18 SECCIÓN 5 '<•! INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS, 5,1" Definición, Sean A, B conjuntos. La por A O B) es el conjunto A y que también pertenecen sección B". Gráficamente intersección de los conjuntos A y B (denotada formado por los elementos que pertenecen a a B. Al conjunto A O B se le lee: "A interla intersección puede ilustrarse asf: El conjunto A O B tiene la siguiente propiedad; Decir que x 6 A O B es lo m i s m o que decir que: x €. A A X e B. . Nota; La existencia del conjunto A n B está garantizada por el axioA,n O ma de especificación. En efecto: Sea A un conjunto y sea Rfxj' la r e lación X €: B. Con esto: A O B = •} x e A / x £ B j o sea que A n B =íx/x e A A X e B J . Nota; Obsérvese que A H B = í x £ B / X 6 A V Definición. a) b) ' Sean A, B conjuntos. Si A f) Ü = 0 se dice que ios conjuntos A y B son disjuntos. , Si A O B y^ íí se dice que A y B se encuentran. Ejemplo: • Demostrar que; i) A H B C A ii) A O B C B " i) ii) Ejemplo: i) ii) - ' £ ' .' Veamos que A O B C A. Sea X un elemento arbitrario de A O B, si x £ A O B. Entonces X C A A X £ B . S i x G A A x g B e s cierto entonces x G A es cierto. Por lo tanto A O B C A. En la misma forma se demuestra que A í i B C B. Demostrar que A C\ 0 = 0 Sabemos que ^ O A O 0 Demostremos que A Uí 0 ^ 0 19 En efecto: por el ejemplo a n t e r i o r Luego A O ^ Cl ^ . A Cí 0 = 0. Sean A, B, C conjuntos. El conjunto (A O B) H C e s igual al conjunto A n (B O C) puesto que (A O B) O C = { x / í x <S-A A x £ IB) A X e C } P o r lo tanto e s t o s conjuntos se pueden d e n o t a r asf: A D B (^ C con lo cual A O B n C = A O (B O C) = (A O B) O C . Dados los conjuntos A, B , C, D, el conjunto (A O B) O (C O D) t a m b i é n existe y se e s c r i b e A fl B O C O D. EJERCICIOS. i ) A n B = B O A ii) Si A C B entonces A O B = A . iii) A O A = A. Dados l o s conjuntos A , B , C, c o n s t r u y a m o s un conjunto que s e a la unión de A y B O C o sea A U (B (1 C), D e m o s t r e m o s ahora que A U (B O C) = (A U B) O (A U C). a) D e m o s t r e m o s que A (J (B fl C) O (A U B) O (A ü C) Sea X un e l e m e n t o c u a l q u i e r a del conjunto A U (B O C) o s e a que x £ A U (B O C). E n t o n c e s : i) x £ A ó ii) x & (B O C) i) Veamos qué p a s a si x ^ A Si X S A entonces x g A U B Si X £ A entonces x ^ A U C Luego, X £ A U B y a d e m á s x <S A U C p o r lo t a n t o X e (A U B) n (A U C). ii) V e a m o s qué p a s a si x ^ (B O C). • Si X £ B O C e n t o n c e s x £, B A x £ C. Por estar x £ B, x £ A O B Por estar x e C , J x e A U C E n t o n c e s x G A U B - ' ^ x £ A Ü C y p o r lo tanto X € (A U B) O (A U C) En c u a l q u i e r a de los dos c a s o s x € (A (J B) (^ (A U C). Hemos d e m o s t r a d o a s f que s i x e A CJ (B H C) e n t o n c e s X G (A U B) O (A U C) ó lo que e s lo m i s m o que A O (B U C) e s subconjunto de (A U B) O (A U C) o s e a A U (B D C) C (A U B) fl (A U C) b) D e m o s t r e m o s que (A U B) O (A U C) C A U (B H C) Sea X G (A U B) O (A U C). E n t o n c e s x G. A U B A x 6 AU C. 20 - O, lo que es equivalente, ( X £ A Ó X £ . B ) A ( x £ A ó x e Esta relación es cierta en los siguientes casos: C). i) Si X € A es cierta. En este caso x £ A ó x e B f l C e s cierta. ii) Si X € B A X £ C es cierta. Entonces es también cierta X i E A ó x e B O c En cualquier caso x £ A ó X G B O C . Luego si ; ( x 6 A ó x € B ) A ( x e ; A ó x £ C ) « s c i e r t o entonces x e A ó x e B O C . Por lo tanto (A U B) O (A U C) C A U (B O C) En fin, por a) y b) se concluye ( A U B ) fl (A U C) = A U (B fl. C). Nota; De una manera parecida puede d e m o s t r a r s e que: A O (B U C) =. (A ri B) U (A fl C) Demostración que dejamos como ejercicio al lector. Estas dos últimas propiedades observadas son llamadas leyes distributivas. La primera de ellas es la ley distributiva de la unión con respecto a la intersección y la segunda es la ley distributiva de la^intersección con respecto a la unión. "•-'•. . . . % ^-^• ; .• >•"• ^- - . . y ^ .-c. y (..:. . . •'.y-'^'J. '-. •• í- o.; y ^j/y• • : ' , - j T ) ^V'^-f •• '•-. "*c.;C'A .^, • • • ' -.• -v f •; • K 4 ^ :Í -JJ^i'' ''y-^ ••• * t ;i \.i A .?• ::> v -•, . ^ . ,, .^ ., . - .^