El grupo de permutaciones

Capítulo 2
El grupo de permutaciones
Fraleigh, página 45, problemas: 4.1, 4.3, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.11, 4.13, 4.14, 4.15, 4.16, 4.17.
Fraleigh, página 54, problemas: 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.15, 5.16, 5.17.
1. En S3 determine el subgrupo de las permutaciones pares.
2. Sean
0
=@
2.1 Calcular:
;
;
1 2 3 4 5 6
2 3 6 5 4 1
1,
1
2.2 Exprese las permutaciones
;(
)
,
1
;(
1
A y
)
1
0
=@
,
1 2 3 4 5 6
1 3 5 6 2 4
1:
1
A:
y las permutaciones de la parte 2.1 como el producto de
ciclos disjuntos y como el producto de transposiciones.
2.3 Calcule el orden y la pariedad de
,
y las permutaciones de la parte 2.1.
3. Determine todos los ciclos de S3 .
4. Si
=
1
1 3 5
1 2
y
=
1 5 6 7
son permutaciones en S7 , calcule
.
5. En cada caso determine si permutacion dada es par o impar:
1
0
1 2 3 4
A
5.1 @
2 1 4 3
0
1
5.2 @
1 2 3 4 5
5.3 @
1 2 3 4 5 6
0
5 3 2 4 1
A
3 5 2 1 6 4
1
A
8
0
5.4 @
1 2 3 4 5 6 7
0
5.5 @
1 2 3 4 5 6
0
5.6 @
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5.7
1 2 3 4 5 6
4 3 1 2 6 7 5
3 1 4 6 2 5
1
A
10
A@
1 2 3 4 5 6
4 1 6 3 2 5
2 4 5 1 3 7 8 9 6
1
1
A
A
1 2 3 4 5 7
0
5.8 @
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
5.9 @
1 2 3 4 5 6 7 8 9
6.1
1 4 3
6.2
1 5
2 1
1 3
6.3
1 5
1 4
1 3
6.4
1 4 3
3 1 2 4 5 7 8 9 6
3 1 2 5 4 7 8 9 6
6. En S6 determine los productos:
1
A
1
A
2 5
1 4 6
6.5 Expresar cada una de las permutaciones anteriores como el producto de ciclos disjuntos
y como el producto de transposiciones.
6.7 Determine cuales de las permutaciones anteriores estan en A6 .
6.8 Determine el orden de cada uno de las permutaciones resultantes.
7. Demuéstre que
80
1 0
1 0
19
1 0
< 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4 =
A;@
A
A;@
A;@
H= @
: 2 1 3 4
1 2 4 3
2 1 4 3
1 2 3 4 ;
8. Sea H = f 2 Sn : (1)
8.1 Probar que H
= 1g.
Sn .
8.2 Determine H y jHj si n = 3.
9
S4
9. Para r
n, sea Ar = f1; 2; :::; rg, y de…namos
Hr = f 2 Sn : (8i 2 Ar ) ((i)
9.1 Probar que Hr
2 Ar )g :
Sn :
9.2 Si n = 3 calcule H2 . y calcule jH2 j.
10. Para B
A probar que
H = f 2 SA : (8b 2 B) ((b)
= b)g
11. Sea H un subgrupo de SA , para x; y 2 A de…nimos la relación
x
11.1 Probar que
y si y sólo si existe
SA :
como
2 SA tal que y = (x) .
es una relación de equivalencia en A.
11.2 Para H = A3 el subgrupo alternante de S3 , determine todas las clases de equivalencia
de los elementos de A = f1; 2; 3g.
12. Sean a1 ; a2 2 A, pruebe que existe ' 2 SA tal que a2 = (a1 ) '.
13. Si a1 2 A pruebe que
H = f 2 SA : (a1 )
= a1 g
SA :
14. Sean a1 ; a2 elementos distintos de A, consideremos ' 2 SA tal que a2 = (a1 ) ' (existe
por el problema 12), H como en el problema anterior y sea
K = f 2 SA : (a2 )
= a2 g :
Probar que:
1
14.1 Si
2 K entonces '
14.2 Si
2 H entonces existe
' 2 H.
2 K tal que
='
1
'.
15. Si m < n, demuéstre que existe una aplicación inyectiva
F : S m ! Sn
tal que para cada
; ' 2 Sm : F ( ') = F ( ) F (').
Sea ' 2 SA y a 2 A, el conjunto
O = (a) 'j : j 2 Z
es llamado la orbita de a bajo la permutación '.
10
16. En cada caso, determine la orbita de cada uno de los elementos del conjunto A dado bajo
la permutación correspondiente.
0
1
1 2 3
A
16.1 A = f1; 2; 3g y ' = @
2 3 1
0
16.2 A = f1; 2; 3; 4g y ' = @
1 2 3 4
2 1 4 3
0
16.3 A = f1; 2; 3; 4; 5g y ' = @
1
A
1 2 3 4 5 6
4 1 6 3 2 5
17. Demuestre que no existe ninguna permutación
1
1 2
18. Supongamos que
0
'=@
1
A:
=
2 Sn tal que
1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 2
7 8 9 6
1
A
es una permutación en S9 , donde las imagenes de 4 y 5 se han perdido. Si se sabe que
' es par, ¿cuales deben ser dichas imagenes?.
19. Si
es una transposición y
es cualquier permutación en S9 , demuéstre que
también es una transposición.
11
1