1. Probar que si un sistema de ecuaciones linelaes tiene más de

1. Probar que si un sistema de ecuaciones linelaes tiene más de una solución entonces tiene infinitas soluciones.
2. Probar que (AB)T = AT B T .
3. Demostrar que la inversa de una matriz no singular es única.
4. Probar que si A es no singular (A−1 )−1 = A
5. Probar que si A es no singular y c 6= 0, (cA)−1 = c−1 A−1
6. Probar que si A es no singular, (At )−1 = (A−1 )t
7. Probar que si A y B invertibles entonces (AB)−1 = B −1 A−1
8. Probar que si A es invertible entonces el sistema Ax = b tiene solución única
9. Probar que si una matriz es triangular inferior entonces su determinante es igual al producto de los elementos
de la diagonal principal.
10. Probar que una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero.
11. Enunciar y probar las condiciones equivalentes para una matriz singular.
12. Probar la fórmula para el cálculo de la inversa de una matriz con la matriz adjunta.
13. Enunciar y probar la regla de Cramer.
14. Una matriz de orrden n es cuasi-simétrica si At = −A. Escriba una fórmula que relacione det(A) y det(At )
15. Definir espacio vectorial. Definir subespacio vectorial.
16. Demostrar que cada vector de un espacio vectorial tiene un único inverso aditivo.
17. Enunciar y demostrar el teorema que da condiciones suficientes para que un subconjunto de un espacio
vectorial, sea un subespacio vectorial.
18. Demostrar que la intersección de dos subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V . Dar un
ejemplo no trivial.
19. Probar que para todo v̄ en un espacio vectorial, 0v̄ = 0̄.
20. Probar que para todo v̄ en un espacio vectorial, c0̄ = 0̄.
21. Probar que para todo v̄ en un espacio vectorial, si cv̄ = 0̄ entonces c = 0 o v̄ = 0̄.
22. Probar que para todo v̄ en un espacio vectorial, (−1)v̄ = −v̄.
23. Definir conjunto generador de un espacio vectorial y conjunto generado por un conjunto S.
24. Probar que un conjunto generado por un conjunto finito de vectores es un subespacio y que es el menor
subespacio que contiene dicho conjunto.
25. Probar que un conjunto de dos o mas vectores es linealmente dependiente si y sólo si uno es combinación
lineal de otros.
26. Dar una condición geométrica necesaria y suficiente para que dos vectores no nulos de R2 sean linealmente
independientes.
27. Dar una condición geométrica necesaria y suficiente para que tres vectores no nulos de R3 sean linealmente
independientes.
28. Enunciar y probar el teorema de unicidad de la representación con respecto a una base.
29. Enunciar y probar el teorema que afirma que todo conjunto con mayor cantidad de vectores que una base,
es linealmente dependiente.
30. Probar que si una base de un espacio vectorial V tiene n vectores entonces todas las bases de V tienen n
vectores.
31. Probar que el espacio nulo de una matriz es un espacio vectorial.
32. Enunciar y probar el teorema que relaciona el rango, la nulidad y las columnas de una matriz A.
33. Enunciar y probar el teorema sobre las soluciones de un sistema lineal no homogéneo.
34. Probar que Ax̄ = b̄ es consistente si y sólo si b̄ está en el espacio columna de A.
35. Definir vector de coordenadas respecto de una base y dar un ejemplo sobre el espacio vectorial P2 . Muestre
con un ejemplo como calcular la matriz de transición para un espacio de dimensión 2.
36. Definir producto interno. Enunciar y demostrar tres propiedades del producto interno. Definir norma de un
vector, distancia y ángulo entre vectores. Definir proyección ortogonal.
37. Probar que en un espacio vectorial con producto interno < 0̄, v̄ >= 0.
38. Para un espacio vectorial con producto interno enunciar las desigualdades de Cauchy-Schwarz, del triángulo
y el teorema de pitágoras.
39. Para un espacio vectorial con producto interno, probar la desigualdad triangular.
40. Definir conjunto ortogonal y probar que los conjuntos ortogonales son linealmente independientes.
41. Enunciar y demostrar el teorema sobre coordenadas con respecto a una base ortonomal.
42. Escribir el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.
43. Definir subespacios ortogonales y complemento ortogonal. Definir suma directa y escribir tres propiedades
de los subespacios ortogonales.
44. Sea S subespacio de Rn . Probar que S ⊥ subespacio de Rn y que S ∩ S ⊥ = {0̄}.
45. Sea S subespacio de Rn . Probar que S ∩ S ⊥ = {0̄} y que (S ⊥ )⊥ = S.
46. Escribir una fórmula para obtener la proyección de un vector sobre un subespacio, dada una base ortonormal
del mismo.
47. Enunciar el teorema sobre los subespacios fundamentales de una matriz.
48. Definir transformación lineal y probar que si T es una transformación lineal T (0̄) = 0̄ y que T (−v̄) = −T (v̄).
Escribir una transformación lineal de Mm,n a Mn,m .
49. Demostrar que el kernel de una transformación lineal es un espacio vectorial.
50. Demostrar que el recorrido de una transformación lineal es un espacio vectorial.
51. Demostrar que una transformación lineal es uno a uno si y sólo si el kernel de la transformación es el vector
nulo.
52. Demostrar que una transformación lineal entre dos espacios de igual dimensión es sobre si y sólo es una a
uno.
53. Enunciar y demostrar el teorema sobre la matriz estándar de una transformación lineal.
54. Enunciar el teorema sobre la matriz de transformación para bases no estándar.
55. Definir matrices semejantes y probar que define una relación de equivalencia.
56. Definir autovalor y autovector de una matriz. Probar que los autovectores de una matriz forman un subespacio.
57. Definir matriz diagonalizable.
58. Probar que dos matrices semejantes tienen los mismos autovalores. (Teor 7.4)
59. Enunciar el teorema que da una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable
(TEOR 7.5)
60. Enunciar y probar el teorema que da una condición suficiente para la diagonalización. (TEOR 7.6)
Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas, justificando adecuadamente.
1. Si A y B matrices n × n, entonces (AB)2 = A2 B 2
2. Si A es n × n y no es la matriz nula, entonces A2 no es matriz nula.
3. Si A es n × n y A 6= In entonces A2 6= In
4. Si A es n × n y A4 = 0, entonces (In − A)−1 = In + A + A2 + A3 .
5. Una matriz A n × n es idempotente si A2 = A. Las únicas matrices n × n idempotentes son la matriz
identidad y la matriz nula.
6. Una matriz A n×n es idempotente si A2 = A. Si A y B son matrices idempotentes n×n entonces AB = BA.
7. Sea b una matriz n × 1 tal que bt b = 1. Si H = In − 2bbt entonces H −1 = H t (La matriz H = In − 2bbt
es una matriz de Householder ).
8. Los sistemas de ecuaciones lineales o no, tiene una, ninguna o infinitas soluciones.
9. (AB)t = At B t si A y B matrices de orden n × n
10. (AB)−1 = A−1 B −1
11. Si AC = BC entonces A = B
12. Si A es una matriz cuadrada entonces det(cA) = c det(A)
13. Dados tres puntos en el plano, siempre existe una función polinómica de grado a lo sumo dos, cuya gráfica
pase por esos puntos.
14. Dados cuatro puntos en el plano, siempre existe una función polinómica de grado exactamente cuatro, cuaya
gráfica pase por esos puntos.
15. El conjunto de los polinomios de grado 2 con las operaciones habituales entre polinomios, es un espacio
vectorial.
16. El conjunto de los vectores de R3 con componentes racionales es un subespacio de R3 (con las operaciones
habituales).
17. El conjunto de los vectores de R2 cuya segunda componente es el cubo de la primera es un subespacio de
R2 (con las operaciones habituales).
18. La unión de dos subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V .
19. Si S = {v̄, w̄} es un conjunto linealmente independiente entonces M = {v̄ − w̄, v̄ + 2w̄} es un conjunto
linealmente independiente.
20. La dimensión del subespacio W = {(2t − s, t, s, s + t) : s ∈ R, t ∈ R} ⊂ R4 es 3.
21. Si p, q y r son polinomios y los conjuntos {p, q}, y {q, r} son linelamente independientes, entonces {p, r} es
linealmente independiente.
22. Si Ax = b es un sistema con 800 ecuaciones y 900 incógnitas y el espacio nulo de A está generado por 100
vecores linealmente independientes, entonces el sistema Ax = b es consistente para todo b ∈ R800 .
23. El conjunto X = {1 + ax + ax4 , 1 + bx + bx4 , 1} ⊂ P4 es linealmente independiente si a 6= b.
24. El conjunto X = {1 + ax + ax2 , 1 + bx + bx2 , x2 } ⊂ P4 es linealmente independiente si a 6= b.
25. El conjunto W de vectores de R2 localizados en el primer cuadrante es un subespacio de R2 .
26. El conjunto Z = {p(x) = ax3 + b : a ∈ R, b ∈ R} es subespacio de P3 .
27. La transformación T : P2 → P1 tal que T (a + bx + cx2 ) = (a − b) + (b + c)x es lineal.
28. La transformación T : M2×2 → R2 tal que
T
a b
c d
=
a
c
es lineal.
29. Si C es una matriz invertible n × n y T : Mn×n → Mn×n tal que T (X) = C −1 XC, entonces T es lineal.
30. La transformación lineal T : P1 → P1 tal que T (a + bx) = (2a + b) + (−3a + 4b)x es biunı́voca.
31. La siguiente operación define un producto interno en R3 : para ū = (u1 , u2 , u3 ) y v̄ = (v1 , v2 , v3 ), < ū, v̄ >=
u1 v1 + 2u2 v2 + u3 v3 .
32. El producto punto es el único producto interno que se puede definir en R2 .
33. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracterı́stico.
34. Si A es invertible y 10 es autovalor de A entonces 0.1 es autovalor de A−1