1.3 La Integral definida

La Integral.
En la naturaleza, en la vida y en las matemáticas siempre existen fenómenos o conceptos
opuestos. Para corroborarlo realicemos lo siguiente:
En la tabla que se muestra a continuación, escribe lo opuesto a las palabras que están
escritas en la primera columna:
Día
Noche
Frío
Mujer
Negro
Línea
Suma
Multiplicación
Potencia
Logaritmo.
Derivada
La operación contraria a la
derivada se llama integral.
La intención del cálculo integral consiste en hallar la función a la que corresponde una
determinada derivada o diferencial. El procedimiento mediante el cual se encontrará la
función a que corresponde una determinada derivada o diferencial se llama integración, se
expresa mediante el símbolo ∫ “integral de”, escrito delante de la derivada o diferencial.
A continuación se presentan algunos ejemplos:
Función primitiva.
Derivada.
Integral.
f(x)=x2
d(x2)= 2x (dx)
f(x)=4x3
d(4x3)= (4)(dx3)=(4)(3)x2(dx)=12x2(dx)
f(x)=ex
d(ex)= ex (dx)
∫ex dx= ex
f(x)=lnx
d(lnx)= 1/x (dx)
∫1/x dx= lnx
f(x)=senx
d(senx)= (dx)
∫cosx dx= senx
∫2x dx=
=x2
∫12x2 dx=
= 4x3
De lo anterior podemos concluir que la operación contraria a la derivada (analizar el todo en
pequeños cambios) es la integral (sumar las partes en un todo), tal como se muestra en el
siguiente esquema:
Diferencial
Función primitiva.
Integral.
Función primitiva.
Existen dos tipos de integrales, las llamadas integrales definidas y las integrales
indefinidas.
La integral definida.
Newton y Leibnitz introdujeron las primeras versiones del concepto de integral. Sin
embargo, fue Riemann quien aportó la definición moderna de la integral (
∫
), este símbolo
representa a una s alargada, el cual posiblemente se eligió para representar la ∫uma de los
rectángulos.
Los trabajos de Riemann destacan la propuesta de que el área total bajo
baj la curva puede ser
obtenida por la sumatoria (Σ) de los rectángulos en los que se divide el intervalo [a, b], como
se muestra en la siguiente figura:
f(x)
y
x
∆X
a
a=X0
X1
X2
Xn-1
b
b=Xn
La suma del área de los rectángulos es una aproximación al área bajo la curva descrita por
f(x) y limitada por las rectas X0=a, Xn=b y el eje y.
Por lo anterior:
f(a)(X1 - a) + f(X1)(X2 – X1) + f(X2)(X3 – X2)+ … f(b)(b- Xn-1)
Pero la diferencia entre las abscisas de los rectángulos consecutivos es el ∆X.
f(a)( ∆X) + f(X1)( ∆X) + f(X2)( ∆X)+ … f(b)( ∆X) = ∑
(∆X)
Si n→∞ (se lee n tiende a infinito) y el ∆X→0 la suma se aproxima más al área buscada y el
límite en estas condiciones es el área bajo la curva y también es su integral.
→
∑
∆
=
=!
∆ →
∑
∆
"
A esta integral se le llama integral definida porque el área bajo la curva descrita por f(x) en
el intervalo [a, b] se encuentra acotada perfectamente en el intervalo comprendido entre las
rectas X0=a, Xn=b . Donde a es el límite inferior y b es el límite superior.
Valor de una integral definida.
El valor de una integral definida en un intervalo [a, b] se puede obtener siguiendo los
siguientes pasos:
1. Hallar la integral.
2- Sustituir el límite superior en la integral obtenida.
3. Sustituir el límite inferior en la integral obtenida.
4. Por último restar el segundo resultado del primer resultado.
La Integral indefinida.
Constantes de integración.
Si partimos de una función primitiva, posteriormente derivamos dicha función, si a la
derivada obtenida la integramos, deberíamos de obtener nuevamente a la función primitiva.
Analicemos los siguientes ejemplos:
Función
primitiva.
f(x)=2x3
Derivada.
Integral.
d(2x3)= (2)(dx3)
Observaciones.
∫6x2 dx=
#
= 2x3
No falta nada
∫6x2 dx=
#
= 2x3
Falta el +3
∫6x2 dx=
#
= 2x3
Falta el +5
∫6x2 dx=
#
= 2x3
Falta el -4
=(2)(3)x2(dx)
= 6x2(dx)
f(x)=2x3+3
d(2x3+3)= (2)(dx3)+d(3)
2
=(2)(3)x (dx)+0=
6x2(dx)
f(x)=2x3+5
d(2x3+5)= (2)(dx3)+d(5)
=(2)(3)x2(dx)+0=
6x2(dx)
f(x)=2x3-4
d(2x3-4)= (2)(dx3)-d(4)
2
=(2)(3)x (dx)+0=
6x2(dx)
De acuerdo con las observaciones, ¿Dónde quedo el +3, el +5 y el -4 que faltan en cada
caso para que después de la integración se obtenga nuevamente la función primitiva?
Para que esto se cumpla será necesario agregar al proceso de integración una constante
“C”.
De las integrales del ejemplo anterior, se obtiene que:
Si $ =
&
, ) & =
*
& )&
entonces:
+
*
=
+-
Como la constante “C” es desconocida, la expresión f(x)+C, se llama integral indefinida, para
el ejemplo mostrado, C adquiere los valores de +3, +5 ó -4 según la primitiva buscada.
Podemos concluir entonces que una derivada tiene un número infinito de integrales, las
cuales difieren en una constante “C”, denominada constante de integración.
Formulario de integrales.
En el proceso de integración debemos tener en cuenta dos propiedades fundamentales:
Primera propiedad. La integral de la suma algebraica de diferenciales es igual a la suma de
las integrales de cada diferencial.
! u+v-w dx= !udx + !vdx - !wdx ----------------
1
Segunda propiedad. Un factor constante puede escribirse antes del signo de integral.
!adx= a !dx ---------------------------------------------
2
!dx= x+ C------------------------------------------------- 3
!6 )6 =
!
:;
;
78
9
+ C---------------------------------------
= <=6 + >--------------------------------------------
!? ; )6 =
@A
B9 @
;
+ >---------------------------------------
!C ; )6 = C + >----------------------------------------
!DC=6 )6 = −FGD6 + >-------------------------------!FGD6 )6 = DC= 6 + >--------------------------------!H?=6 )6 = ln DCF 6 + >------------------------------
!FGH6 )6 = ln DC= 6 + >------------------------------!DCF 6 )6 = ln DCF 6 + H?=6 + >------------------
!FDF 6 )6 = ln FDF 6 − FGH 6 + >------------------
!DCF 6 )6 = tan 6 + >-------------------------------!FDF 6 )6 = − cot 6 + >-----------------------------
!H?= 6 )6 = tan 6 − 6 + >-------------------------!FGH 6 )6 = − cot 6 − 6 + >-----------------------;
NO
;
NO
!DC= 6 )6 = −
!FGD 6 )6 = +
P
P
;
;
+ >---------------------------
+ >---------------------------
!DCF 6 tan 6 )6 = DCF 6 + >--------------------------!FDF 6 FGH 6 )6 = − csc 6 + >----------------------!;
:;
@
= H?=R
@
;
@
+ F ------------------------------------
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
La Integral definida problemas
Ejemplos resueltos.
1.- Hallar la integral de la función y=2 en el intervalo [2,5]
T
! 2)& aplicando la fórmula 2.
T
T
! 2)& =2! )& ahora aplicamos la fórmula 3.
T
! 2)& = U2& + FVT evaluamos.
T
! 2)& = 2 5 +c –U2 2 +cV=10+c -4 –c
eliminamos las constantes c.
T
! 2)& =10-4=6
2.- Hallar la integral de la función y=x en el intervalo [-2,4]
P
!R &)& aplicando la fórmula 4.
P
!R &)& = ]
+ F^
P
!R &)& = ]
P
!R &)&= ]
+ F^
P
P
R
evaluamos.
+ F^ − ]
P
R
+ F^ = 8+ c – 2 – c eliminamos las constantes c.
!R &)& =8 –2=6
3.- Hallar la integral de la función y=3x en el intervalo [0,3]
a
! 3&)& aplicando la fórmula 2.
a
a
! 3&)& = 3 ! &)& ahora aplicamos la fórmula 4.
a
! 3&)& = 3 ]
a
a
a
a a
a
b
! 3&)&= ]
! 3&)& ]
! 3&)& =
^
a
+ F^ evaluamos.
+ F^ − ]
a
+ F^ =
b
+ c – 0 – c eliminamos las constantes c.
4.- Hallar la integral de la función y=x2 en el intervalo [0,3]
a
! & )& = aplicamos la fórmula 4.
a
! & )& = ]
^
c
a
a
! & )& = ] a + F^ evaluamos.
a
! & )& ]
a
a c
a
+ F^ − ]
! & )& = 9
c
a
+ F^ = 9+ c – 0 – c eliminamos las constantes c.
5.- Hallar la integral de la función y=2x2+3x-2en el intervalo [-1,3]
a
!R 2& + 3& − 2 )&
aplicamos la fórmula 1.
a
a
a
a
!R 2& + 3& − 2 )& = !R 2& dx + ! 3&dx -!R 2)&
a
a
a
aplicamos la fórmula 2.
a
! 2& + 3& − 2 )& = 2 !R & dx + 3 !R & dx - 2 !R )&
aplicamos las fórmulas 4 y
3.
a
!R 2& + 3& − 2 )& = 2 ]
a
!R
a
2& + 3& − 2 )& = ]
!R 2& + 3& − 2 )& =]
a
a
c
a
a
a
^+3]
^
c
TP
R
−
+]
R
a
a
^ - 2& simplificamos.
^
c
R
^+]
!R 2& + 3& − 2 )& = ] a − − a ^ + ]
a
- U2& VaR evaluamos los límites.
a a
b
T#
!R 2& + 3& − 2 )& = ] a ^ + U12V − U8V
a
!R 2& + 3& − 2 )& = 18.66+4= 22.66
−
a
a R
^ − U2 3 − 2 −1 V
− ^ − U6 + 2V Simplificamos.