Soluciones

Introducción a la Relatividad General
Segundo semestre de 2015 - Evaluación Parcial: Soluciones
3 de diciembre de 2015
Problema 1 - Espacio de de Sitter
Considere el espacio de de Sitter en 2+1 dimensiones, cuya métrica puede escribirse como
ds2 = −dt2 + cosh2 t dΩ22 .
(a) Muestre que este espacio puede considerarse como inmerso en un espacio plano de 3+1
dimensiones.
(b) Halle el valor de la constante cosmológica para el cual el espacio de de Sitter es solución
de las ecuaciones de Einstein en el vacı́o.
(c) En estas coordenadas es manifiesta la simetrı́a esférica del espacio de de Sitter, de modo que
para hallar otras simetrı́as podemos restringirnos al plano ecuatorial. Resuelva la ecuación
de Killing en estas condiciones para hallar los vectores de Killing correspondientes.
Solución
Consideremos el espacio de Minkowski en 3+1 dimensiones en coordenadas cartesianas,
ds2 = −dT 2 + dX 2 + dY 2 + dZ 2 .
La simetrı́a esférica de la métrica de de Sitter sugiere inmediatamente la parametrización
T
X
X
X
= f (t) ,
= g(t) sin θ cos φ ,
= g(t) sin θ sin φ ,
= g(t) cos θ ,
con f (t) y g(t) funciones a determinar. El intervalo adquiere entonces la forma
ds2 = g 0 (t)2 − f 0 (t)2 dt2 + g(t)2 dΩ22 ,
de modo que tomamos g(t) = cosh t y f (t) queda determinada por la condición
sinh2 t − f 0 (t)2 = −1
=⇒
f (t) = sinh t .
Con esta parametrización, es fácil ver que el espacio de de Sitter es entonces la superficie del
espacio-tiempo de Minkowski en 3+1 dimensiones determinada por la condición
−T 2 + X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 .
1
Calculamos ahora los sı́mbolos de Christoffel utilizando
Γµνρ = 12 g µσ (gσν,ρ + gσρ,ν − gνρ,σ ) ,
y obtenemos que los no nulos son
Γtθθ = cosh t sinh t
,
Γtφφ = cosh t sinh t sin2 θ ,
Γθφφ = − cos θ sin θ
,
Γφθφ = Γφφθ = cot θ ,
Γθtθ = Γθθt = tanh t
y
Γφtφ = Γφφt = tanh t .
Calculamos el tensor de curvatura de Riemann utilizando
Rµνρσ = Γµνσ,ρ − Γµνρ,σ + Γµδρ Γδνσ − Γµδσ Γδνρ ,
y encontramos que las componentes independientes no nulas son
Rtθtθ = Rφθφθ = cosh2 t ,
Rtφtφ = Rθφθφ = cosh2 t sin2 θ ,
Rθtθt = Rφtφt = −1 .
El tensor de Ricci Rµν = Rρµρν tiene entonces las componentes no nulas
Rtt = −2
,
Rθθ = 2 cosh2 t
y
Rφφ = 2 cosh2 t sin2 θ ,
que podemos escribir como Rµν = 2gµν . La curvatura escalar es entonces R = g µν Rµν = 2δ µµ =
6, y las ecuaciones de Einstein con constante cosmológica Λ en el vacı́o son
1
Gµν = Rµν − gµν R + Λgµν = 0
2
=⇒
Λ = 1.
Si nos restringimos al plano ecuatorial θ = π2 , la métrica de de Sitter es
ds2 = −dt2 + cosh2 t dφ2 ,
y debemos resolver la ecuación de Killing
ξµ;ν + ξν;µ = 0
ξµ,ν + ξν,µ − 2Γρµν ξδ = 0 .
=⇒
De la componente µ = t y ν = t obtenemos
ξt,t = 0
=⇒
ξt = f (φ) ,
mientras que con µ = φ y ν = φ resulta
ξφ,φ = cosh t sinh t ξt
=⇒
ξφ = cosh t sinh tF (φ) + g(t) ,
siendo F (φ) una primitiva de f (φ). La ecuación de Killing con µ = t y ν = φ aporta una tercera
ecuación,
ξt,φ + ξφ,t = 2 tanh tξφ
f 0 (φ) + cosh(2t)F (φ) + g 0 (t) = 2 tanh t (cosh t sinh tF (φ) + g(t))
f 0 (φ) + F (φ) = 2 tanh tg(t) − g 0 (t) .
2
Como tenemos variables separadas a ambos lados, debe darse
f 0 (φ) + F (φ) = C
2 tanh tg(t) − g 0 (t) = C ,
y
(1)
para alguna constante C. Derivando la primera ecuación hallamos f (φ),
f 00 (φ) + f (φ) = 0
=⇒
f (φ) = A sin φ + B cos φ ,
de modo que F (φ) = −A cos φ + B sin φ y volviendo a la ecuación original (1) verificamos
que C = 0. Para hallar g(t), vemos que la segunda ecuación en (1) tiene un factor integrante
h(t) = −2 log cosh t tal que h0 (t) = −2 tanh t, de modo que podemos hacer
h0 (t)g(t) + g 0 (t) = 0
eh(t) [h0 (t)g(t) + g 0 (t)] = 0
h(t)
0
e g(t) = 0
g(t)
=C,
cosh2 t
para C constante. Hallamos ası́ las componentes de una 1-forma de Killing totalmente general,
ξt = A sin φ + B cos φ
y
ξφ = −A cos φ cosh t sinh t + B sin φ cosh t sin t + C cosh2 t ,
que entendemos como una combinación lineal de tres 1-formas de Killing linealmente indepen(1)
(2)
(3)
dientes, ξµ = −Aξµ − Bξµ + Cξµ con1
ξµ(1) = (− sin φ, cos φ cosh t sinh t) ,
ξµ(2) = (− cos φ, − sin φ cosh t sinh t) ,
ξµ(3) = (0, cosh2 t) .
Utilizando la métrica inversa, obtenemos los vectores de Killing correspondientes,
µ
ξ(1)
= (sin φ, cos φ tanh t) ,
µ
ξ(2)
= (cos φ, − sin φ tanh t) ,
µ
ξ(3)
= (0, 1) .
1
Tenemos la libertad de elegir los signos porque A, B, C ∈ R, y de este modo se simplifica el resultado final.
3
Problema 2 - Retraso temporal de Shapiro
Considere una señal enviada desde la Tierra hasta otro planeta, que se refleja en este y vuelve
a ser detectada en la Tierra cierto tiempo después. Calcule la primera corrección al tiempo de
viaje de la señal respecto al tiempo que le tomarı́a realizar el mismo recorrido si el espacio fuera
plano. Exprese el resultado en términos del tiempo medido por un observador en reposo muy
lejano, como función del máximo acercamiento r0 de la señal al Sol. Desprecie las masas de los
planetas respecto a la masa solar, ası́ como su movimiento orbital durante todo el proceso.
tierra
r0
planeta
rT
rP
sol
Ayuda: Utilice que para x 1 y v > 1 se tiene
Z
v
1
1
x − 2
xrv − 1
√
√
x −1
−2 1 − u
1−u
du ' v 2 − 1 + x log v + v 2 − 1 +
1−
u
1−x
2 v+1
Solución
Si despreciamos las masas de los planetas respecto a la masa del Sol, la geometrı́a en el exterior
del Sol es descripta por la métrica de Schwarzschild,
ds2 = − 1 −
2M
r
dt2 +
dr2
+ r2 dΩ22 ,
1 − 2M
r
donde M es la masa solar y la coordenada temporal t es precisamente el tiempo propio medido
por un observador en reposo en el infinito.
Como las geodésicas en la geometrı́a de Schwarzschild son planares, la señal es un rayo de
luz coplanar con los planetas y el Sol, que podemos considerar sin pérdida de generalidad en el
plano θ = π2 . Tomamos a la trayectoria del rayo de luz como parametrizada por un parámetro
µ
afı́n λ tal que pµ = dx
, de modo que tiene entonces pθ = 0 y
dλ
µ
t 2
pµ p = gtt (p ) + grr
dr
dλ
2
+ gφφ (pφ )2 = 0 .
La independencia de los coeficientes de la métrica de Schwarzschild respecto a las coordenadas t
µ
µ
y φ implica la existencia de dos vectores de Killing ξ(t)
= (1, 0, 0, 0) y ξ(φ)
= (0, 0, 0, 1). Asociadas
a estos vectores de Killing tenemos cargas conservadas a lo largo de las geodésicas, dadas por
µ
µ
ξ µ pµ . Introducimos entonces las cantidades conservadas E = ξ(t)
pµ = gtt pt y L = ξ(φ)
pµ = gφφ pφ
para escribir
2
E2
1
dr
L2
−
+
+
= 0.
dλ
r2
1 − 2M
1 − 2M
r
r
En el punto de máximo acercamiento de la trayectoria al Sol
dr r02
2
2
=
0
=⇒
L
=
E
,
dλ r=r0
1 − 2M
r0
4
de modo que
1
1
+
−
2M
1− r
(1 − 2M
)3
r
donde usamos que
para r(t), a saber
dr
dλ
=
dr dt
dt dλ
y
dt
dλ
dr
dt
2
+
r 2
0
r
1
= 0,
1 − 2M
r0
= pt = g tt E. Llegamos entonces a una ecuación diferencial
s
r 2 1 −
dr 2M
0
= 1−
1
−
dt r
r
1−
2M
r
2M
r0
.
Si la señal parte de la Tierra en r = rT y llega al planeta en r = rP , descomponemos su
trayectoria en dos tramos, desde rT hasta r0 y desde r0 hasta rP . Para el primer tramo dr
< 0,
dt
dr
mientras que para el segundo tramo dt > 0, luego llamando
Z r
t(r) =
r0
2M
1−
r
−1
r 2 1 −
0
1−
r
1−
2M
r
2M
r0
!− 1
2
dr ,
tenemos que el tiempo de viaje total es T = 2[t(rT ) + t(rP )], donde el factor dos da cuenta del
regreso de la señal del planeta a la Tierra. Llamando u = rr0 y x = 2M
, esto es
r0
Z
t(r) = r0
1
r
r0
1
x − 2
1
−
x −1
u
1−
du .
1 − u−2
u
1−x
Para el Sol, 2M/r 1 incluso cuando r es el radio solar, luego nos quedamos con la
aproximación a primer orden en x 1 para obtener
p
r
q
2 − r2
r
r
+
r − r0
0
+M
.
t(r) = r2 − r02 + 2M log
r0
r + r0
El primer término corresponde al tiempo que le tomarı́a a un rayo de luz viajar desde r a
r0 en el espacio plano, mientras que los dos términos siguientes son correcciones debidas a la
curvatura del espacio producida por la masa solar M . El resultado final es entonces que la señal
se retrasa
p
p
r
r
rT + rT2 − r02
rP + rP2 − r02
∆T
rT − r0
rP − r0
= 2 log
+ 2 log
+
+
,
2M
r0
r0
rT + r0
rP + r0
de modo que con rT = 1,496 × 108 km y M = 1,476 km, para una señal reflejada en Mercurio
rP = 5,791 × 107 km y el máximo retraso se produce cuando r0 = 6,96 × 105 km es el radio
solar, siendo
∆T ' 72 km = 240 µs .
5
Problema 3 - Modelo de Friedmann-Lemaı̂tre dominado por la radiación
(a) Muestre que en el modelo de Friedmann-Lemaı̂tre la conservación de la energı́a implica
d d ρ(t)R(t)3 = −p(t)
R(t)3 .
dt
dt
(b) Utilizando la ecuación adicional provista por las ecuaciones de Einstein,
3
k + R0 (t)2
= 8πρ(t) ,
R(t)2
halle el parámetro de Hubble para un universo marginalmente abierto y dominado por la
energı́a.
Solución
El modelo de Friedmann-Lemaı̂tre corresponde a un fluido perfecto en reposo en un marco de
referencia cosmológico, es decir que
T µν = [p(t) + ρ(t)]U µ U ν + p(t)g µν ,
con U µ = (1, 0, 0, 0). La conservación de la energı́a queda expresada por la ecuación T µν;ν = 0,
es decir que
0 = [p(t) + ρ(t)],ν U µ U ν + [p(t) + ρ(t)]U µ;ν U ν + [p(t) + ρ(t)]U µ U ν;ν + p(t),ν g µν
= [p0 (t) + ρ0 (t)]U µ + [p(t) + ρ(t)]U µ;t + [p(t) + ρ(t)]U µ U ν;ν + p0 (t)g µt .
(1)
Ahora bien, tenemos U µ;ν = U µ,ν + Γµνρ U ρ = Γµνt , luego necesitamos calcular los sı́mbolos
de Christoffel
Γµνt = 21 g µρ (gρν,t + gρt,ν − gνt,ρ ) = 21 g µρ gρν,t ,
y como la métrica es diagonal solo tenemos que considerar el caso µ = ν, de modo que
Γttt = 0
y
Γrrt = Γθθt = Γφφt =
R0 (t)
.
R(t)
Volviendo a la ecuación (1), obtenemos
[p0 (t) + ρ0 (t)]U µ + 3[p(t) + ρ(t)]U µ
R0 (t)
+ p0 (t) g µt = 0 ,
R(t)
que es trivial para µ 6= 0, mientras que para µ = 0 resulta en
ρ0 (t) + 3[p(t) + ρ(t)]
R0 (t)
= 0.
R(t)
Multiplicando esta ecuación por R(t)3 , obtenemos
ρ0 (t)R(t)3 + 3[p(t) + ρ(t)]R(t)2 R0 (t) = 0
=⇒
6
d d ρ(t)R(t)3 = −p(t)
R(t)3 .
dt
dt
Para un universo dominado por la energı́a, p(t) ' 13 ρ(t) de modo que la conservación de la
energı́a implica
ρ0 (t)R(t)3 + 34 ρ(t)[R(t)3 ]0 = 0 ,
es decir
0
[log ρ(t)] =
− 43 [log R(t)3 ]0
=⇒
ρ(t) = ρ0
R0
R(t)
4
,
con R(0) = R0 y ρ(0) = ρ0 las condiciones en la actualidad, t = 0.
La ecuación de Einstein para un universo marginalmente abierto, es decir con k = 0, resulta
entonces
8πρ0 R04
0
2
,
R (t) =
3 R(t)2
de donde
8πρ0 4
R0
3
r
1d
8πρ0 2
2
[R(t) ] =
R0
2 dt
3
√
R(t) = R0 ωt + 1 ,
[R(t)R0 (t)]2 =
q
32πρ0
con ω =
(en la fórmula de arriba fijamos la constante de integración de modo de
3
satisfacer la condición inicial R(0) = R0 ). El parámetro de Hubble es entonces
H(t) =
R0 (t)
ω/2
=
.
R(t)
ωt + 1
7