IV Jornadas de Ingeniería del Agua La precipitación y los procesos erosivos Córdoba, 21 y 22 de Octubre 2015 Estimación de gastos de diseño con análisis de la función de distribución de las lecturas de escala M.L. Arganis Juárez1,2, R. Domínguez Mora1, J.L. Herrera Alanís1 Coordinación de Hidráulica. Instituto de Ingeniería1. Facultad de Ingeniería2. Universidad Nacional Autónoma de México. Edificio 5. 14010 México, D.F. 1. Introducción La medición del escurrimiento registrado por las estaciones hidrométricas se realiza de un modo indirecto en las estaciones de aforo y depende en gran medida de la cantidad y calidad de la información de los datos medidos de lectura de escala. El método de la sección velocidad llega a ser poco práctico en cauces con secciones anchas o ríos muy caudalosos. Cuando se logra contar con un buen número de puntos de gastos medidos y lecturas de escala registradas se pueden obtener ecuaciones de ajuste del gasto en función de la elevación del nivel del agua en el sitio. Para estimar el caudal que se presenta, en ciertas horas del día en función de la lectura de escala (nivel del agua registrado) se utilizan ecuaciones de tipo potencial (Domínguez et al, 2006); posteriormente, para obtener avenidas de diseño se suelen utilizar directamente los valores de los caudales obtenidos (por ejemplo de los máximos instantáneos o de los medios diarios) (Domínguez y Arganis, 2012, Monroy et al, 2013, Guzmán, 2014 ). En este estudio se efectuó un análisis estadístico de los valores de las lecturas de escala máximas anuales registradas en una estación hidrométrica del sureste de México. Con dicho análisis se determinó la función de distribución de probabilidades de mejor ajuste y se extrapolaron valores para distintos periodos de retorno. La función que mejor representó el comportamiento de los niveles del agua máximos anuales en la sección de la estación hidrométrica fue de tipo doble Gumbel (González, 1969; Rossi et al, 1984). El análisis estadístico también se realizó a los gastos instantáneos máximos anuales, en el periodo común de las lecturas de escala registradas, obteniendo también funciones doble Gumbel. Con los resultados obtenidos se determinó al gasto máximo instantáneo en función del dato de lectura de escala considerando funciones polinomiales y potenciales. Los coeficientes de las funciones potenciales se determinaron con ayuda de algoritmos genéticos (Goldberg, 1989) y con ayuda del complemento Solver© del software Excel©. La función potencial B.26. obtenida con Solver©, y considerando una elevación inicial, dio los menores errores medios cuadrático, seguida de las funciones polinomiales de tercer grado y de los resultados del algoritmo genético para la función potencial y un polinomio con coeficientes y exponentes reales. 2. Metodología 2.1 Lectura de escala En el sitio de análisis la lectura de escala se realiza diariamente cada seis horas en el estiaje y cada hora en época de avenidas, con ayuda de un limnímetro de concreto dividido en siete tramos de 2 m cada uno, en posición escalonada, lo que permite medir hasta 14.00 m. La escala está colocada en la margen izquierda del río, 5 m aguas arriba de la sección de aforos. El cero de la escala está referido a una cota arbitraria. Las escalas se comenzaron a tomar el 4 de junio de 1953. La estación seleccionada cuenta con limnígrafo Stevens tipo F, alojado en una caseta y pozo de ladrillo y cemento de 1.50 x 120 m y 10.5 x 1.20 m, respectivamente; tiene una galería y la comunicación se hace por medio de tubos de polietileno. El limnígrafo empezó a funcionar el 15 de junio de 1967 (Secretaría de Recursos Hidráulicos, 1969). 2.2 Aforo de corriente La estructura para aforos del sitio analizado cuenta con cablevía y canastilla, se apoya en torres de concreto; el cable de acero pasa por un claro de 200 m. Entró en operación el 21 de enero de 1964. Antes de esta estructura los aforos se hacían con un cayuco sujeto a un cable de acero de 0.95 cm que se tendía de una a otra orilla del cauce con separación de unos 150 m (Secretaría de Recursos Hidráulicos, 1969). 2.3 Curvas elevación gasto El ajuste de la curva elevaciones-gastos puede realizarse empleando el método de mínimos cuadrados, con una función del tipo (Domínguez et al., 2006): [1] 3 Donde: Q gasto, en m /s; H nivel del agua, en m; Ho nivel base (esto es, nivel para el cual el gasto es nulo), en m; c, n parámetros que se obtienen del ajuste de los datos. También es frecuente ajustar polinomios hasta de grado 3, o funciones de tipo exponencial; en hojas de cálculo tipo Excel© se pueden realizar estos ajustes. B.26. 2.3 Análisis estadístico de datos Al registro de datos máximos anuales de las series de tiempo analizadas se les ajustaron distintas funciones distribución seleccionando aquella de menor error estándar de ajuste; con la función de mejor ajuste se obtuvieron eventos de diseño para distintos periodos de retorno; para lo anterior se utilizó el programa AX (Jiménez, 1996). 2.3 Algoritmos genéticos Son algoritmos basados en la Teoría de Selección Natural de Darwin (Goldberg, 1989), se han usado desde finales de los años ochenta del siglo XX como herramienta de optimización en distintos problemas de hidrología e hidráulica. En un algoritmo genético simple se propone una población inicial de n individuos; en el problema cada individuo representa un conjunto de parámetros del modelo matemático propuesto que aproximará a una serie de datos; posteriormente se evalúa el desempeño de los individuos (fitness) a través de la evaluación de una función objetivo; en el estudio se consideró como función objetivo la minimización del error medio cuadrático (EMC); los individuos de mejor desempeño se seleccionan aleatoriamente (con ayuda de los métodos tipo ruleta o estocástico universal) y posteriormente se someten a los operadores cruza y mutación para generar una nueva población de n individuos que pasarán a la siguiente generación. El procedimiento se repite hasta que se alcanza el número de generaciones propuesta (iteraciones). Los individuos que dan la mejor respuesta en la función objetivo en la última generación se consideran la solución óptima del problema. 3. Aplicación y resultados 3.1 Sitio de estudio Para el análisis se seleccionaron los datos de la estación hidrométrica 30042 Salto de Agua (figura 1) que afora una porción de la corriente del río Tulijá, afluente del río Grijalva, frente al poblado de Salto de Agua en el estado de Chiapas; se localiza en las coordenadas 17° 34’00’’ de Latitud Norte y 92°22’00’’ Longitud Oeste. Su cuenca cubre un área de 2876 2 km . B.26. Figura 1. Ubicación de la estación hidrométrica 3.2 Análisis de datos de lectura de escala Se seleccionaron los datos de lectura de escala máximos anuales medidos en el periodo común con los gastos máximos anuales (Tabla 1). No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Año 1986 1988 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Le, m 13.950 15.110 15.120 12.150 14.180 11.440 11.840 12.190 11.880 11.260 12.210 14.270 12.980 10.480 10.580 11.880 12.550 12.640 10.280 13.630 13.360 Tabla 1. Lecturas de escala máximas anuales (periodo común con gastos máximos anuales). Con el programa AX se determinó que la función de distribución de probabilidades de mejor ajuste fue de tipo Doble Gumbel (figura 2). Los valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno se indican en la Tabla 2. B.26. 5000 Tr, años 10000 2000 1000 500 4 200 50 3 100 10 5 2 1.11 1.25 20 Lectura de escala , m 1.01 30042 Salto de Agua . Lectura de escala Doble Gumbel, p=0.81 24 22 20 18 16 14 12 10 -2 -1 0 1 2 5 6 Variable Reducida, Z=-ln[ ln( Tr / (Tr-1) ) ] 7 8 Medidos 9 10 Calculados Figura 2. Lectura de escala medidas y calculadas. Doble Gumbel Tr años 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Le m 12.28 14.17 14.68 15.09 15.67 16.16 16.72 17.54 18.2 18.87 19.76 20.48 Tabla 2. Valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno. 3.3 Análisis de datos de escurrimiento Se consideraron los registros de gastos instantáneos máximos anuales (Qmi) para el periodo común con las lecturas de escala (Tabla 3). Con el programa AX se determinó que la función de mejor ajuste fue de tipo Doble Gumbel (figura 3). B.26. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Qmi, m3/s 1307.486 2027.858 1618.382 1268.603 1306.443 1124.877 1072.657 1255.7508 1104.8962 1385.9692 1096.274 1490.3775 1476.9421 1225.7149 981.41 1383.57 1562.05247 1581.61183 1103.65046 2091.9508 1613.97501 Año 1986 1988 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Tabla 3. Gastos máximos instantáneos anuales (periodo común con Lecturas de escala máximas anuales). 5000 10000 Tr, años 2000 1000 500 4 200 50 3 100 20 10 5 2 1.11 1.25 1.01 30042 Salto de Agua . Gasto máximo Doble Gumbel, p=0.83 Gasto máximo instáneo, m3/s 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 -2 -1 0 1 2 5 6 Variable Reducida, Z=-ln[ ln( Tr / (Tr-1) ) ] 7 8 Medidos 9 10 Calculados Figura 3. Gastos máximos instantáneos medidos y calculados. Doble Gumbel Los valores extrapolados de los gastos máximos para distintos periodos de retorno se indican en la Tabla 4. B.26. Tr Q mi años 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 m3/s 1312.93 1635.8 1878.95 2093.76 2355.69 2546.88 2735.85 2984 3171.31 3358.63 3606.41 3795.2 Tabla 4. Valores extrapolados de las lecturas de escala para distintos periodos de retorno. 3.4 Ecuaciones de gasto-elevación Con los datos medidos, calculados y extrapolados de los gastos y de las lecturas de escala se analizaron los siguientes modelos: 1) Modelo polinomial con coeficientes y potencias reales, 2) Modelo potencial con algoritmo genético sin elevación inicial, 3) Modelo de tercer grado con Excel©, 4) Modelo potencial con algoritmo genético considerando elevación inicial y 5) Modelo potencial con Solver© considerando elevación inicial. Los resultados obtenidos fueron: 1) Modelo polinomial con algoritmo genético con coeficientes y potencias reales [1] 2) Modelo potencial con algoritmo genético sin elevación inicial [2] 3) Modelo polinomio de tercer grado con Excel© [3] 4) Modelo potencial con algoritmo genético considerando elevación inicial [4] 5) Modelo potencial con Solver© considerando elevación inicial [5] 3 Donde : Qmi gasto máximo instantáneo en m /s, Le lectura de escala en m. Los errores medios cuadráticos obtenidos con cada modelo se indican en la Tabla 5. En la Figura 4 se dibujaron los valores medidos, los calculados con la DG y los calculados con todos los B.26. modelos obtenidos y en las Figuras 5 a 9 se dibujó cada resultado calculado contra los datos medidos y con respecto a una función identidad. 4500 4000 3500 3000 Q, m3/s Medidos 2500 Ec. 1 Ec. 2 2000 Ec. 4 Ec. 5 DG 1500 Ec. 3 1000 500 0 10 12 14 16 18 20 22 Le, m Figura 4. Comparación de modelos Gasto- elevación 5000 y = 0.985x + 27.555 R² = 0.9853 r=0.9926 4500 4000 3500 Q, m3/s 3000 2500 Ec. 1 Identidad 2000 Lineal (Ec. 1) 1500 1000 500 0 10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010 Q medidos, m3/s Figura 5. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 1 con respecto a la función identidad B.26. 5000 y = 0.9862x + 25.129 R² = 0.9855 r=0.9927 4500 4000 3500 Q, m3/s 3000 2500 Ec. 2 Identidad 2000 Lineal (Ec. 2) 1500 1000 500 0 10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010 Q medidos, m3/s Figura 6. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 2 con respecto a la función identidad 5000 y = 0.9944x + 10.27 R² = 0.9944 r=0.9972 4500 4000 3500 Q, m3/s 3000 2500 Ec. 3 Identidad 2000 Lineal (Ec. 3) 1500 1000 500 0 10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010 Q medidos, m3/s Figura 7. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 3 con respecto a la función identidad B.26. 5000 y = 0.8775x - 224.45 R² = 0.9858 r=0.9929 4500 4000 3500 Q, m3/s 3000 2500 Ec. 4 Identidad 2000 Lineal (Ec. 4) 1500 1000 500 0 10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010 Q medidos, m3/s Figura 8. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 4 con respecto a la función identidad y = 0.9862x + 25.14 R² = 0.9855 r=0.9927 5000 4500 4000 3500 Q, m3/s 3000 2500 Ec. 5 Identidad 2000 Lineal (Ec. 5) 1500 1000 500 0 10 510 1010 1510 2010 2510 3010 3510 4010 4510 5010 Q medidos, m3/s Figura 9. Comparación de los gastos medidos y calculados con la ecuación 5 con respecto a la función identidad B.26. Ecuación 1 2 3 4 5 EMC 9059.88344 8947.15565 3440.4905 217912.057 8947.15559 Tabla 5. Error medio cuadrático cometido por cada modelo 4. Conclusiones De las Figuras 5 a 9 y de la Tabla 5 se observa que la mayor correlación y el menor error medio cuadrático se obtuvo con el modelo polinomial de la ecuación (3), seguido del modelo potencial de la ecuación (5) que considera una elevación inicial y que fue obtenido con la herramienta Solver© de Excel©, este resultado es similar al modelo de la ecuación (2) en el que se usó un programa de algoritmos genéticos, pero que no considera una elevación inicial. El mayor error medio cuadrático se obtuvo con el modelo de la ecuación (4) y de la figura 8 se observa que aunque la correlación es alta, los datos quedan por debajo de la función identidad. Con los modelos obtenidos se pueden estimar gastos de diseño analizando directamente a la función de distribución de las lecturas de escala. Agradecimientos Se agradece por el apoyo a la investigación al proyecto PAPIIT IN101514 de la DGAPA, UNAM, México. Referencias Domínguez, M. R., Arganis, J. M. L.2012. 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