aplicación para la geometría analítica - IIT

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO EN INFORMÁTICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
APLICACIÓN PARA LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
AUTORA:
MADRID
MARÍA VIDAL DE COS
Junio de 2006
Autorizada la entrega del proyecto de la alumna:
Dª. María Vidal de Cos
Madrid, 7 de Junio de 2006
EL DIRECTOR DEL PROYECTO
Fdo.: Dr. D. Francisco Javier Rodríguez Gómez
Vº Bº del Coordinador de Proyectos
Fdo.: D. Eduardo Alcalde Lancharro
Fecha: 28/ 06/ 06
UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO EN INFORMÁTICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
APLICACIÓN PARA LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
AUTORA:
Dª. MARÍA VIDAL DE COS
DIRECTOR:
DR. D. FRANCISCO JAVIER RODRÍGUEZ GÓMEZ
Aplicación para la Geometría Analítica
Agradecimientos
A Francisco Javier, por asignarme este Proyecto, y haber conseguido,
con su dirección, que viera su término.
A mis padres, por estar ahí siempre y darme su apoyo
incondicionalmente.
A mi hermana, por echarme una mano y compartir su experiencia,
conocimientos y tiempo conmigo.
A todos mis amigos, por hacerme llegar su energía.
A Ana, Carmen y Sandra, porque sí.
Gracias.
I
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Resumen
El propósito principal del presente Proyecto es el diseño de una aplicación
interactiva para el aprendizaje de la Geometría Analítica. Es muy importante que dicha
aplicación permita estudiar y representar de una forma gráfica los elementos de la
Geometría en dos dimensiones.
Con el consiguiente manejo de esta aplicación se logra el estudio de los puntos en
coordenadas cartesianas. En primer lugar, se tiene en cuenta la representación de los
puntos, el cálculo y representación de la simetría respecto al eje O X , O Y , el origen de
coordenadas, al igual que respecto a las distintas bisectrices, y, en último lugar, la distancia
entre dos puntos en dos dimensiones.
La aplicación también permite trabajar con el punto en coordenadas polares. Se
pueden realizar distintas operaciones, bien sea hallar el punto simétrico respecto al eje
polar, llevar a cabo el cálculo del giro del eje, y realizar la conversión de los tipos de
coordenadas: el paso de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, y a la inversa.
Un aspecto importante en la Geometría es el estudio y el cálculo de la recta. Se han
diseñado diversas funcionalidades y algoritmos que permiten calcular y representar la recta
en sus diferentes modalidades. De todas las posibles características, se ha estudiado la recta
que pasa por el origen y, del mismo modo, la que no pasa por el origen de coordenadas.
Igualmente, se ha llegado a la deducción y representación de la recta conocidos algunos
II
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
componentes de la misma. De estos casos se puede destacar la deducción de la misma
conocida una ordenada al origen y su pendiente, la intersección y perpendicularidad entre
dos rectas, y la recta que pasa por dos puntos conocidos. En este apartado se ha diseñado
también el algoritmo para el cálculo de la distancia de un punto a una recta y el caso
particular de la ecuación simétrica de la recta, también denominada primera forma normal.
Es necesario hacer especial mención, dentro de la Geometría Analítica, al estudio
de las cónicas. Por ello, en el presente Proyecto se han preparado diferentes algoritmos para
la representación y obtención de la ecuación de la parábola, la elipse y la hipérbola. Para
estas tres cónicas, se pueden obtener las respectivas ecuaciones en su forma común y la
correspondiente conversión a ecuación general y viceversa. Estas ecuaciones se han
estudiado para el caso de representaciones horizontales y verticales, bien sea con centro en
el origen o fuera del origen de coordenadas.
Como caso específico se ha tratado la circunferencia. El estudio de la misma se ha
cubierto con el cálculo de sus ecuaciones y su consiguiente representación en los dos tipos
de ecuación que se dan, es decir, el caso de la ecuación común y el caso de la ecuación
general. Estas mismas ecuaciones pueden hallarse con los distintos parámetros que la
componen: centro, radio, puntos de intersección, rectas tangentes, etcétera. Estos
parámetros pueden darse directamente o necesitar realizar diversas deducciones.
Todo el diseño de estos algoritmos se ha implementado en Mathematica®. Para
cada uno de los casos, se ha realizado el desarrollo y resolución. Los resultados de los
ejemplos se visualizan de manera numérica y gráfica para su mejor comprensión.
Según lo descrito, la metodología que se ha seguido en el actual Proyecto ha sido,
III
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
en primer lugar, llevar al detalle la teoría matemática de cada apartado de la Geometría que
se ha estudiado. A continuación, se ha procedido al diseño del pseudocódigo y, de la misma
manera, su posterior codificación y desarrollo en el paquete de cálculo numérico, simbólico
y gráfico Mathematica. En última instancia, se han resuelto los problemas planteados.
El paquete de desarrollo Mathematica es un sistema de computación numérico y
simbólico que incorpora un lenguaje de programación y capacidad de integrar texto,
gráficos y cálculo. Por todo esto, se ha elegido este paquete.
Los principales objetivos relacionados con este Proyecto son:
•
Diseñar el procedimiento y funciones que traten y representen los puntos en el plano
en coordenadas cartesianas y polares.
•
Cálculo y representación de la ecuación de una recta en las distintas modalidades de
la misma.
•
Representar gráficamente las distintas ecuaciones de la circunferencia.
•
Determinación de las ecuaciones de la elipse, la hipérbola y la parábola y su
representación en el plano.
•
Diseño de una aplicación gráfica con una interfaz de usuario que permita tratar
analíticamente las curvas en el plano y resuelva, de una manera analítica, los problemas
planteados en la Geometría Analítica.
•
Desarrollo del paquete en Mathematica que contiene una serie de algoritmos
IV
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
numéricos que se emplean en la Geometría Analítica.
•
Incorporar herramientas computacionales en la ejecución de algoritmos del cálculo
numérico. Esto facilita que se lleve a cabo un entendimiento y que se aborden de manera
más gráfica los problemas planteados por la Geometría Analítica, que pueden pertenecer
igualmente y estar íntimamente relacionados con los conceptos geométricos de la vida
cotidiana.
•
Potenciar el acercamiento a la disciplina matemática estableciendo una estrecha
relación entre la Informática y las Matemáticas.
En resumen, a este software desarrollado en Mathematica® se le ha dado un
propósito específicamente didáctico, que ayude al entendimiento de las Matemáticas. Con
el estudio y representación de los diferentes componentes de la Geometría Analítica en el
plano, se intenta lograr una comprensión más profunda de las estructuras geométricas. Por
todo esto, el empleo de esta aplicación está ideado con fines educativos, para los estudios
de bachillerato y secundaria.
V
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Abstract
The main purpose of the present project consists of the design of an interactive
application able to study and represent different plane geometrical elements graphically.
This software manages to study the cartesian coordinate system. It can represent the
point, calculation and representation of its symmetry in relation to O X and O Y axis,
coordinate origin and bisecting line, and also, the distance between any two points.
It can work with polar coordinates as well, the symmetric point in relation to polar
axis, axis rotation and different type of coordinate conversion: converting from polar to
cartesian and vice versa.
The straight line is a very important element to emphasize in Analytical Geometry.
This application includes several cases of uses: the line that passes or not through the
origin, and different algorithms to deduce and represent the line when some components are
known. It calculates the equation of the line knowing ordinate and slope, two points or the
perpendicularity between two lines. It can find de distance from a point to a line and the
symmetric equation.
About the study of the conic sections, there are some algorithms prepared for the
representation and calculation of the equation of the parabola, ellipse and hyperbola, with
conversion from common to general equations. These equations have been studied for
VI
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
horizontal and vertical representations.
The circumference has been treated as an specific case. This study includes
calculating and representating it in its two equations, general and common. These types of
equations can be calculated using different components of the element as parameters:
centre, radius, points of intersection, and more components deduced from the
circumference.
As it has been described, the methodology carried out on this project has followed
the next steps: first of all, detailed analysis of each numerical method studied, design of its
pseudocode, and later, programmig and development in the numerical, symbolical and
graphical language Mathematica. As a last resort, a wide range of examples and proposed
problems have been solved.
The principal reason for having chosen Mathematica as the proper programming
language, is because it is a language able, as well, to integrate calculation, graphics and text
in the same document.
The most important objetives in relation to this project are:
•
Design the procedure and functions that manage and represent the point in the plane
in cartesian and polar coordinate systems.
•
Calculation and representation of the equation of the line in its variety.
•
Graphical representation of the different equations of circumference.
•
Calculation of ellipse, parabola and hyperbola equations and their representation into
VII
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
the plane.
•
Graphical application design with a user interface that allows analytical treatment for
curves and solve proposed problems in Analytical Geometry.
•
Development of a package in the programming language Mathematica that contains
several numerical algorithms used in Analytical Geometry.
•
Incorporation of computer tools in numerical calculation algorithms executation. This
provides understanding and the possibility of approaching Analytical Geometrical problems
in a more graphical perspective, that can be compared with geometrical concepts in real life.
•
Intensify the approach to mathematical discipline establishing a narrow relation
between Computer Science and Mathematics.
To sum up, the purpose of this software is particularly educational, helpful for
understanding of Mathematics. With the study and representation of the different
components of Analytical Geometry in the plane, it tries to carry out a deeper
comprehension of geometrical structures. For all this, the use of this application has been
though up for educational aims for secundary school education.
VIII
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Índice
Agradecimientos............................................................................................................I
Resumen........................................................................................................................II
Abstract.........................................................................................................................VI
Índice.............................................................................................................................IX
Introducción..................................................................................................................1
Especificación de requisitos.......................................................................................
...
4
a. Introducción......................................................................................................
...
4
b. Requisitos funcionales........................................................................................4
1. El Punto. Coordenadas cartesianas en el plano.........................................................12
1.1. Representación de puntos.................................................................................12
1.2. Punto simétrico respecto del eje OX................................................................13
1.3. Punto simétrico respecto del eje OY................................................................15
1.4. Punto simétrico respecto del origen de coordenadas.......................................16
1.5. Punto simétrico respecto de la bisectriz del primer cuadrante.........................17
1.6. Punto simétrico respecto de la bisectriz del segundo cuadrante......................19
1.7. Distancia entre dos puntos...............................................................................21
2. El Punto. Coordenadas polares.................................................................................23
2.1. Representación de puntos en polares...............................................................23
2.2. Punto simétrico respecto al eje polar...............................................................24
2.3. Giro del eje polar. Nuevas coordenadas polares..............................................25
2.4. Paso de coordenadas polares a coordenadas cartesianas..................................26
2.5. Paso de coordenadas cartesianas a coordenadas polares..................................28
3. La Recta.....................................................................................................................31
3.1. Ecuación de la recta que pasa por el origen. Concepto de pendiente..............31
3.2. Ecuación de la recta que no pasa por el origen................................................32
3.3. Trazado de una recta........................................................................................34
IX
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
3.3.1. Por tabulación..........................................................................................34
3.3.2. Por la ordenada al origen y la pendiente.................................................35
3.3.3. Por los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados......38
3.4. Intersección de rectas.......................................................................................39
3.5. Ángulo y perpendicularidad de dos rectas.......................................................41
3.6. Ecuación de la recta que pasa por un punto dado............................................43
3.7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados........................................45
3.8. Ecuación para la distancia de un punto a una línea recta.................................46
3.9. Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta...........48
4. La Circunferencia......................................................................................................50
4.1. Ecuación común de la circunferencia..............................................................50
4.2. Ecuación general de la circunferencia..............................................................51
4.3. Representación de la circunferencia conocido centro y radio..........................53
4.4. Representación de la circunferencia conocidos dos puntos de un diámetro....54
4.5. Representación de la circunferencia conocido el centro y un punto................55
4.6. Representación de la circunferencia conocido el centro y tangente
a una recta........................................................................................................56
4.7. Representación de la circunferencia que pasa por dos puntos y
tiene centro en una recta...................................................................................57
4.8. Representación de la circunferencia que pasa por tres puntos.........................59
4.9. Representación de la circunferencia conocido el radio y un punto
de una recta tangente.........................................................................................60
4.10. Distancia mínima de un punto a una circunferencia......................................61
5. La Parábola................................................................................................................65
5.1. Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen............................66
5.1.1. Análisis de la ecuación............................................................................67
5.2. Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen................................71
5.3. Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen.....................75
5.4. Ecuación de la parábola vertical con vértice fuera del origen.........................77
5.5. Forma general de la ecuación de la parábola horizontal con vértice
fuera del origen.................................................................................................79
5.6. Forma general de la ecuación de la parábola vertical con vértice
X
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
fuera del origen.................................................................................................83
6. La Elipse....................................................................................................................86
6.1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.................................86
6.1.1. Análisis de la ecuación............................................................................88
6.1.2. Excentricidad de la elipse........................................................................89
6.2. Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen.....................................92
6.3. Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen..........................95
6.4. Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen...............................98
6.5. Forma general de la elipse horizontal con centro fuera del origen..................102
6.6. Forma general de la elipse vertical con centro fuera del origen......................105
7. La Hipérbola..............................................................................................................110
7.1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen...........................110
7.1.1. Análisis de la ecuación............................................................................112
7.1.2. Asíntotas de la hipérbola.........................................................................113
7.2. Ecuacion de la hipérbola vertical con centro en el origen...............................115
7.3. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen.....................118
7.4. Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen.........................120
7.5. Forma general de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen............122
7.6. Forma general de la hipérbola vertical con centro fuera del origen................
.
126
8. Conclusiones.............................................................................................................130
9. Valoración económica y planificación......................................................................132
9.1. Introducción.....................................................................................................132
9.2. Técnicas de estimación de costes.....................................................................132
9.3. Planificación temporal del proyecto.................................................................135
9.4. Costes del proyecto..........................................................................................135
Bibliografía...................................................................................................................137
Aplicación informática..................................................................................................139
CD-ROM con el código de los algoritmos de Geometría Analítica en Mathematica®
XI
Introducción
En el mundo actual, la Geometría es considerada como una herramienta para el
entendimiento, o un parte de las Matemáticas que es intuitiva, concreta y ligada a la
realidad. Por otra parte, la Geometría como una disciplina, se apoya en un proceso extenso
de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de 2000 años en niveles
crecientes de rigor, abstracción y generalidad.
En los últimos años, la investigación en Geometría ha sido estimulada por nuevas
ideas, tanto desde el interior de las Matemáticas como desde otras disciplinas, incluyendo la
ciencia de la Computación. En el presente, las enormes posibilidades de las gráficas por
ordenador tienen influencia en muchos aspectos de nuestras vidas; con el fin de usar estas
posibilidades se hace necesaria una adecuada educación visual y gráfica.
Existe una gran acuerdo en el mundo de la docencia en el que la enseñanza de la
Geometría puede empezar en una edad temprana y continuar a través de todo el currículo
matemático. Persisten, no obstante, desde el pasado, los desacuerdos acerca de los
propósitos, contenidos y métodos para la enseñanza de la Geometría en los diversos
niveles, desde la Escuela Primaria hasta la Universidad.
Existen varias razones que han originado esta situación. Una es que la Geometría
tiene muchos aspectos, y no se ha encontrado una vía simple, limpia, lineal, desde los
1
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
primeros comienzos hasta las realizaciones más avanzadas de la geometría. Incluso los
conceptos básicos en Geometría, como las nociones de ángulo y distancia, deben ser
reconsideradas en diferentes etapas desde diferentes puntos de vista. Otro aspecto discutido
es el papel que desempeñan las demostraciones en Geometría: relaciones entre intuición,
demostraciones inductivas y deductivas, edad a la que las demostraciones pueden ser
presentadas a los estudiantes y los diferentes niveles de rigor y abstracción.
Por estas razones, la enseñanza de la Geometría no es tarea fácil. Y en lugar de
tratar de superar los obstáculos que surgen en la enseñanza de la geometría, las prácticas
escolares actuales omiten estos obstáculos excluyendo las partes más demandas, y a veces
sin nada que las reemplace. Ejemplo de esta situación es la Geometría Tridimensional o la
Geometría Analítica que casi ha desaparecido o se confinado a un papel marginal en el
currículo matemático.
En consecuencia, considerando la importancia de la Geometría en sí misma, tanto
en la investigación como en la sociedad, y puesto que existe una falta de atención en el
currículo escolar, surge una imperante necesidad de su estudio en sus diferentes facetas.
Hay una larga tradición de científicos, pedagogos y matemáticos que hacen uso de
herramientas tecnológicas. Recíprocamente, el uso de estas herramientas ha derivado en el
comienzo de nuevos retos en los problemas matemáticos. Las nuevas tecnología y el
ordenador han afectado dramáticamente todos los aspectos de nuestra sociedad. El dibujo
técnico, por ejemplo, ya no se hace a mano sino que en su lugar use usa software comercial,
plotters y otros dispositivos. El software para el Álgebra Simbólica y el CAD-CAM están
ampliamente difundidos y son muy empleados.
2
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
En particular, la Geometría está involucrada en muchas actividades de la Ciencia y
Tecnología, por lo que es preciso promover la creación y el uso de herramientas software
apropiadas para interpretar y entender el significado de sus aplicaciones. En este sentido,
los ordenadores se pueden usar para lograr un entendimiento más profundo de las
estructuras geométricas gracias al software específicamente diseñado para fines didácticos:
simulación de las construcciones tradicionales con regla y compás, mover los elementos
básicos de una configuración sobre la pantalla mientras se mantienen fijas las relaciones
geométricas existentes, o estudiar las componentes analíticas de la propia Geometría.
En este contexto, se pretende diseñar una aplicación software para ser utilizada por
profesores de Matemáticas de secundaria, y bachillerato, y para el aprendizaje de los
elementos de la Geometría Analítica y Euclediana.
•
Representación de puntos en coordenadas cartesianas y polares.
•
Tratar y manejar la transformación de coordenadas.
•
Realizar el estudio analítico de la recta (ecuaciones, perpendicularidad e
intersecciones).
•
Analizar los diferentes casos de las cónicas: la circunferencia, la elipse, la
parábola y la hipérbola.
3
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Especificación de requisitos
a. Introducción
Se indican para la aplicación informática de este Proyecto los requisitos funcionales
que debe cumplir la aplicación de Geometría Analítica.
Es necesario definir los requisitos, es un paso clave para la creación de cualquier
tipo de aplicación. La captura de los mismos es una parte esencial y facilita el
entendimiento con el usuario.
b. Requisitos Funcionales
RF001. Representación de puntos en coordenadas cartesianas.
Se debe representar una lista de puntos, dados por sus coordenadas cartesianas y su
nombre, en un sistema de ejes coordenados.
RF002. Simetría respecto al eje OX, OY y respecto al origen de coordenadas.
Conocidos un conjunto de puntos, se hallarán sus simétricos respecto del eje O X ,
O Y y también respecto del origen de coordenadas, devolviendo la aplicación las
coordenadas de los nuevos puntos y la representación de los puntos dados y los puntos
obtenidos.
RF003. Simetría respecto de la bisectriz del primer y segundo cuadrante.
Se podrá determinar y representar los puntos simétricos respecto de la recta que
4
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
representa la bisectriz del primer y del segundo cuadrante.
RF004. Distancia entre dos puntos.
Se hallará la distancia en el plano entre dos puntos cualesquiera, dados por sus
coordenadas. Como resultado se obtendrá dicha distancia y la representación gráfica de
ambos puntos.
RF005. Representación de puntos en coordenadas polares.
Se representarán los puntos en coordenadas polares, conocido su nombre, módulo y
argumento.
RF006. Simetría respecto al eje polar.
Dadas las coordenadas polares de un conjunto de puntos y sus correspondientes
etiquetas, se obtendrá el conjunto de puntos simétricos respecto al eje polar y su
correspondiente representación gráfica.
RF007. Giro del eje polar.
La determinación de las nuevas coordenadas polares de un conjunto de puntos, se
obtiene después de facilitar las coordenadas de los puntos en polares y el ángulo de giro
que sufre el eje polar. De este modo, se obtiene una lista con las nuevas coordenadas
polares y un gráfico en el que se representan los puntos en el momento anterior y posterior
al giro.
5
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
RF008. Conversión de coordenadas polares a cartesianas y viceversa.
Esta funcionalidad permite que se transformen las coordenadas de un punto, bien
sea de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, o bien, de polares a cartesianas. En
ambos casos, la aplicación solicita las coordenadas de los puntos y devuelve al usuario las
nuevas coordenadas y la representación del punto.
RF009. Representación de la recta.
Representará gráficamente la recta que se indique, determinando, del mismo modo,
en intervalo en el eje OX en el que se quiere incluir la misma. Esto servirá tanto para la
recta que pasa por el origen como la que no lo hace.
RF010. Trazado de la recta.
Para la realización del trazado de la recta hay tres métodos. Estos procedimientos
son el trazado por tabulación, por la ordenada en el origen y la pendiente, y por los puntos
de intersección de la recta con los ejes cartesianos.
En primer lugar, se efectuará el trazado de la recta por tabulación. En este caso, se
obtendrá un conjunto de puntos por los que pasa la recta y que serán representados
gráficamente sobre la recta a la que pertenecen.
Igualmente, se trazará la recta por la ordenada al origen y la pendiente, resultando el
valor de la ordenada al origen, la pendiente y los dos puntos deducidos de ambos
parámetros.
6
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
El último tipo de trazado es el que se realiza por intersección con los ejes
coordenados, que mostrará los puntos por los que pasa la recta cortando los ejes, y que
serán representados junto a la misma.
En los tres casos mostrados, se solicitará introducir la ecuación de la recta y el
intervalo en el que se desee el gráfico de la misma.
RF011. Intersección de dos rectas
Se hallará el punto de intersección de dos rectas y se representará al igual que las
dos rectas indicadas. En el caso de que las rectas sean paralelas, el punto resultante será
vacío.
RF011. Perpendicularidad entre dos rectas.
A partir de la ecuación de una de las rectas y la ordenada al origen de la otra, se
podrá obtener la ecuación de la segunda, de forma que se cumpla la perpendicularidad entre
ambas.
RF012. Ecuación de la recta que pasa por uno o más puntos.
La representación y determinación de la recta se realizará conocido el punto y una
recta paralela, o dos puntos, según sea el caso concreto.
RF013. Distancia de un punto a una recta.
Se determinará la distancia de un punto a una recta, y se mostrarán graficamente
dichos parámetros.
7
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
RF014. Primera forma normal de la recta.
Conocida una ecuación de una recta, se devolverá la ecuación simétrica de la
misma, también llamada primera forma normal.
RF015. Ecuación común y ecuación general de la circunferencia.
Conocidos el centro y el radio de la circunferencia, se puede hallar la ecuación de la
misma. Podrá del mismo modo mostrar bien sea la ecuación común o la general.
RF016. Representación de la circunferencia.
Se mostrará la ecuación y representación gráfica de la circunferencia conocidos
ciertos parámetros de la misma.
Los distintos modos estudiados permiten concluir la ecuación de la circunferencia
cuando se conoce el centro y el radio, el centro y un punto, o bien, el centro y una recta
tangente a la propia circunferencia. Del mismo modo, se puede representar la
circunferencia que pasa por dos puntos y su centro pertenece a una recta conocida y aquella
que tiene tres puntos conocidos incluidos en dicha circunferencia, o aquella que, conocido
el radio, se conoce, del mismo modo, otro punto en una recta tangente a la misma.
RF017. Distancia mínima de un punto a una circunferencia.
La aplicación hallará la distancia mínima de un punto a una circunferencia,
mostrando gráficamente si el punto dado pertenece a la circunferencia, está dentro o fuera
de la misma.
8
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
RF018. Parábola horizontal con vértice en el origen.
Representará gráficamente la parábola horizontal que se indique, mostrando, del
mismo modo, su foco y su directriz.
Igualmente, se podrá determinar y representar la parábola que pase por un punto,
que se indicará por sus coordenadas cartesianas. Se mostrará el foco, la directriz y la
ecuación de la parábola.
RF019. Parábola horizontal con vértice fuera del origen.
Dados un vértice y un foco, mostrará la ecuación de la parábola, la directriz y la
representación gráfica de la misma.
RF020. Parábola vertical con vértice en el origen.
Conocido el foco, se hallará la directriz y la ecuación de la parábola, y también en
otro caso, conocida la ecuación se hallará la directriz y el foco. En ambos, se concluirá con
la representación gráfica.
RF021. Parábola vertical con vértice fuera del origen.
Podrá determinar la ecuación de la parábola y la directriz, a partir de las
coordenadas cartesianas del vértice y el foco de la misma.
RF022. Forma general de la parábola horizontal y vertical.
Dada la ecuación de la parábola en cualquiera de sus dos vertientes, la transformará
9
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
en su forma general o su forma común, según corresponda.
RF023. Elipse horizontal con centro en el origen o fuera del origen.
Hallará todos los parámetros de la elipse: eje mayor, menor, coordenadas de los
focos y los vértices, y la representará gráficamente, conocida la ecuación de la misma. Si la
elipse no tiene su centro en el origen, mostrará las coordenadas del centro.
Se podrá, de la misma manera, determinar la ecuación de la elipse, conociendo las
coordenadas de los focos y el eje menor.
RF024. Elipse vertical con centro en el origen o fuera del origen.
La representación de esta cónica será mostrada a partir de la ecuación de la misma,
o de la introducción de las coordenadas de los focos y el eje menor. Se determinarán las
coordenadas de los vértices, los focos y, en el caso de que la elipse tenga el centro fuera del
origen, se mostrará dicho centro.
RF025. Forma general de la elipse horizontal y vertical.
Se podrá determinar y representar la ecuación común y general de la elipse,
partiendo de su forma general y común respectivamente.
RF026. Hipérbola horizontal con vértice en el origen.
Conocida la ecuación de la hipérbola, hallará sus asíntotas, las coordenadas de sus
focos y sus vértices y la representará gráficamente. Si el centro no coincide con el origen,
determinará cuales son sus coordenadas.
10
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
RF027. Forma general de la hipérbola horizontal y vertical.
Determinará la ecuación en forma general y común de la hipérbola, una vez se haya
introducido dicha ecuación en forma común o general respectivamente.
11
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
1. El Punto. Coordenadas
cartesianas en el plano
Un sistema de coordenadas se compone de los conceptos de latitud y longitud. Para
la localización de los puntos se utilizará en este caso el sistema de coordenadas cartesianas,
de este modo se permitirá la representación de cualquier punto en el sistema.
1.1. Representación de puntos
Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos ejes, perpendiculares
entre sí, que dividen en cuatro partes, o cuadrantes el plano en el que están contenidos.
Se toma como punto inicial la intersección de ambos ejes (origen), y dichos ejes se
dividen en partes iguales que se marcan como números enteros. De este modo cada eje es
una recta numérica que contiene todos los números reales en forma creciente de izquierda a
derecha en el eje horizontal, y de abajo a arriba en el vertical.
12
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 1. Representar los puntos
5.5 y
ij A yz ij 7
zz
jj zz jj
zz
jj B zz jj 4
5
zz.
jj zz = jj
zz
jj C zz jj 4
zz
7
jj zz jj
zz
j z j
k D { k -4 -10 {
Solución
Puntos
A H7, 5.5L
B H4, 5L
C H4, 7L
D H-4, -10L
Y
CH4, 7L
BH4, 5LAH7, 5.5L
7.5
5
2.5
−4
−2
−2.5
−5
−7.5
−10
DH−4, −10L
X
2
4
6
1.2. Punto simétrico respecto del eje OX
El punto simétrico respecto del eje O X es el resultado del movimiento directo que
transforma dicho punto en su simétrico de manera directa, tomando como referencia el eje
O X . Como consecuencia se transforma A en A', B en B' y así sucesivamente. Las
coordenadas de los puntos simétricos respecto del eje O X tienen su ordenada opuesta:
A Hx, yL,
A£ Hx, - yL.
(1)
13
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 2. Representar los puntos simétricos respecto del eje O X de los puntos:
ij A yz ij 2 3 yz
jj zz jj
z
jj B zz jj -3 2 zzz
jj zz = jj
z
jj C zz jj -1 1 zzz.
jj zz jj
zz
j z j
z
k D { k -6 -7 {
Solución
Puntos simétricos respecto al eje OX .
Puntos P y sus simétricos P £ .
A H2, 3L
B H-3, 2L
C H-1, 1L
D H-6, -7L
A' H2, -3L
B' H-3, -2L
C' H-1, -1L
D' H-6, 7L
Y
D'H−6, 7L
7.5
5
2.5
BH−3, 2L
CH−1, 1L
−6
C'H−1,
−1L
−4
−2
B'H−3, −2L −2.5
−5
DH−6, −7L
−7.5
14
AH2, 3L
X
2
A'H2, −3L
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
1.3. Punto simétrico respecto del eje OY
Al igual que en el punto anterior, los puntos se transforman mediante un movimento
respecto al eje O Y , de tal forma que los puntos del primer cuadrante pasan al segundo
cuadrante y viceversa, y los del tercero al cuarto y viceversa. Las coordenadas de dos
puntos simétricos respecto del eje O Y tienen su abscisa opuesta.
A Hx, yL,
A£ H-x, yL.
(2)
à Problema 3. Representar los puntos simétricos respecto del eje O Y de los puntos:
A
-1 2
J N=J
N.
3 -1
B
Solución
Puntos simétricos respecto al eje OY .
Puntos P y sus simétricos P £ .
A H-1, 2L
B H3, -1L
A' H1, 2L
B' H-3, -1L
15
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
AH−1, 2L
2
A'H1, 2L
1.5
1
0.5
−3
−2
X
−1
−0.5
B'H−3, −1L
1
−1
2
3
BH3, −1L
1.4. Punto simétrico respecto del origen de
coordenadas
La transformación que resulta en este caso es de los puntos en el primer cuadrante
al tercero, y viceversa, teniendo en cuenta que se toma como referencia de simetría el
origen de coordenadas. Del mismo modo, los del segundo cuadrante pasan al cuarto y los
del cuarto al segundo cuadrante.
A Hx, yL,
A£ H-x, - yL.
(3)
à Problema 4. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos respecto del origen de
coordenadas de los siguientes puntos:
A
-1 2
J N=J
N.
B
3 -1
Solución
Puntos simétricos respecto del origen.
Puntos P y sus simétricos P £ .
A H3, 3L
B H2, -4L
16
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
C H-2, 1L
A' H-3, -3L
B' H-2, 4L
C' H2, -1L
Y
B'H−2, 4L
4
AH3, 3L
2
CH−2, 1L
−3
−2
X
−1
1
2
3
C'H2, −1L
−2
A'H−3, −3L
−4
BH2, −4L
1.5. Punto simétrico respecto de la bisectriz del
primer cuadrante
En este caso es necesario trazar la bisectriz del primer cuadrante, esto es, la recta
que divide el cuadrante en dos parte iguales. Una vez trazada, se tiene en cuenta esta recta
para realizar la simetría de los puntos. Todos los puntos podrán reflejarse de forma
simétrica al otro lado de la bisectriz.
A Hx, yL,
A£ Hy, xL.
(4)
à Problema 5. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos respecto de la bisectriz
del primer cuadrante de los puntos siguientes:
ij A yz ij 2 3 yz
jj zz jj
z
jj B zz jj 2 -4 zzz
jj zz jj
z
jj C zz = jj -2 1 zzz.
jj zz jj
zz
jj zz jj
z
jj D zz jj 5 -3 zzz
jj zz jj
zz
k D { k -5 -4 {
17
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Solución
Puntos simétricos respecto de la primera bisectriz.
Puntos P y sus simétricos P £ .
A H2, 3L
B H2, -4L
C H-2, 1L
D H5, -3L
E H-5, -4L
A' H3, 2L
B' H-4, 2L
C' H1, -2L
D' H-3, 5L
E' H-4, -5L
Y
D'H−3, 5L
4
B'H−4, 2L
2
CH−2, 1L
−4
−2
EH−5, −4L
E'H−4, −5L
AH2, 3L
A'H3, 2L
X
2
−2C'H1, −2L
−4
4
DH5, −3L
BH2, −4L
18
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
D'H−3, 5L
4
AH2, 3L
B'H−4, 2L
A'H3, 2L
2
CH−2, 1L
−4
X
−2
2
4
−2C'H1, −2L
DH5, −3L
EH−5, −4L
−4
BH2, −4L
E'H−4, −5L
1.6. Punto simétrico respecto de la bisectriz del
segundo cuadrante
Este caso es exactamente igual al anterior, sólo que se traza la bisectriz en el
segundo cuadrante.
A Hx, yL,
A£ H- y, -xL.
(5)
à Problema 6. Hallar las coordenadas de los puntos simétricos respecto de la bisectriz
del segundo cuadrante de los puntos siguientes:
ij A yz ij 2 3 yz
jj zz jj
z
jj B zz jj 2 -4 zzz
zz
jjj zzz jjj
jj C zz = jj -2 1 zzz.
jj zz jj
z
jj D zz jj 5 -3 zzz
zz
jjj zzz jjj
z
D
-5
-4
k { k
{
19
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Solución
Puntos simétricos respecto de la segunda bisectriz.
Puntos P y sus simétricos P £ .
A H3, 5L
B H-4, 3L
C H7, -2L
A' H-5, -3L
B' H-3, 4L
C' H2, -7L
Y
AH3, 5L
B'H−3, 4L 4
BH−4, 3L
2
−4
−2
−2
A'H−5, −3L
2
4
−4
−6
−8 C'H2, −7L
20
X
6
CH7, −2L
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
AH3, 5L
B'H−3, 4L
4
BH−4, 3L
2
−4
X
−2
2
4
−2
6
CH7, −2L
A'H−5, −3L
−4
−6
−8 C'H2, −7L
1.7. Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos se halla utilizando una fórmula, que está
fundamentada en el teorema de Pitágoras. Para ello se utilizan las coordenadas de los
puntos, siendo éstas conocidas.
Se determinará una fórmula mediante la que se pueda calcular la distancia entre dos
puntos en cualquier caso. Se representan los puntos AHx1 , y1 L y BHx2 , y2 L en el sistema de
coordenadas y, trazando las perpendiculares al eje de ordenadas y al de abcisas, se obtiene
el triángulo al que aplicar el teorema. Por tanto, y como consecuencia, se obtendrá una
fórmula para el cálculo de la distancia entre ambos puntos de manera general.
d=
"################################
##########
Hx2 - x1 L2 + Hy2 - y1 L2 .
(6)
La distancia entre dos puntos es igual a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado de
la diferencia de las abcisas, más el cuadrado de la diferencia de las ordenadas.
21
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 7. Calcular la distancia entre los puntos:
A
-3 2
J N=J
N.
1 -1
B
Solución
Distancia entre dos puntos.
La distancia entre los puntos A y B es
êêê "################################
####################
A B = H1 - H-3LL2 + H-1 - H2LL2 = 5
Puntos
A H-3, 2L
B H1, -1L
Y
AH−3, 2L
2
1.5
1
0.5
−3
−2
X
−1
−0.5
−1
22
1
BH1, −1L
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
2. El Punto. Coordenadas polares
Este sistema se basa en señalar un punto como origen de las coordenadas, y a partir
de éste, tomar un segmento de recta horizontal llamado eje polar, en el que se marca la
escala deseada para medir distancias.
A partir de esto, a la hora de indicar la posición de un punto cualquiera en el plano,
se traza la recta desde el ese punto al origen del sistema y se mide el ángulo por el eje polar
y la recta. La medida del ángulo y de la distancia del punto al origen son las coordenadas
polares del punto.
2.1. Representación de puntos en polares
El sistema de coordenadas polares se determina por un punto O llamado polo, por
un rayo O A que parte de ese punto y que se denomina eje polar, y por una unidad lineal
para la medición de longitudes. Además cuando se considera un sistema polar, hay que
convenir en qué rotaciones alrededor del punto O se toman como positivas (por lo general,
en la dirección contraria a la de las agujas del reloj).
Se llaman coordenadas polares al radio y al ángulo polar (r, q).
Si el polo del sistema de coordenadas polares coincide con el origen de coordenadas
rectangulares, queda la equivalencia de coordenadas de la siguiente forma:
x = r cos HqL
y = r sen HqL.
(7)
23
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 8. Representar los siguientes puntos:
A = H5, p ê 4L .
B = H2, p ê 8L
Solución
Puntos
A H5, ÅÅÅÅ4pÅ L
B H2, ÅÅÅÅ8pÅ L
Y
π
AH5, L
4
3
2
π
BH2, L
8
1
X
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2.2. Punto simétrico respecto al eje polar
Teniendo en cuenta que las gráficas en coordenadas polares están dadas en función
del ángulo polar, será necesario para hallar su simétrico utilizar el mismo segmento, pero
utilizando el ángulo en negativo. De este modo se obtendrá el punto simétrico respecto al
eje polar. Si P Hr, qL es un punto expresado en coordenadas polares, su simétrico respecto al
eje polar será P£ : Hr, -qL.
P : Hr, qL
P£ : Hr, -qL.
(8)
24
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 9. Dado el punto siguiente en coordenadas polares, hállese su simétrico
respecto al eje polar.
A = H4, 3 p ê 2L.
Solución
Puntos simétricos respecto al eje polar.
Puntos P y sus simétricos P £ .
3p
A H4, ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ L
2
3p
A' H4, - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ L
2
Y
3π
A'H4, − L
4
2
2
−1
X
−0.5
0.5
1
−2
−4 3 π
AH4, L
2
2.3. Giro del eje polar. Nuevas coordenadas
polares
Dado un punto P Hr, qL, conocidas sus coordenadas polares, cuando el eje polar ha
girado un determinado ángulo a las nuevas coordenadas del punto en el nuevo sistema
polar tendrá un ángulo que será a unidades menor.
P Hr, qL
Eje polar gira a radianes
P£ Hr, q - aL.
(9)
25
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 10. En un sistema de coordenadas polares se dan los puntos
P H3, p ê 3L, Q H1, ÅÅÅÅ23 pL, R H3, 0L, S H5, ÅÅÅÅp4 L.
El eje polar se ha girado de manera que en la nueva posición pasa por el punto Q
(ha girado 2p ê 3). Determinar las coordenadas polares de los puntos en en nuevo sistema
polar.
Solución
Giro del eje polar. Nuevas coordenadas polares
Puntos P y sus simétricos P £ .
P H3, ÅÅÅÅ3pÅ L
2p
Q H1, ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ L
3
R H3, 0L
S H5, ÅÅÅÅ4pÅ L
P' H3, - ÅÅÅÅ3pÅ L
Q' H1, 0L
2p
R' H3, - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ L
3
5p
S' H5, - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ L
12
Y
π
SH5, L
4
π
PH3, L
2
3
2π
QH1, L
3 Q'H1, 0L
RH3, 0L X
−1
1
2
3
2π
R'H3, − L −2
3
π
P'H3, − L
3
−4
5π
S'H5, − L
12
2.4. Paso de coordenadas polares a coordenadas
cartesianas
Para la solución de ciertos problemas es necesario realizar un cambio de las
coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Un mismo punto puede tener ambos tipos
26
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
de coordenadas, PH x , y L y P H r , q L. La manera de relacionar ambas coordenadas hace
necesario coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las
abscisas. Gracias a ello, es posible deducir dos ecuaciones de acuerdo a la definición de las
funciones trigonométricas. Las dos ecuaciones son las siguientes:
x = r cos HqL
y = r sen HqL.
(10)
à Problema 11. Dadas las coordenadas polares del punto P = H2, 5 p ê 3L, determínense sus
coordenadas cartesianas.
Solución
Paso de coordenadas polares a cartesianas
5p
P H2, ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ L
3
Y
X
−0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
−0.75
−1
−1.25
5π
PH2, L
3
−1.5
−1.75
è!!!!
P' H1, - 3 L
27
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
−1
−1.5
è!!!!
P'H1, − 3 L
Y
X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
−1
5π
PH2, L
3
è!!!!
P'H1, − 3 L
−1.5
2.5. Paso de coordenadas cartesianas a
coordenadas polares
Al igual que en el apartado anterior, será necesario utilizar las dos ecuaciones que
relacionan el sistema de coordenadas polares con el sistema de coordenadas cartesianas.
Teniendo en cuenta el mismo punto PH x , y L y P H r , q L, las ecuaciones son las siguientes:
r=
è!!!!!!!!
!!!!!!!
x2 + y2
i
yz
y
z
q = Arcsen jjjj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
è!!!!!!!!
!!!!!!!2 zz.
2
k x + y {
(11)
28
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 12. Dadas las coordenadas cartesianas del punto, determínense sus
è!!!
coordenadas polares. P = I1, - 3 M.
Solución
Paso de coordenadas cartesianas a polares
è!!!!
P H1, - 3 L
Y
X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
−1
−1.5
è!!!!
PH1, − 3 L
P' H2, - ÅÅÅÅ3pÅ L
Y
X
−0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
−0.75
−1
−1.25
π
P'H2, − L
3
−1.5
−1.75
29
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
X
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.5
−1
π
P'H2, − L
3
è!!!!
PH1, − 3 L
−1.5
30
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
3. La Recta
Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano,
está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una función de dos
variables, siempre y cuando dicha función sea capaz de expresar la condición común que
satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea.
3.1. Ecuación de la recta que pasa por el origen.
Concepto de pendiente
Toda recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas está representado por
una función de la forma:
y = mx.
(12)
Ha de destacarse que es una función de dos variables de primer grado, sin término
independiente, en la que m es una constante cuyo significado es la pendiente.
Esta función, plasmada anteriormente, es representativa de toda línea recta que pasa
por el origen del sistema de ejes coordenados.
La constante m es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación de la recta,
recibiendo el nombre de pendiente de la misma, puesto que controla la mayor o menor
inclinación con respecto al eje O X . Teniendo en cuenta que la pendiente depende de un
ángulo y que es coeficiente de x en la función, también puede llamarse coeficiente angular
de la recta.
A partir de este concepto se establece la siguiente condición. Para que dos o más
31
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente.
Del mismo modo, puede señalarse que una pendiente positiva implica que el ángulo
de inclinación de la recta es agudo; mientras que en el caso de una pendiente positiva, se
afirma que el ángulo oscila entre 90º y 180º.
à Problema 13. Representar la recta que pasa por el origen cuya ecuación es la
siguiente:
y = 5 x.
Solución
Representación de la recta que pasa por el origen
y = 5x
Y
−6
−4
X
−2
−10
−20
−30
3.2. Ecuación de la recta que no pasa por el origen
Este tipo de recta se caracteriza por tratarse de una función de primer grado, de dos
variables con término independiente. Es decir, de la forma:
32
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
y = m x + b.
(13)
En esta función, b es una constante que representa una línea recta que no pasa por el
origen del sistema de coordenadas.
La función representa una recta que no pasa por el origen, para lo que se toma sobre
ella un punto cualquiera PHx, yL, y así se demuestra que para ese punto, al igual que para
cualquier otro, se cumple la condición de la fórmula.
La constante b representa la distancia que hay desde el origen hasta el punto de
intersección de la recta con el eje de ordenadas y, constante que recibe el nombre de
ordenada al origen.
Conociendo la ecuación común de la recta y que las constantes de la misma pueden
ser fraccionarias, puede escribirse dicha ecuación de manera implícita, quedando de la
siguiente manera:
A x + B y + C = 0.
(14)
à Problema 14. Representar la siguiente recta:
y = 5 x + 3.
Solución
Representación de la recta que no pasa por el origen
y = 5x +3
33
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
30
20
10
−4
X
−2
2
4
6
−10
3.3. Trazado de una recta
Para trazar una línea recta a partir de su ecuación, puede utilizarse cualquiera de los
tres métodos existentes. Estos procedimientos son el trazado por tabulación, por la
ordenada en el origen y la pendiente, y por los puntos de intersección de la recta con los
ejes cartesianos.
3.3.1. Por tabulación
Consiste en un método por el cual se dan valores arbitrarios, pero ordenados a la
variable x y se calculan los correspondientes de la función, con lo que se obtienen
coordenadas de puntos que se sitúan en el plano del sistema de coordenadas y se unen de
forma consecutiva, para obtener la gráfica correspondiente.
Se cita este procedimiento porque se considera como método general, puesto que
permite trazar tambien cualquier curva.
à Problema 15. Representar la siguiente recta, realizando su trazado por el método de la
tabulación:
y = 2 x - 5.
34
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Solución
Trazado de una recta por tabulación
y = 2x -5
Puntos de Tabulación
8-3, -11<
80, -5<
83, 1<
Y
5
−10 −7.5
−5
X
−2.5
2.5
5
−5
−10
−15
−20
−25
3.3.2. Por la ordenada al origen y la pendiente
Puede describirse este método partiendo de la ecuación de la recta que no pasa por
el origen:
y = m x + b.
(15)
De este modo, la ordenada al origen b indica el punto donde la recta corta al eje de
las ordenadas, lo que equivale a conocer un punto por donde pasa la recta por trazar.
En primer lugar se recomienda realizar el gráfico representado por el valor de la
ordenada al origen b, el cual siempre estará sobre el eje de las ordenadas. De esta forma,
éste será el primer punto por el que pasará la línea recta.
35
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
A partir del punto dado por la ordenada al origen, se representa en magnitud el
valor de x a la derecha o a la izquierda, dependiendo del signo, obteniendo así uno de los
lados del triángulo rectángulo que se formará. Se representa el valor de y partiendo del
extremo final del segmento anterior, formando otro lado del triángulo rectángulo, paralelo
al eje O Y .
Finalmente, se unen los puntos citados anteriormente, el punto de la ordenada al
origen y el extremo final del lado paralelo al eje O Y , para obtener la hipotenusa, que
representa la línea recta de la ecuación dada.
à Problema 16. Trazar mediante el método de la ordenada al origen y la pendiente las
recta cuya ecuaciones son:
a)
y = 2 x - 5.
b)
y = - ÅÅÅÅ23 x + 3.
Solución
Trazado de una recta por la ordenada al origen y pendiente.
La ordenada al origen de la recta y = 2 x - 5 es
n = -5
y los valores deducidos de la pendiente m = 2 son
x = 1 e y = -3
Puntos de ordenada al origen y pendiente
80, -5< y 81, -3<
36
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
5
−6
−4
X
−2
2
4
6
−5
−10
−15
Trazado de una recta por la ordenada al origen y pendiente.
2x
La ordenada al origen de la recta y = 3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ es
3
n=3
2
y los valores deducidos de la pendiente m = - ÅÅÅÅÅÅ son
3
x=3ey=1
Puntos de ordenada al origen y pendiente
80, 3< y 83, 1<
Y
6
4
2
−6
−4
−2
X
2
37
4
6
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
3.3.3. Por los puntos de intersección de la recta con los
ejes coordenados
Este procedimiento se recomienda en el caso de una ecuación implícita, de la forma:
A x + B y + C = 0.
(16)
Se despeja la ecuación con la sustitución y = 0, y de este modo se determinan las
coordenadas del punto donde la recta corta al eje O X . En caso de sustituir por x = 0, se
determinarán las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje de las
ordenadas. Llevando estas coordenadas a un sistema de ejes y, uniéndolas por medio de una
recta, obtenemos con la misma la ecuación dada.
à Problema 17. Trazar la siguiente recta por los puntos de intersección de la misma con
los ejes coordenados. La recta está definida por la ecuación:
-3 x+15
y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å5ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
Solución
Trazado de una recta por los puntos de intersección de la recta
con los ejes coordenados.
Puntos de intersección con los ejes coordenados
1
de la recta y = ÅÅÅÅÅÅ H15 - 3 xL
5
80, 3<
85, 0<
38
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
8
6
4
2
−10
X
−5
5
10
−2
3.4. Intersección de rectas
Para determinar el punto de intersección de dos rectas se hacen simultáneas sus
ecuaciones. Siendo el punto común para las dos, las coordenadas del punto se deben
verificar en ambas ecuaciones.
y = m1 x + b1
y = m2 x + b2
m1 x + b1 = m2 x + b2 .
(17)
Para tres rectas dadas el proceso es el mismo. Las tres rectas deben cortarse en el
mismo punto y verificar la condición:
ƒƒ 1 m1 b1 ƒƒ
ƒƒ
ƒƒƒ
ƒ
†ƒ 1 m2 b2 §ƒ = 0.
ƒƒ
ƒ
ƒƒ 1 m3 b3 ƒƒƒ
(18)
39
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 18. Determinar los puntos de intersección de las rectas dadas por las
siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
9
y = 12 x + 8
y=3x+2
y = -2 x - 1
9
y=7x+1
y=2x-1
9
.
y=2x+1
Solución
Intersección de rectas.
Punto de intersección de las rectas
y =12 x + 8
y = 3x +2
2
P = 9- ÅÅÅÅÅÅ , 0=
3
Y
50
−10 −7.5
−5
X
−2.5
2.5
−50
−100
Intersección de rectas.
Punto de intersección de las rectas
y =-2 x - 1
y = 7x +1
2
5
P = 9- ÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅ =
9
9
40
5
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
40
20
−10 −7.5
−5
X
−2.5
−20
2.5
5
2.5
5
−40
−60
Intersección entre rectas.
y = 2x -1
y = 2x +1
son rectas paralelas.
Y
10
5
−10 −7.5
−5
X
−2.5
−5
−10
−15
−20
3.5. Ángulo y perpendicularidad de dos rectas
En este caso es necesario encontrar una manera para calcular el ángulo que forman
entre sí dos rectas concurrentes, representadas por sus perspectivas ecuaciones.
Se sabe que en todo triángulo un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos
41
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
internos que no le son adyacentes. Por tanto, si v es el ángulo entre las rectas y a1 y a2 los
ángulos de las rectas con el eje de abscisas, se tiene:
v + a1 = a2
v = a2 - a1 .
(19)
Si se tiene en cuenta la tangente de los ángulos, queda de la forma:
tan a2 - tan a1
tan v = tan Ha2 - a1 L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
1 + tan a1 tan a2
(20)
Como resultado de la sustitución queda como sigue:
m2 - m1
tan v = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
1 + m1 m2
(21)
Cuando dos rectas se cortan perpendicularmente, es evidente que el ángulo que
forman es de 90º, por tanto:
tan v = tan 90 = ¶
m2 - m1
¶ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
1 + m1 m2
(22)
Sustituyendo queda de la forma:
1 + m1 m2 = 0
1
m1 = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
m2
(23)
Según esto, para que dos rectas sean perpendiculares, deben tener pendientes
recíprocas y de signos contarios.
à Problema 19. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo
que debe ser perpendicular a la recta:
y = - ÅÅÅÅ49 x + 3.
42
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Solución
Perpendicularidad entre rectas.
4x
4
La recta perpendicular a y = 3 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ con pendiente m = - ÅÅÅÅÅÅ es
9
9
9x
9
y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 7 con pendiente m = ÅÅÅÅÅÅ
4
4
Y
14
12
10
8
6
4
2
−3 −2 −1
1 2 3
X
3.6. Ecuación de la recta que pasa por un punto
dado
Cualquier ecuación de la forma mostrada a continuación estará bien definida
cuando se conozcan la pendiente y el término independiente de la misma.
y = m x + b.
(24)
43
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Es importante indicar que hay una infinidad de rectas que pasan por un punto
conocido, y las coordenadas de éste deben verificar la ecuación de cualesquiera de ellas, en
cuyo caso se tiene:
PHx1 , y1 L;
y1 = m x1 + b
b = y1 - m x1 .
(25)
Este valor de b es el valor que debe tener para que la ecuación de la recta, mostrada
al comienzo de este punto, represente a todas las rectas que pasan por el punto P conocido.
Por tanto, si se sustituye el valor de b en la ecuación, se obtendrá la ecuación
general de todas las rectas que pasan por el punto conocido, una diferente para cada valor
distinto de la pendiente m.
y - y1 = m Hx - x1 L.
(26)
à Problema 20. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto PH-3, -5L y es
paralela a la recta y = - ÅÅÅÅ23 x + 9 .
Solución
Ecuación de la recta que pasa por un punto dado.
Recta que pasa por el punto H -3
2
y = - ÅÅÅÅÅÅ Hx + 3L - 5
3
2x
-5 L y es paralela a y = 9 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
44
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
−10
X
−5
5
−2
10
−4
−6
−8
−10
−12
−14
3.7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
dados
Teniendo en cuenta la ecuación de las rectas que pasan por un punto concreto del
punto anterior, si se cumple la condición expuesta posteriormente, representará del mismo
modo a las rectas que pasan por dos puntos concretos, P y Q. Por tanto, la pendiente de la
recta que pasa por los dos puntos es la siguiente:
y2 - y1
m = tan a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ .
x2 - x1
(27)
Al sustituir este valor en la ecuación original (23), se obtendrá la ecuación de todas
las rectas que pasan por dos puntos conocidos:
y2 - y1
y - y1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx - x1 L.
x2 - x1
(28)
à Problema 21. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
PH-3, 5L y QH7, -3L.
Solución
45
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.
Recta que pasa por P1 H-3,5L y P2 H7,-3L
4 Hx + 3L
y = 5 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
5
Y
10
7.5
5
2.5
−10
X
−5
5
10
−2.5
−5
3.8. Ecuación para la distancia de un punto a una
línea recta
Este concepto es de gran utilidad cuando se trabaja con puntos y rectas y las
relaciones entre ellos.
Es imprescindible hallar una fórmula para calcular la distancia desde un punto dado
por sus coordenadas hasta una recta, dada por su ecuación. La distancia siempre se
considera como mínima, es decir, la distancia medida sobre la perpendicularidad a la recta
dada y que pasa por el punto dado.
Se trazan las perpendiculares a la recta y al eje O X desde el punto P, formando, de
este modo un triángulo rectángulo. Gracias a esto, y nombrando a los puntos de corte de la
recta con las perpendiculares a la misma como E y F, y q al ángulo formado por las
46
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
perpendiculares, podrá deducirse la fórmula. El triángulo quedará como EFP y del mismo
puede obtenerse:
Mínima distancia d de un punto a una recta.
Figura 1
d
cosH qL = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
êêêê
EP
êêêê
d = EP cosHqL.
(29)
Si continúa la sustitución, queda de la forma:
êêêê
EP = y1 - m x1 - b.
(30)
Finalmente, puede concluirse, tras varias sustituciones y simplificaciones mediante
expresiones pitagóricas, lo siguiente:
y1 - m x1 - b
d = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!!!!!
!!!!!ÅÅÅÅÅÅÅ .
1 + m2
(31)
Esta expresión es conocida como la fórmula de la distancia de un punto dado a una
recta dada. Las coordenadas Hx1 , y1 L corresponden a las coordenadas del punto P.
47
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 22. Calcular la distancia de un punto P hasta la recta r, donde PH7, -3L y
r : y = x - 2.
Solución
Ecuación para la distancia de un punto a una recta.
Distancia de P H7,-3L a y = x - 2
è!!!!
d = -4 2
Y
5
−10
X
−5
5
10
−5
−10
3.9. Ecuación simétrica o primera forma normal de
la ecuación de la recta
Si la recta no es paralela a ninguno de los ejes del sistema de coordenadas,
intercepta a éstos en un punto, PHa, 0L y P ' H0, bL.
El primer paso es la expresión de la ecuación de la recta en otra forma denominada
simétrica o primera forma normal, en que los parámetros sean la abscisa y la ordenada al
origen. Para esto será necesario escribir la ecuación en su forma común, de lo que se
deduce:
48
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
-b
m = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
a
-b
y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + b.
a
(32)
Simplificando se obtiene la llamada ecuación simétrica de la recta, muy práctica
debido a que a partir de ella es muy rápido el trazado de la recta.
x
y
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅ = 1.
a
b
(33)
à Problema 23. Obtener la ecuación simétrica de la recta y = 3 x + 16.
Solución
Ecuación simétrica o primera forma normal de la ecuación de la recta.
Ecuación normal de la recta y = 3 x + 16
y
3x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
16
Y
30
25
20
15
10
5
−4
−2
X
2
4
49
6
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
4. La Circunferencia
La circunferencia está considerada como una de las cuatro curvas cónicas. Es la
más simple y geométricamente se describe como la intersección de un cono recto y un
plano paralelo a la base del cono.
Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan de la
propiedad de equidistar de un punto fijo, llamado centro.
4.1. Ecuación común de la circunferencia
Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son bien
conocidas, se supondrá que el centro es el punto CHh, kL y que el radio es una constante a.
Sea M Hx, yL un punto cualquiera de la circunferencia, por definición el radio es una
constante, por lo que la condición de movimiento de M es:
êêêêêê
MC = Constante = a.
(34)
Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, queda de la forma:
êêêêêê "##################################
MC = Hx - hL2 + Hy - kL2 .
(35)
Sustituyendo y elevando al cuadrado los miembros de la igualdad:
Hx - hL2 + Hy - kL2 = a2 .
(36)
Esta es la ecuación común de la circunferencia, correspondiente a una ecuación
cartesiana, cuyos parámetros, además del radio a, son la abscisa h y la ordenada k del
50
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
centro, cuyas coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la
ecuación.
à Problema 24. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro Hh, kL = H5, 2L y
radio igual r = 4.
Solución
Ecuación común de la circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con radio r = 4 y centro Hh, kL = H5, 2L.
Hx - hL2 + Hy - kL2 = r 2
Hx - 5L2 + Hy - 2L2 = H4L2
4.2. Ecuación general de la circunferencia
Es necesario conocer la forma desarrollada de la ecuación de la circunferencia, y
así, a través de ella, poder determinar el centro y radio de la circunferencia.
En primer lugar, habrá que desarrollar la ecuación común,
Hx - hL2 + Hy - kL2 = a2 .
(37)
a la que posteriormente se establecerán ciertas conclusiones.
Al desarrollarla queda de la forma:
x2 - 2 h x + h2 + y2 - 2 k y + k 2 - a2 = 0.
(38)
La ecuación no se altera si se multiplican ambos miembros por la constante A.
A x2 - 2 A x + A h2 + A y2 - 2 A k y + A k 2 - A a2 = 0.
51
(39)
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Se realiza la sustitición de las constantes, haciéndolo de la siguiente manera: -2 A h
se sustituye por D, -2 A k y por E, y HA h2 + A k 2 - A a2 L por F.
La ecuación general de la circunferencia finalmente puede escribirse:
A x2 + A y2 + D x + E y + F = 0.
(40)
Entonces, conocidos los valores de D, E y F, se pueden encontrar las coordenadas
del centro y la longitud del radio de una circunferencia.
Si la ecuación contiene términos de primer grado, el centro está fuera del origen. En
otro caso, si la ecuación carece de uno de los términos de primer grado, el centro está sobre
un eje del sistema.
En otra tesitura, si la ecuación de la circunferencia no tiene término independiente,
la circunferencia pasa por el origen y es de la forma:
x2 + y2 = a2 .
(41)
A la hora de determinar el centro y el radio a partir de la ecuación desarrollada, se
logrará si se convierte a la forma común en la que intervienen binomios al cuadrado y a la
que se llega completando trinomios perfectos en x e y.
à Problema 25. Encontrar la ecuación general de la circunferencia con centro (- ÅÅÅÅ12 ,- ÅÅÅÅ12 ) y
radio igual a 1.
Solución
Ecuación general de la circunferencia.
52
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
1
1
Ecuación de la circunferencia con radio r = 1 y centro Hh, kL = H- ÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅ L.
2
2
1
x 2 + x + y2 + y - ÅÅÅÅÅÅ = 0
2
4.3. Representación de la circunferencia conocido
centro y radio
à Problema 26. Representar la circunferencia que tiene el centro Hh, kL = H2, 3L y radio
igual a 3.
Solución
Ecuación de la circunferencia conocido centro y radio.
Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro Hh, kL = H2, 3L.
Hx - hL2 + Hy - kL2 = r 2
Hx - 2L2 + Hy - 3L2 = H3L2
Y
6
5
4
3
2
1
−1
X
1
2
3
53
4
5
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
4.4. Representación de la circunferencia
conocidos dos puntos de un diámetro
à Problema 27. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por
los punto A H-8, -2L y B H4, 6L. Obtener y representar la ecuación de dicha
circunferencia.
Solución
Ecuación de la circunferencia conocidos dos puntos de un diámetro.
Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de un diámetro.
B = Hx2 , y2 L = H4, 6L
A = Hx1 , y1 L = H-8, -2L
Coordenadas del centro Hh, kL, y valor del radio r.
1
1
O = Hh, kL = H ÅÅÅÅÅÅ Hx1 + x2 L, ÅÅÅÅÅÅ Hy1 + y2 LL
2
2
O = H-2, 2L
è!!!!!!!
"################################
##############
r = Hh - x1 L2 + Hk - x2 L2 = 2 13
Ecuación de la circunferencia con radio r = 2
è!!!!!!!
Hx + 2L2 + Hy - 2L2 = H2 13 L2
54
è!!!!!!!
13 y centro H-2, 2L.
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
8
6
4
2
−8
−6
−4
X
−2
2
4
−2
−4
4.5. Representación de la circunferencia conocido
el centro y un punto
à Problema 28. Hallar la ecuación y representar la circunferencia en la que el centro
coincide con el punto C H-1, 2L y pasa por el punto A H2, 6L.
Solución
Ecuación de la circunferencia conocido el centro y un punto.
Ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A y centro en O.
O = Hh, kL = H-1, 2L
A = Hx1 , y1 L = H2, 6L
Valor del radio r.
"################################
################
r = Hh - x1 L2 + Hk - y1 L2 = 5
Ecuación de la circunferencia con radio r = 5 y centro H-1, 2L.
Hx + 1L2 + Hy - 2L2 = H5L2
55
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
6
4
2
−6
−4
X
−2
2
4
−2
4.6. Representación de la circunferencia conocido
el centro y tangente a una recta
à Problema 29. Hallar la ecuación y representar la circunferencia en la que el centro
5 x+9
coincide con el punto C H1, -1L y la recta y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ es tangente a la misma.
12
Solución
Ecuación de la circunferencia conocido el centro y tangente a una recta.
Ecuación de la circunferencia conocido el centro O y una
recta tangente yHxL.
1
O = Hh, kL = H1, -1L
y = m x + n = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H5 x + 9L
12
Valor del radio r.
†k - m h - n§
r = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 2
è!!!!!!!!
!!!!!!!!
1 + m2
56
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ecuación de la circunferencia con radio r = 2 y centro H1, -1L
Hx - 1L2 + Hy + 1L2 = H2L2
1
y tangente la recta y HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H5 x + 9L
12
Y
2
1
X
−2
2
4
−1
−2
−3
4.7. Representación de la circunferencia que pasa
por dos puntos y tiene centro en una recta
à Problema 30. Hallar y representar la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos A H3, 1L y B H-1, 3L y su centro está situado en la recta y = 3 x - 2.
Solución
Ecuación de la circunferencia que
pasa por dos puntos y tiene centro en una recta.
Ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A = Hx1 , y1 L = H3, 1L
B = Hx2 , y2 L = H-1, 3L
y tiene su centro Hh, kL en la recta
y = m x + n = 3x -2
57
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Se resuelve el sistema
mx+n=k
"################################
############### "################################
###############
Hx1 - hL2 + Hy1 - kL2 = Hx2 - hL2 + Hy2 - kL2
3h -2 k
"################
######################## "################################
###########
H3 - hL2 + H1 - kL2 H-h - 1L2 + H3 - kL2
Solución
8h, k< = 82, 4<
"################################
############### è!!!!!!!
r = Hx1 - hL2 + Hy1 - kL2 = 10
Ecuación de la circunferencia con radio r =
è!!!!!!!
Hx - 2L2 + Hy - 4L2 = H 10 L2
Y
20
15
10
5
−4−2 2 4 6 8
X
−5
−10
−15
58
è!!!!!!!
10 y centro Hh, kL = H2, 4L
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
4.8. Representación de la circunferencia que pasa
por tres puntos
à Problema 31. Hallar y representar la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos A H1, 1L, B H1, -1L y C H2, 0L.
Solución
Ecuación de la recta que pasa por tres puntos.
Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos A, B y C.
A = Hx1 , y1 L = H1, 1L
B = Hx2 , y2 L = H1, -1L
C = Hx3 , y3 L = H2, 0L
El centro es el punto O Hh, kL.
Se resuelve el sistema lineal
16 2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%2%%
Hx1 + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ L + Hy%%%%%%%%
1 - 16L d
3
16 2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%2%%
Hx2 + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ L + Hy%%%%%%%%
2 - 16L d
3
16 2
$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%2%%
Hx3 + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ L + Hy%%%%%%%%
3 - 16L d
3
è!!!!!!!!!!!!!!
2386
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d
è!!!!!!!!!!!!!!
2962
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d
è!!!!!!!!!!
2 697
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å3ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d
Solución
8a, b, d< = 8h, k, r< = 81, 0, 1<
Ecuación de la circunferencia con radio r = 1 y centro Hh, kL = H1, 0L
Hx - 1L2 + y2 = H1L2
59
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
1
0.5
X
0.5
1
1.5
2
−0.5
−1
4.9. Representación de la circunferencia conocido
el radio y un punto de una recta tangente
à Problema 32. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio R =
a la recta x - 2 y - 1 = 0 en el punto M H3, 1L.
è!!!
5 , que es tangente
Solución
Ecuación de la circunferencia
conocido el radio y un punto de una recta tangente.
Ecuación de la circunferencia conocido el radio r y el punto A
de la recta tangente y HxL.
è!!!!
A = Hx1 , y1 L = H3, 1L
r = 5
x -1
y HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2
60
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Se resuelve el sistema
k - mµh - n
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ ã r
è!!!!!!!!ÅÅÅÅÅÅÅÅ
!!!!!!!!
2!
1+m
"################################
###############
Hx1 - hL2 + Hy1 - kL2 ã r
1
2 I- ÅÅhÅÅÅ +k+ ÅÅÅÅÅ
M
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅ è!!!!
5
è!!!!
5
"################
######################## è!!!!
H3 - hL2 + H1 - kL2 5
Solución
8h, k< = 82, 3<
Ecuación de la circunferencia con radio r =
è!!!!
Hx - 2L2 + Hy - 3L2 = H 5 L2
è!!!!
5 y centro Hh, kL
Y
5
4
3
2
1
X
−2
2
4
6
−1
4.10. Distancia mínima de un punto a una
circunferencia
à Problema 33. a)
Hallar la distancia mínima del punto A H6, -8L a la circunferencia
2
2
x + y = 9.
b)
Hallar la distancia mínima del punto B H2, -1L a la circunferencia x2 + y2 = 9.
c)
Hallar la distancia mínima del punto C H3, 0L a la circunferencia x2 + y2 = 9.
Solución
61
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Distancia mínima de un punto a una circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro H0,0L
x 2 + y 2 = 32
El punto H6, -8L está en la parte exterior de la circunferencia.
Distancia: d = 7
Y
2
X
−2
2
4
6
−2
−4
−6
−8
Distancia mínima de un punto a una circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro H0,0L
x 2 + y 2 = 32
El punto H2, -1L está en la parte interior de la circunferencia.
Distancia: d = 3 -
è!!!!
5
62
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
3
2
1
−3
−2
X
−1
1
2
3
−1
−2
−3
Distancia mínima de un punto a una circunferencia.
Ecuación de la circunferencia con radio r = 3 y centro H0,0L
x 2 + y 2 = 32
El punto H3, 0L pertenece a la circunferencia.
Distancia: d = 0
63
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
3
2
1
−3
−2
X
−1
1
−1
−2
−3
64
2
3
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
5. La Parábola
La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan
de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado foco y de una recta fija, que no pasa
por el punto, llamada directriz.
Esta cónica se describe geométricamente como la curva que resulta al interceptar un
cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono.
La parábola está compuesta por un punto fijo llamado foco F, y una recta, también
fija llamada directriz. La distancia entre el foco y la directriz se representa por p, donde
p > 0.
De acuerdo con la definición de parábola, el punto medio entre la directriz y el foco
pertenece al lugar geométrico, y se denomina vértice.
La recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco y vértice V , se llama eje
de la parábola. La posición del eje determina la posición de la parábola. La parábola
siempre es simétrica con respecto a su propio eje.
Con estas últimas aclaraciones puede incluirse que la directriz es la recta
perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice que el vértice del
foco.
65
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
5.1. Ecuación de la parábola horizontal con vértice
en el origen
En este caso, es necesario hacer que el vértice coincida con el origen del sistema de
coordenadas, y que el eje de la parábola sea el eje O X .
Puesto que la distancia de la directriz al foco es p, las coordenadas del foco son
F H ÅÅÅÅ2pÅ , 0L y la ecuación de la directriz es:
p
x = - ÅÅÅÅÅÅ .
2
(42)
êêêêêêê
Considerando un punto M Hx, yL del lugar geométrico, si se traza una recta Q M
perpendicular a la directriz, paralela al eje O X , las coordenadas de Q son H- ÅÅÅÅ2pÅ , yL. A
êêêêêêê
continuación se traza la recta M F .
De acuerdo con la definición de parábola, la condición de movimiento de M es:
êêêêêêê êêêêêêê
M F = Q M.
(43)
Representación de los focos, directriz, punto M y vértice de una parábola.
Figura 2
66
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Se tiene que
p 2
êêêêêêê
Jx - ÅÅÅÅÅÅ N %%%%%%%%%
+ y%
M F = $%%%%%%%%%%%%%%%%
2
p
êêêêêêê
Q M = ÅÅÅÅÅÅ + x.
2
(44)
Sustituyendo y simplificando se obtiene la ecuación de la parábola horizontal con
vértice en el origen de coordenadas, que es la siguiente:
y2 = 2 p x.
(45)
5.1.1. Análisis de la ecuación
Para conocer las características principales de la curva conviene despejar cada una
de las variables de la ecuación.
è!!!!!!!!!!
y=≤ 2 px
(46)
2
y
x = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ .
2p
La primera ecuación muestra que la curva es simétrica con relación al eje de
abscisas, debido a que para un valor de x se obtienen dos valores de y iguales y de signos
opuestos. En cambio, la curva es asimétrica respecto al eje de las ordenadas, ya que para
cada valor de y sólo se obtiene un valor de x, según la segunda ecuación.
Al hallar los puntos de interseción de la curva con los ejes de coordenadas, si se
sustituye en la ecuación por x = 0, resulta y = 0, lo que significa que el único punto común
de la curva con los ejes es el origen del sistema de coordenadas.
La primera ecuación permite ver que cuando el parámetro p es positivo, la variable
x sólo debe recibir valores positivos, porque de otro modo, los de y resultan imaginarios.
Esto significa que, cuando p > 0, la curva solamente existe a la derecha del origen del
67
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
sistema, y la región izquierda es la zona imaginaria de la parábola. En cambio, si p  0, la
ecuación solamente existe a la izquierda del sistema.
Esta misma ecuación justifica que la curva es abierta. Si x aumenta indefinidamente,
del mismo modo lo hará y.
à Problema 34. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la
parábola cuya ecuación es
a)
y2 = 8 x.
b)
y2 = -16 x.
Solución
Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen.
Ecuación de la parábola.
y2 = 2 p x
y2 = 8 x
Parámetro p.
p= 4
Foco de la parábola.
p
Foco = H ÅÅÅÅÅÅ , 0L = H2, 0L
2
Directriz.
p
x = - ÅÅÅÅÅÅ = -2
2
68
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
4
2
−2 −1
1
2
3
X
−2
−4
Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen.
Ecuación de la parábola.
y2 = 2 p x
y2 = -16 x
Parámetro p.
p = -8
Foco de la parábola.
p
Foco = H ÅÅÅÅÅÅ , 0L = H-4, 0L
2
Directriz.
p
x = - ÅÅÅÅÅÅ = 4
2
69
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
10
5
−6 −4 −2
2
4
X
−5
−10
à Problema 35. La parábola horizontal con vértice en el origen pasa por el punto
A H-2, 4L. Determinar su ecuación.
Solución
Ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen
conocido un punto de la misma.
Punto de la parábola.
Punto = H-2, 4L
y2 = 2 p x
Sustituyendo x Ø -2
p = -4
yØ4
Foco de la parábola.
p
Foco = H ÅÅÅÅÅÅ , 0L = H-2, 0L
2
70
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Directriz.
p
x = - ÅÅÅÅÅÅ = 2
2
Ecuación de la parábola.
y2 = 2 p x
y2 = -8 x
Y
4
2
−3−2−1
1 2
X
−2
−4
5.2. Ecuación de la parábola vertical con vértice
en el origen
Para encontrar la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen del
sistema V H0, 0L, previamente es necesario hacer constar la ecuación ya conocida.
y2 = 2 p x.
(47)
êêêêêêê
Considerando el punto M Hx, yL del lugar geométrico, si se traza una recta B M , esta
representará la distancia del punto de la curva a su eje de simetría. Si, del mismo modo, se
êêêêêêê
traza una recta A M , ésta representará la distancia del mismo punto a la perpendicular al eje
que pasa por el vértice, siendo A un punto situado en el eje O Y .
De acuerdo con la ecuación de la parábola anterior:
êêêêêêê
êêêêêêê 2
HB M L = 2 p A M .
(48)
71
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Se sabe que
êêêêêêê
BM = x
êêêêêêê
A M = y.
(49)
Sustituyendo y simplificando, se obtiene la ecuación de la parábola vertical con
vértice en fuera del origen de coordenadas, que es la siguiente:
x2 = 2 p y.
(50)
Se ha obtenido la ecuación esperada de una parábola vertical con vértice en el
origen del sistema de ejes coordenados.
Del mismo modo, se cumple que si el parámetro p es positivo, la concavidad de la
curva está dirigida hacia arriba y, si es negativa, hacia abajo, con vértice en H0, 0L, foco en
F H0, ÅÅÅÅ2pÅ L y ecuación de la directriz y = - ÅÅÅÅ2pÅ .
à Problema 36. Encontrar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la
parábola cuya ecuación es
a)
x2 = 6 y.
Solución
Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen.
Ecuación de la parábola.
x2 = 2 p y
x2 = 6 y
Parámetro p.
p= 3
72
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Foco de la parábola.
p
3
Foco = H0, ÅÅÅÅÅÅ L = H0, ÅÅÅÅÅÅ L
2
2
Directriz.
p
3
x = - ÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅ
2
2
Y
6
5
4
3
2
1
−6
−4
X
−2
−1
2
4
6
à Problema 37. Determinar la ecuación de la parábola de eje vertical, vértice en el origen,
que tiene su foco en el punto:
a)
F H0, 5L.
b)
F H0, 2L.
Solución
Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen
conocido el foco de la misma.
Foco de la parábola.
p
Foco = H ÅÅÅÅÅÅ , 0L = H0, 5L
2
Parámetro p.
p = 2 y f = 10
73
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Directriz.
p
x = - ÅÅÅÅÅÅ = -5
2
Ecuación de la parábola.
x2 = 2 p y
x 2 = 20 y
Y
20
15
10
5
−20
X
−10
10
20
−5
Ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen
conocido el foco de la misma.
Foco de la parábola.
p
Foco = H ÅÅÅÅÅÅ , 0L = H0, 2L
2
Parámetro p.
p = 2 yf = 4
Directriz.
p
x = - ÅÅÅÅÅÅ = -2
2
Ecuación de la parábola.
x2 = 2 p y
x2 = 8 y
74
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
8
6
4
2
−7.5
−5
X
−2.5
2.5
5
7.5
−2
5.3. Ecuación de la parábola horizontal con vértice
fuera del origen
Las ecuaciones de la parábola vistas anteriormente, son válidas solamente en el caso
de que el vértice esté en el origen y que el eje de simetría de la parábola sea el eje O X o el
eje O Y .
En este punto se verá el caso en el que el vértice está en un punto cualquiera que no
es el origen y que el eje de simetría de la parábola es paralelo al eje O X .
Para deducir la ecuación correspondiente, habrá que utilizar como base la definición
de la parábola. El vértice será ahora V Hh, kL y la distancia del vértice al foco y del vértice a
la directriz continuará siendo ÅÅÅÅ2pÅ .
êêêêêêê êêêêêêê
Aplicando los significados de los segmentos B M y A M vistos con anterioridad
queda de la siguiente manera:
êêêêêêê 2
êêêêêêê
HA M L = 2 p B M .
(51)
Se sabe que
75
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
êêêêêêê
BM = x-h
êêêêêêê
A M = y - k.
(52)
Así que la ecuación, después de realizar la sustitución, es como sigue:
Hy - kL2 = 2 p Hx - hL.
(53)
Es la ecuación de una parábola horizontal con vértice en Hh, kL, foco en Hh + ÅÅÅÅ2pÅ , kL
y ecuación de la directriz es x = h - ÅÅÅÅ2pÅ .
à Problema 38. Determinar la ecuación de la parábola de eje horizontal que tiene su
vértice en H-2, 3L y su foco en el punto F H1, 3L.
Solución
Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen
conocido el foco y el vértice.
Vértice y foco de la parábola.
Vértice = Hh, kL = H-2, 3L
p
Foco = Hh + ÅÅÅÅÅÅ , kL = H1, 3L
2
Parámetro p.
p = 2Hx f - hL = 6
Directriz.
p
x = h - ÅÅÅÅÅÅ = -5
2
Ecuación de la parábola.
Hy - kL2 = 2 p Hx - hL
Hy - 3L2 = 12 Hx + 2L
76
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
10
7.5
5
2.5
−4
−2
2
X
−2.5
−5
5.4. Ecuación de la parábola vertical con vértice
fuera del origen
Del mismo modo que en el punto anterior, será necesario basarse en la ecuación de
la parábola vertical con vértice fuera del origen.
x2 = 2 p y.
(54)
êêêêêêê êêêêêêê
Si se tiene en cuenta de nuevo el punto M Hx, yL y las rectas B M y A M .
De
acuerdo con la ecuación de la parábola anterior:
êêêêêêê
êêêêêêê 2
HB M L = 2 p A M .
(55)
Se sabe que las rectas corresponden a:
êêêêêêê
BM = x-h
êêêêêêê
A M = y - k.
(56)
77
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Sustituyendo y simplificando, se obtiene la ecuación de la parábola vertical con
vértice en el origen de coordenadas, que es la siguiente:
Hx - hL2 = 2 p Hy - kL.
(57)
Esta es la ecuación de una parábola vertical con vértice en Hh, kL, foco en
F Hh, k + ÅÅÅÅ2pÅ L y ecuación de la directriz y = k - ÅÅÅÅ2pÅ .
à Problema 39. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en H-1, 0L, con foco en
-1
el punto F H-1, ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ L y cuyo eje es vertical.
2
Solución
Ecuación de la parábola horizontal con vértice fuera del origen
conocido el foco y el vértice de la misma.
Vértice y foco de la parábola.
Vértice = Hh, kL = H-1, 0L
p
1
Foco = Hh, k + ÅÅÅÅÅÅ L = H-1, - ÅÅÅÅÅÅ L
2
2
Parámetro p.
p = 2Hy f - kL = -1
Directriz.
p
1
y = k - ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ
2
2
Ecuación de la parábola.
Hx - hL2 = 2 p Hy - kL
Hx + 1L2 = -2 y
78
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
0.5
−3
−2
X
−1
1
−0.5
−1
−1.5
−2
5.5. Forma general de la ecuación de la parábola
horizontal con vértice fuera del origen
Se partirá de la ecuación ordinaria obtenida anteriormente de la parábola horizontal
con vértice fuera del origen del sistema cartesiano para, posteriormente, expresarla en su
forma general.
Desarrollando la ecuación común de la parábola horizontal se tiene:
Hy - kL2 = 2 p Hx - hL
y2 - 2 p x - 2 k y + k 2 + 2 p x = 0.
(58)
Si se compara con la ecuación general de segundo grado
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F = 0
A=0
D = -2 p
B=0
E = -2 k
C=1
F = k 2 + 2 p h.
(59)
Sustituyendo los valores en la ecuación, finalmente queda como sigue:
y2 + D x + E y + F = 0
(60)
que es la forma general de la ecuación de la parábola horizontal que tiene vértice fuera del
origen de coordenadas.
79
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 40. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente parábola
horizontal:
Hy - 1L2 = 3 Hx - 1L;
Solución
Forma general de la ecuación de la parábola horizontal con vértice
fuera del origen conocida la ecuación común.
Ecuación común de la parábola.
Hy - kL2 = 2 p Hx - hL
Hy - 1L2 = 3 Hx - 1L
Vértice y foco de la parábola.
Vértice = Hh, kL = H1, 1L
p
7
Foco = Hh + ÅÅÅÅÅÅ , kL = H ÅÅÅÅÅÅ , 1L
2
4
3
Parámetro p = ÅÅÅÅÅÅ
2
Directriz.
p
1
x = h - ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ
2
4
Ecuación general de la parábola.
Desarrollando resulta:
y2 - 2 y - 3 x + 4 = 0
80
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
3
2
1
0.25
0.5
0.7511.25
1.5
1.75
X
−1
à Problema 41. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente parábola horizontal
indicada en su forma general:
y2 - 2 y - 3 x + 4 = 0.
Solución
Forma común de la ecuación de la parábola horizontal con vértice
fuera del origen conocida la ecuación general.
Ecuación general de la parábola.
y2 + E y + D x + F = 0
y2 - 2 y - 3 x + 4 = 0
Vértice, foco y parámetro p.
D
3
p = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ
2
2
81
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
E
k = - ÅÅÅÅÅÅ = 1
2
F - k2
h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
2p
Vértice = Hh, kL = H1, 1L
p
7
Foco = Hh + ÅÅÅÅÅÅ , kL = H ÅÅÅÅÅÅ , 1L
2
4
Directriz.
1
p
x = h - ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ
2
4
Ecuación común de la parábola.
Hy - kL2 = 2 p Hx - hL
Hy - 1L2 = 3 Hx - 1L
Y
3
2
1
X
0.25
0.5
0.7511.25
1.5
1.75
−1
5.6. Forma general de la ecuación de la parábola
vertical con vértice fuera del origen
De manera exacta al caso anterior, es necesario utilizar como base la ecuación que
se halló anteriormente.
82
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Hx - hL2 = 2 p Hy - kL
x2 - 2 h y - 2 p y + h2 + 2 p k = 0.
(61)
Si se compara con la ecuación general de segundo grado
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F = 0
A=1
D = -2 h
B=0
E = -2 p
C=0
F = h2 + 2 p k
(62)
Sustituyendo los valores en la ecuación, finalmente queda como sigue:
x2 + D x + E y + F = 0
(63)
que es la forma general de la ecuación de la parábola vertical que tiene vértice fuera del
origen de coordenadas.
à Problema 42. Determinar la ecuación de la parábola dada en su forma común:
Hx - 2L2 = 4 Hy + 2L.
Solución
Forma general de la ecuación de la parábola vertical con vértice
fuera del origen conocida la ecuación común.
Ecuación común de la parábola.
Hx - hL2 = 2 p Hy - kL
Hx - 2L2 = 4 Hy + 2L
Vértice, foco y parámetro p de la parábola.
Vértice = Hh, kL = H2, -2L
p
Foco = Hh, k + ÅÅÅÅÅÅ L = H2, -1L
2
p = 2Hy f - kL = 2
83
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Directriz.
p
y = k - ÅÅÅÅÅÅ = -3
2
Ecuación general de la parábola.
Desarrollando se tiene
x2 - 4 x - 4 y - 4 = 0
Y
2
1
X
−2
2
4
6
−1
−2
−3
à Problema 43. Determinar la ecuación común de la parábola dada en su forma general:
2 y - x2 + 2 = 0.
Solución
Forma común de la ecuación de la parábola vertical con vértice
fuera del origen conocida la ecuación general
Ecuación general de la parábola.
x2 + D x + E y + F = 0
-x 2 + 2 y + 2 = 0
Vértice, foco y parámetro p.
E
p = - ÅÅÅÅÅÅ = -1
2
D
h = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0
2
84
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
F - h2
k = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -1
2p
Vértice = Hh, kL = H0, -1L
p
3
Foco = Hh, k + ÅÅÅÅÅÅ L = H0, - ÅÅÅÅÅÅ L
2
2
Ecuación común de la parábola.
Hx - hL2 = 2 p Hy - kL
x 2 = -2 Hy + 1L
Y
1
0.5
−2
X
−1
1
−0.5
−1
−1.5
85
2
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
6. La Elipse
Una elipse es la curva que se obtiene interceptando un cono circular recto y un
plano inclinado y no es paralelo a una de sus generatrices y corta a una sola rama del cono.
La generatriz de una superficie cónica es una recta fija en uno de sus puntos con
uno de sus extremos describiendo una circunferencia plana.
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, con suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
6.1. Ecuación de la elipse horizontal con centro en
el origen
Teniendo en cuenta los dos focos, F1 H-c, 0L y F2 Hc, 0L, y la constante, que será
representada por 2 a, se definirá la condición de movimiento del punto M Hx, yL.
êêêêêêêê êêêêêêêê
M F1 + M F2 = 2 a.
(64)
Representación de los focos de la elipse y el punto M .
Figura 3
86
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Aplicando la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos y sustituyendo:
êêêêêêêê "########################
M F1 = Hx + cL2 + y2
êêêêêêêê "################
########
M F2 = Hx - cL2 + y2
(65)
queda de la forma que sigue:
"################
######## "########################
Hx + cL2 + y2 + Hx - cL2 + y2 = 2 a.
(66)
Después de desarrollar la ecuación, y con el fin de transformarla aún más, cabe
destacar que en todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos, por tanto, si
se aplica al triángulo F1 M F2 :
êêêêêêêê êêêêêêêê êêêêêêêê
M F1 + M F2 > F1 F2
2a > 2c
a>c
a2 - c2 > 0
(67)
Esta última desigualdad dice que la diferencia de la misma es constante y positiva,
de tal manera que puede representarse por b2 .
Si se sustituye en lo anterior:
b2 x2 + a2 y2 = a2 b2
(68)
La ecuación puede expresarse en la siguiente forma llamada simétrica o normal,
que se obtiene dividiendo ambos miembros entre a2 b2 :
x2
y2
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ + ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ = 1.
a
b
(69)
87
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
6.1.1. Análisis de la ecuación
Previamente se despejarán las dos variables x, y de la ecuación anterior:
b è!!!!!!!!!!!!!!
y = ≤ ÅÅÅÅÅ a2 - x2 ,
a
a è!!!!!!!!
!!!!!!
x = ≤ ÅÅÅÅÅ b2 - y2 .
b
(70)
La elipse es simétrica con relación al eje de abscisas, porque para cada valor de x,
se obtienen dos valores de y iguales y con signos contrarios. Análogamente, también hay
simetría con relación al eje de ordenadas. Consecuentemente, el origen es centro de
simetría.
Si en la segunda ecuación se iguala la y a 0, resulta x = ≤ a, de modo que los puntos
de intersección de la curva con el eje O X son A1 H-a, 0L y A2 Ha, 0L.
Si se iguala del mismo modo, en la primera, la x a 0, resulta y = ≤b, de tal manera
que la intersección con el eje O Y es en los puntos B1 H0, -bL y B2 H0, bL.
La ecuación permite ver que x solamente puede variar desde -a hasta +a, debido a
que en el exterior de estos valores, los de y resultan imaginarios. Del mismo modo, se
justifica que y únicamente puede variar desde -b hasta +b.
La curva es cerrada, lo que se deduce no solamente como consecuencia de la
simetría total existente, sino porque además tiene que pasar por los puntos A1 , A2 , B1 y B2 .
Se dice que ésta es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos elementos
principales son los vértices (A1 , A2 ), los focos (F1 ,F2 ) y el centro C. Se denomina eje
êêêêêêêê
mayor a la distancia entre los vértices (A1 A2 = 2 a), eje menor a la distancia entre los
88
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
êêêêêêêê
puntos de intersección con el eje O Y (B1 B2 = 2 b), y distancia focal, la distancia entre los
êêêêêêêê
focos (F1 F2 = 2 c).
De este modo, se forma un triángulo rectángulo en el que b y c son los catetos, y la
hipotenusa está representada por a, por lo que, según el teorema de Pitágoras:
b2 = a2 - c2 .
(71)
6.1.2. Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un concepto del que depende la mayor o menor deformación
que puede experimentar una circunferencia para producir una elipse.
Se representa con e, y se define como el cociente de la semidistancia focal c entre el
semieje mayor a. Podrá expresarse como:
c
e = ÅÅÅÅÅ .
a
(72)
Si e = 0, forzosamente tiene que cumplirse c = 0, y de la fórmula del teorema de
Pitágoras, se deduce a = b, en cuyo caso la curva es una circunferencia, que se puede
considerar como un caso particular de elipse con excentricidad nula.
Si e = 1, es evidente que se tiene a = c, y de la fórmula citada anteriormente resulta
b = 0, por lo tanto, la deformación ha sido total, de tal manera que la curva se ha convertido
en una línea recta. En consecuencia,
0  e  1.
(73)
89
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 44. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de
2
x2
los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación: ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅy9ÅÅ = 1.
16
Solución
Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.
Ecuación de la elipse.
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å = 1
a
b
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
9
Longitud del eje mayor y del menor.
a=4
b=3
Eje mayor = 2 a = 8
Eje menor = 2 b = 6
Vértices y focos de la elipse.
A1 = H-a, 0L = H-4, 0L
B1 = H0, -bL = H0, -3L
A2 = Ha, 0L = H4, 0L
B2 = H0, bL = H0, 3L
è!!!!
"########
##########
a2 - b2 = ≤ 7
è!!!!
F1 = H-c, 0L = H- 7 , 0L
è!!!!
F2 = Hc, 0L = H 7 , 0L
c=
Y
3
2
1
−4
X
−2
2
−1
−2
−3
90
4
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 45. Los focos de una elipse son los puntos F1 H-1, 0L y F2 H1, 0L, y la longitud
de su eje menor es 2. Obtener la ecuación de la elipse.
Solución
Ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen
conocido el foco y el eje menor.
Focos y eje menor de la elipse
F1 = H-c, 0L = H-1, 0L
F2 = Hc, 0L = H1, 0L
c=1
Eje Menor = 2 b = 2
b=1
Solución
"########
########## "##################
b 2 + c 2 = 12 + 12
è!!!!
Eje mayor = 2 a = 2 2
è!!!!
A1 = H-a, 0L = H- 2 , 0L
a=
B1 = H0, -bL = H0, -1L
è!!!!
A2 = Ha, 0L = H 2 , 0L
B2 = H0, bL = H0, 1L
Ecuación de la elipse.
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å = 1
a
b
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
2
1
Y
1
0.5
−1
X
−0.5
0.5
−0.5
−1
91
1
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
6.2. Ecuación de la elipse vertical con centro en el
origen
En este caso de elipse vertical con centro en el origen, si el centro de la misma
coincide con el origen del sistema de ejes de coordenadas y los focos están en el eje O Y ,
con coordenadas F1 H0, cL y F1 H0, -cL, siendo M un punto cualquiera y aplicando la
definición de elipse, se tiene:
êêêêêêêê êêêêêêêê
M F1 + M F2 = 2 a
(74)
êêêêêêêê "########################
M F1 = x2 + Hy - cL2
êêêêêêêê "################
########
M F2 = x2 + Hy + cL2 .
(75)
donde:
Si se sustituye esto en la ecuación mostrada en primer lugar, se desarrolla y
simplifica:
"################
######## "########################
x2 + Hy - cL2 + x2 + Hy + cL2 = 2 a
a2 x2 + Ha2 - c2 L y2 = a2 Ha2 - c2 L .
(76)
Como ya se mostró anteriormente,
b2 = a2 - c 2 .
(77)
sustituyendo, dividiendo entre a2 b2 y simplificando queda la ecuación común de la elipse
vertical con centro en el origen:
x2
y2
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ + ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ = 1.
b
a
(78)
Si se hallan los puntos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas se
obtienen los vértices de la misma. Haciendo x = 0, se obtiene la intersección de la curva
92
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
con el eje O Y , cuyos puntos son A1 H0, aL y A2 H0, -aL. Por otro lado, con y = 0, la
intersección obtenida es la referente al eje O Y , y se describe con los puntos B1 Hb, 0L y
B2 H-b, 0L.
à Problema 46. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de
y2
x2
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1.
los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación: ÅÅÅÅ
4
25
Solución
Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen.
Ecuación de la elipse.
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ = 1
b
a
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
4
25
Longitud del eje mayor y del menor.
a=5
b=2
Eje mayor = 2 a = 10
Eje menor = 2 b = 4
Vértices y focos de la elipse.
A1 = H0, aL = H0, 5L
B1 = Hb, 0L = H2, 0L
è!!!!!!!
"########
##########
a2 - b2 = ≤ 21
è!!!!!!!
F1 = H0, cL = H0, 21 L
è!!!!!!!
F2 = H0, -cL = H0, - 21 L
A2 = H0, -aL = H0, -5L
B2 = H-b, 0L = H-2, 0L
c=
93
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
4
2
−2 −1
1
2
X
−2
−4
à Problema 47. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene su centro en el origen, con un
eje menor de longitud 8 y un foco F1 H0, 3L. Obtener la ecuación de la elipse.
Solución
Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen
conocido el foco y el eje menor.
Focos y eje menor de la elipse
F1 = H0, cL = H0, 3L
F2 = H0, -cL = H0, -3L
c=3
Eje menor = 2 b = 8
b=4
Solución
a=
"########
########## "##################
b 2 + c 2 = 42 + 32
94
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Eje mayor = 2 a = 10
A1 = H0, aL = H0, 5L
A2 = H0, -aL = H0, -5L
B1 = Hb, 0L = H4, 0L
B2 = H-b, 0L = H-4, 0L
Ecuación de la elipse.
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ = 1
b
a
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
25
Y
4
2
−4
X
−2
2
4
−2
−4
6.3. Ecuación de la elipse horizontal con centro
fuera del origen
Esta ecuación puede determinarse de forma sencilla utilizando las ecuaciones de
translación paralela de los ejes.
La elipse con centro C Hh, kL y con su eje mayor paralelo al eje O X , tiene como
ecuación, con referencia al nuevo sistema de coordenadas:
x '2
y'2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ = 1.
a
b
(79)
95
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Como existen las dos ecuaciones de translación paralela de los ejes, se aplicarán a
la anterior:
x = x' + h
y = y ' + k.
(80)
De este modo se obtiene la ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del
origen de coordenadas:
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
a2
b2
(81)
En este caso, los vértices de la elipse serán A1 Hh - a, kL, A2 Hh + a, kL, B1 Hh, k + bL y
B2 Hh, k - bL. Del mismo modo, los focos serán F1 Hh - c, kL y F2 Hh + c, kL.
à Problema 48. Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de
los focos y los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación:
Hy-6L2
x2
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅÅ
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
100
50
Solución
Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen.
Ecuación de la elipse.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hx - H0LL2
Hy - H6LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
100
50
Centro de la elipse.
Hh, kL = H0, 6L
96
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Longitud del eje mayor y del menor.
è!!!!
a = 10
b=5 2
Eje mayor = 2 a = 20
è!!!!
Eje menor = 2 b = 10 2
Vértices y focos de la elipse.
A1 = Hh - a, kL = H-10, 6L
A2 = Hh + a, kL = H10, 6L
è!!!!
B1 = Hh, k + bL = H0, 6 + 5 2 L
è!!!!
"##################
c = a2 - b2 = ≤ 5 2
è!!!!
F1 = Hh - c, kL = H-5 2 , 6L
è!!!!
F2 = Hh + c, kL = H5 2 , 6L
B2 = Hh, k - bL = H0, 6 - 5
è!!!!
2L
Y
12
10
8
6
4
2
−10
X
−5
5
10
à Problema 49. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene por focos F1 H-4, 6L, F2 H4, 6L
è!!!!!!
y la longitud de su eje menor es 2 50 .
Solución
Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen
conocido el foco y el eje menor.
Focos y eje menor de la elipse
è!!!!
F1 = Hh - c, kL = H-5 2 , 6L
è!!!!
F2 = Hh + c, kL = H5 2 , 6L
è!!!!
c=5 2
97
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
h=0
k=6
Eje menor = 2 b = 10
è!!!!
b=5 2
Solución
a=
è!!!!
2
2
è!!!! 2 ################
è!!!!#####
"########
########## "################
b2 + c 2 = 5 2 + 5 2 = 10
Eje mayor = 2 a = 20
A1 = Hh - a, kL = H-10, 6L
A2 = Hh + a, kL = H10, 6L
è!!!!
B1 = Hh, k + bL = H0, 6 + 5 2 L
B2 = Hh, k - bL = H0, 6 - 5
Centro = Hh, kL = H0, 6L
Ecuación de la elipse.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
è!!!!
2L
Hx - H0LL2
Hy - H6LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
100
50
Y
12
10
8
6
4
2
−10
X
−5
5
10
6.4. Ecuación de la elipse vertical con centro fuera
del origen
La elipse vertical con centro fuera del origen tiene su eje mayor paralelo al eje O Y .
Si se tiene en cuenta que el centro de la misma es C Hh, kL, y que se utilizan las ecuaciones
de translación paralela de los ejes, con referencia al nuevo sistema de coordenadas, queda
como sigue:
98
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
x '2
y'2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ = 1.
b
a
(82)
Como existen las dos ecuaciones de translación paralela de los ejes, se aplicarán a
la anterior:
x = x' + h
y = y ' + k.
(83)
De este modo se obtiene la ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen
de coordenadas:
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
b2
a2
(84)
En este caso, los vértices de la elipse serán A1 Hh, k + aL, A2 Hh, k - aL, B1 Hh - b, kL y
B2 Hh + b, kL. Del mismo modo, los focos serán F1 Hh, k + cL y F2 Hh, k - cL.
à Problema 50. Determinar la longitud de los ejes, las coordenadas de los focos y los
vértices y hacer la gráfica de la elipse:
Hy-5L2
Hx-3L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
16
25
Solución
Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen.
Ecuación de la elipse.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
b2
a2
Hx - H3LL2
Hy - H5LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
25
Centro de la elipse.
Hh, kL = H3, 5L
99
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Longitud del eje mayor y del menor.
a=5
b=4
Eje mayor = 2 a = 10
Eje menor = 2 b = 8
Vértices y focos de la elipse.
A1 = Hh, k + aL = H3, 10L
B1 = Hh - b, kL = H-1, 5L
c=
A2 = Hh, k - aL = H3, 0L
B2 = Hh + b, kL = H7, 5L
"########
##########
a2 - b2 = ≤ 3
F1 = Hh, k + cL = H3, 8L
F2 = Hh, k - cL = H3, 2L
Y
10
8
6
4
2
X
2
4
6
à Problema 51. Una elipse tiene focos F1 H3, 8L, F2 H3, 2L y la longitud de su eje menor es
8.
Solución
100
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen
conocido el foco y el eje menor.
Focos y eje menor de la elipse
F1 = Hh, k + cL = H3, 8L
F2 = Hh, k - cL = H3, 2L
c=3
h=3
k=5
Eje menor = 2 b = 8
b=4
Solución
a=
"########
########## "##################
b 2 + c 2 = 42 + 32 = 5
Eje mayor = 2 a = 10
A1 = Hh, k + aL = H3, 10L
B1 = Hh - b, kL = H-1, 5L
A2 = Hh, k - aL = H3, 0L
B2 = Hh + b, kL = H7, 5L
Centro = Hh, kL = H3, 5L
Ecuación de la elipse.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
b2
a2
Hx - H3LL2
Hy - H5LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
25
Y
10
8
6
4
2
X
2
4
6
101
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
6.5. Forma general de la elipse horizontal con
centro fuera del origen
Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse, se desarrollará la ecuación
ya conocida en forma común.
En el caso de la elipse horizontal se sabe que la ecuación es:
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
a2
b2
(85)
Desarrollando y ordenando queda como sigue:
b2 x2 + a2 y2 - 2 b2 h x - 2 a2 k y + b2 h2 + a2 k 2 - a2 b2 = 0.
(86)
Comparando con la ecuación general de las cónicas:
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F = 0
A = b2
D = -2 b2 h
B=0
E = -2 a2 k
C = a2
F = b2 h2 + a2 k 2 - a2 b2 .
(87)
Según esto, la ecuación general de la elipse horizontal es:
A x2 + C y2 + D x + E y + F = 0.
(88)
à Problema 52. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente elipse horizontal:
Hy-5L2
Hx-5L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
16
4
Solución
Forma general de la ecuación de la elipse horizontal con vértice
fuera del origen conocida la ecuación común.
102
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ecuación común de la elipse.
Hx - hL2 Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hx - H5LL2 Hy - H5LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
4
Centro de la elipse.
Hh, kL = H5, 5L
Longitud del eje mayor y del menor.
a=4
b=2
Eje mayor = 2 a = 8
Eje menor = 2 b = 4
Vértices y focos de la elipse.
A2 = Hh + a, kL = H9, 5L
A1 = Hh - a, kL = H1, 5L
B1 = Hh, k + bL = H5, 7L
B2 = Hh, k - bL = H5, 3L
è!!!!
"##################
c = a2 - b2 = ≤ 2 3
è!!!!
F1 = Hh - c, kL = H5 - 2 3 , 5L
è!!!!
F2 = Hh + c, kL = H5 + 2 3 , 5L
Ecuación general de la elipse.
x2
5x
y2
5y
109
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0
16
8
4
2
16
Y
7
6
5
4
X
2
4
6
8
à Problema 53. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente elipse horizontal
indicada en su forma general:
4 x2 + 9 y2 + 32 x - 18 y + 37 = 0.
Solución
103
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Forma común de la ecuación de la elipse horizontal con vértice
fuera del origen conocida la ecuación general.
Ecuación general de la elipse.
A x 2 + D x + C y2 + E y + F = 0
4 x 2 + 32 x + 9 y2 - 18 y + 37 = 0
Centro.
è!!!!!
C =3
è!!!!
b= A =2
D
h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = -4;
-2 b
E
k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = 1
-2 a
a=
Centro = Hh, kL = H-4, 1L
Longitud del eje mayor y del menor.
a=3
b=2
Eje mayor = 2 a = 6
Eje menor = 2 b = 4
Vértices y focos de la elipse.
A1 = Hh - a, kL = H-7, 1L
B1 = Hh, k + bL = H-4, 3L
è!!!!
"##################
c = a2 - b2 = ≤ 5
è!!!!
F1 = Hh - c, kL = H-4 - 5 , 1L
è!!!!
F2 = Hh + c, kL = H-4 + 5 , 1L
Ecuación común de la parábola.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
A2 = Hh + a, kL = H-1, 1L
B2 = Hh, k - bL = H-4, -1L
Hx - H-4LL2
Hy - H1LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
9
4
104
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
X
−1
−1
6.6. Forma general de la elipse vertical con centro
fuera del origen
Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse, en el caso de la elipse
vertical, se procederá a desaarrollar la ecuación.
La elipse vertical se describe como sigue:
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
b2
a2
(89)
Si se desarrolla esta ecuación, se llegará a lo siguiente:
a2 x2 + b2 y2 - 2 a2 h x - 2 b2 k y + a2 h2 + b2 k 2 - a2 b2 = 0.
(90)
Comparando con la ecuación general utilizada en el caso de las cónicas:
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F = 0
A = a2
D = -2 a2 h
B=0
E = -2 b2 k
C = b2
F = a2 h2 + b2 k 2 - a2 b2 .
(91)
Por ello, se dice que la ecuación general de la elipse vertical es:
A x2 + C y2 + D x + E y + F = 0.
105
(92)
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 54. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente elipse vertical:
Hy-3L2
Hx+2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
4
9
Solución
Forma general de la ecuación de la elipse vertical con vértice
fuera del origen conocida la ecuación común.
Ecuación común de la elipse.
Hx - hL2 Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
b2
a2
Hx - H-2LL2 Hy - H3LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
4
9
Centro de la elipse.
Hh, kL = H-2, 3L
Longitud del eje mayor y del menor.
a=3
b=2
Eje mayor = 2 a = 6
Eje menor = 2 b = 4
Vértices y focos de la elipse.
A1 = Hh, k + aL = H-2, 6L
B1 = Hh - b, kL = H-4, 3L
c=
A2 = Hh, k - aL = H-2, 0L
B2 = Hh + b, kL = H0, 3L
è!!!!
"########
##########
a2 - b2 = ≤ 5
è!!!!
5L
è!!!!
F2 = Hh, k - cL = H-2, 3 - 5 L
F1 = Hh, k + cL = H-2, 3 +
Ecuación general de la elipse.
x2
y2
2y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + x + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 1 = 0
4
9
3
106
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
X
à Problema 55. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente elipse vertical
indicada en su forma general:
9 x2 + 4 y2 + 36 x - 24 y + 36 = 0.
Solución
Forma común de la ecuación de la elipse vertical con vértice
fuera del origen conocida la ecuación general.
Ecuación general de la elipse.
A x 2 + D x + C y2 + E y + F = 0
9 x 2 + 36 x + 4 y2 - 24 y + 36 = 0
107
Proyecto Fin de Carrera
Centro.
Aplicación para la Geometría Analítica
è!!!!
A =3
è!!!!!
b= C =2
D
h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = -2;
-2 a
E
k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = 3
-2 b
a=
Centro = Hh, kL = H-2, 3L
Longitud del eje mayor y del menor.
a=3
b=2
Eje mayor = 2 a = 6
Eje menor = 2 b = 4
Vértices y focos de la elipse.
A1 = Hh, k + aL = H-2, 6L
B1 = Hh - b, kL = H-4, 3L
c=
A2 = Hh, k - aL = H-2, 0L
B2 = Hh + b, kL = H0, 3L
è!!!!
"########
##########
a2 - b2 = ≤ 5
è!!!!
5L
è!!!!
F2 = Hh, k - cL = H-2, 3 - 5 L
F1 = Hh, k + cL = H-2, 3 +
Ecuación común de la parábola.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
+
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
b2
a2
Hx - H-2LL2
Hy - H3LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
4
9
108
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
6
5
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
X
109
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
7. La Hipérbola
La hipérbola está definida como el lugar geométrico de todos los puntos contenidos
en un plano, que tienen la propiedad común relativa de que la diferencia de sus distancias a
dos puntos fijos llamados focos es una constante, representada por 2 a.
Puede describirse de igual modo como la curva que se obtiene intersectando un
cono y un plano; si el plano está inclinado, corta ambas secciones del cono y no pasa por el
vértice del mismo.
7.1. Ecuación de la hipérbola horizontal con
centro en el origen
Para este tipo de curva, las coordenadas de los focos son F1 H-c, 0L y F2 Hc, 0L. La
condición de movimiento del punto M Hx, yL según definición es:
êêêêêêêê êêêêêêêê
M F1 - M F2 = 2 a.
(93)
Representación de los focos de la hipérbola y el punto M .
Figura 4
110
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Teniendo en cuenta la expresión para la distancia entre dos puntos, queda como
sigue:
êêêêêêêê "##################################
M F1 = Hx + cL2 + Hy - 0L2
êêêêêêêê "################
##################
M F2 = Hx - cL2 + Hy - 0L2 .
(94)
Sustituyendo queda de la forma:
"################
##################
"##################################
Hx + cL2 + Hy - 0L2 - Hx - cL2 + Hy - 0L2 = 2 a.
(95)
Será necesario desarrollar y efectuar unas reducciones en esta ecuación.
Hc2 - a2 L x2 - a2 y2 = a2 Hc2 - a2 L.
(96)
Para transformar más la ecuación, habrá que tener en cuenta el triángulo F1 M F2 ,
en el que cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos. Esto permite escribir que:
êêêêêêêê
êêêêêêêê êêêêêêêê
F1 F2 > M F2 - M F2
êêêêêêêê
F1 F2 = 2 c
êêêêêêêê êêêêêêêê
M F1 - M F2 = 2 a.
(97)
Por tanto,
2c > 2a
c2 - a2 > 0.
(98)
Como la última desigualdad expresa que la diferencia es constante y positiva, puede
expresarse de la siguiente manera por otra constante b2 :
c 2 - a2 = b2 .
(99)
Sustituyendo en la ecuación desarrollada anteriormente:
b2 x2 - a2 y2 = a2 b2 .
(100)
111
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ésta es la ecuación definitiva de la hipérbola, que puede expresarse también, de
manera más simple, de la siguiente forma:
x2
y2
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ = 1.
a
b
(101)
7.1.1. Análisis de la ecuación
Previamente es necesario despejar las dos variables, x e y, de la ecuación.
a è!!!!!!!!!!!!!!
x = ≤ ÅÅÅÅÅ b2 + y2
b
b è!!!!!!!!!!!!!!
y = ≤ ÅÅÅÅÅ x2 - a2 .
a
(102)
Observando las ecuaciones anteriores, es fácil asegurar que la curva es simétrica
con relación a los ejes del sistema y al origen.
Cuando y = 0, x = ≤ a. Esto implica que la hipérbola corta al eje O X en los puntos
A1 H-a, 0L y A2 Ha, 0L.
En el caso de x = 0, y = ≤ b i. Este resultado permite indicar que la curva no corta
al eje O Y .
La curva no existe entre x = -a y x = a, sino que solamente se extiende desde
x = -a hacia la izquierda, y desde x = a hacia la derecha. En conclusión, la curva tiene dos
ramas separadas, ambas controladas por la misma ecuación; es una curva discontinua.
La curva es abierta debido a que a medida que x aumenta independientemente,
también y lo hace del mismo modo.
Esta hipérbola horizontal con centro en el origen tiene como elementos principales
los vértices (A1 , A2 ), los focos (F1 , F2 ) y las asíntotas. Se sabe que el eje focal es 2 a, el
112
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
eje no focal 2 b y la distancia focal 2 c. Estos ejes pueden ser mayor el uno que el otro
indistintamente, incluso iguales, sin que la hipérbola deje de ser horizontal. De la magnitud
de los mismos sólo depende la mayor o menor abertura de las ramas.
Las ramas de la hipérbola se acercan indefinidamente a las asíntotas sin llegar a
tocarlas jamás. Esto es debido a que para todo punto de la hipérbola, el producto de sus
distancias a las asíntotas es constante, y se representa con q.
7.1.2. Asíntotas de la hipérbola
Para encontrar las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola, es necesario partir de
la ecuación de la misma ya conocida:
y2
x2
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ = 1.
a
b
(103)
Si se despeja y y se reduce, queda:
b
a2 %
1 - %ÅÅÅÅ%%%%%
ÅÅÅÅ .
y = ≤ ÅÅÅÅÅ x $%%%%%%%%
a
x2
(104)
Se considera que la rama derecha de la hipérbola se prolonga indefinidamente
2
a
cuando x crece indefinidamente, por tanto, se tiene que el cociente ÅÅÅÅ
ÅÅ tiende a cero, por lo
x2
que el subradical tiende a tomar el valor de la unidad. De este modo, la expresión anterior
toma la forma:
b
y = ≤ ÅÅÅÅÅ x
a
(105)
que es la ecuación de las asíntotas de la hipérbola.
Si se tiene en cuenta la ecuación de la hipérbola, las asíntotas se pueden definir con
otras ecuaciones:
113
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
x
y
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ = 1
a
b
(106)
x
y
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅ = 1.
a
b
à Problema 56. Determinar las asíntotas, las coordenadas de los focos y los vértices y
y2
x2
ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 1.
hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ÅÅÅÅ
64
100
Solución
Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen.
Ecuación de la hipérbola.
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å = 1
a
b
Valores de a y b.
a=8
x2
y2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
64
100
b = 10
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = H-a, 0L = H-8, 0L
è!!!!!!!
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 2 41
è!!!!!!!
F1 = H-c, 0L = H-2 41 , 0L
è!!!!!!!
F2 = Hc, 0L = H2 41 , 0L
c=
Asíntotas.
b
y = ≤ ÅÅÅÅÅÅ x
a
5x
y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
5x
y = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
114
A2 = Ha, 0L = H8, 0L
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
20
10
−15 −10
−5
X
5
10
15
−10
−20
7.2. Ecuacion de la hipérbola vertical con centro
en el origen
Para obtener la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen, se
procederá como en otros casos ya vistos, es decir, representando mediante una ecuación la
condición de movimiento que deben satisfacer los puntos de la curva según la definición.
Sea M Hx, yL un punto cualquiera, su condición de movimiento es:
êêêêêêêê êêêêêêêê
M F1 - M F2 = 2 a.
(107)
Cuando una hipérbola es de este tipo, los focos están sobre el eje O Y , y son
F1 H 0, c L y F2 H 0, -c L.
Sabiendo que:
êêêêêêêê "################
##################
M F1 = Hx - 0L2 + Hy - cL2
êêêêêêêê "################
##################
M F2 = Hx - 0L2 + Hy + cL2 .
(108)
115
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Sustituyendo queda de la forma:
"################
##################
"##################################
Hx - 0L2 + Hy - cL2 - Hx - 0L2 + Hy + cL2 = 2 a.
(109)
Será necesario desarrollar y efectuar unas reducciones en esta ecuación.
Hc2 - a2 L y2 - a2 x2 = a2 Hc2 - a2 L.
(110)
Aplicando el teorema de Pitágoras y sustituyendo en lo anterior se tiene que:
b2 = c2 - a2 .
(111)
Sustituyendo en la ecuación desarrollada anteriormente:
b2 y2 - a2 x2 = a2 b2 .
(112)
Ésta es la ecuación definitiva de la hipérbola, que puede expresarse también, de
manera más simple, de la siguiente forma:
y2
x2
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ = 1.
a
b
(113)
En este caso, el eje focal o transverso coincide con el eje O Y , y el eje conjugado
con el O X .
Las ecuaciones de las asíntotas son:
a
y = ≤ ÅÅÅÅÅ x .
b
(114)
à Problema 57. Determinar las asíntotas, las coordenadas de los focos y los vértices y
2
x2
hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación: ÅÅÅÅy4ÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅ = 1.
5
Solución
116
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen.
Ecuación de la hipérbola.
y2
x2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ2Å = 1
a
b
y2
x2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
4
5
Valores de a y b.
a=2
b=
è!!!!
5
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = H0, aL = H0, 2L
c=
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 3
A2 = H0, -aL = H0, -2L
F1 = H0, cL = H0, 3L
F2 = H0, -cL = H0, -3L
Asíntotas.
a
y = ≤ ÅÅÅÅÅÅ x
b
2x
y = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
5
2x
y = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
è!!!!
5
Y
4
2
−4
X
−2
2
−2
−4
117
4
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
7.3. Ecuación de la hipérbola horizontal con
centro fuera del origen
Sea C Hh, kL el centro de una hipérbola cuyo eje transverso es paralelo al eje O Y .
Se traza otro sistema de coordenadas x' y', cuyo origen coincida con C. La ecuación de la
hipérbola con respecto a este nuevo sistema quedará:
x '2
y'2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 Å - ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ = 1.
a
b
(115)
Refiriendo esto al sistema de coordenadas original, será necesario recurrir a las
ecuaciones de translación paralela de los ejes.
x' = x - h
(116)
y' = y - k.
Haciendo la sustitución, queda la ecuación de la hipérbola horizontal con centro
fuera del origen.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
a2
b2
(117)
Las coordenadas de los vértices son A1 Hh - a, kL y A2 Hh + a, kL, y, del mismo
modo, las de los focos son F1 Hh + c, kL y F2 Hh - c, kL.
Las asíntotas son:
b
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅ Hx - hL.
a
(118)
118
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 58. Determinar las asíntotas, las coordenadas del centro, los focos y los
Hy+3L2
Hx-5L2
vértices y hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación:
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
9
16
Solución
Ecuación de la hipérbola horizontal con centro fuera del origen.
Ecuación de la hipérbola.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hx - H5LL2
Hy - H-3LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
9
16
Centro de la hipérbola.
Hh, kL = H5, -3L
Valores de a y b.
a=3
b=4
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = Hh - a, kL = H2, -3L
c=
A2 = Hh + a, kL = H8, -3L
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 5
F1 = Hh - c, kL = H0, -3L
F2 = Hh + c, kL = H10, -3L
Asíntotas.
b
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - hL
a
4
Hy - H-3LL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - H5LL
3
119
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
40
20
−30 −20 −10
X
10
20
30
−20
−40
7.4. Ecuación de la hipérbola vertical con centro
fuera del origen
El proceso, en este caso, es similar al del caso anterior. Será necesario tener en
cuenta la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen:
y2
x2
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ = 1.
a
b
(119)
Como es conocido, se utilizará un nuevo sistema en el que la translación paralela de
los ejes sea la siguiente:
x' = x - h
(120)
y' = y - k.
120
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación anterior a las mismas, se obtiene la
ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen.
Hy - kL2
Hx - hL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
a2
b2
(121)
Las coordenadas de los vértices son A1 Hh, k + aL y A2 Hh, k - aL, y, del mismo
modo, las de los focos son F1 Hh, k + cL y F2 Hh, k - cL.
Las asíntotas son:
a
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅ Hx - hL.
b
(122)
à Problema 59. Determinar las asíntotas, las coordenadas del centro, los focos y los
Hx+5L2
Hx-3L2
vértices y hacer la gráfica de la hipérbola dada por la ecuación:
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 1.
36
25
Solución
Ecuación de la hipérbola vertical con centro fuera del origen.
Ecuación de la hipérbola.
Hy - kL2
Hx - hL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hy - H-5LL2
Hx - H3LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
25
Centro de la hipérbola.
Hh, kL = H3, -5L
Valores de a y b.
a=4
b=5
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = Hh, k + aL = H-5, -1L
"##################
è!!!!!!!
121
A2 = Hh, k - aL = H-5, -9L
Proyecto Fin de Carrera
c=
Aplicación para la Geometría Analítica
è!!!!!!!
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 41
è!!!!!!!
41 L
è!!!!!!!
F2 = Hh, k - cL = H-5, -5 - 41 L
F1 = Hh, k + cL = H-5, -5 +
Asíntotas.
a
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - hL
b
4
Hy - H-5LL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - H3LL
5
Y
30
20
10
−40
X
−20
20
40
−10
−20
−30
−40
7.5. Forma general de la hipérbola horizontal con
centro fuera del origen
Para obtener la forma general de la ecuación de la hipérbola, se desarrollará la
ecuación ya conocida en forma común.
En el caso de la hipérbola horizontal se sabe que la ecuación es:
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
a2
b2
(123)
Desarrollando y ordenando queda como sigue:
b2 x2 - a2 y2 - 2 b2 h x + 2 a2 k y + b2 h2 - a2 k 2 - a2 b2 = 0.
Comparando con la ecuación general de las cónicas:
122
(124)
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F = 0
A = b2
D = -2 b2 h
B=0
E = 2 a2 k
C = -a2
F = b2 h2 - a2 k 2 - a2 b2 .
(125)
Según esto, la ecuación general de la hipérbola horizontal es:
A x2 + C y2 + D x + E y + F = 0.
(126)
à Problema 60. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente hipérbola
horizontal:
Hy+1L2
Hx-2L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
16
9
Solución
Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal con centro
fuera del origen conocida la ecuación común
Ecuación común de la hipérbola.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hx - H2LL2
Hy - H-1LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
9
Centro de la hipérbola.
Hh, kL = H2, -1L
Valores de a y b.
a=4
b=3
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = Hh - a, kL = H-2, -1L
c=
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 5
F1 = Hh - c, kL = H-3, -1L
F2 = Hh + c, kL = H7, -1L
123
A2 = Hh + a, kL = H6, -1L
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Asíntotas.
b
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - hL
a
3
Hy - H-1LL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - H2LL
4
Ecuación general de la hipérbola.
x2
x
y2
2y
31
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0
16
4
9
9
36
Y
20
10
−30
−20
X
−10
10
20
30
−10
−20
à Problema 61. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente hipérbola horizontal
indicada en su forma general:
9 x2 - 16 y2 - 36 x - 32 y - 124 = 0.
Solución
Forma común de la ecuación de la hipérbola horizontal con centro
fuera del origen conocida la ecuación general.
Ecuación general de la hipérbola.
A x 2 + D x + C y2 + E y + F = 0
9 x 2 - 36 x - 16 y2 - 32 y - 124 = 0
124
Proyecto Fin de Carrera
Centro.
Aplicación para la Geometría Analítica
è!!!!!!!!!!
»C» =4
è!!!!
b= A =3
D
h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = 2;
-2 b
E
k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = -1
2a
a=
Centro = Hh, kL = H2, -1L
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = Hh -a, kL = H-2, -1L
c=
A2 = Hh+a, kL = H6, -1L
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 5
F1 = Hh - c, kL = H-3, -1L
F2 = Hh + c, kL = H7, -1L
Asíntotas.
b
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - hL
a
3
Hy - H-1LL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - H2LL
4
Ecuación común de la hipérbola.
Hx - hL2
Hy - kL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hx - H2LL2
Hy - H-1LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
16
9
Y
20
10
−30
−20
X
−10
10
−10
−20
125
20
30
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
7.6. Forma general de la hipérbola vertical con
centro fuera del origen
Para obtener la forma general de la ecuación de la hipérbola, en el caso de la
hipérbola vertical, se procederá a desarrollar la ecuación.
La hipérbola vertical se describe como sigue:
Hy - kL2
Hx - hL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ = 1.
a2
b2
(127)
Si se desarrolla esta ecuación, se llegará a lo siguiente:
-a2 x2 + b2 y2 + 2 a2 h x - 2 b2 k y - a2 h2 + b2 k 2 - a2 b2 = 0.
(128)
Comparando con la ecuación general utilizada en el caso de las cónicas:
A x2 + B x y + C y2 + D x + E y + F = 0
A = -a2
D = 2 a2 h
B=0
E = -2 b2 k
C = b2
F = -a2 h2 + b2 k 2 - a2 b2 .
(129)
Por ello, se dice que la ecuación general de la hipérbola vertical es:
A x2 + C y2 + D x + E y + F = 0.
(130)
à Problema 62. Hallar la forma general de la ecuación de la siguiente hipérbola vertical:
Hy-1L2
Hx-3L2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ = 1.
4
5
Solución
Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal con centro
fuera del origen conocida la ecuación común.
126
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Ecuación de la hipérbola.
Hy - kL2
Hx - hL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hy - H1LL2
Hx - H3LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
4
5
Centro de la hipérbola.
Hh, kL = H3, 1L
Valores de a y b.
a=2
b=
è!!!!
5
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = Hh, k + aL = H1, 3L
c=
A2 = Hh, k - aL = H1, -1L
"########
##########
a2 - b2 = ≤ 3
F1 = Hh, k + cL = H1, 4L
F2 = Hh, k - cL = H1, -2L
Asíntotas.
a
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - hL
b
2
Hy - H1LL = ≤ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ Hx - H3LL
è!!!!
5
Ecuación general de la hipérbola.
x2
6x
y2
y
51
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0
5
5
4
2
20
Y
20
15
10
5
−15−10 −5
−5
X
5
10 15
−10
−15
127
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
à Problema 63. Hallar la forma común de la ecuación de la siguiente hipérbola vertical
indicada en su forma general:
2
5y
x2
6x
111
- ÅÅÅÅ
Å7 Å - ÅÅÅÅ
Å7 ÅÅÅ + ÅÅÅÅy4ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = 0.
2
28
Solución
Forma común de la ecuación de la hipérbola vertical con centro
fuera del origen conocida la ecuación general.
Ecuación general de la hipérbola.
A x 2 + D x + C y2 + E y + F = 0
-9 x 2 + 16 y2 - 144 = 0
Centro.
è!!!!!!!!!!
»A» =3
è!!!!!
b= C =4
D
h = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = 0;
2a
E
k = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ = 0
-2 b
a=
Centro = Hh, kL = H0, 0L
Vértices y focos de la hipérbola.
A1 = Hh, k + aL = H0, 3L
c=
A2 = Hh, k - aL = H0, -3L
"########
##########
a2 + b2 = ≤ 5
F1 = Hh, k + cL = H0, 5L
F2 = Hh, k - cL = H0, -5L
Asíntotas.
a
Hy - kL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - hL
b
3
Hy - H0LL = ≤ ÅÅÅÅÅÅ Hx - H0LL
4
Ecuación común de la hipérbola.
Hy - kL2
Hx - hL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
a2
b2
Hy - H0LL2
Hx - H0LL2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1
9
16
128
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Y
20
10
−30
−20
X
−10
10
−10
−20
129
20
30
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
8. Conclusiones
A medida que se ha ido realizando este proyecto, donde se han estudiado funciones
de cálculo y representación de los diferentes elementos de la Geometría Analítica, se ha
tratado de facilitar la comprensión y el estudio de dichos elementos.
Para llevar a cabo el presente estudio de las funciones de estos elementos, se han
diseñado los correspondientes algoritmos, y, posteriormente, se ha procedido a su diseño y
codificación en el lenguaje simbólico y numérico del paquete Mathematica®.
En cada función de la Geometría Analítica objeto de análisis, se ha mostrado su
desarrollo, detallando los cálculos matemáticos necesarios, y tras su implentación, se han
escrito numerosos ejemplos prácticos que permiten comprobar los resultados de una
manera gráfica y con sus resolución analítica y numérica.
Como línea futura de análisis, y como mejora a introducir en el actual proyecto,
cabría reseñar el desarrollo de otros algoritmos que implementen el estudio de los
elementos geométricos siguientes:
a)
En el caso específico de la recta, la segunda forma normal o ecuación de
Hess, la condición de perpendicularidad de dos rectas, la ecuación incompleta, normal, y
polar de una recta, y la ecuación de un haz de rectas.
b)
Estudio de la ecuación general de segundo grado. Las cónicas y el cono de
revolución, y su determinación por medio de sus coeficientes.
130
Proyecto Fin de Carrera
c)
Aplicación para la Geometría Analítica
El estudio y representación de las cónicas en coordenadas paramétricas: la
circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.
d)
Por último, el análisis de las coordenadas polares generalizadas: trazado de
curvas dada su ecuación polar, y la ecuación de las curvas de segundo grado en
coordenadas polares.
131
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
9. Valoración económica y
planificación
9.1. Introducción
Se especificará en este apartado la valoración económica, es decir, se analizarán los
costes de las distintas actividades que conlleva la realización y posterior puesta en marcha
de este proyecto. El proyecto que está compuesto por distintas tareas y actividades
denominadas items.
9.2. Técnicas de estimación de costes
Los diferentes ítems del proyecto, que se han incluido en este análisis de costes, se
detallan a continuación.
1.
Especificaciones y Desarrollo del Proyecto
Se han diferenciado dos partes dentro de este punto. Estas dos fases son la de
requisitos y el desarrollo de la aplicación.
La fase de requisitos es la primera en aparecer. Consta de la especificación de
requisitos, el análisis funcional y el plan de pruebas.
La fase de desarrollo de la aplicación supone realmente el mayor coste temporal, y
es, en cierto modo, la que diferencia el presupuesto de este proyecto del de otro proyecto
similar cualquiera.
Para estos aspectos, se mostrarán los costes directos, expresados en meses
completos dedicados para cada actividad. Del mismo modo, se describirá el cargo de la
132
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
persona que realice dicha actividad, bien sea Jefe de Proyecto o Analista/Programador.
La actividad del Jefe de Proyecto está estimada en un 14 % respecto de la actividad
del Analista/Programador.
2.
Instalación, Pruebas e Integración de la Aplicación
Se señalan en este apartado los costes directos de la integración y las pruebas de la
aplicación en el entorno de desarrollo y de explotación. En los mismos, están contenidos
los gastos de desplazamiento y dietas, que pueden considerarse gastos accesorios.
3.
Equipamiento y Licencias
En este punto se detallan los costes del equipamiento, la infraestructura
(ordenadores, impresoras, comunicaciones) y las licencias necesarias para el entorno de
explotación.
El equipo hardware a emplear será una arquitectura PC con el sistema operativo
Windows XP. Por tanto, será necesaria la licencia de dicho sistema operativo.
Para el desarrollo y ejecución de esta aplicación se utilizará el paquete de cálculo
Mathematica® V. 5.2. Es, por tanto, ineludible, la adquisición de una licencia del lenguaje
numérico y simbólico.
4.
Apoyo logístico (Formación)
En este concepto se ampara la formación a impartir a los posibles usuarios de la
aplicación a implantar. Se incluye en la formación la entrega de toda la documentación
necesaria para el curso de formación.
133
Proyecto Fin de Carrera
5.
Aplicación para la Geometría Analítica
Incrementos e IVA
Se parte de la suma de las partidas (1), (2), (3), y (4) formando el Coste Directo del
Proyecto. A este Coste Directo se le aplican los Gastos Generales H13 %L y el Beneficio
Industrial H6 %L. La suma de los conceptos de Coste Directo, Gastos Generales y Beneficio
Industrial constituyen el Total Importe sin IVA.
A este importe se le sumarán los impuestos correspondientes como IVA H16 %L,
para la Península y Baleares, IGIC H5 %L para las islas Canarias o IPSI H0 %L para Ceuta y
Melilla.
Total Proyecto
La suma del Total Importe sin IVA más la partida de Incrementos e IVA
determinan el importe total del desarrollo, implantación y puesta en servicio del proyecto.
134
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
9.3. Planificación temporal del proyecto
En el siguiente diagrama de Gantt de actividades se muestran los hitos y tareas más
significativos para el desarrollo y ejecución de este Proyecto Fin de Carrera.
Id
1
Nombre de tarea
MEMORIA DESCRIPTIVA
2
DESARROLLO PFC
3
Punto. Coordenadas cartesianas y polares.
4
La Recta.
5
La Circunferencia .
6
La Parábola.
7
La Elipse y la Hipérbola.
8
PROBLEMAS GENERALES
9
INTERFAZ DE USUARIO
10
DOCUMENTACIÓN FINAL
11
FINALIZACIÓN DEL PFC
sep
oct
nov
2005
dic
ene
feb
mar
abr
may jun
jul
08/10
19/11
24/12
21/01
25/02
01/04
22/04
20/05
06/06
13/06
9.4. Costes del proyecto
En función de lo explicado en el apartado de técnicas de estimación de costes y de
la planificación vista en el apartado anterior se puede proceder a calcular los costes
estimados del presente proyecto.
El importe total del proyecto asciende a 8 .820, 16 € (OCHO MIL
OCHOCIENTOS VEINTE EUROS CON DIECISÉIS CÉNTIMOS), impuestos
incluidos.
El detalle de cada una de las partidas vistas en el apartado anterior, se expresa en la
tabla siguente:
135
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
APLICACIÓN PARA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Ítem
1
Concepto
P.1
Empresa
Unidad
(Meses/
Hombre)
Coste
Unitario €
Coste Total
€
Total por
partidas €
Especificaciones y Desarrollo del Proyecto
a) Especificaciones
P.1.1.1
P.1.1.2
Especificación de Requisitos y Análisis Funcional
Jefe de Proyecto
Desarrollo Inf.
0.04
8,161.43
285.65
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
0.25
5,992.80
1,498.20
Jefe de Proyecto
Desarrollo Inf.
0.04
8,161.43
285.65
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
0.25
5,992.80
1,498.20
Jefe de Proyecto
Desarrollo Inf.
0.07
8,161.43
571.30
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
0.50
5,992.80
2,996.40
Plan de pruebas
b) Desarrollo software
P.1.1.3
El Punto, Coordenadas Cartesianas.
El Punto, Coordenadas Polares.
La Recta.
La Circunferencia.
La Parábola.
La Elipse.
La Hipérbola.
Subtotal 1
2
P.1.2.1
P.1.2.2
Instalación, Pruebas e Integración del Software
Pruebas de integración en fábrica
(Entorno de Desarrollo)
Jefe de Proyecto
Desarrollo Inf.
0.01
8,161.43
114.26
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
0.10
5,992.80
599.28
Jefe de Proyecto
Desarrollo Inf.
0.01
8,161.43
114.26
Analista/Programador
Desarrollo Inf.
0.10
5,992.80
599.28
Instalación y pruebas de aceptación en las instalaciones
del cliente
(Entorno de Explotación)
Subtotal 2
3
AddLink Sw.
Científico
1
1,585.00
Licencia de Windows XP
Microsoft Iberica
1
285.24
285.24
PC
Hewlett Packard
1
1,138.29
1,138.29
Licencia de Mathematica V. 5.2 para Windows
P.1.3.2
P.1.3.3
1,585.00
Subtotal 3
P.1.4.1
3,008.53
Apoyo Logístico (Formación)
Formación Aplicación Software y documentación
(Curso de 4 horas a 2 personas)
Desarrollo Inf.
1
1,953.96
1,953.96
Subtotal 4
TOTAL COSTE DIRECTO
5
1,427.08
Equipamiento y Licencias
P.1.3.1
4
7,135.40
1,953.96
6,389.57
Incrementos e IVA
P.1.5.1
Gastos Generales
Desarrollo Inf.
13%
6,389.57
830.64
P.1.5.2
Beneficio Industrial
Desarrollo Inf.
6%
6,389.57
383.37
TOTAL IMPORTE SIN IVA
IVA (Península y Baleares)
16%
7,603.58
1,216.57
TOTAL PROYECTO (EUROS)
136
7,603.58
8,820.16
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Bibliografía
[EDWA99]
Edwards, Bruce H. y Hostetler, Robert P. y Larson, Roland E.
Cálculo y Geometría Analítica, Vol. 2 (6ª Ed.).
MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Madrid, 1999.
[KLET86]
Kletenik, D. Problemas de Geometría Analítica.
Editorial MIR. Moscú, 1986.
[KRAS03]
Krasnov, M.L.
Curso de Matemáticas Superiores 1: Geometría Analítica, Álgebra Lineal.
Editorial MIR. Moscú, 2003.
[RIDD97]
Riddle, Douglas. Geometría Analítica (6ª Ed.).
INTERNATIONAL THOMSON. México, 1997.
[ROGA98]
Rodríguez Gómez, Fco. Javier y García Merayo, Félix.
Fundamentos y Aplicaciones con Mathematica. Paraninfo. Madrid, 1998.
[RUIZ03]
Ruiz, Jesús M.. Geometría Analítica del Plano y del Espacio.
Grupo Anaya. Madrid, 2003.
[SALA02]
Salas, Saturnino. Calculus: Una y Varias Variables, Vol. 1 y 2. (4º Ed.).
Editorial Reverte. Madrid, 2002.
[SIMM02]
De Simmons, George F. Cálculo y Geometría Analítica (2ª Ed.).
MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA. Madrid, 2002.
[SULL97]
Sullivan, Michael. Trigonometría y Geometría Analítica, 4ª Edición.
Prentece Hall. Chicago, 1997.
137
Proyecto Fin de Carrera
[SWOK98]
Aplicación para la Geometría Analítica
Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffery A.
Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Paraninfo. México, 1998.
[VERA03]
Vera López, Antonio y Alegría Ezquerra.
Problemas de Geometria Analítica y Formas Bilineales.
Editorial AVL. Bilbao, 2003.
URL’s
[1]
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm
[2]
http://www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/
Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/GeomAnalitica_indice.htm
[3]
http://www.micromegas.com.mx/apuntes/geoana5-1.htm
138
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Aplicación informática
Todo el presente Proyecto, como se ha indicado en la introducción, se ha diseñado y
desarrollado con el software Mathematica V.5.2 y el paquete gráfico The Super Widget
Package (SWP) para la creación de la interfaz de usuario (GUI).
En la figura siguiente se puede apreciar el menú general de la interfaz de usuario
que permite trabajar y estudiar la Geometría Analítica en 2 D.
Interfaz de usuario de la aplicación.
Figura 5
El manejo de las diferentes funciones implementadas es extremadamente sencillo, y
es suficiente con conocer los elementos geométricos con los que se quiere trabajar.
A continuación se presentan varios ejemplos, como son la intersección de dos
rectas, la representación de una circunferencia, una hipérbola horizontal con sus asíntotas y
una elipse.
139
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Intersección de dos rectas en el plano.
Figura 6
Ecuación de la circunferencia y su representación.
Figura 7
140
Proyecto Fin de Carrera
Aplicación para la Geometría Analítica
Hipérbola horizontal con sus parámetros y asíntotas.
Figura 8
Representación de una elipse y determinación de sus parámetros.
Figura 9
141