Problemas Ampliación de Física II

 Departamento Física Aplicada
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas INTRODUCCIÓN MATEMÁTICA
Esta introducción pretende resumir algunos de los conceptos matemáticos que se utilizarán a lo largo del curso. En ningún caso debe pensarse que todas las matemáticas necesarias están aquí. La ampliación de lo que se dice aquí mediante el estudio en libros y asistencia a las correspondientes clases en la universidad será de gran utilidad, tanto para el curso como para la vida misma.
VECTORES
Existen magnitudes que para caracterizarlas basta con indicar un numero (e.j. la masa). Pero hay otras que además de un numero es necesario indicar su dirección y sentido, por ejemplo la velocidad. A este tipo de magnitudes se les denomina vectoriales. Un vector es un objeto matemático con las siguientes propiedades:
* Si a y b son vectores, entonces a+b=c es un vector.
* Si a es un vector, y  un número, entonces a=c es un vector.
aquí representamos los vectores con letras en negrita. Habitualmente se les representa con un símbolo con una flecha encima. Un vector se caracteriza por su módulo, dirección y sentido. Se suelen representar gráficamente con una flecha, donde lo que mide la flecha es su modulo, la recta de la flecha su dirección, y la punta de la flecha indica el sentido. Con esta representación es posible sumar gráficamente vectores:
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas O multiplicar un vector por un escalar (un número). Para hacer esto basta multiplicar la longitud por el número, sin cambiar el sentido si el número es positivo. En caso de que el número sea negativo, además habrá que invertir el sentido del vector.
Con estas dos operaciones (suma de vectores, y producto de un vector por un escalar), los vectores tienen las siguientes propiedades:
a+(b+c)=(a+b)+c
a+b=b+a
(a+b)=a+b
a=a
Además, podemos definir otras dos propiedades entre vectores
Producto escalar de dos vectores:
- El resultado es un número
a·b = |a| |b| cos 
Donde |a| y |b| son el módulo de los dos vectores, y  el ángulo que forman. Esta
expresion puede usarse para calcular el ángulo entre dos vectores.
El producto escalar tiene las siguientes propiedades:
a·b = b·a
a·(b+c) = a·b+a·c
(a·b)=(a)·b=a·(b)
Importante, el producto escalar es conmutativo a·b=b·a
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Producto vectorial de dos vectores
- El resultado es un vector:
a^b = c
Con c perpendicular a los vectores a y b.
El módulo de c se puede calcular con la formula c=a^b = |a| |b| sen Pero ahora esto no
es suficiente, también se necesita la dirección y sentido del vector resultante.
Las propiedades son similares a las del producto escalar, pero con una diferencia
importante, el producto vectorial es anticonmutativo: a^b = - b^a
Otras diferencias importantes son que
-si a y b son paralelos, su producto vectorial es 0, su producto escalar es distinto de 0.
-si a y b son perpendiculares, su producto escalar es 0, su producto vectorial es distinto
de 0.
Componentes de un vector
Supongamos un vector de modulo 1 (vector unitario) en la dirección del eje x, otro en la
dirección del eje y, y otro en la dirección del eje z
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas A estos vectores unitarios los llamaremos respectivamente i, j y k. Podemos entonces
escribir cualquier vector a o b como:
a= ax i + ay j + az k
a= bx i + by j + bz k
Donde ax, ay y az son las componentes del vector respecto a la base i,j,k.
Si conocemos las componentes de los vectores es sencillo realizar las distintas
operaciones:
|a|2 = ax2+ay2+az2
Suma de dos vectores: a+b =(ax +bx) i +(ay +by) j+(az +bz) k
Producto de número por vector: a= ax i + ay j + az k
Módulo:
Producto escalar de dos vectores:
a·b = axbx +ayby + azbz
Producto vectorial de dos vectores:
i
a^b= ax
bx
j
ay
by
k
az = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz)
bz
+k (axby-aybx)
Lo anterior es un determinante.
Importante, si dos vectores son iguales significa que TODAS sus componentes son
iguales.
a=b <====> ax=bx,
,
ay=by ,
az=bz
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas ANÁLISIS VECTORIAL
La derivada de un vector se realiza calculando la derivada de cada uno de los
componentes, por ejemplo una derivada respecto al tiempo:
da/dt = d ax/dt i+ day/dt j + daz/dt k
Hay que tener en cuenta que probablemente nuestro vector (y sus componentes)
dependerá de más de una variable. Se define la derivada parcial, por ejemplo con
respecto a x, como  /x. La forma de hacerla es derivando respecto a x considerando
el resto como constantes.
Definimos otra forma de derivar: el gradiente de una función escalar (x,y,z):
y el resultado es un vector. La forma de interpretar el gradiente es que da información
sobre la dirección de máxima variación de la función (x,y,z).
Una forma de simbólica de representar el gradiente es definiendo el operador vectorial
nabla ∇
∂
∂
∇ = ∂x i + ∂y
∂
j + ∂z k
Ahora el gradiente se calcula como el producto del vector nabla ∇ por el no vector , tal
como se explico antes para el producto número vector.
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas De forma similar definimos la Divergencia de un vector como el producto escalar
entre el operador ∇ y un vector F:
El Rotacional se define como el producto vectorial entre ∇ y el vector F:
El Laplaciano de un escalar se define como la divergencia del gradiente de ese escalar.
La forma de calcularlo:
El laplaciano de un vector es el vector resultante de aplicar el laplaciano a cada una de
sus componentes.
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas VARIABLE COMPLEJA
Todo comienza con que en el dominio de los números reales el número  −1 no
existe. La forma de solucionar esta cuestión es definir otro tipo de números, que
llamaremos complejos, de forma que ahora:
−1
=i
i se conoce como unidad compleja. Desde aquí, cualquier número se puede escribir
como
z=a+b i
donde a será la parte real del número z, y b su parte compleja (o imaginaria). Si b=0,
decimos que el número es real puro. Estos son los números que acostumbramos a
utilizar. Si a=0, el numero es imaginario puro.
Se define el modulo de z como ∣z∣= a2b2 , se definen las partes real e imaginaria
de z como
Re(z)=a
Img(z)=b
A esta forma de escribir los números complejos ( z=(a,b) ó z=a+b), o se le llama
Representación Binómica. Otras formas de representar los números complejos se basan
a considerarlos como vectores, donde la dirección real y compleja son perpendiculares
entre sí:
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Si z=a+b i
Representación trigonométrica: z= r cos  + i rsen 
Representación polar-exponencial: z=r e(i)
Combinando estas relaciones obtenemos que:
r=  a b
2
2
= arctg b/a
a= r cos 
b =r sen 
e(i)=cos  + i sen 
A esta última relación se le conoce como la igualdad de Euler.
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Algunas operaciones y definiciones con números complejos:
Producto y división
Suma y resta, si z1=a +i b y z2=c + id
Si z1=r1 e(i) y z2=r2 e(i)
z1+z2 = (a+c) + i (b +d);
z1-z2=(a-c)+i (b-d)
z1·z2=r1·r2 ei(
)
z1/z2 =r1/r2 ei(
Si z=a +i b, se define el complejo conjugado como z*= a
(i)
exponencial, si z=r e
(-i)
, entonces z*=r e
)
ib. En representación
.
Utilizando el complejo conjugado se obtienen las siguientes relaciones:
|z|2=z·z*
,
Re(z)=(z+z*)/2 ,
Im(z)=(z-z*)/2
Finalmente, algunas propiedades de la exponencial compleja que pueden ser de utilidad
a lo largo del curso:
ei2 =1
ei =-1
ei  =i
ez+i2 =ez
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Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas TRIGONOMETRÍA
Algunas relaciones trigonométricas que pueden ser de utilidad a lo largo del curso:
sen (90 α) = cos α
cos (90 – α) = sen α sen (180 – α) = sen α cos (180 – α) = –cos α sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2α ­ sen2α sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen (α ­ β) = sen α cos β ­ cos α sen β cos (α + β) = cos α cos β ­ sen α sen β cos (α ­ β) = cos α cos β + sen α sen β 2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α – β); 2 sen2(α) = 1 – cos(2α); 2 cos2(α) = 1 + cos(2α); sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α ­ β) sen asenb=2 sen
ab
a−b
cos

2
2
sen a−senb=2 cos
ab
a−b
 sen

2
2
cos acos b=2 cos
ab
a−b
cos

2
2
cos a−cos b=−2 sen 
ab
a−b
 sen

2
2
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