algunas cuestiones sobre la enseñanza y el aprendizaje de las

ALGUNAS CUESTIONES SOBRE LA ENSEÑANZA Y EL
APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN LOS
ESTUDIOS DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Antonio Sarmiento
Juan Manuel Sánchez-Quinzá
Departamento de Economía Aplicada II
Universidade da Coruña
e-mail: antsar@udc.es
RESUMEN
En este trabajo se pretende hacer un estudio de la situación actual de la enseñanza de las
matemáticas en los primeros cursos de los estudios de económicas y empresariales. En
lugar de darle un enfoque externo y objetivo, comparar lo que se estudia y como se
estudia antes de la universidad y en la universidad, se ha optado por entrar en temas
cognitivos más próximos a los que estudia la educación matemática. La investigación en
educación matemática se desarrolló de modo espectacular a partir de los años 60, pero
sólo recientemente, en 1994, comenzó a publicarse Research in Collegiate Mathematics
Education enfocada, exclusivamente, a los problemas educativos de las matemáticas
relativos a los primeros años de universidad. Un numeroso grupo de investigadores
educativos se están dedicando a estudiar problemas psicológicos y pedagógicos que
aparecen en los estudios de matemáticas en los primeros cursos universitarios. Las
asignaturas de matemáticas para la economía y la empresa han sido motivo de
preocupación y reflexión para el profesorado desde hace años. Se ha escrito sobre su
necesidad, sobre los modelos matemáticos en economía y las deducciones lógicas que
permiten. Se ha señalado la mala preparación inicial de los alumnos, su
desconocimiento del lenguaje matemático, su heterogeneidad, su bajo rendimiento
escolar, … y se ha propuesto una asignatura inicial Matemáticas 0, hacer hincapié muy
pronto en los símbolos lógicos, … (ver Actas IX Jornadas ASEPUMA). Por otra parte
los programas de las asignaturas se han normalizado hasta constituir un bagaje que debe
adquirir el alumno de los estudios de economía y empresa. ¿Será necesario formar un
criterio que permita detectar el tamaño de las dificultades cognitivas y tomar decisiones
educativas?. Por supuesto, que esta es una labor ardua y que este trabajo no es más que
una reflexión mejor o peor organizada. Es el profesorado convencido el que descubrirá
dificultades pedagógicas, y sacará conclusiones y normas de actuación de cara a un
replanteamiento de las asignaturas, los programas, el sistema de enseñanza, etc...
Para el citado estudio se ha comenzado señalando los problemas que consideramos más
importantes de cara a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el primer nivel
universitario, algunos de tipo cognitivo, y otros de tipo individual, social y cultural. A
continuación, se ha estudiado brevemente, por razones de espacio, dos problemas
metodológicos importantes relativos al uso docente de definiciones y demostraciones en
matemáticas. Quizás la heterogeneidad y deficiente formación inicial de los alumnos
requiera un mayor conocimiento de dificultades cognitivas y estrategias docentes. Se
pretende extraer algunas conclusiones en relación con la actividad docente habitual.
Palabras-Clave: Enseñanza y Aprendizaje. Matemáticas. Economía. Metodología
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1. PLANTEAMIENTO GENERAL
La enseñanza universitaria de las matemáticas está concebida como una transmisión de
hechos. La mayoría de los profesores piensan que una exposición clara y brillante por su
parte debe ser comprendida por los alumnos. Cuando esto no ocurre así se atribuye a
desinterés o a una formación previa deficiente. El profesorado universitario se queja del
bajo nivel con que llegan los alumnos. Notan, cada vez más, una incomunicación con
ellos que no comprenden ya ni el lenguaje matemático. Para remediar los fallos de
formación inicial que presentan los alumnos algunos departamentos han incorporado a
su carga docente en económicas y empresariales una nueva asignatura, habitualmente
llamada Matemáticas 0, cuyo objetivo es justamente llenar esas lagunas de formación
que observan en los alumnos. Las últimas reuniones de ASEPUMA muestran en
numerosas ponencias una considerable inquietud y preocupación por los problemas
docentes de los estudios de matemáticas en económicas y empresariales.
Los profesores se preguntan: ¿lo estoy haciendo bien? ¿cómo se consiguen estos
resultados tan insatisfactorios después de los esfuerzos que hago? ¿las dificultades están
en las matemáticas o en la forma de presentar la asignatura? ¿hay que bajar el nivel o
mantenerlo, suavizarlo un poco, …?
La respuesta que un profesor daba a los errores de sus estudiantes puede resumir
posibles maneras de enfrentarse a los citados problemas docentes. Su reacción a los
errores de los estudiantes cambió con el tiempo. Al principio su respuesta era irritación
(¡nadie que ponga atención a mis enseñanzas puede pensar eso!), luego era más
condescendiente (¡hay que tener paciencia para explicar esto de nuevo, si es necesario!),
al final los errores le permitían conectar con el pensamiento de los estudiantes (¡este es
el tipo de problema que se trata en la enseñanza de las matemáticas!).
¿Existen algunos problemas intrínsecos de la enseñanza y del aprendizaje de las
matemáticas inherentes a los primeros cursos universitarios?. Podemos buscar
información en torno a la pregunta anterior en las investigaciones en educación
matemática. Durante muchos años esta investigación se ha centrado en la enseñanza no
universitaria, primaria y secundaria, y sólo en los últimos años se ha preocupado de la
enseñanza en los primeros años de universidad. No hay demostraciones en educación
matemática; por tanto no vamos a tener una solución irrefutable Las investigaciones que
se realizan en este campo tienen dos objetivos: uno teórico, una mayor comprensión del
pensamiento matemático y de los problemas que generan la enseñanza y aprendizaje de
las mismas; y otro práctico, usar la comprensión anterior para mejorar la instrucción en
matemáticas.
Frente al ya citado acento conductista de la enseñanza universitaria, durante los últimos
20 años la investigación en educación matemática ha estado marcada por el paradigma
constructivista. Las ideas clave de este paradigma provienen, en último término, de
Piaget. Según esta teoría, el aprendizaje es un proceso de adaptación, en el sentido
biológico del término, que consta a su vez de dos procesos esenciales: 1) el de
asimilación, que permite que cuando aparecen hechos o situaciones nuevas se asimilen
por una simple adaptación de esquemas cognitivos ya construidos, 2) el de
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acomodación, que requiere una reorganización o acomodación de los conocimientos
previos cuando aparece un hecho que causa una ruptura o desequilibrio importante.
En suma, un alumno no es una hoja en blanco. Sus experiencias formativas y vitales van
con él. Lo que puede aprender está restringido por sus concepciones iniciales: las
situaciones que se le han propuesto y las acciones que se le han dado para actuar sobre
estas situaciones.
El mismo pensamiento conductista defiende que el conocimiento matemático se
estructura de forma jerárquica. El conocimiento matemático progresa linealmente
pasando por una sucesión de etapas en las que se va incrementando el nivel de
abstracción. Frente a esta concepción del conocimiento como un continuum muchos
investigadores educativos señalan la necesidad para la formación del conocimiento de
rupturas, reconstrucciones, reorganizaciones,… de las formas de pensamiento
anteriores. Los números reales suministran ejemplos frecuentemente citados de la
necesidad de estas rupturas. En el instituto se estudian usando números decimales y
mostrando la recta real ordenada, densa y sin agujeros. Los alumnos, sin embargo,
mantienen la existencia del predecesor y sucesor de un número dado (0.999…es
frecuentemente visto como el predecesor del 1.000…). Esta concepción previa también
se observa en la demostración de la unicidad del límite: un gran porcentaje de alumnos
de primer año de universidad cree que aunque a y a' estén más próximos que cualquier
número ε, no tienen porque ser necesariamente iguales.
El tema de las rupturas conceptuales ha adquirido renovada importancia, en la
actualidad, con la introducción de nuevo software para la enseñanza de las matemáticas.
Los alumnos con programas de geometría dinámica como Cabri-géomètre o Geometer
Sketchpad aprenden el concepto de tangente a una curva de una manera visual muy
intuitiva. Deben modificar fuertemente sus esquemas para comprender, por ejemplo,
cuál es la tangente a la curva y = x3 en el origen de coordenadas.
En la actualidad, se considera que el modelo constructivista ofrece una visión
incompleta de los procesos de aprendizaje de las matemáticas si no se tienen en cuenta
además de las dificultades cognitivas particulares los contextos social y cultural en que
se desarrollan estos procesos.
En efecto, estudiantes concretos se mueven en ambientes universitarios concretos. Los
alumnos, tienen en consideración los conocimientos, pero también tienen en cuenta el
sistema de enseñanza en el que se encuentran, sus normas y costumbres, y las
expectativas y conjeturas del profesor respecto a ellos, concretadas en relaciones,
formas de evaluación, ... (en la terminología de Brousseau (1997) en el contrato
didáctico). Los investigadores educativos destacan el hecho constatado que bastantes
alumnos tienen éxito en la universidad simplemente aprendiendo el código social que
rige en la misma, antes que aprendiendo matemáticas de manera significativa. Diríamos
que aprenden a aprobar la asignatura..
La dimensión cultural del aprendizaje (considerada en la teoría antropológica de la
educación por Chevallard (1992)) tiene en cuenta la llamada dimensión institucional del
aprendizaje, entendiendo el término institución en sentido muy amplio. Las relaciones
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que los alumnos establecen con los objetos matemáticos son distintas en el instituto y en
la universidad. El cambio de institución docente genera unos problemas específicos que
hay que tener en cuenta desde una perspectiva más amplia de la educación. Algunos
autores han simplificado el tema diciendo que la enseñanza no universitaria es
mostrativa frente a la enseñanza universitaria que sería demostrativa. Para analizar esta
afirmación tendríamos que clarificar lo que se entiende por demostración, tema sobre el
que es difícil dar una respuesta precisa.
La enseñanza no universitaria actual ha cambiado. Pone más énfasis en los llamados
procedimientos y actitudes que en contenidos. Al mismo tiempo se ha reducido la
preparación universitaria específica, el bachillerato, de cuatro a dos cursos. Los alumnos
dejan el instituto con menores conocimientos de cálculo. Estos hechos plantean nuevos
problemas al profesorado universitario. Por ejemplo, el profesor desconoce en muchos
casos como se aproximan en el instituto a los diferentes conceptos matemáticos
tradicionales del cálculo, límite, tangente a una curva, derivada, etc... Esta ignorancia de
los contextos y/o situaciones en que se introducen los conceptos lleva a los alumnos a
un "salto en el vacío" que muy pocos son capaces de llenar por sí mismos con la
consiguiente desmoralización y abandono. Muchas veces los profesores de universidad
tienen dificultad para llegar a saber los conocimientos de sus alumnos, que son muy
distintos y extraordinariamente variados de unos a otros. A veces concluyen lo más
fácil: que no saben nada. Los estudiantes que pueden llegar mejor preparados en su
capacidad de modelizar situaciones del mundo real o en técnicas de resolución de
problemas no conectan con el profesor que espera encontrar en ellos un dominador de
las técnicas de derivación.
Por todo lo anterior y aunque los alumnos universitarios sean cognitiva y
emocionalmente más maduros para enfrentarse a estudios de matemáticas más
profundas nada nos dice que la metodología universitaria actual sea adecuada, al menos
en los primeros años. Al contrario, se constata un fracaso escolar creciente y una
preocupación cada vez mayor del profesorado por su actividad docente. Examinar
algunas investigaciones ya clásicas que suelen agruparse en el llamado Pensamiento
Matemático Avanzado pueden ayudarnos a sacar conclusiones. Los dos siguientes
apartados están dedicados a analizar dos temas, la definición y la demostración, donde
creemos que se concretan dificultades importantes en la enseñanza y aprendizaje del
cálculo.
2. LA DEFINICION EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS
Las definiciones plantean un problema bastante profundo en el aprendizaje de las
matemáticas. En ellas se concretan el conflicto entre la estructura de las matemáticas tal
como es pensada por los profesionales de las matemáticas y los procesos cognitivos que
es necesario activar para la adquisición de conceptos. La estructura de la matemática
profesional es una sucesión de definiciones, teoremas y demostraciones que pocos
profesores se atreven a reproducir.
No se trata de prescindir de las definiciones sino de tener en cuenta los problemas
cognitivos que plantean. Las definiciones se usan para aprender conceptos que
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aumentan nuestra cultura matemática. Pero la adquisición de algunos conceptos no es
sencilla. Aunque los textos y los profesores cuiden, remarquen y precisen las
definiciones no está garantizada una buena adquisición de los conceptos por parte de los
alumnos.
Para hablar de definiciones en la enseñanza de las matemáticas conviene distinguir dos
contextos. En contextos no técnicos, en la vida ordinaria, las definiciones no son
necesarias. Para entender la frase “…de todos los coches del aparcamiento mi coche
azul es el más bonito” no hay que consultar el diccionario. Sin embargo, es probable
que un alumno tenga que consultar en un manual técnico las definiciones para entender
que “…entre todos los rectángulos con el mismo perímetro el cuadrado es el que tiene
el área máxima”. De hecho, en un contexto no técnico mucha gente considera que un
cuadrado no es un rectángulo.
En psicología matemática (ver Vinner (1991)) se distingue entre la imagen del concepto
y la definición del concepto que se pueden dibujar en un marco común pero en dos
celdas separadas
Imagen del concepto
Definición del concepto
Conocer una definición del concepto no garantiza que se haya adquirido. Adquirir un
concepto significa que se ha incorporado a nuestro bagaje mental una imagen del
mismo. La imagen del concepto es algo no verbal que asociamos en nuestra mente con
el nombre del concepto. Puede ser una representación visual, una colección de
impresiones, unas experiencias que se pueden expresar o no verbalmente. La palabra
“función” estimula distintas imágenes del concepto: la expresión y = f(x), la gráfica de
una función, la forma de funciones concretas como y = x2 o y = sen x. La imagen y la
definición del concepto pueden relacionarse en una dirección o en ambas. La definición
contribuye a dar forma a la imagen y, a veces, la imagen contribuye a precisar la
definición.
Cuando se introduce un concepto por primera vez por medio de una definición la celda
de la imagen del concepto está vacía. Después de dar la definición y varios ejemplos y
explicaciones, la celda de la imagen se llena gradualmente. Sin embargo, esto no quiere
decir que se hayan adquirido todos los aspectos de la definición del concepto. Por
ejemplo, como a los alumnos cuando se les habla de un cuadrado se les ha hecho toda la
vida un dibujo como éste
un rombo.
cuando ven el siguiente dibujo
lo identifican con
Los estudiantes llegan a la universidad con una cantidad de conceptos previos que han
ido formando a lo largo de sus estudios preuniversitarios. Tienen una imagen del
concepto. Cuando se define un concepto ya conocido pueden ocurrir tres cosas: 1) se
produce una reconstrucción satisfactoria y una acomodación de la imagen del concepto;
2) no se asimila la definición y en consecuencia no se modifica la imagen del concepto;
3) el alumno hace coexistir su antigua imagen del concepto con la nueva definición y
utilizará una u otra según las necesidades académicas (a largo plazo como no ha
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adquirido de modo significativo el nuevo concepto terminará por volver al antiguo que
es el que realmente tiene sentido para él).
Los conceptos son utilizados en tareas cognitivas como, por ejemplo, resolución de
problemas. Cuando se le plantea una tarea del tipo anterior a un alumno se supone que
se activan ambas celdas y pueden ocurrir todos los casos entre estas posibilidades:
1) el alumno hace una deducción puramente formal:
OUTPUT
Definición del concepto
Imagen del concepto
INPUT
2) el alumno da una respuesta puramente intuitiva:
OUTPUT
Definición del concepto
Imagen del concepto
INPUT
Hay muchas investigaciones empíricas para apoyar la afirmación que la mayoría de los
estudiantes no usan las definiciones cuando trabajan en tareas cognitivas en contextos
técnicos; o sea que los estudiantes siguen con hábitos de la vida diaria cuando trabajan
en contextos técnicos y recurren a la imagen del concepto antes que a la definición.
Por ejemplo, en esas investigaciones se muestra que los alumnos traen imágenes del
concepto de tangente basadas en gráficos como los siguientes
Si se
les pide la definición de recta tangente los alumnos recurren a la imagen del concepto y
afirman que es la recta que toca a la curva en un punto dado (ver por ejemplo el texto
de Hoy M. et al. Mathematics for Economics 2ª ed. The MIT Press pp.155). Aunque se
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les contradiga con figuras como las siguientes
afirman
observando la gráfica que rectas tangentes a la curva y = x3 en el punto (0,0) son, por
ejemplo, las diagonales del 1er y 2º cuadrante. Sólo el recurso a la definición técnica les
saca de su error.
-3
-2
4
4
2
2
-1
1
2
-3
3
-2
-1
1
-2
-2
-4
-4
2
3
En conclusión, el papel de la definición en un curso de matemáticas debe determinarse
de acuerdo con los objetivos deseados para un grupo de estudiantes dado. En un primer
curso de matemáticas para la economía y empresa no es necesaria la precisión técnica
de un curso de matemáticas avanzadas. Hay que tener en cuenta que mientras pueda, el
estudiante mantendrá como referencia la imagen del concepto ya que esta estrategia es
la más sencilla y natural para él. Sólo un conflicto cognitivo puede convencer al
estudiante que tiene que usar la definición del concepto como un criterio definitivo de
comportamiento. Un objetivo de la enseñanza de las matemáticas es cambiar los hábitos
de pensamiento de los estudiantes del modo intuitivo o no técnico al modo técnico.
Estar a favor de la definición es ser consciente de las dificultades cognitivas que algunos
conceptos del cálculo arrastran. Por ejemplo las εδ definiciones de límite, continuidad,
etc... son esencialmente “procesos” y nada tienen que ver con conceptos estáticos. De
hecho, como ha visto Cornu (1991), arrastran tal complejidad que pueden ocasionar
dudas sobre si el límite se alcanza o es un punto inalcanzable al que nos podemos
aproximar tanto como queramos, cuál es el límite de la sucesión (-1)2n, etc...
El profesor y el autor del libro de texto pueden incluso creer que su tarea está acabada
introduciendo la definición formal. Pero no deben albergar ilusiones en torno al poder
cognitivo que esta definición tiene sobre el pensamiento matemático del estudiante. Y
debe estar dispuesto a encontrar resultados sorprendentes en los exámenes.
El papel de la definición en el pensamiento matemático es motivo de muchos estudios
recientes y objeto de debates. No podemos obviar la importancia de los conceptos para
un rendimiento correcto en tareas cognitivas dadas (entre ellas están la identificación de
ejemplos y contraejemplos de un concepto dado, resolución de problemas y pruebas
matemáticas). Por otra parte hay que ser realistas sobre las posibilidades de conseguir
objetivos ambiciosos. No existen las “matemáticas para todos”. Hay algunas
matemáticas para algunos estudiantes. E incluso esto se puede conseguir sólo con
pedagogía apropiada bajo condiciones apropiadas para el aprendizaje.
3. LA DEMOSTRACION EN LA CLASE DE MATEMÁTICAS
Con frecuencia se señala que el papel de las matemáticas en los estudios de económicas
y empresariales debe ser instrumental. Sin embargo, en los primeros años de
universidad las matemáticas cumplen una labor formativa que no se puede despreciar.
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Es justamente establecer hasta donde debe desarrollarse la componente estructural y
deductiva de las matemáticas lo que provoca un cierto debate por parte del profesorado.
Este se puede concretar de manera primordial en el papel que cumple la demostración
en la enseñanza de las matemáticas. Algunos profesores estiman que sin demostraciones
la asignatura queda coja convertida en mera exposición de resultados matemáticos, en
sucesión de anécdotas mejor o peor organizada. Al final se opta por múltiples
soluciones, desde el profesor que lo demuestra todo al que no demuestra nada.
Convendría analizar los problemas de la demostración, su necesidad, y la existencia de
otras aproximaciones menos formalizadas para establecer determinados resultados y
corroborar determinadas afirmaciones.
Habría que tener en cuenta que la importancia concedida a la demostración en el
curriculum de matemáticas de los años sesenta es una herencia que se arrastra desde
principios del siglo XX debida a los trabajos de las escuelas logicista, formalista e
intuicionista en la fundamentación de las matemáticas. Estas escuelas a pesar de sus
divergencias comparten la necesidad de una aproximación axiomática y la utilización de
un lenguaje cuidadoso tanto en definiciones como en demostraciones origen de la
importancia que algunos profesores conceden a la necesidad de que los alumnos
conozcan el lenguaje matemático.
En las últimas décadas del siglo pasado se ha cuestionado profundamente que el aspecto
más significativo de las matemáticas sea el razonamiento por deducción, que culmina
como se sabe en las demostraciones formales. Hay muchas más matemáticas que las
expresadas en los sistemas formales. Incluso una demostración válida desde el punto de
vista formal, sin atender a su contenido, puede aportar muy poco a la comprensión de un
tema.
Diversos investigadores Lakatos (1976), Kitcher (1984), Davis (1986) han llegado a la
conclusión que la demostración en matemáticas forma parte de un proceso social. Las
matemáticas, siendo una actividad social, requieren una teoría pública. Una
demostración, en principio, nunca es definitiva y está sometida a un proceso social de
negociación de su significado antes que a criterios formales intrínsecos. La importancia
de un teorema para la comunidad matemática juega un papel mucho más importante que
su demostración. De hecho, las demostraciones se pueden codificar con ideas muy
simples y pueden llegar a ser compartidas por una comunidad de matemáticos. Según
Hanna (1991) una demostración llega a ser una demostración después del acto social de
ser aceptada y aprobada por otros matemáticos que, a menudo, deciden refinarla y
mejorarla (“aceptar la demostración”). Esto es verdad en matemáticas, como lo es en
física, lingüística, y biología. De los aproximadamente 200000 teoremas publicados
anualmente sólo unos pocos son aceptados activamente por la comunidad matemática.
Por supuesto una prueba del teorema de los cuatro colores o del último teorema de
Fermat será examinada con lupa por prestigiosos matemáticos pero la inmensa mayoría
de teoremas no son examinados al margen de lo original o sofisticada que sea su
demostración.
Está aceptado que las ideas matemáticas se descubren a través de un acto de inspiración
o creación en el que la lógica formal no está involucrada. Por ello parece más
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importante para la actividad docente en vez de transmitir la reseña de una demostración,
comunicar las ideas inherentes de una manera inteligible y convincente. Un formalismo
extremo en la demostración no está en consonancia ni con la práctica matemática ni con
la filosofía de las matemáticas actual.
Además la demostración formal puede dar origen a malentendidos en torno a la
naturaleza de las propias matemáticas. Los resultados matemáticos publicados para una
audiencia de matemáticos se presentan en forma de teoremas y demostraciones. Una
persona con una formación parcial en matemáticas puede creer que la naturaleza de las
matemáticas es un cuerpo de conocimiento altamente estructurado regido por leyes
lógicas. De aquí puede percibirse que ser competente en matemáticas es equivalente a
ser capaz de crear la forma, la prueba rigurosa.
No se trata de pasar al extremo opuesto y erradicar toda demostración de la enseñanza
de las matemáticas. El aprendizaje es un proceso más dinámico que estático. El
progreso de los estudiantes se mide en la adquisición de un nivel más profundo de ideas
y habilidades, de aquí la validez, en un determinado momento, del razonamiento formal
o informal sólo se puede juzgar en la medida que procure una mayor comprensión de las
matemáticas. El punto de partida para la comprensión es la idea suministrada por la
experiencia de cada día. Para conseguir una base para progresar en conocimiento
matemático, esta idea debe desarrollarse y hacerse explícita. Esto requiere un grado de
formalismo. Debe crearse un lenguaje: definir símbolos, especificar reglas de
manipulación, delimitar el alcance de las operaciones matemáticas. Debe enseñarse con
la mayor precisión de modo que pueda separarse lo esencial de lo no esencial y
conseguir una mayor generalidad. Pero esto tiene su precio. Alejado del contexto
intuitivo original, el estudiante puede perder perspectiva de la realidad y llegar a ser un
manipulador de símbolos.
Como una de las alternativas a la demostración formal, a tener muy en cuenta en los
estudios de matemáticas para la economía y empresa, adquiere una gran importancia el
fenómeno de la visualización (Eisenberg & Dreyfuss (1981), Guzmán (1996)). La
comunicación ordinaria en matemáticas es una mezcla de lenguaje natural, formal y
gráfico lleno de connotaciones intuitivas, visuales, sobreentendidos, etc., que no
podemos pasar por alto. Tiene, pues, sentido el considerar la visualización como punto
de partida del trabajo docente a pesar de los obstáculos y objeciones que se le han
puesto. La posibilidad de que pueda conducir a error no invalida su eficacia y potencia
en los procesos de comunicación y transmisión de conocimiento matemático.
Hay dos problemas a tener en cuenta en los procesos de visualización: 1) la mala
preparación: la realización de la visualización de forma correcta requiere una cuidadosa
preparación que no muchos profesores son capaces o están interesados en hacer; 2) su
bajo status: los profesores suelen hacer un uso constante de la visualización, pero con
mala conciencia, aclarando bien, como se aprende en las matemáticas formales, que lo
que estamos contando no es una demostración.
Los estudiantes tienen interiorizado el bajo status y no toman una sola nota en las
visualizaciones previas a un concepto o demostración que hace el profesor y terminan
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por exigir una demostración formal que es lo que copian en clase, no teniendo en cuenta
que esto es precisamente lo que hay en apuntes y libros.
En resumen ¿qué temas en relación con la demostración se deben tener presentes al
enseñar matemáticas en los primeros cursos de económicas y empresariales?.
1) Creemos que la visualización, si se cree en ella y se prepara adecuadamente, puede
cumplir una labor importante en la enseñanza. Aquí entran en juego medios
audiovisuales e informáticos donde se pueda experimentar y considerar múltiples
puntos de vista. También puede ser necesario incidir en educar la cultura visual de
los estudiantes que les permita codificar y decodificar correctamente las imágenes
sobre las que se trabaja.
2) Como siempre los extremos no son buenos y no debe despreciarse el formalismo.
Cuando se siente una necesidad de justificación, y cuando esta necesidad se puede
cubrir con un apropiado grado de rigor, el aprendizaje puede ser mejorado con la
demostración formal. Los alumnos, pueden entender bien que una demostración es
como un juicio ante un tribunal. Fiscal y abogado señalan los hechos ante los jueces.
Razonan a partir de estos hechos para sacar conclusiones: inocente o culpable. Y
deben dar razones convincentes para cada deducción que hacen. Quizás unos
argumentos como los anteriores pueden ayudar más a nuestros alumnos que la
insistencia en el manejo correcto del lenguaje matemático
3) No basta con suministrar experiencias matemáticas. Es la reflexión sobre una
experiencia la que lleva al crecimiento matemático. En tanto que los estudiantes
vean las matemáticas como una caja negra para la producción instantánea de
"respuestas", no desarrollarán la paciencia necesaria para examinar los muchos
caminos erráticos que la mente puede tomar para comprender cuestiones
matemáticas. Dicho de otro modo, las demostraciones perfectamente acabadas y
pulidas pierden interés rápidamente para los alumnos.
4) Una cura de humildad para el profesor formalista sería analizar la cantidad de
ambigüedad, a pesar del rigor, que se utiliza en la enseñanza habitual de las clases
de matemáticas. (e.g., los varios papeles del signo "-", el uso de "f(x)" como la
función y el valor de la función en x, el uso de ∆x y dx, etc.).
4. CONCLUSIONES Y FUTUROS TRABAJOS
Frente a una solución Matemáticas 0 para los nuevos alumnos, que se propugna en
algunos Departamentos que imparten las matemáticas en económicas y empresariales y
que a lo mejor no es incompatible, en este trabajo se señala la necesidad de algunos
cambios metodológicos. Para ello, parece necesario por una parte considerar los
conocimientos previos de los alumnos, ¿qué conocen? y ¿cómo lo conocen?, y tener en
cuenta la heterogeneidad de los mismos. Pero por otra parte no conviene olvidar las
dificultades cognitivas debidas a una gran variedad de factores individuales y sociales
que tienen las asignaturas de matemáticas en los primeros cursos de económicas y
empresariales. Nos hemos limitado a dos temas muy genéricos pero representativo: las
dificultades de las definiciones y los problemas derivados de las demostraciones
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formales. Creemos que ampliar la gama de aproximaciones a estos y otros temas es una
labor que puede interesar al profesorado.
Puede que se necesiten las Matemáticas 0 para homogenizar a los alumnos pero no para
concentrar los contenidos que antes se estudiaban en el bachillerato y que ahora no están
suficientemente asimilados.
Una ampliación de este trabajo puede estudiar la contribución que los medios
audiovisuales e informáticos pueden hacer para mejorar la visualización de las
demostraciones con especial incidencia en problemas concretos de la enseñanza del
cálculo (límites, tangente, área, etc…).
Otros posibles estudios pendientes son las implicaciones que en la enseñanza y
aprendizaje de determinados temas del curriculum de matemáticas pueden tener el
examen detallado de las matemáticas que se usan en el desarrollo de teorías económicas
concretas como la teoría del crecimiento económico.
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