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Monofásica: Apuntes de Electrotecnia
para Grados de Ingeniería
Autor: Ovidio Rabaza Castillo
INDICE
Tema1: Campos variables con el tiempo. Inducción
electromagnética
-
Definición de Campo Magnético
Generación de Fuerza Electromotriz
Ley de Inducción de Faraday
Variables en Corriente Alterna
Aparatos de Medida Eléctricos
Tema 2: Análisis de circuitos de corriente alterna
-
Circuito eléctrico
Tipos de circuitos
Elementos pasivos
Elementos activos
Onda senoidal y valores asociados
Representación fasorial
Impedancia
Análisis de redes
Leyes de Kirchhoff
Asociación de elementos
Transformación de fuentes
Tema 3: Circuitos monofásicos
-
Método de las mallas
Método de los nudos
Método de superposición
Tema 4: Potencia de circuitos monofásicos
- Potencia
- Triángulo de potencias
- Teorema de Boucherot
- Factor de potencia
- Mejora del factor de potencia
Apéndice
- Repaso de números complejos
Bibliografía
Tema 1: Campos variables con el
tiempo. Inducción electromagnética.
Índice
 Definición
de campo magnético
 Generación de Fuerza Electromotriz
 Ley de inducción de Faraday
 Variables de Corriente Alterna
 Aparatos de Medidas Eléctricos
Definición de Campo Magnético
Campo magnético creado por una carga en movimiento
Inducción magnética o
Densidad de flujo magnético
(
  
 
µ 0 q ⋅ v ⋅ Sen θ
µ 0 q ⋅ v × r − rq
⋅
⇒ B(r ) =
⋅   3
B=
2
4π
4π
d
r − rq
)
Definición de Campo Magnético
Campo magnético creado por una corriente eléctrica
Regla del sacacorchos
o de la mano derecha.
Generación de F.E.M.
φ =0
φmax = B ⋅ S
( )
   
φ = B ⋅ S ⋅ cos B, S ≡ B ⋅ S
Ley de Inducción de Faraday
φ =0
φmax = B ⋅ S
( )
   
φ = B ⋅ S ⋅ cos B, S ≡ B ⋅ S
dφ
e(t ) = −
dt
e(t ) = ω ⋅ φmax ⋅ sen ω t
φ (t ) = B ⋅ S ⋅ cos ω t
para N espiras:
e(t ) = emax ⋅ sen ωt
emax = N ⋅ ω ⋅ φmax
Variables de Corriente Alterna

Intensidad de corriente eléctrica
dq
i (t ) =
dt


Culombio (C ) 
 Amperio ( A) =

segundo ( s ) 

Tensión, diferencia de potencial o caída
de potencial
dE
u (t ) =
dq

Julio ( J ) 
Voltio (V ) =

Culombio (C ) 

Variables de Corriente Alterna

Potencia eléctrica (suministrada o
consumida)
dE dE dq
dE
⇒ p (t ) =
=
⋅
= u (t ) ⋅ i (t )
p (t ) =
dt dq dt
dt

(Vatio
Energía eléctrica (suministrada o
consumida)
dE = p (t ) ⋅ dt = u (t ) ⋅ i (t ) ⋅ dt
(J = W ⋅ s )
(W ) )
Aparatos de Medida
Tema 2: Análisis de circuitos de
corriente alterna
Índice
 Circuito
eléctrico
 Tipos de circuitos
 Elementos pasivos
 Elementos activos
 Onda senoidal y valores asociados
 Representación fasorial
 Impedancia
Circuito eléctrico
Definición: un circuito eléctrico o una red eléctrica, es un conjunto de
elementos combinados de tal forma que con ellos se pueda originar
una corriente eléctrica.
Los elementos pueden ser:

Activos: fuentes o generadores que suministran energía
eléctrica al sistema.


Pasivos: disipan o almacenan energía eléctrica.
Aproximaciones en el estudio analítico:


Parámetros concentrados (Simplificación)
Parámetros distribuidos (Real)
Tipos de Circuitos: clasificación

Por su excitación

De tipo continuo

De tipo alterno
Tipos de Circuitos

Por su régimen de funcionamiento

Transitorio

Estacionario o Permanente
Elementos pasivos
Definición: aquellos componentes que disipan o almacenan energía
Nombre genérico: Impedancia

Resistencia:
Resistencia fija
R (Ω) Resistencia (Ohmio)

disipa energía en forma de calor
Resistencia variable
u (t ) = R ⋅ i (t )
Variación de la resistencia con el material y dimensiones
l
l
R=ρ =
s c⋅s
R (Ω )
resistencia
ρ (Ω ⋅ mm 2 / m)
resistividad
c (m / Ω ⋅ mm 2 )
l ( m)
Conductividad (Cu = 58; Al = 36 a 20 ºC)
s (mm 2 )
sección
longitud
Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)
Elementos pasivos

Variación de la resistencia con la temperatura:
R(T2 ) = R(T1 )[1 + α (T2 − T1 )]
ρ (T2 ) = ρ (T1 )[1 + α (T2 − T1 )]
α Cu = 0.0039

Potencia y energía
u 2 (t )
p (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = R ⋅ i (t ) =
R
2
t
dE = p(t )dt ⇒ E = R ⋅ ∫ i 2 (t ) ⋅ dt
0
en cc:
E = R ⋅ I 2 ⋅t
Elementos pasivos

Cortocircuito: incremento brusco de la intensidad eléctrica
a valores muy por encima de lo soportado por el elemento
que lo provoca y d.d.p. entre bornes muy próximo a cero.
u (t )
= i (t )
R

Circuito abierto: se produce cuando la intensidad por el
elemento es cero. El hueco vacío entre dos puntos de un
circuito es igual a una resistencia de valor infinito.
∞
Elementos pasivos

Bobina:
almacenan energía magnética
Bobina fija
Bobina variable
t
di (t )
1
di (t )
2
=
⇒
=
⋅
⋅
=
⋅
dE
p
t
dt
E
L
i
t
dt
L
i
(
)
(
)
(t )
u (t ) = L ⋅
∫
0
dt
2
dt
Inducción (Henrio)
L (H )

Si la intensidad i(t) que circula por la bobina es constante, la
tensión entre sus bornes es cero. Esto implica que la bobina
se comporte como un cortocircuito (controlado).

No admite cambios bruscos de intensidad. Derivada infinita.
Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)
Elementos pasivos

Condensador:
Condensador fijo
almacenan energía eléctrica
Condensador variable
du (t )
du (t )
1
t
dE = p (t )dt ⇒ E = C ⋅ ∫0 u (t ) ⋅
dt = C ⋅ u 2 (t )
i (t ) = C ⋅
dt
2
dt
Capacidad (Faradio)
C (F )

Si la tensión u(t) entre los bornes es constante el
condensador actúa como un circuito abierto.

Cambios bruscos de tensión equivale a un cortocircuito.
Nota: simbología por la Norma UNE-EN 60617 (IEC 60617)
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica

Fuentes o generadores de tensión ideal
Suministra tensión al circuito independientemente de la intensidad eléctrica.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica

Fuentes o generadores de tensión real
Suministra tensión al circuito dependientemente de la intensidad eléctrica.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica

Fuentes o generadores de corriente ideal
Suministra corriente al circuito independientemente de la tensión en los bornes.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica

Fuentes o generadores de corriente real
Suministra corriente al circuito dependientemente de la tensión en los bornes.
Elementos activos
Definición: aquellos componentes que proporcionan energía eléctrica

Fuentes o generadores dependientes
Onda senoidal y valores asociados

Generación y valores asociados
π
e(t ) = emax sen ωt = emax cos (ωt − ) ⇒ e(t ) = emax cos (ωt + ϕ )
2
Valor instantáneo de f.e.m. (Voltio)
e(t )
emax (V )
Valor máximo de f.e.m.
Periodo
T (s)
1
( Hz )
T
ω (rad ⋅ s )
Pulsación o frecuencia angular
f =
t (s)
ϕ (rad )
Tiempo
ω (rad ⋅ s −1 ) =
−1
Ángulo de desfase
Frecuencia
2π
= 2π ⋅ f
T
Onda senoidal y valores asociados

Desfase entre ondas
Angulo de fase o desfase, el que existe entre el origen y un punto cualquiera de la onda.
Angulo de desfase entre dos ondas:
ϕ = ϕ1 − ϕ 2
Tomando la onda azul como referencia:
e(t ) = emax ⋅ cos ωt
La onda verde está adelantada en fase:
e(t ) = emax ⋅ cos(ωt + ϕ1 )
La onda roja está retrasada en fase:
e(t ) = emax ⋅ cos(ωt − ϕ 2 )
Onda senoidal y valores asociados



Ondas en fase ϕ1 − ϕ 2 = 0
π
Ondas en cuadratura ϕ1 − ϕ 2 = ± 2
Ondas en oposición ϕ1 − ϕ 2 = ±π
Onda senoidal y valores asociados

Valor medio
n
n1
n2
nm
N
x
x1
x2
xm
xmed = ∑ xi ⋅
ni
N
y = y (t ) ⇒ y med = ∑ y (ti ) ⋅ ∆Tt =
1 T
∫0 y (t ) ⋅ dt
T
Onda senoidal y valores asociados

Valor medio (Cont.)
El “valor medio” de una función durante un tiempo T es:
e(t ) = emax ⋅ cos ω t ⇒ emed (T ) =
=

Ymed =
1
T
∫
T
0
y (t ) ⋅ dt
emax
1 T
(senω T − senω 0) = ω = 2π  =
∫0 emax ⋅ cos ω t ⋅ dt =
ω ⋅T
T 
T

emax
sen 2π = 0 ⇒ emed (T ) = 0
ω ⋅T
Valor eficaz
Se define el “valor eficaz” de una función durante un tiempo T como:
¿Para qué sirve?
1
Yef =
T
∫
T
0
Yef2 ⋅ T = ∫0T y 2 (t ) ⋅ dt ⇒ I ef2 ⋅ T = ∫0T i 2 (t ) ⋅ dt
Para simplificar
T
E = R ⋅ ∫ i 2 (t ) ⋅ dt ⇒ E = R ⋅ I ef2 ⋅ T
0
y 2 (t ) ⋅ dt
Onda senoidal y valores asociados

Valor eficaz (Cont.)
I ef
1 T 2
=
∫ i (t ) ⋅ dt =
T 0
i (t ) = I max cos ω t
2
I max
I max
T
2
∫0 cos ωt ⋅ dt =
T
T
T
2
∫0 cos ωt ⋅ dt = (∗)
T
x sen 2ax
T
 t sen 2ωt 
T
2
cos
cos
ax
dx
⋅
=
+
⇒
⋅
=
+
t
dt
ω
=
∫
∫0
2
2
4a
4ω  0 2

2π
I max T
I max
ω
=
⇒ ωT = 2π
(∗) =
=
⇒ I max = 2 ⋅ I ef
T
2
2
T
2
u (t ) = U max cos ω t = 2 ⋅ U ef ⋅ cos ω t
i (t ) = I max cos ω t = 2 ⋅ I ef ⋅ cos ω t
¿Cómo serían las magnitudes en Corriente Continua?
Corriente Continua

Magnitud Alterna
u (t ) = U max cos ω t = 2 ⋅ U ef ⋅ cos ω t
i (t ) = I max cos ω t = 2 ⋅ I ef ⋅ cos ω t

Magnitud Continua
u (t ) = U max cos ω t = U ef
i (t ) = I max cos ω t = I ef
ω = 0 y Ymax = Yef
¿Podemos decir que la corriente continua es una particularidad de la alterna?
Representación fasorial

Fasor
El Fasor es un vector que gira con una velocidad angular constante. La representación se realiza
en un determinado instante.

Y = Y ⋅ cos ϕ + j Y ⋅ senϕ = Y ⋅ (cos ϕ + jsenϕ )
Ejemplo:
 z = 32 + 2 2 = 3.61 



z = 3+ j 2 = 
=
2
arctan
33
.
69
º
ϕ
=
=




3


= 3.61 ⋅ (cos 33.69º + jsen33.69º )

Representación polar

Y = Y ⋅ cos ϕ + j Y ⋅ senϕ = Y ⋅ (cos ϕ + jsenϕ ) = Y∠ϕ
Ejemplo:

z = 3 + j 2 = 3.61∠33.69º
Representación fasorial

Representación fasorial
e(t ) = emax ⋅ cos(ωt + ϕ )
Supongamos el siguiente número complejo:
e (t ) = emax cos(ωt + ϕ ) + jemax sen(ωt + ϕ )
e(t ) = Re{e (t )}
Representación fasorial

Representación fasorial (Cont.)
e (t ) = emax cos(ωt + ϕ ) + jemax sen(ωt + ϕ ) = 2 ⋅ eef ⋅ (cos(ωt + ϕ ) + jsen(ωt + ϕ ) )
)(
(
e (t ) = 2 ⋅ eef ⋅ (cos(ωt + ϕ ) + jsen(ωt + ϕ ) ) = 2 ⋅ eef ∠(ωt + ϕ ) = eef ∠ϕ ⋅
e
e = eef ∠ϕ ⇒ e (t ) = e ⋅ 2∠ωt
En resumen:
e(t ) = 2 ⋅ eef ⋅ cos (ωt + ϕ ) ⇒ e = eef ∠ϕ
2∠ωt
)
Impedancia
Vamos a deducir las expresiones complejas (y polares) de los elementos pasivos

Resistencia
U
u (t ) = 2 ⋅ U ⋅ cos ωt 
 ⇒ i (t ) = 2 ⋅ cos ωt ≡ 2 ⋅ I ⋅ cos ωt
R

u (t ) = R ⋅ i (t )

U∠0º
 U
⇒
=
= R∠0º = R

U
U
I
0
º
0
º
I = I∠ = ∠ 
∠0º
R
R

U = U∠0º
Impedancia

Reactancia inductiva
u (t ) = 2 ⋅ U ⋅ cos ωt 
1

i
t
⇒
=
(
)
∫ u (t ) ⋅ dt =

di (t )
L
u (t ) = L

dt

U
U
senωt =
= 2 ⋅ ∫ cos ωt ⋅ dt = 2 ⋅
L
ωL
U
U
= 2⋅
cos(ωt − 90º ) = 2 ⋅
cos(ωt − 90º ) ≡
ωL
ωL
≡ 2 ⋅ I ⋅ cos(ωt − 90º )

U∠0º
 U
=
= ωL∠90º =
⇒
U
I U
I = I∠ − 90º =
∠ − 90º 
∠ − 90º
ωL
ωL

U = U∠0º
j ωL = X L
Impedancia

Reactancia capacitiva
u (t ) = 2 ⋅ U ⋅ cos ωt 

 ⇒ i (t ) = − 2 ⋅ UωC ⋅ senωt =
du (t )
i (t ) = C

dt

= 2 ⋅ UωC ⋅ cos(ωt + 90º ) ≡ 2 ⋅ I ⋅ cos(ωt + 90º )
 U
j
U∠0º
1
−
= XC
⇒
=
90
º
=
∠
−
=

I UωC∠90º ωC
ωC
I = I∠90º = UωC∠90º 
U = U∠0º
Impedancia

Impedancia
Triángulo de impedancias
U
Z =
= R + jX = Z∠ϕ
I
Z (Ω) Ohmio
Recordamos:

R + j ⋅0 = R

Z =  0 + j ωL = X L

j
−
= XC
0

 ωC
Resistencia
Bobina
Condensador
Impedancia

Admitancia
Y =
1
1
R
1
X
j
=
= 2
−
=
∠ −ϕ
2
2
2
Z
Z R + jX R + X
R +X
Conductancia (G)
Susceptancia (B)
Y = G + jB
Y (Ω −1 )
Siemens o mho
Análisis de redes

Definiciones

Nudo: es un punto de unión entre tres o más elementos del
circuito.

Rama: elemento o grupo de elementos conectado entre dos
nudos.
Análisis de redes

Definiciones (Cont.)

Lazo o bucle: conjunto de ramas que forman una línea
cerrada.
7 Lazos o bucles

Malla: un lazo que no contiene ningún otro en su interior
Leyes de Kirchhoff

1ª Ley de Kirchhoff
“En todo nudo de una red (o circuito) la suma algebraica de las corrientes
que concurren a él es cero” (Principio de Conservación de la Carga).
Recordamos:
i (t ) =
dq
dt
dq1 + dq3 + dq5 = dq2 + dq4
i1dt + i3 dt + i5 dt = i2 dt + i4 dt
i1 + i3 + i5 = i2 + i4
Leyes de Kirchhoff

2ª Ley de Kirchhoff
“En toda malla de una red (o circuito) la suma algebraica de las tensiones
existentes entre sus terminales es cero” (Principio de Conservación de
Energía).
Recordamos:
u (t ) =
dE
dq
−dE 2 + dE5 = dE1 + dE3 + dE 4
− u2 dq + u5 dq = u1dq + u3 dq + u4 dq
− u2 + u5 = u1 + u3 + u4
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
Datos: tensiones de los
generadores y las
impedancias (resistencias)
Se trabajará con Fasores:
U = U∠ϕU
I = I∠ϕ I
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
Señalar todas las corrientes
en cada rama. El sentido de
las corrientes será arbitrario.
6 incógnitas, entonces serán
necesarias 6 ecuaciones
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
A
Identificamos los nudos y
aplicamos la primera ley
de Kirchhoff:
A : I1 = I 2 + I 3
B : I 2 = I 4 + I5
C : I 4 + I 6 = I1
D : I3 + I5 = I6
C
D
B
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
A
Identificamos los nudos y
aplicamos la primera ley
de Kirchhoff:
A : I1 = I 2 + I 3
B : I 2 = I 4 + I5
C : I 4 + I 6 = I1
D : I3 + I5 = I6
Cada ecuación es combinación
lineal del resto, por ejemplo
D=A+B+C
C
D
B
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
A
Identificamos los nudos y
aplicamos la primera ley
de Kirchhoff:
A : I1 − I 2 − I 3 = 0
B : I 2 − I 4 − I5 = 0
C
C : − I1 + I 4 + I 6 = 0
3 ecuaciones, nos faltan otras 3
D
B
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
Identificamos bucles y
mallas
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
Identificamos bucles y
mallas y aplicamos la
segunda ley de Kirchhoff:
U 1 = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I 2 + R4 ⋅ I 4
− U 2 = − R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5
U1 − U 2 = R1 ⋅ I1 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5 + R4 ⋅ I 4
U 3 = − R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 + R6 ⋅ I 6
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
La tercera ecuación es
combinación lineal de las
dos primeras
U 1 = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I 2 + R4 ⋅ I 4
− U 2 = − R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5
U1 − U 2 = R1 ⋅ I1 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5 + R4 ⋅ I 4
U 3 = − R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 + R6 ⋅ I 6
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
Nos quedamos entonces
con las ecuaciones de
cada malla
U 1 = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I 2 + R4 ⋅ I 4
− U 2 = − R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5
U 3 = − R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 + R6 ⋅ I 6
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
A
en los nudos (todos menos uno)
I1 − I 2 − I 3 = 0
I 2 − I 4 − I5 = 0
I1 + I 4 + I 6 = 0
en las mallas (todas)
U1 = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I 2 + R4 ⋅ I 4
− U 2 = − R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5
U 3 = − R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 + R6 ⋅ I 6
C
B
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
en los nudos (todos menos uno)
I1 − I 2 − I 3 = 0
I 2 − I 4 − I5 = 0
I1 + I 4 + I 6 = 0
en las mallas (todas)
U1 = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I 2 + R4 ⋅ I 4
− U 2 = − R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5
U 3 = − R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 + R6 ⋅ I 6
 0  1

 
0

 0
 0  1
  =
 U 1   R1
   
 − U 2   0
 U  0
 3  
−1
−1
1
0
R2
− R2
0
0
0
0
R3
0
0
−1
1
R4
0
− R4
0
−1
0
0
− R5
R5

0   I1 
  
0   I2 
 
1   I3 
× 
0   I4 
  
0   I5 

R6   I 6 
Leyes de Kirchhoff

Ejemplo:
en los nudos (todos menos uno)
I1 − I 2 − I 3 = 0
I 2 − I 4 − I5 = 0
I1 + I 4 + I 6 = 0
en las mallas (todas)
U1 = R1 ⋅ I1 + R2 ⋅ I 2 + R4 ⋅ I 4
− U 2 = − R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I 3 − R5 ⋅ I 5
U 3 = − R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 + R6 ⋅ I 6
1

0
1

 R1

0
0

−1
−1
1
0
R2
− R2
0
0
0
0
R3
0
0
−1
1
R4
0
− R4
0
−1
0
0
− R5
R5

−1
0
 0   I1 


  
0
0

  I2 
 0   
1
 ×    =  I3 
 U1   I 4 
0

    
0
 − U 2   I5 
 U  I 
R6 
 3   6
Asociación de elementos

Elementos pasivos

en serie
“Varios elementos están conectados en serie cuando por ellos circula la
misma intensidad”
U = I ⋅ Z1 + I ⋅ Z 2 + ... + I ⋅ Z N = I ⋅ ∑ Z i
ZT = ∑ Z i
U = I ⋅ ZT
Asociación de elementos
-
Resistencias ( Z = R)
RT ≡ ∑ Ri
-
Bobinas ( Z = jωL)
LT ≡ ∑ Li
-
Condensadores ( Z = −
j
)
ωC
1
1
≡∑
CT
Ci
Asociación de elementos

Elementos pasivos

en paralelo
“Varios elementos están conectados en paralelo cuando están sometidos a la
misma tensión”
I = I1 + I 2 + ... + I N =
U U
U
1
+
+ ... +
=U ⋅∑
Z1 Z 2
ZN
Zi
1
1
=∑
ZT
Zi
I=
U
ZT
Asociación de elementos
-
Resistencias ( Z = R)
1
1
≡∑
RT
Ri
-
Bobinas ( Z = jωL)
1
1
≡∑
LT
Li
-
Condensadores ( Z = −
j
)
ωC
CT ≡ ∑ Ci
Asociación de elementos

Elementos pasivos

Conexión estrella - triángulo
Z12 = Z1 + Z 2 = Z B \ \ ( Z A + Z C )
 1
1
+
Z12 = Z B \ \ ( Z A + Z C ) = 
 Z B Z A + ZC
−1
−1

 Z A + ZC

Z (Z + ZC )
ZB
 = 
 = B A
+
Z A + Z B + ZC

 Z B (Z A + Z C ) Z B (Z A + Z C ) 
Asociación de elementos

Elementos pasivos

Conexión estrella - triángulo
Z12 = Z1 + Z 2 = Z B \ \ ( Z A + Z C ) =
Z B (Z A + ZC )
Z A + Z B + ZC
Z 23 = Z 2 + Z 3 = Z A \ \ ( Z B + Z C ) =
Z A (Z B + ZC )
Z A + Z B + ZC
Z 31 = Z 3 + Z1 = Z C \ \ ( Z A + Z B ) =
ZC (Z A + Z B )
Z A + Z B + ZC
Asociación de elementos

Elementos pasivos

Conexión estrella - triángulo
−
+
Z12 = Z1 + Z 2 = Z B \ \ ( Z A + Z C ) =
Z B (Z A + ZC )
Z A + Z B + ZC
Z 23 = Z 2 + Z 3 = Z A \ \ ( Z B + Z C ) =
Z A (Z B + ZC )
Z A + Z B + ZC
Z 31 = Z 3 + Z1 = Z C \ \ ( Z A + Z B ) =
ZC (Z A + Z B )
Z A + Z B + ZC
=
2 ⋅ Z1
Z1 =
Z B ⋅ ZC
Z A + Z B + ZC
2 ⋅ Z B ⋅ ZC
Z A + Z B + ZC
Asociación de elementos

Elementos pasivos

Z1 =
Conexión estrella - triángulo
Z B ⋅ ZC
Z A + Z B + ZC
Z2 =
Z A ⋅ ZB
Z A + Z B + ZC
Z3 =
ZC ⋅ Z A
Z A + Z B + ZC
Asociación de elementos

Elementos pasivos

ZA =
Conexión estrella - triángulo
Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1
Z1
ZB =
Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1
Z3
ZC =
Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1
Z2
Asociación de elementos

Ejercicio: calcular la resistencia equivalente entre los
terminales A y B, así como i(t)
0.01 H
0.05 F
1Ω
0.01 H
0.01 F
0.02 H
2Ω
i(t)
u(t) = 100 ⋅ 2 ⋅ cos100 ⋅t
Asociación de elementos

Ejercicio: transformamos las impedancias y la tensión
del generador a Fasores
0.01 H
0.05 F
1Ω
0.01 H
0.01 F
0.02 H
2Ω
i(t)
u(t) = 100 ⋅ 2 ⋅ cos100 ⋅t
Asociación de elementos

Ejercicio: simplificamos a una impedancia las que
estén en serie
1∠90º
0.2∠ − 90º
1∠0º
1∠90º
1∠ − 90º
2∠90º
2∠0º
I
U = 100∠0º
Asociación de elementos

Ejercicio: transformamos de triángulo a estrella
0.2∠ − 90º
2∠45º
1∠90º
5∠ − 26.57 º
2∠90º
I
U = 100∠0º
Asociación de elementos

Ejercicio: volvemos a simplificar a una impedancia las
que están en serie
0.2∠ − 90º
0.343∠58.04º
0.686∠59.04º
0.485∠103.04º
5∠ − 26.57 º
I
U = 100∠0º
Asociación de elementos

Ejercicio: transformamos las impedancias en paralelo
a una
0.203∠26.565º
0.686∠59.04º
1.963∠ − 15.6º
I
U = 100∠0º
Asociación de elementos

Ejercicio: simplificamos a una sola impedancia
0.686∠59.04º
0.188∠22.865º
I
U = 100∠0º
Asociación de elementos

Ejercicio: deducimos la intensidad y la convertimos de
Fasor al dominio temporal
I=
100∠0º
U
=
= 118.5∠ − 51.54º ⇒ i (t ) = 2 ⋅118.5 ⋅ cos(100 ⋅ t − 51.54º ) A
Z 0.844∠51.54º
0.884∠51.54º Ω
I
U = 100∠0º V
Asociación de elementos

Elementos activos (fuentes o generadores)

Fuentes de tensión ideal en serie
UT = ∑U i

Fuentes de tensión ideal en paralelo
Sólo es posible si son iguales y están conectadas con la misma polaridad.
Asociación de elementos

Elementos activos (fuentes o generadores)

Fuentes de intensidad ideal en paralelo
IT = ∑ I i

Fuentes de intensidad ideal en serie
Sólo es posible si son iguales y están conectadas con el mismo sentido.
Transformación de fuentes

Entre generadores de tensión e intensidad reales
Ug
U
−
U =Ug − Z ⋅ I ⇒ I =
Z
Z
I g = I1 + I ⇒ I = I g − I1 = I g −
Z = Z1
Ambos son equivalentes si se cumple:
Ig =
Ug
Z
U
Z1
Transformación de fuentes

Ejemplo:
u (t ) = 2 ⋅ 220 ⋅ cos(100t + 35º )
U = 220∠35º
Z = 5∠53.13º
Z = Z1
Ig =
Ug
Ig =
220∠35º
= 44∠ − 18.13º
5∠53.13º
Z
i (t ) = 2 ⋅ 44 ⋅ cos(100t − 18.13º )
Tema 3: Circuitos monofásicos
Índice
 Método
de las mallas
 Método de los nudos
 Método de superposición
Método de las mallas
“Consiste en escribir todas las ecuaciones correspondientes a las
mallas”
Objetivo: determinar las corrientes en cada rama
Método de las mallas
Asignamos corrientes a cada malla. Todas han de ir orientadas hacia
el mismo sentido.
Método de las mallas
(
)
U g 1 = I A ⋅ Z1 + I A − I B ⋅ Z 2
(
)
(
)
U g1 = ( Z1 + Z 2 ) ⋅ I A − Z 2 ⋅ I B
0 = I B − I A ⋅ Z 2 + I B ⋅ Z3 + I B − IC ⋅ Z 4 ⇒
0 = −Z 2 ⋅ I A + (Z 2 + Z 3 + Z 4 ) ⋅ I B − Z 4 ⋅ I C ⇒
−U g 2 = IC − I B ⋅ Z 4 + IC ⋅ Z5
− U g 2 = −Z 4 ⋅ I B + (Z 4 + Z 5 ) ⋅ I C
(
)
Método de las mallas
U g1 = ( Z1 + Z 2 ) ⋅ I A − Z 2 ⋅ I B
 z1 + z 2

0 = −Z 2 ⋅ I A + (Z 2 + Z 3 + Z 4 ) ⋅ I B − Z 4 ⋅ I C ⇒  − z 2
 0
− U g 2 = −Z 4 ⋅ I B + (Z 4 + Z 5 ) ⋅ I C

− z2
z 2 + z3 + z 4
− z4
  I A   U g1 

   
− z4  ⋅  I B  =  0 

  
z 4 + z5   I C   − U g 2 
0
Método de las mallas
 z11 − z12

 − z 21 z 22
− z
 31 − z32
Z ij =
− z13   I1   ∑ U1 

   
− z 23  ⋅  I 2  =  ∑ U 2 
  


z33   I 3   ∑ U 3 
Suma de impedancias en la malla i para i = j
Suma de impedancias comunes entre las mallas i y j para i
≠j
Método de las mallas

Restricciones del método
El método de las mallas se aplica directamente cuando todos los generadores son de
tensión.
Cuando hay algunos generadores de corriente, si éstos son reales se transforma a
generadores reales de tensión, sin embargo, si éstos son ideales se realiza el siguiente
cambio:
Método de las mallas

Ejemplo: calcular la intensidad que circula por
el condensador.
i (t ) = 10 2 ⋅ sen (100 t )
a
ub (t ) = 10 2 ⋅ cos(100 t )
I = 10∠ − 90
U = 10∠0º
Z1 = 1∠0º
Z 2 = j ≡ 1∠90
Z 3 = − j ≡ 1∠ − 90
Z 4 = 1 ∠0º
Z 5 = j = 1∠90º
Método de las mallas

Transformamos fuentes de corriente a fuentes
de tensión y simplificamos las impedancias.
Método de las mallas
 1 j   I1   − 10 j 

 ⋅   = 

 j 1   I 2   − 10 
 I1 = 0
I = I1 − I 2 = 10∠0º

 I 2 = −10
i (t ) = 10 2 cos100 ⋅ t A
Método de los nudos
“Consiste en escribir las ecuaciones correspondientes a todos los nudos
menos uno (consecuencia de la 1ª ley de Kirchhoff)”
Objetivo: determinar las tensiones en cada rama
Método de los nudos
Ponemos el nudo inferior a tierra
Método de los nudos
Representamos las corrientes en cada rama y aplicamos la 1ª ley de
Kirchhoff
I13 + I12 = I g 1
I 23 = I g 2 + I12
⇒
I13 + I12 = I g 1
I 23 − I12 = I g 2
⇒
I13 + I12 = I g 1
I 23 + I 21 = I g 2
Método de los nudos
I13 + I12 = I g 1
I 23 + I 21 = I g 2
⇒
U 13 U 12
+
= Ig1
Z1 Z 2
U 23 U 21
+
= Ig 2
Z3 Z 2
⇒
U1 − U 3 U1 − U 2
+
= Ig1
Z1
Z2
U 2 − U 3 U 2 − U1
+
= Ig 2
Z3
Z2
Método de los nudos
U1 − U 3 U1 − U 2
+
= Ig1
Z1
Z2
U 2 − U 3 U 2 − U1
+
= Ig 2
Z3
Z2
⇒
U1 U1 −U 2
+
= Ig1
Z1
Z2
U 2 U 2 − U1
+
= Ig 2
Z3
Z2
⇒
1
1 
1
 +  ⋅ U 1 − U 2 = I g 1
Z2
 Z1 Z 2 
 1
1
1

− ⋅ U 1 +  +  ⋅ U 2 = I g 2
Z2
 Z 2 Z3 
Método de los nudos
 1
1 
1
 +
 ⋅ U 1 − U 2 = I g1
Z Z 
Z2
2 
 1
 1
1
1 
 ⋅U 2 = I g 2
−
⋅ U 1 + 
+

Z2
 Z 2 Z3 
⇒
(Y1 + Y2 )⋅U1 − Y2 ⋅U 2 = I g1
− Y2 ⋅ U 1 + (Y2 + Y3 )⋅ U 2 = I g 2
Método de los nudos
(Y1 + Y2 )⋅U1 − Y2 ⋅U 2 = I g1
− Y2 ⋅ U 1 + (Y2 + Y3 )⋅ U 2 = I g 2
⇒
 Y1 + Y2
− Y2   U1   I g1 
⋅  =

 U   I 
 −Y
+
Y
Y
2
2
3
  2   g2 

Método de los nudos
 Y11 − Y12

 − Y21 Y22

Y
Y
−
−
31
32

Yij =
− Y13   U1   ∑ I g1 

   
− Y23  ⋅ U 2  =  ∑ I g 2 

   
Y33   U 3   ∑ I g 3 
Suma de admitancias conectadas al nudo i para i = j
Suma de admitancias conectadas entre los nudos i y j para i ≠ j
Método de los nudos

Restricciones del método
El método de los nudos se aplica directamente cuando todos los generadores son de
corriente.
Cuando hay algunos generadores de tensión, si éstos son reales se transforman a
generadores reales de corriente, sin embargo, si éstos son ideales se realiza el
siguiente cambio:
Método de los nudos

Ejemplo: calcular la intensidad que circula por
el condensador.
i (t ) = 10 2 ⋅ sen (100 t )
a
ub (t ) = 10 2 ⋅ cos(100 t )
I = 10∠ − 90
U = 10∠0º
Z1 = 1∠0º
Z 2 = j ≡ 1∠90
Z 3 = − j ≡ 1∠ − 90
Z 4 = 1 ∠0º
Z 5 = j = 1∠90º
Método de los nudos

Transformamos fuentes de tensión a fuentes
de corriente y simplificamos las impedancias.
Método de los nudos
j   U 1   − 10j  U 1 = −10j
1 − j
 

 ⋅   = 
 j 1 /(1 + j)  U 2   5(1 − j)  U 2 = −10j
i(t) = 10 2 Cos(100 ⋅t)
I =
U 2 − 10j
=
= 10∠0º
−j
Z3
Método de superposición
“En una red formada por fuentes (de intensidad y tensión) e impedancias, la
corriente en cada rama es la suma de las corrientes que se producirían si las
fuentes actuasen una a una independientemente”
Se aplica el Principio de Linealidad.
Objetivo: determinar la intensidad que circula por la impedancia Z2
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un
generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador
de tensión se cortocircuita.
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un
generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador
de tensión se cortocircuita.
Paso 1º. Se abren las fuentes de intensidad:
U
I1 =
Z1 + Z 2 + Z 3
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un
generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador
de tensión se cortocircuita.
Paso 2º. Se cortocircuita la fuente de tensión y se abre la fuente de intensidad
I2 =
− I g 1 ⋅ Z1
Z1 + Z 2 + Z 3
Método de superposición
Se resuelve el circuito para cada generador por separado. Donde había un
generador de corriente se deja el circuito abierto y donde había un generador
de tensión se cortocircuita.
Paso 3º. Se cortocircuita la fuente de tensión y se abre la otra fuente de
intensidad.
I3 =
− I g 2 ⋅ Z3
Z1 + Z 2 + Z 3
Método de superposición
U
I1 =
Z1 + Z 2 + Z 3
I2 =
I3 =
− I g 1 ⋅ Z1
Z1 + Z 2 + Z 3
− I g 2 ⋅ Z3
Z1 + Z 2 + Z 3
⇒
I = I1 + I 2 + I 3
Nota. El método de superposición es el único
con el que se puede resolver circuitos con
fuentes de frecuencias distintas, si es así:
¡Ojo! Se tiene que pasar primero de fasores
al espacio temporal y hacer la SUMA .
Método de superposición

Ejemplo: Calcular la intensidad que circula por
el condensador.
i (t ) = 10 2 ⋅ sen (100 t )
a
ub (t ) = 10 2 ⋅ cos(100 t )
I = 10∠ − 90
U = 10∠0º
Z1 = 1∠0º
Z 2 = j ≡ 1∠90
Z 3 = − j ≡ 1∠ − 90
Z 4 = 1 ∠0º
Z 5 = j = 1∠90º
Método de superposición

Trabajamos con la fuente de tensión, entonces
dejamos abierta la fuente de corriente.
 1 j  I1   0 
 ⇒ Ia = I1 − I 2 = 5 + 5j

 ⋅   = 
 j 1  I 2   − 10 
Método de superposición

Trabajamos con la fuente de corriente,
entonces cortocircuitamos la fuente de tensión.
j   U 1   − 10j
1 − j
U2
 ⇒ I b =

 ⋅   = 
= 5 − 5j
−j
 j 1 /(1 + j)  U 2   0 
Método de superposición
I a = 5 + 5j
⇒ I =I
I b = 5 − 5j
a
+ I b = 10∠0º ⇒ i(t) = 10 2 Cos(100 ⋅t)
Tema 4: Potencia de circuitos
monofásicos
Índice
 Potencia
 Triángulo
de potencias
 Teorema de Boucherot
 Factor de potencia
 Mejora del factor de potencia
Potencia
 Efecto
Joule
“Es la disipación de energía en forma de calor al pasar una corriente eléctrica por
un elemento pasivo”.
Supongamos una resistencia R conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t);
u (t ) = 2 ⋅ U ⋅ cos ω t
i (t ) =
T
T
T
0
0
0
u (t )
U
= 2 ⋅ ⋅ cos ω t = 2 ⋅ I ⋅ cos ω t
R
R
T
E = ∫ p(t ) dt = ∫ u (t ) i (t ) dt = ∫ R i (t ) dt =R ∫ i 2 (t ) dt = R I 2T (J)
Q = 0.24 ⋅ R I 2T (Cal)
2
0
Yef =
1 T 2
∫ y (t ) dt
T 0
Potencia

Potencia instantánea, fluctuante, aparente,
activa y reactiva.
Supongamos una impedancia Z conectada a los bornes de una fuente de tensión u(t);
u (t ) = 2 ⋅ U ⋅ cos ω t ⇒ U = U∠0º
Z = Z∠ϕ
I=
U U∠0º U
=
= ∠ − ϕ = I∠ − ϕ
Z Z∠ϕ Z
i (t ) = 2 ⋅ I cos (ω t − ϕ )
p (t ) = u (t ) i (t ) = 2 UI cos ω t ⋅ cos(ω t − ϕ ) = UI [cos(2ωt − ϕ ) + cos ϕ ] =
1
cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
Potencia
= UI [cos(2ωt − ϕ ) + cos ϕ ] = UI cos(2ωt − ϕ ) + UI cos ϕ = Pf + P
p (t ) = Pf + P
Potencia Fluctuante
+
Potencia Fluctuante
Potencia Activa
=
Potencia Activa
Potencia Instantánea
Parte de la energía la rechaza la carga y es como si la devolviese
Potencia
- Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre una resistencia R
Z = R∠0º ⇒ p (t ) = UI cos(2ωt − ϕ ) + UI cos ϕ = UI cos 2ωt + UI = Pf + P
No devuelve nada de energía (en cada segundo), la gasta entera en realizar un trabajo
Potencia
- Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre una bobina L
Z = ωL∠90º ⇒ p (t ) = UI cos(2ωt − ϕ ) + UI cos ϕ = UI cos(2ωt − 90 ) = Pf
Devuelve toda la energía (en cada segundo), por tanto “no” realiza ningún
trabajo
Potencia
- Potencia (energía proporcionada cada segundo) sobre un condensador C
1
Z=
∠ − 90º ⇒ p (t ) = UI cos(2ωt − ϕ ) + UI cos ϕ = UI cos(2ωt + 90 ) = Pf
ωC
Devuelve toda la energía (en cada segundo), por tanto “no” realiza ningún
trabajo
Potencia
pmedia
1 T
UI
= ∫ p (t )dt =
T 0
T
∫
T
0
UI
cos(2ωt − ϕ )dt +
T
∫
T
0
cos ϕ dt = UI cos ϕ = P
CERO
pmedia = P
p (t ) = UI Cos ϕ + UI Cos (2ωt − ϕ ) = P [1 + Cos 2ωt ] + UI Sen ϕ Sen 2ωt =
cos(a − b) = cos a cos b + sena senb
= P [1 + Cos 2ωt ] + UI Sen ϕ Sen 2ωt = P [1 + cos 2ωt ] + Q sen 2ωt
Q
(Potencia reactiva)
Potencia
p (t ) = UI Cos (2ωt − ϕ ) + UI Cos ϕ = F + P = P [1 + Cos 2ωt ] + Q Sen 2ωt
P = UI ⋅ Cos ϕ (W)
(Potencia activa)
Q = UI ⋅ Sen ϕ (VAr)
(Potencia reactiva)
S = UI (VA)
(Potencia aparente)
La potencia activa (potencia media) es la que realmente realiza el trabajo,
ésta es la razón por la que se le denomina activa.
La potencia aparente es la que aparentemente proporciona el generador,
sin embargo, sólo una parte actúa activamente en producir el trabajo.
Triángulo de Potencias
u (t ) = 2 ⋅ U ⋅ cos ω t ⇒ U = U∠0º
Z = Z∠ϕ
I=
U U∠0º U
=
= ∠ − ϕ = I∠ − ϕ
Z Z∠ϕ Z
U ⋅ I * = U∠0º⋅I∠ϕ = UI∠ϕ ⇒ U ⋅ I * = UI ⋅ Cos ϕ + jUI ⋅ Sen ϕ
S = U ⋅ I * = P + jQ
Teorema de Boucherot
La potencia activa absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica de
las potencias activas absorbidas por cada uno de ellos.
PT = ∑ Pi
La potencia reactiva absorbida por un conjunto de receptores es la suma algebraica
de las potencias reactivas absorbidas por cada uno de ellos.
QT = ∑ Qi
La potencia aparente absorbida por un conjunto de receptores es la suma vectorial de
las potencias aparentes absorbidas por cada uno de ellos.
S T = ∑ S i ⇒ S T = PT + QT
2
2
Teorema de Boucherot
Demostración:
a) Circuito en serie
S = U ⋅ I * = [U1 + U 2 +  + U N ]⋅ I * = U1 ⋅ I * +U 2 ⋅ I * +  + U N ⋅ I * =
= S1 + S 2 +  + S N = P1 + jQ1 + P2 + jQ2 +  + PN + jQN =
= (P1 + P2 +  + PN ) + j (Q1 + Q2 +  + QN ) = PT + jQT
b) Circuito en paralelo
Demostración en el libro del área
Factor de Potencia
P
Factor de potencia =
S
P UI cos ϕ
=
= Cos ϕ ⇒ f .d . p. = Cos ϕ
S
UI
¿Qué significado físico tiene?
Ejemplo: Efectuar un estudio comparativo para una instalación en la que se desea
alimentar un motor de 20kW (inductivo), a 380 V, mediante una línea monofásica cuya
resistencia total es de 0,003 Ω/m y una longitud total de 100 m, para;
i) Cos φ = 1
ii) Cos φ = 0.5
Factor de Potencia
La intensidad que circula por el circuito cuando conectamos la carga (motor) es:
Nota: en los motores, en vez de dar el valor de su impedancia se proporciona el valor
de la potencia eléctrica consumida (cuando se conecta a su tensión nominal) y el
factor de potencia.
I=
P
U ⋅ Cosϕ
 20000
U
380∠ 0º
I
Z
52
.
632
A
52
.
632
0
º
=
⇒
=
∠
⇒
=
=
= 7.22∠ 0º

I 52.632∠ 0º
=  380 ×1.0
 20000 = 105.26 A ⇒ I = 105.26∠ − 60º ⇒ Z = U = 380∠ 0º = 3.61∠ 60º
 380 × 0.5
I 105.26∠ − 60º
Por efecto Joule, la potencia disipada en forma de calor por la línea monofásica es:
PL = R ⋅ I 2 =
0.3 × 52.632 2 = 831.04 W

0.3 × 105.26 2 = 3323.9 W
Factor de Potencia
La potencia proporcionada por el generador al sistema para que funcione el motor en
su tensión nominal es:
831.04 + 20000 = 20831.04 W
PG = PL + PM = 
3323.9 + 20000 = 23323.90 W
El rendimiento de las dos instalaciones es:
 20000
PM  20831.04 = 96.00 %
η= = 
PG  20000 = 85.75 %
 23323.90
La potencia reactiva consumida por el motor es:
20000 × tan 0º = 0 VAr
 20000 × tan 60º = 34641 VAr
Q = P ⋅ tan ϕ = 
Mejora del Factor de Potencia

Medida del factor de potencia
Medida del factor de potencia a través de contadores de activa y reactiva:
Cos ϕ =

P
=
S
P
P2 + Q2
=
P ⋅t
( P ⋅ t ) 2 + (Q ⋅ t ) 2
Corrección del factor de potencia
a) Corrección de un f.d.p. inductivo
=
kWh
kWh 2 + kV Arh 2
Mejora del Factor de Potencia
Q2 = Q1 + QC ⇒ QC = Q2 − Q1 ⇒ QC = P ⋅ [tan ϕ 2 − tan ϕ1 ]
U
SC = U ⋅ I * = U ⋅ 
 XC
∗

U*
U∠ 0º
U 2 ∠ 0º
 = U ⋅
= U∠ 0º⋅
=
= − jU 2ωC = PC + jQC ⇒
1
1
XC *

(
∠ − 90º ) *
∠ 90º
ωC
ωC
⇒ QC = −U 2ωC ⇒ −U 2ωC = P ⋅ [tan ϕ 2 − tan ϕ1 ] ⇒
C=
P ⋅ [tan ϕ1 − tan ϕ 2 ]
U 2ω
Mejora del Factor de Potencia
b) Corrección de un f.d.p. capacitivo
Mismo procedimiento que en el caso anterior, pero esta vez usando una bobina
conectada en paralelo (las impedancias de corrección de f.d.p. no se conectan en serie
porque entonces habría que generar más tensión para compensar la caída por la
impedancia conectada en serie). Realizando el mismo procedimiento, el valor de la
bobina es:
L=
U2
ωP ⋅ [tan ϕ1 − tan ϕ 2 ]
Problema
Una obra alimentada por una red monofásica a 220 V y 50 Hz, tiene las siguientes cargas:
1) Grúa con una potencia total instalada de 10 kW, cosφ = 0,8 inductivo, rendimiento 90%.
2) Dos hormigoneras de 5 CV cada una, cosφ = 0,75 inductivo, η = 88%.
3) Un grupo de soldadura de 5 kW, η = 97%, f.d.p. unidad.
Calcular:
a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
b) Corriente total y su f.d.p.
c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω, calcular la potencia perdida por efecto Joule
en la misma.
d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9
en retraso.
e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y
potencia perdida en la línea por efecto Joule.
f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de
condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2
Problema
Calcular:
a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
P = UI cos ϕ ⇒ I =
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
Pmec
P
⇒I=
η ⋅ U cos ϕ
U cos ϕ
Problema
Calcular:
a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
Grúa:
I=
Pmec
10000
=
= 63.13 A
η ⋅U cos ϕ 0.9 ⋅ 220 ⋅ 0.8
cos ϕ = 0.8 ⇒ ϕ = 36.87 el ángulo es positivo por ser inductivo
I = 63.13∠ − 36.87 º A
Problema
Calcular:
a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
Hormigonera:
I=
Pmec
5 × 736
=
= 25.34 A
η ⋅U cos ϕ 0.88 ⋅ 220 ⋅ 0.75
cos ϕ = 0.75 ⇒ ϕ = 41.41 el ángulo es positivo por ser inductivo
I = 25.34∠ − 41.41º A
Problema
Calcular:
a) Corrientes parciales absorbidas por cada carga.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura:
I=
Pmec
5000
=
= 23.43 A
η ⋅ U cos ϕ 0.97 ⋅ 220 ⋅ 1
cos ϕ = 1 ⇒ ϕ = 0
I = 23.43∠0º A
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
Problema
Calcular:
b) Corriente total y su factor de potencia.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
I T = I Grúa + 2 ⋅ I Hormigonera + I Grupo = 63.13∠ − 36.87º +2 × 25.34∠ − 41.41º +23.43∠0º =
= 132.76∠ − 32.53º A
cos 32.53º = 0.84 inductivo
Problema
Calcular:
c) Si la línea tiene una resistencia total de 0,1Ω, calcular la potencia perdida por efecto Joule
en la misma.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Pcalor = R ⋅ I 2 = 0.1 ⋅132.76 2 = 1762.52 W
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
Problema
Calcular:
d) Potencia reactiva de los condensadores necesaria para elevar el f.d.p. de la instalación a 0.9
en retraso.
220 V
50 Hz
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
cos 32.58º = 0.84
[
]
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
cos ϕ f = 0.9 ⇒ ϕ f = 25.84º
QC = P ⋅ tan ϕi − tan ϕ f = 220 ⋅132.76 ⋅ 0.84 ⋅ [tan 32.58º − tan 25.84º ] = 3.78 kVAr
Problema
Calcular:
e) Nueva corriente que circulará por la línea con los efectos de los condensadores conectados y
potencia perdida en la línea por efecto Joule.
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
El condensador que ha mejorado el factor de potencia no modifica la potencia activa
consumida por las cargas, por tanto conocemos la potencia activa:
P = 24.7 kW = 220 ⋅ I ⋅ 0.9 ⇒ I = 124.34 A ⇒ I = 124.34∠ − 25.84º
Pcalor = R ⋅ I 2 = 0.1 ⋅124.34 2 = 1546.13 W
Problema
Calcular:
f) Sección de los conductores de la línea antes y después de conectar la batería de
condensadores si la densidad de corriente admitida es 3 A/mm2
220 V
50 Hz
Grúa
10kW
f.d.p. 0.8 inductivo
rendimiento 90%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Hormigonera
5CV
f.d.p. 0.75 inductivo
rendimiento 88%
Grupo soldadura
5kW
f.d.p. 1.0
rendimiento 97%
antes:
I T = 132.76 A ⇒ s =
132.76 A
2
=
44
.
25
mm
3 A/mm2
ahora:
I T = 124.34 A ⇒ s =
124.34 A
= 41.45 mm 2
2
3 A/mm
Apéndice
Repaso de números complejos
Repaso de números complejos
Bibliografía
1. F. Aznar, A. Espín y F. Gil. “Electrotecnia básica para ingenieros”. 2ª Ed. Universidad
de Granada, 2012.
2. J. Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos eléctricos”. 4ª Ed. McGraw-Hill, 2005.
3. A. Pastor Gutiérrez, J. Ortega Jiménez, V. M. Parra Prieto y A. Pérez Coyto.
“Circuitos Eléctricos” Vol. I. Editorial de la Universidad Nacional de Educación a
Distancia, 2005.
4. J. Fraile Mora. “Problemas de circuitos eléctricos”. Pearson, 2013.
5. M. R. Spiegel, L. Abellanas. “Fórmulas y tablas de matemática aplicada”. McGrawHill, 1997.