MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Estadística y Probabilidad 1. VARIABLE ALEATORIA Cuando te levantas en la mañana y esperas el bus que te lleva al colegio, seguramente piensas: ¿cuánto tiempo se demorará en pasar? Esta cantidad de tiempo depende de un evento aleatorio y, cuando es así, se dice que la variable es aleatoria. En la vida real hay muchos casos como el anterior, por ejemplo, si nos paramos en una esquina y preguntamos por la edad del entrevistado, también esta variable es una variable aleatoria. Si lanzamos un dado, sabemos que el espacio muestral E (esto es, todos los casos posibles) es: E = {1,2,3,4,5,6}. Así, cada uno de los sucesos tiene una probabilidad de 1/6; por lo tanto, si consideramos la variable aleatoria X: “la puntuación del dado”, tenemos que: P[X = 1] = P[X = 2] = P[X = 3] = P[X = 4]= P[X = 5]= P[X = 6] = 1/6 Si graficamos la variable anterior en un gráfico de barra, obtenemos el siguiente esquema: Si queremos calcular, por ejemplo, la probabilidad de que la variable sea mayor que 3, tendremos: P[X>3] = P[X = 4] + P[X = 5] + P[X = 6] = 1 1 1 3 1 + + = = 6 6 6 6 2 Supongamos ahora que lanzamos tres monedas y contamos la cantidad de veces que sale cara. El espacio muestral consta de 8 elementos: (C,C,C) ; (C,C,S) ; (C,S,C) ; (S,C,C) ; (S,S,C) ; (S,C,S) ; (C,S,S) ; (S,S,S) 1 Si X = “número de caras”, entonces la probabilidad P(x) para cada valor de X es: El gráfico para esta variable aleatoria es: 2. PROBABILIDAD Y FRECUENCIA RELATIVA Si tiramos una moneda unas 100 veces, ¿cuántas veces crees tú que saldrá sello? Si la moneda no está cargada, se esperaría que el valor se acercara a 50. Pero si lanzamos la moneda cada vez un mayor número de veces, la frecuencia relativa de la cantidad de ocasiones que sale sello se iría acercando más y más a ½. Gráficamente, la situación sería la siguiente: El hecho de que la frecuencia relativa se vaya acercando más y más a la probabilidad del evento, es conocido como: “La Ley de los grandes números”. 2 Esta Ley se aplica a múltiples sucesos en la vida real. Los casinos, por ejemplo, siempre tienen más probabilidad de ganar que los jugadores; si una noche resulta “muy mala para la casa” esto no le afectará, pues al correr del tiempo siempre ganará más que los apostadores. Sitio recomendado para la relación entre probabilidad y frecuencia relativa: http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capit ulo1/C1m1t14.htm 3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS 3.1. EVENTOS INCOMPATIBLES Supongamos que tiras un dado y quieres determinar la probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10. Para que sea múltiplo de tres, tenemos los casos: 3, 6 Para que sea un divisor de 10, tenemos los casos: 1, 2, 5 Observa que es imposible que se cumplan ambos eventos, ya que no hay ningún elemento común. En este caso se dice que son eventos incompatibles. La probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10 es, entonces: 2 3 5 + = 6 6 6 En general si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o B” se calcula mediante la expresión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 3.2. EVENTOS COMPATIBLES Supongamos ahora que vamos a extraer una carta de un mazo inglés de 52 cartas y queremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trébol. Para que sea un as: hay cuatro posibilidades. Para sacar un trébol hay trece posibilidades. 3 Pero en este caso, hay un elemento que es común a ambos eventos (el as de trébol), y por lo tanto los casos favorables serían 4 + 13 –1 = 16; en términos de probabilidades sería equivalente a afirmar que: P(As) + P(Trébol) − P(As y Trébol)= 4 13 1 16 4 + − = = 52 52 52 52 13 Por lo tanto, si A y B son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir ambos simultáneamente, la probabilidad se calcula mediante la expresión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 3.3. EVENTOS INDEPENDIENTES Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Si tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de que en todas las ocasiones salga cara responde a eventos independientes, ya que el resultado de un lanzamiento no afecta lo que vaya a ocurrir en el próximo. Si configuramos un diagrama de árbol para el conteo de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el siguiente gráfico: Según este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es: 1 lo 8 que es equivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento: P(cara, cara y cara) = 1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 2 2 2 8 4 En términos de la frecuencia relativa, lo anterior es equivalente a pensar que al lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara (idealmente), de la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo lanzamiento, y la mitad de estas saldría cara en la tercera oportunidad; por lo tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. De aquí que la frecuencia relativa de las veces que saldría cara en los tres lanzamientos es: 1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 2 2 2 8 En general, si A y B son eventos independientes, entonces se cumple que: P ( A ∩ B ) = P(A) ⋅ P(B) 4. PROBABILIDAD CONDICIONADA Supongamos que tenemos un ratón de laboratorio que se desplaza por el laberinto que se muestra en la siguiente figura: ¿Cuál es la probabilidad de que pueda salir del laberinto, si cada camino tiene la misma probabilidad de ser elegido por el ratón? Al entrar, el ratón puede tomar indistintamente el camino A o B, por lo tanto: P(A) = ½ y P(B) = ½. Al llegar a A, la probabilidad de elegir el camino C o D es la misma; por lo tanto, la probabilidad de elegir el camino C dado que eligió el camino A, lo que anotamos P(C/A), es ½ ; de la misma forma P(D/A) = ½. La probabilidad de elegir los caminos C y A es: P(A ∩ C) = P(A) . P(C/A) = ½ . ½ = ¼ 5 Por ejemplo, la probabilidad de que el ratón salga por W es igual a: P(B ∩ E) = P(B) . P(E/B) = ½ . ¼ = 1/8. Si calculamos cada una de las probabilidades tenemos la siguiente situación: Por lo tanto, la probabilidad de que el ratoncillo salga del laberinto es: P(T o U o V) = P(T) + P(U) + P(V) = 1/8 + ¼ + 1/8 = 4/8 = ½. En general, la probabilidad del evento de que ocurra B sabiendo que ocurrió A: P(B/A) se calcula mediante la igualdad: P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) Ejemplo: En una tómbola hay 12 bolitas rojas y seis negras. Si se sacan dos en forma consecutiva, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea negra? La probabilidad de que la 1ª sea roja es 12/18 y de que la 2a sea negra, dado que la primera fue roja, es 6/17, por lo tanto: P(R ∩ N) = P(R) . P(N/R) = 12/18 . 6/17 = 4/17 4.1. TABLAS DE CONTINGENCIA Supongamos que encuestamos a 90 personas de las cuales 2/3 son hombres y de ellos 2/5 fuman. Si se sabe que 1/3 de las mujeres fuman; hallar: a) La probabilidad de que al elegir un encuestado al azar sea un hombre que fume. b) La probabilidad de elegir un encuestado que no fume sabiendo que es mujer. 6 Para responder lo anterior, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada: a) b) P(H ∩ F) = P(H) . P(F/H) = 2/3 . 2/5 = 4/15 P(NF/M) es 2/3 ya que 1/3 de las mujeres fuman. Una forma alternativa de realizar esta operación es ordenando los datos dispuestos en una tabla de contingencia: Por lo tanto: a) b) 24 4 = 90 15 20 2 = P(NF/M) = 30 3 P(H ∩ F) = Lo que coincide con lo hallado anteriormente. Sitios sugeridos Sitio recomendado para el estudio de la probabilidad condicionada: En el siguiente sitio podrás hallar un simulador que te permitirá comprender mejor la relación entre probabilidad y frecuencia relativa. http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capit ulo1/C1m1t7.htm Presentaciones Power Point Relación entre probabilidad y frecuencia relativa. Probabilidad Condicionada: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93089.html Mendel y la probabilidad. Probabilidad condicionada: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-95087.html 7