Procesamiento Digital de Señales CE16.10L2 Tema 3. Operaciones en señales en tiempo discreto Operaciones básicas con señales Operación Producto (modulación): Operación de Suma: Operación de Multiplicación: Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Operaciones básicas con señales Operación de desplazamiento en tiempo: y[n] = x[n − N] donde N es un entero. Si N > 0, es una operación de retardo Unidad de retardo Si N < 0, es una operación de Avance Unidad de avance Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Operaciones básicas con señales Operación de inversión en Tiempo (folding): Operación de Ramificación: Es usada para proporcionar múltiples copias de una secuencia. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo con operaciones básicas Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Sistemas Discretos Un sistema en tiempo discreto procesa una secuencia de entrada dada x[n] para generar una secuencia de salida y[n] con propiedades mas deseables En muchas aplicaciones, el sistema en tiempo discreto es normalmente un sistema de una entrada sencilla, una salida sencilla Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Clasificación de los Sistemas Los sistemas en tiempo discreto pueden ser clasificados en función de sus propiedades: Discretos vs. Continuos Lineales vs. No-Lineales Invariantes al desplazamiento vs. Variantes al desplazamiento Causal vs. No-Causal Sin Memoria – vs. Con Memoria Estables vs. Inestables Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Linealidad Sea y1[n] la salida producida por una entrada x1[n] y sea y2[n] la salida producida por una entrada x2[n]. Un sistema es lineal, si las siguientes propiedades son satisfechas: Esta propiedad se debe mantener para cualquier constante arbitraria α y β, además para todas las posibles entradas x1[n] y x2[n] o cualquier numero de entradas posible. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo : Acumulador Un sistema discreto cuya relación entrada/ salida es dada por y[-1] la segunda forma es usada si la señal es causal, en cuyo caso es la condición inicial Esta representación es conocido como un acumulador, donde la salida en cualquier instante, es simplemente la suma de todas las entradas hasta ese instante. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Invarianza al Desplazamiento Un sistema es invariante al desplazamiento si para toda m y n. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo: Muestreador Ascendente Es un sistema cuyas carac. de entrada/salida pueden ser escritas como es conocido como muestreador ascendente. Lo que realiza este sistema es insertar L ceros entre cada muestra. Si las muestras son insertadas basadas en sus amplitudes, entonces este sistema es llamado interpolador Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Sistema Lineal Invariante en el Tiempo Un sistema que satisface las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo (desplazamiento) es llamado un sistema LTI (linear time invariant). Mas adelante veremos que este tipo de sistemas serán muy importante en el procesamiento digital de señales: Ya que son fáciles de analizar y caracterizar, por lo tanto fácil de diseñar. Algoritmos eficientes se han implementado para tales sistemas. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Causalidad Un sistema es causal si la salida y[n0], en el instante n0 depende únicamente de las muestras de entrada x[n] para n ≤ no y no depende de las muestras de entrada para n > no Son los siguientes sistemas causales? Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo: Muestreador Descendente Un sistema cuyas características de entrada/salida satisfacen , donde M es un entero +, es llamado muestreador descendente o decimador. Este sistema reduce el numero de muestras por un factor M, es decir removiendo M muestras entre dos muestras consecutivas. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Memoria y Estabilidad Un sistema se dice sin memoria si la salida depende únicamente de entrada actual, pero no de las entradas pasadas ni futuras. De otra forma decimos que el sistema tiene memoria. Un sistema en tiempo discreto es estable si y solo si para toda entrada acotada, la salida también lo es. Si y[n] es la respuesta a una entrada x[n] que satisface y y[n] satisface , entonces se dice que el sistema es estable en sentido BIBO (entrada, salida acotadas). Un sistema (filtro) que no es estable no es de uso practico (excepto para aplicaciones muy especificas) y por lo tanto la mayoría de los filtros son diseñados en el sentido BIBO estables. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo: Filtro de Promedio Movil Promedio Móvil de M puntos: Usada en suavizar variaciones aleatorias de datos. Una implementación directa del sistema de promedio móvil de M-puntos, requiere M sumas, 1 división y almacenamiento de las muestras de entrada pasadas. Una implementación más eficiente es presentada a continuación. Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo: Filtro de Promedio Movil Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo: Filtro de Promedio Movil El calculo del sistema de promedio móvil de M-puntos modificado usando la ecuación recursiva, requerirá ahora 2 sumas y 1 división. Una aplicación puede ser: x[n] = s[n] + d[n], donde s[n] es la señal contaminada con ruido d[n] Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica Ejemplo: Filtro de Promedio Movil % Suavizado de la senal por un filtro de promedio movil R = 50; d = rand(R,1)-0.5; m = 0:1:R-1; s = 2*m.*(0.9.^m); x = s + d'; plot(m,d,'k-',m,s,'b--',m,x,'r:') xlabel('indice de tiempo n','FontSize',14); ylabel('Amplitud','FontSize',14) legend('d[n]','s[n]','x[n]'); pause M = input('Numero de muestras de entrada = '); b = ones(M,1)/M; y = filter(b,1,x); figure plot(m,s,'r-',m,y,'b--') legend('s[n]','y[n]'); xlabel ('indice de tiempo n','FontSize',14); ylabel('Amplitud','FontSize',14) Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica n=0:99; s=2*(n.*(0.9).^¨n); d=rand(1:100); x=s+d; subplot(211) plot(x);grid for i=7:100; y(i)=(1/7)*sum(x(i-1)+x(i-2)+x(i-3) +x(i-4)+x(i-5)+x(i-6)); end subplot (212) plot(n,y);grid Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica FIN Procesamiento Digital de Señales (PDS) Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica