Trabajo Práctico Nro 4

Trabajo Práctico Nro 4
Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad
1. Para cada una de las siguientes variables, decida qué modelo de v.a. es el mejor:
discreto o continuo e indique el conjunto de valores posibles.
(a) El tiempo transcurrido hasta que un proyectil regresa a la Tierra,
(b) El volumen de gasolina que se pierde por evaporación durante el llenado del
tanque de combustible,
(c) El número de baches mayores de media pulgada en un tramo de 10 millas de
una carretera,
(d) El peso de una pieza de plástico moldeada por inyección,
(e) El número de moléculas en una muestra de gas.
2. Demuestre que las siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad
(fdp) para algún valor de k, determine el valor de k. Grafı́quelas.
(a) fX (x) = kx2 , 0 < x < 4.
(b) fY (y) = k(1 + 2y), 0 ≤ y ≤ 2.
(c) fV (v) = ke−v , v ∈ R+ .
(d) fW (w) = k, w ∈ [0, θ] para alguna constante positiva θ ∈ R+ .
3. La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla (en horas) de un com−x/1000
ponente electrónico de una copiadora es fX (x) = e 1000 para x ≥ 0. Calcular la
probabilidad de que:
(a) el componente tarde más de 3000 horas en fallar,
(b) el componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas,
(c) el componente falle antes de las 1000 horas.
(d) Calcular el número de horas hasta el cual habrán fallado el 10% de los componentes.
(e) Calcular la función de distribución acumulada FX (x).
(f) Utilice la función de distribución acumulada (Fda.) para calcular la probabilidad de que un componente tarde más de 3000 horas en fallar.
4. Sea X una v.a. contı́nua con Fda. dada por


0 FX (x) = x4 1 + loge


1
4
x
x < 0,
0 ≤ x ≤ 4,
x > 4.
(Este tipo de Fda. está sugerido en el artculo Variability in Measured BedloadTransport Rates(Water Resources Bull., 1985,pp.39-48) como modelo para cierta
variable hidrológica). ¿Cuál es:
(a) P(X ≤ 1)?
1
(b) P(1 < X < 3)?
(c) Hallar la fdp. fX (x).
5. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuidora en
particular es una v.a. X con fdp. dada por
(
1 ≤ x ≤ 2,
2 1 − x12
fX (x) =
0
c.c.
(a) Calcular la Fda. FX (x) de X. Derivarla y verificar que coincide con fX (x).
(b) Calcular la mediana de la distribución.
(c) Calcular los cuartiles de la distribución.
(d) Calcular E(X) y V(X).
(e) Si 1500 galones están en existencia al principio de semana y no se recibe nuevo
suministro durante la semana, ¿cuánto de los 1500 galones se espera que queden
al fin de la semana?.
6. Si la temperatura a la que un cierto compuesto se funde es una variable aleatoria
con valor medio de 1200 c y desviación estndar de 20 c, ¿cuáles son la temperatura
media y la desviación estándar medidas en 0 F?.(Sugerencia: F = 1.8c + 32).
7. El tiempo, en minutos, de adelanto o retraso en el arribo de un vuelo de Mar del
Plata en Buenos Aires es una variable aleatoria X con función de densidad
(
1
(36 − x2 ) −6 < x < 6
fX (x) = 288
,
0
c.c.
donde los valores negativos indican un vuelo adelantado y viceversa.
(a) Encontrar la probabilidad de que un vuelo esté retrasado por más de 2 minutos.
(b) Calcular la esperanza matemática E(X) y la varianza V(X).
(c) ¿Cuál es la mı́nima demora del 20% de los vuelos más retrasados?
Distribución uniforme. Distribución normal. Distribución exponencial
8. La función de densidad de probabilidad (fdp) fX (x) de X := “peso neto en libras
de un paquete de herbicida quı́mico” es fX (x) = 2 para 49.75 ≤ x ≤ 50.25 libras.
(a) Calcular la probabilidad de que un paquete pese mas de 50 libras,
(b) ¿Cuánto herbicida, como mı́nimo, está contenido en el 90% de los paquetes?
(c) Determinar la Fda. FX (x),
(d) Utilice la Fda. para calcular la probabilidad de que un paquete pese menos de
50.1 libras.
(e) Utilice la Fda. para calcular la probabilidad de que un paquete pese entre 49.9
y 50.1 libras.
(f) Encuentre E(X) y V(X).
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(g) Nombre la distribución de X indicando claramente sus parámetros.
9. La variable Z tiene distribución normal estándar.
(a) Realice un estudio matemático de la función de densidad incluyendo dominio,
imagen, ası́ntotas, concavidad, convexidad, puntos crı́ticos, puntos de inflexión,
paridad, y todo lo conducente a graficar la función.
(b) Calcular las siguientes probabilidades
i.
ii.
iii.
iv.
v.
P(Z ≤ 2.24)
P(Z > 1.36)
P(0 < Z < 1.5)
P(0.3 < Z < 1.56)
P(−0.51 < Z < 1.54)
(c) Hallar los valores de z que verifiquen:
i.
ii.
iii.
iv.
P(Z > z) = 0.5
P(Z < z) = 0.8485
P(Z < z) = 0.0054
P(−z < Z < z) = 0.90
10. Si X es una variable aleatoria con distribución normal con parámetros µ = 10 y
σ 2 = 36. Calcular:
(a) P(X > 6.4)
(b) P(4.2 < X < 16)
(c) P(X ≤ 8.14)
11. Una máquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva una media
de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con
una desviación estándar de 15 mililitros,
(a) ¿qué fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros?
(b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
(c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros
para las siguientes 1000 bebidas?
(d) ¿por debajo de qué valor obtendremos el 25% más pequeo de las bebidas?
12. La temperatura a la que ocurre una reacción quı́mica en condiciones controladas de
laboratorio es una variable aleatoria X con tiene una distribución normal. Se sabe
que la probabilidad de que la reacción ocurra a más de 100 grados centı́grados es de
0.10, mientras que en el otro extremo, la probabilidad de que la reacción ocurra a
menos de 70 grados centrı́grados es de 0.20.
(a) Encuentre µ y σ 2 .
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la reacción ocurra entre 80 y 100 grados?
(c) Encuentre los cuartiles de la distribución.
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13. Un estudio de cierto sistema de computadoras revela que el tiempo de respuesta, en
segundos, tiene una distribución exponencial con una media de 3 segundos.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 5 segundos?
(b) Si ya se excedieron los 5 segundos, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de
respuesta exceda 10 segundos?
14. El número de visitas a un sitio web sigue un proceso de Poisson con una razón de 3
visitas por minuto.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurra más de un minuto sin recibir una
visita?
(b) Si transcurren dos minutos sin una visita, ¿cuál es la probabilidad que se dé
una visita en el siguiente minuto?
15. La distancia entre imperfecciones consecutivas en un rollo de lámina de aluminio se
distribuye exponencialmente con una distancia media de 3 metros. Sea la v.a. X:
“distancia en metros entre las imperfecciones”
(a) ¿Cuál es la media del número de imperfecciones por metro?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que cinco metros de aluminio tengan sólo dos imperfecciones?
(c) ¿Cuántos metros hay que inspeccionar, como mı́nimo, para que la probabilidad
de encontrar alguna imperfección sea de al menos 0.90?
16. Cierto tipo de componente puede ser comprado nuevo o viejo. El 50% de los componentes nuevos duran más de 5 aos, pero solo 30% de los usados duran ms de 5 años.
¿Serı́a posible que las duraciones de los componentes se distribuyeran exponencialmente?. Explique
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