tema 5.- estudio de funciones

TEMA 5.- ESTUDIO DE FUNCIONES
1.-
Función creciente en un punto (en sentido estricto)
f(x) creciente en
2.-
Función decreciente en un punto (en sentido estricto)
f(x) decreciente en
3.-
Función creciente en (a,b) (en sentido estricto)
f(x) creciente en (a,b)
4.-
Función decreciente en (a,b) (en sentido estricto)
f(x) decreciente en (a,b)
5.-
Extremos absolutos
Los extremos absolutos, máximo y mínimo, de una función f(x) en un intervalo [a,b], son el
mayor valor y el menor valor, respectivamente, que alcanza la función en el intervalo.
. Llamamos supremo de f o sup (f) a la menor de las cotas superiores de la función.
. Llamamos ínfimo de f o inf (f) a la mayor de las cotas inferiores de la función
. K= máximo absoluto de f
sup (f)
. L= mínimo absoluto de f
6.-
Máximo relativo
f(x) tiene un máximo relativo en
7.-
si existe un entorno de
de la tangente a la curva en
cuyas imágenes están todas ellas por encima
.
Concavidad en un punto
f(x) es cóncava en
si existe un entorno de
de la tangente a la curva en
10.-
si
Convexidad en un punto
f(x) es convexa en
9.-
si
Mínimo relativo
f(x) tiene un mínimo relativo en
8.-
inf (f)
cuyas imágenes están todas ellas por debajo
.
Convexidad en un intervalo
f(x) es convexa en (a,b)
el segmento rectilíneo que une el
con
queda por encima de la gráfica de f.
11.-
Concavidad en un intervalo
f(x) es cóncava en (a,b)
el segmento rectilíneo que une
con
queda por debajo de la gráfica de f.
12.-
Punto de inflexión
Decimos que una función tiene punto de inflexión en
en
cuando la tangente a la curva
la atraviesa.
13.-
Rama infinita
Sea un punto P(x,y), variable sobre una curva. Si una de las coordenadas de P, o las dos, tienden
a infinito, se dice que P describe una rama infinita, o que la función tiene una rama infinita.
14.-
Asíntota
Se llama asíntota de una curva y=f(x) a una recta r tal que, si un punto (x,y) se mueve sobre la
curva de modo que al menos una de sus coordenadas tiende a infinito, entonces la distancia
entre este punto y la recta tiende a 0.
. Si la recta es de la forma x=a, se llama a. vertical
. Si la recta es de la forma y=b, se llama a. horizontal
. Si la recta es de la forma y=mx+n, se llama a. oblicua
15.- Rama parabólica
Si una rama infinita no admite asíntota se denomina rama parabólica.
DETERMINACIÓN DE EXTREMOS ABSOLUTOS
Si f(x) es derivable en [a,b], para hallar los extremos absolutos se procederá a determinar los
relativos, comparándolos con f(a) y f(b).
Si f(x) no es derivable en [a,b] deberán compararse también con los valores de f(x) en los
puntos donde no es derivable (puntos angulosos, por ejemplo).
CONDICIÓN SUFICIENTE PARA ESTUDIAR EL CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
Sea la función f(x) definida en [a,b], derivable en (a,b) y
. Si
la función es creciente
. Si
la función es decreciente
.
ALGUNOS ASPECTOS DEL ESTUDIO DE FUNCIONES
1.-
MONOTONÍA
f'(x)>0 .......... Creciente
f'(x)<0 .......... Decreciente
2.-
EXTREMOS RELATIVOS
+
MÁXIMO
+
3.-
MÍNIMO
CURVATURA
f''(x)>0 .......... Convexa
f''(x)<0 .......... Cóncava
4.-
PUNTO DE INFLEXIÓN
+ cambio de curvatura
5.-
ASÍNTOTAS
Verticales: x=a,
Horizontales: y=b,
Oblicuas:
6.-
siendo
siendo
y=mx+n, siendo
RAMAS PARABÓLICAS
Rama según el eje OX:
7.-
Rama según el eje OY:
SIMETRÍA
Con respecto al eje OY: f(-x)=f(x)
Con respecto al origen: f(-x)=-f(x)
Con respecto al eje OX: f(x)=-f(x) [No es función]