CLARA GÓMEZ GARCÍA Mª JESÚS MACÍAS CASTILLO NOELIA SOLÍS PRECIADO JUAN VILLA MORALES TEMA 6: DESARROLLO ASINTÓTICO DE INTEGRALES 10.- Demuestra que ∞ ~ √ , →∞ Tenemos una integral de la forma: = , →∞ Si identificamos términos, vemos que: = = = 0, " = ∞ Por tanto este problema lo resolvemos por el método generalizado de Laplace. Este método se basa en que aproximamos el valor de nuestra integral a su comportamiento en el máximo del integrando. Ambas funciones, # , son reales y continuas. Vemos que = $ Por tanto, se nos presenta un problema ya que no podemos decir qué exponencial domina en el integrando. 1 Vamos a hallar la posición del verdadero máximo del integrando = , , %& , = − ( , = 0 = − 2 ⇒ = 2 La posición del máximo depende de valor de x, por tanto, el máximo es movible o no fijo. Para aplicar el método de Laplace lo primero que haremos es transformar este problema en uno con un máximo fijo. Para llevar a cabo esto, hacemos el cambio de variable = + ⇒ = + 2 2 Vemos que el máximo de , + está situado en + = 1, haciendo el cambio en el valor del máximo anterior = +⇒ += ⇒+=1=2 2 2 Realizando este cambio de variable se tiene que ∞ ,. = + 2 / Donde ( +( , + = + − 2 2 Vamos a comprobar que, efectivamente, el máximo de , + se encuentra en + = 1: , + ( 2+ = 0 = 1 − ⇒ + = - = 1 2 2 + ( − ( 0 , +1 = <0 + ( 2 .23 Por tanto, la integral se transforma en = ∞ $ ..$ ( + ( 2 / 2 Desarrollando , + en torno a s=1: , + ≈ - + ′ -+ − - + 1 ′′ -+ − -( 2 ( 1 − ( ( ( , + ≈ + 8 9 + − 1 = 1 − + − 1( 4 2 2 4 Vamos a aproximar el intervalo de integración en torno al máximo c, que está dentro del intervalo (a, b): ;<δ $ $ ~ : 3.3 + 2 ;δ Hacemos que = → ∞, ya que los términos que añadimos son despreciables, son Términos Exponencialmente Pequeños: ∞ $ 3.3$ ~ : + 2 ∞ Es decir, ~, =~, = → ∞ Ya podemos calcular el valor de nuestra integral , cuando x → ∞. Para ello hacemos el cambio de variable: E( = ( + − 1( ⇒ E = + − 1 4 2 E = 2 + ⇒ + = E 2 + El cambio de variable también afecta a los límites, por lo que según la relación E= +=∞⇒E=∞ 0 + − 1: G + = −∞ ⇒ E = −∞ 2 Obtenemos así: ~ $ : ∞ H E $ ∞ Donde nos queda únicamente calcular el valor de la integral ∞ H E : ∞ ∞ ∞ $ H E = 2 H E ∞ $ / $ 3 Esta integral está tabulada y su valor es √I. También la podemos evaluar realizando el cambio: E( = J y teniendo en cuenta la función gamma: ∞ K! ≡ Γ1 + K = # # N O / Como ∞ ∞ H E = 2 H E $ ∞ $ / Llegamos a: ∞ H E = / $ 1 ∞ P 3 1 1 √π J ( J = Γ Q R = 2 2 / 2 2 Por tanto: ∞ ∞ H E = 2 H E = √π ∞ $ / $ Una vez calculada la integral por una de las 2 formas, tan sólo nos queda sustituir en: $ ∞ ~ : H E ∞ $ De lo que obtenemos: ∞ $ = ~ √I : , -E &% → ∞ / $ Que es lo que queríamos demostrar. 4