Guia II-funciones-medicina

Universidad de Talca
Instituto de Matemática y Fı́sica
Medicina
Matemática
Guı́a 2 - Funciones
1. En un estudio de ayuno, el peso de un voluntario bajó de 90 Kg a 60 Kg en 60 dı́as. Si el
peso se elimina siguiendo el modelo de decaimiento exponencial:
N = N (t) = N0 e−kt
donde, t está medido en dı́as, N0 peso inicial del voluntario, medido en kilos, N peso del
voluntario, después de t dı́as iniciado el experimento y k es la constante de eliminación.
(a) Encontrar la función que modela el problema.
(b) Graficar la función obtenida.
(c) ¿Cuál era el peso del voluntario un mes después de haber iniciado el tratamiento?.
(d) Por cuánto tiempo es conveniente realizar el estudio de ayuno, sin perjudicar la salud
del voluntario, si lo mı́nimo que puede llegar a pesar es 50 kg.
2. La cantidad de calcio que permanece en la sangre, después de t dı́as de inyectar calcio al
torrente sanguı́neo, está dada por:
C = C(t) = t−3/2 , t ≥ 0, 5
donde C está medido en gramos.
(a) Graficar esta función.
(b) ¿Cuántos gramos de calcio permanecen en la sangre después de 18 horas?.
(c) ¿En qué instante, la concentración de calcio en la sangre alcanzará 0, 2 gramos?.
3. La frecuencia cardı́aca (f ) se relaciona con la longitud del ciclo (l) de la siguiente manera:
f=
1
l
donde la frecuencia cardı́aca esta medida en latidos/min y la longitud del ciclo es el tiempo
entre una onda y otra.
Determinar:
(a) Un gráfico adecuado de la función, que representa el problema.
(b) Si la longitud del ciclo es de 0.8 seg, ¿cuál es la frecuencia cardı́aca?.
(c) Si la frecuencia cardı́aca es de 90 latidos/min, ¿cuál es la longitud del ciclo?.
(d) Al observar el gráfico, ¿qué ocurre con la frecuencia cardı́aca cuando la longitud del
ciclo aumenta considerablemente?, y ¿qué ocurre con la frecuencia cardı́aca cuando la
longitud del ciclo es cada vez más pequeña?.
n
4. Una ley de curación de las heridas es A = Be− 10 , siendo A (en cm2 ) el área dañada después
de n dı́as, y B (en cm2 ) el área original dañada. Hallar el número de dı́as necesarios para
reducir a su tercera parte el área dañada.
5. Al inyectar un determinado fármaco a una rata de laboratorio se observa que el animal
presenta variaciones de temperatura en su sistema interno. Se logra establecer que dichas
variaciones de temperatura, en grados Celsius, se modelan mediante la función
f (x) = 3 −
1
sin(2x − π)
2
dónde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el fármaco (en minutos).
(a) Graficar la función f indicando amplitud, perı́odo y desplazamiento de fase
(b) A partir de la gráfica, indique información relevante del problema.
6. La marea en una playa subió a media noche. El nivel del agua durante la marea alta fue de
9.9 pies, más tarde, en la marea baja, fue de 0, 1 pies. Suponiendo que la siguiente marea
alta fuera exactamente 12 horas después y que la altura del agua está dada por una curva de
seno o coseno. Hallar una función del tipo
y = g(x) = A cos(B t) + C
para modelar el nivel del agua como función del tiempo.
7. El modelo de Ehrenberg ln(w) = ln(2, 4) + 1, 8h es una fórmula empı́rica que relaciona la
estatura h, en metros, con el peso promedio w, en kilogramos, para niños de 5 a 13 años de
edad. Determine:
(a) Exprese w como función de h, que no contenga logaritmo.
(b) Estime el peso promedio de un niño de 8 años de 1, 5 m de altura.
8. Suponga que la concentración de nitrógeno en un lago muestra un comportamiento periódico.
Es decir, si se denomina C(t)
de nitrógeno en el instnate t, entonces se su
�
� a la concentración
πt π
pone que C(t) = 6 − 5 cos
+
, 0 ≤ t ≤ 25.
10 2
(a) Graficar C(t).
(b) ¿Cuál es la concentración máxima y mı́nima de nitrógeno en un lago?.
(c) ¿Cuándo alcanza C(t) un máximo y un mı́nimo?
9. Los terremotos son medidos en la escala de Richter, expresados en términos de una magnitud
variable R. La intensidad I de las vibraciones que produce un terremoto es una función
exponencial con base b = 10 de la escala Richter de magnitud R.
(a) Demuestre que la magnitud R satisface la ecuación
� �
I
R = log
I0
donde I0 es la intensidad de las vibraciones normales de la tierra que corresponden a
R0 = 0.
(b) ¿Cuánto más grande es la intensidad de un terremoto grado 8.8 (Chile) en escala Richter
a uno de grado 9.0 (Japón) en la misma escala?
10. Modelo de crecimiento logı́stico
Principio: Una población de tamaño P crece a una tasa que es proporcional al producto del
tamaño de dicha población con la diferencia entre el tamaño máximo posible de la población
y el tamaño de dicha población.
Luego, si P = P (t) representa el número de individuos de una determinada población en el
tiempo t, entonces la función que modela esta situación es:
P (t) =
1+
�
M
M −P0
P0
�
e−kt
donde P = P0 en t = 0. M representa el máximo número de individuos que la población
puede alcanzar y k es una constante positiva que depende de la situación en estudio.
Ejercicio: En un colegio que cuenta con 130 alumnos se detecta en cierto dı́a un brote de
influenza que afecta a 20 niños. Por recomendación de las autoridades sanitarias se fija el
siguiente criterio: si en 5 dı́as a partir de la detección, se presentan 20 casos más, entonces la
escuela se debe declarar en cuarentena. Pasados 2 dı́as desde que se detectó el virus, 5 niños
más presentan la enfermedad. Suponga que la enfermedad se propaga de forma directamente
proporcional al número de niños sanos y enfermos, y además que se trata de un sistema
aislado, es decir, considere que la población total permanece constante y que todos los niños
se encuentran en contacto unos con otros. ¿Será necesario que la escuela declare estado de
cuarentena?
11. Ley de enfriamiento de Newton
Este modelo permite conocer como evoluciona la temperatura de un objeto.
Principio: La razón de cambio de la temperatura T = T (t) de un cuerpo con respecto al
tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura
tm del medio ambiente. Luego, si T = T (t) representa la temperatura de un cuerpo en el
instante t, entonces la función que modela esta situacióon es:
T = T (t) = tm + (t0 − tm )e−kt
donde t0 es la temperatura inicial del cuerpo (es decir, cuando t = 0), tm es la temperatura
del medio ambiente y k es una constante positiva que depende de la situación en estudio.
Ejercicio: Un ganadero salió una tarde a cazar un lobo solitario que estaba diezmando
su rebaño. El cuerpo del ganadero fue encontrado sin vida por un campesino, en un cerro
cerca del rancho junto al animal cazado, a las 6 : 00 h del dı́a siguiente. Un médico forense
llegó a las 7 : 00 y tomó la temperatura del cadáver, a esa hora anotó 23◦ C; una hora más
tarde, al darse cuenta de que en la noche, y aún a esas horas, la temperatura ambiente era
aproximadamente de 5◦ C, el médico volvió a medir la temperatura corporal del cadáver y
observó que era de 18.5◦ C. ¿A qué hora murió el ganadero aproximadamente? (considere
que la temperatura normal de un humano es de 36 grados Celsius).
12. Asumiendo que el crecimiento de una población de bacterias es proporcional al número N (t)
de bacterias presente en cada instante t, es posible obtener un modelo exponencial de la
forma N (t) = N0 ekt , donde N0 es la cantidad inicial de bacterias y k una constante positiva.
(a) Haga un esquema tamaño poblacional = f (tiempo) de acuerdo al modelo indicado.
(b) Si el número inicial de bacterias se duplica en 8 horas, ¿qué número de ellas cabrı́a
esperar al cabo de 24 horas?.
(c) Si al cabo de 3 horas hay 20.749 bacterias y en 6 horas hay 26.909 bacterias, ¿cuál fue
el número inicial de la colonia en estudio?.
13. Una medida de comunidad que tiene en cuenta tanto la abundancia como la riqueza de las
especies es el ı́ndice de diversidad de Shannon, H. Para calcularlo, se utiliza la proporción
pi de especies i en la comunidad. Suponga que la comunidad consta de S especies. Entonces
H = −(p1 ln p1 + p2 ln p2 + · · · + ps ln ps )
(a) Suponga que S = 5 y que todas las especies son igualmente abundantes. Es decir,
p1 = p2 = · · · = p5 . Calcule H.
(b) Suponga que S = 10 y que todas las especies son igualmente abundantes. Es decir,
p1 = p2 = · · · = p10 . Calcule H.
(c) Si se puede definir una medida de equidad en la distribución de las especies dividiendo
el ı́ndice de diversidad H por ln S. Calcule esta medida para S = 5 y S = 10.
(d) Demuestre que, en general, si hay N especies y todas ellas son igualmente abundantes,
entonces
H
=1
ln S
14. Las enzimas sirven como catalizadores en muchas reacciones quı́micas de los seres vivientes.
En las reacciones más simples se transforma en un único substrato en un producto mediante
la ayuda de una enzima. La ecuación de Michaelis-Menten describe la velocidad inicial de
este tipo de reacciones controladas por enzimas. Dicha ecuación relaciona la velocidad inicial
de la reacción (v0 ) con la concentración del substrato (s0 ):
v0 =
vmax s0
s0 + Km
sinedo vmax la velocidad máxima a la que se puede formar el producto y Km la constante de
Michaelis-Menten. Nótese esta ecuación tiene la misma forma que la función de crecimiento
de Monod.
Demuestre que la ecuación de Michaelis-Menten se puede escribir de la forma
1
Km 1
1
=
+
v0
vmax s0 vmax
Esta expresión se conoce como la ecuación de Lineweaver-Burk y expresa que existe una
relación lineal entre 1/v0 y 1/s0 .
15. La absorción de luz en una columna de agua uniforme sigue una ley exponencial. Es decir la
intensidad I(z) en función de la profundidad es:
I(z) = I0 e−αz
siendo I0 la intensidad de la superficie (es decir, cuando z = 0) y α el coeficiente de atenuación
vertical (se supone α es constante; en realidad, α depende de la longitud de onda de la luz
que penetra en la superficie).
(a) Suponga que el 10% de la luz se absorbe en el primer metro. Calcule α. ¿En qué
unidades se mide α?.
(b) ¿Qué porcentaje de la intensidad restante tras el primer metro se absorbe en el segundo
metro?. ¿Qué porcentaje de la intensidad restante tras el segundo metro se absorbe en
el tercer metro?
(c) ¿Qué porcentaje de la intensidad inicial queda en 1 metro, 2 metros y 3 metros.
(d) Dibuje la intensidad de la luz como porcentaje de la intensidad de la superficie, en una
gráfica lineal y en una gráfica semilogarı́tmica.
(e) Relacione la pendiente de la curva en la gráfica semilogarı́tmica con el coeficiente de
atenuación α.
16. Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia afuera a una
velocidad de 60 cm/s.
(a) Exprese el radio r de este cı́rculo como función del tiempo t (en segundos).
(b) Si A es el área de este cı́rculo como función del radio, encuentre A ◦ r e interprétela.
17. En un bosque un depredador se alimenta de su presa y, para las primeras 15 semanas a partir
del fin de la temporada de caza, la población de depredadores es una función f de x, donde
x es el número de presas en el bosque el cual, a su vez, es una función g de t, donde t es el
número de semanas que han pasado desde el fin de la temporada de caza.
1
Si f (x) = x2 − 2x + 50 y g(t) = 4t + 52, donde 0 ≤ t ≤ 15, haga lo siguiente:
48
(a) Encuentre un modelo matemático que exprese la población de depredadores como
función del número de semanas a partir del fin de la temporada de caza.
(b) Determine la población de depredadores 11 semanas después del cierre de la temporada
de caza.
18. Una compañı́a de seguros examinó los historiales de un grupo de personas hospitalizadas por
una cierta enfermedad. Se descubrió que la proporción total de los que habı́an sido dado de
alta al final de t dı́as de hospitalización está dado por f (t), en donde
f (t) = 1 −
�
300
300 + t
�3
(a) Evaluar f (0) y f (100)
(b) ¿Al final de cuántos dı́as dado de alta a la mitad de los pacientes?
19. Durante un programa nacional para inmunizar a la población contra el sarampión, los funcionarios del ministerio de salud, encontraron que los costos de inoculación del x% de la
población era aproximadamente de:
C = C(x) =
donde C viene expresado en millones de dólares.
150x
200 − x
(a) Graficar la función y especificar la porción del gráfico que es importante para la situación
concreta considerada.
(b) ¿Cuál es el costo para inocular al 75% de la población?.
(c) Si sólo se cuenta con 50 millones de dólares, ¿qué porcentaje de la población se lograrı́a
inmunizar?.
(d) ¿Cuánto dinero se requiere para inmunizar al 100% de la población?.
20. Si la relación entre concentración de plomo y hemoglobina viene dada por: f (x) = 15 − 0, 1 ·
x, donde x es la concentración de plomo y f (x) es la hemoglobina probable. ¿Cuál es la
concentración de hemoglobina si la de plomo es de 20 mg/100 ml?.
21. Suponga que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo t, está dado por y =
−0, 2 · t2 + 6 · t donde t está medido en semanas. Con este enunciado conteste las siguientes
preguntas:
(a) Grafique la curva que representa el crecimiento del tumor.
(b) ¿Cuánto pesa el tumor después de 5 semanas?
(c) ¿Cuál es la variación del peso del tumor entre la cuarta y quinta semana?
(d) ¿En qué semana alcanza su máximo peso?
(e) ¿Cuántos gramos, como máximo, puede llegar a pesar el tumor?.
(f) Si cuando el tumor alcanza su máximo peso, el paciente es internado de urgencia en la
UTI, y es sometido a un tratamiento para disminuir el peso del tumor. ¿Cuánto tiempo
demora en desaparecer el tumor después de aplicado el tratamiento?.
22. Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones
médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente
automovilı́stico puede ser modelado mediante la ecuación:
R = 6ekx
donde x es la concentración de alcohol en la sangre y k una constante.
(a) Al suponer una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%
(R = 10) de sufrir un accidente, ¿cuál es el valor de la constante k?.
(b) Utilizar el valor encontrado de k e indicar cuál es el riesgo para diferentes concentraciones de alcohol (0.17 y 0.19).
(c) Con el mismo valor de k indicar la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo
del 100%.
(d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir un accidente
no deben conducir vehı́culos, ¿con cuál concentración de alcohol en la sangre debe un
conductor ser arrestado y multado?.
23. Se ha encontrado que el oı́do humano responde al sonido en una escala que es, aproximadamente, proporcional al logaritmo (en base 10) de la intensidad del sonido. Ası́, la altura del
sonido, medida en decibeles (dB), viene definida por la siguiente relación:
� �
I
b = 10 log
I0
donde I es la intensidad (altura) del sonido e I0 es la mı́nima intensidad detectable (umbral
auditivo).
(a) ¿Qué altura tiene el sonido, si su intensidad es el triple que la mı́nima detectable?
(b) ¿Cuántas veces la mı́nima intensidad detectable, es la intensidad de un avión a chorro
que tiene una altura del sonido de 110 dB?
(c) Una calle congestionada tiene una altura del sonido de 70 dB, y una remachadora tiene
una de 100 dB. ¿Cuántas veces mayor es la intensidad del sonido Ir de la remachadora
que el sonido de la calle congestionada, Ic ?
24. La función de crecimiento de Monod modela el crecimiento como función de la concentración
de nutrientes N . Suponga que
r(N ) = 5
N
,N ≤0
1+N
Obtenga el incremento de porcentaje cuando se dobla la concentración de nutrientes desde
N = 0.1 hasta N = 0.2. Compare esto con lo que haya descubierto al doblar la concentración
de nutrientes de N = 10 a N = 20. Esto es un ejemplo de lo que se conoce como retorno en
disminución.
25. Un estudio sobre prevención de enfermedades broncopulmonares, sugiere que el nivel medio
diario de monóxido de carbono en el aire será c(p) = 0.5p + 1 partes por millón cuando la
población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será
p(t) = 10 + 0.1t2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como función del
tiempo.
26. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que
contenı́a un alto contenido de proteı́na. La proteı́na consistı́a en levadura y harina de maı́z.
Variando el porcentaje p de levadura en la mezcla de proteı́na, se estimó que el peso promedio
1
ganado en gramos de una rata en un perı́odo fue de f (p) = − p2 + 2p + 20. Encontrar el
50
máximo peso ganado.
27. La gran arteria del cuerpo humano -la aorta- es un tubo aproximadamente tan grande como
la base de un pulgar humano medio. El corazón bombea la sangre a través de ella de manera
tan potente que las partı́culas de sangre próximas al centro se mueven a velocidades de
unos 50 cm/s. Por otra parte, la sangre es un liquido viscoso, y cerca de la pared de la
arteria la sangre tiende a pegarse a la pared, y su velocidad ahı́ es prácticamente cero. La
relación precisa entre la velocidad s y la distancia r al centro viene dada por la formula
P
s(r) =
(R2 − r2 ) ,donde P es la diferencia de presión entre los extremos de la arteria, η
4ηL
es la viscosidad de la sangre y L la longitud de la arteria. Es costumbre medir R, r y L en
centı́metros (cm), P en dinas/cm2 , de modo que s se mide en cm/s. Un valor tı́pico para
P
R en el cuerpo humano es R = 0.2 cm, y un valor realista para la constante
es 500.
4ηL
Reemplazando estos valores en la fórmula se obtiene:s(r) = 20 − 500r2 , de acuerdo a ésta,
determine:
(a) Porción del gráfico acorde al enunciado.
(b) ¿Cual es la velocidad de la sangre a 0.1 cm del centro de la arteria?.
(c) ¿Para que valor de r, la velocidad de la sangre es cero?
(d) ¿Cual es la velocidad de la sangre en el centro de la arteria?.
(e) ¿Para que valor de r, la velocidad de la sangre es maxima?.
(f) ¿Cual es esa velocidad?.
28. A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitación se caracteriza por
un efecto de rendimientos decrecientes. Es decir, la recuperación de la funcionalidad suele
aumentar con la duración del programa terapéutico, pero con el tiempo el mejoramiento es
cada vez menor en relación con los esfuerzos adicionales del programa. Para una incapacidad
particular, los terapeutas han ideado una función que describe el costo C de un programa
terapéutico en términos del porcentaje de la funcionalidad recuperada x dada por
C(x) =
5x
100 − x
donde C se mide en miles de dólares. Hallar dominio, recorrido y gráfico de la función.
Finalmente, interprete los resultados en el contexto del problema.
29. Hall (1964) estudio el cambio del tamaño de la población de las especies de zooplancton
Daphnia galeata mendota en base Line Lake, Michigan. El tamaño de la población en el
instante t, N (t), se modelo mediante la ecuación
N (t) = N0 ert
siendo N0 el tamaño de la población en el instante 0. La constante r se denomina velocidad
de crecimiento intrı́nseca.
(a) Dibuje N (t) en función de t si N0 = 100 y r = 2. Compare la gráfica con la resultante
cuando N0 = 100 y r = 3. ¿Qué población crece mas deprisa?
(b) La velocidad r es una cantidad importante ya que describe la velocidad de cambio de
la población. Suponga que se determina el tamaño de la población al principio y al
final de un periodo de tiempo de longitud 1, y se obtiene que al comienzo habı́a 200
individuos y tras una unidad de tiempo hay 250 individuos. Determine r.
[Sugerencia: Considere la razón N (t + 1)/N (t)]
30. Un investigador en fisiologı́a establece que la función r(s) = −s2 + 12s − 20 es un modelo
matemático que describe el número de impulsos emitidos por una persona, después que se
ha estimulado un nervio. La variable s es el número de segundos transcurridos desde que es
estimulado el nervio. Graficar la función e interpretarla en el contexto del problema.
31. En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por bac5000t
terias. Sea p(t) =
el número de personas infectadas t dı́as después del comienzo
t + 100
de la epidemia. Los estudios indican que la tasa con la cuál se propaga la epidemia es
q(5000 − q)
r(q) =
donde q es el número de personas.
10000
(a) Hallar r ◦ p e interprete el resultado en el contexto del problema.
(b) ¿Cuántas personas estarán infectadas después de una semana?
(c) ¿Cuál es la tasa de propagación después de una semana?
32. Después de que un estudiante con un virus gripal regresa a un campo universitario aislado
de 3000 estudiantes, el número de estudiantes infectados después de t dı́as, se pronostica por
N (t) =
3000
1 + 2999e−0.895t
(a) ¿Cuántos estudiantes estarán infectados después de 10 dı́as?
(b) ¿En qué perı́odo de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a
1000 estudiantes?
33. Las ondas cerebrales empezaron a identificarse a raı́z de los estudios del sueño. Partiendo
de estas investigaciones se dividen las posibles ondas cerebrales en cuatro grupos diferentes:
beta, alfa, zeta, delta. La siguiente figura muestra un encefalograma de las ondas producidas
durante el sueño (tipo alfa) en el cerebro humano. Si la gráfica de la función
W (t) = a sin(bt + c) + d,
con t tiempo medido en segundos, representa a estas ondas ¿cuál es el valor de a , b , c y d ?
34. Al inyectar un determinado fármaco a una rata de laboratorio se observa que el animal
presenta variaciones de temperatura en su sistema interno. Se logra establecer que dichas
variaciones de temperatura, en grados Celsius, se modelan mediante la función
1
f (x) = 3 − sin(2x − π)
2
dónde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el fármaco (en minutos).
(a) Graficar la función f indicando amplitud, perı́odo y desplazamiento de fase
(b) A partir de la gráfica, indique información relevante del problema.
35. Un paciente en reposo inspira y expira 0.5 litros de aire cada 4 segundos. Al final de una
expiración, le quedan todavı́a 2.25 litros de aire de reserva en los pulmones. Después de t
segundos de iniciado el proceso, el volumen de aire en los pulmones (en litros), en función
del tiempo es
� �
πt
V (t) = 2.5 − 0.25 cos
2
.
(a) Graficar la función volumen.
(b) ¿En qué instante el volumen es máximo?
(c) ¿En qué instante el volumen es mı́nimo?
(d) ¿Cuál es el valor del volumen máximo y mı́nimo?