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Estática- Sistemas de Fuerzas
2- Sistemas de Fuerzas
Prof. JOSÉ BENJUMEA ROYERO
Ing. Civil, Magíster en Ing. Civil
Estática- Sistemas de Fuerzas
Contenido
2. Sistemas de Fuerzas
2.1 Fuerza. Definición y propiedades.
2.2 Fuerza en el plano. Resultante de dos fuerzas. Método del paralelogramo.
2.3 Componentes rectangulares de una fuerza. Vectores unitarios. Resultante de fuerzas sumando sus componentes.
2.4 Equilibrio de una partícula. Primera Ley de Newton del movimiento. Diagrama de cuerpo libre.
2.5 Fuerzas en el espacio. Componentes rectangulares. Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos de su
línea de acción. Suma de fuerzas concurrentes en el espacio. Equilibrio de una partícula en el espacio.
2.6 Cuerpos rígidos. Sistemas de Fuerzas equivalentes. Fuerzas externas e internas.
2.7 Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes.
2.8 Momento de una fuerza alrededor de un punto.
2.9 Teorema de Varignon. Componentes rectangulares del momento de una fuerza.
2.10 Momento de una fuerza alrededor de un eje. Momento de un par de fuerzas. Pares equivalentes. Suma de pares.
2.11 Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en un punto O y un par. Reducción de un sistema de fuerzas en
una fuerza y un par. Torsores.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Fuerzas
Caracterizadas por su punto de aplicación, dirección y magnitud [N  1kg*m/s2 ].
Debido a que es un vector, se rige por las operaciones del álgebra vectorial.
F
Cuando muchas fuerzas concurren en un punto, se puede hacer la suma (determinar la
fuerza resultante) usando la ley del paralelogramo:
F
P
=
Q
P
=
Estática- Sistemas de Fuerzas
Fuerzas (Componentes Oblicuas)
En muchas operaciones, es conveniente expresar el vector fuerza en componentes.
Eje 1
F1
F
θ
γ
β
Para determinar las componentes
(Ley de senos)
F2
Estática- Sistemas de Fuerzas
Fuerzas (Componentes Oblicuas)
En muchas operaciones, es conveniente expresar el vector fuerza en componentes.
Eje 1
F1
F
θ
γ
β
Para determinar las componentes
(Ley de cosenos)
𝐹2 2 = 𝐹1 2 + 𝐹 2 − 2 ∗ 𝐹 ∗ 𝐹1 ∗ cos⁡(𝜃)
𝐹1 2 = 𝐹2 2 + 𝐹 2 − 2 ∗ 𝐹 ∗ 𝐹2 ∗ cos⁡(𝛾)
F2
Estática- Sistemas de Fuerzas
Fuerzas (Componentes Rectangulares)
y
F
Fy
θ
x
Fx
z
Fh
Fz
F
θz
Fx
β
Fy
y
x
Estática- Sistemas de Fuerzas
Para el caso 3D, resulta conveniente describir las componentes en función de los ángulos
que forma la resultante con los ejes principales
z
Fz
(Vector unitario con dirección de la Fuerza)
F
θz
θx
Fx
θy
Fy
y
x
Nota: Los cosenos directores se miden desde la parte positiva del eje
Estática- Sistemas de Fuerzas
Dirección de la Fuerza
z
F
B
A
y
x
Proporcionalidad vector posición – vector fuerza
Estática- Sistemas de Fuerzas
Suma de Fuerzas
F2
R
F1
F5
F4
F3
Estática- Sistemas de Fuerzas
Equilibrio de Partículas
La partícula se encuentra en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan
sobre la partícula (fuerzas concurrentes) es igual a cero
Estática- Sistemas de Fuerzas
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 1
Tomado de [Bredford, 5ª Edición ]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 2
El elemento BC sólo resiste
fuerzas a lo largo de su eje axial.
A
Determine la tensión del cable AC
para que el elemento BC no falle.
65°
C
Además, determine la fuerza
resultante de las tres fuerzas en el
nodo C.
25°
50 kN
35°
B
75 kN
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 3
Los dos extremos de un cable de longitud 10 2 metros, están sujetos como se indica en la
figura. Determine la tensión del cable y los ángulos α y β. Determine la distancia d.
10 m
d
α
2m
β
40 kN
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 4
Tomado de [Bredford, 5ª Edición ]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 5
Tomado de [¿?]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 6
z
C (-6, 5, 8)
Del extremo D de la barra rígida
AD, la cual se encuentra
empotrada en A, cuelga un
elemento de peso 70 kN. Además,
se han instalado los cables BD y
CD
para
evitar
grandes
deflexiones en la barra.
Si las tensiones en los cables son
𝑇𝐵𝐷 = 30⁡𝑘𝑁 y 𝑇𝐶𝐷 = 50⁡𝑘𝑁 ,
determine la fuerza resultante en
D.
B (3, -2, 4)
y
A (10, 2, 0)
x
D (10, 8, 0)
Tomado de [Prof. Parada, sin fecha]
Determine además, los cosenos
directores de la resultante.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 7
Determine la resultante de las tensiones TAB y
TAD en el punto A.
D
TAD = 50 kN
TAB = 100 kN
D (-10, 5, 24)
Modificado de [Meriam, 5ª Edición ]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 8
z
FAB = 3900 N
FAC = 5250 N
LAB = 19.5 m
LAC = 21.6 m
LAO = 16.8 m
α=?
A
La torre AO permanece en su
posición vertical; apoyada por
medio de 3 cables; el cable AB,
está sometido a una fuerza de
3900 N; el cable AC se somete a
una fuerza de 5250 N. La
longitud de los dos cables es de
19.5
y
21.6
metros,
respectivamente.
La altura de la torre es de 16.8 m.
D
B
α
20˚
O
y
50˚
C
x
Se requiere que la resultante de
las tres fuerzas actuando en el
punto A, sea vertical.
Determinar la magnitud del
ángulo α que define la posición
del cable AD.
¿Es posible determinar la
magnitud de la tensión en el
cable AD?
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 9
Tomado de [Bredford, 5ª Edición ]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 10
Tomado de [Prof. Parada, sin fecha]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 11
Determinar el sistema
fuerza-par resultante en el
punto O de la barra rígida
OE.
z
Datos:
- Peso barra OB: 600 N
- Peso Q: 800 N
O
y
E (0, 0.6, -0.3)
B
D
Q
Tomado de [Prof. Leocadio Rico, sin fecha]
-
-
Barra OB homogénea y
de sección prismática
𝑂𝐵 = 2.0⁡𝑚
Estática- Sistemas de Fuerzas
Sistemas de Fuerzas Equivalentes en Cuerpos Rígidos
¿Partículas? …o ¿Cuerpos Rígidos?
Estática- Sistemas de Fuerzas
Fuerzas Internas y Externas
RBy
F4
F4
RBx
B
F2
F2
F1
A
C.R.
RCx
F1
C
RAx
F3
C.R.
F3 RCy
RAy
FEXT
Fint
Pint
Qint
Tint
Rint
Estática- Sistemas de Fuerzas
Principio de Transmisibilidad
A
B
F
C.R.
F’
C.R.
F es equivalente a F’
¿El vector fuerza es deslizante?
Limitaciones del Principio (Cuerpos Rígidos vs Cuerpos Deformables)
T
A
B
T
A
T
T
B
A
T
B
A
T
¡El elemento se alarga!
B
¿?
Estática- Sistemas de Fuerzas
Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto
Ver vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=1jeMYJR6LJM
El momento M0 mide la tendencia de la fuerza F a hacer girar el C.R. alrededor de un eje fijo
dirigido a lo largo de M0.
M0
F
r0a
0
C.R.
M0 contenido en un
plano perpendicular a M0
yF
θ
A
En forma vectorial…
En forma escalar…
Estática- Sistemas de Fuerzas
El momento M0 no depende del punto de aplicación de la fuerza, si esta se mantiene sobre la
línea de acción.
M0
F
r0a
0
C.R.
F’
M0
β
r0a´
θ
A
A´
0
C.R.
Por lo tanto, se establece que dos fuerzas son equivalentes, sí y solo sí, tienen la misma
magnitud y dirección, y, además, tienen momentos iguales con respecto a un punto 0.
Estática- Sistemas de Fuerzas
2D
r
Donde d es la distancia perpendicular entre el eje de
aplicación de la fuerza y el punto 0.
F
M0
r0a
0
d
C.R.
θ
A
Estática- Sistemas de Fuerzas
Teorema de Varignon
El momento con respecto a un punto 0 de la resultante de varias fuerzas es igual a la suma
de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto 0.
F4
M0
R
r0a
F3
A
0
F2
C.R.
F1
Estática- Sistemas de Fuerzas
Momento de una Fuerza con Respecto a un Eje
Se define como la proyección del momento M0 (con respecto a un punto o) sobre el eje.
Mide la tendencia de la fuerza F a rotar el C.R. alrededor del eje L.
Eje L
uL
M0
F
M0L
r0a
0
C.R.
θ
A
Estática- Sistemas de Fuerzas
¿Se genera un momento en el eje L si la línea de acción de la fuerza F cruza el eje?
Eje L
uL
M0
r0a
θ
A
r0a’
0
A’
C.R.
F
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 12
E
F
A
B
60°
1.35 m
0.95 m
D
C
2m
Tomado de [Beer & Jonhston, 8va edición]
Un rótulo está suspendido de dos
cadenas AE y BF. Si la tensión en
BF es de 200 N, determine:
a) El momento de la fuerza
ejercida por la cadena en B
respecto al punto A.
b) La magnitud y el sentido de la
fuerza vertical aplicada en C
que
produce
el
mismo
momento respecto de A
c) La fuerza mínima aplicada en
B que produce el mismo
momento respecto de A.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 13
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 14
6m
D
Las magnitudes de los dos pares
que actúan sobre la barra T son
C1= 220 N-m
C2= 100 N-m
8m
Calcule el momento total de los
pares respecto al eje AD.
8m
C1
C2
A
4m
B
C
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 15
Determinar el momento y la fuerza resultante en A.
La tensión en el cable DE es de 4 kN. La estructura tiene un peso de 30 kN.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 16
F
E
O’
D
C
Durante construcción, una grúa se
ve sometida a vientos que generan
fuerzas en dirección –x en los
brazos de la misma. Con el fin de
evitar que la grúa gire alrededor
de su eje vertical, se ha instalado
un cable AB.
Determine
la
presolicitación
(tensión) que debe tener el cable
para evitar el giro de la grúa.
Peso brazo O’C= 1500 kN (en D)
Peso brazo O’F= 500 kN (en E)
O’E= 5m; EF= 5 m
O’D= 9 m; AC= 6m
Fw1=50 kN
Fw2=40 kN
Asuma que Fw se aplica a 30 m de
altura respecto del suelo.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 17
En la figura se muestra un mástil y
aparejos de un velero.
Determinar momento de la fuerza F1
respecto del punto O.
F1
Además, determine el ángulo entre EF y
EC.
- Tensión en la cuerda = 250 N
- F1= -10 i + 20 j – 30 k {N}


CD y EF están en un mismo plano.
𝐶𝐷 = 7.5⁡𝑚
CD y eje y = 45°
𝜃 = 10°
Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 17 (solución gráfica)
En la figura se muestra un mástil y
aparejos de un velero.
Determinar momento de la fuerza F1
respecto del punto O.
F1
Además, determine el ángulo entre EF y
EC.
- Tensión en la cuerda = 250 N
- F1= -10 i + 20 j – 30 k {N}


CD y EF están en un mismo plano.
𝐶𝐷 = 7.5⁡𝑚
CD y eje y = 45°
𝜃 = 10°
Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 19
Puntal, L= 6ft
(x, 7.5, z)
El marco ABCD se apoya en A
mediante una rótula (esta permite
rotaciones respecto a los ejes x, y,
y z). En D existe una pequeña
holgura respecto al piso.
La tensión en el cable AE es de
110 N. La tensión en el cable EG es
igual al valor absoluto de la
tensión en EF proyectada en EG.
a) Determine el momento de la
resultante en E respecto del punto
A.
Modificado de [Beer & Jonhston, 8va edición]
b) Con el fin de impedir la rotación del marco respecto al eje y, se colocará un puntal en
C (el puntal solo trabaja a compresión o a tensión). Determine las coordenadas x y z del
extremo del puntal de modo tal que la fuerza en este sea mínima y que el marco no rote
respecto al eje y.
Estática- Sistemas de Fuerzas
http://www.aumon.es/productos/245.html
http://elmodernoprometeo.blogspot.com/2012/02/articulaciones.html
Estática- Sistemas de Fuerzas
Momento de un Par
?
Estática- Sistemas de Fuerzas
Momento de un Par
Dos fuerzas opuestas, de igual magnitud, no colineales, tienden a hacer girar al C.R. con
respecto al punto o.
B
F
F
M0
A
M0
0
0’
𝑀𝑜 = 𝑟𝑜𝑎 × 𝐹 + 𝑟𝑜𝑏 × −𝐹 = (𝑟𝑎 − 𝑟𝑏 ) × 𝐹
C.R.
¡El momento de un par es un vector libre!
F
M=Fd
d
F
M
M
Estática- Sistemas de Fuerzas
http://www.ingenieria.unam.mx/~deptoestructuras/labmateriales/flexionycortantematII.htm
Par de Fuerzas: Aplicación en el
diseño de vigas de concreto
http://html.rincondelvago.com/diseno-de-vigas-rectangulares.html
Estática- Sistemas de Fuerzas
Pares Equivalentes
F
F
C
B
A
B
d1
P
D
F
Q
C
F
B
Q
D
F
A
F
B
Q
Q
C
A
F*d1 = Q*d2
Q
P
A
d2
Q
D
Estática- Sistemas de Fuerzas
Fuente: http://www.emff.urjc.es/docencia/Arquitectura/cap4.pdf
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 20
Determine la magnitud y dirección del momento M para que los dos sistemas sean equivalentes
P/2
4m
M
3m
P/2
P/2
4m
1.5m
P
45˚
1.5m
P
P/2
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 21
¿Cuáles de los sistemas son equivalentes al par en (a)?
z
z
z
60⁡𝑘𝑁⁡
4𝑚
4𝑚
𝐹
4𝑚
75⁡𝑘𝑁⁡
𝐹
𝐹
60⁡𝑘𝑁⁡
3𝑚
3𝑚
3𝑚
75⁡𝑘𝑁⁡
y
75⁡𝑘𝑁⁡
(a)
x
75⁡𝑘𝑁⁡ (b)
x
z
(c)
x
z
z
4𝑚
100⁡𝑘𝑁⁡
𝐹
4𝑚
75⁡𝑘𝑁⁡
50⁡𝑘𝑁⁡
4𝑚
45⁡𝑘𝑁⁡
𝐹
𝐹
45⁡𝑘𝑁⁡
3𝑚
3𝑚
3𝑚
45⁡𝑘𝑁⁡
x
(d)
100⁡𝑘𝑁⁡
x
(e)
45⁡𝑘𝑁⁡
y
75⁡𝑘𝑁⁡
x
(f) 50⁡𝑘𝑁⁡
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 22
Dos clavijas de 2.4 pulgadas de diámetro están montadas en A y C sobre una placa de
acero. A esa placa se conectan dos barras en B y D. Se pasa un cuerda alrededor de las
clavijas y se jala aplicando una fuerza T en los extremos, mientras que se aplica una
fuerza de 2.5 lb a las barras.
a) Determine el par resultante en la placa cuando T= 9 lb.
b) Si únicamente se usa la cuerda, ¿en qué dirección debería jalarse para generar el
mismo par que en (a), pero con la mínima tensión?
2.5 lb
c) ¿cuál es el valor de la tensión mínima?
T
11.4 in
T
2.5 lb
15.2 in
Tomado de [Beer & Jonhston, 8va edición]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 23
La placa mostrada en la figura está sometida a la acción de múltiples fuerzas y un momento
concentrado. Reemplace el sistema de fuerzas (incluyendo el momento) que actúan en la placa por:
a) Un vector par
b) El par de fuerzas más pequeño, con una fuerza actuando en O y la otra en B.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Descomposición de una Fuerza en un Sistema FuerzaPar
Cualquier fuerza F que actúe sobre un C.R. puede ser trasladada un punto arbitrario o,
siempre y cuando se agregue un par cuyo momento sea igual al momento de F con respecto
de o.
F
F
A
F’
o
o
F
A
o
A
M0
F’
Par de Fuerzas
Sistema Fuerza-Par
Estática- Sistemas de Fuerzas
En otras palabras…cambio de la línea de acción de una fuerza
F
F
A
o
A
o
M0
Sistema Fuerza-Par
Estática- Sistemas de Fuerzas
Si se desea trasladar el sistema Fuerza-Par del punto o al punto o’…
Moo’
F’
M0
O’
O’
F
M0
O’
F’
F
o
F
A
M0
o
A
A
o
¿El sistema se puede reducir a una fuerza?
Estática- Sistemas de Fuerzas
En 2D
K
F
R
A
J
MR
o
o
¿El sistema se puede reducir a una fuerza?
Estática- Sistemas de Fuerzas
R
R
MR
o
o
d
MR = F*d
Estática- Sistemas de Fuerzas
Reducción de un Sistema de Fuerzas a un Sistema
Fuerza-Par
F4
F3
r5 M4
F5
M3
o
M2
MR
M5
o
F2
F1
Cada fuerza genera un sistema
fuerza-par en o
(Fi y Mi, perpendiculares entre sí)
R
(R y Mr, NO perpendiculares entre sí)
Estática- Sistemas de Fuerzas
Reducción de un Sistema Fuerza-Par a una Llave de
Torsión
Como R y MR no son
perpendiculares
entre sí, el sistema
no puede ser
reducido a una
fuerza equivalente
o a un solo par,
pero…
R
MR
o
MRL
N
o
MRL
R
o
R
MRT
Al trasladar R se
genera un
momento MRT’
con dirección
opuesta a MRT
MRL
MRT’
o
N
R
MRT
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 24
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 25
Para la red de tuberías presentada en la figura, determine un sistema fuerza-par equivalente en A.
Tomado de [Merian & Kreige, 2002]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 26
La figura presenta una losa de cimentación,
sobre la cual reposan 5 columnas.
z
Sabiendo que la resultante de las fuerzas
actúa en el punto (4, 4.5, 0), en dirección
vertical, determine la magnitud de las
fuerzas axiales que transmiten las columnas
D y C.
A
E
B
C
D
x
PA= 400 kN
PB= 450 kN
PC= ¿? kN
PD= ¿? kN
PE= 300 kN
5.5m
3m
4.5m
7m
y
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 27
La lámpara A (de peso 100 N) se encuentra
unida a la barra rígida ABO (de peso 50 N,
localizado en el centro de la barra).
Si el viento ejerce una fuerza de 20 N (en
dirección −𝒋) en A, y si se sabe que la
resultante de las fuerzas sobre la lámpara
A y la barra rígida ABO, incluyendo la
tensión en los cables, es una fuerza 𝑹 que
actúa en O, determine la tensión en los
cables y la fuerza 𝑹.
AB=2m, BO=4m, OO'=2m, CO'=1.5m, DO'=1.5m
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 28
Un sistema fuerza-par consiste en la fuerza resultante R=600i + 1400j + 700k (N) y en
un vector par MR= -800i + 500j + 600k (N-m).
Transformar el sistema anterior en una fuerza única o en una llave de torsión y
determinar la posición de su línea de acción.
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 29
Un bloque de madera está
sometido a tres fuerzas de
igual magnitud en las
direcciones mostradas en
la figura.
Reemplace las tres fuerzas
por una llave de torsión
equivalente.
Determine el punto donde
el eje de la llave de torsión
interseca al plano xy.
Tomado de [Beer & Russel, 2007]
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 30
Expresar la resultante de
las fuerzas como un
sistema llave-torsión.
z
100⁡𝑘𝑁
6𝑚
𝐸
𝐹
50⁡𝑘𝑁 − 𝑚
𝐺
𝐻
5𝑚
𝐶
𝐷
x
65⁡𝑘𝑁
𝐴
20⁡𝑘𝑁
80⁡𝑘𝑁
𝐵
y
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 31
Estática- Sistemas de Fuerzas
Ejercicio 32
Una placa semicircular está sostenida, en
forma inclinada con los ejes x y y 20° y 15°
respectivamente por un tubo vertical
soldado a ella en el punto o.
Z
I
H
X
d
El peso por unidad de área de la placa es
W=0,08 N/cm²
Determine el momento resultante del peso
de la placa y del elemento Q (que cuelga en
el punto A), respecto del punto o.
e
A
48°
E
o
C
20°
G
15°
Y
D
F
B
Datos:
R= 50 cm (radio de la placa con centro en C)
oC= 15cm
oA= 15 cm
CG= 8 cm
Q= 150 N
El cable que sostiene el elemento Q parte de
A a un ángulo de 48° con HI y se descuelga
en el borde de la placa en B.
HI es paralela a DE
Q
G es el centro de gravedad de la placa
Estática- Sistemas de Fuerzas
Estática- Sistemas de Fuerzas
Estática- Sistemas de Fuerzas
Estática- Sistemas de Fuerzas