TALLER DE LA UNIDAD 4

14. En un pequeño poblado con 5.000 habitantes la tasa de propagación de una epidemia
(índice de variación del número de personas infectadas) es conjuntamente proporcional al número
de personas atacadas y al número de personas que todavía no se han contagiado, (a) Si la
epidemia se difunde con una tasa de 9 personas por día cuando hay 100 personas contagiadas,
exprese la rapidez de propagación de la epidemia como función del número de personas enfermas,
b) ¿ Con qué rapidez se difunde la epidemia cuando 200 personas ya se han contagiado ?
15. La iluminación producida sobre una superficie por una fuente luminosa varia directamente con la
potencia en candelas de la fuente e inversamente con el cuadrado de la distancia entre la fuente y la
superficie. Comparar la iluminación producida por una lámpara de 512 cd (candelas) que está a
8 dm de la superficie con la de una lámpara de 72 cd a 2 dm de la superficie.
16. Una ventana rectangular está rematada por un semicírculo. El perímetro de la ventana es 200 cm y
la cantidad de luz que ingresa por ella es directamente proporcional al área de la ventana, (a) Si
X cm es el radio del semicírculo, expresar la cantidad de luz que ingresa por la ventana como
función de x; (b) ¿Cuál es el dominio de la función resultante ?; (c) ¿Cuál es el radio del semicírculo
de la ventana que admite el paso de la mayor cantidad de luz ?
17. De un producto se venden 21 unidades por semana sabiendo que su precio es de $ 56.000. Las
ventas aumentan 4 unidades por semana por cada $4.000 que disminuya el precio.(a). Escribir una
expresión para calcular el ingreso semanal por ventas; (b) ¿Con qué precio se obtendrán las
máximas ventas semanales ?
18. Con una hoja metálica rectangular de 12 cm de ancho se desea construir un canal para conducir el
agua-lluvia. Con este fin se doblan hacia arriba dos lados de tal manera que queden perpendiculares
a la hoja. ¿ Cuántos centímetros se deben doblar para que el canal tenga capacidad máxima ?
19. Un hombre desea cercar un terreno rectangular y después colocar otras dos cercas paralelas a
alguno de los lados para subdividirio en tres lotes rectangulares. Si dispone de 1000 metros de
cerca, ¿ con qué dimensiones obtendrá el área máxima ?
20. Un fabricante de envases de cartón desea construir cajas, sin la tapa superior, usando láminas
cuadradas dé cartón de 12 dm de lado, recortando cuadrados iguales de las cuatro esquinas y
doblando los lados hacia arriba, (a) Si x decímetros es la longitud del lado del cuadrado que debe
recortarse, expresar en dm^ el volumen de la caja a fabricar, como función de x. (b) ¿Cuál es el
dominio de la función resultante ?
TALLER DE LA UNIDAD 4
1. P R E G U N T A S P A R A R E V I S A R L A TEORÍA.
a) ¿ Qué condiciones debe cumplir una relación para ser función ?
b) ¿ Cómo se identifica que la gráfica de una relación corresponde a una función ?
c) Si f es una función dada, ¿ qué significa el símbolo y = f(x) ?
d) ¿ Cuáles operaciones pueden realizarse con funciones ? ¿ Cuál es el dominio de cada una de
las funciones obtenidas ?
e) Si f y 9 son dos funciones bien definidas, ¿ cómo se halla la compuesta de f y g?¿Y la
compuesta de g y f ? ¿Cómo se halla el dominio de la compuesta de dos funciones ?
O ¿ Cómo se clasifican las funciones reales ?
g) ¿ Qué es una función algebraica ? Escriba cinco (5) ejemplos.
188
h) ¿Cuál es la gráfica de una función constante? ¿De una función lineal? ¿De una función
cuadrática ?
i)
¿ Cómo sé obtienen las coordenadas del vértice de una parábola funcional ?
j)
Gráficamente, ¿ qué representan los ceros de una ecuación polinómica ?
k) ¿ Cómo se define una función racional ?
I)
¿ Cuáles son las funciones especiales, cómo se definen y cómo se simbolizan ?
m) ¿ Posee toda función f una inversa ? ¿ Qué condiciones debe cumplir una función para tener
inversa ? ¿ Cómo se obtiene la regla de la inversa de una función real dada ?
n) ¿ Cuál es la prueba gráfica para saber si una función dada tiene inversa ?
o) Si se dibujan en un mismo plano cartesiano las gráficas de una función y su inversa,
¿ qué características presentan ?
FALSO O VERDADERO.
Colocar en el paréntesis de la izquierda una V o una F según que el enunciado sea verdadero o
falso.
a) Toda relación es función, pero no toda función es relación.
b) En una función es posible que un mismo elemento del conjunto de partida tenga
dos imágenes.
c) En una función que posee inversa, el rango es igual al conjunto de llegada.
d) Si f es una función real definida por la regla f(x) = 5 - 3x, entonces f(a + 1) = 2 - 3a.
e) Si f es una función real definida por la regla f(x) =
3 - x si X < - 3
6
si -3 < X < O
x^ +3 si
X
i O
entonces f(1) = 4.
(
f)
La función f = | ( x . y) / y = ^ - 5
es una función real constante.
(
g) La función f: R - > R definida por la regla f(x) = 4x - x^ - 4 tiene un valor máximo en x = 2.
(
íi) La función f: R - > R definida por la regla f(x) = |x + 1| posee inversa.
(
i)
Las raíces de la función f: R ^ R definida por la regla f(x) = x(x^ - 1)(x^ + 8) son x = O,
x = 1 , x = -1 y x = 2.
(
j)
El dominio de la compuesta de dos funciones f y g es la intersección de los dominios
de f y g.
(
k) El dominio de la función real definida por la regla f(x) =
(
I)
(
m) La relación 91 = {(x, y) / x = -3}es una función.
, ^
es R.
Vx2 + 3
La relación 91 = {(x, y) / 4x^ - 2y^ - 3x + 1 = o} es una función,
(
n) Si c varía directamente con a e inversamente con el cuadrado de b entonces c =
(
o) Si y varía directamente con el cubo de x e inversamente con z entonces y = k
x3
z
189
En los ejercicios 3. y 4. hallar, para cada una de las funciones dadas: a) f(a), f(-a), -f(a), f(a + h),
f(a) + f(h), l i i i i l l l l L i i i c o n h ^ O .
3. f(x) = 3x^-x + 2
4. f(x) =
yC + 1
En los ejercicios 5. a 1 2 . hallar el dominio de cada una de las funciones dadas:
5. f(x) = V 3 X - 5
6.
7. f(x) = V 4 - x 2
8. f(x) ^x^ - 9
9. f(x) = - f t ^
x^ - 9 x
10.f(x) =
1 1 . f ( x ) = ^
12.f(x) =
V
X
-1
f(x) = V 7 - 2 X
4x
+7
6x2 +
_ 5
x + 1
Vx-1
En los ejercicios 13. a 16. encontrar las funciones: f + g, f - g, f • g, f/g y sus dominios.
13.f(x) = x - 3 ; g(x) = x^-1
14.f(x) = / x ; g(x) = x^ + 1
15.f(x) = x^ + 4 ; g ( x ) = / 2 x T 5
16.f(x) = / x T s
; g(x) = / x T s
En los ejercicios 17. a 24. dibujar la gráfica de cada una de las funciones dadas y hallar su dominio y su
rango.
17.f(x) = 5
18.f(x) = 3 x - 1
19.f(x) = 5 - -1 x^
20.f(x)=Vx + 6
21.f(x)
x^ + 2x
X + 2
2x^
22.f(x)=^^
x'^ + 1
2x^-1
23.f(x)=^^f--!x'^ + 2x
25. Sea f una función real definida por f(x) =
24.f(x)=
-7x
4 +x
+2
~
+ 10
, se pide:
a) Hallar el dominio de f.
b) Expresar a f sin las barras de valor absoluto.
En los ejercicios 26. a 29. hallar f o g y g o f y sus dominios.
26. f(x)= / x ; g(x) = 4 - x '
27.f(x) = x ' ; g(x)=
Vx
28.f(x)
29.f(x) = x ^ - 9 ; g { x ) = / x T s
'
;g(x)=
x +1
x-2
Las funciones de los ejercicios 30. a 33. son funciones definidas en los reales. Determinar cuáles de
ellas poseen inversa y hallarla; las que no posean inversa, redefinirlas de manera que la tengan y
hallarla.
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31.f(x) = 4-x^
30.f(x)=4-3x
32. f(x) = x^ + 2
33. f(x) = 3x + x^
34. Supóngase que y varía directamente con el cuadrado de x. Si y = 3 cuando x = 1, ¿cuál es el valor
de y cuando x = 2?
35. Supóngase que w es inversamente proporcional a la raíz cúbica de t. Si w = 2 cuando t = 27, ¿cuál
es el valor de w cuando t = 8?
36. Un método práctico establece que el tono T de una campana es inversamente proporcional a la raíz
cúbica de su peso p. Una campana que pesa 800 libras tiene un tono de 512 ciclos por segundo.
¿Qué tan pesada debe ser una campana similar para que produzca un tono de 256 ciclos por
segundo?
37. El período T de un péndulo plano varía directamente con la raíz cuadrada de su longitud L. ¿Cuánto
se debe cambiar la longitud L para doblar el período del péndulo?
38. Expresar el área de un triángulo equilátero como una función de la altura h del triángulo.
39. Se va a construir una caja rectangular abierta con una base cuadrada de longitud x y un volumen de
16.000 cm^. Expresar el área A de la caja como una función de x.
40. Se debe construir una pista de atletismo con dos segmentos rectos y dos semicirculares, como
muestra la figura 4 - 35. El radio de cada segmento semicircular es r. La longitud de la pista debe
ser de 1 Km. Expresar el área limitada por la pista como función de r.
Pista
Figura 4 - 3 5
41. Se bombea agua en un tanque cónico cuya altura es de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Expresar,
en m^, el volumen del agua como una función de su profundidad.
42. En el proyecto de una heladería se calcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80
personas, la ganancia diaria será de $8.000 pesos por silla. Pero si la capacidad de sillas sobrepasa
los 80, entonces la ganancia diaria de cada silla disminuye $40 por el número de sillas excedentes.
Si X es el número de sillas^ G la ganancia diaria, se pide:
a) Escribir a G en términos de x.
b) Dibujar la gráfica de G y hallar su dominio.
c) Hallar el número de sillas que deben instalarse para obtener la mayor ganancia.
PREPÁRATE PARA LAS PRUEBAS D E L I C F E S
Las preguntas 1. y 2. se responden con base en la siguiente información:
Un reloj de arena consta de dos conos idénticos y está contenido en un cilindro circular de igual radio y
altura 6 cm. El cono superior está lleno de arena.
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