MA TEMÁTICAS BÁSICAS 1. Verificar que log J ( _1_ ) = 2. "9 243 2 2. Calcular: x y, entonces i)logJ2(16) (R!. 8) i ii) 3 4 Jog J 2 ( ) (R!. 16) 3. Dado que log(5)~ 0.6990 y log(9)~ 0.9542, calcular valores aproximados de : i) log(2) (R!. 0.3010) iv) a 32 IOg(~J (R!. 0.2552) ii) log(3) (R!. 0.4771) iii) log(45) (R!. 1.6532) v) log(125) (R!. 2.0970) 4. Resolver las siguientes ecuaciones: rá al i) 6 2x - 1 = 36 (R!. x = 3/2) ii) log 2(x+3) =­ I(R!. x =-5/ 2) 32 , 2), iii) 210(4x) = 100+ln(2x) (R! . x = e lOO ) 8 v) log x(5x-6)=2 (R!. x =2,3) vii) (5 x - 5- x )/2 = 3 (R!. x = log s (3 + 2) 410 ix) g2 ( 5)2( IO-410g(XJ)) (X) (5 = -JíO) viii) (Iog(x)? = log(x 2 )<R!. x = 1,100) s (R!.x = IO,IO ) 2 x) log(x) = log(3)+ 2Iog(2)-~log(16) (R!. 4 xi) log3J3/ x)+log~(x)==1 (R!.x==I,3 , 9- x = 3/2) 1 ) (Ayuda: pasara log3(x)). 5. Para medir la longitud de los sismos se usa la escala de Richter. La fórmula para la escala de Richter es R = log(r) donde R es el número de Richter e I es la intensidad del \ sismo. Expresar la escala de Richter en forma exponencial (R!. 1 == I OR) \ \ 6. Si cierta cantidad de dinero P se invierte al 5% de interés compuesto de manera . ' d e t anos - e 1 va lori d e la 'mverSlOn . , es I == Pe' o OS l . ¿E n cuanto ' contmua, entonces d espues tiempo se duplicará la cantidad de dinero P invertido? (Ayuda: 10(2) ~ 0.69 . R!. t ~ 13.8 años) . I 47 MATEMÁTICAS BÁSICAS 7. Una compañía farmacéutica está desarrollando un organismo que será utilizado en una vacuna y cuyo crecimiento está dado por Q = 400 (3 k t), siendo Q la cantidad de La recta que pasa por dos puntos (x l' Y1) constituida por todos aquellos puntos organismos en el tiempo t (en horas) transcurrido desde cuando se anotó la cuenta inicial 2~ horas, Q = 1200, encontrar k y hallar el número 2 de organismos después de 5 horas de haberse iniciado el conteo. ( RJ. k = 0.4; Q = 3600 y k es una constante . Si cuando t = siguiente: y organismos) . 8. La temperatura T de un objeto después de un período de tiempo t es T = T 111 + (To - T m)e -O.5 t , donde To es la temperatura inicial y T m es la temperatura del T +T m. (RJ. t = 210(2) ). 2 9. Un cultivo de bacterias se triplica cada dos horas. Si inicialmente había 27 bacterias, hallar la población de bacterias al cabo de t horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 6 medio circundante. Hallar t para el cual T = o horas? ¿Cuándo habrá 243 bacterias? (R!. p(t) = 33+t 2, 729 bacterias, t x-x = 4 ). Nótese q El núme x- XI y = mx correspo puntos Por eje tajes qu y= 3 4 x como se RECTAS 48 (x, y) MATEMÁTICAS BÁSICAS La recta que pasa por dos puntos (x"y,) y (X2,yJ del plano cartesiano R mollando un organismo que será utilizado en una kt Ido por Q=400(3 ), siendo Q la cantidad de ranscurrido desde cuando se anotó la cuenta inicial constituida por todos aquellos puntos (x, y) ~ siguiente: horas, Q = 1200, encontrar k y hallar el número tales que y-y, Y2 -YI 2 , está Ver figura 2 laberse iniciado el conteo. ( RI. k = 0.4; Q = 3600 y , después de un período de tiempo (X 2 ,Y t es (x, y) s la temperatura inicial y T m es la temperatura del l T _ y ; 2 1 (x, y) ) (X 2' Y2) (X¡,Y¡) ___ J!~Y~JJY2-Y¡ To +'L ;1 (X¡'!J~ ___ J:'~-!JJY-Y¡ ----1 X2- X ¡ x-x x s, 6 x '----+--·v~--~ X-Xl Nótese que no importa si se intercambian los puntos, pues: Y2-Y' \ El número \ \ \ = Y'-Y2 Y2 - y, se llama la pendiente de la recta y se acostumbra denotar por m. Así, x 2 - x, y - y, = m , o sea y-y, =m( ). x-x, x -x, Luego y = mx + YI - mx l , que es de la forma y = mx + b donde b = y, - mx, . El número b es el valor de y cuando x = O. Recíprocamente, toda ecuación de la forma y = mx + b donde m y b son constantes, corresponde a la ecuación de una recta de pendiente m. En efecto, si (x" y, ) Y (x 2' Y2) son \ puntos que satisfacen la ecuación y = mx + b es porque y, = mx, + b y Y2 = mx 2 + b ; luego Y2-y, x 2 -x, = mx 2 +b-(mx,+b) x 2 -x, = m(x 2 -x,) x 2 -x, = m, es d ' Y2-Y, ec,r, = m. x 2 - x, Por ejemplo, la recta que pasa por (-1,-2) y (3,1) está formada por aquellos puntos (x,y) I I tales que y-((-2)) = 1-((-2)) . Luego y+2=3 , o sea que y+2=3(x+I), es decir, x--13--1 x+14 4 \ \ Y= ~ x - ~. Esta recta tiene pendiente ~ y pasa por el punto como se indica en la siguiente figura: 49 (O, - ~). Su gráfica es MATEMÁTICAS BÁSICAS y y = (3/4)x-S/4 -----~ -1 /~.- I x 3 I I I (- 1, -2) I 2 __ r/ Es de anotar que, en el plano cartesiano, toda recta que de izquierda a derecha "sube" tiene pendiente positiva, y que toda recta que "baja" tiene pendiente negativa. Es más, la pendiente nos indica lo que se debe "ascender" o "descender" verticalmente cuando se avanza una unidad horizontalmente hacia la derecha. En efecto , si y = mx + b es la Para indicar que las ecuación de una recta y si de Dos rectas de ecuaci Xo se pasa a Xo + J, entonces Yo = LIII L 2 <=> mI m1m 2 = -l. En efec = c con a 7:- O Y entonces x = c que es una recta vertical. Si b::j::. O, entonces by = -ax + c , o sea Y = pendiente - : Y que pasa por el punto ( 0, m2' RECTASPERPEN mx o + b pasa a m(x o +J)+ b , Y entonces m(x o + J)+ b-(mx o + b)= m. Las rectas horizontales tienen pendiente cero Y sus ecuaciones son de la fonna Y = k , con k constante. Las rectas oblicuas tienen pendiente m::j::. O Y las rectas verticales tienen ecuaciones de la forma x = c , con c constante, Y se dice que tienen pendiente infinita. Toda ecuación de la forma ax + by = c con a, b Y c constantes, a 7:- O o b::j::. O, representa una recta . En efecto, si b = O, se tendría ax = a a b « x + , la cual es b la recta con ~ J. Ejemplo: Supongamos que un fabricante utiliza 100 libras de cierto material para producir dos tipos de fertilizantes , Si el fertilizante del tipo 1 requiere 4 libras del material por unidad y el del tipo II requiere 2 libras por unidad, entonces 4x + 2y = 100 representa todos los niveles de producción cuando se producen x unidades del fertilizante tipo 1 e y unidades del fertilizante tipo O. Por tanto, y = -2x + 50, con x ::::: O e y::::: O. De acá se infiere que por cada unidad adicional que se produzca del fertilizante tipo 1, se debe disminuir en dos unidades la producción del fertilizante tipo II, pues se requieren 4 libras más del material. RECTAS PARALELAS Dos rectas de ecuaciones Y = m Jx + b) Y Y = m 2x + b 2 son paralelas si Y sólo si l m¡ En efecto, referirse a las siguientes figuras: 50 = m2· ) __ Si tomamos una "sube" mi unid perpendiculares, 1 1 se forma un áng intersección se ti MATEMÁTlCAS BÁSICAS y = (3/4)x-5/4 //-,/~ -- - - - - - / I 7 // ~- I ~//(~ ./0 I :. I 3 -', 1) ~ X lene la se la i a k Para indicar que las rectas L, y L 2 son paralelas, escribiremos L, 11 L2. Así que L,IIL 2 <=?m, =m2' RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas de ecuaciones y = m, x + b, Y Y = m 2 x + b 2 son perpend iculares si y sólo si m J m 2 = -l. En efecto, referirse a las siguientes gráficas: len y \ [: II Si tomamos una unidad hacia la derecha del intercepto entre las dos rectas, la recta L, "sube" m¡ unidades y la recta L 2 "baja" m 2 unidades. Entonces, si L, y L 2 son perpendiculares, lo cual se nota escribiendo L, 1- L 2 , es porque en el punto de intersección se forma un ángulo de radianes, y por el recíproco del teorema .de Pitágoras, se satisface 2 l=m,(-m 2 ),osea m¡m2 =-l. Recíprocamente,si m,m 2 =-1 es porque en el punto de 11: intersección se forma un ángulo de ~ radianes. 2 51 \