Tema3

Ingeniería de sistemas
Tema 3. ANALISIS DE LA RESPUESTA DE
SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO
3.1 Respuesta Temporal de Sistemas en Tiempo Continuo
Sea un sistema continuo cuya respuesta y( t ) ante una entrada u( t ) es objeto de
estudio, representado por la ecuación diferencial
a n y n ) + a n−1 y n −1) + + a 1 y'+ a 0 y =b m u m) + +b 1 u'+b 0 u
( 3.1 )
con un conjunto de condiciones iniciales y(0), y'(0),…, y n −1) ( 0) siendo n el orden del
sistema.
La transformada de Laplace aplicada a la ecuación daría
a n ( s n Y ( s) − s n −1 y (0) − s n − 2 y ' (0) − ) + a n −1 ( s n −1Y ( s) − s n − 2 y (0) −
b m ( s mU ( s) − s m−1u(0) − ) +b m−1 ( s m−1U ( s) − s m− 2 u(0) −
) + + a 0 Y ( s) =
) + +b0U ( s)
( 3.2 )
Reagrupando términos
( a n s n + a n−1s n −1 + + a1s + a 0 )Y ( s) = (bm s m + +b1s + b0 )U ( s) + P( s)
( 3.3 )
siendo P( s) un polinomio que depende de las condiciones iniciales tanto en y( t ) como u( t ) .
De esta forma la transformada de la respuesta de un sistema continuo se puede
expresar como
bm s m + +b1 s + b0
P ( s)
Y ( s) =
U ( s) +
= Y1 ( s) + Y2 ( s) ( 3.4 )
n
n −1
n
a n s + a n −1 s + + a 1 s + a 0
a n s + a n −1 s n −1 + + a1 s + a 0
por lo tanto la respuesta es suma de dos términos Y1 ( s) y Y2 ( s) :
1) Respuesta de estado cero, debida a la entrada U ( s) asumiendo condiciones iniciales nulas
(régimen permanente)
Y1 ( s) = G ( s)U ( s)
( 3.5 )
Tema 3
2) Respuesta de entrada cero, debida a las condiciones iniciales asumiendo entrada nula
(régimen transitorio)
Y2 ( s) =
P ( s)
D( s )
( 3.6 )
siendo D( s) el denominador de la función de transferencia G ( s) .
Se analizará la respuesta y( t ) de un sistema continuo ante un entrada u( t ) en escalón
e impulso δ( t ) . En el estudio se supondrá que el grado del numerador de G ( s) es inferior al
del denominador pues de lo contrario
lim Y ( s) = ∞
s→∞
( 3.7 )
lo cual acentuaría sin límite la respuesta del sistema a altas frecuencias
3.2 Respuesta Escalón
Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya función de transferencia viene
dada por
G ( s) =
Y ( s)
U ( s)
( 3.8 )
se denomina respuesta escalón a la salida obtenida tras aplicar como entrada una señal
escalón unitario u( t ) , cuya transformada de Laplace viene dada por
U ( s) =
1
s
( 3.9 )
Sistemas de Primer Orden
Un sistema de primer orden queda descrito por una ecuación diferencial del tipo
y'( t ) + a 0 y( t ) = b0 r ( t )
con la condición inicial y(0) .
La transformada de Laplace de la salida resulta en
2
( 3.10 )
Ingeniería de sistemas
Y ( s) =
b0
y( 0)
U ( s) +
s + a0
s + a0
( 3.11 )
Ante entrada escalón de amplitud A con U ( s) = A / s y considerando nula la
respuesta de entrada cero, la respuesta sería
b0 A
s( s + a 0 )
Y ( s) =
( 3.12 )
Descomponiendo en fracciones simples,
K1
K2
b A 1 b0 A 1
+
= 0
−
s s + a0
a0 s a0 s + a0
Y ( s) =
( 3.13 )
y aplicando la transformada inversa (en forma de tablas)
y (t ) =
b0 A
(1 − e − a0t )u(t )
a0
( 3.14 )
La respuesta es de tipo exponencial y si a 0 > 0 es decreciente en el término
exponencial y por lo tanto estable, tendiendo al valor constante (Figura 3.1.).
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
y (t)
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.1 Respuesta escalón de sistema de primer orden.
Se define la constante de tiempo de un sistema de primer orden
τ=
1
a0
( 3.15 )
Tema 3
como el instante de tiempo en el que la respuesta alcanza el 63% del valor final. Usando este
parámetro, la función de transferencia de un sistema de primer orden queda
G ( s) =
b0 1
k
=
a 0 τs + 1 τs + 1
( 3.16 )
siendo k la ganancia del sistema.
Sistemas de Segundo Orden
Un sistema de segundo orden viene descrito por una ecuación diferencial del tipo
y''+ a1 y'+ a 0 y = b0 u
( 3.17 )
con condiciones iniciales y( 0), y'(0) .
La transformada de Laplace aplicada a la ecuación resulta en
Y ( s) =
b0
P ( s)
U ( s) + 2
s + a1 s + a 0
s + a1s + a 0
2
( 3.18 )
con P( s) debido a las condiciones iniciales.
Ante entrada escalón de amplitud A con U ( s) = A / s y considerando nula la
respuesta de entrada cero, la respuesta sería función de las raíces s1 y s2 del polinomio
característico de la función de transferencia
G ( s) =
b0
b0
=
s + a1s + a 0 ( s + s1 )( s + s2 )
2
( 3.19 )
La respuesta y( t ) será obtenida descomponiendo en fracciones simples Y ( s) que
viene dada por
Y ( s) =
presentándose tres casos, a saber:
a) raíces reales distintas
4
Ab0
s( s + s1 )( s + s2 )
( 3.20 )
Ingeniería de sistemas
Y ( s) =
K1
K
K3
+ 2 +
s s + s1 s + s2
( 3.21 )
que darán y( t ) aplicando la transformada inversa de Laplace
y(t ) = ( K1 + K2 e − s1t + K3e − s2t )u( t )
( 3.22 )
cuya representación gráfica aparece en la Figura 3.2. Los sistemas con este tipo de respuesta
con s1 , s2 > 0 se denominan sobreamortiguados.
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
y (t)
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.2 Respuesta escalón de sistema sobreamortiguado.
b) raíces reales iguales
Y ( s) =
K1
K
K3
+ 2 +
s s + s1 ( s + s1 ) 2
( 3.23 )
que darán y( t ) aplicando la transformada inversa de Laplace
y(t ) = ( K1 + K2 e − s1t + K3te − s1t )u( t )
( 3.24 )
cuya representación gráfica aparece en la Figura 3.3. Los sistemas con este tipo de respuesta
con s1 > 0 se denominan crítico amortiguados.
c) raíces complejas
Y ( s) =
K1
K2
K3
+
+
s s + a − jω s + a + jω
( 3.25 )
Tema 3
con K2 y K3 complejos conjugados.
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
y (t)
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.3 Respuesta escalón de sistema crítico amortiguado.
Agrupando las dos últimas fracciones
Y ( s) =
K1
K '2 ( s + a )
K '3 ω
+
2
2 +
(s + a) 2 + ω 2
s (s + a) + ω
( 3.26 )
siendo K '2 = 2 Re( K2 ) y K '3 = −2 Im( K3 ) . Aplicando la transformada inversa de Laplace
y(t ) = ( K1 + K '2 e − at cos ω t + K '3 e − at sen ω t ) u( t ), o bien
y (t ) = ( K1 + Ke − at cos(ω t + φ ))u(t )
( 3.28 )
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
y (t)
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.4 Respuesta escalón de sistema subamortiguado.
6
( 3.27 )
Ingeniería de sistemas
cuya representación gráfica aparece en la Figura 3.4. Los sistemas con este tipo de respuesta
con a > 0 se denominan subamortiguados.
La respuesta escalón para sistemas de segundo orden admite otra representación en
función de los parámetros frecuencia natural no amortiguada ω n y la relación de
amortiguamiento ξ , especificando el sistema por
ω n2
G ( s) = 2
s + 2ξω n s + ω n2
( 3.29 )
de tal forma que se distinguen tres casos:
• 0 < ξ < 1 , sistema subamortiguado
• ξ = 1 , sistema críticamente amortiguado
• ξ > 1 , sistema sobreamortiguado
Existe un conjunto de curvas normalizadas de respuesta escalón para valores
diferentes de ξ , ilustrado en la Figura 3.5.
Figura 3.5 Respuesta Escalón de Sistemas de Segundo Orden
Sistemas de Orden Superior
Los sistemas de orden superior a dos se pueden expresar como suma de sistemas de
primer y segundo orden, en general. La respuesta de este tipo de sistemas constará en
términos generales de una suma de términos, uno por cada raíz característica, tal que
• si la raíz es real simple producirá una respuesta de salida exponencial.
• si la raíz es real repetida dará una respuesta del tipo potencia del tiempo
multiplicando a una exponencial.
Tema 3
• si las raíces son complejas se producirá una respuesta sinusoidal amortiguada por
una exponencial.
En la Figura 3.6 se muestran diferentes respuestas escalón para sistemas de orden
superior a dos.
Figura 3.6 Respuesta Escalón de Sistemas de Orden Superior.
Ejemplo:
G ( s) =
− 8s 2 + 5
s 4 + 9 s 3 + 37 s 2 + 81s + 52
Aplicando la regla de Ruffini para hallar las raíces de D( s)
D( s) = 0 = ( s + 1)( s + 4)( s 2 + 4 s + 13)
La respuesta del sistema de 4º orden ante escalón será
Y ( s) = G ( s)U ( s) =
Y ( s) =
− 8s 2 + 5
s( s + 1)( s + 4)(( s + 2) 2 + 32)
K1 K2
K
sK4 + K5
+
+ 3 +
s s + 1 s + 4 (( s + 2) 2 + 32)
aplicando la transformada inversa se obtiene y( t ) como
y(t ) = ( K1 + K2 e − t + K3e −4 t + K ' e −2 t cos(3t + φ))u( t )
8
Ingeniería de sistemas
3.3 Respuesta Impulsional
Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya función de transferencia viene
dada por
G ( s) =
Y ( s)
U ( s)
( 3.30 )
se denomina respuesta impulsional a la salida obtenida tras aplicar como entrada un impulso
unitario δ( t ) .
Para obtener la respuesta impulsional se hallará la transformada de Laplace de la
salida, equivalente a
Y ( s) = G ( s)U ( s)
( 3.31 )
Si x (t ) = δ (t ) ⇒ U ( s) = 1, por tanto
Y ( s) = G ( s)
( 3.32 )
y aplicando la transformada inversa de Laplace
y(t ) = g (t )
( 3.33 )
llamada respuesta impulsional del sistema.
La función de transferencia y la respuesta impulsional contienen la misma información
sobre la dinámica del sistema, siendo posible obtener las características dinámicas de un
sistema excitándolo con un impulso unitario y midiendo su respuesta.
Las señales de entrada, salida y respuesta impulsional están relacionadas entre sí a
través de la integral de convolución definida como
y (t ) =
∫
∞
−∞
u(τ )g (t − τ )dτ
( 3.34 )
Para la determinación de g ( t ) se aplicará en la práctica una señal impulso
aproximada, consistente en un pulso de corta duración en comparación con las constantes de
tiempo significativas del sistema, según se muestra en la Figura 3.7.
Tema 3
δ (t )
δ ∆ (t )
1
∆
1
0
0
t
∆
t
Figura 3.7 Impulso Unitario Aproximado.
Sistemas de Primer Orden
Vienen definidos por la ecuación diferencial
τy '+ y = u
( 3.35 )
Aplicando la transformada de Laplace,
τsY ( s) + Y ( s) = U ( s)
( 3.36 )
por tanto la función de transferencia será
1
τs + 1
G ( s) =
( 3.37 )
Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene la respuesta impulsional
1
g ( t ) = e − t / τ u( t )
τ
( 3.38 )
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
g (t)
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.8 Respuesta Impulsional de Sistema de Primer Orden.
10
Ingeniería de sistemas
siendo el parámetro τ la constante de tiempo del sistema.
En la Figura 3.8 se representa gráficamente la respuesta impulsional del sistema.
Sistemas de Segundo Orden
Vienen descritos por la ecuación diferencial
y''+2ξω n y'+ω 2n y = ω 2n u
( 3.39 )
Aplicando la transformada de Laplace
s 2 Y ( s) + 2ξω n sY ( s) + ω 2n Y ( s) = ω n2U ( s)
( 3.40 )
por tanto la función de transferencia es
G ( s) =
ω 2n
s 2 + 2 sξω n +ω 2n
( 3.41 )
La respuesta impulsional será obtenida factorizando G ( s) tal que
ω 2n
G ( s) =
( s − c1 )( s − c2 )
( 3.42 )
Resolviendo la ecuación característica
c1 = − ξω n + ω n ξ 2 − 1
c2 = − ξω n − ω n ξ 2 − 1
( 3.43 )
y según el valor de ξ se pueden dar dos casos:
1) ξ ≠ 1 , raíces distintas
G ( s) =
donde M =
ωn
2 ξ2 − 1
M
M
−
( s − c1 ) ( s − c2 )
( 3.44 )
.
Aplicando la transformada inversa de Laplace se obtiene la respuesta impulsional
Tema 3
g ( t ) = M ( e c1t − e c2 t ) u( t )
( 3. 45 )
que desarrollada toma la forma
(
)
g ( t ) = Me −ξω nt sen ω n 1 − ξ 2 t + φ u( t )
( 3.46 )
presentándose los casos subamortiguado para 0 < ξ < 1 y sobreamortiguado para ξ > 1 .
2) ξ = 1 , raíces repetidas
G ( s) =
ω 2n
(s + ω n )2
( 3.47 )
La respuesta impulsional será obtenida aplicando la transformada inversa de Laplace
g ( t ) = ω n2 te − ω nt u( t )
( 3.48 )
que corresponde al caso crítico amortiguado.
Los parámetros ξ y ω n corresponden al coeficiente de amortiguamiento y a la
frecuencia natural respectivamente. En la Figura 3.9 se representa la respuesta impulsional
para ξ = 0.5 .
2
1 .5
1
g (t)
0 .5
0
-0 .5
-1
0
1
2
3
4
5
t
Figura 3.9 Respuesta Impulsional de Sistema de Segundo Orden.
Sistemas de Orden Superior
En este caso se procederá a la descomposición de G ( s) en términos de primero y
segundo orden cuyas respuestas impulsionales son conocidas.
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Ingeniería de sistemas
3.4 Respuesta Frecuencial de Sistemas en Tiempo Continuo
La respuesta frecuencial de un sistema consiste en la respuesta en régimen permanente
del mismo ante una entrada sinusoidal.
La entrada vendrá dada por
x( t ) = X sen ω t
( 3.49 )
La función de transferencia puede ser descrita como
G ( s) =
P ( s)
P ( s)
=
Q( s) ( s + s1 )( s + s2 ) ( s + sn )
( 3.50 )
La transformada de Laplace de la salida será
Y ( s) = G ( s ) X ( s ) =
P ( s) X ( s)
Q ( s)
( 3.51 )
• Si Y ( s) posee únicamente raíces distintas
P ( s) ω X ( s)
Q ( s) ( s 2 + ω 2 )
( 3.52 )
b
b
a
a'
+
+ 1 + + n
s + jω s − jω s + s1
s + sn
( 3.53 )
Y ( s) =
y descomponiendo en fracciones simples
Y ( s) =
siendo a , a ' y bi constantes.
La transformada inversa de Laplace daría
y (t ) = ae − jω t + a ' e jω t + b1e − s1t + +bn e − sn t
( 3.54 )
Para un sistema estable Re( − si ) < 0 , luego
lim e − si t = 0
t →∞
por tanto en estado estacionario solo se considerarán los dos primeros factores.
( 3.55 )
Tema 3
• Si Y ( s) posee raíces s j con multiplicidad m j , y( t ) contendrá términos t hj e
− s jt
tales
que
lim t hj e
− s jt
t →∞
=0
( 3.56 )
Por lo tanto la respuesta en régimen permanente ante entrada senoidal vendrá dada por
y(t ) = ae − jω t + a ' e jω t
( 3.57 )
donde los coeficientes a y a' vendrán dados por
a=
G ( s)ω X
( s + jω )
= − XG ( − jω ) / 2 j
s2 + ω 2
s =− jω
( 3.58 )
G ( s)ω X
( s − jω )
= XG ( jω ) / 2 j
s2 + ω 2
s = jω
( 3.59 )
a' =
siendo G ( jω) = G ( jω ) e jφ y G ( − jω) = G ( jω ) e − jφ .
Por lo tanto, sustituyendo las expresiones se obtiene la respuesta del sistema ante la
señal senoidal
y ( t ) = X G ( jω )
(e j (ωt +φ ) − e − j (ωt +φ ) )
2j
y(t ) = X G ( jω ) sen(ω t + φ) = Y sen(ω t + φ)
( 3.60 )
( 3.61 )
siendo
Y = X G ( jω ) , φ = arg( G ( jω ))
( 3.62 )
De la expresión anterior se deduce que la respuesta en régimen permanente ante una
señal de entrada senoidal es otra señal senoidal de la misma frecuencia pero cuya amplitud y
fase son diferentes a la de la entrada.
A la función G ( jω ) se le denomina respuesta impulsional en frecuencia del sistema o
simplemente respuesta en frecuencia y describe al sistema de la misma forma que lo hacía la
función de transferencia G ( s) , de la cual es una particularización para s = jω .
La denominación de respuesta impulsional en frecuencia viene dada por la definición
de la respuesta impulsional de un sistema,
14
Ingeniería de sistemas
∞
y(t ) = ∫ x( τ ) g ( t − τ ) dτ
−∞
( 3.63 )
Aplicando la transformada de Laplace y haciendo s = jω se obtiene
Y ( jω ) = G ( jω ) X ( jω )
( 3.64 )
Si se aplica x (t ) = δ (t ) , entonces X ( jω ) = 1, luego
Y ( jω ) = G ( jω )
( 3.65 )
por tanto G ( jω ) es la respuesta impulsional en frecuencia del sistema.
Para un sistema definido por la ecuación diferencial
a 0 y n ) + a1 y n−1) + + a n−1 y'+ a n y = b0 x m) + +bm−1 x'+bm x
( 3.66 )
la respuesta en frecuencia del sistema se obtendrá a partir de la función de transferencia
haciendo s = jω , esto es,
b0 ( jω ) m) + +bm−1 jω + bm
G ( jω ) =
a0 ( jω ) n ) + + an−1 jω + an
( 3.67 )