Solución parcial II.

1
Cálculo II Sección 21
Nombre/Código:
Guillermo Mantilla
Septiembre 11 2014
Parcial II
Instrucciones: Duración 70mins. Durante el examen no son permitidos libros, notas, calculadoras, celulares o en general dispositivos electrónicos de cualquier tipo. LA
RESPUESTA A CADA PROBLEMA DEBE SER ESCRITA DE MANERA
CLARA DENTRO DEL RECTANGULO DADO. Muestre cada paso de su solución
en la PÁGINA DONDE APARECE EL PROBLEMA; no justificacción = no puntaje, aun si la respuesta dada es correcta.
Problemas
Puntuación
1 /25pts
2 /25pts
3 /30pts
4 /20pts
Total:/100pts
2
Preguntas
Problem 1[25 pts]: Encuentre la longitud de la curva
y = ln(sec(x)),
0 ≤ x ≤ π/6.
1
√
ln(3)
.
ln( 3) =
2
Z
π/6
p
1 + (y 0 )2 dx. Como la derivada de y =
0
Z π/6 q
sec(x) tan(x)
0
= tan(x) la longitud es igual a
ln(sec(x)) es y =
1 + tan2 (x) dx =
sec(x)
0
La longitud de la curva está dada por
Z
π/6
0
1
π/6
√
2
1
3
sec(x) dx = (ln(sec(x) + tan(x))) = ln √ + √ −ln(1) = ln( √ ) = ln( 3).
0
3
3
3
En caso que lo necesite cos(π/6) =
√
3/2 y sin(π/6) = 1/2.
3
Problem 2[25 pts]: Encuentre el área de la superficie generada por la rotación de la
curva
√
y = 2 x, 0 ≤ x ≤ 15
alrededor del eje x.
168π.
Z
15
p
y 1 + (y 0 )2 dx. Como la derivada
El área de la superficie de rotación está dada por 2π
!
r
Z 15 0
√
√
1
1
0
2 x
1+
de y = 2 x es y = √ el área es igual a 2π
dx =
x
x
0
Z
4π
0
15
√
x
√
Z 15
15
√
8π 3/2
2
x+1
3/2 √
(x + 1)
(16 − 1)
x + 1 dx = 4π
dx = 4π
=
3
3
x
0
0
=
8π 3
8π
8π
(4 − 1) =
(64 − 1) =
(63) = 8π21 = 168π.
3
3
3
4
Problem 3[30 pts]: La curva C es definida por las ecuaciones paramétricas:
x(t) =
6 − 4t2
,
1 + t2
y(t) =
t2 + 10t + 1
.
1 + t2
(3.a) [8 pts] Calcule dx/dt y dy/dt.
−20t
dx
=
dt
(1 + t2 )2
;
10(1 − t2 )
dy
=
dt
(1 + t2 )2 .
Utilizando la regla del cociente para derivar se encuentra que:
−8t(1 + t2 ) − (6 − 4t2 )(2t)
2t (−4 − 4t2 − 6 + 4t2 )
−20t
dx
=
=
=
2
2
2
2
dt
(1 + t )
(1 + t )
(1 + t2 )2
dy
(2t + 10)(1 + t2 ) − (t2 + 10t + 1)(2t)
2t + 2t3 + 10 + 10t2 − 2t3 − 20t2 − 2t
=
=
dt
(1 + t2 )2
(1 + t2 )2
−10t2 + 10
10(1 − t2 )
=
=
(1 + t2 )2
(1 + t2 )2
(3.b) [5 pts] Encuentre todos los puntos (x, y) sobre la curva C tales que la recta tangente
a C en (x, y) es horizontal.
(1, 6) y (1, −4).
dy
10(1 − t2 )
dx
−20t
=
y 0 6=
=
. Es claro que
2
2
dt
(1 + t )
dt
(1 + t2 )2
ésto pasa solamente
para t = ±1. Por lo tanto los puntos con tangentes
horizontalesson
6 − 4 1 + 10 + 1
6 − 4 1 − 10 + 1
(x(1), y(1)) =
,
= (1, 6) y (x(−1), y(−1)) =
,
=
1+1
1+1
1+1
1+1
(1, −4).
La tangente es horizontal cuando 0 =
5
(3.c) [5 pts] Encuentre todos los puntos (x, y) sobre la curva C tales que la recta tangente
a C en (x, y) es vertical.
(6, 1).
−20t
dy
10(1 − t2 )
dx
=
y
0
=
6
=
. Es claro
dt
(1 + t2 )2
dt
(1 + t2 )2
que ésto pasa solamente para t =
0. Por lo tanto el único punto con tangente vertical es
6−0 0+0+1
(x(0), y(0)) =
,
= (6, 1).
1+0 1+0
La tangente es vertical cuando 0 =
(3.d) [12 pts] Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva C en el punto (4, 5).
Note que (4, 5) es el punto correspondiente a t = 1/2.
y=
−3
x + 8.
4
Del punto (a) tenemos que
dy
dy dx
10(1 − t2 )
t2 − 1
= /
=
=
.
dx
dt dt
−20t
2t
1
2
obtenemos que la pendiente de la recta tangente a C en el punto
−3
(x(1/2), y(1/2)) = (4, 5) es
. Se sigue de lo anterior que la ecuación de la recta
4
−3
−3
tangente a C en (4, 5) es y= (x − 4) + 5 =
x + 8.
4
4
Evaluando en t =
6
Problem 4[20 pts]:
(4.a) [5 pts] Convierta el punto (−1, 1) de coordenadas cartesianas a polares.
√
3π
2,
4
.
p
√
(−1)2 + 12 = 2. Para obtener el ángulo θ observe que (−1, 1) está en el tercer
1
cuadrante. Por lo tanto π − θ es el único valor en [0, π/2) tal que tan(π − θ) =
= 1.
| − 1|
π
π
3π
En otras palabras π − θ = arctan(1) = o equivalentemente θ = π − =
.
4
4
4
r=
3π
de coordenadas polares a cartesianas.
(4.b) [5 pts] Convierta el punto −2,
2
(0, 2).
Sol 1: x = −2 sin
3π
2
= 2 ; y = −2 cos
3π
2
= 0.
3π
Sol 2: El ángulo
indica que el punto está sobre el eje y en la dirección negativa. Como
2
el radio es negativo se invierte el ángulo y se obtiene el punto en el eje y en dirección
positiva de longitud igual a 2. En otras palabras (0, 2).
7
(4.c) [10 pts] Identifique la curva
r = 2 sin(θ) + 2 cos(θ).
Cı́rculo de radio
√
2 centrado en (1, 1)
Sol 1: Utilizando la identidad trigonométrica sin(θ + α) = sin(θ) cos(α) + cos(θ) sin(α)
√
π
con α = π4 vemos que la ecuación que define la curva es r = 2 2 sin(θ + ). De lo visto en
4
√
√
clase sabemos que la curva descrita por r = 2 2 sin(θ) es elcı́rculo de radio 2 centrado
√
√
√
π
en (0, 2). Se sigue que r = 2 2 sin(θ + ) es también un circulo de radio 2, y para
4
√
saber su centro sólo necesitamos saber donde √
va el punto (0, 2) después de rotarlo un
angulo de π/4 en dirección horaria. Como (0, 2) está sobre el eje y, la rotación de π4 lo
envı́a sobre un punto en el primer cuadrante sobre la recta y = x. Dado que la rotación
no cambia la longitud el punto debe ser (1, 1)
Sol 2: Multiplicando por r la ecuación que define la curva i.e.,
r = 2 cos(θ) + 2 sin(θ)
se obtiene que el punto (r, θ) sobre la curva también satisface la ecuación
r2 = 2r cos(θ) + 2r sin(θ).
Si r 6= 0 entonces podemos dividir la segunda ecuación por r para ası́ obtener la primera.
Dado que el origen, i.e., cuando r = 0, es un punto que satisface las dos ecuaciones (tome
θ = −π/4 en la primera) se tiene que la curva es igual al conjunto de puntos que satisface
la segunda ecuación. Pasando esta ecuación a coordenadas cartesianas, es decir utilizando
que r2 = x2 + y 2 , x = r cos(θ) y que y = r sin(θ) encontramos que la curva está definida
por la ecuación cartesiana x2 + y 2 = 2x + 2y. Completando cuadrados se obtiene
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 2
es decir, el cı́rculo de radio
√
2 centrado en (1, 1).