Apunte teórico de la Cátedra - Universidad Nacional de La Plata

Unidad temática 5:
Tema 1
MULTIPLICADORES ANALÓGICOS
APUNTE TEÓRICO
Profesor:
Ing. Aníbal Laquidara.
J.T.P.:
Ing. Isidoro Pablo Perez.
Ay. Diplomado:
Ing. Carlos Díaz.
Ay. Diplomado:
Ing. Alejandro Giordana
Ay. Alumno:
Sr. Nicolás Ibáñez.
URL: http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/electronicos2/
CIRCUITOS ELECTRÓNICOS II
Amplificadores de alto rendimiento
Teoría
Universidad Nacional de La Plata
FACULTAD DE INGENIERÍA
INTRODUCCIÓN
Un multiplicador analógico es un dispositivo que produce una tensión o corriente de salida
proporcional al producto de dos o más tensiones o corrientes independientes de entrada:
(0.1)
E0 =
VxVy
= K Vx Vy
VR
La constante de proporcionalidad 1/VR tiene dimensión V-1. VR Normalmente está fijada en 10 V.
El rango de operación de un multiplicador puede ser definido en términos de sus entradas. Para dos
entradas y la posibilidad de dos polaridades para cada entrada, hay cuatro combinaciones de
polaridad. Pueden visualizarse como los cuatro cuadrantes del plano X-Y
Vy
II
I
Vx
III
IV
Un multiplicador que puede aceptar las cuatro combinaciones de las polaridades de entrada y
entregar la salida apropiada se denomina de cuatro cuadrantes. Un multiplicador de dos cuadrantes
responde a señales ± en una entrada y unipolar en la otra.
Las técnicas más comunes de multiplicación analógica son: transconductancia variable, modulación
por altura-ancho de pulsos y log-antilog.
El desempeño práctico de un multiplicador analógico influye en sus resultados algebraicos, por
ejemplo cuando una o ambas entradas valen cero, los errores a la salida dependerán del ajuste del
off-set y del cero en cada entrada.
También es importante la relación de la magnitud del producto con la magnitud de las entradas. Si
admitimos que el producto debe ser menor que la tensión de referencia VR, (VR es el fondo de
escala), entonces cada entrada deberá ser siempre menor o igual a la referencia:
0 ≤ VX ⋅VY ≤ VR
y la misma restricción se aplica a la tensión de salida o producto:
VX VY
VR ≤ VR
Multiplicadores de transconductancia
Conceptualmente, el multiplicador de transconductancia es el tipo más simple de multiplicador
analógico. Una variable de entrada controla la ganancia (transconductancia) de un dispositivo
activo, que amplifica a la otra entrada en proporción con su valor de control.
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La mayoría de los multiplicadores de transconductancia utilizan transistores de juntura de silicio
como elemento activo, debido a la relación lineal entre la corriente de colector y la
transconductancia, dada por la ecuación:
(0.2)
gm =
dI C
q
=
IC
dVbe kT
Para incrementos suficientemente pequeños, la propiedad multiplicativa puede expresarse como:
(0.3)
∆I C =
q
I C ∆Vbe
kT
Ejemplo: multiplicador simple de dos cuadrantes:
Ic1-Ic2
Vx
R3
10k
Q2
NPN
R2
10
Q1
NPN
R1
4.7k
Vy (negativa)
Una variable controla la ganancia del dispositivo (gm) que amplifica la otra entrada linealmente.
q VY + 0.6 −3
10 VX
k T 4.7 ⋅103
(0.4)
I C1 − I C 2 = ∆I C =
(0.5)
∆I C = 8.3 ⋅10−6 (VY + 0.6) VX
a 25º C
La diferencia de las corrientes de colector es proporcional al producto de las tensiones de entrada,
con las siguientes limitaciones:
1-La entrada Y tiene un offset de 0.6 V, debido al valor de las Vbe. Por consiguiente, el valor de Vy
mayor aceptable es de –0.6 V.
También, la tensión Vbe no es constante, porque aumenta cuando aumenta |Vy| , introduciendo
alinealidades en la entrada Vy. Este problema puede solucionarse usando un conversor tensióncorriente mas elaborado para reemplazar la resistencia R1.
2-El factor de escala es dependiente de la temperatura, que modifica la tensión Vbe y no es fácil de
compensar.
3-La entrada Vx no es lineal, debido a la relación no lineal entre la corriente de colector y la tensión
Vbe. La atenuación 1000:1 reduce el rango ± 10 V. de entrada a ± 10 mV menor que la constante
de juntura kT/q de 25 mV, pero aún así, la alinealidad es del 7%. Puede reducirse aún más, pero a
costa de reducir la relación señal-ruido.
A pesar de estas limitaciones, este multiplicador es utilizado en receptores de RF, donde las señales
son inferiores a 1 mV.
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Circuito de Gilbert
Existe una solución simple a la no linealidad, al limitado rango dinámico y a los problemas de
temperatura del simple par diferencial.
La celda de Gilbert (IEEE 1968), es sinónima de multiplicador de transconductancia y logra errores
del 1%, con gran rango dinámico y ancho de banda.
Para compensar la no linealidad exponencial en la entrada Vx, el circuito básico usa las propiedades
logarítmicas de los diodos (o transistores conectados como diodos).
Ix-dIx
Ix+dIx
Ic1
Q1
NPN
V1
Vbe1
D1
DIODE
Ic2
Q2
NPN
V2
Vbe2
D2
DIODE
Iref
Las entradas balanceadas Ix que atraviesan los diodos como Id1 e Id2 establecen las tensiones V1 y
V2 que son proporcionales a los logaritmos de dichas corrientes:
(0.6)
V1 =
kT  I D1 
ln 

q
 I ES 1 
(0.7)
V2 =
kT  I D 2 
ln 

q
 I ES 2 
Como las corrientes de colector de Q1 y Q2 son funciones exponenciales de las tensiones de entrada
Vbe, es razonable suponer que las tensiones logarítmicas provistas por los diodos D1 y D2 van a
cancelar en parte, o toda la alinealidad de Q1 y Q2, resultando en una relación lineal entre Id1 e Ic1
y entre Id2 e Ic2.
Este resultado se demuestra a continuación.
Suponemos que los transistores y los diodos están apareados, es decir Id1=Id2 e Ic1=Ic2 (por la
construcción monolítica de circuitos integrados).
Además, diodos y transistores se aproximan con la ecuación ideal de la juntura
(0.8)
(
)
I C = α I ES eVbe /VT − 1
La suma de las tensiones en el lazo de D1, Q1, Q2 y D2 debe ser cero:
V 1- V + V
-V = 0
be1 be2 2
V -V = V -V
1 2
be1 be2
(*)
Las tensiones de entrada de los transistores son proporcionales a los logaritmos de sus corrientes de
colector:
I
I
kT
kT
(0.9) VBE1 =
⋅ ln C1
(0.10) VBE 2 =
⋅ ln C 2
q
I ESQ1
q
I ESQ 2
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Sustituyendo (1.6), (1.7), (1.9) y (1.10) en la igualdad (*)
(0.11)
 I  kT  I C 2 
 I  kT  I D 2  kT
kT
⋅ ln  D1  −
⋅ ln  C1  −
ln 
ln 

=
I


q
 I ES 1  q  I ES 2  q
 ESQ1  q  I ESQ 2 
Rescribiendo la diferencia de logaritmos como logaritmos de la división:
 I C1 ⋅ I ESQ 2 
 I I

ln  D1. ES 2  = ln 

 I ⋅I
C
2
ESQ
1
 I D 2 ⋅ I ES 1 


(0.12)
Las constantes serán iguales si diodos y transistores están apareados:
I 
I 
ln  D1  = ln  C1 
 ID2 
 IC 2 
(0.13)
Resulta:
I D1 I C1
=
I D 2 IC 2
(0.14)
Esto establece que la relación de las corrientes de salida Ic1 e Ic2 es linealmente proporcional a la
relación de las corrientes de entrada, sin importar sus magnitudes o la temperatura y la relación
entrada-salida en X es constante con la temperatura.
La relación multiplicativa puede derivarse directamente de la (1.14)
La entrada X es la diferencia 2∆Ix entre las corrientes de los diodos Id1 e Id2. La entrada Y
controla las corrientes de emisor Iref. La salida del multiplicador es la diferencia 2∆Ic de las
corrientes de colector de Q1 y Q2.
I d 1 = I X + ∆I X
I c1 =
I d 2 = I X + ∆I X
I y + Ic
Ic 2 =
2
− I X ≤ ∆I ≤ I X
I y − ∆I c
−I y
2
2
< ∆I c <
I ref = I c1 + I c 2 = I y
Iy
2
Iy > 0
Reemplazando Ic e Id en (1.14)
(0.15)
I X + ∆I X IY / 2 + ∆I C / 2
=
I X − ∆I X IY / 2 − ∆I C / 2
Haciendo un poco de álgebra:
(0.16)
∆I C =
∆I X IY
IX
La corriente de salida es proporcional al producto de la entrada X, corriente diferencial ∆Ix por la
corriente de entrada Iy, e inversamente proporcional a la corriente estática Ix, que podría verse
como el factor de escala. Este multiplicador de dos cuadrantes es bipolar en X y unipolar en Y.
La excelente linealidad, independencia de la temperatura y gran ancho de banda hacen a este
multiplicador muy superior en desempeño al simple par diferencial.
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Multiplicador práctico de dos cuadrantes
+15 V.
R2
10k
R3
10k
Rc
100k
R1
10k
Q1
NPN
Q2
Ry
24.9k
Eo
Q5
NPN
Rc
100k
Q6
NPN NPN
Vy
0 a
-10V
Q9
NPN
D1
DIODE
24.9k
Ganancia
Iy
Iy
10k 40%
R13
Q3
NPN
Vx
0 a
+/-10V
Q7
NPN
Rx
100k
Q4
NPN
R11
60k
Q8
NPN
R5
10k
Ix=200uA
R6
10k
D2
DIODE
R12
10k
-15 V.
La entrada diferencial X se obtiene del par diferencial Q3, Q7, acoplados por emisor por Rx. Las
fuentes de corriente constante Q4, Q8 proveen la polarización Ix para los emisores de Q3 y Q7. La
resistencia Rx de 100K determina la corriente diferencial ∆Ix por volt de entrada Vx. Las corrientes
X de entrada atraviesan los emisores de los transistores conectados como diodos. Esta conexión se
llama ¨invertida¨ porque los diodos Q1 y Q5 no estan conectados a tierra sino a batería, cumpliendo
igual función que en el circuito de Gilbert, y son fácilmente excitados desde los colectores de Q3 y
Q7, por la baja impedancia que presentan desde emisor (cátodo de los diodos) Q1 y Q5. La única
diferencia práctica entre este circuito y la celda de Gilbert es que la salida estará invertida en fase
con la entrada, hecho fácilmente corregible con el amplificador operacional de salida. La entrada de
corriente Y se obtiene con la fuente de corriente controlada formada por el ampl. operacional de
entrada y Q9. La corriente de colector de Q9, (Iy para β grande), será Vy/Ry.
Vc
R2
10k
R3
10k
Rc
100k
Eo
Ve
Ic+dIc
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Ic-dIc
Rc
100k
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La corriente diferencial de salida (entre colectores de Q2 y Q6), se convierte en una tensión
desbalanceada con el puente dinámico R2, R3, Rc, Rc y el ampl. operacional de salida, como se
muestra a continuación:
(0.17)
Vc − Ve
Ve
= I C + ∆I C +
R2
RC
(0.18)
Ve − EO
Vc − Ve
= I C − ∆I C +
R3
RC
Igualando los miembros de la derecha, dado que R2 = R3,
(0.19)
Ve EO
Ve
−
− ∆Ic =
+ ∆Ic
Rc Rc
Rc
(0.20)
EO = −2 ∆I C RC =
(0.21)
EO =
de (0.16) ∆I C =
−2 RC ∆I X IY
IX
∆I X IY
;
IX
VY
= − IY
RY
2 RC VX VY
= K VX VY
RX RY I X
∆I X =
VX
RX
K V −1 
Multiplicador de cuatro cuadrantes
+Vc
R1
R2
R2
Ro
V8
V1
Q1B
Q1A
i1A
Q2A
i1B
Q2B Q3B
i2A
Q3A V8
i3B
i2B
Eo
i3A
V3
Ro
V2
Q4A
Q4B
x1
x2
i1A
Q5A V4
V5 Q5B
y1
i5A
i1B
i5B
y2
Ry
Rx
V6
V7
Ix
Ix
Iy
Iy
-Vc
El multiplicador de transconductancia de cuatro cuadrantes consiste en cuatro fuentes de corriente
iguales, los conversores tensión-corriente, que convierten las tensiones de entrada X e Y en
corrientes linealmente relacionadas, y una celda multiplicadora de 6 transistores que produce dos
corrientes, cuya diferencia es proporcional al producto de las tensiones de entrada. Un amplificador
diferencial finalmente convierte la diferencia de corrientes en una tensión de salida desbalanceada.
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La tensión X se aplica a las entradas de Q4A y Q4B, generando una corriente diferencia en Rx., la
entrada Y se aplica a las entradas de Q5A y Q5B, generando una corriente diferencia en Ry. La
celda multiplicadora consiste en los transistores Q1A y Q1B, conectados como diodos, más cuatro
transistores Q2A, Q2B, Q3B y Q3A. La diferencia de corrientes a la salida es la suma de i2A + i3B,
menos la suma de i2B + i3A.
La entrada X está linealizada como se explicó en el multiplicador de dos cuadrantes. La entrada Y
se linealiza dividiendo la fuente de corriente Y en dos y agregando el resistor Ry para ampliar el
rango lineal de la transconductancia del par acoplado por emisor Q5A y Q5B. Con este circuito se
consiguen rangos dinámicos de hasta ± 10 V en cada entrada.
Comparando este circuito con el multiplicador de dos cuadrantes se observa que se ha agregado un
par diferencial (Q3A, Q3B), y se ha dividido la fuente de corriente Y en dos. Además, las salidas de
los pares Q2, Q3 se han cruzado, de modo que la corriente diferencial de salida es la suma de i2A +
i3B, menos la suma de i2B + i3A.
El par Q5A, Q5B controla la ganancia relativa de los pares Q2 y Q3 respectivamente.
Por ejemplo, si Y=0, entonces las corrientes suma de emisores i2 e i3 serán iguales, y como los
colectores están cruzados, las corrientes se restan resultando cero la diferencia neta de salida para
cualquier valor de la tensión de entrada X.
Si ahora es cero la entrada X, la salida será cero para cualquier valor de Y, dado que las diferencias
de corrientes generadas por Y se cancelarán a la salida por la simetría del circuito.
Si ahora admitimos señales de entrada diferentes de cero en X e Y, la relación algebraica de los
signos se cumplirá de acuerdo con el signo de cada tensión de entrada. Por ejemplo, para una
entrada positiva en y1, la corriente i2 será mayor que i3 y va a predominar la ganancia del par Q2
sobre la del par Q3, produciendo una salida positiva para x1 positivo. Por otro lado, para una señal
y1 negativa, predominará la ganancia del par Q3, resultando una salida negativa para x1 positivo o
positiva para x1 negativo.
Para llegar a la relación entrada-salida del multiplicador de cuatro cuadrantes aprovechamos las
conclusiones obtenidas para el multiplicador de dos cuadrantes, donde los conjuntos Q2A-B mas
Q5A y Q3A-B mas Q5B constituyen cada uno un multiplicador de dos cuadrantes.
Llamando ahora Io a las fuentes de corrientes, Ix = Iy = Io.
Para una tensión Y ≠ 0 i5A=I2 i5B=I3
V
V
I 2 = IO + Y
I3 = IO − Y
RY
RY
La salida de Q2A-B será:
(0.22)
∆I C 2 =
∆I X I 2
;
IO
De igual modo, para Q3A-B
(0.23)
∆I C 3 =
∆I X I 3
;
IO
Dado que los colectores de ambos conjuntos están cruzados, las corrientes de salida se restan,
resultando una diferencia:
∆I C = ∆I C 2 − ∆I C 3
(0.24)
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∆I C =
∆I X
( I 2 − I3 )
IO
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(0.25)
∆I C =
∆I X 
VY
V 
− IO + Y 
 IO +
IO 
RY
RY 
(0.26)
∆I C =
2 ∆I X VY
I O RY
(0.27)
∆I C =
2 VX VY
I O RY RX
∆I X =
VX = X 1 − X 2
VY = Y1 − Y2
VX
RX
La corriente neta diferencial de salida puede convertirse en una tensión desbalanceada con el
amplificador operacional y las resistencias R O y R 2
(0.28)
EO = ∆I C RO
(0.29)
EO =
(0.30)
EO = K VX VY
K=
2 VX VY RO
I O RY RX
EO = K ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
2 RO
RX RY I O
K = 0.1V −1
Multiplicador práctico de cuatro cuadrantes
+15V
6k
6k
3k
3k
15.6k
Eo
15.6k
6.5V
x1
x2
y2
50k
50k
10k
10k
y1
6k
6k
6k
6k
-15V
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ANEXO
Deducción de la relación entrada-salida del multiplicador de transconductancia de cuatro
cuadrantes. (Ver figura del multiplicador en página 7).
Ecuación de la juntura del transistor bipolar
vBE = VT ln
iC : corriente de colector
I S : corriente de saturación
iC
IS
i 
V1 − V2 = VT ln  1 A 
 IS 
En los transistores Q1A y Q1B
i 
V1 − V3 = VT ln  1B 
 IS 
i 
V3 − V2 = VT ln  1 A 
 i1B 
Como la temperatura y las Is son las mismas para Q1A y Q1B,
Para Q2A, Q2B, Q3A y Q3B V3 − V2 = VT ln
VT ln
i
i1 A
i
= VT ln 2 A = VT ln 3 A
i1B
i2 B
i3 B
i
i2 A
= VT .ln 3 A
i2 B
i3 B
⇒
i1 A i2 A i3 A
=
=
i1B i2 B i3 B
En el amplificador operacional ideal:
VC − V8
V − EO
= i2 A + i3 B + 8
R2
RO
En la entrada X :
y
VC − V8
V
= i2 B + i3 A + 8
R2
RO
x1 − V6 = VT ln
i1 A
IS
( ∗)
⇒
x2 − V7 = VT ln
EO
= i2 A + i3 B − i2 B − i3 A
RO
i1B
IS
Restando las ecuaciones anteriores y simplificando:
(A-1)
i1 A =
V6 − V7
+ IX
RX
x1 − x2 = VT ln
i1B +
(A-2)
i1 A
+ (V6 − V7 )
i1B
V6 − V7
= IX
RX
i1 A + i1B = 2 I X
Despejando de (A-2) y reemplazando en (A-1):
(A-3)
i 
x1 − x2 = VT ln  1 A  + ( I X − iB ) RX ;
 i1B 
Reemplazando Ix en ( A − 3)
⇒
IX =
1
( i1 A + i1B )
2
i 
1
1

x1 − x2 = VT ln  1 A  + RX  i1 A + i1B − i1B 
2
2

 i1B 
El término logarítmico contribuye muy poco a la alinealidad y puede ser depreciado
x1 − x2 =
1
RX ( i1 A − i1B )
2
y1 − y2 =
1
RY (i5 A − i5 B )
2
similarmente:
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( i1 A − i1B ) ( i5 A − i5 B ) =
(A-4)
i5 A = i2 A + i2 B
i1 A = 2 I X − i1B ; i1B = i1 A
i2 B
i2 A
;
i1 A = 2 I X
resultan
4 ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
RY RX
i5 B = i3 A + i3 B
 i 
i1 A 1 + 2 B  = 2 I X
 i2 A 
i1 A = 2 I X − i1 A
i2 B
i2 A
;
i2 A
i2 A + i2 B
;
i1B = 2 I X
i2 B
i2 A + i2 B
Reemplazando en (A-4)
 (i − i )

4 ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
= 2 I X  2 A 2 B ( i2 A + i2 B − i3 A − i3 B ) 
RY RX
 ( i2 A + i2 B )

con algo de álgebra resulta:
(A-5)
4 ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
RY RX
4 ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
(A-6)
RY RX
i2 A i3 A
=
i2 B i3 B
de la igualdad:
 ( i − i ) ( i + i ) − ( i2 A − i2 B ) ( i3 A + i3 B ) 
= 2 I X  2 A 2B 2 A 2B

( i2 A + i2 B )



( i − i )( i + i ) 
= 2 I X ( i2 A − i2 B ) − 2 A 2 B 3 A 3 B 
( i2 A + i2 B )


se verifica que
i2 A − i2 B i3 A − i3 B
=
i2 A + i2 B i3 A + i3 B
4 ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
= 2 I X [i2 A − i2 B − i3 A + i3 B ]
RY RX
reemplazando en ( A-6 )
de la igualdad (*) obtenemos:
EO
= i2 A + i3 B − i2 B − i3 A
RO
de donde resulta:
4 ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
E
= 2 IX O
RY RX
RO
y
EO =
2 RO
I X RX RY
( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
con
K=
2 RO
= 0.1V −1
I X RX RY
EO = K ( x1 − x2 ) ( y1 − y2 )
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APLICACIONES DE LOS MULTIPLICADORES ANALÓGICOS
El multiplicador analógico puede realizar operaciones lineales como multiplicación de
cuatro cuadrantes, división y radicación en dos cuadrantes, elevación al cuadrado, multiplicación de
frecuencia entera y fraccional, filtros controlados por tensión, control automático de ganancia de
amplificadores.
En comunicaciones: modulación y demodulación de AM, modulación balanceada y detección de
BLU, fasímetro (detector sensible a fase), lazo enganchado en fase (PLL) y sus aplicaciones como
detección de FM, separación de frecuencias, etc.
En recuperación de señales débiles inmersas en ruido se verá la implementación de un amplificador
Lock-In.
Elevar al cuadrado
VS =
X
VE
VE2
10
Doblador de frecuencias
VE = sen ( 2π f t )
sen α senβ =
Ejemplo:
VS = sen 2 ( 2π ft ) =
1
 cos (α − β ) − cos (α + β ) 
2
si
VE = 5 sen ( ωt )
VS =
1 1
− cos ( 2π ( 2 f ) t )
2 2
sen α senβ =
1
(1 − cos 2α ) ; con α =β
2
1
52
1 − cos ( 2ωt )  ⋅
2
10
VS =
25 25
− cos ( 2ωt )
20 20
6
4
Ve
Vs
2
0
-2
-4
-6
1
91
181
271
361
451
541
Raíz cuadrada
K
Vs*
i2
Ve
i1
R
Vs
R
110621
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V*
VE
=− S
R
R
⇒ VE = −VS*
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⇒ VS* = VS2 K ⇒ VE = − K VS2
⇒ VS = − VE
K
La tensión de entrada deberá ser negativa para proveer realimentación negativa y la salida será
siempre positiva.
División analógica de dos cuadrantes
K
Ve2
Vs*
i2
Ve1
R
i1
Vs
R
VS* = −VE1
⇒
VS* = K VE 2 VS
⇒
VE1 = − K VE 2 VS
⇒
VS = −
VE1
K VE 2
Para que la realimentación sea negativa, se debe cumplir que Ve2 sea siempre positiva. La tensión
Ve1 podrá ser bipolar, al igual que la tensión de salida Vs.
La constante K será en la práctica 0,1V-1., o sea que la salida será Vs = 10.Ve1/Ve2
Como con los multiplicadores, el rango de tensiones de entrada y salida está limitado a 10 volts, lo
que configura un área de valores posibles como se ve en la figura siguiente:
Modulador balanceado
Vx (t)
Vy (t)
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X
Vs (t)
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Vy (t ) = VˆC cos (ωC t )
señal portadora o carrier
Vx(t ) = Vˆm cos (ωmt )
señal moduladora
Vs (t ) = K Vˆm VˆC cos (ωC t ) cos (ωmt )
VS (t ) =
1
K Vˆm VˆC cos ( (ωC − ωm ) t ) + cos ((ωC + ωm ) t ) 
2
ωc-ωm
ωc
ωc+ωm
La señal generada es doble banda lateral (DBL) con portadora suprimida
En el circuito de la figura siguiente, esta salida se obtiene con la llave en la posición DBL.
R
R
Vs
R
+
+
Vc
Vm
S1
DBL
-
AM
Vc
+
Modulación de AM
Si en el circuito anterior se conecta la llave S1 a la posición AM, resultará:
1
1
VS = (VC + Vm sen (ωm t ) ) ⋅ VC sen ( ωC t )  = VC2 sen (ωC t ) + VC Vm sen ( ωmt ) sen (ωC t ) 
10
10
De donde se deduce:
1 2
V C senωC t
10
1
VCVm cos(ωC − ωm )t
20
1
− VCVm cos(ωC + ωm )t
20
110621
es la portadora portadora
es la banda lateral inferior BLI
es la banda lateral superior BLS
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ωc-ωm
ωc+ωm
ωc
Si el índice de modulación m=100%, Vm/Vc=1, la intensidad de las bandas laterales será la mitad
de la de la portadora.
Detección de BLU con portadora suprimida (SSB-SC)
Vx (t)
Vy (t)
Vs (t)
X
Vx(t)=VC cos ( (ωC − ωm ) t )
y
Vy (t ) = cos (ωC t )
A la salida del multiplicador :
VC cos ( (ωC − ωm ) t )  cos (ωC t )
Despues del filtro tendremos
=
Vs (t ) =
1
1
VC cos ( ( 2ωC − ωm ) t )  + VC cos (ωmt )
2
2
1
VC cos (ωmt )
2
Se requiere que el oscilador local tenga la misma frecuencia y esté en fase con la señal portadora del
transmisor (detección sincrónica).
Detección de AM
Utilizando el mismo esquema en bloques de la figura anterior:
 V

Vx ( t ) = 1 + m senωm t  VC sen (ωC t ) = (1 + m.senωm t ) VC sen (ωC t )
 VC

y
Vy ( t ) = sen (ωC t )
A la salida del multiplicador:
(1 + m ⋅ senωmt ) VC sen (ωC t )  sen (ωC t ) = Vc (1 + m ⋅ sen (ωmt ) )  sen 2 (ωC t )
Después del filtro:
1
Vs (t ) = Vc (1 + m ⋅ sen (ωmt ) )  (1 − cos ( 2ωC t ) )
2
Eliminando el témino constante:
Vs (t )=
110621
1
Vc  m ⋅ sen (ωmt ) 
2 
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Detector Sensible a Fase (DSF)
Utilizando el mismo esquema en bloques de la figura anterior:
Vx ( t ) =V1sen ( ωt )
Vy ( t ) = V2 sen (ωt + θ )
y
A la salida del multiplicador , con K = 0.1,
Como
V=
V=
1
V1 V2 sen (ωt ) sen (ωt + θ )
10
sen (ωt + θ ) = sen (ωt ) cos θ + cos (ωt ) senθ
VV
VV
1 2
 sen 2 (ωt ) cos θ + sen (ωt ) cos (ωt ) senθ  = 1 2
10
10
V=
1
 2

 sen (ωt ) cos θ + 2 sen ( 2ωt ) senθ 
VV
VV
1 2
cos θ − 1 2 ( cos ( 2ωt ) cos θ − sen ( 2ωt ) senθ )
20
20
Vs (θ ) =
Después del filtro:
0
± 30
±45
±60
±90
±120
±135
±150
±180
V1V2
cos θ
20
cos θ
1
0.866
0.707
0.5
0
-0.5
-0.707
-0.866
-1
θ
Si fuera necesario detectar desfasajes con la condición de indicar salida nula con desfasaje nulo,
emplearíamos el circuito anterior, modificado agregando un desfasador de 90 º.
Vx (t)
φ=90º
Vs (t)
X
Vy (t)
Vx(t ) = V1 sen (ωt )
y
Después del desfasador:
A la salida del multiplicador
Utilizando la relación
110621
Vy (t ) = V2 sen (ωt − θ )
Vx (t )* = V1sen (ωt − θ ) = −V1 cos ωt
V1V2
 sen ( ωt − θ )( − cos ωt ) 
10 
1
sen α ⋅ cos β =  sen (α + β ) + sen (α − β ) 
2
Vs (t ) =
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Vs (t ) = −
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VV
1 2
( sen ( 2ωt ) cos θ − cos ( 2ωt ) senθ − senθ )
20
VV
1 2
sen θ
20
Después del filtro tendremos:
Vs (θ ) =
Si Vy (t ) = V2 sen (ω t + θ ) la salida sería negativa
Vs (θ ) = −
θ
0/180
+30/+150
+45/+135
+60/+120
+90
-30/-150
-45/-135
-60/-120
-90
VV
1 2
sen θ
20
sen θ
0
0.5
0.707
0.866
1
-0.5
-0.707
-0.866
-1
Lazos enganchados en fase (Phase Locked Loop PLL)
Es un circuito que permite que una señal externa controle la frecuencia y la fase de un oscilador.
Permite sintonizar y filtrar frecuencias selectivamente sin emplear inductores.
Es básicamente un circuito realimentado formado por tres bloques: un comparador de fase (detector
sensible a fase o DSF), un oscilador controlado por tensión (OCT o VCO) y un filtro pasabajos.
fs
Detector
de fase
DSF
Filtro pasa
bajos
Vd
Oscilador
Controlado
VCO
fo
El oscilador controlado por tensión (VCO) oscila libremente a una frecuencia fr determinada por
una red RC o LC, Esta frecuencia es comparada con la frecuencia fs de una señal de referencia en el
detector de fase, que entrega la mezcla fs-fo ó fo-fs, depende de cual sea mayor. Los productos
fo+fs, 2fs y 2fo son eliminados por el filtro pasabajos.
Si la frecuencia de señal a la salida del DSF no es atenuada por el filtro pasabajos, la tensión Vd de
salida del filtro controlará al VCO, tendiendo a reducir la diferencia de frecuencias hasta que se
igualen.
Una vez que se sincronizan las tensiones de entrada y salida, o sea fo=fs, el detector de fase entrega
una tensión con una componente continua estable necesaria para que el VCO iguale la frecuencia de
señal de referencia. En este caso se establece una diferencia de fase θ d para producir la tensión Vd.
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Estados de funcionamiento del PLL
Estado de oscilación libre:
Esta condición ocurre cuando no hay señal de entrada o hay una señal de entrada a la cual el lazo no
puede enganchar.
Estado fijo:
Es el que corresponde cuando el lazo está enganchado en fase: fo=fs, salvo una diferencia
finita de fase θ d . Cuando el lazo está enganchado, por cada ciclo de entrada hay un solo ciclo de
señal de salida.
Estado de captura:
Es el estado previo al fijo, es cuando del VCO está cambiando de frecuencia, intentando
enganchar la frecuencia de la señal de referencia.
Rangos de funcionamiento del PLL
Vdmáx
Captura en forma instantánea
fr
2fc
Vdmín
2fp
2fL
fr: frecuencia de oscilación libre
2fc: rango de captura
2fp: rango de tracción (pulling)
2fL: rango de seguimiento
Siempre se cumple que: 2fc < 2fp < 2fL
El rango de funcionamiento se define a partir de las variaciones de Vd cuando se varía la frecuencia
de la señal de referencia fs
El rango de seguimiento 2fL no depende de las características del filtro. Los límites superior e
inferior quedan definidos por el dispositivo que primero se sature: puede ser el comparador de fase,
el VCO o algún otro dispositivo activo del lazo.
El rango de captura 2fc y el rango de tracción 2fp dependen, entre otras cosas, del filtro pasabajos.
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Las características del filtro, entre otras cosas, limitan la rapidez en que el estado fijo puede ser
alcanzado, ya que la tensión del capacitor del filtro pasabajos no puede cambiar instantáneamente,
oficiando de capacitor de memoria, asegurando una rápida recaptura de la señal, si el sistema sale
de sincronismo por un transitorio de ruido.
Una vez que la adquisición del sincronismo se ha completado, el PLL sigue automáticamente las
variaciones de la señal de entrada.
Si la señal es estable y con poco ruido, el lazo la reproduce fielmente y con un filtro de ancho de 1 ó
2 Hz, por ejemplo, el PLL reduce el ruido de la señal de entrada enormemente. De esta manera, el
PLL funciona como un filtro de frecuencia variable y pequeño ancho de banda, que sigue a la señal
de referencia, aunque esta tenga una relación S/N baja.
Detectores de Fase
Detector de fase con puerta XOR
Vs
Vo
Ve
Ve (promedio)
Vdd
0
π
θ
2π
VE = k D .θ D
θ D = θ S − θO
kD =
Vdd
π
1
1
f S = ; fO =
8
6
1 1 1
fO − f S = − =
6 8 24
Cuando las frecuencias son iguales, la salida del detector es proporcional al desfasaje, y cuando las
frecuencias son diferentes, funciona como mezclador, produciendo a la salida la frecuencia
diferencia fe=fo-fs
Multiplicador como detector de fase (MC1496)
Este circuito no necesita que las señales sean cuadradas, mientras una o ambas sean lo
suficientemente intensas como para que los transistores trabajen en una zona no lineal.
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En una aplicación del PLL como demodulador de FM, la entrada del VCO puede ser cuadrada,
mientras la señal de FI puede ser senoidal. La función de salida resulta, entonces cosenoidal en vez
de triangular.
Si las señales son bipolares, la salida del multiplicador cumplirá con la ley del producto,
indicando atraso o adelanto de fase.
Osciladores controlados por tensión VCO
La mayoría de los VCOs son multivibradores astables controlados por tensión (MC4324, LM566,
XR-2206, 8038 etc).
Cuando se desea una onda senoidal o de alta frecuencia se utilizan osciladores LC sintonizados con
diodo varicap, como el MC12148.
Filtro Pasabajos
Tiene dos importantes funciones: primero, elimina el ruido y cualquier componente de alta
frecuencia de la salida del detector de fase, tales como fs+fo, armónicas de fs y fo, etc. dejando
pasar sólo la componente de baja frecuencia fs-fo, cuando se está adquiriendo el estado fijo o,
cuando el PLL ya está en estado fijo, la salida es una continua, o pequeñas variaciones. Segundo, es
el bloque más importante en la determinación de las características dinámicas del lazo, rango de
captura, respuesta en frecuencia y respuesta transitoria.
Los filtros pasabajos más comunes usados en PLL son los siguientes:
Donde :
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T1 = R1 C y
T2 = R2 C
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Aplicaciones del PLL
Sintetizador Básico
La frecuencia f a la salida del VCO es N veces la fs de entrada, que se elige lo más alta posible para
ser eliminada fácilmente por el filtro pasabajos FPB.
Sintetizador fraccional
Divisor
XM
fR
FPB
Comp.
de fase
fO =
Divisor
XN
N
fR
M
VCO
f0
Sintetizador tipo ¨prescaling¨
Osc.
4 Mhz
Divis.
X 160
Vcc ≈ ∆θ
Comp.
de fase
25 Khz
Osc.98Mhz.
a varicap
Prescaler
divide x 3920
Receptor Homodino o Sincrodino
Aparentemente, la primera aplicación documentada de un PLL data de 1932 y se refiere a la
recepción sincrónica de señales de radio moduladas en AM.
cos ωC t
PLL
X
FPB
VC
(1 + m ⋅ cos (ωmt ) )
2
VC (1 + m ⋅ cos (ωmt ) ) cos (ωC t )
VC (1 + m ⋅ cos (ωmt ) ) cos (ωC t ) = VC (1 + m ⋅ cos (ωm t ) ) ( 0,5 cos ( 2ωC t ) + 0,5)
Para demodular sincrónicamente una señal de AM hay que mezclarla con una portadora con la
misma frecuencia y fase. Las señales de radio frecuentemente se desvanecen o son acompañadas
por ruido. El PLL puede recuperar la portadora aún con altos niveles de ruido.
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Recepción de señales satelitales
El uso del PLL en el espacio comienza con el lanzamiento del primer satélite artificial en la década
del 60. Estos vehículos transportaban un transmisor de baja potencia (10 mW), de onda continua
interrumpida (CW). Las señales recibidas resultaban en consecuencia muy débiles.
La frecuencia de la señal recibida desde estos satélites de órbita baja sufre un corrimiento hacia
arriba cuando se aproximan al receptor terrestre y hacia abajo cuando se alejan, debido al efecto
Doppler. Un fenómeno similar ocurre con las señales recibidas por el satélite.
Como ejemplo, consideremos el caso de un satélite de órbita baja que orbita la Tierra cada dos
horas y cuya frecuencia de transmisión es de 108 Mhz. Supóngase que la información que transmite
el satélite necesita un ancho de banda muy pequeño, como puede ser el necesario para transmitir la
información de telemetría. Se considera que un ancho de banda de 4 Hz es suficiente.
V= 20000 Km/h
L=40000 Km
V=
1vuelta 40000 Km
=
= 20000 Km / h
2horas
2h
Efecto Doppler
V
fd = f .
c
108.106.20000
fd =
= 2kHz.
3.108 x3.6
∆f sistema = 4kHz
∆f inf ormación = 4 Hz
S N = 10.log
4k
= 30dB
4
Si el PLL tiene un ancho de banda de 4Hz y opera como un filtro sintonizable, se mejora la relación
señal/ruido en 30 dB. De no usarse el PLL se debería aumentar la potencia del transmisor en 30 db,
esto es de 10 mW a 10 W. para producir la misma relación S/N en un receptor con 4 Khz de ancho
de banda.
♠
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