1.Variables ficticias en el modelo de regresión: ejemplos. 2

J.M.Arranz y M.M. Zamora
1.Variables ficticias en el modelo de regresión: ejemplos.
Las variables ficticias recogen los efectos diferenciales que se producen en el
comportamiento de los agentes económicos debido a diferentes causas como las
siguientes:
• De tipo temporal: Para recoger efectos diferentes en función del tiempo en
que se producen las observaciones de las variables (por ejemplo, consumo en
periodos de guerra o paz).
• De carácter espacial: Para tener en cuenta la pertenencia o no de la
observación a una determinada zona (por ejemplo, consumo en zonas rurales o
urbanas).
• De tipo cualitativo: Para recoger los efectos de variables cualitativas como el
género, el estado civil, tener o no cargas familiares, nivel de educación, etc. sobre
el comportamiento de los agentes económicos en decisiones de consumo, de
oferta de trabajo, etc.
• Otras causas: Para conocer los efectos que las variables cuantitativas tienen
sobre la variable endógena, distinguiendo por submuestras (por ejemplo, la
propensión marginal al consumo de individuos de rentas altas o bajas).
2. Interpretación de los efectos de las variables explicativas
ficticias: Tipos de modelos.
Para interpretar los efectos de las variables explicativas ficticias en un modelo
de regresión se utiliza un ejemplo sencillo. Se supone que tenemos una muestra de
individuos ocupados y una característica ocupacional que indica si el individuo es
licenciado o no. A partir de este supuesto se pretende explicar el nivel salarial de
los individuos y para ello se plantea la siguiente regresión:
Yi = â 1 + â 2 X 2i + u i
(1)
donde Yi es el salario individual y X2i es una variable ficticia que toma el valor
1 si el individuo es licenciado y 0 en caso contrario. En (1) β 1 mide el salario
esperado de un trabajador no licenciado y β 2 mide la diferencia entre los salarios
esperados del trabajador licenciado y no licenciado. Estos efectos de los
parámetros se pueden comprobar si se toman esperanzas de la expresión (1). Así:
â 1 si X 2i = 0
E(Yi ) = 
â 1 + â 2 si X 2i = 1
(2)
Existe un test relevante que es contrastar Ho :β 2 =0. Si se acepta esta hipótesis,
no hay diferencias salariales entre trabajadores licenciados y aquellos que no lo
son.
Asimismo, si se considera que en lugar de tener una variable de cualificación
con dos valores distintos (licenciado o no), se tiene que hay trabajadores con tres
niveles diferentes de cualificación (licenciado, diplomado y no cualificado) que
tienen diferente salario. Para contrastarlo se plantea la siguiente ecuación:
Yi = â 1 + â 2 X 2i + â 3 X3i + u i
(3)
donde Yi es el salario individual; X2i es una variable ficticia que toma el valor
1 si el individuo es licenciado, 0 en caso contrario; y X3i toma el valor 1 si el
individuo es diplomado, 0 en caso contrario. Tomando valores esperados del
salario en la expresión (3):
1
â 1 si X 2i = 0 y X 3i = 0

E (Yi ) = â 1 + â 2 si X 2i = 1 y X3i = 0
â + â si X = 0 y X = 1
 1
3
2i
3i
(4)
donde β 1 mide el salario esperado de un trabajador no cualificado; β 2 mide la
diferencia entre el salario esperado de un trabajador licenciado y no cualificado; y
β 3 la diferencia entre el salario esperado de un trabajador diplomado y no
cualificado. Nuevamente, existen contrastes relevantes1 . Por ejemplo, si se
contrasta Ho :β 2 =0 y se acepta la hipótesis, no hay diferencias entre los salarios
medios de los trabajadores licenciados y no cualificados. Tampoco habría
diferencias salariales entre los trabajadores diplomados y no cualificados si se
acepta la hipótesis Ho :β 3 =0.
Finalmente, se podría contrastar si hay diferencias entre los salarios medios de
los trabajadores licenciados y diplomados a partir de la expresión (3). En este caso
se podría plantear un test “F” para la hipótesis nula Ho :β 2 =β 3 . Sin embargo,
operando con las variables ficticias del modelo se puede realizar un contraste más
sencillo mediante la distribución “t”. Si se escribe el modelo de regresión (3)
como:
Yi = γ 1 + γ 2 X 2i + γ 3 (X 2i + X 3i ) + u i
1
(5)
Cuando se introducen variables ficticias en un modelo de regresión y el atributo está compuesto de “m”
alternativas, se deben incluir m-1 variables ficticias. De lo contrario, se produce un problema de
multicolinealidad perfecta conocido como trampa de las variables ficticias en el modelo a no ser que se
excluya la constante cuando se incluyen “m” variables cualitativas.
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estando Yi , X2i y X3i definidas como antes, y expresando el valor esperado del
salario como:
ã 1 si X 2i = 0 y X3i = 0

E(Yi ) = ã 1 + ã 2 + ã 3 si X 2i = 1 y X 3i = 0
ã + ã si X = 0 y X = 1
 1
3
2i
3i
(6)
Entonces, el contraste se puede realizar sobre la hipótesis Ho :γ2 =0 mediante un
“t” ratio.
Los modelos planteados hasta ahora son muy sencillos, y pueden ser poco
realistas porque no incluyen otras variables que influyen sobre los salarios de los
trabajadores. Si se tiene información no solo de los salarios y el nivel de
cualificación sino también de otras variable como la edad, los años de experiencia,
el sector de actividad, etc., la incorporación de esas variables se realizaría sin
ninguna dificultad. Así, se puede plantear un modelo como:
Yi = â 1 + â 2 X 2i + ãZ i + u i
(7)
donde X2i indica si el trabajador es cualificado o no y Zi es el número de años
de antigüedad en la empresa del trabajador. La expresión (7) se denomina modelos
de variables ficticias de tipo I. En este modelo la cualificación sólo afecta a la
constante u ordenada en el origen. De forma que los salarios medios para los
trabajadores se expresarían como:
â 1 + â 2 + ãE(Z i ) si se trata de un trabaja dor cualific.
E (Yi ) = 
â 1 + ãE(Z i ) si se trata de un trabaja dor no cualific.
(8)
Podría darse el caso que la cualificación tuviera efectos sobre los pagos que por
antigüedad tienen los trabajadores. Así, el modelo de variables ficticias tipo II
recogería estos hechos
3
Yi = â 1 + ãZi + ϕ(Z i X 2i ) + u i
(9)
Y los salarios esperados serían:
â 1 + ( ã + ϕ)E(Z i ) si se trata de un trabaja dor cualific.
E(Yi ) = 
â 1 + ãE(Z i ) si se trata de un trabaja dor no cualific.
(10)
El modelo de variables ficticias tipo III no sólo presenta diferencias en la
ordenada en el origen como en el de tipo I o cambios en la pendiente como en el
de tipo II. Sino también recoge efectos de la cualificación en los salarios medios,
como efectos de interacción con la experiencia del trabajador.
Yi = â1 + β2 X2i + ãZi + ϕ(Zi X2i ) + u i
(11)
donde los valores esperados de los salarios medios de los trabajadores serían:
â 1 + â 2 + (ã + ϕ)E(Z i ) si se trata de un trabaja dor cualific.
E(Yi ) = 
(12)
â 1 + ãE(Z i ) si se trata de un trabaja dor no cualific.
Incluso se podrían plantear regresiones separadas para cada submuestra,
cualificados y no cualificados, y verificar si existen diferencias. De esta forma se
evita la introducción de una variable ficticia que aproxime la característica por
niveles de cualificación. Las dos regresiones se pueden expresar de la siguiente
manera:
Grupo de cualificados: Yic = α1 + α2 Z ic + u ic
Grupo de no cualificados: Yinc = ë 1 + ë 2 Z inc + u inc
(12b)
Haciendo el supuesto de igualdad de varianzas entre los dos grupos, la
diferencia entre los coeficientes correspondientes al término independiente de las
regresiones (12b) coincide con el coeficiente β 2 de la regresión (8). Además, la
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diferencia entre los coeficientes correspondientes a la pendiente es igual a los
coeficientes asociados a las interacciones de la variable ficticia cualificación con
la variable explicativa número de años de antigüedad en la empresa del trabajador,
es decir, α 2 -λ2 =ϕ en (9), etc. Estas igualdades seguirán siendo validas si
sustituimos los coeficientes por sus correspondientes estimadores. Sin embargo, al
separar la muestra total en dos grupos, la estimación de la varianza de las
perturbaciones difiere de un grupo a otro, y, por tanto, las desviaciones típicas
estimadas de los distintos coeficientes variarán de utilizar la ecuación (9) a
realizar su estimación con las ecuaciones (12b). Esto provoca diferencias en los
valores de los estadísticos t correspondientes a los coeficientes estimados entre las
ecuaciones (9) y (12b). Por tanto, la elección entre (9) y (12b) debe tenerse en
cuenta si la principal motivación del estudio es conocer cómo afectan de forma
diferente el número de años de antigüedad al caso de los individuos cualificados y
no cualificados, o bien simplemente, la cuantía de esta diferencia. En el primer
caso se utilizará la estimación por grupos, ecuación (12b), mientras que en el
segundo caso se puede utilizar la ecuación (9) para todas las observaciones
conjuntamente.
Finalmente, se va considerar la utilidad de las variables ficticias para
desestacionalizar una serie temporal. Al estudiar la evolución temporal de
cualquier magnitud económica utilizando un conjunto de variables explicativas, es
conveniente tener en cuenta las variaciones que se producen como consecuencia
del fenómeno de la estacionalidad. La estacionalidad es una variación de la serie
de periodicidad inferior a un año.
Los fenómenos estacionales son de carácter cultural o institucional, y no están
en principio, relacionados con ningún factor estrictamente económico.
Ejemplo de utilidad de las variables ficticias para el tratamiento de la
estacionalidad.
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Consideremos por ejemplo el Índice de Producción Industrial en España (IPI).
Este indicador sufre una caída espectacular durante el mes de Agosto debido a las
vacaciones de verano. También, sufre otra más pequeña en el mes de Diciembre
por las fiestas de Navidad.
Si el objetivo es estudiar predicciones para el IPI mediante una serie trimestral,
la cartera de pedidos (P) se incluye al ser un factor que anticipa las variaciones del
IPI, además de tres variables ficticias d1 ,d2 ,d3 , donde d1 toma el valor 1 se la
observación t-ésima se produce en el segundo trimestre, 0 en caso contrario; d2
toma el valor 1 si la observación t- ésima se corresponde al tercer trimestre, 0 en
caso contrario; d3 toma el valor 1 si la observación t- ésima corresponde al cuarto
trimestre, 0 en caso contrario.
El modelo sería:
IPIt = á 1 + á 2 Pt + á 3 d1 + á 4 d 2 + á 5 d 3 + u t
Donde α 3 ,α 4 ,α 5 miden el efecto estacional diferencial con respecto al
primer trimestre, que es la categoría de referencia. Un supuesto implícito en esta
forma de cuantificar la estacionalidad es que ésta no varía de un año a otro.
3. Variables endógenas cualitativas y tratamiento: modelos de
probabilidad lineal, probit y logit.
En este apartado se plantean tres modelos diferentes para el tratamiento de
variables endógenas cualitativas binarias. Si se toma el ejemplo que trata de
estudiar la participación o no en el mercado de trabajo de la mujer en función de
variables como el número de hijos, el salario del marido, el nivel educativo o, la
edad, etc. la variable dependiente tiene naturaleza dicotómica. En otras palabras
tiene dos opciones: participar en el mercado de trabajo o no formar parte del
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mismo. Pasemos primero a analizar el modelo de probabilidad lineal, más tarde el
modelo probit y logit.
3.1 El modelo de probabilidad lineal.
Este modelo se puede presentar de la siguiente manera:
Yi = â 1 + â 2 X 2i + â 3 X3i + .... + â ki X ki + u i i
(13)
donde Yi toma el valor 1 si se elige la primera opción, y 0 en caso contrario; Xji
(j=2,….,k) son variables explicativas y ui es una perturbación aleatoria que
cumple las hipótesis expuestas para el modelo clásico de regresión. Para
interpretar el modelo expuesto a través de la expresión (13), se pueden tomar
esperanzas y considerar que la variable dependiente toma sólo valores 1 y 0.
E(Yi ) = â 1 + â 2 X 2i + â 3 X 3i + .... + â ki X ki =
= 1 • P(Y = 1) + 0 • P (Y = 0) = P(Y = 1)
(14)
^`
Los valores predichos para la variable endógena Yi miden la probabilidad de
que el individuo i-ésimo elija la primera opción (denotada por el valor 1), dados
los valores de las variables explicativas X2i, X3i,…Xki para dicho individuo. La
estimación de este modelo por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) presenta tres
inconvenientes que se exponen a continuación:
En primer lugar, las perturbaciones aleatorias “ui” no siguen una distribución
normal. Sino una distribución binomial. No obstante, la forma de la distribución
de ui no es problema porque para una muestra grande la distribución binomial se
aproxima a una normal.
En segundo lugar, el término ui es heterocedastico. La heterocedasticidad
conlleva problemas de eficiencia aunque los estimadores por MCO sean
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insesgados y consistentes. Tampoco es un gran inconveniente porque se puede
realizar una transformación adecuada para que la perturbación aleatoria sea
homocedastica.
En tercer lugar, el mayor inconveniente es que no hay ninguna garantía de que
las predicciones que el modelo proporciona de Y estén restringidas al intervalo 0 y
1. Este hecho constituye un grave problema asociado con el modelo de
probabilidad lineal.
3.2 El modelo probit.
Debido a los inconvenientes manifestados anteriormente en el modelo de
probabilidad lineal, se necesita transformar el modelo original de tal manera que
restrinja la predicción de Y a estar dentro del intervalo (0,1). Esto requiere
trasladar los valores que pertenecen a una recta real a un intervalo, de manera que
mantengan las propiedades de un modelo de regresión. Para ello, es necesario
utilizar para E(Yi)= Pi una función de distribución de probabilidad que se escriba
como:
Pi = F(â 1 + â 2 X 2i + â 3 X3i + .... + â ki X ki )
(15)
Bajo el supuesto de transformación del modelo utilizando una función de
distribución de probabilidad uniforme, se obtiene la versión restringida del
modelo de probabilidad lineal. No obstante, entre las muchas alternativas para F(.)
en (15), las más comunes son la distribución normal (modelo probit) y la logística
(modelo logit).
Para comprender el funcionamiento del modelo, se supone que existe una
variable continua latente (no observada) que es función lineal de las variables
explicativas:
8
Yi* = â 1 + â 2 X 2i + â 3 X 3i + .... + â ki X ki + u i
(16)
Las observaciones de Yi * no están disponibles. Estos datos solo se conocen si
las observaciones individuales están en una categoría (valores altos de Yi * ) o en
otra (valores bajos de Yi * ). De esta forma se puede expresar la probabilidad de
observar los valores altos de Yi * como:
Pi = P(Yi = 1) = P[u i > −(â 1 + â 2 X 2i + â 3 X 3i + .... + â ki X ki )] =
= 1 − F[− (â 1 + â 2 X 2i + â 3 X 3i + .... + â ki X ki ) ] = 1 − F(z i )
(17)
siendo zi= − (â 1 + â 2 X 2i + â 3 X 3i + .... + â ki X ki ) .
También, se puede calcular la Pr (Yi=0) mediante el complementario al suceso
anterior F(-zi)).Además, como ui está distribuida como una normal, y por tanto,
también lo está zi, las probabilidades en (17) se pueden calcular mediante la
expresión:
1
Pi= F(zi)=
2ð
− zi
∫e
− t2
z
dt
−∞
que se corresponde con la función de distribución de la normal estándar.
3.3 El modelo logit.
Si se supone que la distribución de F(.) en (15) es la logística, tenemos el
modelo logit. La expresión de la función logística es:
Pi = F(z i ) =
1
1 + e−zi
9
(18)
siendo “e” la base del logaritmo natural. En realidad, el modelo logit puede
estimarse mediante el procedimiento de MCO. De forma que:
e-zi =
1 - Pi
Pi
y tomando logaritmos naturales queda:
 P 
Ln  i  = á + â 2 X 2i + ... + â k X ki
 1 − Pi 
(19)
Si se dispone de datos apropiados, es decir de frecuencias para cada individuo,
el modelo expresado en (19) se estima por MCO sin dificultad. Sin embargo, la
estimación del modelo logit y probit se realiza normalmente por el procedimiento
máximo verosímil.
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