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Euclides,
Πλάτων y Poincaré
Jerson Borja
Camilo Rengifo
Euclides,
Πλάτων y Poincaré
Jerson Borja
M. Sc. Asistente graduado
doctoral del Deparamento
de Matemáticas de la
Universidad de los Andes
jm.borja583@uniandes.edu.co
Camilo Rengifo
M. Sc. Asistente graduado
doctoral del Deparamento
de Matemáticas de la
Universidad de los Andes
cam-reng@uniandes.edu.co
Este artículo es un intento de divulgar las matemáticas profesionales mediante la descripción de ciertos subconjuntos de R3,
visualmente agradables gracias a sus simetrías, conocidos como
sólidos platónicos. Esto nos permitirá introducir las nociones de
grupo y de variedad presentes en álgebra y en geometría. En otras
palabras, a partir del cálculo del tamaño del grupo de simetrías
de rotación del icosaedro podemos enunciar, de una forma ligera,
pero formal, una de las conjeturas más famosas del siglo XX, la
conjetura de Poincaré, que por casi cien años permaneció como
un problema abierto.
La organización del texto va de la mano con la historia, en el sentido de que en la tercera y última sección
presentaremos la primera versión de la conjetura. Decimos la primera versión de la conjetura, pues esta
resulta ser falsa, como veremos más adelante. Claro está que el mismo autor del problema replanteó la
pregunta, que se conoció a lo largo del siglo XX como la conjetura de Poincaré. En la primera década del
siglo XXI la conjetura fue probada, y su demostración se debe a las contribuciones del matemático ruso
Grigori Perelman (1966).
Como mencionamos arriba, el texto consta de tres secciones. En la primera recordaremos los sólidos
platónicos y algunas de sus propiedades. En la segunda, un poco más formal, introduciremos de forma
intuitiva dos objetos matemáticos, el primero, un grupo finito no conmutativo, mientras que el segundo
objeto es un concepto geométrico que necesitamos discutir para entender el contenido de los ejercicios
propuestos por Poincaré en [4, 5]. En la tercera sección presentaremos las dos versiones de la conjetura
en cuestión y explicaremos por qué la primera es falsa [3]. No sobra decir que cualquier tipo de demostración queda por fuera de los intereses del presente documento. Así pues, estimados, ¡no se dejen ganar
por la pereza de leer las siguientes secciones!
Los autores agradecen la ayuda de varios estudiantes del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes, pues sin su colaboración el presente artículo sería todavía una idea más bien platónica
que euclidiana. Sus nombres son Juan Sebastián Osorio, Tovías Castro y Juan Camilo Arias.
LOS CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS
Siguiendo la opinión de Andreas Speiser (1885-1970), quien estudió en Gotinga, Alemania, con Hilbert, Klein
y Minkovski alrededor de 1904, anotamos que el gran logro de Euclides de Alejandría (300 a. C.) en su obra
Elementos fue demostrar que solo existen cinco sólidos, conocidos como sólidos platónicos debido a que
Platón anteriormente los había mencionado en su diálogo Timeo, que tienen las siguientes propiedades:
74 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 16, 2014
Tetraedro
•
•
•
Hexaedro
Octaedro
Todas las caras del sólido son el mismo polígono regular
La intersección de dos caras consecutivas es precisamente
toda una arista del polígono
En cada vértice del sólido se intersecan el mismo número
de caras, es decir, en cada vértice se encuentra el mismo
número de aristas
El trabajo de Euclides es tan valioso, entre otras cosas, porque
usando el lenguaje actual de las matemáticas soluciona el problema de la clasificación de los sólidos en R3 con las propiedades
mencionadas anteriormente. La construcción euclidiana, bien
conocida por los geómetras a lo largo de la historia, consta de la
demostración de los siguientes cuatro numerales:
1. Cada vértice del sólido tiene por lo menos tres caras que
se encuentran en él
2. En cada vértice del sólido, para las caras que se encuentran en él, la suma de los ángulos formados por aristas
consecutivas es menor a 360 °
3. Los ángulos de cada cara del sólido son todos iguales y no
deben ser mayores de 120 °
4. Los polígonos regulares de seis o más lados tienen ángulos
que miden 120 ° o más
Así que del argumento de Euclides se tiene que las posibles
caras para los sólidos platónicos son triángulos equiláteros,
cuadrados o pentágonos regulares. Como ejercicio, dejamos al
lector que compruebe que en un pentágono regular cada ángulo
mide 108 °.
Por otro lado, gracias a los aportes de Euler (1707-1783), el matemático más prolífico de todos los tiempos, tiene sentido estudiar los sólidos platónicos desde un punto de vista combinatorio.
Para cada sólido platónico tenemos un número denominado la
característica de Euler, que es 2:
Dodecaedro
Icosaedro
Tabla 1.
Vertices (V)
Aristas (A)
Caras (C)
{p, q}
Tetraedro
4
6
4
{3, 3}
Hexaedro
8
12
6
{4, 3}
Octaedro
6
12
8
{3, 4}
Dodecaedro
20
30
12
{5, 3}
Icosaedro
12
30
20
{3, 5}
Con la ayuda de la tabla anterior es fácil ver que cada sólido
platónico cumple con la siguiente ecuación
pC = 2A = qV
Por lo tanto, al combinar la característica de Euler y la última
ecuación tenemos las siguientes dos ecuaciones y desigualdad
2A − A + 2A = 2,
q
p
1 + 1 = 1 + 1 ,A>0
q
p
2 A
1 + 1 > 1 , p, q ≥ 3.
q
p
2
Entonces, las únicas posibilidades para p, q son {3,3}, {4,3},
{3,4}, {3,5} y {5,3}, y obtenemos así otra forma de clasificar los
sólidos platónicos, bien conocida en topología algebraica. Con
los símbolos de Schläfli a la mano, podemos definir otra propiedad, conocida como dualidad entre los sólidos platónicos, que
corresponde a intercambiar el número p con el número q, como
lo vemos en la siguiente figura:
V−A+C=2
Es decir, el número de vértices menos el número de aristas
más el número de caras es constante. Además, a cada sólido
platónico podemos asignarle dos números, p, igual al número
de aristas en cada cara, y q, igual al número de caras que se
encuentran en cada vértice, que se conocen como el símbolo de
Schläfli, denotado por {p, q}.
Dualidad hexaedro–octaedro
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 75
Figura 1. Fragmento de los Elementos de Euclides, escrito en papiro.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana#mediaviewer/Archivo:P._Oxy._I_29.jpg
El siguiente diagrama muestra la dualidad entre los sólidos. Nótese que el tetraedro coincide con su sólido dual:
{4, 3} hexaedro
{5, 3} dodecaedro
{3, 3} tetraedro
{3, 4} octaedro
{3, 5} icosaedro
{3, 3} tetraedro
En 1813, Cauchy (1789-1857), matemático francés, demostró
que todo sólido convexo es rígido [1], es decir, que el sólido
no cambia (es invariante) bajo rotaciones y reflexiones en R3.
Experimentalmente, pensando en que cada sólido convexo es
un dado, el lector puede dar fe de que el resultado de hacer
dos rotaciones consecutivas es de nuevo una rotación, y que
para cualquier rotación del dado existe otra rotación que hace lo
contrario; es decir, las simetrías forman un grupo, en el sentido
que formalizaremos en la tercera sección.
Como muestran las figuras, los sólidos platónicos son convexos,
así que tiene sentido estudiar su grupo de simetrías de rotación.
Por ejemplo, el tamaño del grupo de simetrías de rotación del
icosaedro, o cualquier otro sólido platónico, se puede calcular
contando el total de caras en el cual este se puede apoyar, pensándolo como un dado, para luego multiplicarlo por el número
de aristas de cualquier cara. Entonces, el tamaño del grupo de
simetrías de rotación del icosaedro es 20 × 3 = 60. Adicionalmente, es claro que el tamaño del grupo de simetrías de los
76 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 16, 2014
sólidos platónicos duales entre sí es el mismo. Nótese también
que el orden en el que se hacen las rotaciones de cada sólido
importa, es decir, el grupo de simetrías de cada sólido platónico
es un grupo no conmutativo.
DOS OBJETOS MATEMÁTICOS
El ingrediente algebraico, A5
El grupo A5, o grupo alternante en cinco letras, es el grupo de permutaciones no conmutativo más pequeño que tiene la propiedad,
importante en álgebra, de ser simple.1 Explícitamente, considere
la lista ordenada de cinco letras abcde, luego, los elementos que
forman A5 son operaciones (permutaciones) sobre la lista abcde
que consisten en reordenar dicha lista de acuerdo con la siguiente
regla: solo se pueden hacer intercambios de dos posiciones de la
lista, y solo está permitido hacerlo un número par de veces. Por
ejemplo, el intercambio en la lista de las posiciones 1 y 3 (que da
la lista cbade), seguido del intercambio de las posiciones 1 y 5 (de
la que resultan dbace), es una operación o elemento perteneciente
a A5. Sin embargo, la operación que consiste en intercambiar las
posiciones 2 y 5, de lo que resulta la lista aecdb, no pertenece a
Recordemos que cada número natural se puede escribir como producto de potencias de
números primos, es decir que los números primos generan los naturales N; de modo similar,
cualquier grupo se puede generar a partir de grupos simples.
1
A5, pues solo se ha hecho un intercambio. Además, cada operación perteneciente a A5 admite un único inverso, en el sentido de
que, dado un posible intercambio de A5, existe otro intercambio
que hace la operación contraria anulando el resultado de la operación inicial sobre la lista en cuestión. Luego, A5 es un grupo, en
el sentido de que A5 es un conjunto en el que tiene sentido definir
una operación binaria dotada de un único elemento neutro y único
inverso para cada elemento.
Adicionalmente, el grupo A5 es un grupo no conmutativo, es decir, el orden de las operaciones sí altera el resultado. Por ejemplo, la serie de intercambios 3 y 4, 2 y 3, 1 y 5, 1 y 4 genera la
siguiente modificación en la lista inicial cdbea. Pero si consideramos los intercambios en el siguiente orden: 1 y 5, 1 y 4, 3 y
4, 2 y 3, la lista que resulta es debca, claramente distinta a la
anterior. El tamaño de A5 es, coincidencialmente, 60, así que con
paciencia se pueden listar las operaciones permitidas en abcde.
Por la teoría de grupos sabemos que ese es el único grupo simple de tamaño 60. Luego, el grupo A5 y el grupo de simetrías de
rotación del dodecaedro (o icosaedro) son el mismo.
estaba interesado en el estudio de los distintos tipos de huecos
de las variedades, debido a que analizando los distintos tipos
se puede saber si un objeto es igual a otro. En palabras más
técnicas, si un objeto se puede deformar en otro sin romperse.
Toro T 2
Una noción de espacio geométrico
La superficie del planeta Tierra es el ejemplo clásico para explicar
qué se quiere decir cuando un matemático usa la palabra 2-variedad. Es bien sabido que durante algún tiempo, el hombre tenía
un sistema de referencia que correspondía con la creencia de que
la Tierra era plana. Sin embargo, con el pasar de los siglos algunos hombres de ciencia osaron proponer un modelo en el que la
Tierra era redonda, como una naranja, según aprenden los niños
en el colegio. Pues bien, desde el punto de vista matemático no
está del todo mal pensar que localmente la Tierra es plana; de
hecho, nadie podría negarlo, pero globalmente ¡la superficie de
la Tierra es elipsoidal! Este es el concepto fundamental que motiva la definición de variedad. Una 2-variedad es un espacio que
localmente es plano, como R2. Desde luego, en matemáticas tiene
sentido hablar de espacios que locamente son tridimensionales,
en el sentido de que ya no son como la superficie de nuestro
planeta, sino se parecen a R3: son objetos localmente sólidos que
se denominan 3-variedad. Como ejemplo de 2-variedad tenemos
la superficie de nuestro planeta, o 2-esfera S 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1,
y como ejemplo de 3-variedad tenemos la 3-esfera, es decir, una
esfera que localmente es una bola rellena, difícil de imaginar, que
denotamos por S 3, cuya ecuación es x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1. Sin
embargo, S 3 no se puede dibujar en el espacio, pues está inmersa
en cuatro dimensiones, R4. A la hora de estudiar este tipo de objetos geométricos es necesario introducir herramientas algebraicas,
combinatorias o analíticas para conocer sus propiedades. Así lo
hizo Poincaré, para refutar la primera versión de su conjetura [5].
Homología y Poincaré
Antes de escribir la primera versión de la conjetura, es preciso mencionar de dónde sale tal problema. Pues bien, Poincaré
Esfera S 2
Como lo vemos en la figura, el toro T 2 tiene dos huecos de dimensión 1, uno interno y uno externo. Además, tiene un hueco
de dimensión dos, debido a que este encierra un volumen. De la
misma forma, en la esfera S 2 vemos que solo hay un hueco de
dimensión dos, debido a que esta también encierra un volumen.
Así que la homología del toro es un grupo conmutativo que tiene
dos componentes, una que da cuenta de los dos huecos de dimensión uno, y otra debido al de dimensión dos. Análogamente,
la homología de la esfera es no nula únicamente para la componente de dimensión dos. Entonces, como las homologías son
diferentes, el toro y la esfera no son homeomorfos, en el sentido
de que S 2 no se puede deformar en T 2 sin romperse. En pocas
palabras, esa es la idea de homología.
Poincaré quiso saber si la homología sirve para clasificar objetos
en el sentido de que si dos variedades tienen la misma homología, entonces deben ser equivalentes. Por ejemplo, el octaedro
tiene la misma homología de la esfera S 2, así que existe una
forma de deformar el uno para obtener el otro.
La idea monumental que propuso Poincaré para detectar un tipo
de hueco en una variedad corresponde a la idea intuitiva del
mismo, es decir, un hueco debe ser un obstáculo para recoger
todos los lazos que existen. Esta idea lleva a la definición del
grupo fundamental en una variedad, el grupo que da cuenta de
si los lazos se pueden o no contraer a un punto. A principios del
siglo XX ya se conocía el cálculo de la homología de S 3, que
Universidad de los Andes, Facultad de Ciencias 77
Figura 2. Henry Poincaré.
Fuente: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PSM_V82_D416_Henri_Poincare.png
78 Hipótesis, Apuntes científicos uniandinos, núm. 16, 2014
análogamente a la de S 2 es nula, salvo en dimensión tres. En el
caso particular de S 2, es claro que cualquier lazo que dibujemos
se puede contraer a un punto, mientras que en el toro hay por
lo menos dos lazos que no se pueden contraer. Este fenómeno
da cuenta de la relación que existe entre la homología y el grupo
fundamental. Nótese que el grupo fundamental de cualquier sólido platónico es nulo, pues cualquier lazo que dibujemos sobre
él se puede recoger en un punto.
En 1900 Poincaré propuso la siguiente afirmación [4], sin demostración, a la que denominamos primera versión de su conjetura.
Si una 3-variedad cerrada tiene la homología de la
esfera S3, entonces es necesariamente homeomorfa a S3.
Así escrita, esta afirmación no es cierta. Es decir, existe una
3-variedad que es cerrada y tiene homología nula, pero no es
homeomorfa a S 3. Como dijimos en la sección anterior, S 3 no
se puede dibujar, así que necesitamos algunas herramientas algebraicas para producir el contraejemplo. Cuatro años después,
en [5], Poincaré presentó el siguiente contraejemplo que refuta
la primera versión de su conjetura. Considere SO(3) el grupo
de simetrías de rotación del espacio euclídeo R3, que es una
variedad inmersa en R9, y A5 el grupo de simetrías del dodecaedro (icosaedro). Mediante un proceso algebraico se puede
demostrar que el espacio cociente SO(3)/A5, es una 3-variedad.
Poincaré demostró que SO(3)/A5 tiene la misma homología que
la esfera S3, pero tiene grupo fundamental no trivial; además,
SO(3)/A5 no es homeomorfa a S 3. Así, conociendo que el grupo
fundamental para S 3 es nulo, la primera versión de la conjetura
se reformula a manera de pregunta, lo que da pie a la famosa
conjetura de Poincaré:
Si una variedad 3-dimensional cerrada tiene grupo
fundamental nulo y tiene la homología de la esfera S3,
¿debe ser homeomorfa a la 3-esfera?
Esta conjetura se convirtió, durante el siglo pasado, en un complicado obstáculo para la clasificación de las variedades 3-dimensionales. Tal labor se inició con el caso más simple, los sólidos platónicos, con una clasificación históricamente correcta,
por Euclides de Alejandría en su obra Elementos. •
REFERENCIAS
[1] Cauchy AL. Recherche sur les polyèdres: premier mémoire.
Journal de L’École Polytechnique 1813; 16: pág. 66-86.
[2] Euclides. Elementos. Libros X-XIII (228). Editorial Gredos. Biblioteca clásica Gredos.
[3] Milnor J. Towards the Poincaré conjecture and the classification
of 3-manifolds. Notices of the American Mathematical Society,
vol. 50 number 50. 2003.
[4] Poincaré H. Second complément à l’analysis situs. Proceedings of the London Mathematical Society. s1 32. Pág. 277308.
[5] Poincaré H. Cinquième complément a l’analysis situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 18. Pág. 45-110.
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