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EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
APLICADO A UN RESORTE
Prof. Luis Alberto Soto Rodríguez
l. Introducción:
Al aplicarle una carga (fuerza) a un resorte que cuelga verticalmente, se produce un
movimiento armónico simple, en el cual resulta interesante analizar el principio de la
conservación de la energía.
Como se verá más adelante, la carga hay que aplicarla en determinada forma, para
que se produzca el movimiento armónico. Cuando éste se produce, la masa oscilante tiene
diferentes condiciones de energía. En ciertas posiciones, toda la energía es gravitatoria; en
otras posiciones toda la energía está almacenada en el resorte; y en otras posiciones la
energía está repartida entre gravitatoria, cinética y potencial en el resorte.
Por otro lado, el movimiento de la masa en su trayectoria vertical es variable. En
determinadas posiciones la masa queda momentáneamente en reposo (velocidad cero); en
otras posiciones su aceleración es hacia abajo, pasando por un máximo de velocidad; y en
otras posiciones su aceleración es hacia arriba, pasando también por otro máximo de
velocidad.
&tas características del movimiento de la masa que cuelga de un resorte y el
principio de la conservación de la energía, son el motivo que han despertado en mí, el
interés por escribir este artículo. Se trata de presentar este estudio en forma tal, que
resalten las características físicas del fenómeno, más que la elaboración de un proceso
matemático, complicado, que motive la pérdida de la concepción física del fenómeno o
que escape al alcance de los alumnos que todavía no tienen un conocimiento o dominio
del cálculo integral. Es a ellos a quienes dedico este análisis.
2. El movimiento armónico:
Para que un cuerpo gire en un círculo con rapidez constante, es necesaria la
aplicación de una fuerza centrípeta. La acción de esta fuerza consiste en cambiar la
dirección de la velocidad del cuerpo que está girando. La magnitud de esta fuerza (F),
depende de la masa que está girando (m), de su rapidez (v), y del radio de la trayectoria
(R).
Así:
F
= m.a = -m.
v2
(1)
~
La fuerza F está dirigida hacia el centro del círculo, por lo que continuamente está
cambiando de dirección.
La siguiente figura ilustra la situación:
'1
.
-- --.-- ._
·' "
23
Este movimiento circular uniforme puede ser descompuesto y analizado en dos
.omponentes perpendiculares, una sobre el eje "Y" y otra sobre el eje "X".
Así, para la fuerza F tendremos:
y
e~¡
9¡
,....--,
'rr
Fy
=F
coso;
Vy
=V
sen
F
X
=F
sen
Vx. -
V
cos u
CJ
-x
y para la velocidad v:
o ;
Si analizamos estas componentes en varias pos1c1ones, observaremos que son
"variables. En ciertas posiciones, son nulas, luego van aumentando, pasan por un valo1
máximo, y luego van disnúnuyendo hasta llegar de nuevo a ser nulas.
Si imaginamos un cuerpo que se mueve sobre uno de estos ejes en la forma en qm
lo hace la componente del cuerpo que está girando en movimiento circular uniforme.
obtendremos un movimiento armónico simple.
En el caso de la fuerza F observaremos que siempre se opone al movimiento
estando siempre dirigida hacia el punto medio central.
En el caso del movimiento circular uniforme (rapidez constante), la masa m pasari
por un mismo punto a intervalos regulares, en un tiempo T que llamaremos el período.
Vectorialmente, la fórmula (1) tomará la forma:
(2)
24
Para el caso de la componente sobre el eje "Y", tendremos:
F
y
=
2
(3)
4n m)
(.y
T2
3. Movimiento armónico en un resorte colgado verticalmente:
Cuando a un resorte se le aplica una fuerza F, sufre un alargamiento, desarrollando
una fuerza Fr en sentido contrario y de igual magnitud. Dentro del límite elástico del
resorte, esta fuerza Fr varía linealmente con el alargamiento "y". Gráficamente,
tendremos:
K
A F
(4)
--¡;-y
y
Si a un resorte soportado verticalmente se le cuelga una masa m, el peso de ésta mg.
provocará un alargamiento en el resorte y éste desarrollará una fuerza Fr que se opone a
mg. Si la masa se le ha colocado en forma lenta hasta que el resorte desarrolle la fuerza
mg, al soltar la masa quedará en reposo.
Colocando el origen de coordenadas en el extremo inferior del resorte sin carga, el
alargamiento "y" se podrá calcular de:
Fr
= -K.y
; y
=-
=
(5)
Si por el contrario, la masa se le suelta desde el extremo inferior del resorte sin
alargamiento, la masa no quedará en reposo en el punto anterior y
mg/K, porque en
la caída estará sujeta a una fuerza neta, cuyo valor será:
=-
(6)
Si hacemos un diagrama de fuerza contra alargamiento, notaremos que en este caso
será necesario un alargamiento adicional de igual valor al anterior, para que la masa pierda
toda la energía ganada al alcanzar el punto y
mg/K.
=-
.---
----__l+fl'lg
mg/K
~------o->..=.:...-=m-=g-r
,, ¡c-~
. -----
'[
25
Observamos que la masa m caerá una distancia total 2mg/K. En el extremo inferic
quedará una fuerza neta + mg/K que acelerará de nuevo la masa hacia arriba y al volver :
punto y
mg/K, aunque la fuerza neta es cero, la masa llevará una energía cinétic
que le permitirá alcanzar el punto inicial desde donde se soltó. El proceso se repetirá e
nuevo y la masa estará oscilando con movimiento armónico simple, a uno y otro lado d.
punto y
mg/K que llamaremos R y que lo asociaremos con la componente vertic
de un movimiento circular a velocidad constante.
=-
=-
~LLr- -¡--- -
• -
- -
- - -
- - -
- -
-
_p. -f y
A< ~1-•yl R~><- -----m
'
~-( - _r:fR
~
..
.
_m ,'ln
1
v .
\
',\
-
-
- -
R
//
1
/
J
•• ·
e
- -~~/
...
mg/K
T
'
'
==
l
B
; R_ _,_ ___ -) - 1
R
---------
Asociando el movimiento de la masa en el resorte con la componente vertical de
movimiento circular a rapidez constante, resulta relativamente simple el análisis de la
conservación de la energía.
Tomaremos como nivel de cero energía potencial el punto C, máximo estiramient<
del resorte cuando se le suelta la masa desde el punto A (el resorte sin carga).
En el punto A toda la energía es potencial gravitacional. En el punto C toda l•
energía se encuentra almacenada en el resorte. Para todos los demás puntos de l:
trayectoria, la energía estará repartida entre potencial gravitacional, potencial en e
resorte y cinética. La máxima energía cinética la lleva la masa al pasar por el punto B
hacia arriba o hacia abajo.
Cada una de estas clases o tipos de energía se calcula de la manera siguiente:
Ep
= m.g
Er
= 21
Ec
= _Lm
2
(7)
(2R - y)
K y
2
v2
(8)
(energía potencial gravitacional
(energía almacenada en el resorte
(9)
y
(energía cinética
La velocidad vy se calcula de la componente vertical del movimiento circula
uniforme, siendo:
vy
26
=v
sen
V
~
2
TI
T
R
' cos
o = R R-
y
El período T se puede calcular asociando la componente vertical de la fuerza
centrípeta F del movimiento circular, con la fuerza que desarrolla el resorte F . Así:
F
y
4 rr 2 m
T2
=
=
(---- )
y
- K • y
Siendo fuerzas que dependen únicamente del estiramiento "y", sus constantes serán
iguales:
T= 2rr"f+'
De Donde:
Si la energía cinética se calcula con la fórmula (9), el principio de la conservación de
la energía nos permitirá comprobar el cálculo de los tres tipos de energía así:
E +
p
Er + Ee
= 2 mgR
(12)
(E~
.L
= Energía
total)
La teoría expuesta se mostrará con la solución de un ejemplo.
EJEMPLO:
En un resorte con una constante K
m - 0.50 kilogramos.
=
10 newtons/metro, se cuelga una masa
Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
El punto de oscilación de la masa.
El máximo alargamiento del resorte.
El período de oscilación de la masa en el resorte.
La velocidad máxima de la masa en su desplazamiento.
El cambio máximo de la energía potencial
El valor de la energía potencial gravitacional Ep , la energía almacenada en el
resorte E r y la energía cinética Ec en el punto medio de oscilación. Comprobar
contra la energía total Er.
Igual al anterior para cuando la masa ha caído 0.20 m.
Dibujar las gráficas de Ep , E r• E c• y E T·
27
Solución:
a)
= 0. SO
=~
K
=
0.49 m
m
= 98 an.
~:gr' X
9. 8rn
10 ~~gr .m seg 2
seg 2 .m
R
= 2R = 2 x
b)
y máx
e)
T =
0.49 m
2r.~ = 2TI
= 0.98
O.SO l<g:r
Kg.m
= 49
cm.
_
- 1.4 seg.
10~
seg .m
2 1T X 0.49 m
1.4 seg.
R
= - -2T -=
ir
d)
V
e)
L\E
f)
E
p
= mgR = O.SO
E
= 1/2 K R2 = 1/2
E
e
= 1/2
Er
= Ep
p
r
g)
Ep
=
= mg
= -2
2mgR
=
mv 2
+
Er
(2R -
X
seg 2
X
10
1/2 mv 2
= 2.4j
= O.SO
E
p
Kg
KE.m
seg 2 .m
= 1/2
m/seg.
9,8 ~
seg
X
m}(gr X 9.8 -
+ Ec
y)
O.SO Kgr
X
= 2.2
X
X
0. 49 m
9.8
= Z.4
.(0.49 m) 2
O.SO Kg
m
seg 2
(2
= 4.9 N. . 0.78 m
X
=j
= 1.2
(2,2
4.8j
j
_!!!_) 2
seg
=1
= 4. 8j
+ 1.2j + 1. 2j
X
0.49 m
X
0.49 m - 0.20
= 3.8
j.
2
Er
= 1/2
K y2
Ec
= 1/2
ffi
vy
= v sen
cos
sen
IJ
=
Ec
E
= Ep
T
10 N X (0.20 m) 2 = 0.2 J •
m
V~
.,_.
-.
R - Y.
R
=
0.49 - 0.20
= 0,59184
0.49
= 0,80610
= 2.2
= 1/2
Vy
h)
(1
1
= -x
2
m/seg x 0,80610
= 1.77
x 0,50 Kg(1,77 m/seg)2
+
~
+ Ec
= 3,Bj
m/seg.
j
= 0,8
+ 0.2j + 0,8j
= 4,Bj
Con la posición de la masa en los extremos de su movimiento y con los puntos y
= R = 0.49m, y = 0.20rn podemos trazar las gráficas de Ep, Er, Ec, y Er.
E
E
p
e
1,2
0,20
R :0,49
2R:0,98
4,8
0,20
R:0,49
4,8
/:
1
29