Análisis Numérico

Análisis Numérico
Segundo Examen Parcial :Solución
Profr. Eduardo Uresti, Agosto-diciembre 2011
Matrı́cula:
Nombre:
1. La circulación y el flujo neto de un flujo representado por una función de variable compleja f (z) a través en una curva
cerrada C se obtiene como la parte real y la parte imaginaria, respectivamente, de la integral de contorno
I
f (z) dz
C
Si la curva está parametrizada por z(t) = x(t) + y(t) i para a ≤ t ≤ b, entonces
I
Z b
f (z) dz =
f (x(t) + y(t) i) · (x0 (t) + y 0 (t) i) dt
C
a
(El producto de f (x(t) + y(t) i) con x0 (t) + y 0 (t) i es el producto de expresiones complejas) Para funciones f (z) tales que
f (z) es analı́tica en un dominio simplemente conexo que contiene a C o bien f (z) es analı́tica salvo en algunos polos
de f (z) en el interior de la curva C hay resultados que simplifican mucho los cálculos. Pero ante la ausencia de buenas
propiedades de f (z) no hay de otra forma de calcularlos que realizando la integral. Como es el caso que nos ocupa. Suponga
que f (x + y i) = x2 e−x y + y sen(x + y 2 ) i y que la curva C es el cı́rculo con centro en el origen y con radio 1 parametrizada
como
z(t) = x(t) + y(t) i = cos(t) + sen(t) i para 0 ≤ t ≤ 2 π
Aproxime la circulación y el flujo neto a través de C realizando la integración numérica tomando π ≈ 3.141593, haciendo
una división en 51 puntos en el intervalo [0, π] y aplicando integración compuesta con la regla de Simpson en tres puntos.
Reporte su resultado con 6 decimales.
Solución
En Maple hacemos:
>f
:= (x, y)− > x2 ∗ exp(−x ∗ y) + y ∗ sin(x + y 2 ) ∗ I;
>X
:= t− > cos(t);
>Y
:= t− > sin(t);
> aux := conjugate(f (X(t), Y (t))) ∗ (dif f (X(t) + Y (t) ∗ I, t));
>F
:= Re(aux);
>G
:= Im(aux);
Calculamos:
F = Re(f (z(t)) z 0 (t)) = −cos(t)2 exp(−sen(t) cos(t)) sen(t) + sen(t) sin(cos(t) + sen(t)2 )cos(t)
G = Im(f (z(t)) z 0 (t)) = cos(t)3 exp(−sen(t) cos(t)) + sen(t)2 sen(cos(t) + sen(t)2 )
Realizando las itegrales de las expresiones anteriores de t = 0 a t = 2 π mediante la formula de los 3 puntos de Simpson
mediante una hoja de Excel:
R 2π
F dt ≈ 3.9988 × 10−11
R22 π
G dt ≈ 1.904720872
2
2. Determine la temperatura en estado estable de cada uno de los nodos internos de la placa conductora señalados en la
siguiente gráfica.
Tarr
s
TesqI
T34 T44
s
s
Tizq
s
TesqD
s
s
s
s
s
T33 T43 T53 T63 T73
s
s
s
s
s
T12 T22 T32 T42 T52 T62 T72 Tder
s
s
s
s
s
s
s
T11 T21 T31 T41 T51 T61 T71
Tabj
Ma2008: Segundo examen parcial, agosto-diciembre 2011
2
Determine las temperaturas de cada nodo interno sabiendo que:
Tabj = 40o , Tarr = 20o , Tder = 10o
Tizq = 50o , TesqI = 30o TesqD = 15o
Reporte, a 5 decimales, los valores de T11 y T73 .
Solución
Formamos el sistema en Maple. La solución queda:
≈ 41.87539541
≈ 15.62361811
T1,1
T7,3
3. Si:
A
B
=
C
=
D
4
−1
3
1
−3
3
−1
0
2
−7
−1
−1
=
=
−3
1
−4
−1
Resuelva para X la siguiente ecuación:
−1
A B XT
− 2C = D
Reporte el renglón 2.
Respuesta:
Solución
Del despeje:
−1 T
X = B−1 A−1 (D + 2 C)
tenemos que:
X=
39
31
−34 −27
4. Con los datos del problema anterior, resuelva el sistema
100 X +
BX +
CX +
AY
1000 Y
DY
+
+
+
Z =
CZ =
10, 000 Z =
I
0
A
Solución
Resolviendo:
0.0099967890 0.0000017491
.8534435840 10−6 0.0099992827
−.2888096242 10−4 .3919489269 10−4
Y =
−.1120494694 10−4 .1089455251 10−4
.4030037778 10−3 −.2990062965 10−3
Z =
−.1030203739 10−3
.1000280011 10−3
X
=
5. Encuentre la ecuación de la recta y = m x + b que se ajusta mejor, en el sentido de mı́nimos cuadrados, a los datos de la
siguiente tabla:
Ma2008: Segundo examen parcial, agosto-diciembre 2011
3
x
y
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
0.201667
0.373333
0.548333
0.326667
1.008333
0.993333
1.781667
2.506667
3.068333
3.766667
Solución
El modelo tiene
y = 3.944949698 x − .7122223338
6. Ajuste los datos del problema anterior a un modelo de la forma y = a xk . Sugerencia: Para convertir a un modelo lineal
tome logaritmos y vea que lo que le queda es un modelo lineal en ln(y) y ln(x).
Solución
y = 2.664871808 x1.282876924