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3. ECUACIONES E INECUACIONES
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3.1. ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable,
y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea
cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación.
Nota: No olvide verificar dichas soluciones.
3.1.1. ECUACIONES EN UNA VARIABLE
3.1.1.1. Solución de ecuaciones de primer grado o lineales
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo
exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes
pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos, los que contengan la incógnita se ubican en el lado izquierdo, y los
que carezcan de ella en el derecho.
3. Se despeja la incógnita y se simplifica.
Ejemplo 1:
5(𝑥 − 3) − (𝑥 − 1) = (𝑥 + 3) − 10
5𝑥 − 15 − 𝑥 + 1 = 𝑥 + 3 − 10
(Propiedad distributiva)
5𝑥 − 𝑥 − 𝑥 = 3 − 10 + 15 − 1
(Agrupando términos semejantes)
3𝑥 = 7
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1
𝒙=
𝟕
𝟑
3.1.1.2. Solución de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado
(llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener a lo más dos
soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).
Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada
caso particular.
Este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplo 2:
2.1.
9𝑥 2 + 6𝑥 + 10 = 0
𝒂 = 9, 𝒃 = 6, 𝒄 = 10
2.2.
3𝑥 2 – 9𝑥 = 0
𝒂 = 3, 𝒃 = – 9, 𝒄 = 𝟎 (𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝒍𝒂 𝒄, 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒, 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á)
2.3.
– 6𝑥 2 + 10 = 0
𝒂 = −6, 𝒃 = 𝟎, 𝑐 = 10 (𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑠, 𝒍𝒂 𝒃, 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede
usarse cualquiera de los tres métodos siguientes:
a. Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero;
entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un
producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a
cero cada factor y se despeja para la variable. (Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es
igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero).
Ejemplo 3:
(𝑥 + 3)(2𝑥 − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 = 9
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al lado izquierdo para igualar a cero:
2𝑥 2 + 5𝑥 − 12 = 0
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2
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2𝑥 − 3 = 0
Si
2𝑥 = 3
𝑥 + 4 = 0
𝒙 = 𝟑/𝟐
𝒙 = −𝟒
b. Solución completando cuadrados
Se llama método de completación de cuadrados porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar
operaciones algebraicas que transforman a una ecuación del tipo:
(𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐 = 𝒏
en la cual el primer miembro de la ecuación (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐, es el cuadrado de la suma de un binomio.
Ejemplo 4:
La ecuación 𝑥 2 + 8𝑥 = 48, que también puede escribirse 𝑥 2 + 8𝑥 − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (𝑥 2 + 8𝑥) le falta un término para completar el cuadrado de la suma
de un binomio del tipo (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐 que es lo mismo que (𝒂𝒙 + 𝒃) (𝒂𝒙 + 𝒃), que es lo mismo que
𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙𝒃 + 𝒃𝟐
En nuestro ejemplo 𝑥 2 + 8𝑥 = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo
tanto, ese número debe ser forzosamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de
la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo
término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
𝟖 𝟐
𝟖 𝟐
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + ( ) = 𝟒𝟖 + ( )
𝟐
𝟐
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟒𝟖 + 𝟏𝟔
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟔𝟒
La cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(Recuerde: Dos números que multiplicados den 16 y que sumados den como resultado 8)
(𝒙 + 𝟒) (𝒙 + 𝟒) = 𝟔𝟒
Que es igual a
(𝒙 + 𝟒)𝟐 = 𝟔𝟒
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3
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos:
√(𝒙 + 𝟒)𝟐 = √𝟔𝟒
Nos queda
𝒙 + 𝟒 = 𝟖
Entonces
𝒙 = 𝟖 − 𝟒
𝒙 = 𝟒
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener
la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.
c. Solución por fórmula general
Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la
raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y
sustituir sus valores en la fórmula.
𝑥1,2 =
La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de
segundo grado, sea completa o incompleta.
Ejemplo 5:
Resolver la ecuación 2𝑥 2 + 3𝑥 − 5 = 0
Vemos claramente que 𝑎 = 2,
𝑏 = 3 y
𝑥1,2 =
𝑐 = −5, así es que:
−3 ± √(3)2 − 4(2)(−5)
−3 ± 7
=
2(2)
4
Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el (+) y con el (−) :
𝑥1 =
−3+7
4
= 1 y 𝑥2 =
−3−7
4
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=
−5
2
4
Aquí debemos anotar algo muy importante:
En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión √𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Esa raíz
cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.
El radicando b2 –4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ (Delta). El número de
soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de
resolver la ecuación.
𝚫 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de
soluciones que posee:
Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales.
Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución real.
Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución real.
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.
3.1.1.3. Solución de ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales son ecuaciones de la forma:
𝑃(𝑥)
=0
𝑄(𝑥)
Donde 𝑃( 𝑥 ) y 𝑄( 𝑥 ) son polinomios. 𝑄( 𝑥 ) ≠ 0
Para resolver ecuaciones racionales se pasan todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar a
cero"). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones,
y se puede cancelar el denominador común.
Ejemplo 6:
x 4  41 x 2  400
x 2  32
28
 2
0
 0  x 4  41 x 2  400  0  x 2  9  0
4
x 9
4( x2  9 )
 2
x  4
 x  16 
41  41  4 1  400 41  9 
 x  4
x2 


x  5
2
2  2
x  25 

 x  5
2
Existen 4 soluciones reales: x 1 = 5, x 2 = -5, x 3 = 4, x4 = -4
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Note que:
𝑥 4 − 41𝑥 2 + 400
Se puede escribir como:
(𝑥 2 )2 − 41𝑥 2 + 400
Por tal razón, se usa la
fórmula
general
para
resolver
ecuaciones
cuadráticas.
5
Ejemplo 7:
3 𝑥2 + 3
−
= 𝑥3
𝑥
𝑥
−𝑥 2
𝑥
= 𝑥3
{Operando la expresión de la izquierda}
− 𝑥 = 𝑥3
{Simplificando}
𝑥 3 + 𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0
{Igualando a cero}
𝑥(𝑥 2 + 1) = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑥 ≠ 0
{Factorizando x}
x0
;
2
 x  1  x   i
La ecuación 𝑥(𝑥 2 + 1) = 0 tiene una solución real y dos complejas: 
(Recuerde: √−1 = ±𝑖)
como debe cumplirse x 0, la ecuación dada tiene dos soluciones complejas, x1 = i, x2 = -i, y no tiene
soluciones reales.
3.1.1.4. Solución de ecuaciones con radicales
Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical. Observa por
ejemplo las siguientes ecuaciones:
2 x  9;
x  5  3.
Para resolver ecuaciones con radicales usamos la propiedad que está a continuación, la cual nos permite elevar
al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Propiedad: Para cualquier número a y b, si a = b entonces, a2 = b2. Esto es, si dos cantidades son iguales,
entonces, el cuadrado de estas cantidades son iguales.
Para resolver ecuaciones con radicales debemos:
1. Reescribir la ecuación de manera que la expresión radical esté a un lado de la ecuación.
2. Elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación.
3. Resolver la ecuación para la variable.
Nota: Para resolver ecuaciones con radicales que contienen raíces más elevadas, se debe elevar ambos lados
de la ecuación al exponente correspondiente. Por ejemplo, para resolver ecuaciones con radicales que
contienen una raíz cúbica se debe elevar ambos lados de la ecuación al exponente tres.
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Ejemplo 8:
√𝑥 2 − 13 + 𝑥 − 13 = 0
√𝑥 2 − 13 = 13 − 𝑥
2
√𝑥 2 − 13 = (13 − 𝑥)2
{Elevando al cuadrado}
𝑥 2 − 13 = 169 − 26𝑥 + 𝑥 2
{Desarrollando el binomio al cuadrado}
26𝑥 = 13 + 169
𝑥=7
Ejemplo 9:
3x  1  2 x  1  1
√3𝑥 + 1 = 1 + √2𝑥 − 1
2
√3𝑥 + 1 = (1 + √2𝑥 − 1)2
{Elevando al cuadrado}
3𝑥 + 1 = 1 + 2√2𝑥 − 1 + (2𝑥 − 1) {Desarrollando el binomio al cuadrado}
3𝑥 − 2𝑥 + 1 = 2√2𝑥 − 1
𝑥+1
= √2𝑥 − 1
2
(𝑥+1)2
22
= (√2𝑥 − 1)2
{Elevando al cuadrado}
𝑥 2 + 2𝑥 + 1 = 8𝑥 − 4
𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 …
𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟓 son soluciones de la ecuación dada.
3.1.1.5. Solución de ecuaciones con valores absolutos
El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En general, para resolver
una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión 𝑥 = 𝑘
utilizando la siguiente información: 𝑥 = 𝑘 es equivalente a: 𝑥 = 𝑘 ó 𝑥 = −𝑘.
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Ejemplo 10:
Encuentre la solución para |2𝑥 − 3 | = 𝑥 + 5 .
Se deben resolver los siguientes casos:
Caso 1:
Caso 2:
2𝑥 − 3 = 𝑥 + 5
2𝑥 − 3 = −(𝑥 + 5)
2𝑥 − 𝑥 = 5 + 3
2𝑥 − 3 = −𝑥 − 5
𝒙=𝟖
2𝑥 + 𝑥 = −5 + 3
3𝑥 = −2
−𝟐
𝒙=
𝟑
Ejemplo 11:
3
5
Encuentre la solución para |6𝑥 + 1| = −6.
|6𝑥 + 1| = −6 ∙
5
3
3
5
{Pasando al otro lado}
|6𝑥 + 1| = −10
El resultado de un valor absoluto no puede ser negativo. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
3.1.1.6. Solución de ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que las incógnitas forman parte de un exponente.
Ejemplo 12: Calcular x en la ecuación 2 x  128
Podemos transformarla en 2 x  2 7 de donde se obtiene que 𝑥 = 7.
En general
si a x  a y  x  y
si a x  b x  a  b
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8
3
Ejemplo 13: Resolver la ecuación exponencial: 27𝑥−1 = √9
1
(33 ) x 1  (3 2 ) 3
2
3 3 x 3  3 3
3x  3 
x
2
3
11
9
Ejemplo 14: 1024 = (8)2
x
x
Ejemplo 15: 3 + 3
x2
10
=
3
1
2 x4
 253 x
 
10
3
5 2 5 1
2 x4
10
3
1
3 x 1  32 
52
2 x 4
3 x (10) 
10
3
210  23 2 x
3 x  3 x 32 
210  23 x
10 = 3 + x
Ejemplo 16:
1
5. 
5

x=7

3x 
10
3(10)
3x 
1
3
x = –1
.
 
 52
3x
 56 x
1
– 2x + 4 = 6 x
2
1
+4=6x+2x
2
9
 8x
2
9
x
16
3.1.1.7. Solución de ecuaciones logarítmicas
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo.
Debemos considerar, al resolver ecuaciones logarítmicas, lo siguiente:
Se debe tener presente que:
-
Siempre que sea posible, conviene agrupar los logaritmos en uno solo, para lo cual se aplican las
propiedades (de los logaritmos).
Para despejar una incógnita contenida en el argumento, se aplica la definición de logaritmo.
Sólo existen logaritmos de números positivos, por lo cual deben descartarse como soluciones los
valores que no verifiquen la ecuación original.
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Ejemplo 17: Resolver la ecuación 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 6) = 𝑙𝑜𝑔(2𝑥 − 1).
Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: 𝑥 + 6 = 2𝑥 − 1 o sea 𝑥 = 7.
El método para resolver numéricamente las ecuaciones logarítmicas se basa en lo siguiente:
Conseguir una ecuación del tipo 𝑙𝑜𝑔(. . . ) = 𝑙𝑜𝑔(. . . ), para ello se deben tener muy claras las propiedades de
los logaritmos y la definición.
Definición:
Propiedades:
Ejemplo 18: Determinar el valor de x en la ecuación 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 6) = 1 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 3).
𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 6) = 1 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 3) ;
𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 6) = 𝑙𝑜𝑔 10 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 3) ;
𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 6) = 𝑙𝑜𝑔 (10(𝑥 − 3)).
𝑥 + 6 = 10(𝑥 − 3)
𝑥 = 4.
Ejemplo 19: Resolver la ecuación 𝑙𝑜𝑔 (3 − 𝑥 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 2 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥
𝑙𝑜𝑔 (3 − 𝑥 2 ) = 𝑙𝑜𝑔 (2𝑥),
2
3 − x = 2𝑥
𝑥 2 + 2x − 3 = 0
De donde se obtiene que x1 = 1 y x 2 = -3.
Al sustituir el valor -3 en la ecuación inicial, se obtiene que 𝑙𝑜𝑔(−6) = 𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔 (−3), pero los
¡logaritmos de números negativos que no existen!. Por tanto la única solución de esta ecuación es x = 1.
Ejemplo 20:
log 2 (x+1) = 3
2³ = x+1
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Ejemplo 21:
Ejemplo 22:
log 2 (x+7) – log 2 (x+1) = 4
2log 5 x + log 5 (8x) = 3
x7
4
x 1
log 5 x² + log 5 (8x) = 3
log 2
10
2³ – 1= x
7=x
24 
x7
x 1
2 4 ( x+1) = x+7
16 x + 16 = x +7
15 x = – 9
x = – 3/5
log 5 (( x)²( 8 x) ) = 3
log 5 (8 x³) = 3
5³ = 8 x³
125
= x³
8
x = 2,5
3.1.1.8. Solución de ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En
las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. Un
procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando
principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es
recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).
Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en
la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica,
es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese
ángulo.
Note que debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo
equivalente, es necesario entonces añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360° donde
k es un número entero.
Ejemplo 23:
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11
Ejemplo 24:
Solución: 𝑥 = {60° + 𝑘360°, 𝑘𝜖ℤ}.
Ejemplo 25:
Un aspersor funciona con un mecanismo que le produce un movimiento de giro, de ida y vuelta, de 60º. Si el
chorro de agua alcanza 16m, halla el área A de la superficie de césped regada.
𝜋
3
Riega un sector de ángulo α= radianes y radio
𝑟 = 16𝑚 , dado: 𝐴 = 𝜋𝑟 2 y como el aspersor
riega una sexta parte de la circunferencia, tenemos:
𝐴=(
𝜋(16𝑚)2
)
6
≈ 134𝑚2 .
Ejercicios:
1. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra
de 60 m de largo. Encontrar el ángulo de elevación
del sol en ese momento.
2. Un dirigible que está volando a 800 m de altura,
distingue un pueblo con un ángulo de depresión de
12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
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3. Calcular el área de una parcela triangular,
sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130
m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
4. Tres pueblos A, B y C están unidos por
carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B
a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es
120°. ¿Cuánto distan A y B?
12
ECUACIONES EN DOS VARIABLES
Un sistema de dos ecuaciones con dos variables (incógnitas) son dos ecuaciones de las que se busca una
solución común.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES.
Resolver el sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el valor de cada variable; y se necesitan tantas
ecuaciones como número de incógnitas haya, por ejemplo, si hay dos incógnitas se necesitan 2 ecuaciones.
Se pueden resolver por cuatro métodos:
1. Solución por eliminación: Se elige una incógnita y se busca que tenga el mismo coeficiente pero signo
diferente para poder eliminarlas, posteriormente se suma y se obtiene el valor de una incógnita y con este
valor se encuentra la otra incógnita.
2. Solución por sustitución: Se elige una incógnita en una ecuación y se despeja, después se sustituye en la
otra ecuación.
3. Solución por igualación: Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones y después se igualan.
4. Solución gráfica: Se tabulan y grafican ambas ecuaciones y el punto de intersección (donde se cruzan) es
la solución.
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13
1. Eliminación
Ejemplo 26:
3𝑥 + 5𝑦 = 7
{
2𝑥 − 𝑦 = −4
3x + 5 y = 7
10x – 5y = -20
{Se puede elegir cualquier incógnita, en este caso elegimos “y” pues esta incógnita
ya tiene los signos contrarios, solo se multiplica por 5 toda la segunda ecuación}
13x = - 13
{Se elimina “y” y se operan los demás términos}
x = -13/13
x=-1
3x + 5 y = 7
{Este valor se sustituye en cualquiera de las dos primeras ecuaciones}
3(-1) + 5y = 7
-3 + 5y = 7
5y = 7+ 3
5y = 10
y = 10/5
y=2
Luego, la solución del sistema es x=-1 y y=2.
2. Sustitución
Ejemplo 27:
10𝑥 + 18𝑦 = −11
{
16𝑥 − 9𝑦 = −5
𝑥=
−11−18𝑦
10
−11 − 18𝑦
16 (
) − 9𝑦 = −5
10
−88 − 144𝑦 − 45𝑦 = −25
-189y=63
y=
−𝟏
𝟑
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{Despejamos “x” en la primera ecuación}
{Sustituimos “x” en la segunda ecuación}
{Simplificando
16
10
y destruyendo paréntesis}
{Reduciendo términos semejantes}
14
−1
3
10𝑥 + 18 ( ) = −11
x=
−𝟏
𝟐
{Sustituyendo el valor de “y” en la primera ecuación}
{Destruyendo paréntesis y simplificando}
3. Igualación
Ejemplo 28:
3𝑥 + 2𝑦 = 11
{
5𝑥 + 2𝑦 = 21
𝑦=
−3𝑥 + 11
2
𝑦=
−5𝑥 + 21
2
{Despejamos “y” en las dos ecuaciones (puede ser también “x”)}
−3𝑥 + 11 −5𝑥 + 21
=
2
2
{Igualamos las dos ecuaciones}.
2𝑥 = 10
{Operando y simplificando}
𝒙=𝟓
Para hallar la solución en “y” sustituimos éste valor en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema
equivalente, y así:
𝒚 = −𝟐
4. Gráficamente
En toda igualdad de la forma ax + by = c, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ, que representa a una ecuación lineal con dos
incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x,y).
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par
ordenado de números (x,y) que satisface esta ecuación, corresponde a las coordenadas de un punto de la recta
correspondiente. Estos pares ordenados son solución de la ecuación, y los puntos que ellos representan
pertenecen a la recta correspondiente.
La representación de los pares ordenados (x,y) corresponde a un punto en el plano cartesiano, por ejemplo,
en la ecuación :
x+y=4
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15
Tabla de valores:
Gráfico:
x
y
-1
5
0
4
1
3
2
2
Instrucciones en Geogebra para realizar el
gráfico:
Nota: Cada instrucción
seguida de la tecla ENTER.
debe
estar
En el campo de entrada escribe:
x+y=4
Posteriormente:
A=(2,2)
Recuerde que para trazar una línea recta son suficientes dos puntos, por tanto en la tabla de valores hubieran
sido suficientes solo dos de los datos que ahí se encuentran.
Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
Ejemplo 29:
Consideremos el sistema
𝑥 + 3𝑦 = 7
{
𝑥+𝑦 =3
Tabla de valores para cada ecuación:
a : x + 3y = 7
Gráfico:
b: x + y = 3
x
y
x
y
7
0
2
1
1
2
1
2
4
1
3
0
Así, la solución del sistema es el par ordenado (1,2).
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16
Instrucciones en Geogebra para realizar el gráfico:
Nota: Cada instrucción debe estar seguida de la tecla ENTER.
En el campo de entrada escribe las instrucciones:
x + 3y = 7
x+y=3
elegir la opción: “Intersección de
Posteriormente, en el segundo ítem del campo de herramientas
dos objetos”
Luego, dar click sobre cada una de las rectas del gráfico.
Se expondrá entonces el punto de coordenadas A=(1,2) que representa la solución del sistema dado.
¿Qué sucede si las rectas resultan ser paralelas? ¿Y si son coincidentes?
Los sistemas que tienen solución se llaman compatibles. Si la solución es única se llaman compatibles
determinados. Si tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados. Si un sistema carece de
soluciones se dice que es incompatible.
30𝑥 − 20𝑦 = 130
10(3𝑥 − 2𝑦) = 10 ∙ 13
3𝑥 − 2𝑦 = 13
Ejemplo 30: El sistema: {
⇒ {
⇒ {
3𝑥 − 2𝑦 = 13
3𝑥 − 2𝑦 = 13
3𝑥 − 2𝑦 = 13
es equivalente en realidad, a una sola ecuación lineal con dos incógnitas que, como ya sabemos, tiene infinitas
soluciones; en este caso: (3, 22), (1, 25), (5, 1)… Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado.
14𝑥 − 40𝑦 = 0
2(7𝑥 − 20𝑦) = 0
7𝑥 − 20𝑦 = 0
⇒ {
⇒ {
es incompatible,
7𝑥 − 20𝑦 = 10
7𝑥 − 20𝑦 = 10
7𝑥 − 20𝑦 = 10
pues no se puede verificar que 7𝑥 − 20𝑦 sea a la vez igual a 0 y a 10.
Sin embargo, el sistema {
Así pues, los sistemas lineales se pueden clasificar según las soluciones que tengan en:
Compatible
(Con Solución)
Sistema Lineal
Incompatible
(Sin solución)
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Determinado
(Solución Única)
Indeterminado
(Solución
infinita)
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3.1.2.2. Otros sistemas de ecuaciones en dos variables.
Son sistemas en los que una o las dos ecuaciones no son lineales. Para resolverlos aplicamos los métodos ya
conocidos para cada tipo de ecuación y sistemas lineales.
Ejemplo 31:
Ejemplo 32:
Ejercicio: Aplicación de un sistema con ecuaciones trigonométricas.
Un topógrafo utiliza un instrumento denominado teodolito para medir el ángulo de elevación entre la cima de
la montaña y el nivel del suelo. En un punto el ángulo de elevación mide 41º, medio kilómetro más lejos de la
base de la montaña, el ángulo de elevación es de 37º. ¿Qué tan alta es la montaña?
𝑇𝑎𝑛37 =
{
𝑇𝑎𝑛41 =
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ℎ
𝑧+0.5
ℎ
2
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3.2. INECUACIONES
3.2.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
3.2.1.1. Definiciones
Una desigualdad es cualquier expresión en
la que se utilice alguno de los siguientes
símbolos:
< (menor que),
> (mayor que),
≤ (menor o igual que),
≥ (mayor o igual que)
Ejemplo 33:
2<3 (dos es menor que 3)
7>π (siete es mayor que pi)
x≤5 (x es menor o igual que 5)
Si a los dos miembros de una inecuación
se les suma o resta la misma cantidad, se
obtiene una inecuación equivalente.
Si se multiplican o dividen los dos
miembros de una inecuación por una
misma cantidad, se obtiene una inecuación
equivalente con el mismo sentido de la
desigualdad, si esa cantidad es positiva, y
con el sentido contrario si esa cantidad es
negativa.
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3.2.1.3. Resolución
Este proceso consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más simples hasta que el
resultado final sea de alguno de los siguientes tipos:
𝑥 < 𝑘,
𝑥 ≤ 𝑘,
𝑥 > 𝑘,
𝑥≥𝑘
o hasta que el resultado final sea contradictorio, en cuyo caso, la inecuación no tiene soluciones.
Ejemplo 34:
Ejemplo 35:
3.2.1.4. Sistemas de inecuaciones
Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita se resuelve cada inecuación por separado.
Las soluciones del sistema las forman todos los números reales que satisfagan todas y cada una de las
inecuaciones del sistema. Cada inecuación del sistema debe resolverse de forma independiente hasta que
quede en alguna de las formas siguientes:
𝑥 < 𝑘,
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𝑥 ≤ 𝑘,
𝑥 > 𝑘,
𝑥≥𝑘
20
Ejemplo 36:
Ejemplo 37:
3.2.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado es toda
inecuación equivalente a una de las
siguientes:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0,
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0,
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
siendo a, b y c números reales.
Si el polinomio que caracteriza la
inecuación tiene raíces reales, se puede
usar su descomposición en factores para
resolverla como un sistema de ecuaciones
de primer grado. Se pueden dar los
siguientes casos:
3.2.2.1. Resolución por descomposición
Ejemplo 38:
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Ejemplo 39:
3.2.2.2. Resolución general
El procedimiento empleado en el apartado anterior es válido si el polinomio de segundo grado resultante
tiene raíces reales. En caso contrario no nos sirve. En este apartado veremos un procedimiento general que
es válido para cualquier inecuación de segundo grado, tenga o no raíces reales.
Este procedimiento se basa en saber si la representación gráfica del polinomio (una parábola) está abierta
hacia arriba o hacia abajo y si corta al eje de abscisas.
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Ejemplo 40:
Ejemplo 41:
Ejemplo 42:
3.2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
3.2.3.1. Definiciones
En este caso, las soluciones no son
conjuntos de números, sino conjuntos de
parejas de números, por lo que no pueden
representarse sobre una línea recta: deben
representarse como subconjuntos del
plano.
3.2.3.2. Resolución gráfica
Una solución de una inecuación de dos variables es una pareja de números (𝑥0 , 𝑦0 ), tales que al sustituir sus
valores en las incógnitas de la inecuación, hacen que la desigualdad sea cierta.
Cada pareja de números reales se puede representar como un punto del plano. Por tanto, resolver la
inecuación equivale a obtener todos los puntos del plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la
desigualdad.
Para ello se procede de la siguiente forma:
1. Se dibuja la recta,
2. Se elige un punto que no pertenezca a la misma
3. Se comprueba si las coordenadas del punto cumplen la desigualdad o no,
si la cumplen, la zona en la que está el punto elegido es la solución de la inecuación, si no la cumplen
la solución es la otra zona.
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Ejemplo 43:
Sea la desigualdad -5x-8y+3≤0
1.
Dibujamos la recta: 5x-8y+3=0
2.
Escogemos el punto P de coordenadas (-2,3) (Recuerde que estamos refiriéndonos a
un punto cualquiera, usted puede escoger otro y llegará a la misma conclusión).
3.
Comprobamos si P cumple la desigualdad:
-5(-2)-8(3)+3=-11<0
Como las coordenadas del punto elegido cumplen la desigualdad dada, entonces el
semiplano donde se encuentra P es la solución de la inecuación.
3.2.3.3. Sistemas de inecuaciones
Como en el caso de los sistemas con una incógnita se resuelve cada inecuación por separado, y el conjunto de
todas las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema es el conjunto solución del mismo.
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Ejemplo 44:
𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐 < 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟕 < 𝟎
Ejemplo 45:
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟐 ≥ 𝟎
Solución del sistema de inecuaciones:
𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟒 ≤ 𝟎
La solución es el triángulo de vértices
ABC, común a las tres zonas.
𝒚−𝟑≤𝟎
Solución primera inecuación:
Solución segunda inecuación:
Solución tercera inecuación:
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3.2.5. EJERCICIOS PARA PRACTICAR
32.6. PARA PRACTICAR
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