Problema 18

18.- La empresa PapelGraf, S.L. produce dos tipos de papel para impresora: Papel
corriente y papel reciclado. El proceso de producción de papel reciclado es el doble de
costoso que el de papel corriente, costando este último 2 u.m. por kg. de papel
producido, y el presupuesto diario que tiene la empresa es de 50 u.m.
Además, el proceso de producción de ambos tipos de papel requiere de la utilización de
dos máquinas distintas, teniendo limitados los tiempos de utilización diaria de cada
máquina según la siguiente tabla:
Máquina I
Papel Corriente
Máquina II
2
1
30
Papel Reciclado
Máximo dispon.
3
3
60
Dadas estas condiciones, el empresario nos plantea los siguientes deseos, según niveles
de importancia:
Primero: Obtener un beneficio, como mínimo, de 80 u.m., sabiendo que cada kg de
papel corriente le genera un beneficio unitario de 8 u.m. y cada kg de papel reciclado de
4 u.m.
Segundo: Desea que el coste de la producción no supere el 90% del presupuesto diario
de 50 u.m.
Tercero: Puesto que este empresario pertenece a la ONG por la conservación de los
bosques, desea que la fabricación de papel reciclado en su empresa supere a la
fabricación de papel corriente.
a) Formule el modelo de Programación por Metas Lexicográficas apropiado a los
deseos de la empresa para obtener , e indique el problema a resolver en cada
nivel.
b) ¿Fabricar 6 kgs de papel corriente y 8 kgs de papel reciclado al día satisface todos
los deseos del empresario? ¿Por qué?
c) ¿Cómo se llaman a las soluciones de un problema de Programación por Metas?
¿Son también soluciones eficientes?
Solución:
a) Denominamos x1 a los kg. de papel corriente y x2 a los kg. de papel reciclado.
Sabiendo que el proceso de producción de papel reciclado es el doble de costoso que el
de papel corriente, costando este último 2 u.m. por kg. de papel producido, tenemos
que:
Coste: 2x1 + 4x2
También sabemos que el presupuesto diario que tiene la empresa es de 50 u.m.,
por tanto, tenemos la siguiente restricción:
2x1 + 4x2 ≤ 50
Teniendo en cuenta las limitaciones de los tiempos de utilización diaria de cada
máquina tenemos las siguientes restricciones:
Máquina I:
2x1 + x2 ≤ 30
Máquina II: 3x1 + 3x2 ≤ 60
Primer nivel de prioridad: Obtener un beneficio, como mínimo, de 80 u.m., sabiendo
que cada kg de papel corriente le genera un beneficio unitario de 8 u.m. y cada kg de
papel reciclado de 4 u.m.
La meta será:
8x1 + 4x2 ≥ 80
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
8x1 + 4x2 + n1 – p1 = 80
la variable no deseada es n1, y la función de realización será: h1(n1, p1) = n1
Segundo nivel de prioridad: Desea que el coste de la producción no supere el 90% del
presupuesto diario de 50 u.m. La meta será:
2x1 + 4x2 ≤ 45
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
2x1 + 4x2 + n2 – p2 = 45
la variable no deseada es p2, y la función de realización será: h2(n2, p2) = p2
Tercer nivel de prioridad: Puesto que este empresario pertenece a la ONG por la
conservación de los bosques, desea que la fabricación de papel reciclado en su empresa
supere a la fabricación de papel corriente. La meta será:
x1 ≤ x2
Æ
x1 – x2 ≤ 0
tras introducir las correspondientes variables de desviación tenemos que:
x1 – x2 + n3 – p3 = 0
la variable no deseada es p3, y la función de realización será: h3(n3, p3) = p3
En estas condiciones el problema de programación por metas a resolver es:
Lexmin { n1, p2, p3 }
s.a.
2x1 + 4x2 ≤ 50
2x1 + x2 ≤ 30
3x1 + 3x2 ≤ 60
8x1 + 4x2 + n1 – p1 = 80
2x1 + 4x2 + n2 – p2 = 45
x1 – x2 + n3 – p3 = 0
x1, x2, ni, pi ≥ 0 i = 1, 2, 3
Nivel 1:
Min n1
s.a.
2x1 + 4x2 ≤ 50
2x1 + x2 ≤ 30
3x1 + 3x2 ≤ 60
8x1 + 4x2 + n1 – p1 = 80
x1, x2, n1, p1 ≥ 0
Nivel 2:
Min p2
s.a.
2x1 + 4x2 ≤ 50
2x1 + x2 ≤ 30
3x1 + 3x2 ≤ 60
8x1 + 4x2 + n1 – p1 = 80
n1 = 0
2x1 + 4x2 + n2 – p2 = 45
x1, x2, n1, p1, n2, p2 ≥ 0
Nivel 3:
Min p3
s.a.
2x1 + 4x2 ≤ 50
2x1 + x2 ≤ 30
3x1 + 3x2 ≤ 60
8x1 + 4x2 + n1 – p1 = 80
n1 = 0
2x1 + 4x2 + n2 – p2 = 45
p2 = 0
x1 – x2 + n3 – p3 = 0
x1, x2, x3, n1, p1, n2, p2 , n3, p3 ≥ 0
b) Para que el punto (6, 8) sea solución satisfactoria, debe verificar todas las
restricciones del problema y además satisfacer las metas. Comprobémoslo,
sustituyéndolas en dicho punto.
Restricciones del problema:
12 + 32 = 44 ≤ 50
12 + 8 = 20 ≤ 30
18 + 24 = 42 ≤ 60
Primera meta:
48 + 32 = 80 ≥ 80
Segunda meta:
12 + 32 = 44 ≤ 45
Tercera meta:
6–8=-2 ≤ 0
Puesto que se ha comprobado que el punto (6, 8) verifica todas las restricciones del
problema y además satisface las metas, podemos afirmar que es solución satisfactoria.
c) Son soluciones satisfacientes y no tienen por qué ser eficientes.