Objetivo

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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL
ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO
DIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
CUADERNILLO DE APUNTES:
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
ELABORADO POR:
ING. OSCAR EDUARDO PÉREZ GAONA
LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO FEBRERO 2010
Índice.
ÍNDICE
PÁG
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………..
CAPITULO 1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
OPERACIONES Y FORMULACIÓN DE MODELOS.
iv
DE
1.1. Definición, desarrollo de la investigación de operaciones………….….
2
1.1.1. Antecedentes históricos de la investigación de Operaciones……
2
1.1.2. Definición…………………………………………………..…………..
4
1.2. Fases de estudio de la investigación de operaciones………....……….
4
1.2.1. Proceso de investigación de operaciones…………………….……
6
1.3. Principales aplicaciones de la investigación de operaciones……..…..
7
1.4. Formulación de problemas lineales…………………….……….……….
8
1.4.1. Tipos de modelo…………………………………………....…………
8
1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal.………….………….
10
1.5. Formulación de problemas más comunes….…………………………..
16
1.5.1. Modelación y formulación de problemas……………….…………..
16
Ejercicios I. Formato estándar y canónico…………………………………….
34
Ejercicios II. Modelación………………………………………………………...
43
CAPITULO 2. EL MÉTODO SIMPLEX.
2.1. Teoría del método simplex…………………….…………………………..
52
2.2. Método de las variables artificiales……………………………………….
63
2.2.1. Método de la gran M o método penal……………………………….
63
2.2.2. Método de la doble fase…………………………..…………….……
73
2.2.3. Método gráfico…………………………………………………………
83
2.2.3.1. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano…........
2.2.3.2. La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano…..…
83
84
i
Índice.
2.2.3.3. Método general……………………………..…………………
87
Ejercicios III. Problemas método grafico……………………………………..
93
Ejercicios IV. Resolución de modelos de programación lineal……………..
96
CAPITULO 3. TEORÍA DE LA
SENSIBILIDAD.
DUALIDAD
Y
ANÁLISIS
DE
3.1. Formulación de un problema dual……………………….………………
101
3.2. Dualidad…………………………………………………………………….
102
3.2.1. Forma canónica……………………………………………………….
102
3.2.1.1. Transformación…………………………………………………
103
3.3. Transformación alterna dual………………………………………………
112
3.4. Transformación alterna dual simplex…………………………………….
116
3.5. Análisis de sensibilidad…………………………………………………….
125
3.5.1. Forma matricial de la tabla simplex y las relaciones vectoriales
Implicadas……………………………………………………………..
125
3.5.1.1. Cambio en el vector A…………………………………………
126
3.5.1.2. Cambio en el vector B………………………………………...
131
3.5.1.3. Cambio en el vector C…………………………………………
140
Ejercicios V. Dualidad…………………………………………………………..
149
CAPITULO 4. TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN.
4.1. Definición de un problema de transporte………………………………...
152
4.1.1. Algoritmo de transporte………………………………………….……
154
4.2. Método de voguel…………………………………………………………..
159
4.3. Método esquina noreste…………………………………………………...
160
ii
Índice.
4.4. Método de costo mínimo…………………………………………………..
161
4.5 Método húngaro……………………………………………………………..
165
Ejercicios VI. Modelos de transporte y asignación…………………………..
172
APENDICE A.Sistema de Ecuaciones Lineales….……………………….
177
iii
Introducción
INTRODUCCIÓN.
Las matemáticas hoy en día son asignaturas prioritarias en la vida de los
estudiantes de las carreras de las ingenierías, y más aún aquellas que son de
índole de aplicación en las diferentes áreas de la ingeniería, en mucho de los
casos parecieran ser motivo de deserción y simplemente dificultad muy grande
para culminar sus estudios o en algunos de los casos terminen recursándola, el
ramo de la investigación de operaciones dentro del área de Ingeniería Industrial
pareciera ser una de ellas.
El presente trabajo tiene como propósito fundamental ayudar a facilitar el
proceso enseñanza-aprendizaje de la materia de Investigación de Operaciones I
en el área de las ingenierías, que se imparte en el quinto semestre de la carrera
de ingeniería industrial del TESOEM, cubriendo temas básicos y apegándose al
programa de estudios vigente. Dicho material puede ser empleado como un libro
de texto para estudiantes y de apoyo para los docentes en esta área
Por el contenido de sus temas y sus aplicaciones pueden ser bastante
interesantes para los alumnos, contiene un gran número de ejemplos ilustrativos
(resueltos paso a paso), donde se muestran las técnicas matemáticas estudiadas,
teniendo siempre en cuenta que para su comprensión se necesitará tener ciertos
conocimientos en álgebra lineal y lógica matemática.
El desarrollo del presente material está diseñado en capítulos, mostrando
siempre al inicio el objetivo del mismo; el cual para su entendimiento se encuentra
de la siguiente manera:
En el capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones(I.O) y
formulación de modelos, muestra la evolución y el campo de aplicación de esta
iv
Introducción
área, manejando los conceptos básicos para la formulación de los modelos de
programación lineal y la aplicación de estos últimos a diferentes casos de la vida
diaria y del mundo industrial.
En el capítulo II: El método Simplex, en este capítulo no solo se describe el
método simplex como método para solución de los modelos de programación
lineal, se describen otros métodos como el doble fase, el método de la gran M y el
método gráfico, cada uno de ellos con las condiciones que se necesitan para
llevarlos a la práctica.
En el capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad, en este
apartado es de suma importancia ya que describe la relación dual que todo
modelo primal de programación lineal posee, al igual que las condiciones de cómo
calcular las condiciones de optimalidad en los modelos de programación lineal.
(cambio de vector en A,B,C)
En el capítulo IV: Transporte y asignación, en esta sección del presente
trabajo se describen las parte de un modelo de transporte empleado en el área de
logística de una organización sin importar su giro comercial o manufacturero,
donde lo importante el cumplir en tiempo y forma los pedidos de los diferentes
clientes ubicados en diferentes regiones pero el costo mínimo de operación, para
ello se detallan los métodos de solución como lo es el método de Voguel, costo
mínimo, húngaro ente otros.
Se contará con una serie de ejercicios para reforzar el conocimiento aprendido
al final de cada capítulo y sus soluciones se encuentran en el los mismos
ejercicios, esto queda en el entendido al final de cada capítulo. Además de cuenta
con un apéndice.
v
Introducción
El apéndice I, muestra sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de
solución como puede ser por el método de Gauss Jordan o determinantes (sus
propiedades), los cuales son base para el entendimiento de Investigación de
Operaciones I, en la solución de los métodos de los modelos de programación
lineal.
Esperamos que la obra sea de gran utilidad para profesores y alumnos y que
sea un fuerte material de apoyo en el curso, en el cual creemos que favorecerá de
manera importante en un mejor desarrollo de los temas para el profesor en su
enseñanza y para un buen aprendizaje del alumno.
vi
CAPÍTULO I:
METODOLOGÍA DE LA
INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES (I.O) Y
FORMULACIÓN DE
MODELOS.
Objetivo:
El estudiante conocerá y aplicará la
metodología de la I.O y la formulación
de modelos de Programación Lineal.
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
2
1.1. DEFINICIÓN, DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
1.1.1. Antecedentes históricos de la Investigación de Operaciones (I.O.)
Los inicios de lo que hoy se conoce como Investigación de Operaciones se
remota a los años 1759 cuando el economista Quesnay empieza a utilizar
modelos primitivos de programación matemática. Más tarde, otro economista de
nombre Walras, hace uso de técnicas similares; los modelos lineales de la
Investigación de Operaciones tienen como precursores a Jordan en 1873,
Minkowsky en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos
tiene su origen con Markoiv a fines del siglo pasado, pero no fue hasta la Segunda
Guerra Mundial, cuando empezó a tomar auge.
La Programación Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigación
industrial dando entrada las empresas a muchos especialistas; las técnicas Pert,
control de inventarios, y la simulación, empezaron a emplearse con éxito; en vez
de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y estadística tan útiles en
cualquier estudio moderno.
En la actualidad el uso de la IO es extenso en áreas de: Contabilidad,
compras, planeación financiera, mercadotecnia, planeación de producción,
transporte y muchas otras más, convirtiéndose en importante instrumento de
competencia para los presupuestos y contratos.
La siguiente tabla esboza parte de los estudios y técnicas
apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina.
en que se
ACONTECIMIENTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
AÑO
AUTOR
TÉCNICA DESARROLLADA
1759
Quesnay
Modelos primarios de programación
matemática
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
1873
Jordan
Modelos lineales
1874
Warlas
Modelos primarios de programación
matemática
1896
Minkousky
Modelos lineales
1897
Farkas
Modelos dinámicos probabilísticos
1903
Farkas
Modelos dinámicos probabilísticos
1905
Erlang
Líneas de espera
1920-1930
Konig- Egervary
Asignación
1937
Morgestern
Lógica estadística
1937
Von Neuman
Teoría de juegos
1939
Kantorovich
Planeación en producción y distribución
1941
Hitchcook
Transporte
1947
Dantzin George
Método Simplex
1958
Bellman Richard
Programación dinámica
1950-1956
Kun-Tucker
Programación no lineal, m. húngaro,
sistemas desiguales
1958
Gomory
Programación entera
1956-1962
Ford-Fulkerson
Redes de flujo
1957
Markowitz
Simulación y programación discreta
Raifa
Análisis de decisiones
1958
Arrow-Karlin
Inventarios
1963
Karmaskar
Narend
Algoritmo de punto interior
3
Tabla1.Fuente: Elaboración Propia.
Actualmente esta se encuentra todavía en una edad incipiente donde hay
mucho por hacer en el desarrollo de este campo fértil.
Ahora que se ha visto una breve reseña de la Investigación de Operaciones
y características esenciales, es importante definirla, para ello se citan los
siguientes autores.
4
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
1.1.2 Definición
Thierauf la define como “un método científico para dar a los departamentos
ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones con las operaciones que
estén bajo su control.” (Thierauf, 2002:22)
No obstante, Winstone lo describe “como un enfoque científico en la toma de
decisiones que busca el mejor diseño y operar un sistema; por lo regular en
condiciones que requieren la asignación de recursos escasos.” (Winstone,
2008:01)
Finalmente Prawda lo conceptualiza como “una herramienta de aplicación en
grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el
control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que
produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.”
(Prawda, 2000:20)
Con base a las definiciones anteriores se puede decir que la Investigación de
Operaciones es la aplicación de los métodos científicos a problemas complejos
que surgen en la dirección, administración y optimización de los recursos de una
empresa con el fin de hacer buen uso de ellos.
1.2 FASES DE ESTUDIO DE LA
OPERACIONES.
INVESTIGACIÓN
DE
Su estudio consiste en desarrollar modelos científicos, incorporando factores
como el riesgo y la incertidumbre para predecir y controlar los resultados de
cursos de acción alternativos; como lo muestra la siguiente figura:
5
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
CICLO OPERATIVO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
VARIABLES
RELEVANTES
SISTEMA
ASUMIDO
RELACIONES
RELEVANTES
MODELO
CUANTITATIVO
SISTEMA REAL
MÉTODO DE
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN AL
PROBLEMA DEL
SISTEMA REAL
DESICIONES
Figura 1. Fuente: Arreola, 2007
SOLUCIÓN DEL
MODELO
JUICIO Y
EXPERIENCIA
DEL TOMADOR
DE DECISIONES
INTERPRETACIÓN
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
1.2.1 Proceso de Investigación de Operaciones.
DESCRIPCIÓN DE LAS FASES PARA EL DESARROLLO DE I.O.
5.- Interpretar
resultados y dar
soluciones.
4.-Requiere que se
determine si dicho modelo
puede predecir con certeza
el comportamiento del
sistema, con el tiempo se
podra ajustar el modelo.
3.-Una vez que se tiene el modelo, se
procede a derivar una solución
matemática empleando las diversas
técnicas y métodos matemáticos para
resolver problemas y ecuaciones.
2.-Debe decidir el modelo a utilizar para representar el
sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las
variables de decisión con los parámetros y restricciones
del sistema.Es recomendable determinar si el modelo
es probabilístico o determinístico.
1.- En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los
objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar las
variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las
restricciones del sistema.
Figura 2.Fuente: Elaboración Propia.
El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases:
1.- Formulación y definición del problema.
2.- Construcción del modelo.
3.- Solución del modelo.
4.- Validación del modelo.
5.- Implementación de resultados.
6
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
7
1.3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES.
La Investigación de Operaciones es un campo tan amplio que su versatilidad, la
hace no solo una herramienta propia de la Ingeniería Industrial; es decir, puede
ser empleada en otros campos de la ciencia, describiéndose a continuación
algunas rúbricas de su aplicación.
 Personal.
La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal,
clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la
producción.
 Mercado y distribución.
El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la
demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros
distribuidores.
 Compras y materiales.
Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución
de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.
 Manufactura.
La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura,
ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de
calidad.
 Finanzas y contabilidad.
Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo,
inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y
reclamaciones.
 Planeación.
Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con
múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para
ejecutarse.
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
8
1.4. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS LINEALES.
1.4.1. Tipos de modelo.
La Investigación de Operaciones ha desarrollado modelos específicos para
solucionar problemas generales clasificados como de inventario, líneas de espera,
reemplazo, mantenimiento, asignación de recursos,
a) MODELOS DE INVENTARIO: Comprenden aquellos problemas
relacionados con el almacenamiento de un recurso en espera de satisfacer
una demanda futura. El problema de inventario consiste básicamente en
determinar cuánto y cuándo pedir.
b) MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA: Están relacionados con aquellos
problemas en donde un grupo de servidores atienden a un conjunto de
clientes.
c) MODELOS DE REEMPLAZO: El reemplazo de un activo depende de su
naturaleza. Se puede tratar de un equipo que se deteriora a través del
tiempo o bien de un equipo que mantiene un nivel más o menos constante y
cuando falla, lo hace total e impredeciblemente Por esta razón, los modelos
se clasifican de acuerdo con las dos categorías previamente citadas. Los
métodos de análisis para formular políticas óptimas de reemplazo. En la
primera de ellas se trata de calcular un determinado periodo de tiempo
óptimo de uso del activo después del cual debe reemplazarse. En la
segunda categoría, se trata también de definir un lapso de tiempo durante
el cual se minimice el costo total se reemplazo de los activos individuales
dentro de este mismo intervalo de tiempo y el de reemplazar todos los
activos al final del mismo.
d) MODELOS DE MATENIMIENTO: Este involucra tanto el enfoque de
inventario como el de reemplazo. Se considera en cierto grado un modelo
de inventario porque tanto las refacciones como los aditamentos en general
están en espera de ser utilizados. Es también modelo de reemplazo porque
el mantenimiento involucra el cambio de partes una vez que fallan.
e) MODELOS DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS: Este surge cuando se
desarrollan actividades alternativas e interdependientes que compitan por
recursos limitados en un periodo determinado, este consiste en elaborar un
programa de producción o una mezcla de producción que maximice no la
contribución individual de los productos, sino la utilidad total.
9
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
f)
MODELOS DE COMPETENCIA: Este tipo de modelo se utiliza para
analizar aquellas situaciones donde dos o más oponentes racionales tratan
de seleccionar estrategias que optimicen un cierto objetivo. (Amza, 2007)
La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los
recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas
deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos).
La característica distintiva de los modelos es que las funciones que
representan el objetivo y las restricciones son lineales. (No se permite
multiplicación de variables ni variables elevadas a potencias). Algunas de las
siguientes restricciones no se pueden emplear en un modelo de programación
lineal.
Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de
asignación de recursos a actividades. En datos necesarios para un modelo de
programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular,
este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:
Max o Min z=
C1 X1
+
C2X2
+……+
Cn Xn
s.a
Función objetivo
a11X1
+
a12X2
a21X1
+
a22X2
.
.
.
.
.
.
am1X1
+
am2X2
Xn0, para i= 1,2,…..n
a1nXn
a2nXn
.
.
.
amnXn
≤
≤
≤
b1
b2
.
.
.
bm
Maximizar o Minimizar
s.a ( restricciones, recursos)
Variables
+……+
+……+
+……+
+……+
+……+
+……+
Variables a definir
Objeto de estudio (definición)
a) VARIABLES DE DECISIÓN: Con estas se hace referencia al conjunto de
variables cuya magnitud se desea determinar resolviendo el modelo de
programación lineal.
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
10
b) RESTRCCIONES: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que
limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la
solución.
c) FUNCIÓN OBJETIVO: Es la función matemática que relaciona las variables
de decisión.
d) LINEALIDAD: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la
función objetivo como en las restricciones deben ser lineales.
e) DESIGUALDADES: Las desigualdades utilizadas para representar las
restricciones deben ser cerradas o flexibles; es decir, menor – igual(≤) o
mayor – igual(≤). No se permiten desigualdades de los tipos menorestrictamente o mayor-estrictamente, o abiertas.
f) CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD: En la programación lineal las
variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos, no se
permiten valores negativos.
1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal.
a) Desigualdad del tipo ≤ convertir a una igualdad.
 La desigualdad tipo ≤ puede convertirse a una función, dado que cuando se
tiene una desigualdad de este tipo, si se le suma al de lado izquierdo una
nueva variable no negativa, llamada variable faltante dado que solamente
tomara valores positivos, cuando el lado izquierdo sea menor al lado
derecho. Ejemplo:
Transformar las desigualdades del tipo ≤ a una ecuación.
7x1+8x2-9x3≤6
Puede reemplazarse por:
7X1+8X2-9X3+X4≤6
x4≥0
7X1+8X2-9X3+S4=0
S4≥0
x4,s4=variables de holgura=variable faltante.
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
11
b) Desigualdad del tipo ≥ convertir a una igualdad.
 La desigualdad tipo≥ procediendo d e la misma forma que la anterior se
puede convertir en una ecuación, dado que si se le resta del lado izquierdo
una nueva variable no negativa, llamada variable sobrante; tal nombre
obedece a que dicha variable tomara un valor positivo, cuando el lado
izquierdo sea mayor que el derecho. Ejemplo:
Transformar las desigualdades del tipo ≥ a una ecuación.
-9X1+4X2-3X3≥12
Puede reordenarse como:
-9X1+4X2-3X3-X4≥12
X4≥0
-9X1+4X2-3X3-S4=0
S4≥0
x4,s4=variables de holgura=variable sobrante.
A la Variable faltante y sobrante se les llama Variables de holgura. En
programación lineal se emplean 2 tipos de formatos
a) Formato Canónico:
Un modelo de programación lineal está en formato canónico; si todas las
variables son no negativas y las restricciones son del tipo
≤ para un objetivo de
maximización o si todas las restricciones son del ≥tipo
para un objetivo de
minimización.
1.- Formato Canónico.
Min
z0
=
2x1
+
3x2
+
8x3
2x1 + 2x2 - 7x3 ≤
10
7x1 + 2x2 + 5x3 =
9
8x1 + 9x2 + 5x3 ≤
1
x1
, x2 ≥0
Minimizar todos los signos de la desigualdad, estos deben ser ≥0
s.a
s.a [ 2x1+2x2-7x3≤10]-1
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
12
Esto equivale a
-2x1-2x2+7x3≥-10
----------------------------------------------------------------------------Esto equivale a
7x1+2x2+5x3≤9
7x1+2x2+5x3≥9
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I8x1+9x2+5x3I≤1
Esto equivale a
8x1+9x2+5x3≤1
8x1+9x2+5x3≥-1
---------------------------------------------------------------------------------[8x1+9x2+5x3≤1]-1
Esto equivale a
-8x1-9x2-5x3≥-1
---------------------------------------------------------------------------------
13
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
b) Formato Estándar:
Un modelo de Programación Lineal esta en formato estándar si todas las
variables son no negativas y todas las restricciones son igualdades, tanto en
Maximización como en Minimización.
Min
z0
=
s.a
2x1
+
2x1
7x1
3x1
18x1
x1
+
+
+
+
,
3x2
+
8x3
x2
- 7x3
2x2 + 5x3
3x2 +
x3
9x2 + 5x3
x2 ≥0
x3 irrestricta.
≤
=
≥
≤
10
9
3
1
2.- Formato estándar.
Z0=2x1+3x2+8x3-S1-S2-S3
s.a
2x1
7x1
3x1
18x1
+
+
+
+
x2
2x2
3x2
9x2
+
+
+
7x3 - S1
5x3
x3
S2
5x3
x1,x2,x3,S1,S2,S3≥0
-
S3
=
=
=
=
10
9
3
1
Ejercicio: Realizar el planteamiento correspondiente al problema de PL que se
muestra a continuación.
Max
Zo=7x1+8x2-9x3+10x4
s.a
x1
2x1
+
+
-
a) Realizar formato estándar
b) Realizar formato canónico
x2
x2
x2
+
2x3
+
5x4
5x3
+ 8x4
Ix3
+ x4I
x1,x2,x3,x4≥0
=
≥
≤
≤
9
7
4
7
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
Max
Zo=7x1+8x2-9x3+10x4-0s1+0s2+0s3+0s4
s.a
x1 + x2 - 2x3
2x1 + x2
- x2 + 5x3
x3
x3
+ 5x4
+ 8x4
+ x4
+ x4
S1
+ S2
+ S3
- S4
x1, x2, x3, x4,S1,S2, S3, S4≥0
=
≥
≤
≤
≤
9
7
4
7
-7
b) Formato Canónico.
Zo=7x1+8x2-9x3+10x4
Max
x1+x2-2x3+5x4=9
x1+x2-2x3+5x4≤9
x1+x2-2x3+5x4≥9
[x1+x2-2x3+5x4≥9]-1
Esto equivale a
-x1-x2+2x3-5x4≤-9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------[2x1+x2≥7]-1
Esto equivale a
-2x1-x2≤-7
-x2+5x3+8x4=4
-x2+5x3+8x4≤4
-x2+5x3+8x4≥4
--------------------------------------------------------------------------------
14
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
Ix3+x4I≤7
Esto equivale a
x3+x4≤7
x3+x4≥-7
--------------------------------------------------------------------------------[x3+x4≥-7]
Esto equivale a
-x3-x4≤7
FORMATO CANÓNICO
Max
Zo=7x1+8x2-9x3+10x4
s.a
x1
-x1
-2x1
+
-
x2
x2
x2
x2
+
+
2x3
2x3
+
-
5x4
5x4
5x3
+ 8x4
x3
+
x4
-x3
x4
x1,x2,x3,x4≥0
≤
≤
≤
≤
≤
≤
9
-9
-7
4
7
7
15
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
16
1.5. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS MÁS COMUNES.
1.5.1. Modelación y Formulación de Problemas
1) La empresa ANCE S.A de C.V.; produce una línea de artículos de Peltre
para uso casero; la cual consta de 4 productos. El sistema de manufactura
se divide en 5 etapas: Cortado, troquelado, esmaltado, acabado y
empacado. A continuación se presenta la información relevante, tanto del
sistema productivo como del producto.
Información sobre el sistema productivo (Índice de producción Unidades/hrs)
Departamento
Corte
Troquelado
Esmaltado
Acabado
Empacado
Producto
1
25
14
17
20
50
Producto
2
6
8
9
4
13
Producto
3
20
20
33
50
Producto
4
10
10
8
8
20
Capacidad
(horas/mes)
400
380
490
450
400
Información sobre el producto
Precio de vta. Costo de vta.
Demanda
Mensual(unidades)
($/unidad)
($/unidad)
mínima
Máxima
1
100
50
500
5000
2
300
200
750
6000
3
160
100
650
8000
4
250
150
0
3500
Además, se debe que en el siguiente mes solo se dispondrán de 1200m2 de
lámina que consumen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0.50m2 por
unidad y el producto 2 requiere 0.80m2.
Producto
Formular un modelo de programación lineal.
Variables de decisión.
x1= Unidades del producto 1 a fabricar el próximo mes.
x2= Unidades del producto 2 a fabricar el próximo mes.
x3= Unidades del producto 3 a fabricar el próximo mes.
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
17
x4= Unidades del producto 4 a fabricar el próximo mes.
Max.
Zo= (100-50)x1+(300-200)x2+(160-100)x3+(250-150)x4
Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4
Restricción de capacidad
1/25 X1
+
1/6 X2
+
1/20 X3
+
1/10 X4
≤
400
CORTADO
1/14 X1
+
1/8 X2
+
1/20 X3
+
1/10 X4
≤
380
TROQUELADO
1/17 X1
+
1/9 X2
+
1/33 X3
+
1/8 X4
≤
490
ESMALTADO
1/20 X1
+
1/4 X2
1/8 X4
≤
450
ACABADO
1/50 X1
+
1/13 X2
1/20 X4
≤
400
EMPACADO
+
1/50 X3
Demanda
500≤X1≤5000
750≤X2≤6000
650≤X3≤8000
0≤X4≤3500
Entrada de materia prima
0.50X1+0.80 X2≤1200
Xj≥0 j= 1,2,3,4
X1,X2,X3,X4≥0
+
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
Max
Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4
s.a
1/25 X1
+
1/6 X2
+
1/20 X3
+
1/10 X4
≤
400
1/14 X1
+
1/8 X2
+
1/20 X3
+
1/10 X4
≤
380
1/17 X1
+
1/9 X2
+
1/33 X3
+
1/8 X4
≤
490
1/20 X1
+
1/4 X2
+
+
1/8 X4
≤
450
1/50 X1
+
1/13 X2
+
+
1/20 X4
≤
400
X1
≤
380
X1
≥
490
X2
≤
450
X2
≥
400
X3
≤
8000
X3
≥
650
X4
≤
3500
X4
≥
0
≤
1200
0.50 X1
+
Xj≥0 j= 1,2,3,4
X1,X2,X3,X4≥0
0.80X2
1/50 X3
18
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
19
2) Un ganadero decide elaborar una mezcla para alimentos de animales a
base de alfalfa, sorgo, avena, maíz, soya y harina. De cada 100Kg de
mezcla; se desea que al menos 30Kg de ellos sean proteínas, no más de 40
sean de calcio, y como máximo 35Kg de fosforo.
A continuación se presenta la información del contenido de la mezcla y los precios
de los ingredientes a combinar.
Ingredientes
Proteína (%)
Calcio (%)
Fosforo (%)
Precio (Kg)
Alfalfa
25
50
25
7
Sorgo
40
20
40
9
Avena
10
30
60
8
Maíz
65
15
20
20
Soya
40
20
40
5
Harina
30
20
50
15
Además, no se puede usar más de 10Kg harina, ni más de 12Kg de soya por
c/100kg de mezcla.
Variables de decisión
x1= Kg de alfalfa a utilizar en los 100Kg de mezcla.
x2= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla.
x3= Kg de avena a utilizar en los 100Kg de mezcla.
x4= Kg de maíz a utilizar en los 100Kg de mezcla.
x5= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla.
x5= Kg de harina a utilizar en los 100Kg de mezcla.
20
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
Min
Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6
Var. Nutrición
0.25X1
+
0.40X2
+
0.10X3
+
0.65X4
+
0.40X5
+
0.30X6
≥
30
Proteína
0.50X1
+
0.20X2
+
0.30X3
+
0.15X4
+
0.20X5
+
0.20X6
≥
40
Calcio
0.25X1
+
0.40X2
+
0.60X3
+
0.20X4
+
0.40X5
+
0.50X6
≤
35
Fosforo
X6
≤
≤
10
12
Harina
soya
X6
=
100
Kg
Disponibilidad
X5
Capacidad total (Mezcla total)
X1
+
X2
+
Xj≥0
X3
+
X4
+
X5
+
j=1,2,3,4,5,6
Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6
Min
s.a
0.25X1
+
0.40X2
+
0.10X3
+
0.65X4
+
0.40X5
+
0.30X6
≥
30
0.50X1
+
0.20X2
+
0.30X3
+
0.15X4
+
0.20X5
+
0.20X6
≥
40
0.25X1
+
0.40X2
+
0.60X3
+
0.20X4
+
0.40X5
+
0.50X6
X6
X1
+
X2
X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0
+
X3
+
X4
+
X5
X5
+
X6
≤
≤
≤
=
35
10
12
100
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
21
3) La refinería azteca produce 2 tipos de gasolina sin plomo regular y extra, los
cuales se venden en 8 y 15 pesos por barril respectivamente. Ambos tipos
se preparan del inventario de azteca del petróleo de azteca nacional
refinado y del petróleo importado refinado y debe de cumplir con las
siguientes especificaciones.
Regular
Extra
Presión
máxima de
vapor
23
23
Octanaje
mínimo
88
93
Demanda
Entrega
máxima
mínima
barriles/semana barriles/semana
100000
50000
20000
5000
Las características del inventario refinado son las siguientes
Regular
Extra
Presión
máxima de
vapor
25
15
Octanaje
mínimo
87
98
Demanda
Entrega
máxima
mínima
barriles/semana barriles/semana
40000
8
60000
15
Que cantidades de los 2 petróleos nacional e importado debe mezclar la azteca a
fin de acrecentar sus ganancias semanales.
x1= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla regular.
x2= Los barriles de petróleo importado con una mezcla regular.
x3= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla extra.
x4= Los barriles de petróleo importado con una mezcla extra.
Max
Z0=12(X1+X2)
Z0=12(X1+X2)+14(X3+X4)-8(X1+X3)-15(X2+X4)
Z0=12X1+12X2+14X3+14X4-8X1-8X3-15X2-15X4
Z0=4X1-3X2+6X3-X4
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
s.a
X1
+
X2
X1
+
X2
X1
+
X1
2X1
+
X3
+
X4
X3
X3
+
X4
X2
+
10X2
SX2
2X3
X4
6X3
-
SX4
2X3
+
8X4
X1,X2,X3,X4≥0
≤
≤
≥
≥
≤
≤
≤
≤
≤
≤
100000
20000
50000
5000
40000
60000
0
0
0
0
22
23
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
4) Una tienda de autoservicio funciona las 24 horas tiene los siguientes
requerimientos mínimos para los cajeros. El periodo uno sigue
inmediatamente después del periodo 6. Un cajero trabaja 8hrs consecutivas,
empezando al inicio de uno de los 6 periodos. Determine el número
requerido de empleados en cada uno de los periodos.
Periodo
1
2
3
4
5
6
Horas del día
3-7
7-11
11-15
15-19
19-23
23-3
(24 hrs)
Número
7
20
14
20
10
5
mínimo
x1= El número de personas asignadas o requeridas en el periodo 1.
x2= El número de personas asignadas en el periodo 2.
x3= El número de personas asignadas en el periodo 2.
x4= El número de personas asignadas en el periodo 2.
x5= El número de personas asignadas en el periodo 2.
x6= El número de personas asignadas en el periodo 2.
Min
Zo= x1+x2+x3+x4+x5+x6
s.a
X1
+
X1
+
X6
X2
X2
X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0
+
X3
X3
+
X4
X4
+
X5
X5
+
X6
≥
7
≥
20
≥
≥
≥
≥
14
20
10
5
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
24
5) La empresa ha destinado un presupuesto de $4,000,000 para la compaña
publicitaria del primer mes; además, el consejo de administración ha
sugerido al departamento de mercadotecnia los siguientes lineamientos.
1.- Deben utilizarse por los menos 20 comerciales de T.V.
2.- El mensaje debe llegar a por lo menos 2,500,000 familias potencialmente
compradoras.
3.- El mensaje debe publicarse en un periódico local por lo menos un domingo.
4.- No deben de gastarse más de 2,000,000 de pesos en .T.V.
¿Cuál debe ser la campaña publicitaria para este primer mes?
Plante un Modelo de PL; para resolver este problema.
Variables de decisión
x1= Número de comerciales T.V matutina durante el primer mes.
x2= Número de comerciales T.V nocturna durante el primer mes.
x3= Número de comerciales en periódico diario durante el primer mes.
x4= Número de comerciales en periódico dominical durante el primer mes.
x5= El Número de comerciales en noticiario de radio durante el primer mes.
Max
Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5
Presupuesto
100,000x1+150,000x2+60,000x3+120,000x4+20,000x5≤4,000,000
s.a
X1
X2
X3
X4
X5
X1
+
X2
≤
≤
≤
≤
≤
≥
20
10
25
4
30
20
Comerciales de TV
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
25
Cobertura de audiencia
10,000x1+50,000x2+30,000x3+70,000x4+50,000x5≥2,500,000
Periódico dominical
x4≥1
Gasto T.V
100,000x1+150,000x2≤2,000,000
Xj≥0
j= 1,2,3,4,5
X1,X2,X3,X4,X5≥0
Max
Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5
s.a
100,000X1
X1
+
150,000X2
+ 60,000X3
+
120,000X4
+
20,000X5
X2
X3
X4
X5
X1
10,000X1
100,000X1
+
+
X2
50,000X2
+
150,000X2
X1,X2,X3,X4,X5≥0
+ 30,000X3
+
70,000X4
X4
+
5,000X5
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≥
≥
≥
≤
4,000,000
20
10
25
4
30
2,500,000
1
2,000,000
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
26
6) La empresa olle S.A de C.V, productora de radio portátiles para
intercomunicación (solamente entre dos personas: transmisora y receptora);
va a promover su nuevo radio con un alcance de 40Km, el cual tiene
diversas funciones. El principal canal de distribución está enfocado a
mayoristas en el área de comunicación industrial, así mismo, la firma está
considerando dos alternativas de distribución: una cadena de autoservicio y
mayorista de equipos marítimos. Dichos canales de distribución alternativos
abren el mercado a personas interesadas en radio comunicación como
afición y como enlace entre botes de pesca y su estación de base.
Debido a la diferencia de costos de comercialización y de promoción, la
utilidad del producto varía con la alternativa de distribución seleccionada.
Además, el costo publicitario y el tiempo el vendedor por unidad son
distintos para cada canal de distribución. Dado que la compañía solo
produce bajo pedido; el número de unidades fabricadas y vendidas es el
mismo.
A continuación se resume la información preparada por olle S.A de C.V, con
respecto a la utilidad, costo publicitario y hr/hombre de vendedor por cada
unidad vendida. Lo anterior ha sido estimado con base en experiencias con
radios similares.
Canal de
distribución
Industrial
Tienda
Marítimo
Utilidad
unitaria($)
20,000
12,000
18,000
Costo publicitario
($/unidad)
1,800
3,000
1,000
Esfuerzo de ventas
(hr-hombre/unidad)
4
6
7
El director general de la empresa; ha establecido que en la estrategia de
ventas a seguir deben venderse por lo menos 100 unidades al canal tienda, 250 al
canal marítimo; en el siguiente mes; también el gasto publicitario no debe exceder
de $1,000,000. Si la capacidad de producción se estima en 1000 unidades y las
horas hombre de un vendedor disponibles en el próximo mes son 2,000. ¿Qué
estrategia de ventas debe adoptar la empresa? Es decir, la empresa debe decidir:
a) Cuantas unidades producir por c/canal de distribución.
b) Cuanto gasto publicitario se debe hacer en c/canal de distribución.
c) Cuanto esfuerzo de ventas debe dedicarse a c/canal de distribución.
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
27
X= Unidades de radios portátiles en sus diferentes mercados para producir el
siguiente mes.
x1= Unidades producidas para el mercado industrial.
x2= Unidades producidas para el mercado tiendas.
x3= Unidades producidas para el mercado marítimo.
Objetivo
Max
Zo= 20,000x1+12,000x2+18,000x3
s.a
Publicidad
3,000X2
+
1,000X3
≤
1,000,000
4X1
+
Capacidad productiva
6X2
+
7X3
≤
2000
X1
Mercado tienda
X2
+
X3
≤
1000
≥
100
≤
250
1,800X1
Esfuerzo de ventas
+
+
X2
Mercado marítimo
Xj≥0
X3
j= 1,2,3
X1,X2,X3≥0
Max
Zo= 20,000x1+12,000x2+18,000x3
s.a
1,800X1
+
12,000X2
+
18,000X3
≤
1,000,000
4X1
+
6X2
+
7X3
≤
2,000
X1
+
X2
X2
+
X3
≤
≥
≥
1,000
100
250
X1,X2,X3≥0
X3
28
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
7) Mi dieta requiere que todo los alimentos que ingiera pertenezcan a una de
los cuatro “grupos básicos de alimentos” (pastel de chocolate, helado de
crema, bebidas carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los
siguientes cuatro alimentos: barras de chocolate, helado de crema de
chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Cada barra de
chocolate cuesta $35.00, cada bola de helado de crema cuesta $40.oo,
cada botella de bebida de cola cuesta $7.50 y cada rebanada de pastel de
queso con piña cuesta $20.00. De acuerdo al nutriólogo, todos los días debo
ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar
y 8 onzas de grasas. Plantee un modelo de PL que pueda emplear para
cumplir mis necesidades nutricionales al costo mínimo.
El contenido nutricional por unidad de c/alimento se da en la siguiente tabla.
Tipo de alimento
Calorías
Barra de chocolate
400
Helado de crema con
200
chocolate(1 bola)
Bebida de
150
cola(1 botella)
Pastel de queso con
500
piña
Definición de la variable
Chocolate(onzas)
3
Azúcar(onzas)
2
Grasas(onzas)
2
2
2
4
0
4
1
0
4
5
X= Cantidad de calorías a consumir en los diferentes alimentos al día.
x1= Cantidad de barras de chocolate consumidas al día.
x2= Cantidad de helado de crema con chocolate consumida al día(1 bola)
x3= Botellas de bebida de cola consumidas al día.
x4= Rebanadas de pastel de queso con piña consumidas al día.
Min
Zo= 35x1+40x2+7.50x3+20x4
s.a
400X1
+
200X2
3X1
+
2X2
2X1
2X1
+
+
2X2
4X2
+
+
+
150X3
4X3
X3
+
+
+
500X4
4X4
5X4
≥
500
calorías
≥
6
chocolate
≥
≥
10
8
Azúcar
Grasas
29
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
X1,X2,X3,X4≥0
Min
Zo= 35x1+40x2+7.50x3+20x4
s.a
400X1
+
200X2
3X1
+
2X2
2X1
+
2X1
+
X1,X2,X3,X4≥0
2X2
4X2
+
+
+
150X3
4X3
X3
+
+
+
500X4
4X4
5X4
≥
500
≥
6
≥
≥
10
8
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
30
8) El taller de máquinas y herramientas Era S.A de C.V; se dedica a la
fabricación de dos refacciones para una empresa metalmecánica. Las
partes se producen en cuatro operaciones (departamentos). Las horas
maquina son suficientes aunque se tiene una fuerte limitación en mano de
obra calificada. La empresa piensa por tanto, que las horas-hombre
disponibles restringen su capacidad de producción. Las horas hombre
asumidas por cada parte en cada departamento son:
Departamento
Parte 1
Parte 2
(operación)
1
0.10
0.20
2
0.20
0.15
3
0.10
0.15
4
0.05
0.10
La empresa gana $100 y $129 por unidad de las partes 1 y 2
respectivamente. Luego de considerar la experiencia y habilidad de los
trabajadores actuales, se ha llegado al siguiente resultado:
Asignación posible
de mano de obra
Únicamente a departamento 1
Únicamente a departamento 2
Únicamente a departamento 3
Únicamente a departamento 4
A departamento 1 o departamento 2
A departamento 3 o departamento 4
Plantee un modelo de PL.
Hr/hombre
Disponibles/semana
480
400
500
200
350
370
Variables de decisión
Xi= Unidades a fabricar de las refacciones i por semana
ai=horas/hombre a asignar en el departamento j por semana
i= 1,2
j= 1,2,3,4
31
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
Max
Zo= 100x1+120x2
horas/hombre disponibles
0.10X1
+
0.20X2
≤
a1
0.20X1
+
0.15X2
≤
a2
0.10X1 + 0.15X2
≤
a3
0.05X1 + 0.10X2
≤
a4
Asignación de horas/hombre para cada departamento
a1
a3
+
+
a1
≤
480
+
350
=
830
a2
≤
400
+
350
=
750
a3
a4
≤
≤
500
200
+
+
370
370
=
=
870
570
≤
≤
a2
a4
480
500
+
+
400
200
+
+
350
370
=
=
1230
1070
Modelo matemático
Zo= 100x1+120x2
Max
s.a
0.10X1
0.20X1
0.10X1
0.05X1
+
+
+
+
0.20X2
0.15X2
0.15X2
0.10X2
-
a1
-
a2
-
a3
-
a4
a1
a2
a3
a4
a1
X1,X2,a1,a2,a3,a4≥0
+
a2
a3
+
a4
≤
≤
≤
≤
≤
≤
≥
≥
≥
≤
0
0
0
0
830
750
870
570
1230
1070
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
32
9) PCP S.A de C.V produce rollos de papel en un ancho estándar de 20 pies
c/u, los pedidos de los clientes en rollos de diversos anchos; se producen
recortando el tamaño estándar de 20 pies. Los requerimientos promedio de
los clientes están dados de la siguiente forma:
Rollos de 5 pies 150 unidades
Rollos de 7 pies 200 unidades
Rollos de 9 pues 300 unidades
20 ft
¿Qué combinación es la mejor para optimizar los rollos?
9 ft
c)
7 ft
b)
5 ft
A
33
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
Tipo de corte
5ft
I
4
II
1
III
IV
2
V
VI
2
Definición de la variable
7ft
2
1
1
9ft
2
2
1
-
Desperdicio(ton)
0
1
2
1
4
3
x1= No. de cortes del rollo tipo I.
x2= No. de cortes del rollo tipo II.
x3= No. de cortes del rollo tipo III.
x4= No de cortes del rollo tipo IV
x5= No. de cortes del rollo tipo V.
x6= No de cortes del rollo tipo VI.
Min
Zo= 0x1+x2+2x3+x4+4x5+3x6
s.a
4X1
+
X2
2X2
+
+
2x4
2x3
X1,X2,X3,X4,X5≥0
+
2x4
+
+
2x6
x5
x5
≥
≥
≥
150
200
300
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
34
EJERCICIOS I. FORMATO ESTANDAR Y CANÓNICO.
Instrucciones: Dados los siguientes modelos de programación lineal,
expresarlos en formato estándar y canónico (solamente considere variables de
holgura).
SOLUCIONES
1.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=2X1+2X2
s.a
MIN
3X1+2X2-S1
Z=2X1+2X2
2X1
+S2 =3
+S3=4
X2
s.a
3X1+2X2≥3
X1,X2,S1,S2,S3≥0
FORMATO CANÓNICO
≤3
2X1
X2≥4
X1,X2≥0
=3
MIN
Z=2X1+2X2
s.a
3X1+2X2≥3
-2X1
≥-3
X2≥4
X1,X2,≥0
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
2.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=3X1+8X2
s.a
MAX
8X1+2X2-S1
Z=3X1+8X2
s.a
≥3
X1+1/2X2≤3
X1,X2≥0
-S2 =3
X1+1/2X2
8X1+2X2≤4
-4X1
-4X1
=4
+S3=3
X1,X2,S1,S2,S3≥0
FORMATO CANÓNICO
MIN
Z=3X1+8X2
s.a
8X1+2X2≤4
-4X1
≤-3
X1+1/2X2≤3
X1,X2,≥0
35
36
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
3.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=X1+2X2+3X3
s.a
8X1+2X2-S1
MAX
2X2-3X3+S2
Z=X1+2X2+3X3
X1+
s.a
≥3
X1+2X2
2X2-3X3 ≤5
X1+
=4
1/4X3≥4
X1-2X2
X1,X2,X3≥0
=5
1/4X3
=5
-S3
X1-2X2
=5
X1,X2,S1,S2,S3≥0
FORMATO CANÓNICO
MIN
Z=X1+2X2+3X3
s.a
-X1-2X2
4X2-3X3
≤-3
≤-3
-X1-1/4X2
≤3
X1-2X2
≤5
-X1+2X2
≤-5
X1,X2,≥0
=4
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
4.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=8X1+2X2
s.a
2X1+X2-S1
=4
3X1+8X2 -S2 =-4
MAX
Z=8X1+2X2
s.a
2X1+X2≤4
I3X1+8X2I≤4
X1,X2≥0
3X1+8X2
+S3=4
X1,X2,S1,S2,S3≥0
FORMATO CANÓNICO
MIN
Z=8X1+2X2
s.a
-2X1-X2
3X1+8X2
≥4
≥-4
-3X1-8X2
≥4
X1,X2,
≥0
37
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
5.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=4X1+8X2
s.a
X1+4X2-S1
=4
X1+8X2 -S2
=3
X2
+S3 =4
MIN
Z=4X1+8X2
s.a
X1,X2,S1,S2,S3≥0
FORMATO CANÓNICO
X1+4X2≤4
X1+8X2≥3
X2≤4
X1,X2≥0
MIN
Z=4X1+8X2
s.a
-X1-4X2
≥-4
X1+8X2
≥-3
8X2
X1,X2,
≥-4
≥0
38
39
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
6.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=8X1+2X2+X3
s.a
-3X3+S1
X1
X1
=4
-3X3 +S2
=5
X1+2X2
MAX
X1,X2,S1,S2,S3≥0
Z=8X1+2X2+X3
FORMATO CANÓNICO
s.a
IX1
-3X3 I ≥4
X1+2X2
X1,X2,X3≥0
+S3
≤8
MIN
Z=8X1+2X2+X3
s.a
X1
-3X3
-X1
+3X3
X1+2X2
X1,X2,≥0
≤-3
≤-4
≤8
=4
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
7.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
MIN
Z=4X1+2X2
s.a
Z=4X1+2X2
s.a
X1+2X2≤4
-3X1+X2≥3
X1+2X2
-3X1+X2 -S1
=3
2X2
+S2 =3
2X2≤3
X1,X2≥0
=4
X1,X2,S1,S2≥0
FORMATO CANONICO
MIN
Z=4X1+2X2
s.a
-X1-2X2
≥-4
X1+2X2
≥4
-3X1+X2
-2X2
X1,X2,
≥3
≥-3
≥0
40
41
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
8.-
FORMATO ESTANDAR
MAX
MIN
Z=2X1+8X2+4X3
Z=2X1+8X2+4X3
s.a
s.a
X1
-3X3
X1
-3X3+S1
≥4
2X2
2X1+
≤0
4X3
X1,X2,X3≥0
≤5
2X2
2X1+
=0
-S2
4X3
=5
-S3
X1,X2,S1,S2,S3≥0
FORMATO CANÓNICO
MIN
Z=2X1+8X2+4X3
s.a
X1
-3X3
2X2
2X1
+4X3
X1,X2,≥0
≤-3
≤-3
≤5
=5
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
9.-
FORMATO ESTANDAR
MIN
Z=X1-2X2
s.a
X1+4X2-S1
=4
-4X1-2X2 +S2
=9
3X2
MIN
Z=X1-2X2
s.a
X1+4X2≥4
-4X1-2X2≤9
3X2≤5
X1,X2≥0
+S3 =5
X1,X2,S1,S2≥0
FORMATO CANÓNICO
MIN
Z=X1-2X2
s.a
X1+4X2
≥4
4X1+2X2
≥-9
-3X2
≥-5
X1,X2,
≥0
42
43
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
EJERCICIOS II. MODELACIÓN.
Instrucciones: Plantee el Modelo de Programación Lineal para cada uno de los
siguientes problemas. La solución de cada uno de los problemas se encuentra al
final de esta sección.
PROBLEMAS
1.- Un proveedor debe preparar 5 bebidas de fruta en existencia, 500 gal que
contengan por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de
jugo de arándano. Si los datos del inventario son lo que se presentan a
continuación ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor
a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo?
Bebida A
Bebida B
Bebida C
Bebida D
Bebida E
Jugo de
naranja(%)
Jugo de
toronja (%)
40
5
100
0
0
40
10
0
100
0
Jugo de
Arándaro
(%)
0
20
0
0
0
Existencia
(gal)
Costo
($/gal)
200
400
100
50
800
1.50
0.75
2.00
1.75
0.-25
2.- La regiomontana es una fábrica que produce 3 diferentes sombreros: Su
capacidad de producción mensual es como sigue.
Modelo
Capacidad de producción
(sombreros/mes)
Norteño
650
Lona
900
Articela
700
La producción mensual se reparte en tres diferentes distribuidoras que se localizan
dentro del área metropolitana de la ciudad. Los costos unitarios de transporte para
cada modelo se muestra a continuación
Modelo
Norteño
Lona
Articela
Zona Norte
$3.00
2.50
2.00
Zona Rosa
$5.00
4.80
3.40
Zona Sur
$7.00
5.80
5.20
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
44
Los requerimientos mensuales de cada distribuidor son como sigue:
Distribuidora
Zona Norte
Zona Rosa
Zona Sur
Demanda (sombreros/mes)
750
900
600
3.- Un Hospital está realizando estudios sobre Ingeniería Industrial para optimizar
con los recursos con que cuenta. Una de las principales preocupaciones del
Director del Hospital es el área de personal, ya que no está del todo convencido
con el número de enfermeras que laboran en la sección de emergencias. Por tal
motivo, ordeno un estudió estadístico, el cual arrojo los siguientes datos
Hora
Número mínimo requerido de
enfermeras
0a4
40
4a8
80
8 a 12
100
12 a 16
70
16 a 20
120
20 a 24
50
De acuerdo con la Ley Federal del Trabajo cada enfermera debe trabajar 8 hrs
consecutivas por día. Formule un modelo de programación lineal que cumpla con
los requerimientos citados.
4.- En dos máquinas se procesan cuatro productos de forma secuencial. La sig.
Tabla muestra los datos pertinentes de problema.
Máquina
Costo por Producto Producto
hr ($)
I
II
1
10
2
3
2
5
3
2
Precio Unitario de
75
70
Venta
Formule un Modelo de programación lineal
Producto
III
4
1
55
Producto
IV
2
2
45
Capacidad
(hr)
500
380
45
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
5.- Una compañía Manufacturera local produce cuatro diferentes productos
metálicos que deben maquinarse pulirse y ensamblarse. La necesidades
específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:
Maquinado (hr)
3
2
2
4
Producto I
Producto II
Producto III
Producto IV
Pulido (hr)
1
1
2
3
Ensamble (hr)
2
1
2
1
La compañía dispone semanalmente de 480 hr para el maquinado, 400 horas para
el pulido y 400 hr para el ensamble. Las ganancias unitarias son: $6,$4,$6 y $8
respectivamente. La compañía tiene un contacto con el distribuidor en el que se
compromete a entregar 50 unidades semanalmente del producto I y 100 unidades
de cualquier combinación de los productos I, II y III, según la producción, pero solo
como máximo 25 unidades del producto IV. ¿Cuántas Unidades de cada producto
debe fabricar semanalmente la empresa, a fin de cumplir las condiciones de
contrato e incrementar la ganancia total?
6.- Una comunidad ha reunido $250,000 para desarrollar nuevas áreas para la
eliminación de desechos. Hay siete sitios disponibles, cuyos costos de desarrollo y
capacidades se muestras a continuación. ¿Qué sitios deberá desarrollar la
comunidad?
Sitio
Capacidad,
ton/semana
Costo
$1000
A
20
B
17
C
15
D
15
E
10
F
8
G
5
145
92
70
70
84
14
47
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
46
7.- Banco azteca va a realizar sus prácticas de préstamo para el próximo año,
para ello dispone de $20, 000,000. Los préstamos que esta obligado a solicitar son
los siguiente, además de la probabilidad de no pago
Préstamo
Tasa de Interés
Probabilidad Inc
Personas
14%
0.1
Automóvil
13%
0.07
Casa Habitación
12%
0.03
Agrícola
12.5%
0.05
Comercial
10%
0.02
El banco debe asignar por lo menos ek 40% de los fondos totalkes a préstamos
agrícolas y comerciales. Los préstamos para casa deben ser iguales o cuando
menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y casa habitación.
Además por política del banco la relación global de pagos irrecuperables no debe
ser mayor al 0.04%
Nota: Un pago que no se cubre no genera interés. Formule un modelo de
programación lineal que le permita a la empresa incrementar sus utilidades.
Soluciones de los Modelos de programación Lineal
1.
Definir Variables.
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝑨𝑨 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋.
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑩𝑩 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋.
𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑪𝑪 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋.
𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑫𝑫 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋.
𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃𝒃 𝑬𝑬 𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋.
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒛𝒛 = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒔𝒔. 𝒂𝒂
𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎
− 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎
𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏
−𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
𝒙𝒙𝟏𝟏 +
𝒙𝒙𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐 +
𝒙𝒙 𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟑𝟑 +
𝒙𝒙𝟒𝟒 +
𝒙𝒙 𝟑𝟑
𝒙𝒙 𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
≤ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
≤ 𝟓𝟓𝟓𝟓
𝒙𝒙 𝟓𝟓 ≤ 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 , 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎
2
Definir Variables.
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟏𝟏.
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟐𝟐.
𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟑𝟑.
𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟒𝟒.
𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟓𝟓.
𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟔𝟔.
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒛𝒛 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔
𝒔𝒔. 𝒂𝒂
𝒙𝒙𝟏𝟏 +
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟔𝟔
𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔
𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 , 𝒙𝒙𝟓𝟓 , 𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥
≥ 𝟒𝟒𝟒𝟒
≥ 𝟖𝟖𝟖𝟖
≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
≥ 𝟕𝟕𝟕𝟕
≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
≥ 𝟓𝟓𝟓𝟓
47
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
3
Definir Variables
𝒙𝒙=𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒊𝒊 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒋𝒋
𝒊𝒊 = 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑ñ𝒐𝒐(𝟏𝟏), 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳(𝟏𝟏), 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨(𝟏𝟏)
𝒋𝒋 = 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛𝒛 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵(𝟏𝟏), 𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹(𝟐𝟐) 𝒚𝒚 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺(𝟑𝟑)
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒛𝒛 = 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟐𝟐. 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟒𝟒. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟓𝟓. 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟑𝟑. 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝟓𝟓. 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒔𝒔. 𝒂𝒂
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 ≤ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≤ 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
4
Definir Variables.
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐.
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐.
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐.
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸𝑸 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐.
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒛𝒛 = 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓
𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒, 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎
≤ 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓(𝟏𝟏𝟏𝟏)
≤ 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑(𝟓𝟓)
48
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
5
Definir Variables.
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺.
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺.
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺.
𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺.
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒁𝒁 = 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟒𝟒
s.a
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟏𝟏
≥ 𝟓𝟓𝟓𝟓
𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑
≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≥ 𝟎𝟎
6 Definir Variables.
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑨𝑨 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑩𝑩 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑫𝑫 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑬𝑬 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑭𝑭 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒙𝒙𝟕𝟕=𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑮𝑮 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟔𝟔 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟕𝟕
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟖𝟖𝟖𝟖𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟒𝟒𝒙𝒙𝟕𝟕
𝒙𝒙𝒊𝒊 ≥ 𝟎𝟎
𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐, 𝟑𝟑, 𝟒𝟒, 𝟓𝟓, 𝟔𝟔, 𝟕𝟕
≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
49
Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos
7. Definir Variables.
𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑.
𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂ó𝒗𝒗𝒊𝒊𝒊𝒊.
𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉ó𝒏𝒏.
𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂í𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄.
𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒑𝒑é𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒂𝒂𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄.
𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴
𝒛𝒛 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟒𝟒
+ 𝟎𝟎. 𝟏𝟏(𝟎𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟗)𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒛𝒛 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒔𝒔. 𝒂𝒂
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓
≤ 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
≥ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓(𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 )
≥ 𝟖𝟖, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓
𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒙𝒙𝟑𝟑 , 𝒙𝒙𝟒𝟒 , 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎
≤ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎
50
CAPÍTULO II: EL
METODO SIMPLEX.
Objetivo:
El alumno analizará fundamentos de la
Programación Lineal y el procedimiento
gráfico de solución, al igual que la forma
detallada del procedimiento del método
simplex.
Capítulo II: El método simplex.
52
2.1. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX.
El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la
solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando
más dicha solución.
El método gráfico muestra que la solución óptima de Programación Lineal
siempre está asociada con un punto de esquina (también conocido
matemáticamente como punto extremo) del espacio de la solución. Este
resultado es la idea clave para el desarrollo del método simplex algebraico general
para resolver cualquier modelo de Programación Lineal.
La transición del punto extremo geométrico (o esquina) de la solución al
método simplex radica en identificar algebraicamente los puntos extremos. Para
lograr esta meta, primero convertimos el modelo a la forma estándar de PL,
utilizando variables de holgura o de superávit, para convertir las restricciones de
desigualdad en ecuaciones.
El interés en la forma estándar de PL, se basa en las soluciones básicas de
las ecuaciones lineales simultáneas. Esta solución básica (algebraica) define
completamente todos los puntos extremos (geométricos) del espacio de la
solución. El algoritmo simplex está diseñado para localizar de manera eficiente la
óptima entre estas soluciones básicas.
Es la técnica para solucionar problemas de programación lineal.
Se fundamenta en 2 criterios:
a) Criterio de optimalidad: Este principio garantiza que nunca encontraremos
soluciones inferiores a la del punto ya considerado.
b) Criterio de factibilidad: Este criterio nos asegura que si comenzamos con
una solución básica factible inicial, siempre encontraremos soluciones
básicas factibles.
EJEMPLO 1:
MAX………………………….Z=4X1+3X2
s.a
2X1
+
3X2
≤
6
-3X1
+
2X2
≤
3
2X1
+
2X2
X2
≤
≤
5
4
X1
,
X2
≥
0
Capítulo II: El método simplex.
53
Paso 1: Obtener su forma estándar añadiendo las variables de holgura respectivas
en función del signo de la desigualdad.
Max
Zo=4x1+3x2+0s1+0s2+0s3+0s4
s.a
+ 3x2 + S1
+ 2x2
2x2
2x1 + x2
x1,x2,s1,s2,s3,s4≥0
2x1
-3x1
+
=
=
=
=
S2
+
S3
+
S4
6
3
5
4
Paso 2:
n= Incógnitas ó No. de variables
m=No. de Restricciones
n= 6
m= 4
n-m= 6-4= 2
No. de variables no básicas.
Nota: Se llaman no básicas a aquellas que su valor es cero.
Paso 3: Preguntar ¿Se puede resolver con la solución más sencilla? es decir, se
tienen 4 holguras positivas, para conformar una matriz identidad.
Paso 4: Igualar a cero la función objetivo.
Zo=-4x1-3x2-0s1-0s2-0s3-0s4=0
Paso 5: Armar el tablero inicial
ZONA ∞
MATRÍZ
IDENTIDAD
VARIABLE DE
ENTRADA
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
Sol
Z
1
-4
-3
0
0
0
0
0
S1
0
2
3
1
0
0
0
6
6/2 = 3
S2
0
-3
2
0
1
0
0
3
3/-3 = -1
S3
0
0
2
0
0
1
0
5
5/0 = ∞
S4
0
2
1
0
0
0
1
4
4/2 = 2
VARIABLE
DE SALIDA
A la integración de toda la fila de la variable de salida con la columna de variable
de entrada se multiplica por su inverso, para obtener lo que se llama eje pivote.
Capítulo II: El método simplex.
54
Nota: Los coeficientes de las variables básicas en cualquier tabla simplex se
conforma una matriz de identidad.
En la tabla es la exposición donde S1=6, S2=3, S3=5 y S4=4
PRIMERA LEY
Una tabla es óptima para el caso de maximización cuando todos los elementos
de la zona ∞ sean positivos o cero y viceversa para el caso de minimización.
SEGUNDA LEY
Para elegir la variable de entrada se toma el elemento más negativo de la zona
∞, para el caso de maximización y viceversa para minimización.
TERCERA LEY
Para definir las variables de salida se forman cocientes, donde los
numeradores se toman de la columna de la solución (únicamente de las
restricciones y donde los denominadores serán los números correspondientes en
la columna de variable entrada). No se admiten indeterminaciones, no cocientes
negativos, la variable de salida se elige tomando el menor cociente positivo tanto
para Maximizar como Minimizar.
Capítulo II: El método simplex.
1.- ITERACIÓN
55
VARIABLE
DE SALIDA
VARIABLE DE
ENTRADA
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
Sol
Z
1
0
-1
0
0
0
2
8
S1
0
0
2
1
0
0
-1
2
2/2 = 1
S2
0
0
7/2
0
1
0
3/2
9
9/ 7/2 = 2.57
S3
0
0
2
0
0
1
0
5
5/2 = 2.5
X1
0
1
1/2
0
0
0
1/2
2
2/1/2 = 4
Se multiplica por ½ toda la fila de la variable de salida S1, entrando X2, obteniendo
el eje pivote 1 arriba de este último y abajo se tendrá que hacer ceros.
2.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
Sol
Z
1
0
0
1/2
0
0
3/2
9
X2
0
0
1
1/2
0
0
-1/2
1
S2
0
0
0
-7/4
1
0
13/4
11/2
S3
0
0
0
1
1
0
1
3
X1
0
1
0
-1/4
0
0
3/4
3/2
Como la zona Z son todos los números positivos y ceros se dice que la tabla es
óptima.
SOL
X1
= 3/2
X2
=1
S2
= 11/2
S3
3
MAX
S1= 0
Z= 9
S4= 0
2 Variables
no básicas
Nota 1: Solución factible es aquella para la que todas las restricciones se
satisfacen.
Nota 2: Una solución no factible es una solución para que al menos una restricción
se viole.
Capítulo II: El método simplex.
56
Comprobación
Zo=4x1+3x2
Zo=4(3/2)+3(1)
s.a
9=9
2x1+3x2≤6
2(3/2)+3(1)≤6
6≤6
-3x1+2x2≤3
-3(3/2)+2(1)≤3
-2.5≤3
2x2≤5
2(1)≤5
2≤5
2x1+x2≤4
2(3/2)+1≤4
4≤4
EJEMPLOS 2:
Resolver el siguiente problema.
MAX
Z=2X1-3X2+4X3+5X4
s.a
3X1
+
9X2
+
2X3
+
7X4
≤
10
2X1
-
2X2
+
3X3
+
9X4
≤
15
2X1
+
4X2
+
9X3
+
6X4
≤
5
X1
,
X2
,
Llevándola a su forma estándar
X3
,
X4
≥
0
Z=2X1-3X2+4X3+5X4+0S1+0S2+0S3
Z=-2X1+3X2-4X3-5X4-0S1-0S2-0S3=0
3X1
+
9X2
+
2X3
+
7X4
2X1
-
2X2
+
3X3
+
9X4
2X1
+
4X2
+
n=7
9X3
+
m=3
6X4
+
n-m= 7-3=4 variables no básicas
S1
+
S2
+
S3
=
10
=
15
=
5
Capítulo II: El método simplex.
57
Variable de
entrada
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-2
3
-4
-5
0
0
0
0
S1
0
3
9
2
7
1
0
0
10
=10/7=1.42
S2
0
2
-2
3
9
0
1
0
15
S3
0
2
4
9
6
0
0
1
5
=15/9=1.66
=5/6=0.83
Variable de
salida
Se multiplica toda la fila de S3 de la base por 1/6 para hacer un eje pivote X4 igual
a 1, en la intersección de la columna de variable de entrada con la fila de la
variable de salida; haciendo cero arriba de este y debajo de este, mediante
adiciones y sustracciones.
1.- Iteración
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-1/3
19/3
7/2
0
0
0
5/6
25/6
S1
0
2/3
13/3 -17/2
1
0
0
-7/6
25/6
=4.1666/0.666= 6.25
S2
0
-1
0
1
0
-3/2
15/2
=7.5/-1=-7.5
0
1/3
2/3
3/2
0
0
Se multiplica toda la fila de X4 por 3.
1
1/6
5/6
=0.8333/0.333=2.5
X4
-8
-21/2
2.- Iteración
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
Sol
Z
1
0
7
5
1
0
0
0
5
S1
0
0
3
-23/2
-2
1
0
0
5/2
S2
0
0
-6
-6
3
0
1
0
10
X1
0
1
2
9/2
3
0
0
Es óptimo porque la zona ∞ son ceros y positivos.
1
5/2
Capítulo II: El método simplex.
58
SOL
X2= 0
S1
= 5/2
X1
= 5/2
S2
= 10
X3= 0
Z= 5
X4= 0
Solución
óptima
finita única
S3= 0
Comprobación
Zo=2(5/2)-3(0)+4(0)+5(0)
Z=5
3x1+9x2+2x3+7x4≤10
3(5/2)+9(0)+2(0)+7(0)≤10
7.5≤10
2x1-2x2+3x3+9x4≤15
2(5/2)-2(0)+3(0)+9(0)≤15
5≤15
2x1+4x2+9x3+6x4≤5
2(5/2)+4(0)+9(0)+6(0)≤5
5≤5
EJEMPLO 3:
MAX………………………….Z=2X1+X2
s.a
X1
+
2X2
≤
8
-3X1
+
2X2
≤
4
4X1
+
2X2
≤
24
X1
,
X2
Llevándolo a su forma estándar
≥
0
Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3
Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3
s.a
x1
-3x1
4x1
n=5
+ 2x2
+ 2x2
+ 2x2
m=3
+
S1
8
=
4
=
+ S3
= 24
n-m=5-3=2 Variables no básicas.
+
S2
Capítulo II: El método simplex.
59
Variable de
entrada
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-2
-1
0
0
0
0
S1
0
1
2
1
0
0
8
8/1 = 8
S2
0
-3
2
0
1
0
4
S3
0
4
2
0
0
1
24
4/ 3 = 1.333
24/4 = 6
Variable de
salida
1.- iteración
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
0
0
0
0
1/2
12
S1
0
0
3/2
1
0
-1/4
2
S2
0
0
7/2
0
1
3/4
22
X1
0
1
1/2
0
0
1/4
6
X1
=6
S1
=2
S2
= 22
Z= 12
X2= 0
S2= 0
Solución
óptima
finita única
Capítulo II: El método simplex.
60
EJEMPLO 4:
MIN
Z=X1-3X2-2X3
s.a
3X1
-
X2
-2X1
+
4X2
-4X1
+
3X2
+
2X3
≤
7
≤
12
+
8X3
≤
10
X1
,
X2
,
Llevándolo a su forma estándar
X3
≥
0
Z=X1-3X2-2X3+0S1+0S2+0S3
Z=-X1-3X2-2X3-0S1-0S2-0S3=0
3X1
-
X2
-2X1
+
4X2
-4X1
+
3X2
n=6
+
2X3
+
S1
+
+
S2
8X3
m=3
+
S3
=
7
=
12
=
10
Variable de
entrada
n-m= 6-3=3 variables no básicas
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-1
3
2
0
0
0
0
S1
0
3
-1
2
1
0
0
7
=7/-1=-7
S2
0
-2
4
0
0
1
0
=12/4=3
S3
0
-4
3
8
0
0
1
12
10
=10/3=3.333
Variable de
salida
Variable de
entrada
1.- Iteración
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Sol
Z
1
1/2
0
2
0
-3/4
0
-9
S1
0
5/2
0
2
1
1/4
0
10
=10/2=5
X2
0
-1/2
1
0
0
1/4
0
3
=3/0=∞
S3
0
-5/2
0
8
0
-3/4
1
1
=1/8=0.125
Variable de
salida
Capítulo II: El método simplex.
2.- Iteración
61
Variable de
entrada
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Sol
Z
1
9/8
0
0
0
-9/16
-1/4
S1
0
25/8
0
0
1
7/16
-1/4
-37/4
39/4
X2
0
-1/2
1
0
0
1/4
0
3
X3
0
-5/16
0
1
0
-3/32
1/8
1/8
Variable de
salida
3.- Iteración
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
Sol
Z
1
0
0
0
-9/25
-18/25
-4/25
-319/25
X1
0
1
0
0
8/25
7/50
-2/25
78/25
X2
0
0
1
0
4/25
8/25
-1/25
114/25
X3
0
0
0
1
1/10
-1/20
La zona ∞ son seros y negativos por lo tanto es optima.
1/10
11/10
X1
S1= 0
=78/25
X2
= 114/25
X3
= 11/10
Z= -319/25
S2= 0
S3= 0
Solución
óptima
finita única
Capítulo II: El método simplex.
62
EJEMPLO 5:
MIN………………………….Z=2X1-5X2
s.a
3X1
+
8X2
≤
12
2X1
+
3X2
≤
16
X1
,
X2
Llevando a su forma estándar
≥
0
Zo=2x1-5x2+0s1+0s2
Zo=-2x1-x2-0s1-0s2=0
s.a
3x1
2x1
+ 8x2
+ 3x2
m=2
n=4
+
S1
= 12
+ S2
= 16
n-m=4-2=2 Variables no básicas.
1.-Iteración
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Sol
Z
1
-2
5
0
0
0
S1
0
3
8
1
0
12
12/8 = 1.5
S2
0
2
3
0
1
16
16/ 3 = 5.3
2.- Iteración
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Sol
Z
1
-31/8
0
-5/8
0
15/2
X2
0
3/8
1
1/8
0
3/2
S2
0
7/8
0
3/8
1
27/2
Solución
X2
= 3/2
S2
= 23/2
Z= 15/2
S1= 0
X1=0
Variables
no básicas
Capítulo II: El método simplex.
63
2.2. MÉTODO DE LAS VARIABLES ARTIFICIALES.
2.2.1. Método de la gran M o método penal.
El método de la gran M es empleado para resolver modelos de programación
lineal; cuando en sus restricciones al menos una de ellas el signo de la
desigualdad es diferente≤; es decir, las restricciones son del tipo ≥ o =; el
algoritmo matemático para resolver este tipo de modelos obedece a los siguientes
pasos:
1.- Se expresa en problema en la forma estándar.
2.- Se añaden las Variables no negativas en cada una de las ecuaciones, cuyas
restricciones originales tengan (≥ ) o (=). Esas variables artificiales y su presencia
es una violación a las leyes del álgebra. Esta dificultad se supera asegurando que
esas variables artificiales sean ceros (0) en la solución final.
3.- Utilizar las variables artificiales para la solución básica inicial, para ello la
función objetivo deberá ser ajustada adecuadamente.
Proceda con los pasos regulares del Método Simplex.
Nota: Las variables artificiales proporcionan un artificio matemático para obtener la
solución inicial. Son variables ficticias y no tienen ningún significado físico directo
en términos del problema original.
Las variables artificiales se reconocerán por la variable Wn
Ejemplo 1
MIN………………………….Z=4X1+X2
s.a
3X1
+
X2
=
3
4X1
+
3X2
≥
6
X1
+
X2
≤
3
X1
,
X2
≥
0
No se
puede
aplicar el
Simplex
Se tiene que emplear
la técnica de
Variables Artificiales
PASO1: Pasar a formato estándar y añadir variables artificiales en las
restricciones y que estas sean ≥.
Capítulo II: El método simplex.
64
Formato estándar.
MIN………………………….Z=4X1+X2
s.a
3X1
+
X2
4X1
+
3X2
X1
+
X2
X1
,
n=4
X2
+
S1
,
S1
m=3
=
3
=
6
=
3
+
S2
,
S2
≥
0
n-m=4-3=1Variables no básicas.
Por lo tanto hay 3 Variables básicas
PASO 2: Se añade en la función objetivo el coeficiente M contrario a su espíritu
de dicha función por cada variable artificial contenida en las restricciones y se
iguala a cero la función objetivo.
MIN………………………….Z=4X1+X2-0S1-0S2+MW1+MW2
Z-4X1-X2-0S1-0S2-MW1-MW2=0
s.a
3X1
+
X2
4X1
+
3X2
X1
+
X2
X1
,
X2
+
+
,
W1
S1
S1
+
+
S2
,
S2
,
W1
,
W2
W2
=
3
=
6
=
3
≥
0
Siempre se
considera la variable
artificial en vez de la
de holgura en la
base, no importa si
es Maximización o
Minimización.
PASO 3: Armar el Tablón en la base siempre que la desigualdad sea de signo
(≥ o =), la variable a contemplar será la artificial y en las desigualdades ≤ será
siempre en la base de las variables de holgura.
Capítulo II: El método simplex.
65
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
-4
-1
0
0
-M
-M
0
W1
0
3
1
0
0
1
0
3
W2
0
4
3
-1
0
0
1
6
S2
0
1
1
0
1
0
0
3
NOTA 1: Se forma la Matriz identidad con las variables artificiales acompañadas
con las de holgura, intercambiando la columnas o filas en el siguiente orden X1, X2,
S1, W1, S2, W2.
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
W2
S2
Sol
Z
1
-4
-1
0
-M
-M
0
0
W1
0
3
1
0
1
0
0
3
W2
0
4
3
-1
0
1
0
6
S2
0
1
1
0
0
0
1
3
PASO 4: Hacer el ajuste. Eliminar las –M de la zona∞, para ello cada variable
artificial se multiplica por el mismo coeficiente con signo opuesto y se suman las
variables artifíciales y la cantidad será adicionada en la función objetivo zona∞,
esto es para Maximizar y Minimizar. El ajuste solo se lleva a cabo en la función
objetivo.
Variable de
entrada
Variable de
salida
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
W2
S2
Sol
Z
1
7M-4
4M-1
-M
0
0
0
9M
W1
0
3
1
0
1
0
0
3
=3/3=1
W2
0
4
3
-1
0
1
0
6
=6/4=1.5
S2
0
1
3
=3/1=3
1
0
0
0
1
𝑋𝑋1 = 3𝑀𝑀 + 4𝑀𝑀 = 7𝑀𝑀 − 4 = −4 + 7𝑀𝑀
𝑋𝑋2 = 𝑀𝑀 + 3𝑀𝑀 = 4𝑀𝑀 − 1 = −1 + 4𝑀𝑀
𝑆𝑆1 = 0𝑀𝑀 − 1𝑀𝑀 = 0 − 𝑀𝑀 = −𝑀𝑀
𝑊𝑊1 = 1𝑀𝑀 + 0𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑊𝑊2 = 0𝑀𝑀 + 1𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
Capítulo II: El método simplex.
66
PASO 5: Se sigue o aplica el método simplex y los criterios de factibilidad, según
sea el caso para maximizar o minimizar el coeficiente M no tiene valor.
X1
X2
-4+7M
-1+4M
NEGATIVO POSITIVO
NEGATIVO POSITIVO
Minimizar el más
positivo de la zona
∞ para la variable
de entrada.
7M ≥ 4M por lo tanto 7M es la variable más positiva y entra X1.
Toda la fila del renglón W 1 se multiplica por 1/3 para obtener 1 y tiene que ser el
eje pivote.
En caso de la Función Objetivo se sigue toda la fila, se multiplica por 4-7M; checar
operaciones:
𝑋𝑋1 = 4 − 7𝑀𝑀(1) = 4 − 7𝑀𝑀 + ( −4 + 7𝑀𝑀) = 0
1
4 7
1 5
𝑋𝑋2 = 4 − 7𝑀𝑀 � � = − 𝑀𝑀 + ( −1 + 4𝑀𝑀) = + 𝑀𝑀
3
3 3
3 3
𝑆𝑆1 = 0(4 − 7𝑀𝑀) = 0 − 𝑀𝑀 = −𝑀𝑀
1
4 7
4 7
𝑊𝑊1 = 4 − 7𝑀𝑀 � � = − 𝑀𝑀 + 0 = − 𝑀𝑀
3
3 3
3 3
𝑊𝑊2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0
𝑆𝑆2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0
1.- Iteración
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = (4 − 7𝑀𝑀)1 = 4 − 7𝑀𝑀 + 9𝑀𝑀 = 4 + 2𝑀𝑀
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
W2
S2
Sol
Z
1
0
5/3M+1/3
-M
-7/3M+4/3
0
0
2M+4
X1
0
1
1/3
0
1/3
0
0
1
=1/0.33=3
W2
0
4
5/3
-1
-4/3
1
0
2
=2/1.66=1.2
S2
0
1
=2/0.66=3.0
1
2/3
0
-1/3
0
0
Se elige la variable de entrada el más positivo de la zona ∞
X2= 1/3+5/3M
el más positivo.
W1= 4/3-7/3M
negativo.
Capítulo II: El método simplex.
67
NOTA: Arriba y abajo del eje pivote ceros, hay que multiplicarlo por cada uno de
los números que se encuentran en la columna con signo opuesto al eje pivote y
sumarlo en la respectiva fila.
2.- Iteración.
1 5
1 5
1 5
𝑋𝑋2 = �− − 𝑀𝑀� 1 = − − 𝑀𝑀 + + 𝑀𝑀 = 0
3 3
3 3
3 3
1 5
3 1
1
1
𝑆𝑆1 = �− − 𝑀𝑀� − = + 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 = + 𝑀𝑀 − 𝑀𝑀 =
3 3
5 5
5
5
1 5
−4
4 4
4 7
8
𝑊𝑊1 = �− − 𝑀𝑀�
=
+ 𝑀𝑀 + − 𝑀𝑀 = − 𝑀𝑀
3 3
5
15 3
3 3
5
1 5
3
1
1
𝑊𝑊2 = �− − 𝑀𝑀� = − − 𝑀𝑀 + 0 = − − 𝑀𝑀
3 3
5
5
5
NOTA: Los empates se rompen arbitrariamente.
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
W2
S2
Sol
Z
1
0
0
1/5
8/5-M
-1/5-M
0
18/5
X1
0
1
0
1/5
3/5
-1/5
0
3/5
=0.6/0.2=3
X2
0
0
1
-3/5
-4/5
3/5
0
6/5
=1.2/-0.6=-2
S2
0
0
0
3.- Iteración.
2/5
1/5
-2/5
1
6/5
=1.2/0.4=3
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
W2
S2
Sol
Z
1
-1
0
0
1-M
-M
0
3
S1
0
5
0
1
3
-1
0
3
X2
0
3
1
0
1
0
0
3
S2
0
2
0
0
-1
0
1
0
VARIABLES BÁSICAS
S2= 0
W1= 0
S1
=3
X2
=3
MIN Z= 3
W2= 0
VARIABLES
NO BÁSICAS.
Capítulo II: El método simplex.
68
Ejemplo 2.
MAX………………………….Z=4X1+X2
s.a
2X1
+
X2
≥
8
3X2
≤
30
=
10
≥
0
X1
X1
,
X2
Formato estándar
Z=4X1+X2-0S1+0S2-MW1-MW2
Z-4X1-X2+0S1-0S2+MW1+MW2
s.a
2X1
+
X2
-
S1
3X2
+
+
W1
S2
X1
X1
,
X2
,
S1
,
S2
,
W1
=
8
=
30
+
W2
=
10
,
W2
≥
0
n=6
m=3
n-m=6-3=3 Variables no básicas.
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
-4
-1
0
0
M
M
0
W1
0
2
1
-1
0
1
0
8
S2
0
0
3
0
1
0
1
30
W2
0
1
0
0
0
0
0
10
Capítulo II: El método simplex.
(-M)
(-M)
69
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
-4
-1
0
0
M
M
0
W1
0
2
1
-1
0
1
0
8
S2
0
0
3
0
1
0
1
30
W2
0
1
0
0
0
0
0
10
-2M
-M
M
-M
0M
0M
-8M
-1M
-0M
0
0
0M
-M
-10M
SUMO W1+W2 por el ajuste Variable
Variable
de salida
de entrada
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
-3M-4
-M-1
M
0
0
0
-8M
W1
0
2
1
-1
0
0
0
8
=8/2=4
S2
0
0
3
0
1
1
0
30
=30/0=∞
W2
0
1
0
0
0
0
1
10
=10/1=10
Variable
de entrada
1.- Iteración
3M+4
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
0
1/2M-1
-1/2M-2
3/2M+2
0
0
-6M+16
X1
0
1
1/2
-1/2
1/2
0
0
4
=8/-1/2=-8
S2
0
0
3
0
0
1
0
30
W2
0
0
-1/2
1/2
-1/2
0
1
6
=30/0=∞
=6/0.5=12
Variable
de salida
Capítulo II: El método simplex.
2.- Iteración
1/2M+2
70
Variable de
entrada
Variable de
salida
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
0
-1
0
M
0
M+4
40
X1
0
1
0
0
0
0
1
10
=10/0=∞
S2
0
0
3
0
0
1
0
30
=30/3=10
S1
0
0
-1
1
-1
0
2
12
=12/-1=12
3. - Iteración
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
0
0
0
M
1/3
M+4
30
X1
0
1
0
0
0
0
1
10
X2
0
0
1
0
0
1/3
0
10
S1
0
0
0
1
-1
1/3
2
22
V. Básicas
V. no Básicas
X1=10
S2=0
X2=10
W1=0
S1=22
W2=0
Capítulo II: El método simplex.
71
EJEMPLO 3
MAX………….Z=-3X1-6X2
Z=-3X1-6X2
s.a
[4X1
-
8X2
≥
-12]-1
-4X1
+
8X2
≤
12
2X1
+
6X2
≥
16
2X1
+
6X2
≥
16
3X1
-
6X2
=
8
3X1
-
6X2
=
8
X1
,
X2
≥
0
Formato estándar
Z=-3X1-6X2+0S1-0S2+MW1+MW2
Z+3X1+6X2-0S1+0S2-MW1-MW2=0
s.a
-4X1
+
8X2
2X1
+
6X2
3X1
-
6X2
X1
,
X2
+
S1
-
,
S1
,
S2
+
S2
,
W1
W1
=
12
=
16
+
W2
=
,
W2
≥
n=6
m=3
n-m=6-3=3 Variables no básicas.
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
3
6
0
0
-M
-M
0
S1
0
-4
8
1
0
0
0
12
W1
0
2
6
0
-1
1
0
16
W2
0
3
-6
0
0
0
1
8
Capítulo II: El método simplex.
72
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
W1
W2
Sol
Z
1
3
6
0
0
-M
-M
0
S1
0
-4
8
0
1
0
0
12
W1
0
2
6
-1
0
1
0
16
W2
0
3
-6
0
0
0
1
8
Variable de
entrada
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
W1
W2
Sol
Z
1
5M+3
6
-M
0
0
0
24M
X1
0
-4
8
0
1
0
0
12
=12/-4=-3
S2
0
2
6
-1
0
1
0
=16/2=8
3
-6
10
0
0
1
16
8
S1
0
1.-Iteración
5M+4
Variable de
entrada
=8/3=2.6
Variable de
salida
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
W1
W2
Sol
Z
1
0
10M+12
-M
0
0
-5/3 M-1
32/3 M-8
X1
0
0
0
0
1
0
4/3
68/3
=22.66/0=∞
W1
0
0
10
-1
0
1
-2/3
32/2
=10.66/10=5.33
-2
10
0
0
1/3
8/3
=2.66/-2=-1.33
X1
0
1
2.- Iteración
BASE
Z
X1
X2
S2
S1
W1
W2
Sol
Z
1
0
0
6/5
0
-M-6/5
-M-1/5
-104/5
S1
0
0
0
0
1
0
4/3
68/3
X2
0
0
1
-1/10
0
1/10
-1/15
16/15
X1
0
1
0
-1/5
0
1/5
V. no Básicas
1/5
24/5
10M+2
V. Básicas
X1=24/5
MAX
S2=0
X2=16/5
Z=104/5
W1=0
S1=68/3
W2=0
Capítulo II: El método simplex.
73
2.2.2. Método de la Doble Fase.
El procedimiento de la doble fase es similar al Método de la M en sus pasos 1 y
2, solo que en su paso 4 se sustituye la función (F.O), por una función que será la
de objetivo de estudio, la cual se obtiene a partir de la suma de tantas variables
artificiales como sean necesarias agregar en la forma estándar.
MIN………………Z=2X1+X2
s.a
3X1
+
X2
≥
3
4X1
+
3X2
≥
6
X1
+
2X2
≥
3
X1
,
X2
≥
0
No se puede
hacer por
Método
simplex
Paso 1: Formato Estándar.
Z=2X1+X2-S1-S2-S3+W1+W2+W3
Z-2X1-X2-0S1+0S2+S3+W1+W2+W3
3X1
4X1
X1
X1
+
+
+
,
X2
3X2
2X2
X2
-
S1
+
-
W1
S2
+
-
W2
S3
+
W3
=
=
=
≥
3
6
3
0
Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción: siempre se tomara
en cuenta los signos ≥ o = y se suman todas las variables artificiales, tomando una
nueva función objetivo.
MIN………………a=W1+W2+W3
s.a
W1
=
3
-
3X1
-
X2
W2
=
6
-
4X1
-
3X2
W3
=
3
-
X1
-
2X2
a
=
12
-
8X1
-
6X2
+
S1
+
+
S1
+
S2
S2
+
S3
+
S3
Se iguala la función objetivo a la constante obtenida de la suma de cada una de
ellas, en este caso a 12.
Capítulo II: El método simplex.
74
MIN………………a=12-8X1-6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3
Igualando a
a+8X1+6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3=12
s.a
3X1
4X1
X1
X1
+
+
+
,
X2
3X2
2X2
X2
-
,
S1
+
-
S2
,
S2
S1
,
S3
S3
n-m=8-3=5 variables no básicas
a
1
0
0
0
X1
8
3
4
1
W1
+
W2
,
W2
+
,
W3
W3
=
=
=
≥
3
6
3
0
Variable de
salida
Variable de
entrada
Fase 1
Base
a
W1
W2
W3
,
W1
X2
5
1
3
2
S1
-1
-1
0
0
S2
-1
0
-1
0
S3
-1
0
0
-1
W1
0
1
0
0
W2
0
0
1
0
W3
0
0
0
1
SOL
12
3
6
3
X2
10/3
1/3
5/3
5/3
S1
5/3
-1/3
4/3
1/3
S2
-1
0
-1
0
S3
-1
0
0
-1
W1
-8/3
1/3
-4/3
-1/3
W2
0
0
1
0
W3
0
0
0
1
SOL
4
1
2
2
X2
0
0
1
0
S1
-1
-3/5
4/5
-1
S2
1
1/5
-3/5
1
S3
-1
0
0
-1
=3/3=1
=6/4=1.5
=3/1=33
1.- Iteración
Base
a
X1
W2
W3
a
1
0
0
0
X1
0
1
0
0
2.-Iteración
Base
a
X1
X2
W3
a
1
0
0
0
X1
0
1
0
0
W1
0
3/5
-4/5
1
W2
-2
-1/5
3/5
-1
W3
0
0
0
1
SOL
0
3/5
6/5
0
0.6/0.2=3
1.2/-0.6=-2
0/1=0
Capítulo II: El método simplex.
Base
a
X1
X2
S2
a
1
0
0
0
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
0
-2/5
1/5
-1
S2
0
0
0
1
S3
0
1/5
-3/5
-1
W1
-1
2/5
-1/5
1
75
W2
-1
0
0
-1
W3
0
0
0
0
SOL
0
3/5
6/5
0
Fase 2: Lleva de la función objetivo a a la función objetivo inicial Z.
X1
X2
2/5S1
+
1/5S3
=
+
1/5S1
3/5S3
=
S1
+
S2
S3
=
Despejar cada una de las ecuaciones de la base obtenidas en la
variable respectiva
𝑋𝑋1 =
𝑋𝑋2 =
3/5
6/5
0
Fase I con la
3 2
1
+ 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3
5 5
5
6 1
3
− 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3
5 5
5
Sustituimos los valores X1, X2 en la función objetivo Z, la función original.
𝑍𝑍 = 2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2
3 2
1
6 1
3
𝑍𝑍 = 2 � + 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 � + − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3
5 5
5
5 5
5
𝑍𝑍 =
2
6 1
3
6 4
+ 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 + − 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3
5
5 5
5
5 5
Se iguala a 12/5
𝑍𝑍 =
12 3
1
+ 𝑆𝑆1 + 𝑆𝑆3
5 5
5
3
1
12
𝑍𝑍 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆3 =
5
5
5
Armar nuevamente el tablón sin las variables artificiales.
Base
a
X1
X2
S2
a
1
0
0
0
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
-3/5
-2/5
1/5
-1
S2
0
0
0
1
S3
-1/5
1/5
-3/5
-1
SOL
12/5
3/5
6/5
0
V. Básicas
V. no Básicas
X1=3/5
S2, S1, S3=0
X2=6/5
La tabla es óptima porque se tienen 0 y negativos en la zona ∞
Capítulo II: El método simplex.
76
EJERCICIO 1
MIN………………Z=8X1+2X2
3X1
4X1
5X1
X1
+
+
,
5X2
X2
3X2
X2
-
S1
+
-
,
S1
,
W1
S2
+
,
S2
S3
S3
,
W1
+
S1
W3
W3
=
=
=
≥
+
S3
+
S3
W2
,
+
,
W2
13
2
11
0
MIN………………a=W1+W2+W3
s.a
W1
=
13
-
3X1
-
5X2
W2
=
2
-
4X1
+
X2
W3
=
11
-
5X1
-
3X2
a
=
26
-
12X1
-
7X2
a
1
0
0
0
+
S1
S2
+
S2
𝑎𝑎 + 13𝑋𝑋1 + 7𝑋𝑋2 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 − 𝑆𝑆3 = 26
Fase 1
Base
a
W1
W2
W3
+
X1
13
3
4
5
X2
7
5
-1
3
S1
-1
-1
0
0
S2
-1
0
-1
0
X2
0
1
0
0
S1
6
-1
-1
3
S2
-1
0
-1
0
S3
-1
0
0
-1
W1
0
1
0
0
W2
0
0
1
0
W3
0
0
0
1
SOL
26
13
2
11
=13/5=2.6
=2/-1=-2
=11/3=3.66
1.- Iteración
Base
a
X2
W2
W3
a
X1
1
44/5
0
3/5
0
23/5
0
16/5
2.-Iteración
S3
-1
0
0
-1
W1
-7/5
1/5
1/5
-3/5
W2
0
0
1
0
W3
0
0
0
1
SOL
39/5
13/5
23/5
16/5
Base
a
X1
X2
S1
S2
S3
W1
W2
W3
SOL
a
1
0
0
-9/4
-1
7/4
1/4
0
-11/4
-1
X2
W2
X1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
-25/16
-85/16
15/16
0
0
0
3/16
23/16
-5/16
5/16
17/16
-3/16
0
1
0
-3/16
-23/16
5/16
2
0
1
=2.6/0.6=4.3
=4.6/4.6=1
3.2/3.2=1
=2/-0.18=10.6
=0/1.43=0
1/-0.31=3.2
Capítulo II: El método simplex.
77
3.-Iteración.
Base
a
X1
X2
S1
S2
S3
W1
W2
W3
SOL
a
1
0
0
-67/92
-1
0
-24/23
-28/23
-1
-1
0
0
1
1
0
0
-20/23
-85/23
-5/23
0
0
0
0
1
0
4/23
17/23
1/23
-3/23
16/23
5/23
0
-1
0
2
0
1
X2
S3
X1
0
0
0
Fase 2:
Cambiando de a
Z
X2
-
X1
20/23 S1
85/23 S1
5/23 S1
𝑋𝑋2 = 2 +
𝑆𝑆3 = 0 +
𝑋𝑋1 = 1 +
Min
𝑍𝑍 = 8 �1 +
X1
X2
S1
S2
a
1
0
0
-80/23
X2
S3
X1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
-26/23
-85/23
-5/23
20
𝑆𝑆
23 1
85
𝑆𝑆
23 1
5
𝑆𝑆
23 1
40
40
𝑆𝑆1 + 4 +
𝑆𝑆
23
23 1
𝑍𝑍 = 12 +
a
S3
2
0
1
5
20
𝑆𝑆1 � + 2 �2 + 𝑆𝑆1 �
23
23
𝑍𝑍 = 8 +
Base
+
=
=
𝑍𝑍 −
80
𝑆𝑆
23 1
80
𝑆𝑆 = 12
23 1
S3
SOL
0
0
12
0
0
0
0
1
0
2
0
1
MIN Z=12
V. no Básicas
X2=2
S1, S2 =0
S3=0
X1=1
Capítulo II: El método simplex.
78
EJEMPLO
MAX………………Z=3X1+5X2
s.a
4X1
+
X2
≥
4
-X1
+
2X2
≥
2
X2
≤
3
X2
≥
0
X1
,
Paso 1: Formato Estándar.
F=W1+W2
F+3X1+3X2-S1-S2=6
4X1
-X1
+
+
X2
2X2
X2
-
S1
+
-
W1
S2
+
+
W2
S3
+
W3
=
=
=
4
2
3
Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción.
W1
=
4
-
4X1
-
X2
W2
=
2
+
X1
-
2X2
F
=
6
-
3X1
-
3X2
+
+
S1
S1
+
S2
+
S2
Se iguala la función objetivo
F+3X1+3X2-S1-S2=6
NOTA: Para el caso de Maximizar en el Método de la doble fase se maneja
con los criterios de Minimización al momento de definir Variables de entrada
y salida esta tiene alcance tanto en las iteraciones desarrolladas en la Fase I
y Fase II; quedando óptima cuando en la zona
∞, todos sean negativos o
ceros. Solo este criterio aplicara para Maximizar bajo el método de la doble
fase.
Capítulo II: El método simplex.
79
TABLON
Base
F
W1
W2
S3
F
1
0
0
0
X1
3
4
-1
0
X2
3
1
2
1
S1
-1
-1
0
0
Base
F
W1
W2
S3
F
1
0
0
0
X1
3
4
-1
0
X2
3
1
2
1
S1
-1
-1
0
0
S2
-1
0
-1
0
S3
0
0
0
1
S2
-1
0
-1
0
W1
0
1
0
0
W1
0
1
0
0
W2
0
0
1
0
W2
0
0
1
0
SOL
6
4
2
3
S3
0
0
0
1
SOL
6
4
2
3
=4/1=4
=2/2=1
=3/1=3
1.-Iteración
Base
F
X1
X2
S1
S2
W1
W2
S3
SOL
F
1
9/2
0
-1
1/2
0
-3/2
0
3
W1
X2
S3
0
0
0
9/2
-1/2
1/2
0
1
0
-1
0
0
1/2
-1/2
1/2
1
0
0
-1/2
1/2
-1/2
0
0
1
3
1
2
=3/4.5=0.66
=1/0.5=-2
=2/0.5=4
2.-Iteración
Base
F
X1
X2
S1
S2
W1
W2
S3
SOL
F
1
0
0
0
0
-1/2
-1
0
0
X1
X2
S3
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-2/9
-1/9
1/9
1/9
-4/9
4/9
2/9
1/9
-1/9
-1/9
-1/18
-4/9
0
0
1
2/3
4/3
5/3
Fase 2.
Llevar de la función Objetivo F a Z.
Encontrando las ecuaciones de cada una de las variables básicas de la tabla
óptima.
Capítulo II: El método simplex.
X1
-
X2
2/9S1
1/9S1
1/9S1
+
+
1/9S2
4/9S2
4/9S2
+
S3
80
=2/3
=4/3
=5/3
Ec. (1)
Ec. (2)
Ec. (3)
Despejando a X1 de la Ec. (1) a X2 de la Ec (2) y S3 de la Ec. (3)
X1
X2
S3
=
=
=
2/3
4/3
5/3
+
+
-
2/9S1
1/9S1
1/9S1
+
-
1/9S2
4/9S2
4/9S2
Ec. (4)
Ec. (5)
Ec. (6)
Sustituyendo a X1 y X2 y S3 de las ecuaciones 4,5,6.
Z=3X1+5X2
𝒁𝒁 = 𝟑𝟑�𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝟐𝟐�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 � + 𝟓𝟓�𝟒𝟒�𝟑𝟑 + 𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟒𝟒�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 �
𝒁𝒁 = 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟑𝟑�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝟓𝟓�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐
𝒁𝒁 − 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐 =
TABLON
𝒁𝒁 = 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟑𝟑 + 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟗𝟗 𝑺𝑺𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟑𝟑
VARIABLES BASICAS
Base
Z
X1
X2
S1
S2
S3
SOL
Z
1
0
0
-1
17/9
0
26/3
X1
X2
S3
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-2/9
-1/9
1/9
1/9
-4/9
4/9
0
0
1
2/3
4/3
5/3
COMPROBACIÓN
Z=3(2/3)+5(4/3)=26/3
s.a
4(2/3)+4/3≥4
4≥4
-2/3+2(4/3)≥2
2≥2
X1=2/3
X2=4/3
S3=5/3
Z=26/3
VARIABLES NO BASICAS
S1=S2=0
Capítulo II: El método simplex.
81
EJERCICIO 2
Un estanque de peces es abastecido cada primavera con dos especies: beta y
globo; si hay dos tipos de comida f1 y f2 disponibles en el tanque. El peso promedio
de los peces y el requerimiento promedio de alimento para cada pez; esta dado en
la siguiente tabla:
ESPECIE
F1
F2
PESO PROMEDIO
BETA
GLOBO
2
3
3
1
3 lb
2 lb
Si existen 600 lb de comida f1 y 300 lb de comida f2 diariamente. ¿Cuántos
peces deben existir en la pecera; dado que lo mínimo para lo cual fue construida
es de 400 lb?
Definición de Variables.
X1= No. de peces beta que deben haber en el estanque o pecera.
X2= No. de peces globo que deben haber en el estanque o pecera.
MAX………………Z=X1+X2
s.a
3X1
+
2X2
≥
400
2X1
+
3X2
≤
600
3X1
+
X2
≤
300
X1
,
X2
≥
0
MIN………………Z=X1+X2-0S1+MW1+0S2+0S3
Z=-X1-X2+0S1+MW1-0S2-0S3
3X1
2X1
3X1
X1
+
+
+
,
2X2
3X2
X2
X2
-
S1
+
W1
,
W1
+ S2
,
S1
,
S2
+
,
S3
S3
=
=
=
≥
400
600
300
0
Capítulo II: El método simplex.
Base
Z
W1
S2
S3
Z
1
0
0
0
X1
-1
3
2
3
X2
-1
2
3
1
S1
0
-1
0
0
W1
M
1
0
0
82
S2
0
0
1
0
S3
0
0
0
1
SOL
0
400
600
300
AJUSTE
Base
Z
W1
S2
S3
Z
1
0
0
0
X1
-3M-1
3
2
3
X2
-2M-1
2
3
1
S1
M
-1
0
0
W1
0
1
0
0
S3
0
0
0
1
S2
0
0
1
0
SOL
-400M
400
600
300
400/3=133
600/2=300
300/3=100
1.-Iteración
Base
Z
X1
X2
S1
W1
S2
S3
SOL
Z
1
0
-M-2/3
M
0
0
M+1/3
100M+100
0
0
1
1
7/3
1/3
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
-1
-2/3
1/3
100
400
100
W1
S2
X1
0
0
0
2.-Iteración
Base
Z
X1
X2
S1
W1
S2
S3
SOL
Z
1
0
0
-2/3
M+2/3
0
1/3
500/3
X2
S2
X1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
-1
7/3
1/3
1
-7/3
-1/3
0
1
0
-1
5/3
2/3
100
500/3
200/3
3.-Iteración
Base
Z
X1
X2
S1
W1
S2
S3
SOL
Z
1
0
0
0
M
2/7
17/21
1500/7
X2
S1
X1
0
0
1
0
0
3/7
-2/7
0
0
0
1
-1
3/7
5/7
0
1
0
0
0
-1/7
3/7
CONCLUSIÓN: Debe de haber en la pecera 214 peces, de los cuales 43
ser beta y 171 deben ser globo.
1200/7
500/7
300/7
deben
Capítulo II: El método simplex.
83
2.2.3. Método Gráfico.
El método gráfico soluciona problemas de PL por medio de la representación
geométrica del objetivo, las restricciones estructurales y las condiciones técnicas.
En esta representación geométrica, los ejes coordenados pueden asociarse ya
sea con las variables o con las restricciones tecnológicas del problema. Cuando
los ejes cartesianos están relacionados con las variables (actividades) del
problema, el proceso se conoce como método gráfico de actividades. Cuando la
forma alternativa, las restricciones tecnológicas (recursos) se identifican con los
ejes coordenados, el método se denomina método gráfico en recursos.
Un problema de PL con m restricciones y n variables (las condiciones técnicas
no se incluyen en la dimensión del problema) se dice que posee una dimensión de
(m×n). El método gráfico para resolver un programa lineal con dos variables se
comprende mejor concentrándose primero en las restricciones y posteriormente en
la función objetivo. Para determinar los valores X1, X2 o X,Y satisfacen todas las
restricciones, considerando una restricción a la vez.
2.2.3.1.
La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano
Cuando el signo de la restricción es menor o igual≤)( el sentido del vector ira
dirigido hacia el origen es decir, hacia adentro.
2X1+X2≤4
2X1+X2=4
X1
X2
0
4
2
0
X2
5
4
3
2
1
1
2
3
4 5
5
X1
Capítulo II: El método simplex.
2.2.3.2.
84
La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano
Cuando el signo de la restricción es mayor o igual≥)( el sentido del vector ira
dirigido hacia afuera del origen es decir hacia afuera.
3X1-X2≥4
X1
X2
3X1-X2=4
0
-4
4/3
0
1
1
2
3
4
4
5
MAX
Z=4X1+3X2
2
4
S.A
2X1+3X2≤6
1
3
-3X1+2X2≤3
2X2≤5
3
2X1+X2≤4
D
2
X1,X2≥0
C
1
A
1
2
3
B
Z=9
4
5
6
X1
Capítulo II: El método simplex.
85
Solución
Como la función es Maximizar se busca el punto más alejado del origen y si
fuera Minimizar viceversa observando el polígono A, B, C, D, el punto más alejado
parece C, B, para lo cual se empleara un sistema de ecuaciones formando en la
intersección de ambos puntos.
Punto C
Recta 1 y Recta 4 se interceptan
2𝑋𝑋1 + 3𝑋𝑋2 = 6 … … … … … … … … 𝐸𝐸𝐸𝐸. 1
2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 = 4 … … … … … … … … 𝐸𝐸𝐸𝐸. 2
𝑋𝑋1
𝑅𝑅1 �1�2� � 2
2
𝑅𝑅2
𝑋𝑋2
3
1
𝑅𝑅1 �−3�2� + 𝑅𝑅1 �1
0
X1= 3/2
MAX
X2= 1
Z=9
1 3�2
6 � ~ 𝑅𝑅1 (−2) + 𝑅𝑅2 �
2 1
4
3�
2
1
3�
1
~ �1
0
0 3�2�
1 1
3� ~ 𝑅𝑅 �−1� � �1
2
2
4
0
Sustituir los valores de X1 y X2 en la función objetivo.
Punto B
𝑍𝑍 = 4�3�2� + 3(1) = 9 > 8 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐶𝐶 > 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐵𝐵
La recta 4 se intercepta con X1
2X1+X2=4
X2=0
X1=2
Sustituyendo los valores en la función objetivo Z
Z=4X1+3X2
=4(2)+3(0)=8 es menor que 9 por lo tanto es óptima.
3�
2
−2
3 �~
−2
Capítulo II: El método simplex.
86
Esta versión del método gráfico asocia una variable a cada eje coordenado y
luego realiza tres pasos básicos:
1.- Reemplazar el signo de la desigualdad en una restricción por un signo de
igualdad y calcular las interceptas donde la ecuación satisface su condición de
igualdad.
2.- Dibujar línea correspondiente de la función.
3.- Identificar el sentido de la línea dependiente del sentido de la desigualdad en la
restricción.
4.- Sombrear esa porción de la grafica que satisfaga las restricciones formuladas
hasta el momento.
EJEMPLO 1.
MAX………………Z=4X1+3X2
s.a
2X1
+
3X2
≤
6
-3X1
+
2X2
≤
3
2X2
≤
5
2X1
+
X2
≤
4
X1
,
X2
≥
0
OBSERVACIONES
•
•
•
Hay dos variables
Todas las restricciones son ≤
Es un problema de Maximización
Descartes menciono para solucionar un problema complejo, se vale solucionar
el problema por partes a condiciones de que las soluciones nieguen la totalidad.
En esta primera instancia se trabajara con las restricciones prescindiéndole la
función objetivo.
Capítulo II: El método simplex.
2.2.3.3.
87
Método General.
Tomaremos la primera restricción y la transformaremos en una igualdad y se
harán o encontraran las interceptas. Son los puntos en que la curva corta al eje de
coordenadas. Estos puntos también tienen una cualidad de que al menos una de
sus variables vale 0 (cero).
X4=0
X1=0
X3=0
X2=0
Y0=0
2.- Localizar interceptas.
2X1+3X2=6------------ 1
X1
0
3
X2
2
0
2X1=5------------ 3
X1
5/2
X2
0
3.- Graficar interceptos
-3X1+2X2=3------------ 2
X1
0
-1
X2
3/2
0
2X1+X2=4--------------- 4
X1
0
2
X2
4
0
El área bordeada se
llama
solución
factible o conjunto
convexo; o solución
espacio y tiene la
propiedad
de
cumplir con todas
las condiciones del
modelo
no
negatividad.
Capítulo II: El método simplex.
88
Se le llama restricción redundante a la restricción cuya preferencia o ausencia
no modifique para nada el área de la solución factible; sin embargo todos los
puntos de esa área deberán cumplir dicha condición.
Trabajando exclusivamente con la función objetivo si esta parte del punto (1,0),
por el punto (1,1), para (0,0) o por el punto (1.5, 1).
(1,0)
(1,1)
(1.5,1)
Z=4X1+3X2
Z=4X1+3X2
Z=4X1+3X2
Z=4X1+3X2
Z=4(1)+3(0)
Z=4(1)+3(1)
Z=4(0)+3(0)
Z=4(1.5)+3(1)
Z=4
Z=7
Z=4X1+3X2=4
X1
0
1
(0,0)
Z=0
4X1+3X2=4
X1
0
7/4
X2
4/3
0
X2
7/3
0
Z=9
4X1+3X2=4
X1
0
-3
X2
0
4
4X1+3X2=4
X1
0
6/4
X2
3
0
La función objetivo Z genera una familia finita de rectas paralelas cuyos valores
máximos o mínimos se dan exactamente en puntos o esquinas del área.
EJEMPLO 2.
MAX………………Z=10X1+15X2
s.a
10X1
+
20X2
≤
4000
5X1
+
5X2
≤
1500
4X1
+
2X2
≤
800
X1
,
X2
≤
0
Capítulo II: El método simplex.
10X1+20X2=4000
X1
0
400
X2
200
10
(100,100)
X1
250
0
5X1+5X2=1500
X1
0
300
89
4X1+2X2=800
X1
0
200
X2
300
0
(150,100)
X2
800
0
(130,130)
Z=10(100)+15(100)
Z=10(150)+15(100)
Z=10(130)+15(130)
Z=2500
Z=3000
Z=3250
10X1+20X2=2500
10X1+20X2≤3000
X2
0
166.66
X1
300
0
X2
0
200
10X1+20X2≤3250
X1
325
0
X2
0
216
Capítulo II: El método simplex.
90
10X1+20X2=4000
[4X1+2X2≤800]1/4
10X1+20X2=4000
[ X1+2/4X2=200]-10
15X2=2000
X2=2000/15
X2=133.333
DESPEJANDO A X1 DE LA EC(1).
𝑋𝑋1 =
4000 − 20𝑋𝑋2 4000 − 20(133.33)
=
10
10
X1=2000/15=133.33
Z=10X1+15X2
Z=10(2000/15)+15(2000/15)= 3333.333
EJEMPLO 3.
Un banco asigna un máximo de $20,000 en préstamos personales y de
automóviles. El monto de los préstamos para automóviles debe ser cuando menos
2 veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha
demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de los préstamos
personales. Como deben asignarse los fondos para maximizar la utilidad del
banco si los intereses anual para préstamos personales son de 14% y del 12%
para préstamos para automóviles.
X1= Automóviles.
X2= Prestamos personales.
Capítulo II: El método simplex.
91
Max Z= X1(0.14) +X2(0.12)-0.1X2
Restricciones.
X1+X2≤20000
B
20000
X1, X2≥0
S.B.F
X1
X2
0
20000
20000
0
30
25
20
X1
0
10
X2
0
20
15
10
5
10
15
0.13X1+0.12X2=15
X1=N=Kg Mezcla barata
X2=Kg Mezcla cara
MAX Z=10X1+15X2
s.a
0.8X1+0.5X2≤1800
0.2X1+0.5X2≤1200
X1≥0
X2≥0
X2
3600
0
25
Z=1.5
Si Z = 2.5
X1
0
2250
20
X1
X2
0
2400
6000
0
20000
B
Capítulo II: El método simplex.
92
X2
6000
5500
5000
4500
4000
SBF
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
6000
X1
Capítulo II: El método simplex.
93
EJERCICIOS III. Problemas Método Grafico.
INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes ejercicios por el método grafico, la
solución se presenta en cada uno de los problemas.
Problemas del método grafico
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 4
2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 ≥ 20
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 12
𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 16
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
Capítulo II: El método simplex.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 6𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≥ 12
2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 12
𝑥𝑥2 ≥ 1
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6
4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 12
≥2
𝑥𝑥1
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 100
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 80
≤ 40
𝑥𝑥1
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
94
Capítulo II: El método simplex.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 8
𝑥𝑥2 ≤ 5
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 4
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
95
Capítulo II: El método simplex.
96
EJERCICIOS IV. Resolución de Modelos de Programación Lineal.
Instrucciones: Resolver los siguientes modelos de programación lineal por el
método apropiado.
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≤ 16
5𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 ≤ 29
3𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 ≤ 17
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2
s.a
≤ 61
2 𝑥𝑥1
−3𝑥𝑥2 ≤ 85
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 40
8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 50
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 15
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 ≤ 20
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 25
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 ≥ −7
2𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 8
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 11.3333
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
V.No Básicas
𝑥𝑥1 = 5.6667
𝑠𝑠1 = 5.6667
𝑠𝑠2 = 28.3336
𝑠𝑠3 = 17.00
Solución
𝑥𝑥2 = 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = −66.6667
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
V.No Básicas
𝑥𝑥2 = 13.333
𝑠𝑠2 = −40
𝑠𝑠3 = −40
𝑠𝑠4 = 26.6667
𝑥𝑥1 = 𝑠𝑠1 = 0
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 75
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
V.No Básicas
𝑥𝑥2 = 7.5
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 0
𝑠𝑠1 = 15
𝑠𝑠2 = 7.5
𝑠𝑠3 = 22.50
NO TIENE SOLUCIÓN
FACTIBLE
Capítulo II: El método simplex.
97
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6
2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 9
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 12.75
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥1 = 22.25
𝑥𝑥2 = 1.50
𝑠𝑠1 = 6
𝑠𝑠2 = 9
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 6
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 1
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 ≤ 2
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2.50
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥1 = 1.5
𝑥𝑥2 = 0.50
𝑥𝑥3 = 0
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 11
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 9
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 1
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥3 = 2
3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥3 ≥ 4
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 8.40
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥1 = 3.20
𝑥𝑥2 = 2.60
V.No Básicas
𝑠𝑠1 = 0
𝑠𝑠2 =0
NO TIENE SOLUCIÓN
FACTIBLE.
Capítulo II: El método simplex.
98
Solución
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 8
3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 6
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 3
𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 1
2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 2
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 7
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥1 = 0.8
𝑥𝑥2 = 1.80
V.No Básicas
𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0
𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0
𝑥𝑥3 =0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 8
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥1 = 1
𝑥𝑥3 = 2
V.No Básicas
𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0
𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0
𝑥𝑥2 =0
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20
6𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≥ 30
7𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≥ 40
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 ≥ 50
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 17.5
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥2 = 12.5
𝑥𝑥3 = 2
V.No Básicas
𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0
𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0
𝑥𝑥3 =0
Capítulo II: El método simplex.
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 42
3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 60
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 18
99
NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
Solución
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20
2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 50
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 5000𝑥𝑥1 + 7000𝑥𝑥2
𝑠𝑠. 𝑎𝑎
−2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1
𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 1
𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑍𝑍 = 150
𝑉𝑉. 𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑥𝑥3 = 50
V.No Básicas
𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0
𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0
𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 =0
NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE
CAPÍTULO III:
TEORÍA DE LA DUALIDAD
Y ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD.
Objetivo:
El alumno conocerá y aplicará el
concepto fundamental de la dualidad
y la relación matemática con el
problema primal, al igual que la
metodología
del
análisis
de
sensibilidad para determinar el efecto
que tienen los cambios realizados en
el modelo de Programación Lineal.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
3.1
101
FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DUAL.
Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la
programación lineal fue el concepto de dualidad y sus importantes ramificaciones.
Este descubrimiento revelo que asociado a todo problema de programación lineal,
existe otro llamado DUAL.
Desde distintos puntos de vista las relaciones entre el problema dual y el
original (llamado Primal) son muy útiles.
Esencia de la Teoría de Dualidad
Dada nuestra forma estándar para el problema primal, presente a su lado el
problema dual, tiene la forma que muestra en la derecha.
PROBLEMA PRIMAL
MAX
PROBLEMA DUAL
MIN
𝑛𝑛
𝑚𝑚
𝑍𝑍 = � 𝐶𝐶𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑗𝑗
𝑊𝑊 = � 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑖𝑖
𝑗𝑗 =1
s.a
𝑖𝑖=1
s.a
𝑛𝑛
� 𝑎𝑎𝑖𝑖.𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≤ 𝑏𝑏
𝑗𝑗 =1
Y
𝑚𝑚
𝑖𝑖 = 1,2,3 … … . . 𝑚𝑚
Xj≥0 para j=1,2,3……….n
� 𝑎𝑎𝑖𝑖.𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤ 𝑐𝑐
Y
𝑖𝑖=1
𝑗𝑗 = 1,2,3 … … . . 𝑚𝑚
Yi≥0 para i=1,2,3…………m
En consecuencia; con el problema de maximización, el problema dual está
conformado por minimización. Aun más, el problema dual usa los mismos
parámetros que el problema primal; pero en diferentes lugares, tal como se
resume a continuación.
1) Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los lados
derechos de las restricciones funcionales del problema dual.
La dualidad parte dependiendo de su origen:
Cuando el primo esta en formato canónico.
1.- El objeto de un problema debe ser opuesto al otro.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
102
2.- El problema de Maximización. Debe contar con todas sus restricciones≤ y el
de Min ≥.
3.- Las variables de ambos problemas deben ser no negativas.
4.- Cada restricción en un problema tiene asociada una variable en el otro y
viceversa.
5.- El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vector de
coeficientes objetivo del otro y viceversa.
6.- La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema es la transpuesta de la
matriz de coeficientes tecnológicos de otros.
Por tanto, si el problema es primo su dual entonces es:
MAX
Z0=CX
AX≤b
X≥0
MIN
Y0=bt
ATY≥Ct
3.2
DUALIDAD.
Se dice que con la solución de todo problema de programación lineal, se está
también solucionando un problema estrechamente relacionado; a tal problema se
le llama el problema DUAL, a su vez al problema original al cual se hace
referencia un dual, que es el problema original, se le llama también el problema
PRIMAL
3.2.1 FORMA CANÓNICA.
Un problema de maximización se encuentra en forma canónica si en la
definición del modelo matemático todas sus restricciones son del tipo≤ que y
todas sus variables son mayores o iguales a cero.
Max Z= CX
Sujeta a Ax≤b
X≥0
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
103
Un problema de minimización se encuentra en forma canónica si en la
definición del modelo matemático, todas sus restricciones son del tipo mayor o
igual que y todas sus variables son mayores o iguales a cero.
Min Z=CX
Sujeta a Ax≥b
X≥0
3.2.1.1 TRANSFORMACIÓN.
 Todo problema de maximización primal tiene un problema de minimización
en su dual.
 Todo problema de minimización primal tiene un problema de maximización
en su dual.
 Cada restricción del primal implica una variable dual.
 Cada variable primal implica una restricción dual.
 Los coeficientes del lado derecho del primal, son los coeficientes del lado
derecho dual.
 Los coeficientes tecnológicos de la variable j del primal, son los coeficientes
tecnológicos de la restricción j del dual.
 Los coeficientes tecnológicos de la restricción i del primal, son los
coeficientes tecnológicos de la variable i del dual.
Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en
forma Canónica:
PRIMAL
DUAL
MAX Z=CX
MIN Z=Wb
Sujeta a Ax≤b
Sujeta a wA≥c
W≥0
X≥0
Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en
forma canónica:
DUAL
PRIMAL
MIN Z=CX
Sujeta a Ax≥b
X≥0
MAX Z=Wb
Sujeta a wA≤c
w≥0
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
104
EJEMPLO 1.
MODELO PRIMAL
MAX
Z=4X1+2X2+X3
≥
8
X3
≥
+
X3
,
X3
2X1
+
4X2
5X1
+
2X2
+
2X2
X2
X1
,
MODELO DUAL
MAX
A=
W=8Y1+12Y2+5Y3
-8X1
-
12Y2
-
5Y3
=
0
12
2X1
+
5Y2
+
0
4
≥
≤
15
+
2Y2
+
2Y3
≤
2
≥
4X1
0
0
+
Y2
+
Y3
≤
1
NOTA: Se aplica Método Simplex para resolver.
2Y1
+
5Y2
4Y1
+
2Y2
+
2Y3
0
+
Y2
+
Y3
n=6
+
S1
+
S2
+
m=3
S3
=
4
=
2
=
1
6-3=3 variables no básicas
Básicas= S1, S2, S3
BASE
W
Y1
Y2
Y3
S1
S2
S3
SOL
W
1
-8
-12
-5
0
0
0
0
S1
0
2
5
0
1
0
0
4
S2
0
4
2
2
0
1
0
2
S3
0
0
1
1
0
0
1
1
W
1
-16/5
0
-5
12/5
0
0
48/5
Y2
0
2/5
1
0
1/5
0
0
4/5
S2
0
16/5
0
2
-2/5
1
0
2/5
-2X2+S2
S3
0
2/5
2
1
1/5
0
1
1/5
X2+S3
W
1
24/5
0
0
7/5
5/2
0
53/5
5X3+W
Y2
0
2/5
1
0
0
0
0
4/5
0X3+X2
Y3
0
8/5
0
1
1/2
1/2
0
1/5
S3
0
-6/5
2
0
-1/2
-1/2
1
0
12x2+W
-X3+S3
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
No básicas= X1,X2,X3
COMPROBACIÓN
8(0)+12(4/5)+5(1/5)=53/5
V. Básicas
X2=4/5
X3=1/5
S3=0
V. no Básicas.
X1=0
S1=0
S2=0
105
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
106
EJEMPLO 2.
Utilizando el problema dual resuelva el siguiente modelo de Programación
Lineal.
MODELO PRIMAL
MIN G= 4Y1+2Y2
18Y1
-
19Y2
≥
85
14Y1
-
5Y2
≥
115
4Y1
+
2Y2
≥
150
Y1
,
Y2
≥
0
MODELO DUAL
MIN G= 4Y1+2Y2
MAX
W=85X1+115X2+50X3
18Y1
-
19Y2
≥
85
18X1
+
14X2
+
4X3
≤
4
14Y1
-
5Y2
≥
115
-19X1
-
5X2
+
2X3
≤
2
4Y1
+
2Y2
≥
150
Y1
,
Y2
≥
0
FORMATO ESTANDAR.
MAX
W=85X1+115X2+50X3
18X1
+
14X2
+
4X3
-19X1
-
5X2
+
2X3
M=5
n=2
5-2=3
+
S1
+
S2
=
4
=
2
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
Base
W
X1
X2
X3
S1
S2
SOL
W
1
-85
-115
-50
0
0
0
S1
0
18
14
4
1
0
4
S2
0
-19
-5
2
0
1
2
w
1
440/7
0
-120/7
115/4
0
230/7
X2
0
9/7
1
2/7
1/4
0
2/7
S2
0
-88/7
0
24/7
5/4
1
27/7
Base W
X1
X2
X3
S1
S2
SOL
W
229/3
0
0
10
5
50
X2
7/3
1
0
1/74
-1/12
0
X3
-11/3
0
1
35/96
7/24
1
V. Básicas
X2=0
X3=1
V. no Básicas
X1=0
S1=0
S2=0
107
115Y2+W
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
EJEMPLO 3. FORMATO CANÓNICO
FORMATO ESTANDAR
MIN
MIN
Z=4X1+3X2+0S1+0S2+0S3+0S4
Z=4X1+3X2
Z=4X1+3X2
Z-4X1-3X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0
s.a
s.a
s.a
Y1
+
Y2
≥
6
-X1
-
X2
≤
-6
-
X2
-
Y2
≥
-X1
2Y1
0
-2X1
+
X2
≤
0
≥
-2X1
+
X2
2
-X1
≤
-2
≥
-X1
Y2
2
Y2
≥
0
Y1
Y1
,
108
X1
-
X2
≤
-2
,
X2
≥
0
+S1
=
-6
=
0
=
-2
+S4
=
-2
,S4
≥
0
+S2
+S3
X1
-
X2
,
X2
,S1
,S2
,S3
Tablon
Base
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
SOL
X1=-4/-1=4
Z
1
-4
-3
0
0
0
0
0
X2=-3/-1=3
S1
0
-1
-1
1
0
0
0
-6
S1=0/1=0
S2
0
-2
1
0
1
0
0
0
S2=0/0=∞
S3
0
-1
0
0
0
1
0
-2
S3=0/0=∞
S4
0
0
-1
0
0
0
1
-2
S4=0/0=∞
1.- ITERACIÓN
Base
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
SOL
X1=-1/-3=1/3
Z
1
-1
0
-3
0
0
0
18
X2=0/0=∞
X2
0
1
1
-1
0
0
0
6
S1=-3/1=-3
S2
0
-3
0
1
1
0
0
-6
S2=0/1=0
S3
0
-1
0
0
0
1
0
-2
S3=0/0=∞
S4
0
1
0
1
0
0
1
4
S4=0/0=∞
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
109
2.- ITERACIÓN
Base
Z
X1
X2
S1
S2
S3
S4
SOL
Z
1
0
0
-10/3
-1/3
0
0
20
X2
0
0
1
-2/3
1/3
0
0
4
X1
0
1
0
-1/3
-1/3
0
0
2
S3
0
0
0
-1/3
-1/3
1
0
0
S4
0
0
0
-2/3
1/3
0
1
-2
V. no Básicas
V. Básicas
S1=0
X2=4
S2=0
X1=2
MIN
S3=0
Z=20
S4=2
COMPROBACIÓN
Z=4(2) +3(4) =20
s.a
4+2≥6
6≥6
2(2)-4≥0
0≥0
X1≥2
2≥2
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
EJEMPLO 4. FORMATO CANONICO
110
FORMATO ESTANDAR
MIN
MIN
Z=2X1+6X2+0S1+0S2+0S3+0S4
Z=2X1+6X2
Z=2X1+6X2
Z-2X1-6X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0
s.a
s.a
s.a
-5X1
+
7X2
≥
8
5y1
-
7y2
≤
-8
-
7y2
-
6X2
≤
5y1
4X1
2
-4y1
-
6y2
≤
2
4y1
-
6y2
X1
+
2X2
=
3
y1
+
2y2
≤
3
+
2y2
,
X2
≥
y1
X1
0
y1
-
y2
≥
3
-
2y2
-
2y2
≤
-y1
-y1
-3
y1
,
y2
+S1
=
-8
=
2
=
3
+S4
=
-3
,S4
≥
0
+S2
+S3
,S1
,S2
,S3
TABLON
Base
Z
Y1
Y2
S1
S2
S3
S4
SOL
Y1=-2/5=-0.4
Z
1
-2
-6
0
0
0
0
0
Y2=-6/-7=.05
S1
0
5
-7
1
0
0
0
-8
S1=0/1=0
S2
0
4
-6
0
1
0
0
2
S2=0/0=∞
S3
0
1
2
0
0
1
0
3
S3=0/0=∞
S4
0
-1
-2
0
0
0
1
-3
S4=0/0=∞
1.-ITERACIÓN
Base
Z
Y1
Y2
S1
S2
S3
S4
SOL
Y1=0/0=∞
Z
1
0
-44/5
2/5
0
0
0
-16/5
Y2=44/17=2.58
S1
0
1
-7/5
1/5
0
0
0
-8/5
S1=2
S2
0
0
-2/5
-4/5
1
0
0
42/5
S2=0/0=∞
S3
0
0
17/5
-2/5
0
1
0
23/5
S3=0/0=∞
S4
0
0
-17/5
1/5
0
0
1
-23/5
S4=0/1=0
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
111
2.-ITERACIÓN
Base
Z
Y1
Y2
S1
S2
S3
S4
SOL
Y1=0/0=∞
Z
1
0
-2
0
0
0
-2
6
Y2=-2/-17=0.11
Y1
0
1
2
0
0
0
-1
3
S1=0/1=0
S2
0
0
-14
0
1
0
-1
-10
S2=0/0=∞
S3
0
0
0
0
0
1
1
0
S3=0/0=∞
S4
0
0
-17
1
0
0
5
-23
S4=0/0=∞
3.-ITERACIÓN
Base
Z
Y1
Y2
S1
S2
S3
S4
SOL
Z
1
0
0
-2/17
0
0
-44/17
148/17
Y1
0
1
0
2/17
0
0
-7/17
5/17
S2
0
0
0
-14/17
1
0
-2/17
152/17
S3
0
0
0
0
0
1
1
0
Y2
0
0
1
-1/17
0
0
-5/17
23/17
V. Básicas
V. no Básicas
Y1=5/17
MAX
S1=0
S2=152/17
Z=148/17
S3=0
Y2=23/17
S4=0
COMPROBACIÓN
Z=2(5/17)+6(23/17)=148/17
-5(5/17)+7(23/17)≥8
8≥8
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
3.3
112
TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL.
Cuando un modelo no está en forma canónica puede seguirse la siguiente tabla
de transformación:
PRIMAL
FUNCIÓN
OBJETIVO
DUAL
MAXIMIZACIÓN
MINIMIZACIÓN
≥0
≤0
LIBRE
≤
≥
=
≥
≤
=
≥0
≤0
LIBRE
VARIABLE
RESTRICCIÓN
DUAL
FUNCIÓN
OBJETIVO
RESTRICCIÓN
VARIABLE
PRIMAL
Tabla 2. Fuente: IPN-UPIICSA
Como se observa en la tabla de transformación anterior, en un momento dado
se puede estar utilizando variables no-positivas (Xk≤0) y variables libres, esto es,
variables sin restricción de signo (Xk≥0 ´0 Xk≤0); al definir al algoritmo Simplex
siempre se trabaja con variables no-negativas y así debe continuar; por lo tanto,
debe hacerse un ajuste al modelo poder manejar variables no-positivas y las
variables libres.
EJEMPLO1.
MAX Z= 5X1+6X2
s.a
X1+9X2≤60
2X1+3X2≤45
5X1-2X2≤20
X2≤30
X1,X2≥0
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
113
DIAGRAMA DE TRUCKER
X1
X2
Y1
1
9
≤60
Y2
2
3
≤45
Y3
5
-2
≤20
Y4
0
1
≤30
5
6
Tabla 3. Fuente: IPN-UPIICSA.
MIN G= 60Y1+45Y2+20Y3+30Y4
s.a
Y1+2Y2+5Y3≥5
9Y1+3Y2-2Y3+Y4≥6
Y1,Y2,Y3,Y4≥0
Observaciones de este caso en particular:
a) Que el problema dual tiene menor número de restricciones que el primario.
b) Cada restricción en un problema corresponde con una variable en el otro
problema.
c) Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son los
coeficientes de la función objetivo en el otro problema.
d) Un problema busca maximizar y en otro minimizar.
e) El problema de maximización tiene signos ≤ en todas las restricciones,
tanto que el de minimización tiene signos ≥ en todas las restricciones.
f) Las variables en los dos problemas son no negativas.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
¿Qué sucede cuando se tiene una restricción en forma de igualdad?
EJEMPLO:
Obtenga el modelo Dual a partir de Primario.
PRIMAL
MAX Z=C1+C2
s.a
a11x1+a12x2=b1……………………..Rs 1
a21x1+a22x2=b2……………………..Rs 2
X1,X2≥0
Trabajando con la restricción Rs 1.
a11x1+a12x2≤b1
[a11x1+a12x2≥b1 ]x-1 para invertir el sentido de la desigualdad y dejarlo en
forma canónica.
-a11x1-a12x2≤-b1
NOTA: Lo mismo pasa con Rs2. Se hace el mismo procedimiento.
Acomodando el modelo nos queda.
MAX Z=C1+C2
s.a
a11x1+a12x2≤b1
a21x1+a22x2≤b2
a21x1+a22x2≤b2
X1,X2≥0
114
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
115
X1
X2
Y1
a11
a11
≤b1
Y1
-a11
-a11
≤b1
Y3
a21
a22
≤b1
C1
C2
DUAL.
MIN G= b1-b1+b2
s.a
a11y+1-a11y-1+a21y2≥C1
a12y+1-a12y-1+a22y2≥C2
y+1,y-1,y2≥0
FACTORIZANDO
MIN G=b1(y+1-y-1)+b2y2
s.a
a11(y+1-y-1)+a21y2≥C1
a12(y+1-y-1)+a22y2≥C2
y+1,y-1,y2≥0
Sustituyendo la expresión del paréntesis por y1 el modelo nos queda así:
MIN G=b1y1+b2y2
s.a
a11y1+a21y2≥C1
a12y1+a22y2≥C2
y+1 Libre, irrestricta, no restringida, y2≥0
Siempre que tengamos una restricción en el problema primario en forma (=) la
variable dual correspondiente será dual y viceversa.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
3.4
116
TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL SIMPLEX.
Se aplica a problemas que tiene factibilidad dual inicial, es decir, que son
óptimos pero infactibles simples.
La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma
canónica (≤). La función objetivo puede ser de maximización o minimización.
Condiciones
FACTIBILIDAD
•
La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo,
en caso de empate procedemos de forma arbitraria, y si todas las variables
básicas son no negativas, el procesos finaliza y la solución factible óptima
se encuentra.
OPTIMALIDAD
•
La variable de entrada es seleccionada de las variables no básicas, se
hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos y
se toman de la ecuación pivote. Los numeradores serán los números
correspondientes en la función objetivo.
Se escoge el cociente más próximo a 0 para minimización. No toma en cuenta
cocientes asociados con denominadores positivos o ceros. Y si todos los
denominadores son 0 o positivos, el problema no tiene solución factible, los
empate se deciden arbitrariamente.
Cuando se tiene un caso de Max en el método Dual-Simplex, todo el
procedimiento es exactamente igual si fuera Min, excepto que al definir la variable
de entrada se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente
negativos tomados de la ecuación pivote y los numeradores serán los números
correspondientes en la función objetivo.
Se toman los valores absolutos de los cocientes (prescindiendo de los
negativos) y se elige, para determinar la variable de entrada, el cociente más
próximo a cero.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
117
EJEMPLO
MIN
Z=2X1+X2
s.a
3x1+x2≥3
NO SE PUEDE
RESOLVER POR
EL
METODO
SIMPLEX
4x1+3x2≥6
x1+2x2≥8
x1,x2≥0
PASO1.- Se expresan las restricciones del problema únicamente las
restricciones en la forma canónica:
MIN
Z=2X1+X2
s.a
-3x1-x2≤-3
-4x1-3x2≤-6
-x1-2x2≤-8
x1,x2≥0
PASO2.- Se añade variables de holgura positivas:
Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3
Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3
s.a
-3x1
-4x1
-x1
- x2
- 3x2
- 2x2
+
S1
+
S2
+
S3
=
=
=
-3
-6
-8
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
PASO 4.BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-2
-1
0
0
0
0
S1
0
-3
-1
1
0
0
-3
S2
0
-4
-3
0
1
0
-6
S3
0
-1
-2
0
0
1
-8
V entrada
V.salida
−1
= 0.3
−3
−2
= 0.5
−4
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-2/3
0
0
-1/3
0
2
S1
0
-5/3
0
1
-1/3
0
-1
X2
0
-4/3
1
0
1/3
0
2
S3
0
5/3
0
0
-1/3
1
1
V. entrada
V. salida
−1/3
=1
−1/3
−2/3
= 0.4
−5/3
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
0
0
-2/5
1/5
0
12/5
X1
0
1
0
-3/5
-1/5
0
3/5
X2
0
0
1
4/5
3/5
0
6/5
S3
0
0
0
1
1
1
0
V. básicas
V. no básicas
X1=3/5
S2=0
X2=6/5
S1=0
S3=0
118
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
119
Como hay factibilidad se puede aplicar el método Dual-Simplex.
PASO5.-Se define la variable de salida, se elige por el valor más negativo de
la columna de solución.
PASO 6.- Se define la variable de entrada, para ello se formaran cocientes en
los que los denominadores de la ecuación pivote y que pertenezcan a las
variables no básicas. Los numeradores serán los números correspondientes
a la función objetivo.
EJEMPLO.
El entrenador de Básquetbol de los Borregos del Tec. de Monterrey está
interesado en preparar lo que ha bautizado como la ensalada vitamínica, la cual
puede prepararse a partir de 5 verduras básicas disponibles y definidas como
1,2,3,4,5; se desea que la ensalada vitamínica contenga por lo menos 10 unidades
de vitamina A y 25 unidades de vitamina C, la relación neta del contenido
vitamínico y el costo de las verduras se proporcionan en la siguiente tabla.
VERDURAS
(UNIDADES DE VITAMINA/Kg)
VITAMINAS
A
C
COSTO
1
2
1
100
2
0
2
80
3
3
2
95
X= Cantidad de las diferentes verduras a emplear en la E.V.
X1= Cantidad de vitamina 1 a emplear en la E.V.
X2= Cantidad de vitamina 2 a emplear en la E.V.
X3= Cantidad de vitamina 3 a emplear en la E.V.
X4= Cantidad de vitamina 4 a emplear en la E.V.
X5= Cantidad de vitamina 5 a emplear en la E.V.
4
4
1
100
5
1
3
110
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
120
MAX
Z=100X1+80X2+95X3+100X4+110X5
s.a
2X1
+
3X3
+
4X4
+
X5
≥
10
X1
+
2X2
+
2X3
+
X4
+
3X5
≥
52
X1
,
X2
,
X3
,
X4
,
X5
≥
0
DUAL
MIN
F=10Y1+25Y2
s.a
2Y1
+
+
+
+
+
,
3Y1
4Y1
Y1
Y1
≤
≤
≤
≤
≤
≥
Y2
2Y2
2Y2
Y2
3Y2
Y2
100
80
95
100
110
0
MAX
Z= 100X1+80X2+95X3+100X4+110X5-0S1-0S2-MW1-MW2
Z-100X1-80X2-95X3-100X4-110X5+0S1+0S2+MW1+MW2=0
2X1
X1
+
2X2
+
3X3
+
4X4
+
X5
+
2X3
+
X4
+
3X5
Xi≥0
i=1,2,3,4,5
-S1
+
-S2
S1,S2,W1,W2≥0
W1
+
W2
=
10
=
25
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
Z
1
-100
-80
-95
W1
0
2
0
3
4
W2
0
1
2
2
1
X5
121
S1
S2
W1
W2
0
0
M
M
1
-1
0
1
1
3
0
-1
0
0
-100 -100
Sol
AJUSTE
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
-100-3M
-80-2M
-95-5M
-100-5M
110-3M
M
M
0
0
-35
W1
0
2
0
3
4
1
-1
0
1
0
10
W2
0
1
2
2
1
3
0
-1
0
1
25
1 ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
-100/3-5/3M
-26/3+2/3M
65/5-7/3M
-193/3-1/3M
0
M
-110/3+4/3M
0
110/3+4/3M
2750/3
W1
0
5/3
-2/3
7/3
11/2
0
-1
1/3
1
-1/3
5/3
X5
0
1/3
2/3
2/3
1/3
1
0
-1/3
0
1/3
25/3
2. ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
-380/11
-200/11
208/11
0
0
-190/11
-390/11
190/11+M
340/11+M
10600/11
X4
0
5/11
-2/11
7/11
1
0
-3/11
1/11
3/11
-1/11
-5/11
X5
0
2/11
8/11
5/11
0
1
1/11
-4/11
-1/11
-4/11
9/11
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
122
3 ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
0
-32
67
76
0
-38
-24
38+M
25+M
980
X1
0
1
-2/3
7/5
11/5
0
-3/5
1/5
3/5
-1/5
1
X5
0
0
4/5
1/5
-2/5
1
1/5
-2/5
-1/5
2/5
8
4 ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
S1
S2
W1
W2
Sol
Z
1
0
120
105
0
190
0
-100
M
100+M
2500
X1
0
1
2
2
1
3
0
-1
0
1
25
X5
0
0
4
1
2
5
1
-2
-1
2
40
Conclusión.
Se necesitan 25 unidades de vitamina 1 y 40 unidades de vitamina 5 para
preparar una ensalada vitamínica con 2500 unidades.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
123
EJEMPLO.
MODELO PRIMAL
MAX
MODELO DUAL
Z=2X1+5X2
MIN
W=3Y1+4Y2+6Y3
X1
-
X2
≤
3
-2X1
-
X2
=
4
Y1
-
2Y2
-
6Y3
≤
2
-X1
+
3X2
≤
6
Y1
-
Y2
+
3Y3
=
5
≤
0
Y1
,
Y3
≥
0
=
0
X1
X2
Libre o irrestricta
Y2
MIN
Z=3Y1+4Y2+6Y3+0S1+MW1
Z-3Y1-4Y2-6Y3-0S1-MW1
s.a.
Y1
-
2Y2
+
6Y3
-Y1
-
Y2
+
3Y3
Y1
,
+
S1
+
W1
Y3
Y2
=
2
=
5
≥
0
Libre
TABLON
Base
Z
Y1
Y2
Y3
S1
W1
SOL
Z
1
-3
-4
-6
0
-M
0
S1
0
1
-2
1
1
0
2
W1
0
-1
-1
3
0
1
5
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
124
AJUSTE
Base
Z
Y1
Y2
Y3
S1
W1
SOL
Z
1
-3-M
-4-M
-6+3M
0
-M
5M
S1
0
1
-2
1
1
0
2
=2/1=2
W1
0
-1
-1
3
0
1
5
=5/3=1.66
1.- ITERACIÓN
Base
Z
Y1
Y2
Y3
S1
W1
SOL
Z
1
-5
-6
0
0
2-M
10
S1
0
2/3
-7/3
0
1
1/3
11/3
W1
0
-1/3
-1/3
1
0
1/3
5/3
V. Básicas
S1=11/3
Y3=5/3
V. no Básicas
Z=10
Y1=0
Y2=0
W1=0
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
3.5
125
ANALISIS DE SENSIBILIDAD.
El método de modelo de programación lineal es estático y por tal motivo puede
resultar inoperante con el transcurso del tiempo; es decir, los cambios que ocurren
en cualquier economía dan lugar a que precios, costos, recursos disponibles o
requeridos ya no se puedan considerar para otro tiempo. Estos parámetros por lo
general son valores estimados sin la deseable precisión debido a las dificultades
normales para conseguir registros confiables.
Una solución es óptima solo en la que se refiere al modelo específico que se
usa para representar un problema real estudiado, pero no puede ser confiable
hasta verificar un buen comportamiento al hacer cambios en sus parámetros. El
análisis de sensibilidad tiene el propósito de investigar el defecto sobre la solución
óptima entregada por el método simplex con los cambios a los valores originales.
En tal caso la programación lineal tiene el recurso de revisar la solución óptima
del problema para ajustarla a lo que juzga valido por los responsables de la
decisión o bien en respuesta a cambios (solo discretos, pues los cambios
continuos forman parte de la programación paramétrica no incluida aquí) del
entorno económico; por tal motivo a este análisis también se le conoce como
análisis de la paso optimalidad.
En general se pueden presentar cambios que no afecten la optimalidad de la
solución obtenida pero también ocurrir que se pierda esa condición. Por tal motivo
es importante verificar los parámetros sensibles, que al cambiar de valor, se pierde
el óptimo en este caso, es posible calcular el intervalo de valores permitidos que
no pierdan lo óptimo. También se puede determinar el intervalo para conservar la
factibilidad (los valores no negativos de una variable).
3.5.1. Forma
Matricial de la Tabla
Simplex y las Relaciones Vectoriales
Implicadas.
Donde:
Z= Al valor de la función objetivo.
A= A las matriz de coeficientes tecnológicos conforme las restricciones.
b= Es un vector columna de términos independientes, conforme a las
restricciones.
C= Es un vector renglón de coeficientes, conforme a la función objetivo.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
126
CB= Es un vector renglón de coeficientes de variables de función objetivo
conforme transpuesto se ubiquen en la columna de base (básicas en la tabla
simplex).
Y= Es un vector renglón de variables duales (precios sombra) los que se localizan
como coeficientes en las variables de holgura y/o artificiales del renglón Z.
XB= Es un vector columna con valores de variables básicas en la columna de
solución.
B-1= Es la inversa de una matriz B formada por las columnas aj de coeficientes aij
de restricciones, conforme a variables básicas (columna de base) en la tabla
simplex.
N= Matriz de coeficientes tecnológicos, no básicos.
XN= Es el vector de variables no básicas.
1= Matriz identidad.
0= Vector cero.
3.5.1.1. Cambio en el vector A.
Cambios en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones en
variables no básicas.
Los cambios en A para variables básicas resultan en cálculos muy complicados
siendo mejor recalcular con el simplex para cambio de coeficientes aij de la matriz
A de restricciones en variables no básicas solo interesa manejar los
pues el resto queda igual y se puede así:
aij de ellos,
1. ETAPA
Usando la fórmula de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐶𝐶 se revisa si el coeficiente
indicador de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo, si no ocurre el cambio de signo en tal
coeficiente no es necesario aplicar la 2 etapa ya que el cambio propuesto no
afecta la optimalidad del problema. Cuando el coeficiente 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo
se entiende que el cambio propuesto, si provoca perdida de optimalidad de la
solución que se está realizando y en tal caso se procede a la siguiente etapa.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
127
2. ETAPA
Se aplica la fórmula de de 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴 con la cual se calcula la nueva columna
𝑎𝑎∗ 𝑗𝑗. Se aplica el simplex hasta re optimizar dado el siguiente modelo de
programación lineal suponga que el coeficiente -1 cambia a 2.
EJEMPLO 1:
Min Z=3X1-X2+4X3
s.a
X1
X1
2X2
X2
,
+
,
≥
=
≥
X3
X3
X3
8
20
0
Min Z=3X1-X2+4X3-0S1+MW1+MW2
X1
X1
-
X3
2X2
+
X3
X2
,
X3
,
-
S1
,
+
S1
W1
,
=
3
+
W2
≤
4
,
W2
≥
0
W1
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
W2
Sol
Z
1
-3M
1+2M
-4
-M
0
0
28M
W1
0
1
0
-1
-1
1
0
8
W2
0
0
2
1
0
0
1
20
1.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
W2
Sol
Z
1
-3M
0
-9/2-M
-M
0
-1/2-M
-10+8M
W1
0
1
0
-1
-1
1
0
8
X2
0
0
0
1/2
0
0
1/2
10
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
128
2.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
W2
Sol
Z
1
0
0
-15/2-M
-3
3-M
-1/2-M
14
X1
0
1
0
-1
-1
1
0
8
X2
0
0
1
1/2
0
0
1/2
10
2
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = �3, −1�2� � � − 4 = 3�2 ≥ 0 ∴ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
1
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐶𝐶 = �3, −1�2� �
1 0
0 2
�0 0
𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵 −1 𝐴𝐴
ETAPA 2
1 0 1 0 2
1 0
�0 1� � �
� = �0 1
2 0 2 1
3
2
� − [3 −1 4] = �0
1
0
6
−1
−1
�2� =
3� � ≥ 0
2
2
1 0 2
2
1� � = �0 1� � �1� = �1� �
2
2
2
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
W2
Sol
Z
1
0
0
3/2
-3
3-M
-1/2-M
14
X1
0
1
0
2
-1
1
0
8
X2
0
0
1
1/2
0
0
1/2
10
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
W2
Sol
Z
1
-3/4
0
0
-9/4
9/4-M
-1/2-M
8
X3
0
1/2
0
1
-1/2
1/2
0
4
X2
0
1/4
1
0
1/4
-1/4
1/2
8
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
129
EJEMPLO 2
Suponga que el vector de la columna 𝑎𝑎1 [2,6,2] cambia a 𝑎𝑎1 [6,6, −2]
MIN
Z=5X1-6X2-7X3
s.a
2X1
+
10X2
-
6X3
≥
30
6X1
-
3X2
+
X3
≤
12
2X1
+
2X2
+
2X3
=
12
X1
,
X2
,
X3
≥
0
Z=5X1-6X2-7X3-0S1+0S2+MW1+MW2
Z-5X1+6X2+7X3+0S1-0S2-MW1-MW2=0
2X1
+
10X2
-
6X3
6X1
-
3X2
+
X3
2X1
+
2X2
+
2X3
-
S1
+
+
W1
S2
+
W2
=
30
=
12
=
12
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
-5+4M
6+12M
7-4M
-M
0
0
0
42M
W1
0
2
10
-6
-1
1
0
0
30
S2
0
6
-3
1
0
0
1
0
12
W2
0
2
2
2
0
0
0
1
12
1.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
-12+4M
-1+16M
0
-M
0
0
-7/2+2M
-42+66M
W1
0
8
16
0
-1
1
0
3
66
S2
0
5
-4
0
0
0
1
-1/2
6
X3
0
1
1
1
0
0
0
1/2
6
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
130
2.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
23/2
0
0
-1/16
1/16-M
0
-53/16-M
-303/8
X2
0
1/2
1
0
-1/16
1/16
0
3/16
33/8
S2
0
7
0
0
-1/4
1/4
1
1/4
45/2
X3
0
1/2
0
1
1/16
-1/16
0
5/16
15/8
6
−53
�16� � 6 � = 2 > 0 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂
0
−2
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝑌𝑌 − 𝐶𝐶 = �1�16
FASE 2
0 3�16⎤
6
0
1 1�4 ⎥ � 6 � = � 7 �
⎥ −2
−1
0 5�16⎦
1
⎡ �16
⎢ 1�
4
⎢
−1�
⎣
16
REOPTIMIZO
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
2
0
0
-1/16
1/16-M
0
-53/16-M
-303/8
X2
0
0
1
0
-1/16
1/16
0
3/16
33/8
S2
0
7
0
0
-1/4
1/4
1
1/4
45/2
X3
0
-1
0
1
1/16
-1/16
0
5/16
15/8
3.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
0
0
0
1/112
-1/112-M
-2/7
-379/112-M
-2481/56
X2
0
0
1
0
-1/16
1/16
0
3/16
33/8
S2
0
1
0
0
-1/28
1/28
1/7
1/28
45/14
X3
0
0
0
1
3/112
-3/112
1/7
39/112
285/56
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
131
4.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
0
0
-1/3
0
-M
-1/3
-7/2-M
-46
X2
0
0
1
7/3
0
0
1/3
1
16
S2
0
1
0
4/3
0
0
1/3
1/2
10
X3
0
0
0
112/3
1
-1
16/3
13
190
3.5.1.2. Cambio en el vector B
A partir de la definición por producto de matrices y vectores de una tabla
simplex óptima se obtiene.
(CB B-1 N-CN)≥0 y B-1b≥0
Para el vector de variables básicas optimas XB*=B-1b. Así el análisis de
sensibilidad determinara los intervalos de los roles para cada parámetro en el
modelo que permita mantener al conjunto de variables básicas en estas
condiciones.
Para el análisis de sensibilidad se requiere saber la composición matricial de la
tabla simplex y las relaciones vectoriales implicadas. La localización de estos
vectores y matrices en la tabla forman parte de la estructura matricial.
Cuando se modifica el valor de las componentes del vector de recursos b a
(b+Δb), sólo debe verificarse que se siga mantenimiento la factibilidad de las
variables básicas, esto es, al hacer el cambio se debe tener que B-1(b+Δb)≥0
A partir de la ley distributiva para la suma se tiene
(𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝒃𝒃 + 𝑩𝑩−𝟏𝟏 ∆𝒃𝒃 ) ≥ 0
Este es un sistema de inecuaciones que nos permite determinar todas las
posibles combinaciones que permite determinar todas las posibles combinaciones
para los cambios en b.
De esta última expresión, después de realizar las correspondientes
operaciones, se define Δb tal que permita en todo caso mantener como ninegativas a todas las variables óptimas en XB.
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
132
Analizando sólo los cambios de uno de los recursos a la vez se tiene:
∆𝑏𝑏1
0
0.
∆
0
𝑏𝑏𝑏𝑏
⎛ ⎞
⎛ ⎞
∆𝑏𝑏 = ⎜ . ⎟ , ∆𝑏𝑏 = ⎜ . ⎟ , ∆𝑏𝑏 = � . �
.
.
.
∆
𝑏𝑏𝑏𝑏
⎝ 0 ⎠
⎝0⎠
Siguiendo estas condiciones para mantener la factibilidad de la solución básica
óptima se encuentra el rango de valores para cada recurso b1, la solución es el
rango de valores que satisfacen.
(𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏 + 𝐵𝐵 −1 ∆𝑏𝑏 ) ≥ 0
EJEMPLO 1:
Z=5x1+3x2+0s1+0s2
Z-5x1-3x2-0s1-0s2=0
s.a
3x1 + 5x2 +
5x1 + 2x2
x1,x2,s1,s2≥0
Producto
utilidad
S1
+
A
5
C1
5
5
Personal
T. máquina
=
=
S2
B
3
C2
5
2
15
10
disponible
15
b
10
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Sol
Z
1
-5
-3
0
0
8
S1
0
3
5
1
0
15
15/3 = 5
0
5
2
0
1
10
10/5 = 2
S2
1 ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Sol
Z
1
0
-1
0
1
10
S1
0
0
19/5
1
-3/5
9
=9/19/5=2.3
X1
0
0
2/5
0
1/5
2
=2/2/5=2
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
133
2. ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Sol
Z
1
0
0
5/19
16/19
235/19
X2
0
0
1
5/19
-3/19
45/19
Es lo único que
se toma de la
solución factible.
X1
0
1
0
-2/19
5/19
20/19
¿Qué pasaría si trabajo con 5 personas. Maximizar para producto A y producto B y
que el Tiempo de Máquina sean 5 horas?
b+Δb
𝐵𝐵 −1
5 personas
5 −3
= � 19 19 �
−2 5
19 19
5 −3
�𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 (𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = � 19 19 � �5� = 2 × 1
𝑋𝑋
−2 5 5
19 19
25 −15
10�
19� ≥ 0
19
19
�
�=�
𝑋𝑋𝐵𝐵 = �
15
−10 25
�19
19
19
Zo= CBXB
10
𝑍𝑍𝑍𝑍 = [3,5] �19�
15
19
𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏 �
𝐵𝐵
−1
5�
� 19
−2�
19
10
�
20
−3�
19�
5�
19
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
5 −3
50�
19
�𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 (𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = � 19 19 � �10� = �
𝑋𝑋
−20�
−2 5 20
19
19 19
Aplicar Dual Simplex.
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Z
1
0
0
5/19
16/19
X2
0
0
1
5/19
-3/19
-10/19
X1
0
1
0
-2/19
5/19
80/19
−10�
−60�
19� ≥ 0
19� = �
80�
100�
19
19
5
19
𝑠𝑠1 =
5
19
Sol
16
𝑠𝑠2 = 19
−3
19
3 ITERACIÓN.
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
Sol
Z
1
0
-1
0
1
S1
0
0
19/3
1
-3/5
-2
X1
0
1
2/5
0
1/5
4
134
𝑋𝑋2 =
𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1
𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋�𝐵𝐵
1
= 0.26
−19
5
𝑠𝑠2 =
1
= 1.6
−3
5
Se toma este porque no se hace cíclico
BASE
Z
Z
X1
X2
S1
S2
1
0
16/3
5/3
0
S2
0
0
-19/3
-5/3
1
10/3
X1
0
1
5/3
1/3
0
10/3
𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋�𝐵𝐵1 = [𝑆𝑆2 , 𝑋𝑋1 ] �
10�
𝑆𝑆2
3� = �0 + 50� � = 16.6
� = [0,5] �
3
10�
𝑋𝑋1
3
Sol
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
135
EJEMPLO 2:
Z=2X1+X2
C1
C2
s.a
≤
≤
≤
X1
6X1
X2
8X2
+
C3
C4
6
4
48
b1
b2
b3
C5
Z=2X1+X2+0S1+0S2+0S3
Z-2X1-X2-0S1-0S2-0S3=0
x1
6x1
x1
+
x2
+ 8x2
, x2
S1
,
S1
+
S2
,
S2
+
,
=
=
=
≥
S3
S3
6
4
48
0
Tablón
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
-2
-1
0
0
0
0
S1
0
1
0
1
0
0
6
=6/1=6
S2
0
0
1
0
1
0
4
=4/0=∞
S3
0
6
8
0
0
1
48
=48/6=8
1.-ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
0
-1
2
0
0
12
X1
0
1
0
1
0
0
6
=6/0=∞
S2
0
0
1
0
1
0
4
=4/1=4
S3
0
0
8
-6
0
1
12
12/8=1.5
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
BASE
Z
X1
X2
S1
S2
S3
Sol
Z
1
0
0
1/2
0
1/8
27/2
X1
0
1
0
1
0
0
6
S2
0
0
0
3/4
1
-1/8
5/2
X2
0
0
1
-3/4
0
1/8
3/2
136
B
B-1
B-1
1
3�
� 4
−3�
4
1 0
�0 1
0 0
I
0
0
1
−1
1
�8 � �0
0
0 1�8
0
0�
1
1
�0
6
I
1
0
1 0
0
0 0
−3
−1
�8� � �4 1
1 0� = �0 1
3�
0 1
0 0 1�8
4 0
0
0�
1
0 0
−1
1 1� 𝑋𝑋�
𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 𝑏𝑏
0 8
𝑏𝑏 =
B
�𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵
𝑏𝑏 = 𝑋𝑋
𝑥𝑥�𝐵𝐵
𝐵𝐵 −1
6
6
0
1 0 0 5
�
5
𝑏𝑏 �0 1 1� � 2� = � 0
�2
6 0 8 3�
36 0
2
𝐵𝐵 −1 ∆𝑏𝑏 ≥ −𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏
0
6
3� � = � 4 �
2
48
12
Para el recurso 1. (Análisis de sensibilidad) X1≤6……….R1
1
3�
� 4
−3�
4
∆𝑏𝑏1
3
� 4 ∆𝑏𝑏1
−3
4
∆𝑏𝑏1
0
0
6
∆𝑏𝑏1
−1
5
1
�8� � 0 � ≥ � �2�
3�
0
0 1�8
2
0 0
∆𝑏𝑏1
−6
−6
−5
3
−5
0 0� ≥ � �2� ≈ − � 4 ∆𝑏𝑏1 � ≥ 2
−3
−3
−3�
0 0
∆𝑏𝑏1
2
2
4
Para el recurso 2 (X≤4)
-∞
-6
−10
3
∞
2
∆𝑏𝑏1 ≥ −6
∆𝑏𝑏1 ≥ −
=
R2
∆𝑏𝑏1 ≤ 2
−5�
2�
3�
4
∆𝑏𝑏1 ≥
10
3
b1[-∞,8]
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
1
3�
� 4
−3�
4
∞
0 0
�0 ∆𝑏𝑏2
0 0
0
0
6
0
−1
5
1
�8� �∆𝑏𝑏 � ≥ − � �2�
1
3�
0
0 1�8
2
−6
−6
0
−5
−5
0� ≥ � �2� ≈ �∆𝑏𝑏2 � ≥ 2
−3
−3�
0
2
2
-∞
-2
-1
137
0
1
2
0 ≥ −6
∆𝑏𝑏2 ≥ − 5�2
0≥
=
3
2
∆𝑏𝑏1 𝜀𝜀�−5�2 , ∞ +� b2[4-5/2,-∞]
Para el recurso 3 (6X1+8X2≤48)
1
3�
� 4
−3�
4
0
�0
0
0
0
6
0
1 −1�8� � 0 � ≥ − �5�2�
3�
∆𝑏𝑏3
0 1�8
2
-∞
12
∆𝑏𝑏1
0
−6
0
0
1
3
−1
−5
0
�8 ∆𝑏𝑏3 � ≥ � �2� ≈ − � ∆𝑏𝑏1 � ≥ �− 8 𝑏𝑏3 �
4
1
−3
−3�
0 1�8 ∆𝑏𝑏3
𝑏𝑏
∆𝑏𝑏1
2
8 3
4
-6
0
20
0 ≥ −6
=
∆𝑏𝑏3 ≥ −
∆𝑏𝑏3 ≥ 20
∆𝑏𝑏3 ≤ −12
Qué pasaría si el vector b valiera 20, 5, 14 será óptimo y factible.
20
𝑏𝑏 � 5 � 𝑥𝑥�𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 −1 𝑏𝑏
14
20
𝑥𝑥�𝐵𝐵 � 15
−15
1
0
3�
𝑥𝑥�𝐵𝐵 � 4 1
−3� 0
4
−5�
2�
1�
8
0
−1� 20
8� � 5 �
1�
14
8
20
0
0
73
−7
5
�4� � �4 � ≥ 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
0 7�4 −53�4
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
138
3.- ITERACIÓN. (X dual simplex xK salió ≤ a 0)
TABLON
Base
Z
X1
S2
X2
Z
1
0
0
0
X1
0
1
0
0
X2
0
0
0
1
S1
1/2
1
3/4
-3/4
S2
0
0
1
0
S3
1/8
0
-1/8
1/8
SOL
0
20
73/4
-53/4
X1
0
1
0
0
X2
2/3
4/3
1
-4/3
S1
0
0
0
1
S2
0
0
1
0
S3
5/24
1/6
0
-1/6
SOL
4.- ITERACIÓN.
Base
Z
X1
S2
X2
Z
1
0
0
0
7/3
5
53/3
Calculando la función objetivo Z.
𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋�𝐵𝐵
𝑋𝑋1
𝑍𝑍 = [𝑋𝑋1 , 𝑆𝑆2 , 𝑆𝑆1 ] � 𝑆𝑆2 �
𝑆𝑆1
7�
3
14
𝑍𝑍 = [2,0,0] � 5 � = � + 0 + 0� = 14�3
3
53�
3
EJEMPLO 3:
MAX
Z=2X1+5X2
s.a
X1-X2≤3
-2X1-X2=4
-X1+3X2≤6
X1,X2≥0
Análisis de sensibilidad
X1=0/0=∞
X2=0/1=0
S1=0.5/0.75=-0.6
S2=0/0=∞
S3=0.125/0.125=1
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
139
MAX
Z=2X1+5X2+0S1-MW 1+OS2
Z-2X1-5X2-0S1+MW 1-OS2=0
X1
-2X1
-X1
+
X2
X2
3X2
+
S1
+
+
Tablón
W1
S2
=
≤
≥
Método de la gran M
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
SOL
Z
1
-2
-5
0
M
0
0
S1
0
1
-1
1
0
0
3
W1
0
-2
-1
0
1
0
4
1
3
0
0
1
6
S2
AJUSTE
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
SOL
Z
1
-2+2M
-5+M
0
0
0
4M
S1
0
1
-1
1
0
0
3
W1
0
-2
-1
0
1
0
4
1
3
0
0
1
6
S2
1.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
SOL
Z
1
-11/3+2/3M
0
0
0
5/3-1/3M
10-6M
S1
0
2/3
0
1
0
1/3
5
W1
0
-2/3
0
0
1
1/3
6
-1/3
1
0
0
1/3
2
X2
3
4
6
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
140
2.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
S1
W1
S2
SOL
Z
1
0
0
11/2-7/2M
0
7/2-3/2M
25/2-47/2M
X1
0
1
0
3/2
0
1/2
15/2
W1
0
0
0
7/2
1
3/2
47/2
0
1
1/2
0
1/2
9/2
X2
No tiene solución factible pues se vuelve cíclica y no se puede realizar análisis
de sensibilidad en el modelo primal.
3.5.1.3. Cambio en el vector C.
Si es la modificación de un costo básico se utilizará (CB+ΔC), de tal forma que
en el renglón cero de la tabla simplex se siga manteniendo la propiedad
[(CB+ΔC)B-1N-CN]≥0; de forma similar al utilizar la ley distributiva se obtiene:
(𝑪𝑪𝐵𝐵 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝑪𝑪 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵) ≥ 0
Este sistema encuentra todo el espacio de posibles soluciones para los
cambios simultáneos en las componentes del vector de costos básicos; analizando
sólo el cambio de cada uno de los costos básicos a la vez, se tiene:
∆𝑐𝑐 = (∆𝑐𝑐1 , 0 … … … 0), ∆𝑐𝑐 = �0, ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 , … . .0�, ∆𝑐𝑐 = (0, … … 0. ∆𝑐𝑐𝑐𝑐 )
Siguiendo estas condiciones para mantener las condiciones óptimas de la
solución básica se encuentra el rango de valores para cj.
La solución es el rango de valores que satisfacen
(𝒄𝒄𝑩𝑩 𝑩𝑩−𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝒄𝒄 𝑩𝑩−𝟏𝟏 𝑵𝑵) ≥ 𝟎𝟎
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
141
EJEMPLO:
𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 − 0𝑆𝑆1 + 0𝑆𝑆2 + 𝑀𝑀𝑀𝑀1 + 𝑀𝑀𝑀𝑀2
𝑍𝑍 − 5𝑋𝑋1 + 6𝑋𝑋2 + 7𝑋𝑋3 + 0𝑆𝑆1 − 0𝑆𝑆2 − 𝑀𝑀𝑀𝑀1 − 𝑀𝑀𝑀𝑀2
2X1
6X1
2X1
+
+
10X2
3X2
2X2
+
+
Xi≥0
6X3
X3
2X3
+
S1
+
+
W1
S2
+
Sj≥0
W2
=
=
=
WK≥0
TABLON
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
-5
6
7
0
-M
0
-M
0
W1
0
2
10
-6
-1
1
0
0
30
S2
0
6
-3
1
0
0
1
0
12
W2
0
2
2
2
0
0
0
1
12
AJUSTE
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
-5+4M
6+12M
7-4M
-M
0
0
0
42M
W1
0
2
10
-6
-1
1
0
0
30
S2
0
6
-3
1
0
0
1
0
12
W2
0
2
2
2
0
0
0
1
12
30
12
12
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
142
1.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
-12+8M
-1+16M
0
-M
0
0
-7/2+2M
-42+66M
W1
0
8
16
0
-1
1
0
3
66
S2
0
5
-4
0
0
0
1
-1/2
6
X3
0
1
1
1
0
0
0
1/2
6
2.- ITERACIÓN
BASE
Z
X1
X2
X3
S1
W1
S2
W2
Sol
Z
1
23/2
-1+16M
0
-1/16
1/16-M
0
-53/16-M
-303/8
X2
0
1/2
16
0
-1/16
1/16
0
3/16
33/8
S2
X3
0
7
-4
0
-1/4
1/4
1
1/4
45/2
0
1/2
1
1
1/16
-1/16
0
B-1
5/16
15/8
N
𝑋𝑋𝐵𝐵 = [𝑋𝑋2 , 𝑆𝑆2 , 𝑋𝑋3 ]
𝐶𝐶𝐵𝐵 = [−6,0, −7]𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑋𝑋𝑁𝑁 = [𝑋𝑋1 , 𝑆𝑆2 , 𝑊𝑊1 , 𝑊𝑊2 ]
∆𝐶𝐶 𝐵𝐵
−1
𝑁𝑁 ≥ [𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵
𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 × (𝑛𝑛 − 𝑚𝑚)
𝑁𝑁 = 3 × (7 − 3)
𝑁𝑁 = 3 × 4
B-1N
−1
𝐶𝐶𝑁𝑁 = [0,0,0,0]
𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑁𝑁 ]
𝐵𝐵
⎡1
⎢2 1 0
𝑁𝑁 = ⎢7 0 0
⎢1
0 1
⎢
2
⎣
−1
1/16
= � 1/4
−1/16
−1
⎤
16 ⎥
−1⎥
4⎥
1⎥
16 ⎦
0 3/16
1 1/4 �
0 5/16
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
1
⎡ �16
⎢ 1�
4
⎢
−1�
⎣
16
0
1
0
3�
16⎤
1� ⎥
4⎥
5�
16⎦
⎡1�2 1
⎢ 7 0
⎢1
� 0
⎣ 2
0
0
1
1
1�
16
⎡ �8
1�
⎢1�
4
⎢ 4
1� −1�
⎣ 8
16
−1�
16⎤
−1� ⎥ =
4⎥
1�
16 ⎦
143
3�
1
16 �128⎤
1�
−1� ⎥
4
4⎥
3�
5�
128⎦
16
𝟑𝟑�
𝟏𝟏
𝟏𝟏�
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎤
⎡ �𝟖𝟖
𝟏𝟏�
𝟏𝟏�
−𝟏𝟏� ⎥ = [−𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕� − 𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 + 𝟕𝟕� − 𝟏𝟏𝟏𝟏� + 𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟑𝟑� − 𝟔𝟔�
𝟐𝟐𝟐𝟐
[−𝟔𝟔 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕] ⎢𝟏𝟏�𝟒𝟒
𝟒𝟒
𝟒𝟒
𝟒𝟒 ⎥
𝟖𝟖
𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟎𝟎 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
⎢
𝟑𝟑�
𝟓𝟓�
𝟏𝟏� −𝟏𝟏�
⎣ 𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎦
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
= [− 13�8
�− 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖
53
1�
27
16 − �16 − �128]
𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏�
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏� − [𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎] = − �𝟖𝟖
𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟏𝟏�
𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏 − �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Análisis de sensibilidad para el costo 2
𝟏𝟏
𝟏𝟏�
𝟏𝟏𝟏𝟏
⎡ �𝟖𝟖
𝟏𝟏�
[∆𝑪𝑪𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟎] ⎢𝟏𝟏�𝟒𝟒
𝟒𝟒
⎢
𝟏𝟏�
−𝟏𝟏�
⎣ 𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑�
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎤
𝟏𝟏�
−𝟏𝟏� ⎥ ≥ −�−𝟏𝟏𝟏𝟏� , 𝟏𝟏� , −𝟓𝟓𝟓𝟓� , −𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝟒𝟒
𝟒𝟒 ⎥
𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�
𝟑𝟑
𝟓𝟓�
𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎦
�𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 � ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
1� ∆𝐶𝐶 ≥ 13�
8 2
8
3� ∆𝐶𝐶 ≥ 53�
16 2
16
∆𝐶𝐶2 ≥ 13
∆𝐶𝐶2 ≥ 17.6
1� ∆𝐶𝐶 ≥ −1�
16 2
16
1�
27
126 ∆𝐶𝐶2 ≥ �128
∆𝐶𝐶2 ≥ −1
-∞
∆𝐶𝐶2 ≥ 27
-1
0
13
𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3
17.6
27
∞
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
144
∆𝐶𝐶2 ≥ 27
[27, ∞+]
Análisis de sensibilidad para el costo 3
𝟏𝟏
𝟏𝟏�
𝟏𝟏𝟏𝟏
⎡ �𝟖𝟖
𝟏𝟏
𝟏𝟏
⎢
[𝟎𝟎 𝟎𝟎 ∆𝑪𝑪𝟐𝟐 ] �𝟒𝟒
�𝟒𝟒
⎢
𝟏𝟏
−𝟏𝟏�
⎣ �𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟑𝟑�
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎤
𝟏𝟏�
−𝟏𝟏� ⎥ ≥ −�−𝟏𝟏𝟏𝟏� , 𝟏𝟏� , −𝟓𝟓𝟓𝟓� , −𝟐𝟐𝟐𝟐�
𝟒𝟒
𝟒𝟒 ⎥
𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏�
𝟑𝟑
𝟓𝟓�
𝟏𝟏𝟏𝟏 �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏⎦
�𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∆𝑪𝑪𝟑𝟑 � ≥ 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟖𝟖 , −𝟏𝟏�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟓𝟓𝟓𝟓�𝟏𝟏𝟏𝟏 , 𝟐𝟐𝟐𝟐�𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
1� ∆𝐶𝐶 ≥ 13�
8 3
8
1� ∆𝐶𝐶 ≥ −1�
16 3
16
5� ∆𝐶𝐶 ≥ 53�
16
16 3
3�
27
128 ∆𝐶𝐶2 ≥ �128
∆𝐶𝐶3 ≥ 13
∆𝐶𝐶3 ≥ 1
∆𝐶𝐶3 ≥ 10.6
-∞
∆𝐶𝐶3 ≥ 9
0
1
9
10
13
∆𝐶𝐶3 (−∞, 1) ∪ (13, ∞ +)
𝐶𝐶3 = (−∞, −6) ∪ (6, ∞ +)
Haciendo lo del costo 3, restándole a es -7 para obtener el más óptimo.
∞
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
145
Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X5, X6,
X7 son variables de holgura.
𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶
𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵
𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
SOL
Z
1
0
2
0
21/2
0
3/2
5/4
X5
0
1
-2
0
15/2
1
-1/2
3/4
5/4
3/4
X1
0
1
-24
0
6
0
2
1
1
X3
0
0
0
1
0
0
0
1
1
𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴
1
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴⃗ → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐵𝐵
1
𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵
𝐵𝐵
B-1
I
1 −1�2
�0
2
0
0
1
�0
0
3� 1
4
1 � �0
1 0
0 1 1
1 1�2� �0
0 1 0
1 0
�0 1
0 0
1 1�4
𝐴𝐴 = �0 1�
2
0 0
1�
4
1�
2
0
1
0 1 �4
0� �0 1�
2
1
0 0
A=BA
−1
−1� �
2
1
5�
4
𝐴𝐴 = �1�
2
0
−8
0 0
1 0�
0 1
0
0�
1
−1
−1� �
2
1
1 −2
�1 −24
0
0
−1 9
−12 −1�2 3�
0
0
1
15�
2
6 �
0
𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1 𝑏𝑏
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
3�
2
𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 = �0
1 1�4
5� � �
4 1 1�2
0 0
𝐶𝐶𝐵𝐵 = �0 3�4
𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0 3�4
1� �
2
0
3�
1� � � 4� = 5�
4
2 1
1
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶
0 21�2� = �0 3�2
5�
4
5� � �1
4 �2
0
0 21�2� = �3�4 −18
�0 2
𝐶𝐶 = �3�4
1�
2
−18
−1
−1� �
2
1
1�
0
4 −1 3�4
1� −1� � � 1 � = �0�
2
2
1
1
0
1
1
𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0
�0 2
146
𝐶𝐶 = �3�4
9� � − �0
2
−20
1�
2
−8
−1 9
−12 −1�2 3� − 𝐶𝐶
0
0
1
1�
2
2
−6�
9� � − 𝐶𝐶
2
0
21� �
2
Z=3/4X1-20X2+1/2X3-6X4
s.a
5/4X1
1/2X1
-
8X2
12X2
-
X1
,
X2
,
X3
1/2X3
X3
X3
+
+
9X4
3X4
,
X4
≤
≤
≤
≥
0
0
1
0
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
147
Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X4, X5
son variables de holgura de la primera y segunda restricción.
𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝐵𝐵−1
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶
BASE
Z
X1
X2
X3
X4
X5
SOL
Z
1
0
0
5/3
2
1/3
X1
0
1
-0
1/2
1/2
0
120
25
X2
0
0
1
-1
A=B ª
2/3
0
1/2
20
B
𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵
𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1 𝑏𝑏
-1
1
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴⃗ → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐵𝐵
1
𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵
𝐵𝐵
B-1
1�
� 2
0
I
�
I
0 1 0
��
�
1� 0 1
3
B-1
1 0 2 0
��
�
0 1 0 3
2 0 1 0
��
𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 = �
0 3 0 1
2
𝐴𝐴 = �
0
𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 = �2
0 1
�
3 2
1� � �2
3 0
𝐶𝐶𝐵𝐵 = [4 1]
𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵 𝑋𝑋𝐵𝐵 = [4,1] �
1�
2�
2�
3
0
�
3
25
� = [100 + 20] = 120
20
2
𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �
0
𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝜋𝜋 − 𝐶𝐶 = �0 0
0 25
50
�� � = � �
3 20
60
5� � = �2,
3
1� � �2
3 0
0 1
�
3 2
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
�0
𝐶𝐶 = �4
0 5�3� = �4
1 8�3� − �0
1 8�3� − 𝐶𝐶
0 5�3� = [4 1
Z=4X1+X2+X3
s.a
2X1
X1
,
3X2
X2
+
+
,
X3
2X3
X3
≤
≤
≥
50
60
0
1]
148
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
149
EJERCICIOS V. Dualidad.
Instrucciones: Dado el Modelo Primal obtener su Modelo Dual y resolverlo
por el método apropiado.
MODELO DUAL
1.- Modelo Primal
1.- Min
Max
Z=10Y1+6Y2+8Y3
Z=2X1+X2
s.a
s.a
Y1+Y2+2Y3≥2
Y2=2
X1+5X2≤10
5Y1+3Y2+2Y3≥1
Y3=1
X1+3X2≤6
Y1,Y2≥0
Z=8
Y1=0
2X1+2X2≤8
2.- Modelo Primal
2.- Max
Min
Z=25Y1+30Y2
Z=2X1+X2
s.a
NO
s.a
4Y1+7Y2≥1
TIENE
X1+5X2≤10
8Y1+5Y2≥3
SOLUCIÓN
X1+3X2≤6
6Y1+9Y2≥-2
2X1+2X2≤8
Y1,Y2≥0
3.- Modelo Primal
3.- Max
Min
Z=4Y1+10Y2+6Y3
Z=12X1+26X2+80X3
s.a
s.a
2Y1+4Y2+Y3≤12
2X1+6X2+5X3≥4
6Y1+2Y2+Y3≤26
4X1+2X2+X3≥10
5Y1+Y2+2Y3≤80
X1+X2+2X3≥6
Y1,Y2≥0
Z=72
Y1=0
Y2=0
Y3=12
Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad
150
4.- Min
4.- Modelo Primal
Max
s.a
Z=10X1+15X2+20X3+25X4
s.a
8Y1+3Y2≥10
≥15
6Y1
8X1+6X2-X3+X4≥16
3X1
Z=16Y1+2Y2
+2X3-X4=20
-Y1+2Y2≥20
NO
TIENE
SOLUCIÓN
≥0
-Y1
Y1,Y2≥0
5.- Modelo Primal
Min
5.- Max
Z=Y1+4Y2
Z=X1+2X2+X3
s.a
s.a
Y1=0
Y2≤1
X2+X3=1
3X1+X2+3X3=4
Z=1.333
Y1+Y2≤2
Y1+3Y2≤1
Y2=0.3333
CAPÍTULO IV:
TRANSPORTE Y
ASIGNACIÓN.
Objetivo:
El alumno establecerá los problemas
de transporte y asignación como una
variable del modelo de Programación
Lineal así mismo aprenderá y aplicará
la metodología de solución de los
mismos.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
152
4.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.
En su definición más simple el Modelo de Transporte tiene que ver con la
determinación de un plan de costo mínimo para transportar una mercancía o
producto de una ó varias partes (plantas productoras) a varios destinos
(almacenes o bodegas).
El modelo de transporte es básicamente un modelo de Programación Lineal
que se puede resolver a través del método simplex, sin embargo su estructura
especial hace posible el desarrollo de un procedimiento alterno de solución
conocido como Modelo o Técnica de transporte; entre las técnicas más conocidas
para resolver el modelo de transporte se presentan:
A) Método de la esquina noroeste.
B) Costo mínimo.
C) Aproximación de Voguel.
El método de transporté toma como referencias transportar una mercancía de
varias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran
son:
1.-Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2.-Costo Mínimo.
3.-Aproximación de Voguel.
El modelo de transporte toma referencia transportar una mercancía de varias
partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son:
a) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
b) El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada
destino.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
153
ESQUEMA EN EL MODELO DE TRANSPORTE
I
A
II
B
III
C
IV
Un problema de transporte incluye M fuentes, a cada una de las cuales
corresponde la disponibilidad de
ai
cuando i =1,2,3,4,5,6………m unidades de
producto homogéneo y n destinos a cada uno de los cuales requiere bj y
j=1,2,3,4,5,6…….n unidades de producto los números ai y bj son enteros positivos.
El costo Cij de transportar una unidad de origen i al destino j para cada i
corresponde una j. El objetivo de desarrollar un programa de transporte que
cumpla con todas las demandas a partir del inventario actual y a un costo de
embarque mínimo se considera que el suministro y la demanda total son iguales.
𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑗𝑗 =1
� 𝑎𝑎𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏𝑗𝑗
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
154
Se garantiza creando ya un destino ficticio con una demanda igual al
excedente, si la demanda total es menor que le suministro total, o un origen ficticio
con un suministro igual al faltante si la demanda excede al suministro total sea Xij
el número desconocido de unidades que se embarcan del origen i al destino j
entonces todo modelo de transporte tendrá como patrón el siguiente modelo
matemático.
Min
𝑚𝑚
𝑛𝑛
𝑍𝑍 = � � 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖=1 𝑗𝑗 =1
s.a
𝑛𝑛
� 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2 … … 𝑚𝑚)
𝑗𝑗 =1
𝑚𝑚
� 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑏𝑏𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2 … … 𝑛𝑛)
𝑗𝑗 =1
𝑋𝑋𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0
4.1.1 ALGORITMO DE TRANSPORTE.
1.- Analizar qué datos se tienen.
2.- Para visualizar mejor los datos e iniciar el algoritmo se realiza la siguiente
tabla.
Demanda
A
B
C
D
origen
1
2
3
4
En cada una de las casillas de colocan los costos de transporte del origen al
destino trabajándose con una matriz de (m) renglones (n) columnas.
3.- Se inicia el algoritmo con la verificación siguiente:
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑖𝑖=1
𝑗𝑗 =1
155
� 𝑎𝑎1 = � 𝑏𝑏1
Demanda
origen
1
2
3
b1
A
B
C
D
a1
C1A
C2A
C1B
C1C
C1D
C2B
C2C
C2D
C3A
C3B
C3C
C3D
10
40
30
40
50
20
110
30
Como se observa, al aumentar en 30, el sistema se equilibró, y ahora sí
podemos seguir con el algoritmo. Los costos de la columna No.4 valen cero.
4.- Primera asignación. La primera asignación o distribución de la oferta se realiza
de la siguiente manera:
a).- Se inicia el algoritmo asignado cantidades en las regiones que contengan el
costo mínimo, empezando por el más bajo y así sucesivamente hasta satisfacer
demanda y oferta.
Por ejemplo: Se tienen 3 fábricas y 5 almacenes, los costos de transporte son
los que se muestran en la matriz.
Demanda
origen
A
B
6
C
8
D
6
E
4
a1
3
1
1250
3
5
7
4
6
2
900
9
3
b1
500
4
350
6
650
4
500
5
700
550
2700
Se interpreta la columna A y el renglón 1 como:
En la fábrica 1 se tienen 1250 unidades producidas para ofrecer y se
demandan 500 unidades en el renglón A.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
156
Se busca el costo mínimo, ahí se designa la cantidad que satisfaga la demanda
total o parcial quedando la tabla de la siguiente manera:
Demanda
origen
A
B
6
C
8
D
6
E
4
1
700
a1
3
1250
3
5
7
4
6
9
4
6
4
5
2
3
b1
550
900
500
350
650
500
550
2700
700
Al realizar la asignación se ha satisfecho la demanda de la región E a un costo
mínimo, pero la oferta del renglón 1 todavía no se distribuye ya que quedan 550
unidades disponibles.
Ahora se observa cual es el siguiente costo mínimo, este se encuentra en la
región (2 A), ahí se asigna la cantidad para satisfacer total o parcialmente la
demanda quedando lo siguiente:
Demanda
origen
A
B
6
C
8
D
6
E
4
1
2
3
b1
700
a1
3
1250
3
5
7
4
6
9
4
6
4
5
500
900
500
350
650
500
550
400
550
2700
700
0
Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando:
Demanda
origen
A
B
6
C
8
D
6
1
2
3
b1
500
E
4
700
a1
3
1250
3
5
7
4
6
9
4
6
4
5
500
500
0
900
350
650
500
0
700
0
550
2700
550 50
400
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
157
Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna la cantidad quedando:
Demanda
origen
A
B
6
C
8
D
6
1
2
3
b1
500
E
4
700
a1
3
1250
3
5
7
4
6
9
4
6
4
5
500
350
500
0
350
0
650
500
0
700
0
550 50
900
400
550
2700
200
Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando:
Demanda
origen
A
B
6
C
8
1
3
2
6
50
5
500
7
E
4
700
4
a1
3
1250
4
350
500
350
0
0
6
4
900
400
550
2700
200
5
200
650
450
400
550 50
6
500
9
3
b1
D
500
700
0
0
Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando:
Demanda
origen
A
B
6
C
8
1
3
2
5
500
6
500
E
4
700
a1
3
1250
7
4
6
6
4
5
400
9
3
b1
50
D
4
350
500
350
0
0
200
650
400
0
500
700
0
0
550 50
900
400
550
2700
200
Se observa en la tabla que toda la oferta ha sido distribuida para satisfacer las
demandas totales, en este momento la primera asignación termina.
5.- Cálculo de la función Z para la primera asignación; se entiende como Z el costo
de distribución a diferentes centros de consumo, calculándose ésta de la siguiente
manera:
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
158
𝑍𝑍 = (6 × 50) + (4 × 500) + (3 × 700) + (3 × 500) + (7 × 400) + (4 × 350) + (6 × 200)
𝑍𝑍 = 300 + 2000 + 2100 + 1500 + 2800 + 1400 + 1200 = 11300
6.- Una vez que se ha encontrado el valor de la función Z el costo de distribución
se verifica si en realizada este costo que se ha encontrado es el mínimo.
Por ello se realiza un análisis de costos de oportunidad, o sea, que se analizan.
Si se asignó o aumentó una unidad en el renglón 1 A se desbalancea tanto la
columna como el renglón, por tal motivo se tiene que disminuir esa unidad de
dicha columna y renglón para que el sistema no se desbalancee, haciendo esto en
renglones (ij) en los cuales se haya asignado alguna cantidad. Este mismo análisis
se realiza para cada renglón donde se incrementa o disminuye la unidad y así se
desbalancea el sistema.
Nota: L a configuración de los ciclos (LOPPS) es cualquiera, solo que deben
estar formados por líneas rectas horizontales y verticales todas ellas.
EJEMPLO 1:
La empresa Ford Motor Company desea elaborar un plan de transporte
semanal para enviar automóviles de sus plantas productoras ubicadas en el D.F.
Monterrey y Guadalajara, sus almacenes en Toluca, Mérida, Baja California,
Matamoros, Cancún.
Se sabe que el D.F. produce semanalmente 60 unidades, Monterrey produce
50 automóviles y Guadalajara produce 30 automóviles.
Por su parte el almacén de Toluca requiere 50 autos semanalmente, Mérida 20,
Baja California 15, Matamoros 20 y Cancún 25.
El costo promedio en pesos de enviar un automóvil de una planta productora a
alguno de los centros de distribución se presentan en la siguiente tabla:
Baja
Matamoros
California
50
45
Destino
Toluca
Mérida
Cancún
Oferta
D.F.
25
40
30
60
Monterrey
50
55
25
25
40
40
Guadalajara
34
41
52
36
42
30
Demanda
50
20
15
20
25
a) Determinar el Modelo de Programación Lineal para este problema.
b) Calcule una solución que usted considere viable para este modelo.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
Min C.
159
𝑿𝑿𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑁𝑁𝑁𝑁. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎ó𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑗𝑗.
Costo de envío = 25𝑋𝑋11 + 40𝑋𝑋12 … … … … … … … … … + 42𝑋𝑋35
s.a
𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋31 ≤ 50
𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋32 ≤ 20
𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋33 ≤ 15
𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋34 ≤ 20
𝑋𝑋15 + 𝑋𝑋25 + 𝑋𝑋35 ≤ 25
Oferta
𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋15 ≤ 60
𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋25 ≤ 40
𝑋𝑋31 + 𝑋𝑋32 + 𝑋𝑋33 + 𝑋𝑋34 + 𝑋𝑋35 ≤ 30
Este algoritmo es un método especializado para el formato de un modelo de
transporte el cual puede resolverse mediante 3 métodos:
4.2 MÉTODO DE VOGUEL
Este procedimiento es uno de los métodos más aceptados que se basa en
encontrar la diferencia de costos menores (método heurístico).
PROCEDIMIENTO
1.- Se construye una matriz de oferta y demanda colocando en cada una de las
casillas y pestaña que indique el costo.
2.- Se realiza penalizaciones entre casilla de menor costo y la casilla de menor
costo siguiente para cada renglón y para cada columna se restan.
3.- Se selecciona en penalización mayor ya sea en renglón de columna.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
160
4.- Se ubica la casilla con menor costo seleccionada en el paso anterior, se hace
la máxima asignación de dicha casilla.
5.- Ajustan valores de oferta y demanda y se tachan valores de asignación.
6.-Se selecciona la mayor penalización siguiente y se ubica al renglón o la
columna que la tenga para ubicar a la casilla de menores costos y hacer la
máxima asignación.
7.- En caso de empate se procede arbitrariamente.
8.- Si en algún del problema no es posible utilizar los pasos 2-7(utilice costo
mínimo) continúe con este proceso hasta agotar oferta y demanda.
Para ejemplificar este método se utilizara el ejemplo 1.
Fuente
Destino
D.F.
Toluca
25
35
Mérida
40
X
50
Monte
X
Gauda
Demanda
15
B.C.
50
X
55
5
Matamoros
25
20
34
50
20
9
0
15
0
25
60
5
15
40
40
36
X
Oferta
30
X
52
X
25
25
20
41
15
45
X
Cancún
2
42
X
30
20
25
11
10
25 × 35 + 34 × 15 + 55 × 5 + 41 × 15 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 25 = $ 3900
4.3 MÉTODO ESQUINA NORESTE.
Es el método menos óptimo ya que únicamente hace referencia a la posición
de los datos de la oferta y la demanda sin hacer referencia o considerar los costos.
Se diseña una matriz de oferta y demanda.
PROCEDIMIENTO
1.- Se selecciona la casilla de la esquina (noroeste de la matriz), se hace la
máxima asignación posible.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
161
2.- Se ajustan los valores de la oferta y la demanda y si alguno de los destinos o
de las partes se ha agotado ya no se considera para el siguiente pedido.
3.- Con la sub matriz obtenida se repiten los pasos anteriores tachando
previamente las casillas que no tienen asignación.
4.- Se continúa con este proceso hasta que la oferta y la demanda quede cero.
Fuente
Destino
Toluca
Mérida
25
D.F.
50
B.C.
X
Cancún
X
X
10
X
25
15
60
X
X
15
X
50
20
X
0
0
5
15
0
0
40 0
25
40 30 0
36
Gauda
Demanda
Oferta
40
10
55
Monte
Matamoros
42
25
30 25 0
20
25
0
0
25 × 50 + 40 × 10 + 55 × 20 + 25 × 15 + 25 × 15 + 36 × 5 + 42 × 25 = $ 4180
4.4 MÉTODO DE COSTO MINIMO.
Trata de localizar una mejor solución inicial del modelo de transporte, utilizando
las rutas baratas.
PROCEDIMIENTO
1.- Se construye una matriz de oferta y demanda colocando en cada una de las
casillas una pestaña que indique el costo.
2.- Se selecciona de la matriz la casilla con menor costo posible y se realiza en
ella la máxima asignación posible.
3.- Se ajustan valores de oferta y demanda tachando en cada caso las casillas que
no tienen asignación, en caso de empates se procede de manera arbitraria.
4.-continua con este procedimiento hasta que los valores de la oferta y la
demanda queden satisfechos.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
Fuente
Destino
D.F.
Toluca
25
50
Mérida
40
X
B.C.
50
X
55
Monte
X
X
X
20
50
20
0
0
45
X
25
15
Oferta
30
60
40 0
40
40 25 0
36
X
15
0
0
10
5
52
X
Cancún
25
20
41
Gauda
Demanda
Matamoros
162
42
10
20
25
0
10
30
10
25 × 50 + 41 × 20 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 20 + 40 × 5 + 42 × 20 = $ 3865
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
163
EJEMPLO 2.
La fabrica S.A de C.V. fábrica dispositivos mecánicos en 2 fábricas una en
Memphis y otra en Denver. La de Memphis puede fabricar 150 dispositivos por día
y la de Denver puede producir 200 dispositivos por día y enviarlos por aire a los
clientes de los Ángeles y Boston; los clientes en cada ciudad requieren de 130
dispositivos por día, debido a las irregularidades en las tarifas aéreas la empresa
cree que podría ser más barato enviarlos primero a Nueva York y Chicago y luego
a los destinos finales.
Los costos de enviar por vía aérea un dispositivo se muestra en la siguiente
tabla. La empresa quiere minimizar el costo total de enviar los dispositivos
requeridos a sus clientes.
de
Memphis
Denver
Memphis
Denver
Nueva
York
Chicago
Los
Ángeles
Boston
0
-
0
Nueva
York
8
15
13
12
Los
Ángeles
25
26
-
-
0
6
16
17
-
-
6
0
14
16
-
-
-
-
0
-
-
-
-
-
-
0
Nueva
York
Chicago
Boston
X
Cap. De
Producción
Chicago
Boston
28
26
DESTINOS
Memphis
8
13
Los
Ángeles
25
Denver
15
12
Nueva
York
0
Chicago
6
Origen
Demanda
350
350
28
0
150
26
25
0
200
6
16
17
0
0
14
16
0
130
130
90
350
350
1050
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
164
a) MÉTODO VOGUEL.
Nueva
York
Origen
Chicago
Memphis
X
8
Denver
X
15
Nueva
York
350
Chicago
13
X
12
X
0
6
Demanda
26
X
6
X
X
Los
Ángeles
25
130
350
350
0
X
130
16
X
Cap. De
Producción
28
20
150/20
25
70
200/70
17
350
X
14
X
350
X
Boston
16
X
130
130
350
90
1050
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (130 × 25) + (130 × 25) = $6500
b) MÉTODO ESQUINA NORESTE.
Nueva
York
Origen
Chicago
Memphis
180
8
Denver
200
15
Nueva
York
X
Chicago
X
Demanda
13
X
12
X
Los
Ángeles
Boston
X
X
X
X
X
X
X
X
X
0
350
6
350
350
350
0
X
130
130
14
130
130
16
Cap. De
Producción
90
90
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (180 × 8) + (200 × 15) + (130 × 14) + (130 × 16) = $10,200
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
165
a) MÉTODO COSTO MÍNIMO.
Nueva
York
Origen
Memphis
Denver
Nueva
York
Chicago
Demanda
Chicago
X
8
X
15
13
X
12
X
0
350
350
25
60
26
70
6
X
6
X
Los
Ángeles
350
0
28
X
130
16
X
350
Boston
25
17
X
14
X
130
X
16
130
X
Cap. De
Producción
90
150/60
X
X
90
90
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (60 × 25) + (70 × 26) + (130 × 25) = $6570
4.5 MÉTODO HUNGARO.
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el
cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver
eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:
Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la
matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo
mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en
cada columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al
restar de cada costo el costo mínimo de su columna.
Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales) que se
necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se
requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.
Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de
costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2.
Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y
sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos
líneas. Regrese al paso 2.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
166
Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que
todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el
conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de
demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de
costos.
Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son
números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores
enteros.
EJEMPLO 1.
La empresa tiene 4 maquinas y 4 tareas por completar cada máquina se debe
de asignar para completar una tarea. El tiempo requerido para preparar cada
máquina para completar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Plantea la
mejor asignación posible mediante el método húngaro.
Maquina
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
1
14
5
8
7
2
2
12
6
5
3
7
8
3
9
4
2
4
6
10
Se agarra el mínimo de cada máquina.
Maquina
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
1
14
5
8
7
5
2
2
12
6
5
2
3
7
8
3
9
3
4
2
4
6
10
2
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
167
Se resta a toda fila
Maquina
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
1
9
0
3
2
2
0
10
4
3
3
4
5
0
6
4
0
2
4
8
Maquina
Tarea 1
Tarea 2
Tarea 3
Tarea 4
1
0
0
4
0
2
0
9
3
0
3
5
6
0
-
4
0
1
3
-
EJEMPLO 2.
Se cuenta con 5 empleados para llevar acabo 4 tareas, el tiempo que toca a
cada persona realizar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Determine la
asignación de empleados a las tareas que reduce el tiempo total requerido para
efectuar las 4 tareas.
Persona
1
22
18
30
18
18
2
18
-
27
22
0
3
26
20
28
28
20
4
16
22
-
14
0
5
21
-
25
28
0
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
168
1
22
18
30
18
18
0
0
14
0
2
18
-
27
22
0
12
0
25
20
3
26
20
28
28
20
0
0
6
6
4
16
22
-
14
0
14
24
0
16
5
21
-
25
28
0
15
0
23
26
1
0
0
12
0
2
14
0
27
22
3
2
0
8
8
4
12
0
0
14
5
17
0
25
28
X14= 1 Persona
X22= 3 Personas
X31= 3 Personas
X43= 4 Personas
X52= 5 Personas
EJEMPLO 3.
Una corporación necesita transportar 70 unidades de un producto 1, 2, 3 en
cantidades de 45 y 25 unidades respectivamente las tarifas se presentan en la
siguiente tabla:
i/j
1
2
3
4
1
….
38
56
34
2
38
….
27
….
3
56
27
….
19
4
34
….
19
….
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
169
Determine un programa de embarque que asigne el número requerido de
artículos a cada destino a un costo mínimo de transporte; ningún embarque
requiere del vuelo directo, se permiten los envíos empleando intermediarios.
Origen
1
2
38
X
70
3
X
4
45
X14= 70
X21= 70
X32= 70
X41= 45
X43= 25
4
56
X
34
27
X
0
X
27
0
70
19
X
0
19
25
115
Oferta
70
0
2
Demanda
3
0
X
95
130
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (25 × 19) + (70 × 34) = $2855
70
70
70 25
280
130
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
170
EJEMPLO 4.
En una compañía industrial se debe de planear para cada una de las
estaciones del próximo año las capacidades de producción de la compañía así
como sus demandas esperadas todo en unidades, se muestran en la siguiente
tabla.
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
Demanda
250
100
400
500
Capacidad
Normal
200
300
350
-
Capacidad
Tiempo
100
50
100
150
Los costos de producción normal para la compañía son de $7.00 por unidad, el
tiempo extra varía según la estación del año siendo de $8.00 en primavera, $9.00
en verano y $10.00 en invierno.
La empresa tiene un inventario inicial de 200 unidades el 1 de enero pero como
se planea descontinuar el producto a finales de año se desea que se tenga un
inventario de 0. Las unidades producidas en los turnos normales no se encuentran
disponibles en embarques durante la estación de producción generalmente se
venden a la siguiente estación.
Aquellas unidades que no se venden se agregan al inventario que se acumulan
a un costo de $0.70 por unidad por unidad por estación. En cambio las unidades
producidas en tiempo extra deben de embarcarse en la misma estación que se
produce.
Determine un programa de producción que cubra el total de demandas a un
costo mínimo.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
Orígenes
Capacidad
Normal en
Primavera
Capacidad
Normal en
Verano
Capacidad
Normal en
Otoño
Inventario
Inicial
Capacidad
en Tiempo
Extra
Primavera
Capacidad
en Tiempo
Extra
Verano
Capacidad
en Tiempo
Extra
Otoño
Capacidad
en Tiempo
Extra
Invierno
Primavera
Verano
0
200
Otoño
7
X
50
0
8
X
X
0
2.1
0
0
X
0
0
300
250
150
350
100
200
0
100
X
100
9
0
X
200
X
0
7
1.4
0
200
X
100
X
0
7.7
0
0.70
Oferta
X
X
250
X
8.4
7
0
X
Ficticia
X
150
0
X
7.7
0
X
X
Invierno
X
0
171
0
0
50
X
X
X
0
X
0
X
0
X
0
X
50
0
50
0
0
100
50
50
0
10
0
150
X
X
250
50
X
100
X
400
250
150
500
400
200
100
50
200
150
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = (150 × 7) + (100 × 7) + (200 × 2.1) = $2170
1450
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
172
EJERCICIOS VI. Modelos de Transporte y Asignación
Instrucciones: Dado el Modelo resolverlo por el método apropiado.
Problema 1.
Una compañía suministra bienes a tres clientes y cada uno requiere 30 unidades.
La compañía tiene dos almacenes el almacén 1 tiene 40 unidades disponibles y el
almacén dos 30 unidades disponibles. Los costos de enviar una unidad desde el
almacén a los clientes se muestra en la siguiente tabla. Hay una penalización por
cada unidad no suministrada al cliente; con el cliente 1 se incurre en un costo de
penalización de $90, con el cliente 2 de $80 y con el cliente 3 $110. Formule un
modelo de transporte equilibrado para minimizar la suma de escasez y costo de
envió.
De
Cliente 1
Cliente 2
Cliente 3
Almacén 1
$15
$35
$25
Almacén 2
$10
$50
$40
Solución
Cliente1
Cliente 2
Cliente 3
suministro
Almacen 1
15
35
25
40
Almacén 2
10
50
40
30
Escacez
90
80
110
20
30
30
Demanda
30
Problema 2
Un hospital necesita comprar 3 galones de medicina perecedera que utilizara
durante el mes actual y cuatro galones para uso durante el siguiente mes. Debido
a que la medicina es perecedera solo puede utilizarse durante el mes de compra.
Dos empresas Daisy y Louroach venden las medicinas, la medicina es escaza, por
consiguiente durante los siguientes dos meses, el hospital está limitado a comprar
a los sumo 5 galones de cada empresa. Las compañías cargan los precios como
se ve en la tabla siguiente. Formule un modelo de transporte equilibrado para
minimizar el costo de comprar medicina innecesaria.
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
173
De
Precio del mes actual
por galón ($)
Precio del mes
siguiente por galón($)
Daisy
$800
$720
Loroach
$710
$750
Solución
Mes 1
Daysy
800
720
0
suministro
5
Loroach
710
750
0
5
Demanda
Mes 2
3
4
Ficticio
3
Una gasolinera puede comprar su combustible para autos a cualquiera de los
tres proveedores. Las necesidades de la gasolinera para el siguiente mes en cada
una de sus estaciones a los que les puede dar servicio es como sigue, son
100,000 de la estación 1, 180,000 galones de la estación 2 y 350,000 galones de
la estación 3. Cada proveedor puede suministrar a las estaciones de las
gasolineras a los precios de centavos por galán como se ve en la siguiente tabla
De
Estación 1
Gasolina
Estación 2
Gasolina
Estación 3 de
gasolina
Proveedor 1
92
89
90
Proveedor 2
91
91
95
Proveedor 3
87
90
92
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
174
Problema 3
Cada proveedor tiene la capacidad en cuanto al número total de galones que
puede proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son de 320,000
galones para el proveedor 1, 270,000 galones para el proveedor 2 y 190,000
galones para el proveedor 3. Determine una política de compra que cubra los
requerimientos de la estación de gasolina a un costo mínimo.
Solución
Estación1
1
92
Estación2
Estación 3
Ficticia
suministro
320,000
89
90
320,000
2
91
150,000
91
270,000
95
120,000
3
Demanda
87
90
100,000
100,000
60,000
180,000
190,000
92
350,00
150,000
El proveedor 1 entregara 320,000 gal al aeropuerto 3, el proveedor 2 entregara
120,00 gal al aeropuerto 2 y conserva 150,000 gal, el proveedor 3 entregara
100,00 gal y 30,000 gal respectivamente a las estaciones 1,2 y 3
Capítulo IV: Transporte y Asignación.
175
Problema 4
El consejo de Chicago de la Educación está aceptando ofertas en relación con las
cuatro rutas del autobús escolar de la ciudad. Cuatro compañías hicieron las
ofertas como se muestra en la siguiente tabla.
De
Ruta 1
Ruta 2
Ruta 3
Ruta 4
Compañía 1
4,000
5,000
0
0
Compañía 2
0
4,000
0
4,000
Compañía 3
3000
0
2,000
0
Compañía 4
0
0
4,000
5,000
Suponga que a cada licitante se le puede asignar una ruta, utilice el método
húngaro para minimizar el costo de recorrer las cuatro rutas de autobuses.
Solución
La compañía 1 recorre la ruta 1, la compañía 2 recorre la ruta 2, la compañía 3
recorre la ruta 3 y la compañía 4 recorre la ruta 4.
APENDICE A.
APENDICE A
177
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un conjunto de ecuaciones, todos tienen la misma variable y pueden tener un
número finito de ecuaciones.
-Por sus términos independientes o constantes es homogénea
Clasificación
de los
Sistemas de
Ecuaciones
-Cuando algún termino (constante) es diferente a cero- no
homogénea
-Por sus soluciones
-Tiene alguna solución
-Consistente o incompatible
-No tiene solución
Todo sistema de ecuaciones lineales homogénea es constante, tiene por lo
menos la solución trivial y se puede verificar si es la única solución o hay varias.
3𝑋𝑋1 + 2𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋3 = 0
−𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 = 0
−3𝑋𝑋1 + 4𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 + 𝑋𝑋4 = −2
2𝑋𝑋1
+ 5𝑋𝑋3 − 6𝑋𝑋4 = 0
5𝑋𝑋1 − 3𝑋𝑋2 + 10𝑋𝑋3 − 𝑋𝑋4 = −1
Operaciones que no alteran la soluciones de un sistema de ecuaciones.
METODO DE GAUSS - JORDAN
1.- Intercambio de dos ecuaciones.
2.- Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero.
3.- Sumar a una ecuación un múltiplo de otra ecuación.
APENDICE A
178
2X1
+ 7X2
+
3X3
+
X4
=
6
3X1
+ 5X2
+
2X3
+
2X4
=
4
3X1
+ 5X2
+
2X3
+
2X4
=
4
2X1
+ 7X2
+
3X3
+
X4
=
6
9X1
+ 4X2
+
X3
+
7X4
=
2
9X1
+ 4X2
+
X3
+
7X4
=
2
X1
-
2X2
-
X3
+
X4
=
-2
2X2
-
X3
+
X4
=
-2
2X1
+ 7X2
+
3X3
+
X4
=
6
9X1
+ 4X2
+
X3
+
7X4
=
2
11X2
22X2
+
+
5X3
10X3
-
X4
2X4
=
=
10
20
+
X4
=
-2
X1
0X1
-
X1
2X2
-
X3
+
X4
=
-2
11X2
+
5X3
-
X4
=
10
+ 0X2
+
0X3
+
0X4
=
0
X1
0X1
+
X2
0X2
-
X1
-
2X2
0X1
X2
+ 0X2
-
X3
+ 5/11X3
+ 0X3
-
1/11X3
+
9/4X4
=
-2/11
+
+
5/11X3
0X3
0
1/11X4
0X4
=
=
10
0
- 1/11X4
+ 0X4
= 10/11
=
0
Despejando X1 de la ecuación 1.
𝑋𝑋1 = −2�11 + 1�11 𝑋𝑋3 − 9�11 𝑋𝑋4
Cuando se tienen mayor numero de variables que ecuaciones se tienen un sin
número de soluciones.
Cuando se tiene el mismo número de variables y ecuaciones, se puede tener
una solución única o en su efecto el mayor número de ecuaciones, sea el número
de variables.
EJEMPLO 2.
2𝑋𝑋1
4𝑋𝑋1
2𝑋𝑋1
𝑋𝑋1
+5𝑋𝑋2
+3𝑋𝑋3
+3𝑋𝑋2
+8𝑋𝑋2
−8𝑋𝑋3 = 8
−9𝑋𝑋3 = 9
−5𝑋𝑋3 = 7
−7𝑋𝑋3 =
12
APENDICE A
179
2
4
2
1
5
3
3
8
-8
-9
-5
-7
:8
:9
:7
:12
1
4
2
2
8
3
3
5
-7
-9
-5
-8
:12
:9
:7
:8
1
0
0
0
8
29
13
-11
-7
19
9
6
:12
:-39
:-17
:-16
1
0
0
0
8
-11
13
29
-7
6
9
19
:12
:-16
:-17
:-39
1
0
0
0
8
1
-13
-29
1
0
0
0
0
1
0
0
-7
-6/11
9
19
:12
:-16/11
:-17
:39
-29/11
-6/11
1
35/11
:4/11
:16/11
:1
:35/11
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-29/11
-6/11
21/11
35/11
:4/11
:16/11
:21/11
:35/11
0
1
0
0
0
0
1
0
:3
:2
:1
:0
X1=3
X2=2
X3=1
EJEMPLO 3.
2
4
2
-3
-6
-3
2X1
-
3X2
+
5X3
+
7X4
=
1
4X1
-
6X2
+
2X3
+
3X4
=
2
2X1
-
3X2
-
11X3
-
15X4
=
1
5
-8
-16
7
-11
-22
5
2
-11
7
3
-15
:1
:2
:1
2
0
0
3
0
0
:1
:0
:0
APENDICE A
180
2
0
0
-3
0
0
5
-8
0
7
-11
0
:1
:0
:0
2
0
0
-3
0
0
5
0
0
7
11/8
0
:1
:0
:0
2
0
0
-3
0
0
5
-8
0
7
-11
0
:1
:0
:0
2
0
0
-3
0
0
5
0
0
7
11/8
0
:1
:0
:0
2
0
0
-3
0
0
0
1
0
1/8
11/8
0
:1
:0
:0
2
0
0
-3/2
0
0
1/16
11/8
0
:1/2
:0
:0
𝑋𝑋1 =
1 3
1
+ 𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋4
2 2
16
𝑋𝑋3 =
−11
𝑋𝑋
8 4
𝑋𝑋2 = 𝑆𝑆
𝑋𝑋4 = 𝑡𝑡
Donde X2 Y X4 E.R
𝑋𝑋1 =
1 3
1
+ 𝑆𝑆 − 𝑡𝑡
2 2
16
𝑋𝑋3 =
−11
𝑡𝑡
8
1 3
1
11
� + 𝑆𝑆 −
𝑡𝑡, 𝑆𝑆, − 𝑡𝑡, 𝑡𝑡�
2 2
16
8
0
1
0
APENDICE A
181
EJEMPLO 3.
9X1
-
3X2
+
5X3
+
6X4
=
4
6X1
-
2X2
+
3X3
+
X4
=
5
3X1
-
X2
+
3X3
+
14X4
=
-8
9
6
3
-3
-2
-1
5
3
3
6
1
14
:4
:5
:-8
3
6
9
-1
-2
-3
3
3
5
14
1
6
:-8
:5
:4
3
0
0
-1
0
0
3
-3
-4
14
-27
-36
:8
:21
:28
3
0
0
-1
0
0
3
1
-4
14
9
-36
:8
:-7
:28
3
0
0
-1
0
0
0
1
0
13
9
0
:13
:-7
:0
1
0
0
-1/3
0
0
𝑋𝑋1 =
13 1
13
+ 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋4
3 3
3
𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑋𝑋4
𝑋𝑋2 = 𝑡𝑡
𝑋𝑋4 = 𝑅𝑅
Donde X2 Y X4 E.R
𝑋𝑋1 =
13 1
13
+ 𝑡𝑡 +
𝑅𝑅
3 3
3
𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑅𝑅
13 1
13
� + 𝑡𝑡 + 𝑅𝑅, 𝑡𝑡, −7 − 9𝑅𝑅, 𝑅𝑅�
3 3
3
0
1
0
-13/3
9
0
:13/3
:-7
:0
APENDICE A
182
𝑎𝑎11 ≠ 0
𝑎𝑎11 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏1
𝑎𝑎11
�𝑎𝑎
21
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎13
1
�
~
�
𝑎𝑎23
𝑎𝑎21
⎛
⎜
⎝
1
0
𝑎𝑎12
𝑎𝑎11
1
𝑎𝑎12
𝑎𝑎11
𝑎𝑎22
𝑎𝑎21 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏2
𝑎𝑎12
𝑏𝑏1
1
⎛
𝑎𝑎11
𝑎𝑎11 � ~ ⎜
𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12
𝑏𝑏2
0
𝑎𝑎11
⎝
𝑏𝑏1
1
⎞ ⎛
𝑎𝑎11
~
𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟ ⎜
0
𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ⎠ ⎝
𝑏𝑏1
⎞
𝑎𝑎11
~
𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟
𝑎𝑎11
⎠
𝑏𝑏1
⎞
𝑎𝑎11
𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 ⎟
1
𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ⎠
0
𝑎𝑎11
𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1
𝑎𝑎11
𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12
𝑎𝑎12 𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1
𝑏𝑏1
𝑏𝑏1 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) − 𝑎𝑎12 (𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1 )
+
=
𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 )
𝑎𝑎11 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑎𝑎11
=
𝑏𝑏1 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2
𝑎𝑎11 (𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2 )
=
𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 ) 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 )
𝑎𝑎11
∆= �𝑎𝑎
21
𝑎𝑎21
𝑎𝑎22 � = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12
𝑏𝑏 𝑎𝑎12
�
� 1
𝑏𝑏1 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑏𝑏2
∆1
𝑏𝑏2 𝑎𝑎22
𝑋𝑋1 =
= 𝑎𝑎
=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 � 11 𝑎𝑎12 �
∆
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22
𝑋𝑋2 =
𝑎𝑎11 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21 𝑏𝑏1
𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12
𝑎𝑎
𝑏𝑏1
� 11
�
∆2
𝑎𝑎22 𝑏𝑏2
= 𝑎𝑎
=
𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑎𝑎
11
12
∆
�𝑎𝑎
�
𝑎𝑎22
21
APENDICE A
183
EJEMPLO 1.
2X1-3X2=4
7X1+6X2=-10
2 −3
∆= �
� = 12 − (−21) = 33
7 6
4
∆1 = �
−10
−3
� = 24 − 30 = −6
6
2
4
∆2 = �
� = −20 − 28 = −48
7 −10
𝑋𝑋1 =
𝑋𝑋2 =
∆1 −6 −2
=
=
33 11
∆
∆2 −48 −16
=
=
∆
33
11
Sistema cuadrado tiene el mismo número de ecuaciones que variables.
𝑎𝑎11 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12 𝑋𝑋2 +.. +𝑎𝑎1𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1
𝑎𝑎21 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22 𝑋𝑋2 +.. +𝑎𝑎2𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2
𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑋𝑋2 +.. +𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑎𝑎11
∆= �𝑎𝑎21
𝑎𝑎𝑛𝑛1
𝑋𝑋𝑗𝑗 =
𝑎𝑎12
𝑎𝑎22
𝑎𝑎𝑛𝑛2
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑎𝑎2𝑛𝑛 �
𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛
∆𝑗𝑗
𝑗𝑗 = 1 … … … … … . . 𝑛𝑛
∆
𝑛𝑛
� 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑗𝑗 =1
𝑛𝑛
� 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
APENDICE A
2
−3
�
5
4
−5
7
−9
−6
1
−1
2
1
184
2
4�
7
2
𝑀𝑀11
−7 −1 4
= �−9 2 7�
−6 1 2
𝑀𝑀41
−5 1 2
= � 7 −1 4�
−9 2 7
2 −5 2
𝑀𝑀23 = �5 −9 7�
4 −6 2
2
𝑀𝑀34 = �3
4
EJEMPLO 2.
2
�5
1
1 3
3 2
5
� + 1(−1)1+2 �
3 2� = 2(−1)1+1 �
4 3
1
4 3
EJEMPLO 3.
4
�3
1
−5 1
7 −1�
−6 1
2
5 3
� + 3(−1)−1+3 �
�
3
1 −1
= 2(9 − 8) − (15 − 2) + 3(20 − 3) = 2 − 13 + 57 = 40
−3 5
−3 5
4
� + 2(−1)2+2 �
−2 8 � = 3(−1)2+1 �
−7 −5
1
−7 −5
EJEMPLO 4.
4 −3
5
� + 8(−1)2+3 �
�
1 −7
−5
= −3(50) − (25) − 8(−25) = −150 + 50 + 200 = 100
5
�0
7
EJEMPLO 5.
1
�4
16
1
5
25
6 3
5 3
� = 25 − 21 = 4
1 0� = �
7 5
4 5
1
5
9�=�
25
81
4
9
� − 1�
16
81
9
4
5
�+�
�
81
16 25
= (405 − 225) − (324 − 144) + (100 − 80) = 180 − 180 + 20 = 20
APENDICE A
185
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1.- Si un renglón o columna de un determinante consta únicamente de ceros, el
valor determinante es cero.
2.- Si un renglón o columna es múltiplo de otro renglón o columna entonces el
determinante vale cero.
3.- Si intercambio dos columnas o renglones, el valor del determinante es cero.
4.- Si se multiplica un renglón o una columna por un número real el valor del
determinante queda multiplicado por ese número.
5.- Si a un renglón o columna se le suma un múltiplo de otro renglón o columna, el
valor del determinante no cambia.
Ejemplos de las propiedades:
2
2) �
4
1
3) �
4
−5
� = −20 − (−20) = 0
−10
−3
� = 2 − (−12) = 14
2
4 2
�
� = −12 − 2 = 14
1 −3
Multiplicando el primer renglón por 2.
2
4) �
4
1 −3
5) �
� = −4 − (−18) = 14
6 −4
EJERCICIO
-1
0
0
0
2
4
0
0
3
3
6
0
−6
� = 4 − (24) = 28 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
2
4
1
-2
3
5
1
4
-7
7
2
-5
6
-1
0
0
0
0
0
2
4
0
0
0
0
3
3
6
0
0
0
4
1
-2
3
0
0
5
1
4
-7
1
0
El determinante tendrá el valor de la diagonal que esta de color.
= (−1)(4)(6)(3)(1)(−5) = −77
7
2
-5
6
5
-5
APENDICE A
186
SISTEMA CUADRADO
2
∆= �3
3
2X1
-
X2
-
X3
=
4
3X1
+
4X2
-
2X3
=
11
3X1
-
2X2
+
4X3
=
11
−1 −1
−1 2
4 −2� = (−1) � 4 3
−2 4
−2 3
−1
−1 2 −1
−2� = (−1) � 0 11 −6�
4
0 −1 6
−1 2 −1
−1 2 −1
(−)(−1) � 0 −1 −6� = (−)(−) � 0 −1 6 � = (−)(−)(−1)(−1)60 = 60
0 11 −6
0
0 60
−4 −1 −1
−1
(−)
∆1 = � 11 −4 −2� =
�4
−11 −2 4
−2
4 −1
−1 4
(−)
� 0 27
11 −2� =
11 4
0
3
−1
−6� = 180
6
2 4
∆2 = �3 11
3 11
−1
−1 4 2
−1 −1 4
(−1)
(−)
�−2 11 3� =
�0
−2� =
4 11� = 60
4
4 11 3
0 −2 11
2 −1
∆3 = �3 4
3 −2
4
−1 2 4
−1 2
4
(−1)
(−)
� 4 3 11� =
� 0 11 27� = 60
11� =
11
−2 3 11
0 −1 3
𝑋𝑋1 =
∆1 180
=
=3
∆
60
𝑋𝑋3 =
∆3 60
=
=1
∆
60
𝑋𝑋2 =
SOLUCIÓN UNICA (3, 1, 1)
∆2 60
=
=1
∆
60
APENDICE A
187
EJEMPLO 1.
X1
+
X2
+
2X3
=
-1
2X1
-
X2
+
2X3
=
-4
4X1
+
X2
+
4X3
=
-2
1 1 2
1 1
2
1 1
2
∆= �2 −1 2� = �0 −3 −2� = (−1) �0 −3 −2� = 6 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢
4 1 4
0 −3 −4
0 0 −2
−1 1 2
−1 1
2
−1
∆1 = �−4 −1 2� = � 0 −5 −6� = (−) � 0
−2 1 4
0 −1 0
0
1 −1 2
1
∆2 = �2 −4 2� = �0
2 −2 4
0
1 1
∆3 = �2 −1
4 1
−1
1
−4� = �0
−2
0
1
2
1
−2 −2� = �0
2 −4
0
−1 2
−2 −2� = 12
0 −6
1 −1
1
−3 −2� = �0
−3 2
0
1 −1
−3 2 � = −12
0
4
𝑋𝑋1 =
𝑋𝑋2 =
𝑋𝑋3 =
SOLUCIÓN UNICA (1, 2, -2)
2
1
−6 −5� = 6
0 −1
∆1 6
= =1
6
∆
∆2 12
=
=2
∆
6
∆3 −12
=
= −2
∆
6
APENDICE A
188
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