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Inecuaciones. Programación lineal
Selectividad CCSS Cataluña
1. [2012] [JUN] Construimos en el plano el cuadrilátero de vértices A(1,1), B(2,4), C(4,5) y D(3,0), cuyos lados son los segmentos
AB, BC, CD y DA.
a) Escriba las desigualdades que determinan la región del plano contenida y sobre los lados del cuadrilátero ABCD.
b) Utilice las desigualdades anteriores para justificar si los puntos P(3,1), Q(3,4) y R(5,2) son interiores, exteriores o están
sobre los lados del cuadrilátero.
2. [2011] [JUN] Considerando la región sombreada de la figura:
a) Determine el sistema de inecuaciones que la delimita:
b) Calcule el valor máximo de la función z = x+2y en esta región, e indique para qué
valores se alcanza dicho máximo.
3. [2010] [SEP] Considere la región del plano representada en la siguiente figura:
a) Determine las inecuaciones que definen los puntos interiores y los puntos de la frontera
del cuadrilátero ABCD.
b) Determine los puntos en que se alcanza el máximo y el mínimo de la función
f (x, y) = 2x–2y+7, y diga cuáles son esos valores.
4. [2010] [JUN] Considere el triángulo ABC que se muestra en la siguiente figura.
a) Escriba el sistema de inecuaciones que determinan el triángulo ABC y su interior.
b) Indique los puntos de la región indicada en que la función z = 2x+y alcanza su valor máximo.
2x+y  10
x+y  8
5. [2009] [SEP] Considere el siguiente sistema de inecuaciones:
x4
x0
y0
a) Represente gráficamente la región de soluciones.
b) Determine el máximo de la función f(x,y) = 2x+y en dicha región. Diga para qué valores se alcanza este máximo.
6. [2009] [JUN] La figura representa la región de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
a) Encuentra el sistema de inecuaciones que determina esta región.
b) Determina el valor máximo de la función f1(x,y) = x+y+1 en esta región, y di en qué puntos se
alcanza este máximo.
c) Encuentra el valor de a para que la función f2(x,y) = ax+2y+3 alcance el máximo en el segmento de
extremos (4,2) y (5,0).
d) Determina los valores de a para los cuales la función f2 = ax+2y+3 alcanza el máximo sólo en el
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punto (4,2).
x0
y0
.
7. [2009] [JUN] Considera el sistema de inecuaciones siguiente:
2x+5y  10
3x+4y  12
a) Dibuja la región de soluciones del sistema.
b) Determina el máximo de la función f(x,y) = x+3y sometida a las restricciones anteriores.
x-4y  -11
x+y  4
8. [2008] [SEP] Considere el siguiente sistema de inecuaciones:
.
x-4y  -6
x+y  9
a) Dibuje la región de soluciones del sistema.
b) Una función objetivo f(x, y) = ax+by+c toma su valor mínimo en dicha región en el punto (4,15/4). Diga si también toma el valor
mínimo en otros puntos de la región y, en ese caso, determínelos.
x0
y0
9. [2008] [JUN] Considere el siguiente sistema de inecuaciones:
.
x+3y  18
x+y  10
a) Represente gráficamente la región de soluciones.
b) Determine el máximo de la función f(x,y) = 3x+5y en dicha región y para qué valores se alcanza dicho máximo.
c) Determine el máximo de la función f(x,y) = 3x+3y en dicha región y para qué valores se alcanza dicho máximo.
10. [2008] [JUN] En un problema de programación lineal, la región de soluciones es el cuadrado de vértices (1,1), (1,3), (3,3) y (3,1), y
la función objetivo es B(x, y) = 3x+2y.
a) Determine en qué punto es máxima la función objetivo y cuál es este valor máximo.
b) Dé un conjunto de inecuaciones que determine la región de soluciones.
11. [2007] [SEP] Considere el siguiente sistema de inecuaciones:
x-y+1  0
x+y  1 .
5x+y  13
a) Represente gráficamente la región factible.
b) Calcule el máximo de la función f(x, y) = x–3y en dicha región.
12. [2007] [SEP] Escriba un sistema de inecuaciones lineales que tengan como zona solución el interior del paralelogramo que tiene
los vértices A(1, 1), B(5, 5), C(3, 8) y D(–1, 4).
x+2y  8
13. [2007] [JUN] Considere el siguiente sistema de inecuaciones: x+y  5 .
x-5y  0
a) Resuélvalo gráficamente.
b) Halle todas las soluciones enteras.
14. [2007] [JUN] Determine un sistema de inecuaciones que tenga como conjunto de soluciones el interior y los lados del triángulo
del plano de vértices (0, 0), (2, 3) y (3, 1).
xy
para que la región de las soluciones del sistema resultante tenga forma
3y  x+12
de paralelogramo. Justifique la elección que ha hecho.
15. [2006] [SEP] Añada inecuaciones al sistema
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16. [2006] [JUN] La función objetivo de un problema de programación lineal es
f(x,y) = ax–by+c, donde a, b, c son números positivos. Averigüe en cuál de los dos
puntos A ó B del gráfico la función objetivo toma un valor mayor. Razone la respuesta.
x5
2  y  4.
y-x  0
b) Halle todos los puntos (x, y) que sean soluciones enteras del sistema y cumplan x = y.
17. [2005] [SEP] a) Resuelva gráficamente el sistema de inecuaciones
3x+y  10
x-3y  0
b) Calcule el valor de la función f(x,y) = x–4y en el vértice y explique razonadamente si corresponde a un extremo de f(x, y) y de
qué clase es.
18. [2005] [JUN] a) Determine la región solución del sistema y su vértice:
19. [2004] [SEP] Halle los puntos de la región del dibujo en los que la función
f(x,y) = 2x+4y+5 toma el valor máximo y diga cuál es el beneficio máximo.
20. [2004] [SEP] Maximice la función f(x,y) = 2x–3y con las restricciones: x+2y = 24, 2x+y = 10, x = 0, y = 0.
21. [2004] [JUN] Sea S la región del plano de coordenadas de valor mayor o igual que cero y tal que sus puntos cumplen que:
(i) la media aritmética de las coordenadas es menor o igual que 5.
(ii) el doble de la abscisa más la ordenada es mayor o igual que 5.
a) Represente gráficamente el conjunto S.
b) Determine en qué puntos de S la función f(x,y) = 2x+y toma el valor máximo.
22. [2004] [JUN] El cuadrilátero ABCD es la región solución de un sistema de inecuaciones
lineales. Los lados del cuadrilátero también forman parte de la región solución.
a) Halle el valor máximo y el mínimo de la función f(x,y) = x+3y en dicha región.
b) ¿En qué puntos de la región solución toma la función del apartado anterior el valor
máximo y en qué puntos el valor mínimo?
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23. [2003] [SEP] Dibuje la región del plano determinada por el siguiente sistema de inecuaciones:
x+y  5
-x+y  1
y calcule el máximo de
x+2y  2
y0
la función f(x, y) = 2x+2y en dicha región.
24. [2003] [JUN] Determine el sistema de cuatro inecuaciones con dos incógnitas que tiene
como solución el polígono sombreado dibujado en la figura, suponiendo que los lados
también son solución.
Soluciones
1. a) 3x-y  2; x-2y  -6; 5x-y  15; x+2y  3 b) P, Q dentro; R fuera 2. a) y  0 ; x+y  6 ; x+2y  10 b) 10, en (2,4)-(10,0) 3. a) x+y  10; x-y  0; x  1; 3y-2x  10
b) min: 1 en (1,4); max: 7 en BC. 4. a) 2x+y  8; x  2; y  0 b) segmento BC. 5. a)
7; (4,2)-(2,4) c) 4 d) a(2,4)
7. a)
b) 6 en (0,2)
8. a)
(10,0)-(6,4) 10. a) (3,3); 15 b) 1  x  3; 1  y  3 11. a)
(3,2), (4,1),(4,2), (5,1)
14. 2y  3x; 3y  x; y  7-2x
mínimo 19. (5,1)-(3,2); 19 20. 10 en (5,0) 21. a)
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b) 10 en (4,2)-(2,6) 6. a) x  0; y  0; y  4; y  -x+6; y  -2x+10 b)
b) segmento (5,4)-(1,3)
9. a)
b) 38 en (6,4) c) 30 en
b) 9 en (2,3) 12. x-y < 0; 3x+2y < 25; y-x < 5; 3x+2y > 5 13. a)
15. y  x+4; x-3y  0
16. B
17. a)
b) (2,2), (3,3), (4,4)
b) (10,0) 22. a) 14; 2 b) (5,3); (5,-1)-(2,0) 23.
18. a)
b) (2,3),
(3,1) b) -1,
; 10 24. x0; y1; yx+2; y6-x
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