Práctica 3

Cálculo Infinitesimal 1
Práctica 3
Sucesiones
(Curso 2015–2016)
1.– Decir si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas y dando un
contraejemplo en caso de falsedad:
a) Una sucesión acotada no puede ser oscilante.
b) Toda subsucesión de una sucesión convergente está acotada.
c) Toda sucesión monótona creciente es convergente o divergente.
d) Toda sucesión no acotada es divergente.
e) Toda sucesión divergente es no acotada.
2.– Probar si son o no acotadas las siguientes sucesiones:
1)
n2
4) {sen(nπ)}n∈IN
2
n +1
5)
2n
n∈IN
1
6)
cos(n) n∈IN
n∈IN
1
2n − 1 n∈IN
(−1)n
√
3)
n n∈IN
2)
3.– Demostrar que la siguiente sucesión de números reales es de Cauchy.
an =
n
, n ∈ IN
2n − 1
4.– Si P (x) es un polinomio de grado k > 0 con coeficientes reales positivos, calcular el lı́mite de
las sucesiones con término general an siguientes:
n+1
1) P
n
2) (P (n + 1) − P (n))
P (n + 1)
3)
P (n)
ln (P (n))
4)
n
n
5.– Demostrar que la convergencia de la sucesión {xn }n∈IN implica la convergencia de la sucesión
{|xn |}n∈IN . ¿Es cierto el recı́proco? (dar un contraejemplo en su caso).
6.– Calcular los siguientes lı́mites de sucesiones:
9) lı́m (n)1/n
1) lı́m n2 (21/n − 1)
n→∞
p
2) lı́m ( n2 + n − 2n)
n→∞
10) lı́m (ln(n2 + 1) − n)
n→∞
n→∞
2n
3) lı́m
+ 2n
− 2n
lı́m
n→∞
5n
n
lı́m
n→∞ 2n
2
n
n +1
lı́m
n→∞
4n2
1/n
n
lı́m
n→∞ n2 + 1
2 n
lı́m 1 −
n→∞
n
n→∞ 1
4)
5)
6)
7)
8)
cos(n)
n→∞ n2
n sen(n)
lı́m
n→∞
2n
(−1)n
lı́m
n→∞ n!
ln(n)
lı́m
n→∞ n
1 n/sen(n)
lı́m 1 +
n→∞
n
4
sen(n) 1 n
lı́m
+
n→∞
n2
2
11) lı́m
3n
12)
13)
14)
15)
16)
7.– Dadas las siguientes sucesiones {xn }n∈IN definidas de manera recurrente, probar que son
convergentes y calcular su lı́mite:
√
a) x1 = 2,
xn+1 =
b) x1 = 2,
xn+1
c) x1 = a, x2 = b > a,
xn+2
4
d) x1 = ,
4
xn+1
√
2xn
1
2
=
xn +
2
xn
xn + xn+1
=
2
4
=
4 − xn
8.– Calcular los lı́mites siguientes:
1) lı́m
3)
4)
5)
6)
7)
8)
n
+
n
+ ...
n
0
1
n
r n
n
n
2
lı́m n
·
···
n→∞
0
1
n
q
q
√
√
lı́m
n+ n− n− n
n→+∞
!
r
r
r
1
1
1
3
3
3
n4/3
lı́m
n + + n + + ... + n +
n→∞
1
2
n
√
n
lı́m an + bn + cn siendo a ≥ b ≥ c > 0
n→∞
1
1
1
1
√
lı́m √ + √
+ ... + √
n→∞
n
n
n+1
2n
√
n
lı́m a1 × a2 ... × an siendo lı́m an = K
n→∞
n→∞
q
√
lı́m n − n nn+1 ( n a − 1) , a > 1
n→∞
2)
r n
n→∞
9.– Calcular
lı́m
n→∞
1 + an2
3n2 − 2
1−bn2
, n ∈ IN
en función de los diferentes valores de a, b ∈ IR, a > 0, b 6= 0
10.– Dados a0 , b0 ∈ IR tales que a0 > b0 ≥ 0, definimos las sucesiones {an }n∈IN y {bn }n∈IN en la
forma:
an + bn
;
2
Demostrar las siguientes afirmaciones:
an+1 =
bn+1 =
p
an bn
a) an ≥ bn ∀n ∈ IN.
b) {an }n∈IN es decreciente y acotada inferiormente.
c) {bn }n∈IN es creciente y acotada superiormente.
d) {an }n∈IN y {bn }n∈IN convergen hacia el mismo lı́mite.
11.– Sea la sucesión de números reales {an }n∈IN tal que lı́m (an+1 − an ) = λ ∈ IR. Demostrar:
n→∞
an
= λ,
n→∞ n
λ
a1 + . . . + an
=
b) lı́m
2
n→∞
n
2
a) lı́m
12.– Un segmento de longitud unidad se divide en n partes iguales y sobre cada una de ellas,
tomándola como base, se construye un triángulo equilátero. Calcular:
a) El lı́mite de la longitud de la lı́nea quebrada resultante.
b) El lı́mite del área delimitada por los n triángulos equiláteros.
13.– Sea un triángulo equilátero de lado l. Dividimos cada lado en tres partes. Sobre la parte
central de cada uno de ellos adosamos un nuevo triángulo equilátero de lado l/3, resultando un
polı́gono de 12 lados (“estrella de 6 puntas”). Repetimos la operación, obteniendo ahora uno
de 48 lados, y ası́ sucesivamente... Llamando L0 y A0 al perı́metro y al área, respectivamente,
del triángulo inicial y Ln y An a los de los polı́gonos obtenidos tras repetir n veces el proceso,
calcular los lı́mites de estas expresiones cuando n tiende a infinito.