ELEMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTOS DE MATEMATICA PUBLICACION Publicación didáctico científica de la Universidad CAECE - Trimestral DIDACTICO CIENTIFICA DE LA UNIVERSIDAD CAECE Redacción y Administración Avda. de Mayo 1400 - 5 o Piso Tel.: 383-5757 FAX: 381-6520 Director: Prof. Roberto P.J. Hernádez Secretaria de Edición: Prof. Mariana A. Ortega Colaboradores Permanentes: Dr. Luis Santaló Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta Lic. Lucrecia Iglesias Prof. Elena García Prof. J u a n Foncuberta Septiembre 1994 VOLUMEN IX SUMARIO Editorial. el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática Grafos de Intersección Dra. Lía Oubiña erido al Comité Interamericano de Educación Matemática 5 Teoría Elemental de Categorías Prof. Jorge Bosch Suscripción anual: Argentina: $25.erior: u$s35.- o el equivalente en moneda de cada país. Ejemplar atrasado: $6,50.Exterior: $8.- 13 Conjuntos Numéricos y Operaciones Prof. María Inés Cavallaro 20 Los Problemas en el Aula Prof. Juan Angel Foncuberta 33 Propuesta Didáctica stro Nacional de la Propiedad Intelectual N°42.128 Impresión: Editorial Editer S.R.L. Salta 419 Diagramación: Mariana A. Ortega Lic. Lucrecia D. Iglesias 41 La Computación como Recurso Prof. Elena I. García 46 ISSN 0326-8888 El presente número, inicia el noveno año de vida de "Elementos de Matemática". El mismo incluye las tres secciones fijas tradicionales, a las que se agregan los siguientes artículos: 1. - Terceray última parte del trabajo "Conjuntos numéricos y operaciones" de la colega Prof. María Inés Cavallaro. 2. - Se continúa la publicación -con su undécima entrega- del fundamental trabajo sobre "Teoría Elemental de Categorías" del Prof. Jorge Bosch. Hacemos notar que la compilación cuidadosa de todas las entregas ofrecidas hasta ahora constituirán el único texto en idioma castellano de esta notable generalización de las estructuras de la matemática actual. 3.- Se completa el estudio sobre "Grafos de Intersección" de la Dra. Lía Oubiña. Anticipamos dos noticias que estimamos serán recibidas con beneplácito por nuestro lectores: I. - Desde elpróximo número, el correspondiente al mes de diciembre, se incluirá una nueva sección fija que contemplará temas de contenidos conceptuales y pedagógicos destinados a su consideración en la escuela Primaria. Dicha sección estará a cargo del distinguido Colega Prof. Alfredo Palacios. II.- También en ese número comenzará a publicarse otra secciónfija, que estará a cargo del Dr.Héctor Guersenzvaig que consistirá en plantear problemas matemáticos de distinta índole y se propondrá su solución por parte de los lectores. Las soluciones correctas y bien fundamentadas que se envíen a la dirección de la Revista serán publicas en números subsiguientes. El Director GRAFOS DE INTERSECCION 6 Tucker [14] da el siguiente ejemplo: Un ciclo contiene 20 pasos y 4 palabras w,, w2, w3, w4. w no se usa en los pasos 2,..., 8 y en los pasos 15,„.,19 w2 no se usa en los pasos 5,..., 13 w no se usa en los pasos 12,..., 16 w4 no se usa en los pasos 18,..., 3 (de la siguiente iteración). Se asigna a cada secuencia de pasos consecutivos en las cuales w. no se usa un arco de un círculo. Se construye el grafo de intersección G de esos arcos (en este caso el ciclo C5). El número cromático de G (es decir, el mínimo número de colores necesarios para colorear los vértices de G de modo que cualquier par de vértices adyacentes tenga colores diferentes) es el número mínimo de registros necesarios (3 en el caso del presente ejemplo). El problema de la determinación del número cromático de un grafo de arcos es NP completo [7], Tucker [14] presenta un buen algoritmo de reconocimiento. 5. GRAFOS DE K-PARALELEPIPEDOS Un paralelepípedo de dimensión k, o k-paralelepípedo, para un entero k > l , es el producto cartesiano de k intervalos de la recta real. Entonces, 1paralelepípedo es un intervalo de la recta real y un 2-paralelepípedo es un rectángulo del plano R2. Un grafo de k-paralelepípedos es un grafo isomorfo al grafo de intersección de una familia de k-paralelepípedos de Rk. Entonces el conjunto de los grafos de intervalos coincide con el de los grafos de 1-paralelepípedos. Por otra parte, todo grafo es un grafo de k-paralelepípedos, para algún k. La siguiente construcción, debida a Roberts [11], muestra que todo grafo de n vértices es un grafo de n-paralelepípedos. Sean v r ..., vn los vértices de un grafo G. Se asigna a cada vértice v, el producto B(i) de los n intervalos cerrados I,(v.), ..., In(v.) definidos en la forma siguiente: [0,1], si j = i [1.2], si j * i y j es adyacente a i [2.3], si j / i y j no es adyacente a i DRA. LIA G. OUBINA 7 Claramente, B ( v ¡ ) / B(V J ) parai^j. Sean v.y v. adyacentes. Sin perder generalidad puede suponerse i = l y j = 2. Entonces, I, ( v , ) = [0,l], I 2 ( v , ) = [1,2] y I , ( v 2 ) = [l,2], I 2 ( v 2 ) = [0,l]. Luego, el punto (1, 1, 2...2) de Rn pertenece a B ( v , ) n B ( v 2 ) . S i v 1 y v 2 n o son adyacentes, las proyecciones d e B ( v , ) y B ( v 2 ) sobre el plano 1,2 son disjuntas, con lo cual ambos paralelepípedos no se intersectan. De acuerdo con este último resultado tiene sentido definir lap-dimensión de un grafo G ("boxicity" en [11]) como el menor entero k positivo tal que G es isomorfo a un grafo de k-paralelepípedos. El concepto de p-dimensión de un grafo tiene la siguiente aplicación en ecología [11]. Un problema de la ecología Para cada especie de animales o plantas se fijan las condiciones del medio ambiente que aseguran su normal desenvolvimiento: temperatura, humedad, nutrientes, etc. Cada condición está definida por un intervalo de posibles valores, de modo que dadas k condiciones (llamadas dimensiones) queda determinado un k-paralelepípedo en Rk, que se llama nicho ecológico. Una idea básica en ecología es el llamado principio de exclusión competitiva: dos especies compiten si y sólo si sus nichos ecológicos se intersectan. Por otra parte, Cohén [3] introduce en 1968 los grafos de competición asociados a una red alimentaria: El grafo de competición de las especies de una comunidad tiene por vértices a estas especies, y los vértices u y v son adyacentes si y sólo si u y v se alimentan de una misma especie. Un problema de interés básico es hallar la p-dimensión de un grafo de competición. En [ 11 ] se afirma que extrañamente varios grafos de competición tienen p-dimensión igual a 1, es decir, son grafos de intervalos. No se sabe si se trata de una ley general y, si es así, qué interpretación puede darse a la única dimensión. Roberts [11] muestra que todo grafo de n vértices tiene p-dimensión a los sumo [(l/2)n] y que esta cota es alcanzable (el grafo denotado K 2 2 2 tiene p-dimensión 3; se compone de seis vértices divididos en tres clases tales que dos vértices son adyacentes si y sólo si pertenecen a clases distintas). Cozzens [4] muestra que la determinación de la p-dimensión es un problema NP completo. 5 GRAFOS DE INTERSECCION La Fig. 10 muestra los grafos C 4 y L 0 (Fig.6) que no son de intervalos, y sus representaciones como grafos de intersección de rectángulos del plano. Ambos tienen, por lo tanto, p-dimensión igual a dos. Fig. 10 6. GRAFOS CORDALES Un grafo es cordal o triangulado si todo ciclo de longitud mayor que 3 tiene una cuerda, es decir una aristauniendo un par de vértices,no consecutivos en el ciclo, o, equivalentemente, si no tiene ningún ciclo de longitud mayor que 3 como subgrafo inducido (luego, todo grafo de intervalos es cordal). Estos grafos están relacionados con el proceso de eliminación gausiana de sistemas de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes simétrica, definida y rala (ver [12] para una exposición detallada). Sea M = ^ m. . j la matriz, nxn, de un tal sistema. Se asocia a M al grafo G(M) tal que V(G) es el conjunto de las filas de M y (i j) e E(G) si y sólo si m¡ ¡ ^ 0. La eliminación de la primera variable transforma M en una matriz de la forma M: m, 0 0 M, 0 y, es fácil ver, que el grafo G ( M h ) se obtiene de G(M) efectuando las siguientes operaciones: (1) Agregar aristas de modo que el subgrafo de G(M) DRA. LIA G. OUBINA 9 inducido por el vértice 1 y sus adyacentes sea completo, (2) Suprimir el vértice 1. Las aristas agregadas en la etapa (1) corresponden a coeficientes nulos de M que se convierten en no nulos de M i r La Fig. 11 muestra una matriz M, la matriz M , , obtenida eliminando la primera variable y los grafos G(M) y G(M, ,). En este caso el coeficiente m 34 de M es nulo, y se transformó en -2 en M , . Aparece consecuentemente la arista 34 en G(M„). 1 0 2 3 0 M= 2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 M1 G(M) = 1 0 0 0 0 0 3 0 0 -1 1 -2 0 1 -2 0 G(MU) Fig. 1L Si en la eliminación de todas las variables no se pierden ceros, o en forma equivalente, en la sucesión de grafos correspondientes no aparecen nuevas aristas, se dice que el orden del sistema dado por su matriz es un orden perfecto de eliminación. Consecuentemente, un orden total sobre los vértices de un grafo G es un orden perfecto de eliminación si cuando se aplican las operaciones (1) y (2) a todos los vértices de G en ese orden no se agregan aristas. Los grafos cordales se relacionan con el proceso de eliminación porque un grafo es cordal si y sólo si tiene un orden perfecto de eliminación [12]. El grafo G(M) de la Fig. 11 es cordal, por lo tanto, debe tener un orden perfecto de eliminación, uno de ellos es 3, 1, 4, 2. El problema de encontrar un orden de eliminación para el sistema que produzca la menor pérdida de ceros posible es equivalente al de encontrar el mínimo conjunto de aristas que deben agregarse al grafo para que éste GRAFOS DE INTERSECCION 10 devenga cordal. Yannakakis [15] demuestra que este problema es NPcompleto. La conexión de los grafos cordales con el tema de los grafos de intersección la da el siguiente resultado [8]: Un grafo es cordal si y sólo si es isomorfo al grado de intersección de una familia de subárboles de un árbol. 7. EL NUMERO DE INTERSECCION DE UN GRAFO Todo grafo es el grafo de intersección de una familia de conjuntos. En efecto, dado un grafo G, sea, para cada vértice v, e(v)={uv; u es adyacente a v en G}. Entonces, G es el grafo de intersección de la familia (e(v))v e v(o > (ver el ejemplo de a Fig. 13). 1 —> {a,b} 2 —> {a,c,d} 3 —> {b,c} 4 —> {d} Tiene sentido entonces definir el número de intersección de un grafo G como el mínimo k tal que G es isomorfo al grafo de intersección de una familia de subconjuntos de un conjunto con k elementos. En [5] se prueba que este número es igual al mínimo número de diques que cubren las aristas de G y que es menor o igual que [ n 2 / 4 ] , donde n es el número de vértices de G. Si G es un grafo de intervalos el número de intersección es igual al número de diques de G. BIBLIOGRAFIA [1] BENZER, S.: On the topology og the GeneticFine Structure, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 45, 1959, 1607-1620. [2] BOOTH, K.S. and LUEKER, G.S.: Testing for the Consecutive Oríes Property, Interval Graphs, and Graphs Planarity Using PQ-Tree Algorithms, J. of Computer and System Science, 13, 1976, 835-855. [3] COHEN, F.: Interval graphs andfood webs: afinding and a problem, Rand Corporation Document, 17696-PR, Santa Mónica, CA 1968. DRA. LIA G. OUBINA 11 COZZENS, M. B. and ROBERTS, F. S/.Computing the boxicity ofa grph by [4] covering its complements by cointerval graphs, Discrete App. Math., 6, 1983, 217-228. [5] ERDOS, P„ GOODMAN, A. and POSA, L.: The representation of a graph by set intersections, Canadian J. Math., 18, 1966, 106-112. [6] FULKERSON, D. R. and GROSS, O. A.:Incidence [7] GAREY, M. and JOHNSON, D.: Computing and Intractability: Matrices Graphs, Pacific J. of Math., 15, 1965, 835-855. to the Theory ofNP-Completennes, 1978. and Interval A Guide Freeman, San Francisco, California, [8] GAVRIL, F.: The intersection graphs ofsubtrees in trees are axactly the chordal graphs, J. Combinatoria! Th., (B), 16, 1974, 47-56. [9] HARARY, F.: Graph Theory, Addison-Wesley, Reading Mass., 1 9 6 8 . [ 10] LEKERKERKE, C.B. and BOLAND, J.CH.-.Representation ofafinite by a Set oflntervals Graph ofthe Real Line, Fund. Math., 51, 1962, 45-64. [ 1 1 ] ROBERTS, F. S.: Discrete Mathematical Models with Application to Social, Biological and Enviromental Problems, Prentice-Hall, 1970. [ 12] ROSE, D. J.: A Graph-Theoretic Study of the Numerical Solution of Sparse Positive Definite Systems of Linear Equations, en Graph Theory and Computing, editado por R. Read, Academic Press, 1972. [13] TORANZOS, F.: Introducción a la teoría de grafos, monografía N° 15, serie de matemática, Programa Regional de Desarrollo Científico y Tecnológico, OEA, Washington D. C., 1976. [ 1 4 ] TUCKER, A.: Circular are graphs: new uses and a new algorithm, en Theory and Aplications of Graph, Proceedings Michigan 1976, Lecture Notes in Math. 6 4 2 , Springer Verlag, 1 9 7 8 , 5 8 0 - 5 8 9 . [ 15] YANNAKAKIS, M.: Computing the minimunfill-in is NP complete, Siam J. Alg. Disc. Meth., Yol. 2, N° 1, 77-79. E¡H \ ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. IX Nro. 33, Septiembre de 1994 13 por JORGE BOSCH (Undécima parte) Lema 29. Gon referencia a la Definición general de producto topológico y a las notaciones allí introducidas, sea b la clase de los productos cartesianos de la forma U = X U., i e l , donde para cada i e l se tiene que U. es abierto en E.y además se verifica U. = X. para todo i e l salvo para un número finito de índices a lo sumo. Entonces b es una base de topología sobre X. Demostración Recordemos que en la definición general de producto topológico se tienen: una familia F de espacios topológicos E. = (X., t.) y el producto cartesiano X de todos los X.. Trataremos de dar una interpretación intuitiva a las construcciones que hagamos, lo que facilitará a su vez la comprensión de la definición de producto topológico. De acuerdo con la Interpretación intuitiva precedente, los elementos de la clase b que figura en el enunciado de este lema son prismas, acotados o no acotados. Debemos demostrar, aplicando la definición general de base de topología, dos cosas: (bl) Que el producto cartesiano total X es unión de prismas; en realidad demostraremos algo mejor, a saber, que X es él mismo un prisma (en sentido amplio, por cierto); y (b2) que la intersección de dos de esos prismas es una unión de prismas, lo que intuitivamente es bastante comprensible, al menos en dimensiones 2 y 3; en realidad demostraremos algo mejor, a saber, que la intersección de dos de esos prismas es un prisma. Veamos. Se cumple (bl). Esto es de fácil demostración, porque el producto cartesiano total X es él mismo un U (perteneciente a b), obtenido tomando cada U igual al respectivo X.. Entonces X es unión de sí mismo y en consecuencia puede ser considerado como unión de elementos de b. En este caso el número finito de los índices i para los cuales U. no coincide con X. es cero. Se cumple (b2). Hay que demostrar que si U y V pertenecen a b, entonces también u n V e b • Sean U y Y pertenecientes a b, o sea: 14 TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS U = X i e I U i 5 V = X i e I V; con U., V., abiertos en E. y tales que U. es distinto de X. para un número (finito) n de índice i, y V. es distinto de X. para un número (finito) m de índices i. Vamos a calcular ahora la intersección U n V - sirviéndonos del Caso particular del lema conjuntista, visto más arriba. Según este caso particular se tiene, con las notaciones que estamos usando ahora: Un V = (X ieI U i ) n (XwV,) = XieI (u. n V.) (*) Si, para abreviar la notación, llamamos W. a la intersección U.nV., obtenemos de (*): U n Y = XielW¡ (**) Pero, para cada i, U.nV., al que hemos llamado W., es abierto en E. (intersección de dos abiertos). Además, esta intersección W. coincide con X cada vez que U. = V. = X.. Ahora bien: hay n casos en los que es U. jt X. y hay m casos en los que es V.^X.; estos m casos pueden coincidir total o parcialmente con los n anteriores, o no coincidir en absoluto. Luego, a lo sumo hay n+m casos en los que (usando el «o» inclusivo) U.i * X.i o V.i *r X..i En los casos restantes se verifica (recordando que hemos llamado W. a la intersección U n V . ) : W. = U. n V. = X.. i i i i Es decir que W. es un abierto de E. y, salvo a lo sumo para un número finito, n+m, de índices i, se verifica W. = X.. Entonces, por definición de la clase b, se cumple que el producto cartesiano de los W. pertenece a b (o sea que es un prisma); es decir: (xieIw.)b. Y en virtud de (**): UnVeb> como queríamos demostrar. Entonces, puesto que la clase b cumple (bl) y (b2), b es una base de topología sobre X, y el lema está demostrado. Lema 30. El producto topológico E = (X,t), que definimos más arriba, es un espacio topoiógicoy Jasproyecciones canónicas de]producto cartesiano Pj: X X. resultan ser funciones continuas de E en E., a las que denotaremos por p. :E —> E¡. PROF. JORGE BOSCH 15 Demostración. Usando la notación del lema precedente y la definición de t, se ve que t es la clase de todas las uniones de elementos de b. Pero, por el Lema 29, b es una base de topología sobre X; luego t es la topología engendrada por la base b y en consecuencia E, que es igual a (X,t), es un espacio topológico. Queda por demostrar que las proyecciones canónicas del producto cartesiano son continuas. Sea, para cualquier jeI, p :X—>X. lay'-ésima proyección del producto cartesiano X. Para ver que es continua, apliquemos la definición de función continua dada al comienzo del párrafo Productos en TTdel apartado 13: la función / entre espacios topológicos, /:E—>E', es continua si y sólo si para todo abierto U de E' se verifica que su imagen inversa /~'(U) es abierto en E. Tomemos entonces un abierto U. de E., que seráun subconjunto deX.. La imagen inversa p."'(U.) es, por definición de imagen inversa, el conjunto de todos los puntos x del producto cartesiano X tal que p.(x) e U . Tales x son funciones de I en la unión de los X. tales que x(i) es cualquier elemento de X. salvo en el caso i = j, en el que se tiene x(j)eU.. Luego Pj"'(U) es el siguiente producto cartesiano: X. U., donde U. = X. salvo eventualmente para i = j, o sea un prisma o, más propiamente hablando, un elemento de la base b. Es decir que la imagen inversa p "'(Up es un elemento de la base b y en consecuencia es un abierto en el producto topológico (E,X). Luego la proyección p es continua y el lema queda demostrado. En virtud de los Teoremas 14 y 15 de 14 el lector puede demostrar: Corolario. Si E es el producto directo de una familia de espacios topológicos F, con proyecciones canónicasp., y si >E es un isomorfismo en TT, entonces H es también un producto categorial de la familia F en TT, respecto de la familia de proyecciones {q/iel), con q. = p.k para todo i e l . Y recíprocamente, todo producto categorial de la familia F en TT es isomorfo en TT al producto directo E, mediante un isomorfismo determinado por los datos. 16. Suma en una categoría. Una vez definido el producto categorial, tanto el binario como el general, vamos a aplicar el concepto de dualidad visto en 11 para introducir 16 TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS la noción de suma de objetos en una categoría. En forma abreviada podemos decir que el concepto de suma es dual del de producto. Vimos en 12 que para definir el producto de dos objetos X e Y no bastaba con introducir otro objeto Z sino que era necesario además referirse a morfismos (proyecciones) de Z en X y en Y. Ahora, en el caso de la suma, aparecerán también dos morfismos (que no serán llamados proyecciones) dirigidos en sentido inverso, es decir de X a Z y de Y a Z. Definición de suma de dos objetos en una categoría. Dados en una categoría A los objetos X e Y, diremos que el objeto Z es suma de ellos en A respecto de los morfismos /;:X—>Z e i2\Y—>Z, si Z es producto de X e Y en la categoría dual A *, respecto de los mismos morfismos i¡, i2, considerados en A*. Para ver qué aspecto tiene la suma de los objetos X e Y en A recordemos que la categoría dual A* tiene los mismos objetos que A y los mismos morfismos, pero estos últimos dirigidos en sentido contrario; o sea que los morfismos i¡ e i2 de A aparecen en A* del siguiente modo: ij.Z—>X, i2\Z—>Y. Apliquemos ahora a estos morfismos y a Z la definición de producto en A*: para todo objeto W y todo par de morfismos / :W—>X, / :W—> Y, existe un morfismo h:W—>Z y sólo uno, que hace conmutativo el diagrama X Y Pasando a la categoría dual de A*, que es A, este diagrama se convierte en el siguiente: x Y Z1 h w \ PROF. JORGE BOSCH 17 y entonces resulta que: condición necesaria y suficiente para que Z sea suma de X e Y respecto de i2, de acuerdo con la definición dada, es que exista un único morfismo h que haga conmutativo este diagrama. El razonamiento que acabamos de desarrollar, un tanto informal, constituye la demostración del siguiente corolario. Corolario de la definición de suma binaria. El objeto Z es suma de X e Y respecto de ip i2, si para todo objeto W y morfismos cualesquiera /;:X—>W y f2:Y—>W, existe y es único el morfismo h:Z->W, que hace conmutativo el diagrama precedente. También por dualidad, aplicada a los Teoremas 11 y 12 del Apartado 12, se demuestran los siguientes teoremas: Teorema 17. Si el par ordenado de objetos (X,Y) admite una suma Z respecto del par ordenado de morfismos (¡ipi2), cualquier objeto U isomorfo a Z también es suma de X e Y respecto de los morfismos {]]Xj2), obtenidos del siguiente modo: si k:Z-^U es un isomorfismo, e s j = k i yj2 = k„v Teorema 18. Si los objetos Z y U son sumas de los objetos X e Y, entonces Z y U son isomorfos entre sí. Con más precisión: si Z es suma de X e Y respecto de los morfismos (i1,i2) y U lo es respecto de los morfismos (j|Vj2), existen un isomorfismo de U en Z y otro de Z en U, que son inversos entre sí y que están determinados por los datos expuestos; esto se expresa diciendo que dichos isomorfismos son canónicos. Notación. Para indicar que Z es suma de X e Y (respecto de ciertos morfismos) escribiremos X + Y = Z. Aclaración sobre la unicidad. La notación precedente es abusiva y a que, en virtud de los Teoremas 17 y 18, la suma, si existe, no es en general única, y en consecuencia el signo de igualdad que figura en la fórmula que acabamos de ver no es estrictamente adecuado. Esta fórmula se puede leer, más propiamente, del siguiente modo: «Zes una suma deXe Y». Hay otro aspecto en el que dicha fórmula es abusiva: la definición de suma exige la explicitación de ciertos morfismos i] e i2, pues se ha definido suma respecto de tales morfismos, y éstos no aparecen en la fórmula precedente. 18 TEORIA ELEMENTAL DE CATEGORIAS También podemos aplicar dualidad al Teorema 13 de 12 y obtener: Teorema 19. Sea A una subcategoría plena de B. Si los objetos X e Y de A admiten una suma X Y en B con respecto a los morfismos it e i2, y se verifica que este objeto X Y es también objeto de A, entonces X Y es también suma de X e Y en A respecto de los mismos morfismos ij e i . (En términos más sencillos y menos formales: si dos objetos de una subcategoría plena tienen suma en la categoría mayor respecto de ciertos morfismos, y resulta que esta suma es también objeto de la subcategoría, entonces dicha suma es suma de los mismos objetos en la subcategoría, y lo es respecto de los mismos morfismos). Con esto terminamos el tratamiento puramente categorial de la suma de dos objetos, caso al que llamaremos binario. Falta ver cómo definimos la suma para una familia cualquiera de objetos F = {X./iel}, donde 1 es un conjunto de índices, eventualmente infinito. Como los aspectos categoriales relativos a la suma se obtienen sencillamente por dualidad a partir del producto, veremos a continuación en forma sucinta la suma general para una familia cualquiera de objetos y dejaremos para el apartado siguiente la ejemplificación de la suma en varias categorías usuales: esta eemplificación ayudará a comprender el significado intuitivo de la noción de suma. Por razones de notación, llamaremos ahora J al conjunto de índices. Definición general de suma en una categoría. Diremos que la familia de objetos F = {X./jeJ}, de la categoría A, tiene por suma en A al objeto Z respecto de la familia de morfismos {z'/jeJ}, con if-X.—>Z, si Z es producto de la familia F en la categoría dual A*, respecto de la misma familia de morfismos / jej. Si Z es un producto de F respecto de los morfismos /.en A*, de acuerdo con la definición dada en 14 debe suceder que, para todo objeto W y toda familia de morfismos f.:W—>., con j e J, en la categoría A*, exista un único morfismo h:W—>Z que haga conmutativos todos los diagramas siguientes para j e J: W h Z 19 Pasamos por dualidad a la categoría original A, y obtenemos entonces, aplicando la definición general de suma, el resultado siguiente: Teorema 20. Condición necesaria y suficiente para que la familia F={X./jeJ} tenga por suma en la categoría A al objeto Z, respecto de los morfismos i.:X.—»Z, j e j , es que para todo objeto W y toda familia de morfismos / \ : X —»W, j e j , en la categoría A, exista y sea único el morfismoh :Z—> W que haga conmutativos todos los diagramas siguientes en A, para j e J : Vimos en 14 los teoremas 14, 15 y 16, que generalizan a los teoremas 11,12 y 13, expuestos en 12 para el caso binario del producto. Estos últimos teoremas han sido trasladados por dualidad al caso binario de la suma mediante los teoremas 17,18 y 19. Ahora veremos la generalización de estos tres teoremas, generalización que constituye en realidad una «traducción» del producto a la suma obtenida aplicando dualidad a los teoremas 14, 15 y 16 de 14. Obtenemos así los tres siguientes teoremas. Teorema 21. Si Z es suma de la familia de objetos F = {X./jeJ} en una cierta categoría, respecto de la familia de morfismos {/.:X.—»Z/jeJ}, y si k:Z—>W es un isomorfismo en la categoría dada, entonces W también es suma categorial de la familia F, y lo es respecto de la familia de morfismos {qjjej}, con q. = ki. para todo j e J . Teorema 22. Si Z y W son sumas de una misma familia de objetos F respecto de ciertas familias de morfismos, entonces existen dos isomorfísmos mutuamente inversos h: W—>Z y h 1 : Z - ^ W (llamados canónicos) que están determinados por los datos. Teorema 23. Sea A una subcategoría plena de B. Si la familia F = {X /iel}, de objetos de A, admite en B una suma Z respecto de una familia de morfismos {i.:X.—>Z}, y si este objeto Z es también objeto de A, entonces Z es a su vez suma de F en A respecto de la misma familia de morfismos. ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol IX, Nro. 33, S e p t i e m b e r d e 1994 20 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES fc por MARIA INES CAVALLARO (tercera y última parte) Reescribe esos mismos números en notación científica: Escribe en notación científica los siguientes números: - La distancia media entre Marte y el Sol es: 228 000 000 km = - La distancia media entre Júpiter y el Sol es: 778 730 000 km = - La distancia que nos separa de la galaxia de Andrómeda es: 95 000 000 000 000 000 000 km = Realiza estas cuentas en tu calculadora y observa como el resultado viene dado en notación científica; escribe el número con todos sus ceros: 1) 3: 50000000 = 2) 5,4: 25000000 = 3) 25000000 . 430000 = 4) 23470000 . 20000 = MATEMATICA ESPACIAL Los astrónomos usan el término "año luz" para representar a la distancia recorrida por la luz en un año. Datos: La velocidad de la luz es: 3.105 km/seg Un año tiene 3,2.10? segundos Calcula cuántos kilómetros corresponden a un año luz: Imagina una nave espacial que pueda viaj ar a una velocidad de 8.104 km/seg. Queremos saber cuánto tiempo le llevaría hacer un viaje de ida y vuelta a la estrella más cercana, que es Alfa Centauriy se encuentraa4 años luz de la Tierra. ¿Qué operaciones debes realizar para hallar la distancia en km, que la nave debe recorrer en su viaje de ida y vuelta? Escribe el resultado en notación científica ¿Qué operación debes realizar para calcular cuántos segundos tarda en realizar el viaje? En años es: MARIA INES CAVALLARO 21 En todas estas operaciones que realizaste con potencias, pudiste observar que: - Cuando multiplicamos potencias de la misma base el resultado es - Cuando dividimos potencias de la misma base el resultado es Hallar (23)4 (23)4 = 23.23.23.23 = 23+3+3+3 = 23-4 - Cuando hallamos una potencia de otra potencia el resultado es una potencia de la misma base y el exponente es el de los exponentes. Usa estas propiedades para resolver las ecuaciones: a) 3\3 2 = 35 b) 25x:2x = 23 c) (23)x = 4 MAS PROPIEDADES Completa 1) 34 = 3.— = 32.— = 33.— 3) am.an = — 5) am:a" = — 2) 45.42 = 4~ = 4 3 .— 4) 3 4 : 32 = 3 ~ 6) 4 5 : 4 5 = 4~ = — ; 5 e : 5® = 5~ = — En general se define a° = 1, siendo a un racional cualquiera distinto de cero 7) 23 = — ; 32 = — ¿es conmutativa la potencia? 8) (23)2 = — ; 2 (3 ' = — ¿es asociativa la potencia? 9) 10) 11) 12) (2.3)4 = — (a.b)n = — (6:2)2 = — (a:b)n = — ; 24.34 = — ¿cómo enuncias esta propiedad? ; 6 2 : 22 = — ¿cómo enuncias esta propiedad? , HACIENDO MAGIA Los matemáticos también sabemos hacer magia. Vamos a probar que 2 = 3. ¿Listos?. Sigan atentamente todas las operaciones para que no cometamos errores y descubran el truco. 4 - 1 0 = 9 - 1 5 sumamos a ambos miembros 25/4 4 - 10 + 25/4 = 9 - 15 + 25/4 2 2 - 2.2.5/2 + (5/2)2 = 32 - 2.3.5/2 + (5/2)2 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES 22 (2-5/2) 2 = (3 - 5/2)2 2 - 5 / 2 = 3 - 5/2 2 = 3 !!!! ¿Encontraste el error? Completa: 2+3 - 10-5 (2+3)2 — (10-5)2 1-2 = 4-3 (1-2) 2 — (4-3)2 2+3 = 10-5 (2+3)3 — (10-5)3 d-2)3 1-2 = 4-3 2 (1+2) = (3-6) 2 3 3 4 4 (3-4) = (4-5) (5-3) = (6-4) — (4-3)3 1+2 - 3-6 3-4 — 4-5 5-3 — 6-4 Usa estas propiedades para resolver las ecuaciones: a) x 2 - 4 = 0 b) 3x3 + 4 = 28 Completa: 2<3 7>2 22 — 3 2 7 3 — 23 -3<-l -3 < -1 -2 > -3 (-3)2 — (-1)2 (-3)3 — (-1)3 (-2)4 — (-3)4 -4 < 1 -1 < 2 -4 < 1 -1 < 2 (-4) 2 — (-1) 4 — (-4) 3 — (-1) 3 — l2 24 l3 23 Conclusiones: LEYENDO SOBRE EL GRAFICO Busquemos los cuadrados de los siguientes números: 1 1,5 2 -1 -1,5 -2 Cada uno de estos pares de números (cada número con su cuadrado) pueden representarse en un gráfico: MARIA INES CAVALLARO 23 Sobre un papel milimetrado, dibuja dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto O. Tomemos como unidad para cada eje, 1- cm. Cada par (x,x2) se representa de la siguiente manera: - la primera componente (x) se dibuja sobre el eje horizontal, - la segunda componente (x2) sobre el eje vertical. Se dibujan paralelas a los ejes por esos puntos, y el punto de intersección de ambas representa gráficamente al par (x,x2) Ejemplo: el par (1,1) tiene la siguiente representación: 1 ;i * 0 i i 1 Dibuja todos los pares en el gráfico de papel milimetrado. Une todos los puntos con una curva. Sobre el eje vertical busca el 4 y lee en el gráfico que valor de x le corresponde. Ese valor de x es el número que elevado al cuadrado da 4. Se dice que x es la "raíz cuadrada de 4" y se escribe 4 ¿Cuántos valores de x satisfacen esta condición? Leyendo en el gráfico, indica los valores aproximados de: A/5; V3; V8; 0; Verifica los resultados con la calculadora. ¿Para cada valor pedido, cuántos valores de x encontraste en cada caso? ¿Por qué sucede esto? Realiza, ahora un gráfico en papel milimetrado, ubicando los puntos del tipo (x, x3), tomando como valores de x = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 Traza la curva y lee sobre el gráfico : ^ 2 5 , \¡3, \f-4, V - 8 Verifica con la calculadora. ¿Cuántos valores de x encuentras para cada valor pedido? 24 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES En general: por ejemplo, V I = b si b" = a V32 = 2 ya que 25 = 32 X¡\6 - 2 ya que 24 = 16, en este caso existe otro número que elevado a la cuarta es 16 ¿cuál es ese número? no existe ningún número que conozcamos que elevado al cuadrado sea negativo -8 = -2 ya que (-2)3 = -8 ¿existe algún otro número que cumpla esta condición? F.n general, eren eral diremos que cuando calculamos una raíz de índice par y En radicando positivo, existen dos números que cumplen con la condición pedida, esos dos números son opuestos. Sin embargo, con el símbolo entenderemos "el número positivo que elevado al cuadrado da 4" o sea, 2. En el caso de raíces de índice impar, no existe tal problema porque el resultado es único. DESDE LOS TIEMPOS DE PITAGORAS Durante mucho tiempo, los matemáticos creyeron que cualquier problema podía ser resuelto trabajando solamente con números naturales y fraccionarios. Hasta que, alrededor del año 530 a.C., una sociedad secreta griega puso sobre el tapete un nuevo problema para los sabios de la época. Los miembros de esta sociedad se llamaban "Pitagóricos" en honor a su maestro Pitágoras de Samos. "Todo es número", decía Pitágoras, refiriéndose a que cualquier hecho de la naturaleza podía ser explicado por medio de números. Trabajando con números llegaron a descubrir propiedades interesantes y curiosas, pero, lo que dio gran fama a los Pitagóricos fue la demostración de un teorema, probablemente el más conocido de la historia de la matemática: EL TEOREMA DE PITAGORAS. Desde los remotos tiempos de los egipcios, se conocían ternas de números que eran lados de triángulos rectángulos : 3, 4, 5; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 ; etc. . Las usaban para realizar ángulos rectos en sus construcciones. Los babilonios también conocían este hecho, y dieron un paso más, descubriendo que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 25 MARIA INES CAVALLARO Pero, faltaba una demostración, y fue Pitágoras quien la realizó por primera vez. Realicemos la siguiente construcción: b c Explica por qué el cuadrilátero mayor, también es un cuadrado Observando la figura, escribe de dos formas distintas el área del cuadrado mayor Igualando, deduce la propiedad de Pitágoras Hasta aquí, todo marchaba muy bien, pero el problema se sucitó cuando consideraron un triángulo rectángulo de catetos b = 1, c = 1 ¿Cuánto medía a? a2 = l 2 + l 2 a2 = 2 ¿Qué clase de número era este que elevado al cuadrado daba 2? Si éste era un número racional, debía poder escribirse como la razón de dos naturales (no conocían los negativos). Pero, no pudieron encontrar tales números. A este número y otros que encontraron de la misma forma (V3, A/5 > etc.) los llamaron "alogos" (fuera de la lógica). Actualmente, a los números que no pueden expresarse como la razón de dos enteros, los llamamos IRRACIONALES. En tu calculadora, halla A/2 = A/3 = 26 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES Habrás observado la cantidad de cifras decimales que tienen estos números. Es que los irracionales al ser expresados en su notación decimal, TIENEN INFINITAS CIFRAS DECIMALES NO PERIODICAS. Por supuesto, la calculadora, sólo muestra las primeras cifras, dependiendo del número de dígitos que tenga su display. Por eso, la forma más exacta de expresar estos números es utilizando el símbolo radical. CONSTRUYENDO IRRACIONALES Construir un segmento de medida A/5 . Ya sabemos que construyendo un triángulo rectángulo de catetos b=l y c=l, la hipotenusa a=V2- \ Tomando a esta hipotenusa como cateto, construyamos otro triángulo rectángulo, con el otro cateto de medida 1. ¿Cuánto mide la hipotenusa del nuevo triángulo? Reitera el proceso hasta obtener el segmento de medida V5 Claro que podíamos haber realizado una construcción más sencilla, tomando en cuenta que 5 = 22 + l 2 Tomando en cuenta que 11 = l 2 + l 2 + 2 construir un segmento de medida VTT. JUGANDO CON LA CALCULADORA 1) a) Realiza las siguientes secuencias, para a = 4, 2, 8, 15 a xy 0.5 = significa a 05 = ... a x l/y 2 = significa a1/2 = Compara los resultados con MARIA INES CAVALLARO 27 b) Realiza las siguiente secuencia para a = 8, 27, 64 a x l/y 3 = Compara los resultados con c) Realiza la siguiente secuencia para a = 16, 81, 256 a xl/y 4 = Compara los resultados con Como habrás observado, en la calculadora no aparece , etc. ya que usa otra nomenclatura para expresar este tipo de raíces: EL EXPONENTE FRACCIONARIO. En general, diremos que J/n. 2) Realiza las siguientes secuencias en tu calculadora para a = 4 , 9 , 1 6 , 5 , 2 a f X2 a X2 f a +/- X2 f a +/- f X2 a xl/y 4 - xy 4 = a Xy 4 = xl/y 4 = a +/- xl/y 4 = xy 4 a +/- Xy 4 = xl/y 4 = = 28 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES 3) Resuelve con calculadora: a> V F = ; (V3 ) ' = • • ; (V2)'=- • W : Conclusiones: Usa estas propiedades para resolver las ecuaciones: b) V x - 1 + 1 = -v/x + 4 (recuerda que si a = b a" = b n ) 4) Resuelve con calculadora: A ) A/2 + 3 c)y¡2/3 = ; V2 + V 3 = ; V2/V3 = b )V2^3= ;V4-V2 = ¿La raíz es distributiva respecto de la suma y de la resta? ¿Respecto de la multiplicación y de la división? 29 MARIA INES CAVALLARO Va- b = En general, VVbe ) VVsT^ ; ^81 f) V7ó4 = ; ^64 = En general, LO IMPORTANTE POTENCIA Definición: an = a.a a (n veces) a~n = (l/a) n a° = 1 con a e Q y nGN con aGQ y a ^ 0 y n e N con a e Q y a ^ 0 donde a se llama base y n se llama exponente NOTACION CIENTIFICA: Escribir un número en notación científica, es expresarlo como el producto de una potencia de 10 y un número comprendido entre 1 y 10. Ejemplos: 124 000 000 = 1,24.108 0,00000001334 = 1,334 . 10® PROPIEDADES DE LA POTENCIA La potencia no es conmutativa Ejemplo: La potencia no es asociativa Ejemplo: 25 ^ 52 32 ^ 2 5 (32)4 * 3 l 1 6561 jz 43.046.721 La potencia es distributiva respecto de la multiplicación y la división: (a.b)n = (a.b).(a.b) n veces (a.b) = (a.a...a).(W).1.b) = an.bn n veces (a:b)n = (a/b).(a/b)...(a/b) = f ' f ' f b-b-b n veces f = a":b" b 30 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES La potencia no es distributiva respecto de la suma y la resta Ejemplo: . (2+3)3 * 23 + 33 125 ^ 35 (5-2)2 * 52 - 22 9 ¿21 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE IGUAL BASE - an.ap =a • a-• • • •••aj_a •a-;------a = an+p n veces p veces n veces • aa • a- a a p veces n veces n veces n p - (a ) = a".a" n veces a" = jaX...a)(ala...a).....(aX?^a) = a np p veces - Leyes cancelad vas: si a = b => a" = b n si a" = b" => j |a| = |b|sinespar a = b sin es impar s i a > 0 y b > 0 y a < b=»a n < b n s i a > 0 y b > 0 y a n < b n =>a < b RAICES Definición: Va = b si bn = a siendo n un número natural, n se llama índice, a se llama radicando y b, raíz Observaciones: - Cuando n es un número par, y a > 0 entonces existen dos valores que cumplen la condición de que al elevarlos a la n dan a: bn = a (-b)n = a En este caso, entendemos como Va al número positivo que elevado a la n da a. 31 MARIA INES CAVALLARO - Cuando n es un número par y a > 0, entonces no existe en los conjuntos numéricos conocidos, un número tal que elevado a una potencia par dé resultado negativo. EL NUMERO IRRACIONAL Todo número que no puede expresarse como cociente de dos enteros, se denomina irracional. Por ejemplo: Puede demostrarse, aunque excede a este curso, que la raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea exacta, es un irracional: V2, S , S , Vó, etc. EXPONENTE FRACCIONARIO Es una forma de escritura muy conveniente cuando trabaj amos con radicando positivos. Observación: cuando escribimos as/n queremos indicar Va s o bien (Va) que en el caso de que a sea positivo, son iguales PROPIEDADES DE LA RADICACION 1) La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta Vl6 + 9 = V25 = 5 V 2 5 - 1 6 = V9 = 3 Vl6 + V9 = 4 + 3 = 7 * 5 V25 - V¡~6 = 5 - 4 = 1 * 3 2) La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división (siempre y cuando existan las raíces de cada factor) Va • b = Va • Vb -JaJb - Va/Vb 3) Raíz de raíz: Ejemplo: ^64=^64= 2 siempre que existan Va y Vb 28 CONJUNTOS NUMERICOS Y OPERACIONES 4) Reducción de índice y exponente: si n es par n/ n si n es impar n 'a = a /a Si n es par n =a (con a)0 para que exista la raíz) si n es impar Ejemplos: (-3) 2 = V 9 = 3 V F = V9 = 3 V3? = V 2 7 = 3 V(-3)3 = V-27 = - 3 (Vi)' =22 = 4 (V-8)3 = (-2)3 = - 8 (que es el opuesto de -3) 33 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. IX Nro. 33, Septiembre de 1994 : ' í ¿ • r I; I S l l E l S í I por JUAN ANGEL FONCUBERTA FLUCTUACIONES Tiramos diez veces una moneda y obtuvimos: C + CC + CCC + C Supongamos que Pedro juega a "cara" y gana 1 $ si acierta y pierde 1$ en caso contrario. Podríamos calcular las sumas S, = 1 , S 2 = 0 , S 3 = 1 ; S 4 = 2, correspondientes a las cantidades que "está ganando". Llevemos el resultado a un gráfico: Si Pedro estuviese perdiendo, la poligonal "cruzaría" el eje hacia abajo. Después de diez tiros "estamos" en el punto (10,4). Puede llegarse al mismo resultado por otros caminos (Ejemplo: CCCCCCC+++). ¿Cuántos son los caminos que conducen desde el origen al punto (10,4) bajo la guía del azar representado en tiros sucesivos de una moneda? La respuesta es (10) b) \3J para las tres cruces entre 10 lugares o, de las siete caras) El total de caminos posibles es 210 (porque en cada tiro hay dos opciones). En consecuencia: LOS PROBLEMAS EN EL AULA 34 ("I Probabilidad de llegar a (10,4) = = 0,1175 Si simbolizamos con p el número de caras y con q el número de cruces tendremos, en nuestro ejemplo: p + q = 10 p-q=4 Si sumamos resulta p = 7 yq=3 En general tendremos: Prob.dellegara(p + q 5 p _q) F = T L £ J Problema: ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 tiros Pedro lleve una ventaja igual a 6? i 13 p + q = 20 p =13 Prob(20,6) = ^ / = 0,074 p-q=6 Observación: Pedro sacó 13 caras y 7 cruces. En un cierto número de tiros no es posible sacar cualquier ventaja. Por ejemplo, en 20 tiros no es posible una ventaja 5. Probabilidad de empate en n tiros En el gráfico 1, se produce un empate para n = 2. Se comprende que los empates pueden darse solamente si n es par. En caso de empate p - q= 0 y p + q = 2k. Empleando la fórmula anterior tendremos: U J p (2k,0) 22k Problema: ¿Cuál será la probabilidad de que Pedro esté empatado en el tiro 20? ¿y en el 30? PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA 35 La igualdad como función de los empates anteriores La fórmula anterior permite calcular la probabilidad de empate en determinado tiro, pero pueden haberse producido empates anteriores. Problema: ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca un empate en 2k=4 y luego en 2n = 10? 2n-2k Observación: A partir del empate en 4, comienza una nueva sucesión de longitud 6. Antes o después del empate en cuarto lugar, puede haber otros empates. El primer empate (o primer regreso al origen) Entre todos los empates interesa estudiar la probabilidad del primero. Si 2n = 10 el primer empate, una vez iniciado el juego puede darse para 2k = 2, 4,6,8,10. Con p 2k simbolizamos el primer empate en el lugar 2k. Entonces la probabilidad de empate en el lugar 2n puede analizarse así: probabilidad de primer empate en segundo lugar por la probabilidad de empate al finalizar el segmento restante de longitud (2n-2), más la probabilidad de primer empate en cuarto lugar por ..., es decir: e 2n = P2e 2 n - 2 +P 4 e 2 n _4+---+P 2 n e, Trataremos de calcular la probabilidad de que el primer empate se produzca en 2k - 2, 4, 6 ... Si e 2n es la probabilidad de empate en 2n y e2n_2 es la probabilidad en lugar (2n - 2), la probabilidad de primer empate en 2n estará dada por la diferencia: LOS PROBLEMAS EN EL AULA 36 — e P2n & 2n-2 (1) 2n Veamos si funciona un caso "cortito". Al tirar una moneda, la probabilidad de empate en 2 es 1/2 (de los casos CC, CX ,+C ,++ sólo hay empate si se da C+ o +C) Para e 4 , empleamos la fórmula W _ J 24 8 Según (1) la probabilidad de primer empate en cuarto lugar será: D P4 - e _ ee 4 2 =1-1=1 2 g 8 Si el lector construye el árbol correspondiente, verá que el resultado es correcto. Si desarrollamos (1) tendremos: 2n - 2 P2n = v y o2n-2 2n n (2n-2)! (2n)! 22" [(n-l)]222-2 [n!] 2 2 2 " (2n-2)!4n2-(2n)! (n!) 2 2 [n!] 2 2 2n 2n 1 2n - 1 (2n-2)!(2n) (2n)! 2 2n ( 2 n - l ) ( n ! ) 02 2n "2n Ejemplo: p2 P4 Pe Ps 0,5 0,125 0,0625 0,039 Pío 0,027 P40 0,003 Probabilidad de estar siempre deJ Jaño ganador eí cícuío atraerá la atención de muchas personas (políticos, deportistas, gerentes,... en fin... todos nosotros). Quizá nos veremos defraudados. 37 PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA Propiedad: R=(4,2) A 1 / 2 3 El número de caminos que tocan o cruzan el eje x partiendo de P para llegar a R es igual al número total de caminos que unen P' (simétrico de P con respecto al eje x) con R. En efecto, los caminos deP aRpasando por S o de P' a R pasando por S difieren sólo en los números de caminos de P a S y de P' a S que son iguales. 4 / P'=(l,-1) En el caso de la figura: n° de caminos que tocan o cruzan eje x = 1 n° total de caminos de P a R = 3 Los otros Caminos (P A —> B R y P - ^ A - ^ C - > R ) n o tocan el eje. Siguiendo estos caminos estamos siempre del lado ganador. Otro ejemplo: Para ir de (1,1) a (5,3) debemos lograr una ventaja de 2 caras en 4 tiros. Sólo es posible obteniendo 3 caras. El número de caminos posibles es: 2 3 4 5 El número de caminos que cortan o tocan el eje coincide con el número de caminos de (1,-1) a (5,3). En este caso p + q = 4 (número de tiros) y p - q=4 (ventaja entre 3 y -1). En consecuencia: p = 4 ; q = 0. Tendremos: número de caminos ganadores La conexión problema Nos gustaría recibir comentarios, críticas y sugerencias. En particular, soluciones al problema que proponemos, acompañadas de una descripción de los intentos, posibles errores y trampas. En la formación matemática es provechoso intentar la solución de problemas; aunque no lleguemos a la solución, la recompensa intelectual será grande. LOS PROBLEMAS EN EL AULA 38 Problema propuesto Se toman 10 palillos y se parten de modo tal que de cada palillo que de unaparte corta y una larga. Se mezclan y se reúnen al azar las partes formando pares. Hallar la probabilidad de que: a) los pares correspondan a la disposición original, b) cada parte larga se conecte con una corta. BIBLIOGRAFIA -FELLER, William: Introducción a la Teoría de Probabilidades y aplicaciones, Limusa. SECUENCIAS DE 100 TIRADAS CADA UNA secuencia 1 2 3 4 5 6 •7 8 9 10 11 12 13 14 15 cantidad empates 10 17 3 5 1 21 7 14 3 11 9 0 21 10 8 tiradas donde se dieron los empates 2 2 50 60 12 2 34 6 2 6 2 2 14 10 12 4 52 64 14 46 10 4 8 4 6 22 12 10 56 88 16 48 12 18 10 8 8 24 14 12 10 10 32 16 14 16 12 90 18 52 14 38 14 98 22 54 34 14 12 12 76 18 52 46 24 62 36 28 14 16 78 20 66 48 30 64 38 30 20 20 86 22 70 52 32 48 74 22 22 94 28 98 62 34 50 76 24 24 96 100 66 36 52 94 26 98 68 38 54 96 34 72 40 56 36 74 44 70 48 80 46 72 50 82 48 56 84 50 60 96 60 72 64 74 66 76 76 78 80 80 PROF. JUAN ANGEL FONCUBERTA CAMINATA AL AZAR 39 41 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. IX Nro. 33, Septiembre de 1994 i. v.; ü .. . : por L U C R E C I A DELIA La geometría nos permite plantear situaciones de interés que se resuelven por métodos algebraicos de modo que resultan situaciones realmente integradoras. Vamos a organizar la construcción de Tangramas diferentes al tangrama chino tradicional y, en cada caso, la propuesta didáctica intentará plantear problemas aritméticos relativos a las formas geométricas involucradas. PROBLEMA 1 La figura muestra el Tangrama de Lloyd: un cuadrado al que se han hecho algunos cortes para descomponerlo en 5 piezas. Para construirlo hay que marcar los pu ntos medios de los lados del cu adrado. Todos los segmentos tienen la dirección que pasa por un vértice y el punto medio de un lado. 1.-Dibujarlo sobre cartulina y recortar todas las piezas. ¿Qué otras figuras geométricas se pueden armar usando todas las piezas? ¿y usando menos? 2.- Explorar las formas y dimensiones de cada pieza. ¿Qué parte del cuadrado original es cada una? En la presente propuesta, la tarea apunta a un tratamiento intuitivo de las relaciones geométricas; esto es, ángulos y figuras congruentes, paralelas, perpendiculares, semejanza de triángulos se aceptan a partir de sencillas comprobaciones empíricas. Los alumnos actúan manipulando el material y llegan a formular observaciones acerca de las figuras, corroborándolas empíricamente. La pregunta final sobre las relaciones aritméticas entre cada parte y el cuadrado inicial tomado como unidad, admite igualmente una exploración a partir de la pieza más pequeña que está contenida un número exacto de veces en cada una de las otras. Este hecho se constata hallando la forma adecuada de PROPUESTA DIDACr: I - 42 organizar sucesivas superposiciones de la pieza más pequeña sobre las otras. En resumen, la VALIDACION es de un nivel pragmático. Su empleo por parte de los alumnos revela que los esquemas internos movilizados corresponden a un pensamiento operatorio concreto. Con el mismo diseño de Tangrama la propuesta puede ser otra. PROBLEMA 2 1. Analizar el diseño. ¿Hay segmentos paralelos? ¿Hay segmentos perpendiculares? Justificar en cada caso que lo son. 2. El cuadrado sobre el que se dibujó el tangrama tiene 10 cm de lado. Calcular el perímetro y la superficie de cada pieza. Justificar cada cálculo. 3. ¿ Qué parte del cuadrado original es cada pieza del Tangrama? En esta situación, se intenta provocar otro tipo de VALIDACION: la que consiste en formular argumentos que se articulen dentro de un sistema lógico. Pero aún aquí podemos diferenciar algunos matices. Imaginemos una forma de resolución. I o ) Poner letras a la figura. 2o) Decidir acerca de paralelismo de segmentos: Prolongar gQ hasta S. Prolongar q n hasta A. A zx A Comparar ABN, AMD y BCS. 1" AB = BC = AD P o r cuadrado ABCD. 2- AM = BN = SC P o r c u a d r a d o ABCD. ser ser lados del M, N y S p u n t o s m e d i o s d e los lados del 3- DAN = ABN = BCS = 90° P o r s e r ángulos del cuadrado. La VALIDACION de estas proposiciones tienen un carácter semántico. Si alguien sabe qué significa "ser cuadrado" o "ser punto medio", puede dar 43 LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS los argumentos que sostienen su veracidad. La afirmación que sigue constituye una VALIDACION diferente. A A A 4- Los triángulos ABN, AMD y BCS son congruentes, por tener dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, respectivamente congruentes. Para formular este argumento hay que conocer la estructura deductiva de los conocimientos geométricos. Hay que haber aceptado los criterios de congruencia de triángulos como herramientas eficaces de la deducción. La facilidad con que los alumnos usan argumentos de orden semántico y la dificultad con la que tropiezan para adueñarse de la herramienta deductiva, dan cuenta de la diferencia entre esquemas reflexivas en general y esquemas que requieren un dominio del pensamiento operatorio formal. Se trataría de una VALIDACION lógica. Continuemos con el proceso de resolución. 5- De la congruencia de los triángulos se infiere la congruencia de sus demás elementos (VALIDACION semántica) NÁB = SBC = ADM AÑB = BSC = AMD AN = BS = DN Los alumnos que sólo pueden acceder a una forma intuitiva de razonamiento, están dispuestos a aceptar estas últimas igualdades como verdaderas; para ellos, estas afirmaciones no se diferencian, desde el punto de vista lógico de las que les dan sustento (la I o , la2 o y la 3o) (VALIDACION intuitiva) A A 6- Del hecho de ser ABN y DAM, triángulos rectángulos resulta (VALIDACION semántica): AMD y ADM son complementarios SBC y ABS son complementarios 7- Como ADM y SBC son congruentes, deben serlo también AMD y ABS, que son sus complementarios. La reconstrucción de la estrategia de pensamiento admite más de una posibilidad. Puede argumentarse con observaciones directas sobre la figura VALIDACION intuitiva). Puede argumentarse sobre las operaciones que r. ay que realizar para obtener el complemento de cada ángulo (VALIDACION >emántica). Puede tenerse en cuenta un desarrollo deductivo de la geometría ; argumentar que existe una propiedad demostrada en una etapa anterior que se enuncia así: "Si dos ángulos son congruentes, sus complementos 44 PROPUESTA DIDACr: I - también lo son". Estamos en presencia de una nueva VALIDACION fundada en un criterio esencialmente lógico. 8. De la congruencia de AMD y ABS se infiere el paralelismo de OM y BS y los argumentos pueden revestir carácter intuitivo o semántico o lógico, como en el caso anterior. 3o) Decidir acerca de la perpendicularidad de segmentos. A A A A 1. Comparar AOM y ABN; BCS y BPN. Si la semejanza de los dos pares de triángulos, resulta de considerar la congruencia de ángulos ya establecida y de aplicar el criterio de semejanza adecuado, el tipo de argumentos que se formulan constituyen una VALIDACION lógica. ZX A 2. Comparar AOM y BPN Si la congruencia de este par de triángulos resulta de considerar relaciones previas entre lados y ángulos, además de aplicar algún criterio de congruencia, se repite una situación análoga a la anterior con respecto a la VALIDACION. 3. En virtud de los resultados que se obtienen al comparar triángulos aparece la justificación de la perpendicularidad de algunos pares de s e g m e n t o s : ON1BQ; ONJ.DO; RQJ.BQ. E n e s t e c a s o la VALI- DACION continúa presentándose en el plano de las argumentaciones lógicas. El ítem 2 del Problema 2 remite a situaciones de cálculo basadas en las propiedades de las figuras. Las argumentaciones se apoyan en la propiedad de Pitágoras y en el uso de la proporcionalidad de lados en figuras semejantes (VALIDACION lógica). Pero, en la medida en que algunas relaciones numéricas se infieren de otras, las argumentaciones vuelven a a parecer como VALIDACIONES semánticas; esto es, las argumentaciones se fundan en el significado de los signos que se usan en las formulaciones. Por ejemplo: ^ AM AD PN BN De = - = = l/2 — - med PN MD , = - = - obtenemos: BN 1 med BP V5/2 1 2/o ,Fpor sustitución de símbolos por otros que l/ tienen el mismo significado. 45 LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS j/2 Ahora, med BP = y med PN = V5/2 1/4 V5 5 ' 1 _2__ V | V5/2 ~ 4 ' V5 ~ 10 resultan de la aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones, que caracteriza con tal fuerza el comportamiento de los números involucrados que, prácticamente, su validación se organiza sobre el significado mismo de la proporcionalidad. En resumen: este análisis de los problemas propuestos tiende a mostrar que una actividad en el aula de matemática involucra: • procesos de acción (los alumnos exploran una situación, hacen observaciones, llegan a conclusiones, obtienen resultados...) • procesos de formulación (los alumnos escriben o explican sus procedimientos...) • procesos de validación (los alumnos argumentan para defender sus afirmaciones...) Pero se puso el énfasis en destacar le carácter de los procesos de validación porque se trata de lo que realmente importa desde el punto de vista de la matemática; es allí donde se puede establecer el tipo de organización de las ideas que posee cada alumno. El haber intentado diferenciar el carácter de algunos argumentos posibles, tuvo la intención de establecer la necesidad de que los alumnos dispongan del tiempo y el espacio para mostrar sus propios modos de validación y de que los profesores repriman la tentación de mostrar las "buenas razones". Las argumentaciones de los alumnos pueden progresar desde los niveles más intuitivos por la confrontación libre con las de sus pares. Que el profesor exponga argumentos lógicos no garantiza la interiorización de esquemas de pensamiento más evolucionados. La autoridad del profesor provoca la imitación exenta de reflexión crítica. Su papel consiste en estar atento a las argumentaciones de los alumnos para señalar acuerdos o discrepancias, organizar el desarrollo de las confrontaciones que se produzcan, promover con su intervención una reconsideración de los argumentos, hacer que los alumnos tomen conciencia de formulaciones incoherentes o contradictorias. Este es el contenido básico de un quehacer matemático y los alumnos tendrán oportunidad de progresar en el carácter de sus razonamientos en la medida de que puedan interactuar exponiendo sus esquemas personales de VALIDACION. Ü 46 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol IX, Nro. 33, Septiember de 1994 por ELENA I. GARCIA Los recursos informáticos. Cuando comenzamos con esta sección en la revista "Elementos de Matemática" elegimos el nombre "La Computación como recurso", convencidos que las computadoras podrían ser una herramienta valiosa para la renovación metodológica y curricular de las distintas asignaturas que se dictan en la escuela media, y en especial de la Matemática. No por la computadora en sí misma sino porque las nuevas tecnologías informáticas estaban cambiando la forma de "tratar" la información. Transcurridos ocho años desde aquel comienzo se han producido importantes cambios. Los equipos (hardware) han evolucionado significativamente, aumentando la velocidad de procesamiento, disminuyendo el costo y sobre todo mejorando de manera notable los periféricos; las nuevas interfases permiten replantear las formas tradicionales de guardar, consultar y trabajar con información ya no solo textual, sino también gráfica y sonora. Los cambios también se dieron en software, los ambientes de trabajo son más amigables y dúctiles, permitiendo ampliar el espectro de usuarios, acortando el período de aprestamiento y reduciendo significativamente las dificultades para las operaciones básicas. Pero qué pasa en las escuelas?. Hoy casi todos los establecimientos educacionales de las ciudades de nuestro país cuentan con aulas o gabinetes informáticos, algunos modestos, otros muy bien equipados, pero las computadoras ya están en la escuela. Un número importante de alumnos sabe operar con las herramientas informáticas básicas, ya sea a partir de cursos impartidos en las escuelas en talleres extraprogramáticos o en algunas asignaturas especiales o fuera de la escuela: en sus hogares, academias, clubes, etc. Es también importante la cantidad de docentes que recibió alguna capacitación informática, pero es significativamente menor la cantidad de docentes que utilizan cotidianamente las nuevas tecnologías para el dictado de sus clases. Cabe preguntarse cuáles son las razones para que esto sea así.El equipamiento disponible puede ser un impedimento: escuelas con cientos de PROF. ELENA I. GARCIA 47 alumnos y sólo una decena de computadoras; diversidad de equipos y software que obliga a los docentes a realizar una planificación casi personalizada de las actividades aumentando y entorpeciendo su tarea. Otro problema frecuente es que la ausencia, en algunas jurisdicciones, de un proyecto informático claro deviene en inversiones aisladas para equipamiento pero sin resolver los problemas de mantenimiento y actualización del mismo. Y por sobre todo, falta de recursos para capacitación docente y para la implementación de actividades que tengan continuidad y estén dentro de un proyecto pedagógico coherente. Sin desconocer estos inconvenientes creo que existe otro problema de fondo que hace que, aún en instituciones con estos inconvenientes resueltos, la incorporación de las nuevas tecnologías no incida en un mejoramiento sustancial de la educación. Observemos por ejemplo que pasa en el área de Matemática. En general el uso de herramientas computacionales se limita a la confección de tablas y gráficos con planillas de cálculo, algunos problemas de simulación, y ai uso de muy pocos programas específicos. Si bien todas estas aplicaciones cubren las expectativas en lo que podríamos llamar fase de alfabetización informática, es evidente que no logran satisfacer las reales expectativas de docentes y alumnos; y esto se percibe, porque conseguido este nivel de actividades se entra en una meseta. Meseta donde el interés y el entusiasmo en lugar de incrementarse parecen disminuir, no se renuevan contenidos y sobre todo no se mejora la calidad de la educación. El rendimiento final parece ser el mismo, se usen o no nuevas tecnologías. A mi entender no se sale de esta meseta si no se formulan nuevas competencias, si no se seleccionan otros contenidos, si no se cambia la forma de concebir el aprender y el enseñar. Las nuevas tecnologías de la información y la comunicación están produciendo cambios profundos, estructurales, en todos los ámbitos sociales, están modificando los escenarios del trabajo, la cultura, las finanzas. La vida cotidiana de las personas se ve afectada por estos cambios y la escuela no puede permanecer ajena o indiferente a esta realidad. Las nuevas competencias. Entre las competencias que desde hace tiempo la escuela reconoce como necesarias en la formación de los futuros ciudadanos podemos mencionar -sin que el orden en la enumeración signifique prioridad alguna en la valorización de las mismas- las siguientes: