Diez formas de pensar y resolver un problema matemático «Las

Diez formas de pensar y resolver un problema matemático
«Las matemáticas son difíciles, pero si piensas matemáticamente
todo se simplifica», así se explica en el libro 'Cómo pensar como
un matemático' del profesor Kevin Houston
1. Cuestiónatelo todo
Pierre Boucher
«Janine con lupa», obra de Pierre Boucher realizada en 1938
Una de las cosas más bellas de las matemáticas es que todo puede ser
probado. No tienes que creerte todo lo que te digan. Si alguien dice que algo
es verdad, tú puedes pedirle que lo demuestre. O mejor, si realmente
quieres pensar como un matemático intenta probarlo tú mismo. Tu reacción
siempre debe ser dudar e intentar encontrar un contraejemplo. Aunque al
final el resultado sea cierto, el esfuerzo mental te ayudará a cuestionar
otras afirmaciones en el futuro.
1 2. Escribe con palabras tu problema
Manuscrito de Albert Einstein relativo a su Teoría de la Relatividad
¿Cómo puede ser que ponerme a escribir puede ayudarme a ser un buen
matemático? —te estarás preguntando. Las frases son los ladrillos con los
que construimos nuestros argumentos. Las matemáticas manejan
argumentos para elaborar las demostraciones y probar las conjeturas. ¡No
se trata de que te pongas a hacer cuentas como un loco! Muchos estudiantes
no creen que esto sea necesario; suelen decir: «No me he matriculado en
Matemáticas para escribir ensayos», o «¡pero si ya casi tengo la solución!».
Si deseas comprender las matemáticas a fondo y pensar con claridad,
escribir te obligará a cuidar tus argumentos. Si no eres capaz de
describirlos, quizás sea porque no has comprendido el fondo del problema.
2 3. ¿...Y si fuera al revés?
M. c. Escher
«Cinta de Moebius», dibujo del artista holandés M. C. Escher
Los teoremas matemáticos se basan en la lógica. Son silogismos que
aseguran que si A es verdad, entonces B también es verdad. Pero si damos la
vuelta al argumento, estaríamos afirmando que si B es cierto, entonces A
también sería cierta. Por ejemplo, si digo: «si soy español, entonces soy
europeo», su inverso sería: «si soy europeo, entonces soy español». Un buen
matemático, cuando está seguro de que A «es necesario» para B, siempre se
preguntará si lo contrario también es cierto. En ocasiones será cierto y en
otras no, como sucede en nuestro ejemplo anterior. De serlo, se dirá que B
«es suficiente» para A
3 4. Utiliza la reducción al absurdo René Descartes, precursor del uso de la lógica en las matemáticas y la
filosofía
Lo contrario de la afirmación anterior de «si A es verdad, entonces B es
verdad», implica que «si B es falso, entonces A es falso». Bueno, pues
¡podemos estar seguros de la veracidad de esta última afirmación! Si le
damos la vuelta otra vez, nos encontramos la primera afirmación y
viceversa. En nuestro ejemplo, podríamos demostrar nuestra afirmación «si
soy español, entonces soy europeo», por reducción al absurdo, comprobando
que es cierta su contraria: «si no soy europeo, entonces no soy español».
Una prueba habitual en los tests psicológicos, conocida como tarea de
selección de Wason, se basa en este recurso y por cierto, los resultados
entre los encuestados son bastantes pobres, ¡menos del 10% consiguen
hacerlo bien! Mira aquí si tú podrías hacer el test correctamente.
4 5. Lleva los ejemplos al extremo Dos niños atraviesan las vías del ferrocarril
Una buena estrategia es pensar: ¿Qué sucedería si utilizo el número 0 ó el
1?, ¿Cómo se comportaría una recta o una circunferencia? ¿Y si uso un
elemento trivial que siempre sea nulo? ¿Y si tomo el conjunto vacío? ¿O la
secuencia 1, 1, 1, ...? Estos ejemplos te ayudarán a comprender mejor el
problema.
5 6. Crea tu propio mundo
EFE/KASPER
Un investigador piensa frente a una pizarra
Un matemático crea sus propios ejemplos, algunos serán normales, otros
extremos y otros serán contraejemplos. Cuando conozcas el procedimiento
de resolver un tipo de problemas, intenta ir más allá y busca problemas
similares que no puedan resolverse con ese método y sea necesario
mejorarlo.
6 7. Y si supongo que... Demostración del teorema de Pitágoras en el libro de los «Elementos» de
Euclides
Comprender la demostración de un teorema puede llegar a ser difícil. No
suelen explicarse los pormenores que justifican todos los pasos seguidos por
el autor para llegar a las conclusiones o cómo fue descubierta la clave para
alcanzar la solución. Es una de las cosas más difíciles a las que se
enfrentan los matemáticos. Todos los teoremas dan por ciertas unas
hipótesis iníciales. Por ejemplo, el teorema de Pitágoras da por supuesto un
ángulo de noventa grados dentro del triángulo. Estas presuposiciones serán
usadas antes o después en el transcurso de la demostración (de lo contrario
serían innecesarias). Por tanto, tienes que estar atento al momento en que
se hace uso de ellas en el transcurso del desarrollo. Conociendo su
estructura, no necesitarás memorizar sus conclusiones.
7 8. Empieza por lo más complicado AFP PHOTO
Participante en el Festival Internacional de Diseño de Berlín con una
construcción de «Lego»
Para probar que una igualdad es cierta, es mejor comenzar por el lado más
complicado de los dos, intentar simplificarlo y reducirlo hasta llegar a la
expresión del otro lado de la igualdad. Intentar partir de la ecuación
completa, pasando de uno a otro miembro parte de los términos, sin darte
cuenta podría llevarte a repetir en círculos los mismos pasos sin llegar a
resolverla.
8 9. ¿Qué pasaría si...? Dibujo de la escultura «El pensador» de Auguste Rodin
A los buenos matemáticos les gusta preguntarse:«¿Qué pasaría si, por
ejemplo, prescindo de esta hipótesis?» Haciendo este experimento, podrás
entender por qué un resultado es cierto o por qué se define de esa manera
un elemento de la demostración. ¡Han aparecido nuevos y más elegantes
teoremas a partir de condiciones iníciales más débiles que en el original! La
idea es hacerse siempre nuevas preguntas.
9 10.
¡Explícate!
Isaac Newton Institute
Jardín del Instituto de Ciencias Matemáticas «Isaac Newton» en
Cambridge
Cuando Sir C. Zeeman fundó el Instituto de Matemáticas de la Universidad
de Warwick, una de sus ideas para crear una atmósfera matemática en el
centro fue la instalación de pizarras en los pasillos —y no sólo dentro de las
aulas—, para que unos y otros pudieran explicar el trabajo que estaban
realizando, favorecer la colaboración y contrastar los resultados. En el
Instituto de Ciencias Matemáticas «Isaac Newton» de Cambridge, hay
pizarras en los baños y en el ascensor, ¡qué sólo recorre dos plantas!
Explicar a otros tus ideas contribuye a aclararlas y puedes aprender
mucho con las sugerencias que ellos puedan aportarte o encontrar errores
que de otro modo no verías. Busca a alguien con quien puedas hablar de tus
problemas... matemáticos.
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