MATEMATICAS I

FUNCIONES DE PRIMER GRADO
Definición.- La palabra función fue utilizada por el matemático alemán Gottfried Wilhelm
Leibnitz ( 1646 – 1716 ), la mente más universal de su época. Dominó toda la filosofía y toda la
ciencia de su tiempo. Descubrió simultáneamente con Newton el cálculo diferencial. Desarrollo
notablemente el Análisis Combinatorio. Mantuvo durante toda su vida la idea de una matemática
simbólica universal.
La relación de correspondencia se presenta a menudo en la vida diaria, en las siguientes
ilustraciones damos unos ejemplos.




El costo de producir cierto artículo dependerá del número de artículos que se producen.
El valor de una maquinaria en libros, depende del tiempo de uso.
Los ingresos de una persona, depende del tipo de trabajo que desarrolle.
Lo que cobran por hacer uso de un estacionamiento, depende del tiempo en que el
vehículo permanecerá estacionado.
Podemos observar en los ejemplos anteriores que una situación dependerá de otra para
poder realizar.
Ejercicio:
La empresa de calzado “Visconti” fabrica 4 tipos de calzado diferentes, y tienen los
siguientes precios: $220.00, $260.00, $280.00 y $300,00 según sea del modelo. La cantidad que se
ofrece por mes es el siguiente 1,600 pares para el primer modelo, 2,500 pares para el segundo
modelo, 3,800 pares para el tercer modelo y para el último 4,600 pares, se busca hacer una relación
comparativa precio, cantidad ofrecida.
Precio del artículo
$
Cantidad ofertada
Por mes
220
260
280
300
1,600
2,500
3,800
4,600
En esta tabla se observa que el precio del calzado depende del número de pares ofrecidos.
Ejercicio:
El departamento de Recursos Humanos de la empresa “El buen vestir” fabricante de ropa
casual, seleccionó a 3 personas: Leticia, Mariana y Angélica, para ocupar los puestos de Gerente en
los departamentos: Costos, Finanzas y ventas. A cada una de las personas le corresponde un puesto:
Personas
Seleccionadas
Departamentos
A ocupar
Leticia
Mariana
Angélica
Costos
Finanzas
ventas
Lic. Javier Alvarez Noyola
Una relación es llamada función, si a cada elemento del primer conjunto le corresponde
exactamente uno del segundo conjunto.
Al primer conjunto se le llama dominio de la función, y al segundo se le llama rango o
conjunto de las imágenes.
A los elementos del dominio la conoceremos como variable “x” también llamada variable
independiente. Y a los del rango que conoceremos como la variable “y” también conocida como la
variable dependiente.
REPRESENTACION DE UNA FUNCION
Ejercicio:
En un supermercado de la ciudad están ofreciendo jugos “Del valle” con una presentación
de su empaque de 200 ml. Sabemos que si el precio es de $3.50 se venden 9,000 jugos, pero si el
precio es de $4.50 se venderán 8,000 jugos esto en un mes determinado. Se desea obtener:
a).- El modelo matemático
b).- Si el precio es de $5.50 ¿Cuántos jugos se venderán?
c).- Si se desea vender 10,000 jugos ¿Cuál será el precio?
d).- Graficar la función.
Representación de los datos
Precio
$
3.50
4.50
Ventas
Unidades
9,000
8,000
Si el precio aumenta con una diferencia de un peso ( 3.50 – 4.50 ) las ventas disminuyen en
1,000 jugos ( 9,000 – 8,000 ) y la razón será:
m
1, 000
1
 1,000
La función lineal es:
y = mx + b
Para esto el modelo matemático será: ventas = mp + b
Donde p es el precio del producto.
Ahora vamos a sustituir para encontrar el valor de b
Ventas = mp + b
8,000 = -1,000 (3.50) + b
8,000 = -4,500 + b
8,000 + 4,500 = b
b = 12,500
Sustituyendo para encontrar el modelo matemático este será:
Ventas = -1,000p + 12,500
Lic. Javier Alvarez Noyola
b).- Si el precio es de $5.50 ¿Qué cantidad de jugos se venderán?
Ventas
Ventas
Ventas
Ventas
=
=
=
=
-1,000 (p) + 12,500
-1,000 (5.50) + 12,500
-5,500 +12,500
7,000 jugos
c).- Si las ventas son de 10,000 jugos a que precio se puede ofrecer?
Ventas = -1,000 (p) + 12,500
10,000 = -1,000 (p) + 12,500
10,000 - 12,500 = -1,000 (p)
-2,500 = -1,000 (p)
p
2 , 500
1, 000
 2.50
d).- Gráfica:
Jugos Del Valle
10,000
9,000
VENTAS
8,000
7,000
6,000
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0
1
2
3
4
5
6
PRECIO
Ejercicio:
Una agencia de renta de automóviles, tiene una tarifa para un auto compacto de $500.00 el
día de renta y $2.50 el kilómetro recorrido, se desea encontrar:
a).- ¿Cuál es la función que exprese la renta diaria?
b).- Si una persona renta el auto para irse a la ciudad de México, D.F. ( 400 Km. ) ¿Cuál es
el costo de la renta?
c).- Si el costo de la renta fue de $1,900.00 ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil?
d).- dibujar una gráfica que represente el costo de renta diaria.
Solución:
a).- El costo diario es de $500.00 esto representa a la ordenada al origen es decir b = 500 y
los $2.50 por cada kilómetro que recorre, la razón será:
m
La función
2.50
1
 2.50
y = mx + b
y = 2.50(x) + 500
b).- Si x = 400
Lic. Javier Alvarez Noyola
y
y
y
y
=
=
=
=
2.50(x) + 500
2.50 (400) + 500
1,000 + 500
1,500
c).- Si y = 1,900
y = 2.50(x) + 500
1,900 = 2.50 (x) + 500
1,900 - 500 = 2.50 (x)
1,400 = 2.50 (x)
x  12, 400
 560 Km
.50
d).- Gráfica
HERTZ
2,000
Costo de la renta
1,800
1,600
1,400
1,200
1,000
y = 2.50 (x) + 500
800
600
400
200
0
100
200
300
400
600
700
Kilometros
Ejercicio:
El departamento de policía de la ciudad, estudia el proyecto de comprar una patrulla. Se
estima que el costo del automóvil con equipo es de $300,000 y se han estimado también un costo de
operación de $25,000 por mes. Determinar:
a).- La función matemática que exprese el costo total.
b).- Cuál es el costo total si su vida útil es de dos años.
c).- Si se han gastado $450,000 Cuánto tiempo se ha usado la unidad.
d).- Elaborar la gráfica de la función Costo Total.
Solución:
a).-
y = mx + b
y = 25,000(x) + 300,000
b) x = 24 meses
y = 25,000 (24) + 300,000
y = 600,000 + 300,000
y = 900,000
Lic. Javier Alvarez Noyola
c).- y = 450,000
450,000 = 25,000 (x) + 300,000
450,000 - 300,000 = 25,000x
150,000 = 25,000x
, 000
x  150
 6 meses
25 , 000
d).- Gráfica
1’000,000
Departamento de Policía
900,000
800,000
Costo
700,000
600,000
500,000
400,000
y = 25,000 (x) + 300,000
300,000
200,000
100,000
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Meses
Lic. Javier Alvarez Noyola
20
22
24
1.- Mencione cuando menos 3 ejemplos de funciones lineales, que se encuentren en la vida
cotidiana.
2.- En una gran ciudad el servicio de taxi cuesta el banderazo (inicio de la corrida) $15.00,
además cobra $0.60 el kilómetro recorrido. Si una persona toma el taxi en el centro de esa ciudad y
pide al chofer lo traslade al parque zoológico, el cual tiene una distancia de 25 kilómetros, ¿Cuánto
tiene que pagar el usuario por esa dejada?
3.- Una empresa produce artículos de plástico, si se toma un artículo de los que produce
pues está interesada en determinar la función que exprese el costo total anual, como una función
del número de unidades producidas. Los contadores indican que los gastos fijos al año corresponden
a $50,000, han estimado también que los gatos en materia prima por cada unidad producida la
cantidad de $75.00 y los gastos de mano de obra por unidad es de $20.00, en el departamento de
ensamble $15.00 y en el departamento de embarques $7.00. Obtener:
a).- La expresión Costo Total.
b).- Si se producen 3,200 artículos anuales ¿Cuál es el Costo Total?
c).- Si el costo anual es de $158,000 ¿Cuántas artículos se produjeron?
4.- Una agencia de renta de autos suburban las alquila a razón de $750.00 el día más $2.50
el kilómetro recorrido. Obtener:
a).- La función que exprese el costo diario de renta.
b).- Cuál es el valor si se recorren 600 kilómetros.
c).- Al liquidar la cuanta se cobra $4,500 ¿Cuántos kilómetros recorrió?
d).- Graficar.
5.- Se sabe el que sueldo semanal de un vendedor es en función al número de artículos
vendidos, es decir si vende 20 artículos su sueldo es de $300,00 y si vende 15 artículos su sueldo
será de $250.00 por semana. Obtener:
a).- La expresión función sueldo semanal.
b).- Cuál es el sueldo base del vendedor.
c).- Si vende 25 artículos cual es su sueldo.
d).- Si en cierta semana recibió de sueldo $400.00 ¿Cuántos artículos vendió?
e).- Graficar.
6.- La Señorita Leticia compro una colección de discos compactos de los años ‘70s
mediante un pago inicial de $39.00 y 4 pagos iguales mensuales por la misma cantidad. Si envía por
correo sus pagos, cobrándole el 2.2% de la cantidad a enviar más $0.40
a).- Cuanto paga Leticia cada mes
b).- Obtenga una expresión que represente el cobro por el servicio postal.
c).- ¿Cuánto le costo la colección?
Lic. Javier Alvarez Noyola
( Ecuaciones de la recta )
En el tema anterior se menciona el concepto de pendiente, representada por el símbolo “m”.
Como se recordará en la pendiente nos representa la inclinación de la recta. Si tenemos dos puntos
de coordenadas ( 1, 2 ), ( 2, 4 )
6
Valor "y"
5
4
3
Cambio en "y"
2
1
0
1
2
3
4
5
Valor "x"
m
cambio en " y"
Cambio en " x"
m
y 2  y1
x2  x1
El cambio en " y"  y2  y1 y el cambio en " x"  x2  x1
m
y2  y1
x2  x1

4 2
21
2
Es decir: Por cada unidad de cambio en x, el valor de “y” cambia en 2 unidades para este
ejemplo en particular “m” también es llamada razón constante del cambio.
Lic. Javier Alvarez Noyola
y = mx + b
Ejercicio:
Una persona invierte $75,000 a una tasa de interés del 30% durante los próximos 4 años.
Expresar la cantidad acumulada a través del tiempo, grafique, ¿Cuánto dinero recibirá al final de los
4 años?
Cantidad inicial 75,000. Esta es la ordenada al origen b = 75,000
La cantidad ganada por los intereses 75,000 x 0.30 = m = 22,500 (la pendiente)
y = mx + b
y = 22,500 (x) + 75,000
Ecuación de la recta en forma simplificada
250,000
Interés más capital
225,000
200,000
175,000
150,000
125,000
100,000
75,000
50,000
25,000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tiempo
Representando la ordenada al origen: 75,000 y la pendiente
m
Cambio en y
Cambio en x

22 , 500
1
Sustituyendo:
y = 22,500 (x) + 75,000
y = 22,500 (4) + 75,000
y = 165,000
Lic. Javier Alvarez Noyola
Ejercicio:
La empresa IEM fabricante de motores para varias capacidades ha observado que en el
departamento de producción tienen una devanadora de las bobinas para los motores. El
departamento de Contabilidad realizó una revisión de sus activos y observo que esta devanadora en
esta fecha tiene un valor en libros de $23’500.000.00, esta devanadora tiene 4 años de uso, hace dos
años el valor en libros era de $28’000,000.00, determinar:
a).- La ecuación que describa la depreciación de la devanadora.
b).- ¿Qué valor tenía la devanadora cuando se adquirió?
c).- ¿Cuántos años debe depreciarse para que la devanadora adquiera un valor de $0.00?
Solución:
Cuando la devanadora tenía 4 años de uso.
x = 4
y = 23’500,000
Po (4, 23'500 ,000 )
Cuando la devanadora tenía 2 años de uso.
x = 2
y = 28’000,000
P1 (2, 28'000,000 )
m
m
y 2  y1
x 2  x1
23 '500 , 000  28 ' 000 , 000
42
m = -2’250,000
Los $2’250,000 es el valor que se deprecia cada año
b) ¿Qué valor tenía la devanadora cuando se adquirió?
y  y1  m( x  x1 )
Si m = -2’250,000 y el valor de p (4, 23’500,000)
y - 23’500,000 = -2’250,000 ( x – 4 )
y - 23’500,000 = -2’250,000 ( – 4 )
y = 23’500,000 + 9’000,000
y = 32’500,000
Es el valor de b
c).- ¿Cuántos años debe depreciarse para que la devanadora adquiera un valor de $0.00?
y = mx + b
y = 0
0 = -2’250,000(x) + 32’500,000
x
32 '500 , 000
2 ' 250 , 000
 14 años
Lic. Javier Alvarez Noyola
y  y1 
y 2  y1
x 2  x1
( x  x1 )
La aplicación que veremos se relaciona con la demanda de un artículo. Y se llama demanda
al número de unidades que los consumidores solicitan de un producto y que teóricamente depende
del precio.
Ejercicio:
Una tienda de electrónica a nivel nacional, esta ofreciendo un modular marca aiwa, cuando
este equipo tenia un precio de $4,500.00 se vendieron 150 equipos, pero cuando se ofrecieron a un
precio de $3,500 se vendieron 250 equipos. Determinar la ecuación de la demanda, suponiendo que
esta es lineal.
Solución:
p1 = 4,500;
p1 (4,500, 150)
p2 (3,500, 250)
q = 150;
p2 = 3,500; q = 250;
Sustituyendo;
y  y1 
p = x;
y 2  y1
x 2  x1
( x  x1 )
y q = y
q  150 
250 150
3, 500  4 , 500
q  150 
100
1, 000
q  150 
1
10
q
q
1
10
1
10
( p  4,500 )
( p  4,500 )
p  4500
10
p  450  150
P  600
Lic. Javier Alvarez Noyola
1.- Una empresa esta ofreciendo un producto a un precio de $120.00 y vendió 80 artículos
y cuando ofreció el producto a $180.00 solamente vendió 50 artículos. Obtener la ecuación de la
demanda, suponiendo que es lineal. Buscar el precio del artículo cuando la demanda es de 30
artículos.
2.- La fabrica de calzado “Creaciones Tres Rosas”, desea colocar al mercado 50,000 pares
cuando el precio del zapato es de $370.00 por par, otra opción es colocar al mercado 35,000 pares
de zapatos cuando estos tienen un costo de $450.00. Elaborar la ecuación de la demanda,
suponiendo que esta es lineal. Si el precio de los zapatos es de $300.00 ¿Cuántos pares venderá?
3.- Un torno tiene un valor en libros de $60,000 a dos años de su adquisición; y un valor en
libros de $37,500.00 después de transcurridos 5 años desde que se adquirió.
a).- ¿Cuál es el valor de adquisición del torno?
b).- ¿A qué tasa anual se está depreciando el torno?
c).- ¿Después de cuantos años. El valor en libros será $0.00?
4.- Se invierten $14,600.00 a una tasa de interés del 27% anual, durante 5 años. Exprese la
cantidad acumulada a través del tiempo. Dibuje la expresión ¿Cuánto se recibe al término del plazo?
Lic. Javier Alvarez Noyola
FUNCION INGRESO Y COSTO TOTAL
a).- función ingreso total
El ingreso es todo el efectivo que entra a un cierto negocio y se obtiene multiplicando el
precio unitario por el número de artículos vendidos es decir:
R = Px
Donde:
x = número de artículos vendidos.
P = Precio por unidad.
R = Ingreso total.
Ejercicio:
Un negocio de venta de computadoras está ofreciendo una computadora actualizada por un
precio de $15,000.00, IVA incluido, obtener:
a).- La función de Ingreso Total.
b).- Si se venden 14 computadoras. ¿Cuál es el Ingreso Total?
c).- Si el Ingreso Total es de $375,000 ¿Cuántas computadoras se vendieron?
d).- realizar la gráfica de Ingreso Total
Solución:
a).R = Px
R = 15,000 (x)
b).-
R = 15,000 (14)
R = 210,000
c).-
375,000 = 15,000 (x)
x
375, 000
15, 000

x  25
Ingreso Total
500,000
$
400,000
Ventas
450,000
350,000
R = 15,000 (x)
300,000
250,000
200,000
150,000
100,000
50,000
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Número de computadoras
Lic. Javier Alvarez Noyola
30
33
36
b).- Función Costo Total.
El Costo Total es la suma de dos tipos de costos; Costos Variables llamados también
Costos Directos, estos costos son variables porque cambian según la producción o sea un número de
unidades producidas. Y los Costos Fijos, estos costos no cambian, es decir no dependen de las
unidades producidas. El costo total se obtiene multiplicando el costo variable por el número de
unidades fabricadas más los costos fijos. En otras palabras:
Ct  Cv x  C f
Ct = Costo Total.
C v = Costo Variable.
C f = Costo Fijo.
x
= Unidades fabricadas
Ejercicio:
Una fabrica de televisores, esta fabricando un modelo de televisor portátil, los gastos están
distribuidos de la siguiente manera: los costos variables son de $450.00 por unidad, los costos fijos
son de: $300,000 se desea obtener:
a).- ¿Cuál es la función de Costo Total?
b).- Si se fabrican 600 televisores ¿Cuál será el Costo Total?
c).- ¿Cuál sería el número de televisores fabricados si se obtiene un costo total de
$975,000?
d).- Graficar la función Costo Total.
Solución:
a).-
Ct  Cv x  C f
Ct = 450(x) + 300,000
b).-
Ct = 450 ( 600 ) + 300,000
Ct = $570,000
c).-
Ct  Cv x  C f
975,000 = 450 (x) + 300,000
975,000 - 300,000 = 450x
675,000 = 450x
x  675450, 000  1,500 televisores
Lic. Javier Alvarez Noyola
Costo
Total
1’000,000
900,000
800,000
Costo Total
700,000
600,000
500,000
400,000
300,000
200,000
100,000
0
125 250
375 500 625 750
875 1000 1125 1250 1375 1500
Número de Televisores
c).- Punto de equilibrio entre Ingreso y Costo Total.
Sabemos que el Ingreso Total está dado por
R = Px
Ct  Cv x  C f
Y el Costo Total
El objeto de este tema es tener una Producción y una venta para lograr que el ingreso total
sea igual al Costo Total, a esto se le llama punto de equilibrio de la empresa, es decir el volumen de
las ventas donde la empresa no obtiene pérdidas ni ganancias. En consecuencia el punto de
equilibrio se logra cuando el Ingreso Total es igual al Costo Total.
Ejercicio:
Una empresa fabricante de llantas de automóvil, esta fabricando un nuevo modelo de llanta
para autos chicos rin 13, el costo unitario de cada llanta es de $350.00 y los costos fijos es de
$300,000. El precio de la llanta al público es de $550.00, se desea obtener:
a).- La función Costo Total e Ingreso Total.
b).- Si se producen y se venden 2,500 llantas determinar, Costo Total e Ingreso.
c).- ¿Para qué número de llantas se tiene equilibrio, ¿Cuál es el Ingreso y Costo Total?
d).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener ganancia?
e).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener pérdida?
f).- Dibujar la gráfica.
Solución
a).- La función Costo Total e Ingreso Total.
Ct  Cv x  C f
R  Px
Ct  350 x  300,000
R = 550x
b).- Si se producen y se venden 2,500 llantas determinar, Costo Total e Ingreso.
Ct  350 (2,500 )  300 ,000
R = 550(2,500)
Ct  875,000  300,000
R = 1’375,000
Ct  1'175,000
c).- ¿Para qué número de llantas se tiene equilibrio, ¿Cuál es el Ingreso y Costo Total?
Lic. Javier Alvarez Noyola
R  Ct
550x = 350x + 300,000
550x - 350x = 300,000
200x = 300,000
x
300 , 000
200
x = 1,500
Cuando se fabriquen y se vendan 1,500 llantas se tiene el equilibrio.
d).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener ganancia?
Ct  R
550(1,500) =
$825,000
Si x > 1,500 se tiene una ganancia (utilidad +)
e).- ¿Cuál deberá ser el volumen de las ventas para obtener pérdida?
Si x < 1,500 se tiene una pérdida (utilidad -)
U  R  Ct
La utilidad es la diferencia entre el Ingreso Total y el Costo Total.
U  Px  (Cv x  C f )
U  Px  Cv x  C f
U  ( P  Cv ) x  C f
El punto de equilibrio se logra cuando R  Ct entonces la utilidad es cero ( U = 0 )
x
Cf
P  Cv
Lic. Javier Alvarez Noyola
Ejercicio:
Una empresa fabricante de llantas de automóvil, esta fabricando un nuevo modelo de llanta
para autos chicos rin 13, el costo unitario de cada llanta es de $350.00 y los costos fijos es de
$300,000. El precio de la llanta al público es de $550.00, se desea obtener:
a).- La función de Utilidad.
b).- Usando la fórmula x 
Cf
P  Cv
¿Cuál es el número de llantas para lograr el equilibrio?
c).- Si se fabrican y se venden 900 ó 2,500 llantas ¿Cuál es la utilidad?
d).- Realizar la Gráfica.
Solución:
a).-
U  ( P  Cv ) x  Ct
U = (550-350)x - 300,000
U = 200x - 300,000
b).-
x
Cf
P  Cv
300 ,000
x
550  350
x = 1,500
Este valor coincide con el punto de equilibrio.
c).-
U = 200x - 300,000
U = 200(900) - 300,000
= -120,000 (pérdida)
U = 200(2,500) - 300,000
= 200,000 (ganancia).
Lic. Javier Alvarez Noyola
La función oferta relaciona el precio de mercado a las cantidades que los abastecedores se
inclinan para producir y vender. Las funciones de oferta implican que lo que tengan en existencia en
la tienda depende del precio que la gente esta dispuesto a pagar. La función demanda es una
relación matemática que expresa la forma en la cual la cantidad demandada de un artículo varía con
el precio a él cargado. La relación entre dos variables [Cantidad demandada y el precio por unidad].
Por lo general es inversa. La función demanda es una función decreciente que depende del precio.
Es decir, si el precio aumenta la demanda baja. Si la función demanda es función lineal.
Ejercicio:
Una tienda de departamento esta vendiendo unas vajillas para las amas de casa y las ofrece
de la siguiente forma la representaremos en la siguiente tabla:
Precio
P
$
300
350
400
Demanda
q
Vajillas
295
290
285
Obtener:
a).- La ecuación de la función que representa a la demanda.
b).- ¿Si el precio es de $250.00 cual es la demanda esperada?
c).- Si se espera una demanda de 225 vajillas ¿Cuál es el precio al que se venderá?
Solución:
a).- La ecuación de la función que representa a la demanda.
P
$
300
350
400
m
cambio en y
cambio en x
qd
295
290
285

290  295
350  300
La pendiente es: m 

5
50
5
50
La ecuación de la recta será: qd  505 p  b para calcular el valor de b se tomará cualquier
punto proporcionado. Tomaremos los datos centrales que son: (350, 290)
qd 
5
50
pb
290   505 (350 )  b
290 = - 35 + b
290 + 35 = b
b = 325
Lic. Javier Alvarez Noyola
Luego la ecuación queda:
qd   505 p  325
b).- ¿Si el precio es de $250.00 cual es la demanda esperada?
qd   505 (250 )  325
qd  300
c).- Si se espera una demanda de 225 vajillas ¿Cuál es el precio al que se venderá?
qd   505 p  325
5
225 = - 50
p + 325
5
225 - 325 = - 50
p
5
-100 = - 50
p
-100(50) = -5p
-5,000 = -5p
p
5, 000
5
p = 1,000
El precio de $1,000 se venderá 225 vajillas.
Lic. Javier Alvarez Noyola
Una función de oferta relaciona el precio de mercado a las cantidades que los abastecedores
se inclinan a producir y vender. Las funciones de oferta implican lo que se tenga en existencia en la
tienda depende del precio que la gente este dispuesta a pagar. Al contrario de la naturaleza inversa
del precio y la demanda en funciones de demanda, la cantidad de abastecedores está dispuestos a
ofrecer, por lo general, varía directamente con el precio de mercado. permaneciendo todo lo demás
igual, a un alto precio de mercado corresponde una intención por parte del abastecedor de producir
y vender más; y al menor precio que la gente esta dispuesta a pagar, corresponde al menor incentivo
para producir y vender. Al igual que las funciones de demanda, las funciones de oferta se pueden
aproximar, algunas veces, empleando funciones lineales.
qo  ap  b
Ejercicio:
Una tienda de autoservicio está ofreciendo en su departamento de ferretería un juego de
destornilladores y esta representado en la siguiente tabla que representa la oferta de los
destornilladores, se desea obtener:
a).- La función que represente la oferta.
b).- Si el precio es de $200.00 ¿Cuántos destornilladores se ofrecerán?
c).- Si se desean ofrecer 1,450 destornilladores ¿Cuál será el precio ofertado?
Precio
P
Oferta
90
270
150
50
2150
750
qo
a).- La función que represente la oferta.
Solución:
P
qo
90
50
270
2,150
180
2,100
-120
- 1.400
150
m1 
2 ,100
180
m2 
1, 400
120
750
 Se saca sexta  350
30
 se saca cuarta 
350
30
Como m1  m2 entonces se trata de una función lineal y como m 
qo 
35
3
pb
Lic. Javier Alvarez Noyola
35
3
la función queda:
Ahora buscaremos “b” utilizando los valores (90, 50).
qo 
50 
50
50
50
b
35
3
35
3
=
=
=
pb
90  b
35(30) + b
1,050 + b
1,050 = b
-1,000
Y la función queda de la siguiente manera:
qo 
p  1,000
35
3
b).- Si el precio es de $200.00 ¿Cuántos destornilladores se ofrecerán?
qo 
35
3
200  1,700
qo  2,333 – 1,000
qo  1,333 destornilladores.
c).- Si se desean ofrecer 1,450 destornilladores ¿Cuál será el precio ofertado?
qo 
35
3
p  1,000
1,450 
35
3
p  1,000
1,450  1,000 
2,450 
7 , 350
35
35
3
35
3
p
P
p
p = 210
Lic. Javier Alvarez Noyola
Se desea que la cantidad de artículos que se ofrecen y se venden deberán ser iguales, si esto
sucede se le llama punto de equilibrio, entonces surge una pregunta ¿Qué precio debe ser para
lograr el equilibrio?
Este precio se encuentra cuando la oferta es igual a la demanda.
qd = qo
Ejercicio:
Supongamos que una empresa tiene un artículo en venta y las funciones resultantes son las
siguientes:
qd   53 p  300 Demanda
qo 
35
3
p  100
Oferta.
Obtener:
a).- ¿Para qué precio se tiene equilibrio?.
b).- ¿Cuánto es la oferta y demanda en el punto de equilibrio?
c).- Dibujar una gráfica.
Solución:
a).- ¿Para qué precio se tiene equilibrio?.
 53 p  300 
 p
5
3

35
3
40
3
35
3
p  100
p  100  300
p  400
-40p = -1,200
p
1, 200
 400
p = 30
Con el precio de $30.00 se logra el punto de equilibrio.
b).- ¿Cuánto es la oferta y demanda en el punto de equilibrio?
qo  qd
 ( p )  300
5
3
 53 (30 )  300
 50  300
250 artículos
Lic. Javier Alvarez Noyola
1.- Un grupo de ingenieros está interesado en formar una compañía para producir detectores
de humo. Están en una etapa de diseño y estiman que los costos variables por unidad, incluyendo
materia prima, mano de obra y costos de mercado, son de $22.50. Los costos fijos con la formación,
operación y administración de la compañía y la adquisición de equipo y maquinaria, hacen un total
de $250,000. Estimar que precio de venta será de $30.00 por detector.
a).- Determínese el número de detectores de humo que se deben vender a fin de la firma
esté en equilibrio con la inversión.
b).- Los datos preliminares de mercado indican que la firma puede esperar unas ventas de
aproximadamente 30,000 detectores de humo durante la vida del proyecto si se les fija a los
detectores un precio de $30.00. Determinar las unidades esperadas en este nivel de producción.
2.- Una firma elabora un producto que vende a un precio de $25.00 por unidad. Los costos
variables se estiman en $18.75 por unidad y los costos fijos en $50,000.
a).- Determinar el nivel de producción de equilibrio.
b).- Calcúlese el costo y los ingresos totales en el punto de equilibrio.
c).- ¿Cuál será la utilidad si la demanda es de 7,500 unidades.
3.- Una organización caritativa local esta planeando un vuelo exclusivo y una semana de
vacaciones en el caribe. La empresa va a llevar a cabo recabar fondos. Para ello ha tratado de
obtener un paquete con la línea aérea comercial, en el cual le cargará a la organización un costo fijo
de $10,000 dólares más $300.00 dólares por persona. Los $300.00 dólares cubre el costo del vuelo,
traslado, alimentos, y propinas. La organización está planeando fijar un precio al paquete de
$450.00 dólares por persona.
a).- Determínese el número de personas que se necesitan para obtener el equilibrio en la
empresa.
b).- La meta de la organización es obtener ganancia neta de $10,000 dólares. ¿Cuántas
personas deben participar para lograr esta meta?
4.- Las siguientes tablas representan las funciones demanda y oferta respectivamente en un
cierto producto.
Demanda
Precio
Demanda
Oferta
Precio Oferta
qd
5
3
qo
320
336
5
3
205
195
a).- Determinar la ecuación que represente la demanda
b).- Determinar la ecuación que represente la oferta.
c).- Si el precio es de $25.00 ¿Cuál es la demanda y la oferta?
d).- ¿En que precio se logra el equilibrio?
e).- ¿Cuál es la oferta y la demanda en el precio de equilibrio?
f).- ¿Para que precios se obtiene escasez?
g).- ¿Para que precio se obtiene abundancia?
h).- Graficar.
Lic. Javier Alvarez Noyola
Un sistema de ecuaciones es un conjunto que consiste de más de una ecuación. En muchas
aplicaciones, dentro de los negocios y la economía, se debe tratar como sistema de ecuaciones. Por
tal motivo, a menudo se analizarán las interacciones que ocurren en las ecuaciones.
En la práctica hay problemas cuya solución requiere del planteo de un sistema de
ecuaciones:
Ejercicio:
La compañía mueblería del centro produce muebles de madera de dos tipos diferentes, para
eso utiliza en uno de ellos madera de pino con las siguientes necesidades 9 tablas de ( 0.75in x 8in x
8ft ); y 3 hojas de triplay de ( 4ft x 8ft ), y para el otro tipo de mueble utiliza 6 tablas y 4 hojas de
triplay de las mismas dimensiones. Los costos de la madera, para le primer mueble es de $285.00 y
para el segundo mueble $260.00. ¿Cuánto cuesta cada tabla y cada hoja de triplay.
Solución:
Tipo de mueble
Mueble 1
Mueble 2
No. De tablas
Madera.
x
9
6
No. De hojas
Triplay.
y
3
4
Costo del
material
285.00
260.00
Los costos del primer mueble:
(No. De tablas) (precio de cada tabla) + (No. De triplay) (Precio de cada triplay)
285 = 9x + 3y
Los costos para el segundo mueble:
260 = 6x + 4y
Las ecuaciones resultantes ser:
(1) 9x + 3y = 285
(2) 6x + 4y = 260
El grado de las dos ecuaciones es uno, por lo tanto ambas gráficas son lineales. Para
resolver un sistema de ecuaciones, se puede utilizar diferentes métodos como son:
1.2.3.4.5.-
Método gráfico.
Método de suma y resta.
Método de sustitución.
Método de igualación.
Método de Gauss Jordán.
Lic. Javier Alvarez Noyola
1.- Método gráfico.- Consiste en graficar en el mismo plano las dos ecuaciones, con la
técnica de las abscisas y ordenada al origen:
Para obtener la ordenada
9x +3y = 285
Si x = 0, entonces y =
Sustituyendo:
9 (0) + 3y = 285
3y = 285
y
285
3
y = 95 abscisa al origen.
Si y = 0 entonces x =
Sustituyendo:
9(x) + 3(0) = 285
9x = 285
x
285
9
x = 31.66 ordenada al origen.
En la segunda ecuación:
Para x = 0 entonces y = 65
Para y = 0 entonces x = 43.33
Realizar la gráfica
y
100
90
Madera en triplay
80
70
60
50
40
(20, 35)
30
20
10
0
x
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Madera en tablas
El punto donde se cruzan las dos rectas (intersección) es la solución del problema. Así que
el precio de cada tabla es de $20.00 y el del triplay es de $35.00
Lic. Javier Alvarez Noyola
2.- Método suma o resta.
Tiene su funcionamiento en una de las propiedades de la igualdad: para tener coeficientes
iguales y de signo diferente para una de las incógnitas podemos multiplicar y/o dividir una o las dos
ecuaciones que resulte trabajaremos con el mismo ejercicio.
1.- 9x + 3y = 285
2.- 6x + 4y = 260
La primera ecuación la número 1 la multiplicaremos por (-4) y la segunda ecuación la
multiplicaremos por (3) y así tendremos:
1.- -36x - 12y = -1,140
2.- 16x + 12y = 780
-18x
= - 360
Despejamos x:
x
360
18
= 20
El valor de x se substituye en cualquiera de las dos ecuaciones y así tendremos:
2.- 6x + 4y = 260
2.- 6(20) + 4y = 260
120 + 4y = 260
4y = 260 -120
4y = 140
y  140
 35
4
3.- Método por sustitución.
9x + 3y = 285
6x + 4y = 260
Despejaremos x en la primera ecuación:
9x + 3y = 285
9 x  285  3 y
x
285 3 y
9
Ahora tomaremos la segunda ecuación:
6x + 4y = 260
6( 2859 3 y )  4 y  260
2

285  3 y
3
570  6 y
3
  4 y  260
 4 y  260
Multiplicamos por 3
570 - 6y + 12y = 780
6y = 780 - 570
6y = 210
y
210
6
 35
Lic. Javier Alvarez Noyola
El valor de y se substituye:
x
285  3 y
9

285  3 ( 35 )
9
 180
 20
9
4.- Método por igualación. Despejaremos cualquiera de las incógnitas en la 2ª, ecuación y
así tenemos.
9x + 3y = 285
6x + 4y = 260
Despejaremos y en la primer y segunda ecuación:
9x + 3y = 285
3y = 285 - 9x
y
285 9 x
3
y = 95 - 3x
Tomamos la 2ª. Ecuación
6x + 4y = 260
4y = 260 - 6x
y
260 6 x
4
Igualamos
95 - 3x =
260 6 x
4
Multiplicamos por 4
380 - 12x = 260 - 6x
Simplificando
-12x + 6x = 260 - 380
-6x = -120
x
120
6
x = 20
Lic. Javier Alvarez Noyola
Al tratar con problemas de producción, pues existen empresas que al producir sus productos
hacen más de uno diferente, pues pueden producir 4 o más.
Ejercicio:
Una empresa fabricante de artículos electrónicos produce 3 productos principalmente en sus
planes de producción y son: estéreos, grabadoras y videocaseteras. La compañía cuenta con tres
departamentos que son: producción, ensamble y acabado, producir un estéreo requiere de 3 horas en
el departamento de producción, 5 horas en el departamento de ensamble y 4 horas en el
departamento de acabado; la grabadora, requiere 4 horas en producción, 3 horas en ensamble y 2
horas en acabado, y la videocasetera necesita de 2 horas en producción, 4 horas en ensamble y 3
horas en acabado. Las horas disponibles por semana en cada departamento son: Producción 470
horas, ensamble 690 horas y acabado 520 horas.
¿Cuál es el número de horas de cada artículo que agotaría las horas disponibles en cada
departamento?
Horas necesarias por unidad
Artículo
Producción ensamble acabado
Estéreo
3
5
4
Grabadora
4
3
2
Videograb.
2
4
3
H. Disponib. 470
690
520
Simbolizaremos:
E = Número de estéreos.
G = Número de grabadoras.
V = Número de videograbadoras
Ecuación:
Producción
Ensamblado
Acabado
3E + 4G + 2V = 470 (1)
5E + 3G + 4V = 690 (2)
4E + 2G + 3V = 520 (3)
La ecuación la haremos por el método suma o resta, para encontrar los valores,
multiplicaremos la primera ecuación por (-2) y obtendremos:
-6E - 8G - 4V = - 940 (1) multiplicado por –2
5E + 3G + 4V = 690 (2)
- E - 5G
= - 250 (4)
Ahora multiplicaremos la primera ecuación por (-3) y la tercera por (2) y sumaremos.
Lic. Javier Alvarez Noyola
-9E - 12G - 6V = - 1,140 (1) multiplicada por (-3)
8E + 4G + 6V = 1,040 (3) multiplicada por ( 2)
- E - 8G
-o- = - 370 (5)
Ahora tenemos dos ecuaciones que son la 4 y la 5
E + 5G = 250 (4)
-E - 8G = -370 (5)
- 3G = -120
G
120
3
 40 Grabadoras
Sustituyendo el valor de G en las ecuaciones 4 y 5
E
E
E
E
+
+
+
=
E
5G = 250
5(40) = 250
200 = 250
250 - 200
= 50 Estéreos
Ahora tomaremos la primera ecuación y sustituimos los valores ya encontrados:
3E + 4G + 2V = 470 (1)
3(50) + 4(40) + 2V = 470 (1)
150 + 160 + 2v = 470
2V = 470 - 150 – 160
2v = 470 - 310
2v = 160
V  160
 80 Videograbadoras.
2
Resultado:
Se pueden producir
40 Grabadoras.
50 Estéreos.
80 Videograbadoras.
Lic. Javier Alvarez Noyola
1.- La empresa Café Festivo vende dos tipos de café, El café Córdova a un precio de $52.00
el kilo y el café caracolillo a $48.00 el kilo, el propietario hará una mezcla de las dos variedades por
50 kilos y vendieron el café a $49.00 el kilo, cuantos kilos de café de cada variedad deberán
mezclar para tener los mismos ingresos.
2.- Dos vasos de jugo de naranja y 3 cócteles de frutas cuestan $20.50, mientras que 4 vasos
de jugos y 2 cócteles cuestan $23.00 ¿Qué precio tiene el jugo y el cóctel de frutas?
3.- En una empresa trabajan 175 personas entre hombres y mujeres. Los hombres ganan
$42.00 diarios y las mujeres ganan $35.00. Sí la nómina diaria es de $6,825.00 ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres trabajan en la empresa?
4.- Una persona vendió 70 boletos para una audición, los boletos costaron $300.00 y
$200.00. Si el total de sus ventas fue de $18,500.00 ¿cuantos boletos vendió de cada uno de los
precios?
5.- Una empresa fabrica 2 productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por 2
máquinas, I y II, el artículo A requiere una hora de procesamiento de la máquina I y una hora y
media de la máquina II. Y Cada artículo B requiere 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina
II, si la máquina I esta disponible 300 horas al mes y la máquina II 250 horas al mes. ¿Cuántas
unidades de cada tipo podrá fabricar al mes, si utiliza el tiempo total que dispone en las dos
máquinas.
6.- La nutrióloga del hospital está planeando el desayuno. Se sirven tres alimentos
diferentes que deben cubrir las necesidades mínimas de tres vitaminas. Se resume al contenido
vitamínico por onza de cada alimento en la siguiente tabla:
Tipo de alimento
Alimento 1
Alimento 2
Alimento 3
Nece. diarias
Contenido vitamínico por alimento
Vitamina E
Vitamina B-12 Vitamina A
5 mg.
2 mg.
1 mg.
3 mg.
1 mg.
5 mg.
2 mg.
3 mg.
2 mg.
29 mg.
20 mg.
21 mg.
¿Cuál será el número de vitaminas de cada alimento de debe incluir en la dieta?
7.- Una compañía mueblería produce 3 tipos de muebles: El americano, el europeo y el
oriental, cada tipo de mueble requiere madera, aluminio y plástico en el almacén hay 400 unidades
de madera 600 de plástico y 1,500 de aluminio se desea agotar las existencias del almacén. Cuantos
muebles de cada uno se deben producir para lograr el objetivo?
Mueble
Americano
Europeo
Oriental
Madera
1
1
1
Aluminio
2
3
5
Lic. Javier Alvarez Noyola
Plástico
1
1
2