capítulo completo

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CAPÍTULO 5. LA RELACIÓN DE PARALELISMO. RESULTADOS
PREVIOS AL V POSTULADO DE EUCLIDES
Introducción
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Al introducirse la definición de rectas paralelas y los primeros teoremas que se relacionan con
ella, se incursiona en uno de los temas cruciales en la Geometría Euclidiana y que diera lugar a
las polémicas históricas más perdurables en el tiempo y posteriormente a los resultados de
mayor relevancia en las matemáticas. Se completan ya todos los resultados de la geometría
Euclidiana que no se derivan del postulado de las paralelas. Mantiene su importancia el Método
de Reducción al absurdo como una estrategia importante cuando se trata de la demostración de
teoremas de trascendencia, como es el caso en este tema del teorema de los Ángulos alternos
internos y el teorema del Ángulo exterior en su primera versión entre otros.
Objetivos Específicos.
1. Presentar en forma clara y precisa la noción de rectas paralelas en su forma más
general mostrando como la condición de intersección vacía no es suficiente para el
paralelismo.
2. Enriquecer el trabajo didáctico mostrando como en este punto de la teoría, se
pueden formular múltiples problemas cuya solución puede abordarse por el
Método de Reducción al absurdo, contrastando como elemento de validez, el
Teorema de los Ángulos alternos internos.
3. Aprovechar el nivel de desarrollo teórico para plantear que no es posible
demostrar algo que parece tan simple como lo es el teorema recíproco de los
Ángulos alternos internos, e ir ambientando la necesidad del Postulado de la
Paralela única.
4. Plantear como problema a resolver el hecho de que en la demostración del
teorema donde se prueba la existencia de una recta paralela a una recta dada por
un punto exterior a ella, que pasa con la unicidad dado que en el teorema no se
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menciona. Así se inicia un tránsito más natural hacia la necesidad del Postulado V
de Euclides.
5. Probar señalando claramente porque puede hacerse en este nivel de la teoría y no
antes que un triángulo rectángulo tiene un único ángulo recto y hacer lo propio
con el cuarto caso de congruencia de triángulos (L-A-A).
6. Mostrar una síntesis de los casos generales de congruencia y señalar algunas
designaciones particulares en los triángulos rectángulos, presentando además el
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caso Hipotenusa-cateto, aprovechando la distribución de sus elementos para abrir
la discusión sobre la razón por la cual el caso L-L-A no conduce en general a
congruencia de triángulos.
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5.1 LA RELACIÓN DE PARALELISMO
Definición 27. Rectas Paralelas.
Sean 𝑙 y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y
lo denotamos como l // r si:
l es la misma recta r ó
ii.
l es diferente a r y l  r   .
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i.
Consecuencia: Sean 𝑙 y 𝑟 dos rectas contenidas en un mismo plano.
𝑙 ∦ 𝑟 si y solo si 𝑙 ≠ 𝑟 y 𝑙 ∩ 𝑟 ≠ ∅
De otra forma:
𝑙 ∦ 𝑟 si y solo si 𝑙 ∩ 𝑟 = {𝑃} , donde 𝑃 es único.
Definición 28. Recta secante a otras dos rectas.
Sean
l1 ≠ l 2 ; l1 , l 2 ⊂ 𝜋 ; l1  t  A , l2  t  B , A  B , entonces se dice que la
recta 𝑡 es secante las rectas
l1 y l 2 . (Ver figura 77).
Figura 77.
Definición 29. Tercera clasificación angular. Criterio: Posición relativa de los ocho
ángulos determinados por una secante con las dos rectas intersectadas.
Dadas dos rectas cualesquiera cortadas por una secante, se llaman ángulos alternos
internos aquellos que:
1. Tienen exactamente un segmento común.
2. Sus interiores no se intersectan.
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3. No son adyacentes.
Figura 78.
En la Figura 78: los ángulos A' Bˆ ' B y 𝐵′𝐵̂𝐶 son alternos internos. C ' Bˆ ' B y ABˆ B ' también lo
son.
Los ángulos A' Bˆ ' D' y CBˆ D son alternos externos; 𝐷′𝐵̂′𝐶′ y ABˆ D también lo son.
̂ 𝐶′ son correspondientes, 𝐷′𝐵̂′𝐶′ y 𝐵′𝐵̂𝐶 , ABˆ D y 𝐴′𝐵̂′𝐵 , ABˆ B ' y
Los ángulos D' Bˆ ' C ' y 𝐵𝐵′
𝐴′𝐵̂′𝐷′también lo son.
̂ 𝐵 también lo son.
Los ángulos A' Bˆ ' B y ABˆ B ' son colaterales interiores, 𝐶𝐵̂𝐵′ y 𝐶𝐵′
̂ ′𝐶′ son colaterales exteriores, ABˆ D y A' Bˆ ' D' también lo son.
Los ángulos DBˆ C y 𝐷′𝐵
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5.2 PRIMER CRITERIO DEL PARALELISMO. TEOREMA DE LOS ÁNGULOS
ALTERNOS INTERNOS. (PRIMERA VERSIÓN).
TEOREMA 25. Teorema de los ángulos alternos internos. ( T .A.I ).
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella una pareja de ángulos
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alternos internos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
Demostración.
Sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en los
puntos B y B' respectivamente y de modo que:
A' Bˆ ' B  CBˆ B' .
Figura 79.
Vamos a demostrar que l // r o lo que es lo mismo l  r   .
Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que los ángulos alternos internos
son congruentes y que l no es paralela a r.
Entonces se cortarán en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano
respecto a t en que están C y C' (Ver Figura 79).

Consideremos el triángulo B B' D . Como A' Bˆ ' B  CBˆ B' (hipótesis) entonces, BBˆ ' D  B' Bˆ A
(1). (Teorema 24).
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Ahora, por el axioma de construcción de segmentos, existe E en la semirrecta B ' A' tal que
B' E  BD .


Unamos B con E. los triángulos B B' D y B B' E son congruentes (L-A-L), de donde:
EBˆ B'  BBˆ ' D
BBˆ ' D  B' Bˆ A
pero
por (1 ).
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Luego EBˆ B'  B' Bˆ A .
Y como BE y BA están en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma de construcción del
ángulo BE  BA , lo que nos dice a la vez que E  BA , es decir E pertenece a la recta l.
Pero también D  l . Luego l  DE y como la recta DE es la misma r, se tiene finalmente que
r l.
Contradicción con la hipótesis ya que habíamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes.
COROLARIO 1.
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos
correspondientes congruentes, entonces, dichas rectas son paralelas.
COROLARIO 2.
Si dos rectas intersectadas por una secante determinan con ella ángulos alternos
externos congruentes, entonces dichas rectas son paralelas.
COROLARIO 3.
Si dos rectas son perpendiculares a una tercera, todas ellas coplanarias, entonces las
dos primeras son paralelas entre sí.
Demostración.
Sean l  t y r  t , l , r , t   . Demostremos que l // r .
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Figura 80.
Como l  t , entonces ABˆ B ' es recto.
Como r  t entonces A' Bˆ ' B es recto y por la tanto su ángulo adyacente C ' Bˆ ' B es recto. Así
que ABˆ B'  C ' Bˆ ' B por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas 1
y r ángulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de los ángulos alternos
internos, l // r .
Definición 30. Ángulo exterior de un triángulo.
En un triángulo todo ángulo que hace par lineal con algún ángulo interior del triángulo, se
llama ángulo exterior del triángulo.
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5.3 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR. (PRIMERA VERSIÓN).
TEOREMA 26. Teorema del ángulo exterior. ( T .E ).
Todo ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquiera de los ángulos interiores
no adyacentes a el.
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Demostración.

En un triángulo A B C consideremos el ángulo exterior 𝐴𝐶̂ 𝐷 . Dicho ángulo es adyacente al
ángulo 𝐴𝐶̂ 𝐵 del triángulo.
Figura 81.
Vamos a demostrar:
i.
Aˆ  ACˆ D .
ii.
Bˆ  ACˆ D .
Veamos i). Basta demostrar que no puede darse que:
ACˆ D  Aˆ y
ACˆ D  A .
a. Supongamos que ACˆ D  Aˆ . Entonces existe una semirrecta AM en el interior de BAˆ C y
tal que ACˆ D  CAˆ M .
Ahora como AM está en el interior de BAˆ C , por el T.B.T., AM corta a BC en un punto
G, G entre B y C.
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ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Consideremos las rectas AG , CD y la secante AC . Como ACD  CAG y ACD y CAG son
ángulos alternos internos, entonces por el T. de

A. I., CD ∥ AG , contradicción ya
que CD y AG se cortan en G.
b. Supongamos ahora que ACˆ D  Aˆ . Si consideremos las rectas AB y CD y la secante AC ,

A. I. se tendría que: AB // CD . Contradicción,, ya que AB y CD
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como ACˆ D  Aˆ , por T.
se cortan en B.
Figura 82.
Con a. y b. queda demostrado i).
ii) La prueba de que Bˆ  ACˆ D es completamente similar y se deja como ejercicio.
COROLARIO.
En todo triángulo rectángulo, los ángulos interiores diferentes del ángulo recto son agudos.
Demostración.

ABˆ D es un ángulo exterior del triángulo A B C . Luego Cˆ  ABˆ D pero ABˆ D  ABˆ C , de donde se
concluye que: Cˆ  ABˆ C .
Figura 83.
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ˆ  AB
ˆC .
De la misma manera se demuestra que el ángulo A
Queda probado en consecuencia que todo triángulo rectángulo tiene únicamente un ángulo
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recto.
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5.4 EXISTENCIA ÚNICA DE LA PERPENDICULAR A UNA RECTA, POR UN
PUNTO EXTERIOR A ELLA.
TEOREMA 27.
Por un punto exterior a una recta 𝑙 se puede trazar una perpendicular a la recta y sólo
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una.
Demostración.
1. Existencia.
ˆB .
Sea P  l . Tomemos A y B en l, unimos P con A y consideremos el ángulo PA
Por el axioma de construcción del ángulo, existe AM  l :~ P y tal que:
ˆ B  BA
ˆM
PA
(1).
Figura 84.
Con AM puede ocurrir:
i.
Que sea opuesta a AP .
ii.
Que no sea opuesta a AP .
ˆ B es recto ya que PA
ˆ B y BAˆ M hacen
i. Si AM es opuesta a AP entonces el ángulo PA
par lineal y son congruentes. Por lo tanto AP  l y pasa por P.
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Figura 85.
ii.
Supongamos ahora que AM no es opuesta a AP (Figura 84). Tomemos sobre AM el
punto T de modo que AT  AP . Es claro que P y T están en semiplanos distintos
respecto a la recta l. Por tanto, PT corta a l en Q




Ahora, P A Q  T A Q (L-A-L). Luego PQˆ A  TQˆ A y T Q A  P Q B por opuestos por el
vértice. O sea que: PQˆ A  PQˆ B . De donde PQˆ B es recto, entonces se tiene que la recta PT es
perpendicular a la recta l.
2. Unicidad.
Supongamos que por P se pueden trazar dos perpendiculares PQ y PR a 1. Consideremos

el triángulo P Q R . Como PRˆ M y PQˆ R son rectos, entonces, PRˆ M  PQˆ R . Contradicción ya
que por el T.

E. PQˆ R  PRˆ M .
Definición 31.
1. La longitud del segmento perpendicular trazado desde un punto a una recta es
llamada distancia del punto a la recta.
2. El segmento trazado desde el vértice de un triángulo y perpendicular a la recta
que contiene al lado opuesto es llamado altura del triángulo.
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5.5 EXISTENCIA DE LA PARALELA A UNA RECTA, POR UN PUNTO
EXTERIOR A ELLA.
TEOREMA 28.
Por un punto exterior a una recta l se puede trazar una paralela a la recta.
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Nota: Obsérvese que la proposición asegura que se puede trazar al menos una paralela a la
recta dada. Acerca de la unicidad o sea que esa paralela sea única o no, la proposición no
afirma nada.
Demostración.
Sea P  l . Demostremos que existe una recta r que pasa por P y tal que r // l .
Sea t la perpendicular a l bajada por P.
Figura 86.
Por P trazamos la recta r perpendicular única a t y contenida en el plano l, P . Entonces r // l
ya que r y l forman con t una pareja de ángulos A.I. congruentes.
Es importante una pregunta que podemos plantearnos al respecto de este resultado. Si como
hemos observado, la demostración se fundamenta en dos teoremas de existencia única.
¿No podríamos garantizar que la demostración “hereda la unicidad” y esta no puede también
afirmarse?
¿Podría explorarse la demostración de la unicidad por el Método de Reducción al absurdo?
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Trate de plantearlo y muestre si llega a una contradicción.
Posteriormente tendremos la oportunidad de observar, la importancia que tiene este
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planteamiento.
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5.6 CUARTO CASO GENERAL DE CONGRUENCÍA DE TRIÁNGULOS (L-A-A)
TEOREMA 29. Caso Lado-Ángulo-Ángulo ( L-A-A).


Sean los triángulos A B C y D E F tales que: BAˆ C  EDˆ F y CBˆ A  DEˆ F . Si
AC  DF ó CB  FE entonces:


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ABC  D E F
Figura 87.
Demostración.


Bastará con demostrar que AB  DE ya que de aquí se concluye que A B C  D E F (L-A-
L).
Razonemos por reducción al absurdo.
Supongamos que AB no es congruente a DE
i)
AB  DE ó
ii)
DE  AB .
AB  DE  . Entonces:
Veamos que en cualquiera de los casos se llega a una contradicción.
i) Si AB  DE entonces existe un M entre A y B de modo que AM  DE . Por tanto,




ˆ  Eˆ , luego C M A  Bˆ y se
A M C  D E F de donde C M A  Eˆ . Pero por hipótesis B
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

tiene en el triángulo C M B que el ángulo exterior C M A es congruente con el ángulo B̂ ,
donde B̂ es ángulo interior en contradicción con el T.
 . E.
ii) Un razonamiento similar para el caso en que DE  AB conduce de nuevo a una
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contradicción.
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5.7 LA CONGRUENCIA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TEOREMA 30. Los cuatro casos de congruencia de triángulos rectángulos.
i) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes.
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Demostración.


ˆD
ˆ (por ser rectos),
Sean A B C y D E F tal que AC  DE y AB  DF . Como A


B AC  F D E (L-A-L).
Figura 88.
ii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes un cateto y un ángulo agudo, son
congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al ángulo agudo).
Demostración.
En efecto, en un caso se tiene congruencia por A-L-A y en el otro caso, se tiene congruencia por
L-A-A.
Figura 89.
Figura 90.
iii) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo,
son congruentes.
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Figura 91.
iv) Dos triángulos rectángulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son
congruentes.
Demostración.


En efecto, sean los triángulos rectángulos A B C y E D F tales que:
AB  DE
y AC  DF .
Figura 92.
Tomemos G  BC de modo que B esté entre G y C y además BG  EF . Entonces


A B G  D E F (catetos congruentes) (1). De donde DF  AG (hip.). Luego, AC  AG , de
ˆ  Cˆ y por lo tanto:
aquí se sigue que G


A B C  A B G (L-A-L)

(2).

De (1) y (2) se concluye que A B C  D E F .
Es importante anotar que la estructura que presenta este caso con relación a los elementos
respectivamente congruentes, se puede identificar como L-L-A. Surge entonces una pregunta
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obligada: ¿Es la situación planteada en este caso L-L-A un caso general de congruencia de
triángulos? . La respuesta es no. Dejo al lector la construcción de un contraejemplo.
COROLARIO.
Dado un ángulo AOˆ B , cualquier punto de su bisectriz equidista de los lados del ángulo,
e inversamente, cualquier punto en el interior del ángulo que equidista de los lados
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pertenece a la bisectriz del ángulo.
Nota: Decimos, en este caso, que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de todos
los puntos que equidistan de los lados del ángulo.
Demostración.
Basta aplicar los casos iii) y iv) de congruencia de triángulos rectángulos.
Figura 93.
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5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS
Temas:
Paralelismo (Resultados previos al V.P.E)
Perpendicularidad.
Congruencia de triángulos.
Primeras consecuencias del V.P.E.
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1. En la figura sean t secante a l1 y a l 2 respectivamente.
Determinar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son falsas.
1.1 ̂ ' y
ˆ '
1.2 Si ˆ ' 
son ángulos correspondientes.
ˆ ' entonces l1 // l 2 .
1.3 Si ˆ  ˆ' entonces l1 // l 2 .
1.4    conlleva necesariamente a l1 // l 2 .
1.5 Si    y    ' entonces l1 // l 2 .
1.6 Si    entonces l1 // l 2 .
1.7 Si
ˆ '  ˆ'
entonces l1 // l 2 .
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2. En la figura dada, t es secantes a las rectas l1 y l 2 .
2.1 Demostrar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son
falsas.
2.1.1
ˆ B  ABˆ D entonces BD  l .
Si CA
2
ˆ K  BA
ˆ D  K ' Bˆ L entonces l // l .
2.1.2. Si DA
1
2
ˆ K  ABL entonces t  l y t  l .
2.1.3. Si CA
1
2
2.1.4. Si CA  AD y CBˆ A  ABˆ D entonces l1 // l 2 .
2.2 Cada uno de los siguientes grupos de premisas conllevan a una contradicción
con alguna propiedad establecida en la figura. Partiendo de las premisas
dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una contradicción.
2.2.1
ˆ B  ABˆ D .
Premisas: CA
2.2.2
Premisas: CA  BD y CB  AD .
2.2.3
ˆ B  AD
ˆB .
Premisas: CA
2.2.4
ˆ K  KA
ˆD .
ˆ B , CBˆ A  CA
Premisas: BA es bisectriz de CD
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3. En la figura se tiene:
i.
AQ  SB  P.
ii.
AB  AP .
iii.
M: punto medio de
BP .
HBˆ A  QRˆ S .
v.
QT : bisectriz de PQˆ R .
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iv.
Demostrar:
3.1 QTˆR  ABˆ M .
3.2 AM // QT .
3.3 QRˆ S es obtuso.
4. En la figura se tiene:
i. ABC .


ii. BL  Int ABˆ C .
iii. A está entre K y C, T entre P y C.
Demostrar:
4.1. LTˆC  Cˆ .
ˆ B  PLˆ T .
4.2. Si PTˆL  BAˆ P entonces KA
ˆ
ˆ
ˆ
  mABC   mA3CB   mBAC  .
4.3. Si APˆ L  KAˆ B entonces m APˆ L 
5. Demostrar el siguiente teorema:
5.1 En un triángulo isósceles las alturas asociadas a los lados congruentes, son
congruentes.
5.2 Demuestre el reciproco del punto 1.
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6. Demostrar: Si en los triángulos ABC y DEF se tiene AB  DE ; BC  EF y la
altura desde C es congruente con la altura desde F, entonces ABC  DEF
7. Demostrar: Si AM es una mediana en el ABC , entonces los segmento “bajados”
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desde B y C a AM , perpendiculares a esta semirrecta, son congruentes.
8. Si A, B, C, D, E son colineales, BC  EF , AD  BE , AC  DF , probar que
BC // EF
9. Sean: l, k, m, n rectas coplanares, si l // m , n  l , k  m , probar que n // k . ¿Es
posible demostrar que la tesis pedida sin recurrir al V.P.E?

  
10. En la figura K, L, M son colineales, KL  NL , m MLˆ N  m Kˆ  m Nˆ , LQ biseca a
MNˆ L . Demostrar que
LQ// KN
ˆ B
ˆ,
11. En la figura: F es un punto medio de CD , E es punto medio de AB , A
AD  BC . Demostrar que CD // AB .
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12. Demostrar que toda recta paralela a la base de un triángulo isósceles pasando por
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un vértice, biseca al ángulo exterior asociado al vértice.
13. Demostrar el teorema del ángulo exterior (Versión 2). La medida de cualquiera de
los ángulos exteriores de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos
ángulos interiores no adyacentes.
14. Utilizando el teorema del punto interior, demostrar: la suma de los ángulos
interiores de todo triángulo es 180°.
Nota: Como puede observarse los teoremas 13 y 14 son consecuencias del V.P.E.
similarmente buena parte de los problemas siguientes, requieren de estos dos teoremas.
Indique en cuales de los problemas siguientes, se requieren necesariamente
consecuencias del V.P.E.


15. En la figura se tiene ˆ  ˆ ' , ˆ  ˆ ' , m D̂  130  . Calcular m Cˆ .
ˆ B
ˆ , DE  AB . Demostrar que ˆ  Ê .
16. En la figura se tiene: A
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17. En la figura BC  AC , DC  AB . Demostrar que ˆ  ˆ .
18. En la figura AB // CD , FG biseca a BFˆE , EG biseca a DEˆ F . Demostrar que
EG  GF .
 
19. En la figura ABC es isósceles, AC  BC , F  Int AB , DF  AC , EF  BC .
Demostrar que AFˆD  BFˆE .
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20. En la figura AC  BC , FC  EC . Demostrar que DE  AB .
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
5.9 EJERCICIOS RESUELTOS
Ilustración N° 1
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
En la figura 𝑡 es secante a las rectas  1y a  2

1

2
𝑡
Cada uno de los siguientes grupos de premisas conlleva a una contradicción con alguna
propiedad establecida en la figura; cuando se anexan a ésta.
Partiendo de las premisas dadas, elaborar una prueba breve que concluya con una
contradicción.
Premisas
i.
𝐶𝐴 ≅ 𝐵𝐷
ii.
𝐶𝐵 ≅ 𝐴𝐷
1. Agregamos
dadas
a
las
la

1
premisas
gráfica
en
consideración.
2. ∆𝐶𝐴𝐵 ≅ ∆𝐾𝐷𝐵(L-L-L);de i. ,
𝑡
ii. y figura.
Consecuencias:


CAB ≅ KBD
⏟
2′

2
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
⃡ ; de 2´ y T A.I, pero esto es absurdo porque  1∩ 𝐵𝐷
⃡ = {𝐷} de acuerdo a la
3.  1//𝐵𝐷
figura.
Ilustración N° 2



En la figura se tiene: 𝐴𝐷 bisectriz de CAB ; 𝐵𝐷 bisectriz de CBA ; 𝑚 ( ADB) = 130°.

M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
Calcule 𝑚 (C ) .
1. 𝛼 = 𝛼′; de la hipótesis definición de bisectriz.
2. 𝛽 = 𝛽′; de la hipótesis definición de bisectriz.

3. 𝛼 + 𝑚 ( ADB) + 𝛽 = 180°; Teorema suma ángulos interiores en el ∆𝐴𝐷𝐵.

4. (𝛼 + 𝛼′) + 𝑚 (C ) + (𝛽 + 𝛽 ′ ) = 180°; Teorema suma ángulos interiores ∆𝐴𝐶𝐵.

5. 2𝛼 + 𝑚 (C ) + 2𝛽 = 180°; sustitución de la hipótesis de 1 y 2 en 4.
6. 𝛼 + 𝛽 = 180° − 130° = 50°; sustitución de la hipótesis en 3 y despeja.

7. 𝑚 (C ) = 180° − 100° = 80°; de 6 y 5, ¿por qué?
Ilustración N° 3
En la figura se tiene:
i.
⃡𝐴𝐵//𝐶𝐷
⃡ .
ii.
𝐹𝐺 es bisectriz de BFE
iii.
𝐸𝐺 es bisectriz de DEF


ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
M
a
U te
so ri
a
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ci o
al
Demuestre que 𝐸𝐺 𝐺𝐹
Demostración
1. 𝛼 = 𝛼′; de ii. definición de bisectriz.
2. 𝛽 = 𝛽′; de iii. definición de bisectriz.
3.


BFE ≅ FEC ; de i. teorema recíproco  A.I.


4. 𝑚 (BFE) = 𝑚 (FEC) ; de 3 consecuencia de la medida angular.

5. 𝑚 (BFE) = 2𝛼; de suma angular y 2.


6. 𝑚 (FEC) = 𝑚 (FED) ; propiedad ángulos suplementarios.

7. 𝑚 (FED) = 2𝛽; de suma angular y 2.

8. 𝑚 (FEC) = 2𝛼; transitividad 4 y 5.
9. 2𝛼 + 2𝛽 = 180°; sustitución 7 y 8 en 6.
10. 𝛼 + 𝛽 = 90°; despejando en 9.

11. 𝑚 (FGE) = 90°; suma  interiores en∆𝐹𝐺𝐸 y 10.

12. FGE es recto; de 11 consecuencia de la medida.
13. 𝐹𝐺 𝐸𝐺 ; de 12 definición general de rectas perpendiculares.
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ilustración N° 4
En un ∆ 𝐴𝐵𝐶 rectángulo en 𝐴 se dan los puntos 𝐴 − 𝐹 − 𝐵; 𝐴 − 𝐷 − 𝐶; 𝐵 − 𝐸 − 𝐶, tales que
̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐸
̅̅̅̅ , 𝐵𝐹
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
𝐶𝐷
𝐵𝐸 . Hallar la medida del ángulo DEF.

i.∆ 𝐴𝐵𝐶, A recto.
M
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al
̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐸
̅̅̅̅ , 𝐵𝐹
̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅
ii. 𝐶𝐷
𝐵𝐸
Hipótesis
iii.𝐶 − 𝐷 − 𝐴; 𝐴 − 𝐹 − 𝐵; 𝐵 − 𝐸 − 𝐶.

Tesis: determinar 𝑚 ( DEF )
Hipótesis
Demostración
̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
̅̅̅̅ = ̅̅̅̅
1. 𝛼 = 𝛽, 𝜆 = 𝜃; de 𝐶𝐷
𝐶𝐸 ; 𝐵𝐹
𝐵𝐸


2. 𝛽 + 𝜔 + 𝜃 = 180°; de C y B son complementarios.


3. 𝑚 ( C ) + 𝑚 ( B ) = 90°; de suma de ángulos interiores en ∆ 𝐶𝐴𝐵 y de i.

4. 180° − 𝛼 − 𝛽 + 180° − 𝜆 − 𝜃 = 90°; de 𝑚 ( C ) = 180° − 𝛼 − 𝛽¿Por qué?

𝑚 ( B ) = 180° − 𝜆 − 𝜃. ¿Por qué?
5. 270° = 2(𝛽 + 𝜃); de sustitución de 1 en 4 y simplificación.
𝛽 + 𝜃 = 135°
6. 135° + 𝜔 = 180° ; sustitución de 5 en 2.
7. 𝜔 = 45°; de 6 simplificación.