Hoja de Problemas #2

Métodos Matemáticos I
Curso 2013-14
Hoja de Problemas #2
1. Dados los siguientes conjuntos:
(1) |z + 1 − 2i| ≥ 1
(2) |3z + i| < 6
(3) |z + 2i| < |z|
(4)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
0 ≤ arg z ≤ π/3,
z 6= 0
2
(5)
Re(z ) ≤ 0
(6)
Re(z 2 ) < 0
Represéntalos gráficamente.
¿Cuáles de ellos son regiones abiertas (dominios)?
¿Cuáles no son ni abiertos ni cerrados?
¿Cuáles son acotados?
Determina el cierre de los conjuntos que no sean cerrados.
(0399)
2. Para cada una de estas funciones, describe su dominio de definición (Arg indica el valor principal
del argumento):
1
.
z 2 +1 1
.
(b) f (z) = Arg
z
z
.
(c) f (z) =
z + z∗
1
(d) f (z) =
.
1 − |z|3
(a) f (z) =
Sol. (a) z 6= ±i, (c) Re z 6= 0.
(0321)
3. Dibuja la región sobre la que se aplica el sector r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/4 bajo la transformación:
(a) w = z 2 .
(b) w = z 3 .
(c) w = z 4 .
(0323)
4. Otra interpretación de una función w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y) es como campo de vectores en el
dominio de definición de la función f . La función asigna un vector w, con componentes u(x, y) y
v(x, y) a cada punto z en el que está definida. Indica gráficamente el campo vectorial representado
por las ecuaciones
(a) w = iz.
(b) w = z/|z|.
(0324)
5. Sea n un entero positivo y sean P (z) y Q(z) dos polinomios con Q(z0 ) 6= 0. Usa el Teorema A2 y
los lı́mites conocidos para hallar:
1
, para z0 6= 0.
zn
iz 3 − 1
(b) lim
.
z→i z + i
P (z)
(c) lim
.
z→z0 Q(z)
(a) lim
z→z0
Sol. (a) 1/z0n , (b) 0, (c) P (z0 )/Q(z0 ).
1
(0325)
6. Prueba que:
4z 2
= 4.
z→∞ (z − 1)2
1
= ∞.
(b) lim
z→1 (z − 1)3
(a) lim
z2 + 1
= ∞.
z→∞ z − 1
(c) lim
(0326)
7. Sea la función f (z) definida por
 2
z +4


,

z − 2i
f (z) =



3 + 4i,
si z 6= 2i
si z = 2i
(a) Demuestra que lim f (z) existe y determina su valor.
z→i
(b) ¿Es f (z) continua en z = 2i? Explica tu respuesta.
(c) ¿Es f (z) continua en los puntos z 6= 2i? Explica tu respuesta.
(d) ¿Serı́a f continua si su valor en z = 2i fuera 4i?
(0328)
z
es continua en todos los puntos dentro y sobre el cı́rculo unidad
+1
|z| = 1 excepto en cuatro puntos y determina esos puntos.
8. Demuestra que f (z) =
z4
Sol. eiπ(2k+1)/4 , con k = 0, 1, 2, 3.
(0329)
9. Halla f 0 (z) para:
(a) f (z) = 3z 2 − 2z + 4.
(b) f (z) = (1 − 4z 2 )3 .
z−1
, con z 6= −1/2.
(c) f (z) =
2z + 1
(1 + z 2 )4
(d) f (z) =
, con z 6= 0.
z2
(0330)
10. (a) Prueba que un polinomio
P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an xn
de grado n ≤ 1 es diferenciable en todas partes, con derivada
P 0 (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 .
(b) Prueba que los coeficientes del polinomio P (z) del Apartado anterior se pueden expresar como
a0 = P (0),
a1 =
P 0 (0)
,
1!
a2 =
P 00 (0)
,
2!
...,
an =
P (n) (0)
.
n!
(0331)
11. Utilizando la definición de derivada, da una demostración directa de que f 0 (z) = −1/z 2 cuando
f (z) = 1/z con z 6= 0.
2
(0332)
12. (a) Utilizando inducción matemática, demuestra que
d n
z = nz n−1 .
dz
(0333)
(b) Demuestra que la expresión
d n
z = nz n−1 .
dz
sigue siendo válida cuando n es un entero negativo, supuesto que z 6= 0.
Sugerencia: Haz m = −n y usa la fórmula de derivación de un cociente de funciones.
(0334)
13. Utilizando la definición de derivada y calculando el lı́mite a lo largo de los ejes real e imaginario
del plano δz, demuestra que f 0 (z) no existe en ningún punto si f (z) es
(a) z.
(b) Re z.
(c) Im z.
(0335)
14. Usa el Teorema B1 para probar que f 0 (z) no existen en ningún punto para
(a) f (z) = z.
(b) f (z) = z − z.
(c) f (z) = 2x + i xy 2 .
(d) f (z) = ex e−iy .
(0336)
15. Demuestra, mediante el Teorema B2, que f 0 (z) y su derivada f 00 (z) existen en todas partes, y
calcula f 00 (z) para
(a) f (z) = iz + 2.
(b) f (z) = e−x e−iy .
(c) f (z) = z 3 .
(d) f (z) = cos x cosh y − i sen x senh y.
Sol. (b) f 00 (z) = f (z), (d) f 00 (z) = −f (z).
(0337)
16. Utilizando los Teoremas B1 y B2, determina dónde existe f 0 (z) y calcula sus valores para
(a) f (z) = 1/z.
(b) f (z) = x2 + i y 2 .
(c) f (z) = z Im z.
Sol. (a) f 0 (z) = −1/z 2 con z 6= 0, (b) f 0 (x + ix) = 2x, (c) f 0 (0) = 0.
(0338)
17. Con ayuda del Teorema B2 y las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar, demuestra que
cada una de las funciones siguientes es diferenciable en el dominio indicado y determina el valor de
f 0 (z):
(a) f (z) = 1/z 4 con z 6= 0.
√
(b) f (z) = r eiθ/2 con r > 0 y −π < θ < π.
(c) f (z) = e−θ cos(ln r) + i e−θ sen(ln r) con r > 0 y 0 < θ < 2π.
Sol. (b) f 0 (z) =
3
if (z)
1
, (c) f 0 (z) =
.
2f (z)
z
(0339)
18. Aplica el Teorema B2 para comprobar que cada una de de estas funciones es entera:
(a) f (z) = 3x + y + i (3y − x).
(b) f (z) = sen x cosh y + i cos x senh y.
(c) f (z) = e−y eix .
(d) f (z) = (z 2 − 2) e−x e−iy .
(0341)
19. En cada caso, determina los puntos singulares de la función y explica por qué la función es analı́tica
en todas partes excepto en esos puntos:
(a) f (z) =
2z + 1
.
z(z 2 + 1)
z3 + i
.
− 3z + 2
z2 + 1
(c) f (z) =
.
(z + 2)(z 2 + 2z + 2)
(b) f (z) =
z2
Sol. (a) z = 0, ±i, (c) z = −2, −1, ±i.
(0343)
√ Sol. (a) (16 + 12i)/25, (b) 1 − i 3 /6 (c) −1/4.
(0344)
20. Calcula,
z2 + 4
.
z→2i 2z 2 + (3 − 4i) z − 6i
z
.
(b) lim
z − eiπ/3
z3 + 1
z→eiπ/3
(a) lim
(c) lim
z→i
z 2 − 2iz − 1
.
z 4 + 2z 2 + 1
21. Demuestra que u(x, y) es armónica en algún dominio y halla una armónica conjugada cuando
(a) u(x, y) = 2x (1 − y).
(b) u(x, y) = 2x − x3 + 3xy 2 .
(c) u(x, y) = senh x sen y.
y
(d) u(x, y) = 2
.
x + y2
Sol. (a) v(x, y) = x2 − y 2 + 2y, (c) v(x, y) = − cosh x cos y.
(0345)
22. Sea f (z) = u(r, θ) + i v(r, θ) una función analı́tica en un dominio D que no incluye al origen.
Mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann en polares y supestas continuas las derivadas parciales,
demuestra que la función u(r, θ) satisface en D la ecuación diferencial
r2 urr + r ur + uθθ = 0,
que es la forma polar de la ecuación de Laplace. Prueba que lo mismo es cierto para la función
v(r, θ).
4
(0346)
Algunos Teoremas Útiles
Teorema A1. Supongamos que, para z = x + iy,
f (z) = u(x, y) + i v(x, y),
donde u y v son funciones reales. Entonces
lim f (z) = w0
z→z0
con z0 = x0 + iy0 y w0 = u0 + iv0 , si y solo si
lim
u(x, y) = u0
y
lim f (z) = A
y
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
v(x, y) = v0
Teorema A2. Supongamos que
z→z0
lim g(z) = B
z→z0
Entonces:
h
i
(a) lim f (z) + g(z) = A + B.
z→z0
(b) lim f (z) g(z) = A B.
z→z0
(c) lim
z→z0
f (z)
A
= ,
g(z)
B
si B 6= 0.
Teorema B1. Consideremos una función f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Supongamos que f 0 (z) existe en
un punto z0 = x0 + iy0 . Entonces, las primeras derivadas parciales de u(x, y) y v(x, y) deben existir en
dicho punto y deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂u
∂v
=
∂x (x0 ,y0 )
∂y (x0 ,y0 )
∂u
∂v
=−
∂y (x0 ,y0 )
∂x (x0 ,y0 )
Además,
0
f (z0 ) =
∂u
∂x
+i
(x0 ,y0 )
∂v
∂x
(x0 ,y0 )
Teorema B2. Consideremos una función f (z) = u(x, y)+iv(x, y) definida en un -entorno de un punto
z0 = x0 + iy0 . Supongamos que las derivadas parciales de primer orden de las funciones u(x, y) y v(x, y)
(i) existen en todos los puntos del -entorno, (ii) son continuas en (x0 , y0 ) y (iii) satisfacen las ecuaciones
de Cauchy-Riemann en (x0 , y0 )
∂u
∂v
=
∂x (x0 ,y0 )
∂y (x0 ,y0 )
∂u
∂v
=−
∂y (x0 ,y0 )
∂x (x0 ,y0 )
Entonces podemos afirmar que f 0 (z0 ) existe.
5