funciones siguientes sean continuas en toda la
recta real:
ଷ, ≤ 2 a) = ଶ
, > 2
2, ≤ −1
b) = + , −1 < < 3
−2, ≥ 3
c) =
௫ మ ି௔మ
,
௫ି௔
≠ 8, = 3. –Demostrar, mediante el teorema de Bolzano, que la función = ଷ + 2 − 1 tiene un
cero en el intervalo [0,1].
4.- En una conferencia telefónica interurbana los dos primeros minutos cuestan 1’04 € y cada
minutos o fracción adicional cuesta 0’36 €. Obtener la función que nos proporciona el coste C
de la conferencia en términos del tiempo t (en minutos). Dibujar la gráfica de esta función y
discutir su continuidad.
5.- Un sábado a las 8.00 de la mañana, un hombre comienza a subir corriendo la ladera de una
montaña hacia su lugar de acampada de fin de semana. El domingo a las 8.00 de la mañana
baja corriendo la montaña por la misma ladera. Tarda 20 minutos en subir y sólo 10 minutos
en bajar. En cierto punto del camino de bajada, se da cuenta de que el sábado pasó por el
mismo lugar a la misma hora. Demostrar que está en lo cierto. [Ayuda: Sean s(t) y r(t) las
funciones de posición de subida y bajada. Aplicar el teorema de Bolzano a la función f(t)=s(t)r(t)].
6.- Demostrar que si f es continua y no tiene ceros en [a,b], entonces f no cambia de signo en
[a,b].
7.- Representar la gráfica de la función signo, definida por
−1, < 0
= 0, = 0 ,
1, > 0
y calcular, si existen, los siguientes límites:
) lim௫→଴ష ()
) lim௫→଴శ ()
) lim௫→଴ ()