0103) Movimiento Rectilíneo Vertical

1
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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0103) Movimiento Rectilíneo Vertical
•
1) Movimiento Vertical con aceleración constante
• Conocer y aplicar las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración en el
movmiento vertical (caso particular del MRUA)
• Conocer los casos: lanzamiento vertical hacia abajo, lanzamiento vertical hacia arriba
y caída libre.
• Para el caso lanzamiento vertical hacia arriba, definir y calcular “tiempo máximo” y
“altura máxima”
• Resolver gráfica y analíticamente problemas de encuentro entre dos cuerpos con
Movimiento Vertical.
1 2
gt [2a]
2
V (t ) = V0 + gt [2b]
A(t ) = g [2c]
Figura 2) Sistema de
referencia para el movimiento
vertical para lanzamiento
hacia abajo y/o caída libre
Lanzamiento vertical hacia arriba
V0
1 2
gt [1a]
2
V (t ) = V0 − gt [1b]
r
g
A(t ) = − g [1c]
Y0
Y(t): altura del móvil en función de t.
V(t): velocidad del móvil en función de t.
A(t): aceleración del móvil en función de t.
X0: altura del móvil en t=0.
Figura 1) Sistema de
V0: velocidad del móvil en t=0.
referencia general para el
g: Aceleración de gravedad. Para movimientos a nivel
movimiento vertical.
terrestre se considera constante (suposicion que se
justificará cuando veamos gravitación) y de valor 9,8 [m/s2], aunque para efectos de cálculo
se suele usar 10,0 [m/s2].
El movimiento vertical es un caso particular de MRUA donde a0 = -g, por lo que todos los conceptos
vistos para el MRUA son válidos para el movimiento vertical.
En la figura 3 podemos distinguir tres instantes claves en el
lanzamiento vertical hacia arriba:
•
•
•
En este caso, podemos distinguir dos parámetros importantes:
•
•
La altura máxima (Ymáx) que puede alcanzar el cuerpo
El tiempo máximo (Tmáx) que es el tiempo, a partir del instante
de lanzamiento, que el cuerpo demora en llegar a Ymáx.
1
3
Aplicando la condición V(Tmáx) = 0 a la ecuación [1b] se llega a
V (T máx ) = V0 − g ⋅ Tmáx = 0 ⇒ Tmáx =
Lanzamiento vertical hacia abajo (V0 < 0): Caracterizado por enunciados del tipo “se lanza
(tira) un cuerpo hacia abajo”.
Caída Libre (V0 = 0): Caracterizado por enunciados del tipo “se suelta (deja caer) un
cuerpo”.
2
Instante 1 (t = 0): El cuerpo se lanza velocidad de magnitud V0
hacia arriba desde la altura inicial Y0, y empieza su ascenso.
Instante 2 (t = Tmáx): El cuerpo alcanza su altura máxima Ymáx.
Se “detiene” en el aire, por lo que su velocidad tiene magnitud
cero. Después empieza su descenso.
Instante 3 (t = 2·Tmáx): El cuerpo vuelve a pasar por su nivel
de lanzamiento Y0, y su velocidad tiene magnitud V0 hacia
abajo.
Dependiendo del valor de V0, el movimiento vertical se puede clasificar en tres tipos:
•
Y
Y
Y (t ) = Y0 + V0 t −
r
g
V0
Y (t ) = Y0 + V0 t +
El sistema de referencia general para el movimiento vertical se
muestra en la figura 1. Las ecuaciones del movimiento vertical
están dadas por:
•
Y0
Para el caso de problemas en los cuales solamente haya
cuerpos en caída libre y/o lanzamiento vertical hacia abajo,
resulta conveniente usar el sistema de referencia mostrado en la
figura 2. En él, las cantidades positivas apuntan hacia abajo, y
las ecuaciones de altura, velocidad y aceleración quedarían
expresadas de la siguiente manera:
Ecuaciones del Movimiento Vertical
Donde
•
•
•
•
•
•
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Lanzamiento vertical hacia arriba (V0 > 0):
Caracterizado por enunciados del tipo “se lanza (tira) un
cuerpo hacia arriba”.
V0
[3]
g
Sabiendo que Ymáx = Y(Tmáx), y reemplazando [3] en [1a]:
Figura 3)
Lanzamiento
vertical hacia arriba
3
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Ymáx = Y (Tmáx ) = Y0 + V0 ⋅ Tmáx
2
1
2
− ⋅ g ⋅ Tmáx
2
Ejercicio:
V
V
V
V
V 
1
= Y0 + V0 ⋅ 0 − ⋅ g ⋅  0  = Y0 +
−
= Y0 +
g 2
g
g
2g
2g
 
2
0
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2
0
2
0
B
[4]
En la figura 4 se visualizan los gráficos de posición y velocidad para un lanzamiento vertical hacia
arriba. Se aprecia que, para el instante t =Tmáx, el cuerpo alcanza su altura máxima Ymáx y tiene
velocidad cero, mientras que para t = 2Tmáx, el cuerpo vuelve a pasar por su altura inicial de
lanzamiento Y0, a una velocidad de magnitud V0, pero dirigida hacia abajo, en sentido opuesto al del
lanzamiento inicial.
En la figura 5 se aprecian dos cuerpos A y B que
caen desde gran altura. Mientras el movimiento de
A es de caída libre, el de B es un lanzamiento
vertical hacia abajo con V0B = 5 [m/s]. Además, A
está inicialmente H = 3 [m] más abajo que B.
Considere g = 10 [m/s2]. Usando el sistema de
referencia indicado en la figura 2:
r
g
H
V0B
A
a) Si
ambos
cuerpos
parten
simultáneamente, calcule el instante en
que B alcanza a A y la distancia que tuvo
Figura 5) Situación de ejercicio de
que recorrer B para lograrlo.
Movimiento Vertical
b) Si B sale con 3 [s] de retraso con respecto
a A, ¿Lo alcanzará?
c) Calcule el retardo T de B para que, a partir de t = T, la distancia entre A y B sea constante.
y
Y(t)
V02
2g
Ymáx
Y0
Desarrollo:
Pregunta a) En este caso, conviene usar el sistema de referencia ilustrado en la figura 26, en el cual
todas las cantidades con dirección hacia abajo se definen como positivas. Así, las ecuaciones de
posición de A y B son:
Y A (t ) = H +
0
Tmáx
2Tmáx
t
YB (t ) = VB ⋅ t +
V(t)
1
1
⋅ g ⋅ t 2 = 5 ⋅ t + ⋅ 10 ⋅ t 2 = 5 ⋅ t + 5 ⋅ t 2
2
2
En el instante en que B alcanza a A, YA(t) = YB(t). Luego:
V0
0
1
1
⋅ g ⋅ t 2 = 3 + ⋅ 10 ⋅ t 2 = 3 + 5 ⋅ t 2
2
2
3 + 5 ⋅t 2 = 5 ⋅t + 5 ⋅t 2 ⇒ 3 = 5 ⋅t ⇒ t =
3
[s ]
5
Reemplazando en la ecuación para YB(t), se obtiene la distancia recorrida por B hasta alcanzar a A.
Tmáx
2Tmáx t
-V0
Figura 4) Gráficos de altura y velocidad para un lanzamiento vertical hacia
arriba.
2
3
3
3
YB   = 5 ⋅   + 5 ⋅   = 4.8 [m ]
5 
5 
5 
Pregunta b) En este caso, hay que considerar que B parte con 3 [s] de retraso. Luego, las
ecuaciones de posición de A y B son:
5
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1
1
Y A (t ) = H + ⋅ g ⋅ t 2 = 3 + ⋅ 10 ⋅ t 2 = 3 + 5 ⋅ t 2
2
2
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Ahora lo que se busca es que, después de t = T, la distancia entre A y B permanezca constante, esto
es YA(t) –YB(t) = constante. Restando las dos ecuaciones de posición:
[
(
[
2
]
2
2
27
[s ]
25
Se puede llegar a este mismo resultado usando derivadas. Si la función F(x) = YA(t) –YB(t) es
constante, entonces la derivada de F(x) tiene que ser cero. Es decir
(
)[
]
F' (t) = Y A ' (t ) − YB ' (t ) = 3 + 5 ⋅ t 2 '− 5 ⋅ (t - T ) + 5 ⋅ (t - T ) ' = 10 ⋅ t − [5 + 10 ⋅ (t − T )] = 0
2
⇒ 10 ⋅ t = 5 + 10 (t − T ) = 5 + 10 ⋅ t − 10 ⋅ T ⇒ 5 = 10 ⋅ T ⇒ T = 0.5 [s ]
La función de velocidad de ambos cuerpos está dada por:
V A (t ) = g ⋅ t = 10 ⋅ t
VB (t ) = VB0 + g ⋅ (t - T ) = 5 + 10 ⋅ (t - 0,5 )
V A (t ) = g ⋅ t = 10 ⋅ t
A
30 [m/s]
y
Figura 6) Situación de A y B en t = 3 [s]
para la pregunta b.
Así, la situación (que se ilustra en la figura 6), sería la
siguiente: En t = 3 [s], A parte con 48 [m] de ventaja
sobre B, su velocidad inicial es 6 veces mayor que la de B, y tienen la misma aceleración (g). En
esas condiciones, resulta evidente que B jamás va a alcanzar a A, y que lo que sucederá es que
A se alejará cada vez más de B.
Pregunta c) En este caso, hay que considerar que B parte con T [s] de retraso. Luego, las
ecuaciones de posición de A y B son:
YB (t ) = VB ⋅ (t - T ) +
)]
(
Para que se cumpla la condición de diferencia constante, el factor que acompaña al tiempo t tiene
que ser igual a cero. Luego, 10 ⋅ T - 5 = 0 ⇒ T = 0.5 [s ] .
Hasta aquí todo parece similar a la pregunta a), pero hay un detalle: como B parte en t = 3 [s],
tendría que alcanzar a A en un instante posterior a
t = 3 [s]
ese, y el resultado obtenido para t es claramente menor
B
que 3, por lo que no corresponde a una solución
físicamente válida.
r
5 [m/s]
g
Para analizar bien esta situación, veamos qué sucede
con la velocidad de A en el instante en que B se lanza
48 [m]
hacia abajo. La velocidad de A es igual a:
Y A (t ) = H +
[
[
3 + 5 ⋅ t − 5 ⋅ t − t ⋅ (5 - 10 ⋅ T ) + 5 ⋅ T − 5 ⋅ T = t ⋅ (10 ⋅ T - 5 ) + 3 + 5 ⋅ T − 5 ⋅ T
2
En el instante en que B alcanza a A, YA(t) = YB(t). Luego:
Al evaluar en t = 3 [s], obtenemos una velocidad de 30
[m/s] hacia abajo. Además, en ese instante, la posición
de A es Y A (3 ) = 3 + 5 ⋅ 3 2 = 48 [m ] .
]
]
3 + 5 ⋅ t 2 − 5 ⋅ t - 5 ⋅ T + 5 ⋅ t 2 - 10 ⋅ T ⋅ t + 5 ⋅ T 2 = 3 + 5 ⋅ t 2 − 5 ⋅ t 2 + t ⋅ (5 - 10 ⋅ T ) − 5 ⋅ T + 5 ⋅ T 2 =
)
3 + 5 ⋅ t 2 = 5 ⋅ t 2 − 25 ⋅ t + 30 ⇒ 3 = −25 ⋅ t + 30 ⇒ 25 ⋅ t = 27 ⇒ t =
2
Y A (t ) − YB (t ) = 3 + 5 ⋅ t 2 − 5 ⋅ (t - T ) + 5 ⋅ (t - T ) = 3 + 5 ⋅ t 2 − 5 ⋅ t - 5 ⋅ T + 5 ⋅ t 2 - 2 ⋅ T ⋅ t + T 2 =
1
1
2
2
2
⋅ g ⋅ (t - 3 ) = 5 ⋅ (t - 3 ) + ⋅ 10 ⋅ (t - 3 ) = 5 ⋅ (t - 3 ) + 5 ⋅ (t - 3 )
2
2
= 5 ⋅ t − 15 + 5 ⋅ t 2 − 6 ⋅ t + 9 = 5 ⋅ t − 15 + 5 ⋅ t 2 − 30 ⋅ t + 45 = 5 ⋅ t 2 − 25 ⋅ t + 30
YB (t ) = VB ⋅ (t - 3 ) +
1
1
⋅ g ⋅ t 2 = 3 + ⋅ 10 ⋅ t 2 = 3 + 5 ⋅ t 2
2
2
1
1
2
2
2
⋅ g ⋅ (t - T ) = 5 ⋅ (t - T ) + ⋅10 ⋅ (t - T ) = 5 ⋅ (t - T ) + 5 ⋅ (t - T )
2
2
En t = T, se aprecia que VA(T) = VB(T) = 5 [m/s]. Además, en ese instante, la posición del cuerpo A
es Y A (0.5 ) = 3 + 5 ⋅ 0.5 2 = 4.25 [m] .
t = T [s]
En la figura 7 se ilustra la situación para t = T. Los dos
cuerpos tienen la misma aceleración (g) y la misma velocidad
inicial (5 [m/s]), por lo que sus movimientos serán iguales. Y
como A está a 4.25 [m] delante de B, se concluye que ambos
cuerpos estarán distanciados a 4.25 [m] durante todo el
trayecto.
r
g
B
5 [m/s]
4.25 [m]
A
Para este caso, se puede establecer que:
5 [m/s]
• Para t < T, el cuerpo B se acerca a A a medida que
ambos caen, hasta que en mmento dado lo alcanza.
Figura 7 Situación de A y B en t =
• Para t = T, los cuerpos B y A se mantienen a
T [s] para la pregunta c
distancia constante durante su caída.
• Para t > T, A se va alejando de B a medida que ambos van cayendo.
y
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2) Efecto de la resistencia del aire
• Analizar a nivel cualitativo el efecto de la resistencia del aire en la caída de los
cuerpos.
• Calcular la velocidad terminal de un cuerpo en caída libre para dos modelos de
resistencia de aire
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caen al mismo tiempo. Este efecto fue verificado en 1969, durante el primer viaje del hombre a la
Luna.
En los tiempos previos a las investigaciones del
físico renacentista italiano Galileo Galilei, se
sostenía la creencia (heredada de Aristóteles) de
que un cuerpo “pesado” se demora menos al caer
que uno “liviano”. Galileo refutó esta creencia al
hacer el siguiente análisis. Sean A un cuerpo
“pesado” y B un cuerpo “liviano”, como los
ilustrados en la figura 8. Si unimos A y B con un
hilo, formando el cuerpo AB y lo dejamos caer
desde gran altura, la suposición de que “A cae
con mayor velocidad que B” lleva a dos
conclusiones
contradictorias
entre sí
(reducción al absurdo)
•
•
Figura 8) Análisis de Galileo de la caída
B es más liviano que A ⇒ B cae más de los cuerpos
lento que A ⇒ En AB, B “frena” a A ⇒
AB cae más lento que A.
AB es más pesado que A ⇒ AB cae más rápido que
A.
Para corroborar su razonamiento, Galileo Galileo se subió a la
Torre de Pisa (ver figura 9), y dejó caer dos cuerpos de
diferente peso. Ante la sorpresa de todos, los dos cuerpos
llegaron juntos al suelo.
Si usted deja caer una moneda y un trozo de papel estirado
Figura 9) Experimento de
desde una misma altura inicial, la moneda llegará primero. Pero
Galileo
en la Torre de Pisa
si arruga el trozo de papel formando una “pelota” y repite el
experimento, ambos cuerpos llegarán al mismo tiempo
(ver figura 10). Esto se debe a que aire opone
resistencia a la caída de los cuerpos. Mientras más
liviano sea el cuerpo, mayor es la resistencia. Al
respecto, Galileo formuló la siguiente teoría: Dos
cuerpos cualesquiera que se dejan caer
Figura 10) Experimento de la moneda
simultáneamente en el vacío, van cayendo siempre
y el trozo de papel
juntos, con iguales velocidades. Esto se aprecia en
el clásico experimento de laboratorio ilustrado en la
figura 11, en el cual se dejan caer dos cuerpos de diferente peso dentro de un recipiente sellado de
cristal. Cuando está llena de aire, el cuerpo más pesado llega antes al suelo, pero cuando se repite
el experimento después de extraer el aire del recipiente con una bomba de vacío, ambos cuerpos
El modelo idealizado de movimiento vertical analizado anteriormente desprecia el efecto de la
resistencia del aire, lo cual resulta
razonable a baja altura y con cuerpos
“pesados”. Sin embargo, en la
realidad, la resistencia del aire existe
(ver figura 12), y su efecto es una
fuerza de frenado o arrastre D que se
opone al aumento de rapidez del
cuerpo y que depende directamente
de la velocidad de caída. Transcurrido
un tiempo de la caída, el peso y la
Figura 12) Efecto de la
resistencia del aire se igualan y el
Figura 11) Caída de cuerpos
resistencia del aire en la
cuerpo cae con velocidad terminal
caída de los cuerpos.
en el aire y en el vacío
constante.
En la figura 13 se muestra un cuerpo de masa m
cayendo a gran altura desde el reposo. En la
situación inicial (figura 13a), a velocidad inicial del
cuerpo es cero. La fuerza de frenado es cero y el
cuerpo cae efectivamente en caída libre. Pero a
medida que aumenta la velocidad, aumenta la
fuerza de frenado D, disminuyendo la aceleración
neta del cuerpo (figura 13b). Finalmente, en el
momento en que la fuerza de frenado D se iguala
al peso, el cuerpo adquiere una velocidad terminal
vT (figura 13c).
En general, la magnitud de la fuerza de frenado
puede depender de la velocidad de formas muy
complejas. Para efectos de este curso, se van a
considerar dos modelos:
D
D
m
m
m
mg
mg
mg
(a)
(b)
(c)
Figura 13) Movimiento vertical con fricción de
aire. (a) Situación de inicio; (b) Situación
transiente; (c) Situación terminal.
Modelo 1) Asume que la fuerza de arrastre D es
directamente proporcional a la velocidad del objeto, esto es:
D(v ) = −b ⋅ v [5]
Donde v es la velocidad instantánea del cuerpo, y b es un coeficiente de roce viscoso, que depende
de las propiedades del cuerpo (tamaño y forma) y de las propiedades del aire, especialmente su
densidad. Este modelo es válido para objetos que caen lentamente en el aire, y para objetos muy
peqiueños, como partículas de polvo. El signo menos de [5] indica que la fuerza de arrastre se
opone al aumento de velocidad.
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Aplicando la 2º Ley de Newton al cuerpo de masa m
b
⋅ v [6]
m
m ⋅g − b ⋅v = m ⋅a ⇒ a = g −
donde a es la aceleración neta del cuerpo. Cuando se alcanza la velocidad terminal, a = 0.
Finalmente:
b
mg
⋅v ⇒ v = vT =
[7]
m
b
0=g−
Posteriormente, demostraremos que, para este modelo, la velocidad del cuerpo v(t) es una función
exponencial.
Modelo 2) Asume que la fuerza de arrastre D es directamente proporcional al cuadrado de velocidad
del objeto, esto es:
D(v ) = −α ⋅ v 2 [8]
Donde v es la velocidad instantánea del cuerpo, y α es una constante de proporcionalidad que
depende de las propiedades del cuerpo (tamaño y forma) y de las propiedades del aire,
especialmente su densidad. Este modelo es válido para objetos de mayor dimensión que se
desplazan a grandes velocidades. El signo menos de [8] indica que la fuerza de arrastre se opone al
aumento de velocidad.
Aplicando la 2º Ley de Newton al cuerpo de masa m
m ⋅ g − α ⋅v 2 = m ⋅ a ⇒ a = g −
α
m
⋅ v 2 [9]
donde a es la aceleración neta del cuerpo. Cuando se alcanza la velocidad terminal, a = 0.
Finalmente:
0=g−
α
m
⋅ v 2 ⇒ v = vT =
mg
α
[10]
Esta situación será analizada con más detalle cuando veamos roce viscoso.