Problema de Dinámica de sistemas. 19 de Septiembre 95 Sea un disco homogéneo de masa m y radio R que se mueve en un plano vertical. Sea Oxy una referencia cartesiana rectangular del mismo en la que Oy es la vertical ascendente y el eje Ox es un suelo rugoso con coeficiente de rozamiento al deslizamiento del disco f . El disco se mueve sobre el suelo sin poderse despegar. Para fijar la posición del mismo se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i) la coordenada cartesiana x de su centro de masas, ii) el ángulo ϕ que forma el radio que inicialmente está en contacto con el suelo con la vertical descendente (VER FIGURA 1). Inicialmente el disco se encuentra en reposo en la posición x = 0, ϕ = 0 y se aplica sobre el punto de coordenada x más negativa del mismo una percusión de valor P (cos α~ı − sin α ~) (VER FIGURA 2). 1) Supongamos que en la etapa de percusión el disco no puede deslizar; se pide: a) Escribir la condición cinemática de no deslizamiento. b) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ0 (α), ϕ̇0 (α). c) Hallar las percusiones sobre el disco en el punto de contacto. d) Comprobar cuando es válida la hipótesis de no deslizamiento y expresar la misma mediante una relación del tipo f ≥ Φ(α). e) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión. 2) Supongamos que en la etapa de percusión hay deslizamiento (f < Φ(α)); se pide: a) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ0 (f, α), ϕ̇0 (f, α). b) Calcular la velocidad de deslizamiento del disco a la salida de la percusión y comprobar su compatibilidad con el resultado de 1.(d). c) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión. d) Determinar el instante (t∗ ) en que se termina el deslizamiento. e) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento para t > t∗ . y y x G 2 P ϕ 1 α x x O O PROBLEMA DE DINÁMICA DE SISTEMAS SEPTIEMBRE 95 SOLUCIÓN 1.a) Ver Figura 2. Se denomina: sólido 2: al disco sólido 1: al sistema de referencia inercial fijo al suelo. Sean las siguientes coordenadas generalizadas: ξ: la coordenada cartesiana x de G en 1 ϕ: el ángulo que forma un radio fijo al disco con la vertical descendente. Si llamamos I al punto de contacto de ambos sólidos, la velocidad de deslizamiento del sólido 2 con respecto al sólido 1 es: ˙ı + ϕ̇~k ∧ −R~ = (ξ˙ + Rϕ̇)~ı v̄ I = v̄ G + ω̄21 ∧ GI = ξ~ 21 21 Para que no haya deslizamiento dicha velocidad debe ser nula. Por tanto se tiene: ξ˙ + Rϕ̇ = 0 (1) 1.b) 1.c) Ecuaciones de la Dinámica Impulsiva en Mecánica newtoniana (α ∈]0, π2 [): y P cos α P sin α H O x V Figura 1: Esquema de Percusiones sobre el disco Las condiciones iniciales en velocidades generalizadas son nulas (reposo). X G P̄ext = m∆v̄21 ⇒ P cos α − H = m ξ˙0 (2) −P sin α + V (3) X M̄GPext = ∆H̄G ⇒ =0 1 P R sin α − H R = mR2 ϕ̇0 2 (4) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1, 2-4), la primera particularizada a la salida de la percusión, se tiene: 2P ξ˙0 = (cos α − sin α) 3m 2P ϕ̇0 = (sin α − cos α) 3mR P H = (cos α + 2 sin α) 3 V = P sin α π ⇒ Sale para atrás 4 π Si α > ⇒ Gira a izquierdas 4 Si α > 1.d) La hipótesis de Coulomb/Morin para el rozamiento cuando no hay deslizamiento impone la siguiente condición: |2 sin α + cos α| α∈]0, π2 [ 2 1 |H| ≤ f |V | ⇒ f ≥ = + |3 sin α| 3 3 tan α 1.e) Planteando las ecuaciones de la Dinámica Newtoniana: y ξ G 2 mg ϕ 1 FR I N O x Figura 2: Posición genérica del disco con su esquema de fuerzas X F̄ext = m G dv̄21 dt ⇒ = m ξ¨ −FR N − mg = 0 X M̄GFext = dH̄G dt ⇒ = −FR R 1 mR2 ϕ̈ 2 (5) (6) (7) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1,5-7), con condiciones iniciales en coordenadas generalizadas nulas y con las velocidades generalizadas a la salida de la percusión, se tiene: ξ¨ = 0 ⇒ ϕ̈ = 0 ⇒ N(t) = mg FR (t) = 0 ξ˙ = ξ˙0 ϕ̇= ϕ̇0 ⇒ ⇒ ξ(t) = ξ˙0 t ϕ(t) = ϕ̇0 t < f mg = f N(t) (COMPROBADA LA HIPÓTESIS) 2.a) Ecuaciones para percusiones en Mecánica newtoniana (ver Figura 1): X G P̄ext = m∆v̄21 ⇒ P cos α − H = m ξ˙0 X (9) −P sin α + V M̄GPext = ∆H̄G ⇒ (8) =0 1 P R sin α − HR = mR2 ϕ̇0 2 (10) La hipótesis de Coulomb/Morin para el rozamiento cuando hay deslizamiento introduce la ecuación adicional siguiente: (HIPÓTESIS H > 0, V > 0) |H| = f |V | ⇒ H = fV (11) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (8-11) se tiene: P ξ˙0 = (cos α − f sin α) m 2P ϕ̇0 = (1 − f ) sin α mR H = f P sin α > 0 (COMPROBADA LA HIPÓTESIS) V = P sin α > 0 (COMPROBADA LA HIPÓTESIS) Si f > cot α ⇒ Sale para atrás 2.b) La velocidad de deslizamiento a la salida de la percusión es: P I (v̄21 )0 = (ξ˙0 + Rϕ̇0 )~ı = [cos α + (2 − 3f ) sin α]~ı m I Para que exista deslizamiento |(v̄21 )0 | > 0; en nuestro caso, por ser H > 0, debería ser I (v̄21 )0 ·~ı > 0, lo que implica: 1 2 (0 <)f < + 3 3 tan α Lo que significa que tenemos la condición opuesta a la deducida en 1.d). 2.c) Planteando las ecuaciones de la Dinámica Newtoniana (ver Figura 2): X F̄ext = m G dv̄21 dt ⇒ −FR = m ξ¨ (12) (13) N − mg = 0 X M̄GFext = dH̄G dt ⇒ −FR R = 1 mR2 ϕ̈ 2 (14) La hipótesis de Coulomb/Morin con deslizamiento es: |FR | = f |N| (HIPÓTESIS FR > 0, N > 0) ⇒ FR = f N Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (12-15) se tiene: (15) ξ¨ = −f g ⇒ 2f g ⇒ R N(t) = mg > 0 ϕ̈ = − FR (t) = f mg ξ˙ f gt2 + ξ˙0 t 2 2f gt f gt2 ϕ̇ = − + ϕ̇0 ⇒ ϕ(t) = − + ϕ̇0 t R R (COMPROBADA LA HIPÓTESIS) = − f gt + ξ˙0 > 0 ⇒ ξ(t) = − (COMPROBADA LA HIPÓTESIS) I 2.d) El instante en el que se termina el deslizamiento será aquel en el que |v̄21 (t∗ )| = 0, con lo que se tendrá: I ˙ ∗ ) + Rϕ̇(t∗ )| = | − f gt∗ + ξ0 − 2f gt∗ + Rϕ̇0 | = 0 ⇒ |v̄21 (t∗ )| = |ξ(t ξ˙0 + Rϕ̇0 P [cos α + (2 − 3f ) sin α] t∗ = = 3f g 3f gm (16) 2.e) Las ecuaciones que rigen en esta fase son idénticas a las del apartado 1.e), luego su solución general es la misma y lo que varían son las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales serán las del instante de no deslizamiento (??): f g(t∗ )2 + ξ˙0 t∗ 2 ∗ 2 f g(t ) + ϕ̇0 t∗ ϕ(t∗ ) = − R ˙ ∗ ) = P [ 2 cos α − 2(1 − f ) sin α] ξ(t m 3 4P ϕ̇(t∗ ) = (sin α − cos α) 9mR ξ(t∗ ) = − y la solución es: ˙ = ξ(t ˙ ∗ ) (t − t∗ ) + ξ(t∗ ) ξ(t) ϕ̇(t) = ϕ̇(t∗ ) (t − t∗ ) + ϕ(t∗ ) N(t) = mg FR (t) = 0 < f mg = f N(t) (COMPROBADA LA HIPÓTESIS)