matemáticas aplicadas a las ciencias sociales ii

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS
CIENCIAS SOCIALES II
Índice
1. LA MATERIA
2. EL LIBRO DE TEXTO
3. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
4. EVALUACIÓN
5. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES
UNIDADES DIDÁCTICAS
1. Sistemas de ecuaciones lineales
2. Matrices
3. Determinantes
4. Programación lineal
5. Límite, continuidad, asíntotas y derivada de una función
6. Aplicaciónes de la derivada
7. La integral
8. Probabilidad
9. Inferencia estadística. Distribuciones muestrales
10. Inferencia estadística. Intervalo de confianza y contraste de hipótesis
MATEMÁTICAS ALPLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
1. LA MATERIA
Las Matemáticas de este curso tienen una orientación fundamentalmente práctica. En
ellas, no es tan importante la formalización de los conceptos o el rigor de las demostraciones
como su comprensión, de forma que pedan servir en situaciones reales y se puedan utilizar
para el planteamiento y resolución de problemas. Se deben ver como lenguaje y
herramienta de cálculo al servicio de otros campos del conocimiento.
Como lenguaje, las Matemáticas te permitirán expresar relaciones entre variables de
una forma rigurosa (ecuaciones), ordenar datos en informaciones de forma compacta y
manejable (matrices), resumirlos en unos pocos valores significativos (estadística),
representar fenómenos, comprender y predecir su evolución (funciones), y esto en las áreas
más diversas: Economía, Sociología, Sicología, Medicina, etc.
Como herramienta de cálculo proporcionan conocimientos e instrumentos técnicos que
permiten interpretar y abordar problemas complejos; Entre ellos, especialmente, los
relacionados con el mundo de la Economía.
Los tres bloques de contenidos que vas a estudiar están orientados a proporcionar el
carácter instrumental que tienen estas Matemáticas.
Álgebra
Su finalidad es que seas capaz de expresar un problema en lenguaje algebraico y
resolverlo utilizando técnicas algebraicas determinadas: Matrices, resolución de sistemas de
ecuaciones lineales y programación lineal.
Análisis
Este año vamos a estudiar dos conceptos importantes del cálculo diferencial: la
derivación y la integración. En los dos casos se trata de aplicarlos a funciones provenientes
de contextos reales.
Estadística y Probabilidad
Tanto en Humanidades como en Ciencias Sociales se utilizan el Cálculo de
probabilidades y la Estadística. Se profundiza en el estudio de probabilidades que se inició
en el primer curso. A continuación se introduce el concepto de inferencia estadística,
muestreo y contraste de hipótesis.
Al finalizar el curso debes ser capaz de:
- Aplicar tus conocimientos matemáticos a situaciones diversas, utilizándolos, en
particular, en la interpretación de fenómenos de las ciencias sociales y humanas
y en las actividades cotidianas.
- Utilizar y contrastar estrategias diversas en la resolución de problemas.
- Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y
económicos, utilizando tratamientos matemáticos.
3
-
-
Mostrar actitudes propias de la actividad matemática como la visión crítica, la
necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el cuestionamiento de la
apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas.
Adquirir cierto rigor en el pensamiento científico, encadenar coherentemente los
argumentos y detectar incorrecciones lógicas.
Expresarse oral, escrita y gráficamente en situaciones susceptibles de ser
tratadas
matemáticamente, mediante la adquisición y el manejo de un
vocabulario específico de la materia.
2. EL LIBRO DE TEXTO
El libro que deberás utilizar en el estudio de esta asignatura es:
Matemáticas aplicadas a la Ciencias Sociales II
Autores: Calviño Castelo, Santiago; Sánchez Hernández, Augusto y Vigara
Hernández, Lucio.
Editorial: CIDEAD - MEC, Madrid, 2007.
ISBN
NIPO
2.1. Distribución trimestral de los contenidos
Los contenidos se ha agrupado en tres bloques temáticos con un total de diez
unidades didácticas.
La distribución temporal de estas unidades didácticas a lo largo del curso será:
Primer trimestre:
Bloque temático I: Álgebra (Unidades 1 a 4)
Segundo trimestre:
Bloque temático II: Análisis y Probabilidad (Unidades 5 a 8)
Tercer trimestre:
Estadística (Unidades 9 y 10)
3. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
En cada unidad didáctica encontrarás siempre los siguientes apartados:
1. Página de inicio de la unidad.
2. Desarrollo teórico de cada apartado del índice de la Unidad.
3. Ejemplos resueltos
4. Actividades
Al final del libro encontrarás la solución detallada de todas las actividades propuestas.
4
Para su estudio te recomendamos que sigas los siguientes pasos:
1.º Empieza leyendo la página de inicio de la unidad que te invita a reflexionar sobre
los contenidos que vas a estudiar en la unidad.
Haz un esquema general de la Unidad. En un primer momento te pueden bastar
los títulos de los diferentes apartados.
2º. Haz los Ejemplos resueltos que se proponen al finalizar la explicación de los
conceptos y procedimientos. Cada uno de ellos va seguido de Actividades de
autoevaluación que al intentar resolverlas comprobarás si has entendido lo
inmediatamente anterior.
Muchos de los conceptos matemáticos admiten una expresión gráfica. Te resultará
mucho más fácil su estudio si vas buscando ejemplos gráficos de cada uno de ellos.
Al final del libro encontrarás la solución detallada de todas las Actividades de
autoevaluación propuestas.
4. EVALUACIÓN
Cada prueba de evaluación constará de cuatro ejercicios o cuestiones
correspondientes a cada una de las cuatro quincenas que comprenden la evaluación y un
problema de recapitulación del trimestre. Se podrá pedir al alumno que realice ejercicios de
tipo práctico o que realice algún razonamiento sencillo para justificar resultados
matemáticos.
Ten en cuenta que en esta materia no hay pruebas de recuperación: cada evaluación
recupera por sí misma la anterior. Pero no olvides que los contenidos de esta materia
pueden ser objeto de evaluación a lo largo de todo el curso.
El examen de septiembre tendrá la misma estructura que los anteriores y se hará
sobre la totalidad de la materia estudiada en el curso.
5
5. ORIENTACIONES Y ACTIVIDADES
BLOQUE TEMÁTICO 1: ÁLGEBRA
El Álgebra es el lenguaje básico matemático. Mediante el estudio de las siguientes
unidades se pretende que adquieras soltura en su comprensión y empleo, que seas capaz
de transcribir problemas reales al lenguaje algebraico y que sepas utilizar las técnicas
básicas para su resolución.
UNIDAD 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En el primer curso de Bachillerato resolviste analítica y gráficamente sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. En este curso aprenderás a clasificar, discutir y resolver
sistemas de ecuaciones lineales con un número cualquiera de ecuaciones y de incógnitas.
Para ello cuentas con una herramienta sencilla y eficaz: el método de Gauss. Has de ser
capaz de transcribir un problema expresado en lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico,
resolverlo y, por último, interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Identificar sistemas lineales.
- Tener el concepto de solución de un sistema.
- Resolver e identificar gráficamente sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas.
- Resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de
Gauss.
Actividades para enviar al tutor
3 x + y − 4z = 5 ⎫
⎪
1. Dado el sistema 2 x + 3 y + 5 z = −2 ⎬ ; se pide:
3 x + 2 y + 4 z = −2 ⎪⎭
a) Justificar que tiene solución.
b) Calcular la solución.
2. Encuentra tres números tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del
último más la cuarta parte del otro sea 95, y de forma que la media aritmética de los dos
últimos sea 80.
6
UNIDAD 2. MATRICES
Las matrices son conjuntos de datos ordenados en filas y columnas, son tablas de
doble entrada de las que se pueden encontrar muchos ejemplos en la vida cotidiana:
paneles de información de Renfe, calificaciones de un grupo de alumnos en varias materias,
etc.
Una vez ordenados los datos se definen operaciones con el conjunto de ellos.
Mediante el estudio de esta unidad debes aprender a organizar informaciones en
forma de tablas (matrices) y analizar el significado de los resultados obtenidos con las
operaciones entre matrices.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Escribir y leer matrices de datos.
- Saber el significado de dimensión de una matriz y el criterio de igualdad de
matrices.
- Conocer los distintos tipos de matrices.
- Sumar y restar matrices; multiplicar una matriz por un número y multiplicar matrices
en casos fáciles.
- Saber cuándo dos matrices son inversas.
Actividades para enviar al tutor
1.- Sea la matriz
⎛ 1
0 0 ⎞⎟
⎜
A = ⎜1
1 0⎟
⎜ 10
⎟
⎜1
0 1⎟
⎝ 10
⎠
(a) Calcúlese la matriz A + A2.
⎛ x ⎞ ⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(b) Resuélvase el sistema A ⎜ y ⎟ = ⎜ 5 ⎟
⎜z⎟ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5
2.- Obtener razonadamente la matriz X que verifique AX = 2B – C, siendo:
⎛ 3 − 4⎞
⎛ 2 1⎞
⎟⎟ ; C =
⎟⎟ ; B = ⎜⎜
⎝ −1 1 ⎠
⎝ − 5 0⎠
A = ⎜⎜
⎛− 2 −7 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 13 2 ⎠
7
UNIDAD 3. DETERMINANTES
A cada matriz cuadrada de orden n se le asocia un número real, al que llamamos
determinante.
En esta unidad aprenderemos cómo se calculan determinantes. Su cálculo nos servirá
para:
- Facilitar el cálculo de la matriz inversa.
- Facilitar el cálculo del rango de una matriz.
- Resolver determinados sistemas de ecuaciones empleando la regla de Cramer.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Calcular determinantes de orden 2 y 3.
- Saber que un determinante con dos líneas iguales o proporcionales vale cero.
- Manejar el método del pivote para la simplificación de determinantes.
- Expresar un sistema lineal como una ecuación matricial y resolverlo por medio de
la matriz inversa o empleando la regla de Cramer.
Actividades para enviar al tutor
a b c
1.- Resuelve la ecuación |A| = 0, donde A = a x c .
a b x
⎛ a + 1 a 2 + 1⎞
⎟ no tiene inversa.
2.- Indica para qué valores del parámetro a la matriz A = ⎜
⎜ 1
⎟
a
+
1
⎝
⎠
Calcúlala, si es posible, para el caso a = 1.
3.- Encontrar tres números x, y, z tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del
primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea
80.
8
UNIDAD 4. PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal tiene una finalidad fundamentalmente práctica: encontrar la
solución óptima (máximo beneficio, mínimo coste, etc.) en problemas en los que, como
ocurre en la realidad, nuestros recursos están limitados (estas limitaciones se representan
matemáticamente mediante las inecuaciones).
Primeramente es necesario pasar el enunciado literal del problema a su formulación
matemática:
¿Qué es lo que queremos maximizar o minimizar? La respuesta a esta pregunta nos
conducirá a la función objetivo.
¿Qué limitaciones o restricciones tenemos? Cada limitación hemos de intentar
formularla como una inecuación. (Será más fácil si ordenamos los datos en forma de tabla,
como te explica el libro en el apartado 4.4).
Una vez planteado el problema, el segundo paso es aplicar el método de resolución:
A partir de las inecuaciones determinar y dibujar la región factible.
Calcular las coordenadas de sus vértices.
Determinar la solución o soluciones óptimas, si existen, sustituyendo las coordenadas
de los vértices en la función objetivo y hallando el valor máximo o mínimo, o
representando gráficamente las rectas de nivel.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Describir la idea de la programación lineal.
- Dominar el lenguaje propio de la programación lineal: función objetivo,
restricciones, región factible, rectas del nivel, etc.
- Saber representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices para un
problema dado en forma estándar.
- Saber hallar la solución óptima.
- Plantear y resolver problemas sencillos de programación lineal partiendo de su
enunciado en términos generales.
Actividades para enviar al tutor
⎧ x − 2 y ≤ −1
⎪
1.- Dadas las restricciones ⎨ 6 x − y − 5 ≥ 0 hallar los puntos de la región que limitan, en
⎪5 y ≥ −4 x − 22
⎩
los cuales la función F(x, y) = x + y es máxima y aquellos en que es mínima.
2. Un fabricante de ladrillos para patios produce dos tipos distintos: gruesos y finos. Los
ladrillos gruesos necesitan dos horas de trituración, 5 horas de amalgamación y 8 horas
de secado. Los ladillos finos necesitan 6 horas de trituración, 3 horas de amalgamación y
dos horas de secado. El margen de beneficios para los ladrillos gruesos es de 40; para
los finos, de 50. El fabricante dispone de 36 horas de trituración, 30 horas de
amalgamación y 40 horas de secado. Plantéese el problema que permite maximizar los
beneficios.
9
BLOQUE TEMÁTICO II: ANÁLISIS
UNIDAD 5. LÍMITE, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Los conceptos de límite y de continuidad son los más básicos de este bloque y los
emplearás repetidamente a lo largo de su desarrollo. Para entenderlos más fácilmente es
recomendable que te apoyes en representaciones gráficas, como las del apartado 5.1 del
libro.
En cuanto a los procedimientos característicos de esta Unidad, es importante que
practiques con las reglas del cálculo de límites en funciones usuales y las apliques al cálculo
de asíntotas horizontales y verticales de una curva. También deberás hacer algún problema
usando los límites laterales para determinar la continuidad de una función en un punto.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Resolver indeterminaciones de la forma 0/0 e ∞/∞
-
asociadas a funciones
racionales.
Aplicar los límites para el cálculo de las asíntotas de una función.
Comprender la noción de continuidad.
Conocer los puntos de discontinuidad de las funciones usuales.
Saber las condiciones necesarias y suficientes para que una función definida a
trozos sea continua.
Conocer el concepto de derivada de una función en un punto.
Saber la interpretación geométrica de la derivada para calcular la tangente a
Una curva.
Saber calcular las derivadas laterales de una función en un punto.
Calcular límites aplicando la regla de L’Hopital.
Obtener las derivadas sucesivas.
Actividades para enviar al tutor
1.- Calcula los límites siguientes:
⎛ 6x 2 − 5 ⎞
⎟
a) lím ⎜⎜ 2
x →∞ 6 x + 2 x − 1 ⎟
⎝
⎠
3x
x 4 − 3 x 3 − 2 x 2 + 12x − 8
.
x →2
x 4 − 3x 3 + 4x
; b) lím
⎧x + 2
⎪⎪ x − 1 , si x ≤ 2
2.- Se considera la función f ( x ) = ⎨ 2
.
⎪ 3 x − 2 x , si x > 2
⎪⎩ x + 2
a) Estúdiese si f(x) es continua en el punto x = 2.
b) Calcúlense sus asíntotas oblicuas.
3.- Halla la función derivada de las siguientes funciones:
2
x 2 −1
(3x + 5) ; b) y = 4 x 2 + 5 .
a) y = e
4x − 5
10
UNIDAD 6. APLICACIÓNES DE LA DERIVADA
Explicaciones complementarias
En esta Unidad estudiarás aplicaciones usuales de la derivada:
- Obtención de los máximos y mínimos relativos de las funciones derivables.
- Optimización: a partir de problemas extraídos de situaciones reales debes saber
expresar algebraicamente la función objetivo (la magnitud que debe ser máxima o
mínima), determinar en qué valor se produce e interpretar el resultado en el
contexto inicial.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Entender en qué consiste un problema de optimización.
- Saber plantear y resolver problemas de optimización sencillos.
- Obtener los máximos y mínimos relativos de las funciones derivables.
- Saber la interpretación geométrica de la derivada para calcular la tangente a una
curva.
Actividades para enviar al tutor
1. Estudia y representa la función f ( x ) =
2. Estudia y representa la función y =
(x − 2)(x − 3) .
x2
2x
.
x −4
2
3. Sea f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c que pasa por el punto (-1,0) y tiene un máximo en (0,4).
Halla: a) la función; b) el mínimo; c) el punto de inflexión. Esboza la gráfica de dicha
función.
11
UNIDAD 7. LA INTEGRAL
Explicaciones complementarias
El cálculo de integrales se suele iniciar asociándolo al cálculo de áreas de figuras
planas limitadas por curvas. Dada la orientación de esta asignatura deberás aprender
también a aplicar las integrales al estudio de procesos relacionados con las Ciencias
Sociales.
La integración y la derivación son procesos inversos. Este dato lo podrás usar para
comprobar si el resultado obtenido en la integración de una función es correcto. Al derivarlo
deberá coincidir con la función inicial.
Para calcular integrales con soltura es necesario que aprendas de memoria las
integrales inmediatas más usuales.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Calcular la función primitiva de una función.
- Calcular integrales inmediatas.
- Calcular integrales casi-inmediatas.
- Calcular integrales definidas.
- Regla de Barrow. Aplicación de la integral definida en el cálculo de áreas planas.
Actividades para enviar al tutor
1. Sea la función f ( x ) = x 3 − 9 x .
a) Calcular sus extremos relativos y los puntos de inflexión.
b) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f(x), el eje OX y las
rectas verticales x = -1, x = 4.
2. Sean las funciones y = x 3 − 4 x 2 + 4 x , y = −3 x 2 + 6 x . Represéntalas y determina el área
encerrada por ambas.
12
BLOQUE TEMÁTICO III: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
UNIDAD 8. PROBABILIDAD
Explicaciones complementarias
En la Unidad se comienza estudiando las operaciones con sucesos: unión,
intersección, diferencia. Los entenderás con más facilidad representando gráficamente las
operaciones. Esto te ayudará también en la resolución de problemas.
Para la determinación de los casos favorables y posibles, así como en la resolución
de muchos problemas será de gran utilidad apoyarte en diagramas en árbol. Para dominar
este tema es necesario que te ejercites con suficiente número de ejercicios
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la Unidad deberás ser capaz de:
- Hallar el espacio muestral de un experimento aleatorio en casos sencillos.
- Distinguir los distintos tipos de sucesos: simples, compuestos, compatibles,
incompatibles, dependientes e independientes, seguro y complementario.
- Asignar probabilidades a sucesos compuestos.
- Calcular probabilidades condicionadas en casos sencillos.
- Hallar la probabilidad de la intersección de sucesos cuando éstos sean
independientes.
- Identificar sucesos independientes y calcular probabilidades condicionadas.
- Calcular probabilidades totales.
Actividades para enviar al tutor
1.- En una ciudad, la probabilidad de que uno de sus habitantes censados vote al partido A es
0,4; la probabilidad que vote al partido B es 0,35 y la probabilidad de que vote al partido C
es 0,25. Por otro lado, las probabilidades de que un votante de cada partido lea diariamente
algún periódico son respectivamente: 0,4; 0,4 y 0,6. Se elige una persona de la ciudad al
azar:
a) Calcúlese la probabilidad de que lea algún periódico.
b) La persona elegida lee algún periódico, ¿cuál es la probabilidad de que sea votante del
partido B?
2.- Se dispone de tres urnas, la A que contiene dos bolas blancas y cuatro rojas, la B con tres
blancas y tres rojas, y la C con una blanca y cinco rojas.
a) Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella, ¿cuál es la probabilidad de que
esta bola sea blanca?
b) Si la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna
B?
13
UNIDAD 9. INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Explicaciones complementarias
Una vez estudiados los conceptos básicos sobre sucesos aleatorios y su probabilidad
vamos a cuantificar los resultados del espacio muestral mediante el empleo medidas
numéricas para estudiar su comportamiento aleatorio. El concepto de variable aleatoria
proporciona un medio para relacionar cualquier suceso aleatorio con una medida
cuantitativa.
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la unidad deberás ser capaz de:
- Asignar una probabilidad a cada valor de una variable discreta definida.
- Hallar la media y al varianza de una variable aleatoria discreta.
- Hallar la media y la varianza de una distribución binomial.
- Calcular probabilidades en una distribución binomial.
- Calcular probabilidades en una distribución normal.
- Conocer los métodos del muestreo estadístico y extraer muestras de una
población.
- Saber determinar las distribuciones muestrales de proporciones, medias, sumas
muestrales y diferencias de medias.
- Calcular probabilidades asociadas a distintos estadísticos.
Actividades para enviar al tutor
1.- Se conoce que el número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue
una distribución normal de media 8,1 y desviación típica 9 días. Se elige al azar una
muestra de 100 enfermos:
a) Razone cuál es la distribución de las medias muestrales.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 8 y 10
días?
2.- Tras realizar un test de cultura general entre los habitantes de cierta población, se
observa que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 68 y desviación
típica 18. Se desea clasificar a los habitantes en tres grupos (de cultura general baja, de
cultura general aceptable y de cultura general excelente), de manera que el primer grupo
abarque un 20% de la población, el segundo un 65% y el tercero el 15% restante.
¿Cuáles son las puntuaciones que marcan el paso de un grupo a otro?
14
UNIDAD 10. INFERENCIA ESTADÍSTICA. INTERVALO DE CONFIANZA Y CONTRASTE
DE HIPÓTESIS
Explicaciones complementarias
La Unidad anterior se centraba en el estudio de la muestra. En ésta, a partir de los
datos obtenidos en una muestra, tratamos de estimar valores aplicables a toda la población
con un riesgo de error determinado
Criterios de evaluación
Al finalizar el estudio de la unidad deberás ser capaz de:
- Estimar parámetros poblacionales a partir de los correspondientes parámetros
muestrales.
- Conocer el significado y saber calcular intervalos de confianza para proporciones,
medias y diferencias de medias poblacionales, a partir de una muestra.
- Determinar el tamaño mínimo de una muestra dependiendo del error máximo
admitido y de la confianza deseada.
- Saber formular las hipótesis nula y alternativa de un problema de contraste.
- Discernir las distintas situaciones que pueden darse en un contraste de hipótesis y
relacionarlas con los tipos de errores.
Actividades para enviar al tutor
1.- Se ha tomado una muestra de 100 individuos a los que se les ha medido el nivel de
glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral X = 110 mg/cm3. Se sabe que la
desviación típica, σ , del nivel de glucosa en sangre de la población es de 20 mg/cm3.
a) Determina un intervalo de confianza al 90% para la media del nivel de glucosa en
sangre de la población
b) ¿Qué error se comete en la estimación anterior?
2.- Un laboratorio farmacéutico asegura que un medicamento contra la alergia es efectivo en
el 90% de los pacientes que lo utilicen. En una muestra de 200 personas que toman el
medicamento se ha observado mejoría de los síntomas de la alergia en 165. Determina
con un nivel de significación de 0,01 si debemos aceptar la afirmación del laboratorio o
rechazarla por exagerada.
3.- En una muestra de 500 personas tomada al azar en una ciudad, se encontró que 220
leían algún periódico habitualmente. Determine con un nivel de confianza del 95% el
intervalo en el que se encuentre la proporción poblacional de lectores de periódico de esa
ciudad.
15