licenciatura en educación matemática - Ridaa Principal

LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
“Diseño, implementación y análisis de una
secuencia didáctica para estudiar el Teorema
de Thales y sus aplicaciones en la Escuela
Secundaria”
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2016
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
“Diseño, implementación y análisis de una
secuencia didáctica para estudiar el Teorema
de Thales y sus aplicaciones en la Escuela
Secundaria”
ANDREA HERNANDEZ
Tesis realizada con la orientación
de la Dra. Viviana Carolina
Llanos,
presentada
como
requisito parcial para la obtención
del título de Licenciado en
Educación Matemática.
Tandil, Febrero de 2016
AGRADECIMIENTOS
Quiero expresar mi agradecimiento a:
A la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, a la Facultad de
Ciencias Exactas y a sus autoridades actuales por apoyar mi formación profesional.
Al NIECyT (Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología) por
abrirme sus puertas, y permitir mi formación en el área de Investigación en Educación
Matemática.
A mi Directora, Dra. Viviana Carolina Llanos por su ayuda y dedicación, por compartir
sus conocimientos y brindarse a la realización de este trabajo en un marco de respeto,
afecto y entusiasmo.
A los estudiantes del curso de implementación, que generosamente se entregaron a la
aventura de aprender en clases diferentes a las habituales.
A las autoridades del Colegio Monseñor Espinosa de San José de la localidad de
Bragado, donde nos han permitido implementar el dispositivo sin condicionamientos.
A mi familia por su acompañamiento constante. A mi amiga y compañera de estudio
Yésica Muruaga por el apoyo incondicional.
INDICE
Resumen………………………………………………………………………………. 1
CAPÍTULO 1: Demarcación y justificación del Estudio
1. Introducción y formulación del problema………………………………………….
2. Objetivos……………………………………………………………………………
3. Preguntas de investigación………………………………………………………….
4. Antecedentes e investigaciones vinculadas al Teorema de Thales…………………
5. Metodología de la investigación……………………………………………………
6. Organización de la presentación……………………………………………………
CAPÍTULO 2: Marco teórico
1. La pérdida de sentido desde la Teoría Antropológica de lo Didáctico……………..
2. Actividades de Estudio y de Investigación y Recorridos de Estudio y de
Investigación…………………………………………………………………………...
2.1 Actividades de Estudio y de Investigación…………………………………....
2.2 Recorridos de Estudio y de Investigación……….……………………………
3. Mesogénesis, Topogénesis, Mesogénesis…………………………………………...
3.1Mesogénesis…………………………………………………………………....
3.2 Topogénesis………………………………………………………………..….
3.3 Cronogénesis……………………………………………………………….....
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CAPÍTULO 3: Presentación y Justificación del dispositivo didáctico
1. Recorridos de Estudio e Investigación en la escuela secundaria: el proyecto de
construcción de una calculadora gráfica…………………………...……….……… 21
2. Características del diseño propuesto……………………………………………….. 22
CAPÍTULO 4: Análisis de datos y resultados
1. Introducción……………………………………….………………………………..
2. Análisis de las situaciones implementadas………………...……………………….
2.1.1 Situación 1-Parte 1…………………………………………………………...
2.1.2 Situación 1-Pate 2……………………………………………………………
2.2.1 Situación 2-Pate 1……………………………………………………………
2.2.2 Situación 2-Pate 2……………………………………………………………
2.2.3 Tareas Situación 1 y 2………………..………………………………………
2.3.1 Situación 3-Parte 1………………..…………….……………………………
2.3.2 Situación 3-Parte 2…………………...………………………………………
2.3.3 Tareas Situación 3……………………………………………………………
2.4.1 Situación 4-Parte 1…………………...………………………………………
2.4.2 Situación 4-Parte 2………….………..………………………………………
2.4.3 Tareas Situación 4………..…………..………………………………………
3. Descripción de las funciones mesogénesis, topogénesis y cronogénesis como
consecuencia como consecuencia de la implementación…………………………...
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CAPÍTULO 5: Conclusiones
Conclusiones finales………………………...………………...………………………. 100
CAPÍTULO 6: Bibliografía
Referencias Bibliográficas………………...………………...………………………. 104
ANEXO
Anexo………………...………………...…………………………………………...…. 111
RESUMEN
Este trabajo describe los resultados de introducir una modificación en la Enseñanza en la
Escuela Secundaria, con el objetivo de estudiar el Teorema de Thales y dos de sus
aplicaciones: la división de un segmento en partes iguales y triángulos semejantes. Si bien
se proponen introducir gestos en clases habituales de Matemática, de lo que Chevallard
(2004, 2012b, 2013) denomina Pedagogía de la Investigación y del Cuestionamiento del
Mundo, queremos aclarar que no se propone ni se diseña un REI en este trabajo. Lo que si
se hace, es utilizar un REI propuesto por Chevallard (2009) que inicia con la pregunta Q0:
¿Cómo construir una calculadora gráfica? con el objetivo de utilizar esta pregunta como
una respuesta al problema de la “desaparición funcional” de la Geometría en la escuela
secundaria. A partir de esta idea, se diseña una secuencia didáctica, compuesta por cuatro
situaciones, desarrolladas en dos partes cada una, o sea, ocho en total; y un conjunto de
tareas y síntesis, algunas a cargo de los investigadores y otras para que realicen los
estudiantes. Una característica del diseño es que las situaciones involucran tanto respuestas
en lápiz y papel, como actividades que requieren del uso de software de geometría
dinámica GeoGebra® como soporte.
La implementación del dispositivo se llevó a cabo en un curso de 4to Año de la Escuela
Secundaria, en la ciudad de Bragado, donde el investigador es docente de esa institución.
En total participaron N= 37 estudiantes entre 14 y 16 años. En las clases se obtienen los
protocolos escritos de los estudiantes, y se registra un audio general. Las notas de campo
del docente-investigador permiten identificar lo desarrollado en cada clase. Las respuestas
de los estudiantes en lápiz y papel, se retiran clase a clase, se escanean y se devuelven a los
estudiantes en la clase siguiente, para garantizar la continuidad de su trabajo. Con relación a
los archivos de GeoGebra® generados por los grupos de estudio en algunas situaciones, el
docente registra una copia para conocer los alcances del soporte con relación al objeto de
estudio.
Los resultados obtenidos en la implementación permiten analizar los ajustes que habría que
realizar al diseño, las marchas y contramarchas en la implementación, así como los
principales cambios que se introducen tanto para el profesor, como para los estudiantes, que
afectan al funcionamiento de la clase; que aquí se describen utilizando las funciones
didácticas topogénesis, cronogénesis y mesogénesis propuestas por Chevallard (2009).
1
Capítulo 1
Capítulo 1
________________________________________________
DEMARCACIÓN Y JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO
1. Introducción y formulación del problema
En la actualidad, la Enseñanza de la Geometría ha ido perdiendo espacio y sentido en
las instituciones escolares, ya que presenta problemas tanto a nivel curricular como en la
práctica efectiva en el aula. Según Itzcovich (2005), una de las razones de esta pérdida
es la dificultad por parte de los docentes de encontrar suficientes situaciones o
problemas que representen verdaderos desafíos. De esta manera, se imposibilita a los
estudiantes conocer otro modo de pensar, que supone la posibilidad de utilizar
propiedades de los objetos geométricos para poder anticipar relaciones no conocidas, así
como inferir y producir nuevas propiedades.
Es conocido que muchos docentes “eligen” un libro de texto para desarrollar sus clases.
La propuesta con relación a la Geometría, podría de cierto modo determinar las
características de la práctica de quien los utiliza. La investigación de Juan (2007),
reporta en su trabajo el análisis de un relevamiento realizado sobre la orientación con
que tratan algunos libros de texto de primer año de la Escuela Secundaria los contenidos
de geometría. En este estudio, advierte que los contenidos de geometría ocupan sólo una
porción pequeña de los contenidos abordados en los libros de texto y, en general, resulta
poco explotado el recurso que brinda la geometría para introducir a los alumnos en la
actividad de demostración o justificación. La investigación de Pérez y Guillén (2006)
señala que en los cursos de Educación Secundaria Obligatoria no se enseña toda la
geometría que se propone en el currículo por falta de tiempo; la enseñanza se basa
fundamentalmente en los libros de texto, en actividades de refuerzo y ampliación. Se
presenta entonces la necesidad de realizar investigaciones que permitan incidir en la
mejora de la enseñanza de la geometría en los diferentes niveles escolares.
Entre las nociones geométricas destacadas en las propuestas curriculares de la
enseñanza secundaria, interesan en este trabajo el concepto de Teorema de Thales y
Semejanza de triángulos. Estas nociones corresponden a los diseños curriculares de
Matemática de 3° y 4° Año de la Educación Secundaria. En 3º año se propone el estudio
de la proporcionalidad de segmentos, la semejanza de figuras y las razones
trigonométricas en triángulos rectángulos. En lo que respecta específicamente al estudio
del Teorema de Thales y Semejanza se propone: la resolución de problemas acerca de la
división de segmentos en partes iguales; el estudio de figuras semejantes; el
establecimiento de los criterios de semejanza de triángulos, la aplicación de dichos
criterios; el establecimiento de relaciones entre perímetros y áreas de figuras
semejantes; pero rara vez se conocen propuestas enfocadas en el estudio de las nociones
de teorema de Thales y semejanza de triángulos, no como instrumentos sino como
objetos de estudio.
En los Diseños Curriculares propuestos por la Dirección General de Cultura y
Educación de la Provincia de Buenos Aires, se brindan algunas directivas de trabajo
para el docente, quien debería proponer variadas situaciones en las que resulte necesario
construir pluralidad de figuras, relacionar figuras iniciales y finales mediante líneas
auxiliares, proponer construcciones geométricas haciendo uso de software. Para 4° año,
en particular, se propone la resolución de problemas que involucren figuras planas que
permitan relacionar e integrar los conceptos estudiados antes, y los específicos de 4to
3
Capítulo I
año: el Teorema de Thales y Semejanza de triángulos. Se alienta a los profesores a
introducir el uso de Internet en el aula, con el objetivo de que los estudiantes puedan
encontrar una importante cantidad de visualizaciones y utilizarlas como punto de partida
para el análisis de los conceptos, pues se considera que las mismas constituyen otro
entorno de aprendizaje.
Desde el punto de vista didáctico, en el marco de la Teoría Antropológica de lo
Didáctico (TAD) de Yves Chevallard (2004, 2009, 2012a, 2013) se legitima el
problema que atraviesa la enseñanza de la matemática en la Escuela Secundaria. La
pedagogía predominante, elimina el estudio de preguntas “fuertes” que permiten
estudiar obras matemáticas de manera significativa, quedando reducidas dichas
organizaciones al estudio de un conjunto de “obras muertas”, sin sentido ni razón de ser,
y las obras, por lo tanto, no se cuestionan. Esta manera de considerar la enseñanza de la
Matemática, conforma lo que Chevallard (2004) denomina el fenómeno de la
monumentalización de saberes. Este fenómeno didáctico, está ligado íntimamente con la
pérdida de sentido de las matemáticas escolares, que se manifiesta de múltiples
maneras, que van desde la falta de motivación de los alumnos para estudiar matemáticas
y la consiguiente desorientación de los profesores, hasta la disminución progresiva del
peso de las matemáticas en el currículo y la invisibilidad de las matemáticas en la
sociedad (Fonseca, Pereira, Casas, 2011).
Como alternativa al fenómeno de la monumentalización, arraigado en la Escuela
Secundaria actual, Yves Chevallard (2005) plantea que es necesario un cambio radical
que pasa fundamentalmente por un redescubrimiento, incluso una reinvención, de las
razones de ser del contenido a enseñar, y propone los dispositivos didácticos
Actividades de Estudio y de Investigación (AEI) y Recorridos de Estudio y de
Investigación (REI) para tal fin. Estos dispositivos, retoman la preocupación de la
reconstrucción funcional de la matemática como respuesta a ciertos tipos de situaciones
problemáticas, y sitúan las cuestiones Q como punto de partida del saber matemático
(Chevallard, 2004). La idea de REI nace en el marco de la TAD (Chevallard, 2004,
2009), con la idea de hacer encontrar al sujeto con las obras matemáticas del programa,
a través del estudio de preguntas “fuertes” que hagan surgir otro conjunto de cuestiones
Q, cuyo estudio hará encontrar una parte sustancial de las obras geométricas del
currículum.
Algunas investigaciones demuestran que ha sido posible desarrollar en clases de la
escuela secundaria o universitaria una enseñanza por REI. Aquí sólo se colocan algunos
a modo de ejemplo:


García, Bosch, Gascón y Ruiz (2005) presentan una investigación centrada en el
estudio de las relaciones proporcionales y funcionales en la educación
secundaria. Los autores sugieren un posible proceso didáctico de reconstrucción
y articulación de organizaciones matemáticas de complejidad creciente, que
debe permitir una enseñanza más racional de las relaciones funcionales a partir
de su propia razón de ser: el estudio de sistemas de variación de magnitudes. El
REI diseñado propone ubicar estos sistemas en un entorno de tipo económicocomercial;
Serrano, Bosch y Gascón (2007) presentan una propuesta de un REI que se ha
experimentado con estudiantes de primer año de una facultad de economía de
Barcelona (España), en un taller de modelización matemática. Se propuso a los
4
Capítulo I







estudiantes un problema muy próximo a las situaciones reales de previsión de
ventas en el que las funciones aparecen como un posible modelo de trabajo;
Fonseca y Casas (2009) proponen la construcción de un REI como solución a
estudiar matemáticas en Secundaria. Se han experimentado procesos de estudio
por medio de REI en las Escuelas de Ingeniería Técnica Industrial y Forestal
(España), relacionados con el estudio de la derivada y de la diagonalización de
matrices;
Barquero, Bosch y Gascón (2011) proponen el diseño de los REI para potenciar
el papel de la modelización matemática en los primeros cursos universitarios de
Ciencias Experimentales. Se parte de una cuestión en torno al estudio de la
dinámica de poblaciones como hilo conductor de un proceso de ampliaciones
sucesivas de los modelos matemáticos considerados que acabarán recubriendo el
programa de estudios;
Parra, Otero y Fanaro (2012) describen cómo se desarrolla una enseñanza por
REI en un curso de Matemática del último año del nivel secundario. Las
preguntas generatrices del REI se refieren a la Microeconomía, específicamente
al comportamiento de las leyes de oferta y demanda de mercado;
Costa, Arlego y Otero (2013) presentan una investigación para abordar el
problema de la enseñanza del Cálculo Vectorial en Facultades de Ingeniería en
la Universidad mediante REI (Costa, 2013). Según el análisis de la
implementación, las cuestiones del modelado de edificios permitieron
reconstruir aspectos de las OM: Geometría Analítica y Cálculo Integral; y
puntos básicos de la OM: Geometría diferencial;
Donvito, Sureda y Otero (2013) presentan un REI bidisciplinar en tres escuelas
secundarias, basado en la cuestión generatriz: ¿Cuál es el mejor plan de ahorros
para generar la mayor cantidad de ingresos, con bajo riesgo? con el fin de
reconstruir distintas praxeologías matemáticas relativas al estudio de funciones,
de números y sus propiedades, de series y sucesiones, de límite y de matemática
financiera;
Llanos, Otero y Gazzola (2013) presentan las características generales de un REI
monodisciplinar. El recorrido comienza con el estudio de Q0: ¿Cómo operar con
curvas cualesquiera si sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en
los ejes? El análisis de las respuestas posibles a Q0 y preguntas derivadas,
permiten una cobertura relativamente completa del programa de estudio de
Matemática de la escuela secundaria argentina, principalmente de los últimos
tres años;
Otero, Gazzola, Llanos y Arlego (2015) proponen un REI genuino codisciplinar
a partir de la pregunta Q0: ¿Por qué se cayó la Piedra Movediza de Tandil?, que
requiere estudiar física y matemática juntas. Las implementaciones del REI
desarrolladas durante dos años consecutivos con estudiantes de Profesorado en
Matemática de la Universidad permitió enfatizar que, más allá de las
restricciones inicialmente puestas por los estudiantes, y las relativas al problema
de la modelización identificadas, los dos grupos tuvieron oportunidad de
vivenciar una enseñanza por investigación.
En este trabajo, no se propone implementar ni diseñar un REI en la escuela secundaria,
sino utilizar un REI propuesto por Chevallard (2009) que inicia con la pregunta Q0:
¿Cómo construir una calculadora gráfica? con el objetivo de utilizar esta pregunta
como una respuesta al problema de la “desaparición funcional” de la Geometría en la
escuela secundaria, y un disparador para un posible diseño que permita estudiar
5
Capítulo I
matemática a partir de una pregunta generatriz. Se estudia una posible respuesta a la
pregunta generatriz propuesta y analizada por Chevallard, que permite desarrollar
técnicas de geometría sintética para estudiar, en clases de la escuela secundaria, el
Teorema de Thales, la división de segmentos en partes iguales y la semejanza de
triángulos, de una manera que se aparta de la tradicional. En el diseño que se propone, a
diferencia del de Chevallard, aquí además se utiliza el software de geometría dinámica
GeoGebra® como soporte.
Se conocen muchas investigaciones que han analizado las ventajas de estudiar
geometría sintética utilizando softwares de geometría dinámica, como las de Barquera y
Filloy (2010); Cabrera y Pérez (2003); Gutiérrez (2011); Osorio (2006); Rey, Serrano,
Jiménez y Rojas (2013). En la investigación de Iranzo y Fortuny (2009), se propuso un
estudio de casos para explorar la influencia conjunta del uso de GeoGebra® y del lápiz
y papel, en la adquisición de conocimiento, visualización y pensamiento estratégico en
el alumno. Según los autores, los alumnos han tenido pocas dificultades con relación al
uso del software. En su investigación sostienen que el uso de GeoGebra® promueve un
pensamiento geométrico, a la vez que facilita un soporte visual, algebraico y conceptual
en la mayoría de los alumnos.
Dàttoli (2011) considera que los aportes de las tecnologías computacionales para
potenciar el desarrollo de la geometría son muy atractivos para el docente, confiando en
el aspecto motivador que puede tener para los alumnos, pero que se hace necesario
considerar una discusión más profunda sobre otros atributos que presenta la Geometría
y la manera de enseñarla. En su investigación, señala que en los planes de estudio se
orienta la enseñanza de la geometría sintética hacia la enseñanza de los métodos
analíticos.
García (1988) anunciaba que los métodos algebraicos de la geometría han relegado a un
segundo plano a los métodos clásicos euclidianos de razonamiento, aunque considera
que son éstos los más apropiados para desarrollar la capacidad de razonamiento y
despertar interés en el alumno. Si bien el algebra es “la mejor colaboradora de la
geometría”, el autor considera que es conveniente a veces olvidarse de ella para
introducirse en la geometría. Según Gascón (1989), la eficiencia para resolver ciertos
tipos de problemas de geometría analítica mejora de forma muy significativa si, en lugar
de dedicar todo el período de entrenamiento al uso de técnicas analíticas, se utiliza una
parte del mismo para que los alumnos aprendan a interpretar los problemas de
geometría analítica, dados en versión cartesiana, en el ámbito de la geometría sintética,
en versión euclidiana, y a resolver éstos mediante técnicas sintéticas, empleando regla y
compás. Este autor plantea que la aparición de la técnica analítica se debe a las
limitaciones de las técnicas sintéticas, y que el uso previo de ciertas técnicas sintéticas,
son las que sugieren el diseño de la estrategia que llevará a cabo posteriormente la
complementariedad entre ambos tipos de técnicas. Son precisamente estas limitaciones
las que dan sentido a las “razones de ser” de las técnicas analíticas. Itzcovich (2005)
considera que usar un dominio de la matemática para resolver problemas inicialmente
planteados en otro, constituye un mecanismo típico del trabajo propio de dicha
disciplina. Pasar de un ejemplo de geometría al álgebra, puede ser un modo de encontrar
pistas para abordar una situación que no se muestra accesible en el dominio original.
En la investigación de Moller Marcén y Gairén Sallán (2013), se destaca que la génesis
histórica de los conceptos de razón y proporción y su posterior aritmetización, se realizó
6
Capítulo I
a partir de una revisión histórica de algunos conceptos principales relacionados con la
proporcionalidad aritmética, como lo son la razón y la proporción. En las situaciones
problemáticas analizadas por los autores, sucede que se deja de lado por completo a las
magnitudes para que los alumnos se centren en la faceta numérica del problema, y esto
conlleva a una pérdida de sentido de la resolución. Se supone aquí que si se plantea la
razón entre cantidades de una misma magnitud, dicha razón no constituye el mejor
punto de vista para comprender los procesos que subyacen a una relación de
proporcionalidad. En definitiva, un problema en el contexto de las magnitudes acaba
transformándose en una situación en la que prevalecen manipulaciones meramente
numéricas.
Para Escudero Pérez (2005), los conceptos de Semejanza y Teorema de Thales tienen un
peso histórico que les ha hecho estar presentes durante siglos en los programas de
distintos niveles educativos, aunque el abandono sufrido por la geometría sintética en
las matemáticas escolares durante la influencia de las matemáticas modernas ha
afectado su tratamiento en los últimos años. Haruna (2000) realiza un análisis de
algunos libros de textos que se utilizaron en la última década en la enseñanza de nivel
secundario, y percibe que el concepto Teorema de Thales no se muestra en su totalidad
perceptiva, sino que la visión es parcial tanto del teorema como de sus significaciones y
conlleva a la formación de configuraciones prototípicas, obstaculizando la percepción
de la aplicación del teorema en otras configuraciones.
Considerando lo expuesto hasta aquí, se evidencia la pérdida de sentido y de las razones
de ser, del “por qué” y el “para qué” del estudio del teorema de Thales en las clases de
Semejanza y Proporcionalidad Geométrica, debido a que su estudio se limita a la
aplicación de las técnicas analíticas y resolución de ejercicios algebraicos, sin
considerar las técnicas de geometría sintética que son la génesis de estas organizaciones
matemáticas.
Se pretende con el estudio desarrollado en esta tesis, analizar las características de un
dispositivo didáctico que proporciona la posibilidad de estudiar matemática utilizando
técnicas de geometría sintética (en lápiz y papel), que se complementan con tareas de
geometría dinámica. Dicho dispositivo, se diseña a partir de la cuestión generatriz
propuesta por Chevallard (2009), quien desarrolla un REI engendrado por el proyecto
de construir una calculadora gráfica a partir de la pregunta generatriz Q0:¿Cómo
construir una calculadora gráfica? La búsqueda de respuestas posibles a la pregunta,
permitiría el encuentro con las praxeologías que podrían considerarse esenciales en el
eje de geometría del Nivel Medio. En particular, el REI propuesto por Chevallard
permite efectuar cálculos gráficos considerando que la Geometría sintética actúa como
instrumento para efectuar construcciones simples con la regla y el compás; a la vez que
calcular rápidamente y con una precisión suficiente, ciertas magnitudes definidas por
una fórmula. Estas construcciones conducen, como resultado final, a la medida de una
longitud (Chevallard, 2009).
Las características del REI propuesto por Chevallard, inspiraron a la realización e
implementación del dispositivo didáctico, cuyos resultados presentamos en este trabajo.
7
Capítulo I
2. Objetivos
Objetivo(s) general(es)

Proponer una enseñanza basada en preguntas que permita recuperar el sentido y
la razón de ser de la geometría sintética y analítica en clases de Matemática en
la escuela secundaria.

Introducir modificaciones en la enseñanza en un contexto experimental y
controlado, a partir de un diseño basado en preguntas.
Objetivo(s) Particular(es)

Diseñar, implementar y analizar un dispositivo didáctico como respuesta a una
pregunta generatriz engendrada en un REI (Chevallard, 2009), para estudiar el
Teorema de Thales y dos potenciales aplicaciones: la división de segmentos en
partes iguales y semejanza de triángulos, en clases de Matemática de 4to Año de
la escuela secundaria.

Describir los alcances y limitaciones del dispositivo propuesto para estudiar el
Teorema de Thales a partir de la aplicación de técnicas de Geometría sintética y
analítica de manera complementaria.

Analizar la viabilidad del diseño, y las condiciones mínimas para que un
profesor de la escuela secundaria pueda implementar un dispositivo que se
aparta de la enseñanza tradicional.
3. Preguntas de la Investigación

¿Cuáles son los alcances y limitaciones del dispositivo didáctico propuesto para
estudiar el Teorema de Thales y dos de sus aplicaciones: la división de
segmentos en partes iguales y semejanza de triángulos en la escuela secundaria?

¿Qué estrategias didácticas permiten complementar las técnicas de geometría
sintética con las de geometría analítica?

¿Cómo interviene la incorporación del software Geométrico como instrumento
de estudio, cuando se introducen técnicas de geometría sintética y analítica?

¿Qué características tienen los procesos de topogénesis, mesogénesis y
cronogénesis en la implementación del dispositivo?
8
Capítulo I
4. Antecedentes e investigaciones vinculadas con el Teorema de Thales
Varias investigaciones se conocen con relación al Teorema de Thales y Semejanza de
triángulos. Pueyo Losa (1984) propuso una experiencia de trabajo en el aula de 2° y 3°
año del Ciclo Superior de la EGB, referido al estudio de los triángulos con énfasis en el
Teorema de Thales. En su trabajo, se implementa una secuencia que permite a los
alumnos reconstruir el teorema de Thales a través de mediciones, recortando y
manipulando los triángulos obtenidos. En esta secuencia los estudiantes realizan
construcciones a partir de instrucciones dadas y deben comprobar que se cumplen las
proporcionalidades propuestas. Según el autor, el alumno debe comprobar
experimentalmente el teorema realizando diversas prácticas y mediciones hasta que lo
interiorice. Posteriormente, propone la reconstrucción con material concreto donde los
estudiantes obtienen en cartulina triángulos en posición de Thales y por superposición
comprueban que los ángulos homólogos son iguales. Se realiza el planteo de la
proporcionalidad entre los lados correspondientes, y se llega a la conclusión de que los
triángulos en posición de Thales son semejantes. La secuencia en esta investigación,
finaliza con el estudio de un apartado relacionado con el Teorema de Thales: las
relaciones métricas en los triángulos rectángulos, incluyendo las demostraciones de los
teoremas de la altura y del cateto aplicando el teorema de Thales.
En la investigación sobre proporcionalidad propuesta por Gallego García y Linares
Teruel (1988), se presenta una demostración clásica del Teorema de Thales a partir de la
construcción de rectas paralelas, considerando unidades comunes inconmensurables en
los segmentos correspondientes y planteando la división entre unidades de medida
aplicando la noción de límite, lo que permite demostrar que las razones entre los
segmentos correspondientes son iguales.
Con relación al lugar asignado al Teorema de Thales en los libros de textos de
Matemática, Costa Pereira (2005) indica que en los textos analizados puede observarse
una vinculación directa entre el Teorema de Thales y las condiciones de
proporcionalidad de segmentos, donde estos segmentos pueden ser conmensurables o
inconmensurables. Según lo analizado, muchos libros de texto actuales proponen una
justificación del teorema solo en el caso de segmentos conmensurables. El teorema es
tratado como una propiedad de paralelismo de rectas, con la exposición de una prueba
empírica a partir de la medición con regla y compás de segmentos conmensurables
correspondientes.
Haruna (2000) propone un enfoque para la enseñanza-aprendizaje del Teorema de
Thales, analizando cómo es la aprehensión del concepto en estudiantes de 13-14 años,
utilizando el ordenador. Mediante situaciones de diagnóstico se detecta que la mayoría
de los alumnos tiene una concepción inadecuada del Teorema de Thales, ocasionada por
una práctica de la enseñanza reforzada por los libros de textos, y se considera aquí que
tal vez por este motivo muchos alumnos no perciben la aplicación del teorema en
cualquier configuración. Propone en su trabajo, una secuencia didáctica empleando
como herramienta el software Cabri, con el objetivo de que los alumnos “comprendan”
dicho teorema. Como conclusión de su investigación, señala que el desarrollo de las
actividades basadas en las situaciones problemáticas con Cabri acercó el Teorema de
Thales en un sentido global, trabajando variabilidades perceptivas de las imágenes; se
verifica que el ordenador favorece la superación de obstáculos pero crea otros. Como
9
Capítulo I
resultado del estudio, se concluye que uno de los problemas que más persiste es en
cuanto al cálculo de la medida del segmento formado por paralelas.
Sánchez (2003) propone una investigación que tiene por objetivo establecer una
relación entre la forma de conocer un contenido matemático y su influencia en lo que se
considera importante aprender, y cómo estructurar las actividades de aprendizaje. Se
analiza una unidad didáctica sobre semejanza en un curso de 3ero de Educación
Secundaria. El profesor que realizó la implementación de esta secuencia didáctica,
enfatizó la conexión entre los aspectos numérico/algebraico y gráfico del concepto
semejanza. Su objetivo fue que sus alumnos reconozcan figuras semejantes y que luego
lo puedan transcribir a un lenguaje matemático. En los problemas presentados se
consideraron dos criterios: presentar distintas configuraciones de Thales sobre las que es
posible identificar los datos numéricos/algebraicos; y posibilitar el reconocimiento que
con estos datos se puede aplicar la fórmula dada. Posteriormente se incorporó otro
aspecto de su forma de conocer la semejanza como objeto de enseñanza/aprendizaje:
semejanza de figuras como relación intrafigural, que según Lemonidis (1991) es la
correspondencia entre elementos de una figura y los correspondientes de su semejante,
estando ausente la idea de transformar una figura en otra. Se destaca en esta secuencia,
la importancia de la identificación de la relación de semejanza en variedad de
posiciones de los triángulos. En uno de los problemas seleccionados, se muestran dos
triángulos en posición de Thales y se incluyen como datos las medidas de los segmentos
secantes, pidiendo una comprobación de la proporcionalidad de los lados homólogos. Se
concluye que abordar desde distintas perspectivas la forma en que el profesor conoce el
contenido matemático como objeto de enseñanza/aprendizaje, y el uso que hace de los
diferentes modos de representación, es clave para la aproximación de lo que necesita
saber un profesor para desarrollar su labor.
A diferencia de las investigaciones anteriores, en este trabajo nos proponemos a partir
del diseño, reconstruir las características y propiedades del Teorema de Thales, primero
en el marco gráfico, utilizando técnicas de geometría sintética y analítica; y luego una
generalización de dicho teorema y potenciales aplicaciones por medio del software
GeoGebra®.
5. Metodología de la Investigación
La metodología de la investigación es de corte cualitativa, y el diseño didáctico
propuesto es de corte etnográfico y exploratorio. La investigación es descriptiva
(Documento metodológico orientador para la investigación educativa, 2008) porque se
busca la exploración, descripción, y evaluación de un dispositivo didáctico propuesto
para el estudio del Teorema de Thales de una manera no habitual. Es un estudio de caso
con recurso a la observación participante, que pretende no solo modificar las
características de una práctica, sino reconstruir significativamente las nociones relativas
al Teorema de Thales.
• Consideraciones sobre el problema y el objeto:
Esta investigación está impulsada por la necesidad de introducir una alternativa a la
enseñanza tradicional, en un contexto específico que se ha seleccionado como
representativo para esta investigación. Interesa analizar en qué medida es posible
10
Capítulo I
introducir un cambio sustancial en la práctica en el aula, por medio de la inserción de un
dispositivo didáctico diseñado con el objetivo de enseñar el Teorema de Thales de una
manera diferente. Así mismo, se espera generar en los estudiantes interés por la
búsqueda de las respuestas a las situaciones propuestas, y por otro lado, dar el lugar
suficiente para que asuman las responsabilidades implicadas en una nueva forma de
hacer matemática. Así mismo, estas modificaciones comienzan por el profesor, quien es
el primero que debe asumir la necesidad de modificar su práctica tradicional, por otra
donde la clase ya no es únicamente su responsabilidad, pero si es exclusivo su papel a la
hora de proponer nuevas preguntas y tener siempre nuevas preguntas en lugar de
respuestas. En este caso, el profesor que realiza la implementación es un profesor
tradicional que está dispuesto a modificar su práctica colocando en lugar de
explicaciones, situaciones para que los estudiantes puedan estudiar desde otro lugar.
Por otro lado, la necesidad de introducir un nuevo dispositivo para el estudio del
Teorema de Thales, radica en el problema que se identifica en el tratamiento tradicional,
dado que generalmente se lo reduce a una mera descripción sin justificación, objeto de
una definición y rara vez es objeto de construcción. Por lo general la “presentación” del
Teorema inicia con una definición introducida por parte del docente, o el libro; y todo
su estudio se reduce al planteo de las proporciones correspondientes y la aplicación de
operaciones algebraicas. A partir del diseño elaborado en el marco de este trabajo, se
espera recuperar la “razón de ser” de los conocimientos que se construyen vinculados al
Teorema de Thales y a las aplicaciones del mismo, a partir de la complementariedad de
tareas de geometría sintética y geometría analítica.
El cambio de contrato que se requiere para la inserción de estos dispositivos, junto con
las restricciones impuestas por la institución, Escuela Secundaria, y el sistema en
general, también son descritos en este trabajo. Nos proponemos presentar una síntesis
de los principales cambios ocurridos, necesarios para implementar un dispositivo
basado en preguntas, así como también las modificaciones que se requieren con relación
a: la distribución de las responsabilidades entre los agentes de una clase, alumnos y el
profesor (topogénesis); el dominio del tiempo reloj requerido, respecto del establecido
en las instituciones (cronogénesis); y también, como se constituye y gestiona el medio
didáctico (mesogénesis). Es importante aclarar que no se realiza un análisis de estas
funciones didácticas, sólo se coloca una descripción de lo ocurrido para sintetizar y
tomar cuenta de los cambios ocurridos como consecuencia de estudiar mediante
preguntas y donde el profesor ya no tiene por principal tarea explicar.
• Características del proceso de inserción del dispositivo y del curso:
Para introducir el dispositivo didáctico fue necesario considerar un reparto de
responsabilidades entre los alumnos y el docente; dando un lugar privilegiado a los
alumnos en la construcción de las respuestas, y también con relación a una nueva
organización del medio y del tiempo didáctico.
La institución donde se lleva a cabo la investigación atiende a sectores urbanos medios
y medios altos de la ciudad de Bragado, provincia de Buenos Aires. Se selecciona
intencionalmente un curso que a criterio del investigador reúne las características
mínimas para poder introducir una enseñanza basada en preguntas. El profesor del curso
es el investigador, que tiene carácter de observador participante; y contó con el aval de
los directivos y luego de los estudiantes para poder realizar la implementación. El curso
11
Capítulo I
seleccionado corresponde a un grupo de 4° año de la Escuela Secundaria. Los
estudiantes tienen entre 14 y 16 años y en total son (N=37) en el curso.
Durante la implementación los estudiantes se organizan en grupos de cuatro a cinco
integrantes. La conformación de los mismos es responsabilidad de los estudiantes. El
docente es el director del estudio, y antes de comenzar a implementar el diseño
comunica que no podrá “explicar más”, como lo ha hecho hasta el momento. Su
principal tarea es llevar cada clase preguntas para que los estudiantes en grupo asuman e
intenten responder; y ser útil a los estudiantes para ofrecer sus ayudas al estudio. Las
situaciones que integran el diseño, son entregadas en forma impresa para cada
estudiante; si bien los estudiantes se organizan en grupos, cada uno de ellos trabajará en
su papel en forma particular. En cuanto a las computadoras, se cuenta al menos con una
netbook por grupo, ya que la institución es de gestión privada y no cuenta con una
netbook para cada alumno, los estudiantes asumen la responsabilidad de asistir con el
soporte tecnológico a cada clase. Los archivos correspondientes a las situaciones a
resolver con el sowftware Geogebra® son suministrados por el profesor, grabados en
cada una de las computadoras.
• Consideraciones relativas a la recolección de los datos:
Para garantizar una adecuada toma de datos, el profesor solicita que la producción
personal de cada alumno debe entregarse tal como se sucedió en la clase, es decir, del
papel “nada se borra”, todas las ideas deben quedar representadas en la hoja que lleva
todas las clases el profesor. Además, se solicita diferenciar explícitamente las
producciones que realizaron solos de aquellas que se obtienen de las puestas en común
con todo el curso y el profesor.
En las clases se obtienen los protocolos escritos de los estudiantes, y se registra un
audio general. Las notas de campo del docente-investigador permiten identificar lo
desarrollado en cada clase. Las respuestas de los estudiantes en lápiz y papel, se retiran
clase a clase, se escanean y se devuelven a los estudiantes en la clase siguiente, para
garantizar la continuidad de su trabajo. Con relación a los archivos de GeoGebra®
generados por los grupos de estudio en algunas situaciones, el docente registra una
copia para conocer los alcances del soporte con relación al objeto de estudio.
6. Organización de la presentación
El trabajo consta de seis capítulos y un anexo organizados de la siguiente manera:
En el Capítulo 1, se delimita el problema de la investigación. Se menciona cuál es el
estado actual del conocimiento sobre la cuestión, se definen los objetivos, las preguntas
que orientan el trabajo; se presentan los antecedes e investigaciones vinculadas con el
Teorema de Thales y la metodología de investigación empleada.
En el Capítulo 2 se desarrolla el marco teórico adoptado, la Teoría Antropológica de lo
Didáctico, considerando el problema de la pérdida de sentido de las obras matemáticas.
Se sintetiza la noción de Recorridos de Estudio y de Investigación (REI) y otros
constructos relacionados. Además se describen los procesos denominados topogénesis,
mesogénesis y cronogénesis, en el marco de una nueva pedagogía escolar.
12
Capítulo I
En el Capítulo 3 se presentan las situaciones didácticas. Se describen las situaciones y
en qué medida las mismas permiten estudiar el Teorema de Thales y sus aplicaciones.
En el Capítulo 4 se sintetizan los resultados obtenidos de la implementación del
dispositivo. Se describen los alcances y limitaciones que presenta este diseño.
En el Capítulo 5 se presentan las Conclusiones del trabajo.
El Capítulo 6 corresponde a la bibliografía de la Investigación.
En el Anexo se colocan los protocolos de un estudiante, considerado como más
representativo, que incluye las respuestas dadas a las situaciones consideradas para la
implementación.
13
Capítulo 2
Capítulo 2
___________________________________________________
MARCO TEÓRICO
Esta investigación adopta como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo
didáctico (TAD) de Yves Chevallard (1999, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012a). Se
sintetizan en este capítulo algunos de los últimos desarrollos de la Teoría, en particular
la noción de Recorrido de Estudio y de Investigación (REI), y otros constructos
relacionados que son de interés en este trabajo. Inicialmente se coloca el problema de la
pérdida de sentido de las obras matemáticas para interpretar la necesidad de un cambio
dado en la Teoría por las AEI y los REI; y se describen brevemente las funciones
didácticas de mesogénesis, cronogénesis y topogénesis para interpretar las
modificaciones en las condiciones que definen al funcionamiento del nuevo sistema
cuando se propone una nueva pedagogía escolar.
1. La pérdida de sentido desde la Teoría Antropológica de lo Didáctico
El estado histórico de los sistemas didácticos escolares está marcado por un proceso
histórico que se puede reconstruir así, en palabras de Chevallard. En principio, en la
historia de las enseñanzas escolares lo que está en juego a nivel didáctico ♥ es una
cuestión Q. Un programa escolar P se compone entonces, de un cierto número de tales
cuestiones, de modo que se puede escribir bajo la forma P  Qi 1i n . El estudio de la
cuestión Q conduce a una respuesta R validada por la cultura, por la sociedad, por la
Escuela, el programa de estudio se escribe entonces verdaderamente bajo la forma
P  Qi ; Ri 1in . Pero pronto, por un corto-circuito cultural y didáctico, “estudiar Q”
esta visto como un sinónimo inútil de una expresión que, institucionalmente, la
suplanta: “aprender R”. Entonces, sin que aún R pierda totalmente su estatus de
respuesta, las cuestiones comienzan a “borrarse” y el programa de estudios P debe en
adelante escribirse más bien bajo la forma P  (?; Ri )1in (Marietti, 2009).
Cuando las cuestiones han desaparecido, las respuestas R dejan de observarse como
tales y se encuentran hipotetizadas en obras de la cultura que tienen valor en sí y para sí,
obras donde las razones de ser – de ser allí, en la cultura, pero también en el programa
escolar – se perdieron. Un programa escolar pasa a ser así una sucesión de respuestas
1 ,  2 ,...,  n , de obras que no se sabe ni a que responden ni como fueron o podrían ser
respondidas ( P  i 1in ) (Marietti, 2009). Este fenómeno de la eliminación del
estudio de preguntas por respuestas “vacías” o carentes de sentido, es lo que Chevallard
(2007) denomina monumentalización de saberes (y más ampliamente, de praxeologías)
Este fenómeno es lo que en definitiva lleva a la desaparición de las razones de ser de
estos objetos, pues no son consecuencia de ninguna pregunta, han perdido su
funcionalidad.
Un programa de estudio contiene obras a estudiar y el orden de las finalidades del
estudio está fundado, según Chevallard (2004) sobre las nociones de razón de ser y de
utilidad de una determinada obra. La evolución histórica monumentalista del currículo
es contemporánea de la supresión de las razones de ser, del olvido de la utilidad de las
obras matemáticas enseñadas. Chevallard (2005) plantea que la naturalización de las
obras, que las hacen monumentos que hay que visitar y venerar, es correlativo al olvido
de sus razones de ser, y en particular de los saberes.
15
Capítulo 2
___________________________________________________
Como alternativa al fenómeno de la monumentalización y consecuente pérdida de
sentido, Chevallard propone una nueva pedagogía, la de la investigación y del
cuestionamiento del mundo; y el correlato de esta pedagogía en el aula son las
Actividades de Estudio y de Investigación (AEI) y los Recorridos de Estudio y de
Investigación (REI).
2. Actividades de Estudio y de Investigación y Recorridos de Estudio y de
Investigación
2.1. Actividades de Estudio e Investigación (AEI)
Chevallard (2004, 2005, 2006) propone primero la noción de Actividades de Estudio e
Investigación (AEI). Si bien se trata de una alternativa al problema de la
monumentalización, se reconoce que son un constructo que presenta limitaciones
porque producen un encuentro arreglado con una cierta Organización Matemática (OM)
El problema que se plantea el profesor es el de cómo enseñar, es decir cómo establecer,
construir o “poner en marcha” en la clase, la OM considerada de tal forma que ésta
aparezca como la respuesta a una cuestión problemática que le aportará una razón de
ser. Dada una OM a enseñar, la AEI se inicia buscando una “situación en el mundo” en
la que aparezca una cuestión problemática cuya resolución permita o incluso requiera la
reconstrucción de dicha OM (Bosch, Gascón, 2010). Toda AEI surge de una cuestión
generatriz Q0 que permite hacer surgir un tipo de problemas y una técnica de resolución,
así como una tecnología apropiada para justificar y comprender mejor la actividad
matemática que se está desarrollando (Chevallard, 2005).
Una AEI es una organización didáctica que precisa un conjunto de condiciones C entre
los que la realización en una clase, bajo el impulso y la dirección de un profesor o, más
generalmente, de un equipo de profesores Y, vaya a generar el encuentro de los alumnos
X con una cierta entidad praxeológica , y esto con ocasión del estudio de una cuestión
determinada Q. En otros términos, la AEI provoca la formación, en el seno de una clase
que se anotará [X, Y], de un sistema didáctico notado por S (X; Y; Q) cuya finalidad es
la producción de una respuesta R, lo que se escribe así:
S(X; Y; Q)
R
Esta “fórmula” es denominada esquema herbatiano reducido, el adjetivo “herbatiano”
hace referencia al filósofo y pedagogo alemán Johann Friedrich Herbart (1776-1841).
La entidad praxeológica referida  , podría ser la respuesta R (Marietti, 2009).
Una AEI viene a ocupar el corazón mismo de la vida matemática de la clase. Chevallard
(2007) define que toda AEI es consubstancial a una reorganización cuaternaria del
estudio: la AEI llevada a cabo, llama en primer lugar a una síntesis, la cual se completa
de un trabajo que consiste en ejercicios, así como en el estudio de problemas que
prueba los límites de la organización matemática cuyos materiales técnicos y
tecnológicos-teóricos se habrán producido en la AEI (o de una sucesión de AEI) y que la
síntesis habrá acabado de hacer emerger, todo ello llamando controles que permiten una
evaluación con un doble objetivo, la organización del saber construido, y la relación de
la clase y de cada uno de los alumnos con esta organización del saber. Esta
16
Capítulo 2
___________________________________________________
arquitectónica didáctica responde, estructuralmente, al modelo funcional de los
momentos del estudio. En este sentido se dice que las actividades de estudio y de
investigación asumen los momentos del primer encuentro con un tipo de tareas Ti , de la
exploración de Ti y de la emergencia de la técnica  i , de la construcción del bloque
tecnológico-teórico  / . La síntesis es el tiempo por excelencia de la
institucionalización de Ti /  i /  / . Los ejercicios y problemas son un tiempo
indispensable de trabajo de la organización matemática O  Ti /  i /  / , en particular
de la técnica  i , así como de la relación tanto de la clase como de cada uno de sus
miembros con O. Los controles están en el corazón del momento de la evaluación.
Un obstáculo que se presenta es que las AEI aisladas, estructuralmente y
funcionalmente, no resisten a una ecología escolar todavía fuertemente monumentalista.
El principio de las AEI pone profundamente en cuestión una cierta epistemología
escolar monumentalista que reemplaza las cuestiones (abiertas) Q por “falsas
cuestiones” que el profesor considera que debe colocarle a los alumnos. Como
consecuencia Chevallard considera que los REI son dispositivos que no tienen
encuentros “tan arreglados” con el saber, y por ello serían el constructo más apropiado
para “hacer frente” a la enseñanza monumental.
2.2. Recorridos de Estudio e Investigación (REI)
Un REI está engendrado por una cuestión Q0 con un fuerte poder generador, susceptible
de imponer numerosas cuestiones derivadas y conducir así a encontrar un gran número
de saberes a enseñar, denominada pregunta generatriz. El estudio de Q0 se concreta en
un recorrido “general” que integra varias preguntas derivadas Qi. Cada Qi a su vez da
lugar a numerosas preguntas particulares ligadas a ella, y éstas últimas a la formación y
el funcionamiento del sistema didáctico S  X ;Y ; Qi 1i  n . Chevallard (2009) define la
estructura de los REI, a partir de lo que él denomina esquema herbatiano desarrollado:
[ (
)
{
}]
♥
De este esquema se puede interpretar que:
 el REI debe organizarse en torno a una pregunta generatriz (Q0);
 el sistema didáctico S (X;Y;Q) está compuesto por un grupo de estudiantes X; las
ayudas al estudio dadas por un grupo de profesores Y o un único profesor {y}, y el
corazón ♥ de todo el proceso, dado por Q;
 este sistema didáctico permite y requiere de la constitución de un medio
didáctico
{
} que incluye las R◊ que se
podrían utilizar en una clase, como los libros de texto, las PC conectadas a Internet, los
apuntes del profesor y las “ayudas” que este puede aportar; y por otro lado, las obras
“terminadas” Oj, las teorías y OM disponibles, que permiten reconstruir las respuestas
R◊, y decidir qué componentes aportan a la constitución de R como resultado de todo el
proceso.
Es en el medio didáctico donde se elaboran las Ri y como consecuencia R; como
resultado del proceso de estudio. Para que hubiera REI en un sentido razonable, hace
17
Capítulo 2
___________________________________________________
falta en efecto que la organización didáctica concebida u observada parezca apuntar (en
el primer caso) o manifestar (en el segundo caso) un cierto número de condiciones: la
mesogénesis, la topogénesis y la cronogénesis (Chevallard, 2009).
3. Mesogénesis, Topogénesis, Cronogénesis
3.1. Mesogénesis
La primera de las condiciones expuestas aquí es la mesogénesis, la génesis del medio M,
que está constituido por la clase, tanto a partir de producciones diversas y externas a la
clase como internas a éstas. Diversos tipos de obras pueden, en principio, constituir el
medio M de un REI, obras excluidas por principio de la enseñanza tradicional
(Chevallard, 2009).
Además, el medio M debe ofrecer materiales idóneos para construir una respuesta R
validada y que satisfaga las limitaciones institucionalmente impuestas, y abastecer de
instrumentos apropiados para someter cada una de las respuestas Ri que lo componen
así como la respuesta R, resultado de la actividad matemática de los alumnos.
En un REI el medio no está totalmente determinado, es “construido por la clase”. Este
cambio en la naturaleza misma del medio va a la par de un cambio en el “trabajo” que la
clase debe efectuar sobre este medio, de cambios radicales en la topogénesis.
3.2. Topogénesis
En el marco de los sistemas didácticos escolares, los tipos de tareas integrados en una
praxeología matemática son, tradicionalmente, realizados por un individuo solo que es
el profesor. Las tareas didácticas, en efecto, son, en cierto número de contextos,
cooperativas, en el sentido que deben ser realizadas por varias personas x1, x2, ..., xn, que
son los actores de la tarea. Cada uno de los actores xi debe efectuar algunos gestos, cuyo
conjunto constituye entonces su papel en el cumplimiento de la tarea cooperativa t,
gestos que están a su vez diferenciados y coordinados entre ellos por la técnica ô puesta
en marcha colectivamente. Algunos de estos gestos serán vistos como tareas completas,
t’, para cuya realización xi actuará (momentáneamente) en autonomía relativa en
relación a los otros actores de la tarea. El conjunto de estas tareas, subconjunto del papel
de xi cuando se realiza t según ô, es denominado el topos de xi en t. En la mayor parte
de los casos, una tarea didáctica tiene como actores el profesor y los alumnos: cuando el
profesor actúa en una tarea donde él opera en autonomía relativa, esta tarea aparece
generalmente como una sub-tarea en el seno de una tarea más amplia, donde él coopera
con el alumno. El estudio del sistema de las tareas y gestos del profesor no se debe
realizar de manera aislada: detrás de la actividad del profesor, se debe percibir sin cesar
la actividad del alumno (Chevallard, 1999).
Chevallard (2009) insiste en que la condición mesogenética va a la par de una condición
relativa a la topogénesis: la constitución del medio M es lo hecho en la clase [X, y], no
de y (profesor) solamente. El topos de los alumnos debe recibir al respecto una
extensión importante: no sólo un alumno podrá aportar su respuesta personal Rx, sino
que todavía podrá proponer introducir en M toda obra que desee. A este cambio en el
18
Capítulo 2
___________________________________________________
topos de los alumnos corresponde un cambio en el topos del profesor que dirige el
estudio de Q, quien decidirá acerca de incluir en el M una u otra obra, de incluir las
respuestas de la forma R, que no será necesariamente su respuesta personal Ry. En todos
los casos, la respuesta notada anteriormente por Ry no será tratada de otro modo que las
otras respuestas Ri; es decir, las respuestas del profesor también deben ser
cuestionadas. En los REI, además los alumnos deberían tener un doble papel destacado,
no sólo en la reconstrucción de las respuestas, sino también deben introducir en el
medio las cuestiones que consideren es necesario estudiar.
3.3. Cronogénesis
En un REI la constitución y el “trabajo” de y en el medio M ocurre en el principio de
dilatación del tiempo didáctico y correlativamente, una extensión del tiempo reloj
requerido. Aquí es necesario “cuidar” todo el trabajo en M, por el impulso de “estimular
el estudio” de manera artificial para que el “tiempo escolar” recomendado sea acorde al
producido por el REI. Es la cronogénesis la función que regula los tiempos didácticos
para los distintos componentes del sistema.
Los REI evidencian un cambio sustancial en las prácticas escolares y a la vez, la
necesidad de redefinir los programas escolares como un conjunto de preguntas
generatrices, cuya respuesta permita encontrar o re-encontrar diferentes organizaciones
matemáticas propuestas en los programas de estudio (Otero, 2013).
En esta síntesis hemos colocado los constructos que consideramos indispensables para
entender la necesidad de un cambio en las prácticas escolares, a la vez que intentamos
utilizar algunos elementos para caracterizar la enseñanza que con limitaciones se
propone en el marco de este trabajo. Decimos con limitaciones pues claramente el
diseño que se propone no es un REI, pero si podemos decir que se ha desarrollado un
diseño didáctico conformado por un conjunto de situaciones, tareas y actividades de
síntesis; siempre a partir de una pregunta generatriz de un REI propuesto por Chevallard
(2009). Este trabajo permite analizar la complejidad y el potencial de una enseñanza
basada en preguntas, respecto de la tradicional.
19
Capítulo 3
Capítulo 3
________________________________________________
PRESENTACIÓN Y JUSTIFICACION DEL DISPOSITIVO DIDÁCTICO
1.
Recorridos de Estudio e Investigación en la escuela secundaria: el proyecto de
construcción de una calculadora gráfica
En este capítulo se presentan las características de un dispositivo didáctico que permite
estudiar el Teorema de Thales, cuyo diseño surge a partir de una cuestión generatriz de un
REI propuesto por Chevallard (20091), en la sesión 13 del seminario de la promoción 20032004 del PCL2 de matemáticas, como sigue:

El REI fue engendrado por el proyecto de construir una calculadora gráfica: la
cuestión Q0 a estudiar es entonces ¿Cómo construir una calculadora gráfica?

El estudio de Q0 permite el encuentro con lo esencial de las praxeologías geométricas
propuestas para estudiar en el nivel medio. Algunas preguntas y posibles derivaciones
se ejemplifican:
o ¿Cómo construir la raíz cuadrada de un entero?, lleva al estudio del Teorema de
Pitágoras.
4,32
o ¿Cómo calcular en la “calculadora gráfica” el número x 
? Requiere de la
5,2
construcción de las técnicas del Teorema de Thales.
o Los enteros naturales n se escriben como una suma de cuadrados de enteros
(
. Por el teorema de Pitágoras, la raíz cuadrada de tales números
puede ser obtenida por un cálculo gráfico simple. Por lo tanto, podría justificarse
de modo semejante el hecho de interrogarse sobre la naturaleza de los enteros n
que se escriben como una diferencia de cuadrados de enteros (
. Por
ejemplo, para “construir” el número √
, se forma
.
Si se mide sobre una hoja de papel la longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos lados del ángulo tiene por longitud 11cm y 9cm (por ejemplo) es
posible establecer que √
. Para calcular √
es posible expresar
√
√
√
. Y así otros cálculos…
o Y más general ¿Cómo calcular gráficamente operaciones como cociente y
2
producto de números? Por ejemplo: calcular gráficamente la expresión  7,8 .
3
Chevallard justifica la importancia del REI, por el potencial del cálculo gráfico utilizando
técnicas de geometría sintética, y por la posibilidad de su reinserción en las aulas:
“el cálculo grafico es un dominio de las matemáticas aplicadas actuales,
casi totalmente perdido, pero que, durante un siglo aproximadamente a
1
La cita Chevallard (2009) corresponde a una traducción realizada por Parra y Llanos (2010) no publicada.
21
Capítulo 3
________________________________________________
partir de 1860, permite a los ingenieros efectuar gráficamente cálculos en
todos los géneros (evaluación de funciones, cálculo de integrales,
resolución de sistemas de ecuaciones, etc.). Este “cálculo” será eliminado
sólo por los progresos de los medios electrónicos del cálculo en la segunda
mitad del siglo XX” (Chevallard, 2009; traducido por Parra y Llanos)
La parte del cálculo gráfico estudiado en el REI refiere a los medios de cálculo gráfico más
simples, o diagramas geométricos. La Geometría permite, con la ayuda de construcciones
simples efectuadas con la regla y el compás, calcular de manera relativamente sencilla y
con una precisión suficiente, ciertas dimensiones definidas por una fórmula. Estas
construcciones conducen, como resultado final, a la medida de una longitud que se busca
construir.
Por otro lado, Chevallard adhiere a la importancia de “utilizar” una calculadora electrónica,
por medio de software de geometría, como GeoGebra®, como un complemento de los
cálculos en lápiz y papel que puedan efectuarse inicialmente, aspecto que ha sido
considerado en el diseño e implementación del dispositivo.
Se coloca a continuación una síntesis de las situaciones didácticas y tareas propuestas, que
explican y justifican la importancia de su implementación en el aula.
2.
Características del diseño propuesto
Se presenta el diseño propuesto para estudiar el Teorema de Thales de una manera que se
aparta de la tradicional, por medio de un dispositivo didáctico que promueve el desarrollo
de técnicas de geometría con lápiz y papel, con el complemento de herramientas de
geométrica dinámica, por medio del Software GeoGebra®. El desarrollo de este dispositivo
permite estudiar el Teorema de Thales y dos aplicaciones derivadas de este: la división de
un segmento en partes iguales; y el concepto de triángulos semejantes.
El dispositivo propuesto se compone de 4 situaciones, con 2 partes cada una; es decir, en
total 8. Además se proponen síntesis, algunas a cargo del profesor y otras de los
estudiantes, y también ejercicios y problemas que permiten mejorar y afianzar las técnicas
construidas. Las tareas permiten a los estudiantes reforzar los conocimientos estudiados,
volver sobre lo construido y evitar la permanente desestabilización que genera en ellos las
resoluciones de estas actividades a las cuales no están acostumbrados. La síntesis de cada
actividad, constituye la institucionalización del conocimiento construido; en el caso de las
situaciones 1 y 2 se presenta la síntesis a cargo del profesor, a partir de la resolución de las
mismas por recurrencia al teorema de Thales; en la situación 3, se propone que los mismos
estudiantes sean quienes escriban la síntesis que responda al interrogante: ¿Cómo dividir
un segmento en partes iguales?; y en la situación 4, se presenta una síntesis a completar
con la técnica que permita construir triángulos semejantes. Al final se solicita sintetizar lo
estudiado, y el profesor entrega una hoja en blanco, con el objetivo de conocer qué es lo
que los estudiantes consideran que han reconstruido.
22
Capítulo 3
________________________________________________
La Situación 1 permite obtener cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones
entre segmentos determinados sobre rectas paralelas. En la Parte 1 de esta situación se
propone una actividad en lápiz y papel, mientras que en la Parte 2 se presenta un problema
similar, utilizando como soporte el software de geometría dinámica GeoGebra®. El uso del
software permite abordar la pregunta ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para
que los segmentos correspondientes sean proporcionales?
Situación 1 - PARTE 1
El estudio de la pregunta ¿Cómo construir una calculadora gráfica?, permite obtener
cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones entre los segmentos de la
Figura 1. Sabiendo que las rectas ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son transversales.
Figura 1: Representación gráfica de los segmentos para obtener cálculos numéricos
a) ¿Qué relación entre los segmentos puedes establecer para obtener la longitud x
correspondiente al segmento ̅̅̅̅ ? Justificar
b) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica?
c) Obtener otras posibles representaciones gráficas para calcular x, con las longitudes de
los segmentos dados y justificar cada construcción.
Esta primera situación permite a los estudiantes encontrar una relación entre los segmentos
̅̅̅̅ paralelas, a partir de la recuperación de
determinados sobre las rectas ̅̅̅̅
conocimientos previos como: razones y proporciones aritméticas, propiedades de las
proporciones y proporcionalidad geométrica estudiados en años anteriores, de acuerdo a los
diseños curriculares y a la realidad del curso donde se realizaron las implementaciones,
dado que la profesora es la misma.
Al observar que los segmentos correspondientes modifican su medida entre transversales,
pueden sostener la idea de que esto ocurre en forma proporcional, por lo que estarán en
condiciones de plantear la proporcionalidad entre segmentos, aplicando la regla de tres
23
Capítulo 3
________________________________________________
simple, que es el instrumento inicialmente disponible para los estudiantes, sobre todo
cuando hay que resolver situaciones que involucran porcentajes y proporcionalidad
numérica. Se espera a partir de esto, que los estudiantes puedan encontrar las siguientes
relaciones:
, para hallar el valor del segmento ; que es una
consecuencia de dicho cálculo
.
Esta situación inicial abriría la posibilidad de construir otras representaciones gráficas que
permitan hallar el valor del segmento , y por lo tanto, resolver gráficamente la operación
encontrada. A continuación se presentan otras posibles representaciones gráficas que
podrían presentarse como respuesta al ítem c):
Figura 1.1 Representaciones posibles para calcular x gráficamente
24
Capítulo 3
________________________________________________
La Situación 1 Parte 2 es en apariencia similar, pero ahora se introduce el software de
geometría dinámica y se enuncia como sigue:
Situación 1 - PARTE 2
En el archivo Situación 1- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada
grupo, se ha representado el problema anterior utilizando como soporte el software de
geometría dinámica GeoGebra. Este software permite desplazar puntos y analizar
relaciones entre ellos. Los puntos representados A, B, C, D y J se construyeron como
puntos “móviles”; y los puntos I y E son fijos. Como se muestra en la Figura 2, la planilla
de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes
de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 2
a) ¿Cuál es la relación entre los segmentos representados? Justificar.
b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los
segmentos determinados. Justificar.
c) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? ¿Cuántos
resultados posibles podemos obtener? ¿Por qué?
d) ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos
correspondientes sean proporcionales?
En la hoja de cálculo adjunta al esquema se pueden observar las distintas longitudes que se
quieran dar a los segmentos determinados sobre las rectas paralelas y analizar las
características generales de la representación gráfica. Cuando se modifican los puntos
“móviles” la estructura cambia, pero las rectas ⃡ y ⃡ se mantienen paralelas
25
Capítulo 3
________________________________________________
Analizando como mínimo los valores de las 10 filas de la tabla que se solicita, los
estudiantes podrán ingresar en el terreno de las primeras generalizaciones indicando que las
razones entre los segmentos correspondientes son iguales, y esto reafirma la relación de
proporcionalidad entre los segmentos representados:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
, de la situación anterior. La
operación matemática que permite resolver la calculadora gráfica es entonces: ̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
,
y siendo ̅̅̅ el segmento x queda:
. Observando los registros, puede afirmarse
̅̅̅̅
que hay muchos resultados posibles, y que para cada representación gráfica, hay un nuevo
valor para x, pero la razón entre los segmentos se mantiene constante.
Esta situación permitiría concluir que la proporción entre los segmentos se cumple más allá
de las modificaciones de la gráfica inicial, y que las rectas transversales deben intersecar
rectas paralelas, para que los segmentos correspondientes a las mismas, sean proporcionales
Los resultados obtenidos en estas situaciones (Situación 1- Parte 1 y 2) permiten afirmar
que:
 Los segmentos correspondientes determinados en una estructura que contiene rectas
paralelas y transversales, son proporcionales.
 La calculadora gráfica permite calcular el valor de x mediante una representación
gráfica con las características enunciadas.
 La representación gráfica que construye dicha calculadora permite resolver una
operación matemática que surge a partir de la relación de proporcionalidad entre los
segmentos correspondientes.
Para la Situación 2, se presenta en el software de geometría dinámica una representación
gráfica con los segmentos determinados sobre las transversales. En la Parte 1 de esta
situación la construcción presentada contiene rectas paralelas y promueve el análisis de las
posibles longitudes de los segmentos; mientras que en la Parte 2, se presenta una
construcción inicialmente similar, pero las rectas paralelas no lo son al realizar
modificaciones en la misma, y permite a los estudiantes generalizar las condiciones que
dicha representación gráfica debe cumplir para que se verifique la relación de
proporcionalidad de segmentos.
Situación 2 - PARTE 1
En el archivo Situación 2- Parte I, se representan gráficamente longitudes para los
segmento a y b que cumplen con la relación dada:
. Los puntos A, B, D, E y J son
puntos “móviles”; y los puntos C y F fijos. Como se muestra en la Figura 3, la planilla de
cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de
los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
26
Capítulo 3
________________________________________________
Figura 3
Las rectas paralelas s//r//t determinan los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal z de
longitud 3 cm y 4 cm respectivamente; y la longitud de los segmentos ̅̅̅̅
y ̅̅̅̅
sobre la transversal g.
a) ¿Qué longitud puede asignarse a los segmentos y b para que cumplan con la
relación dada
?
b) ¿Cuántos valores posibles pueden admitir dichos segmentos? Justificar
En esta situación los estudiantes encontrarán distintos valores para los segmentos a y b,
pero estos valores son válidos cuando la razón entre ellos sea igual a la razón entre 3 y 4,
conformando así la proporción indicada. Desde el registro de los movimientos realizados se
observan los distintos valores para los segmentos a y b que podrían considerarse,
justificando de este modo que estos no son únicos, aspecto que no siempre es analizado.
Como síntesis de esta situación se espera que los estudiantes concluyan que existen muchos
valores posibles para los segmentos a y b, y que para cada nueva estructura se modifican
los segmentos pero siempre se cumple la relación de proporcionalidad entre los segmentos
determinados.
Situación 2 - PARTE 2
En el archivo Situación 2- Parte 2, se representan gráficamente las longitudes de los
segmentos a y b determinados sobre una de las rectas transversales. Los puntos D, E y F
son puntos “móviles”; y los puntos A, B y C fijos. Como se muestra en la Figura 4, la
planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y
̅̅̅̅ según los “movimientos” que realicen a partir de los puntos “móviles”.
27
Capítulo 3
________________________________________________
Figura 4
a) ¿Se mantiene la relación
b) ¿Qué condiciones debe
verifi
ción?
? ¿Por qué?
cumplir la representación
gráfica
para
que
se
Se propone analizar nuevamente los valores de los segmentos a y b en una nueva
estructura, la cual no conserva necesariamente la condición de la existencia de rectas
paralelas cortadas por transversales. Los puntos “móviles” están configurados de modo que
no se garantiza que las rectas s, r y t se conservan paralelas con los movimientos, como en
apariencia se puede notar en la Figura 4. Con esta situación se espera que los estudiantes
identifiquen en la hoja de cálculo que la razón entre los segmentos de longitudes 3 y 4 no es
igual a la razón entre a y b, y que como consecuencia, los segmentos determinados sobre
las transversales no son proporcionales. Es posible aquí dar a los estudiantes la oportunidad
de comparar esta construcción con la construcción de la situación anterior y concluir que
las rectas r, s y t no son paralelas y por tal causa no se cumple la relación de
proporcionalidad entre los segmentos.
Los resultados obtenidos en estas situaciones (Situación 2 – Parte 1 y 2) permitirían
confirmar que:
 La calculadora gráfica permite calcular los valores de a y b respectivamente para que
se cumpla la proporción:
 Existen infinitos valores para que la proporción
se cumpla, siempre que los
segmentos se determinen en una representación gráfica que contenga rectas paralelas y
transversales.
28
Capítulo 3
________________________________________________
Luego de estas situaciones, se propone introducir tareas, con el objetivo de afianzar lo
construido en las primeras situaciones. Por medio de las mismas se espera reforzar la
condición de paralelismo para la proporcionalidad de segmentos correspondientes, y la
aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones.
Tareas (1)
1. Construir una representación gráfica que permita calcular el valor de
2. Identificar qué representación gráfica corresponde a la operación:
I
III
II
IV
29
.
. Justificar.
Capítulo 3
________________________________________________
V
VI
3. Dada la siguiente proporción:
. Construir una representación gráfica que
permita calcular el valor de x.
¿Cuál es la operación matemática que dicha proporción permite resolver? ¿Cuáles son los
valores posibles que puede admitir a?
4.
En el archivo Tarea 1.4 que se encuentra disponible en el escritorio de su PC, se ha
̅̅̅̅
̅̅̅̅
representado la proporción ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ como se muestra en la Figura 5. La planilla de cálculo
anexa permite registrar los movimientos y analizar la proporción entre los segmentos
dados.
Figura 5
a) ¿Qué valores posibles pueden asignárseles a los segmentos ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ para que
sean proporcionales?
30
Capítulo 3
________________________________________________
b) ¿Qué sucede si los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son iguales?
5.
I
la
al
xe
una de las siguientes representaciones gráficas:
II
III
Se considera que una vez discutidas, corregidas y acordadas las posibles respuestas de las
tareas anteriores, se está en condiciones de institucionalizar lo estudiado hasta el momento.
Es el profesor quien introducirá la síntesis que sigue, para estabilizar a los estudiantes y
concluir con la clase sobre lo construido hasta el momento.
31
Capítulo 3
________________________________________________
SINTESIS (1)
Las situaciones anteriores se resuelven por recurrencia al Teorema de Thales. La
definición de este teorema se enuncia a continuación.
Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más transversales, los segmentos
determinados en una de las transversales son proporcionales a sus correspondientes en la
otra transversal.
En el esquema:
Dadas las rectas paralelas P//Q//R y las transversales T y S se cumple que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Una vez alcanzada la definición y verificados los casos estudiados en las situaciones y taras
anteriores, se está en condiciones de avanzar hacia las aplicaciones de dicho Teorema, y en
este diseño se hace a partir de las situaciones que siguen. Es con las Situaciones 3 y 4 que
se ingresa en el estudio de dos aplicaciones del teorema de Thales: la división de un
segmento en partes iguales y el concepto de triángulos semejantes, respectivamente,
siempre primero por medio de las gráficas.
En la Situación 3 se presenta una representación gráfica con rectas paralelas y
transversales, en un sistema de ejes cartesianos, el cual permite hallar las coordenadas de un
punto sobre el eje x a partir de la proporcionalidad entre los segmentos y la división de un
segmento unidad, en partes iguales. Primeramente se presenta el esquema en lápiz y papel,
mientras que en la segunda parte de esta situación se presenta el mismo esquema en el
software, con el objetivo de investigar y dar respuesta a la pregunta: ¿Qué condiciones
32
Capítulo 3
________________________________________________
cumple la representación gráfica para que un segmento de cualquier longitud se divida en
partes iguales?
Situación 3. PARTE 1
La calculadora gráfica permite también construir puntos a igual distancia unos de otros.
En la Figura 6 se representan en el sistema de ejes cartesianos las rectas paralelas que
determinan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Los demás ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , se forman por
intersección de dichas rectas con los ejes
Figura 6
a) ¿Cuál es la abscisa correspondiente al punto D? Justificar la respuesta.
b) ¿Es posible obtener los puntos
,
,y
? ¿Cuál es la relación entre los
̅̅̅̅
puntos construidos, y el segmento
?
̅̅̅̅
c) ¿Es posible dividir el segmento
en 10 partes iguales? ¿Y en dos partes iguales?
Justificar
Esta situación permitiría a los estudiantes observar que la representación gráfica cumple las
condiciones estudiadas: los ejes cartesianos son las transversales mientras que las rectas que
contienen a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son paralelas. Se espera entonces que los estudiantes
detecten las condiciones gráficas estudiadas y apliquen el teorema de Thales planteando las
siguientes proporciones:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
;
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
;
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
33
Considerando que la abscisa del
Capítulo 3
________________________________________________
punto B corresponde a la unidad 1, y que se tienen como dato las longitudes de los
segmentos determinados sobre el eje y, se reemplaza en una de las proporciones
permitiendo obtener la abscisa
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Para obtener las demás fracciones con denominador 5, la construcción permite que los
alumnos puedan trazar otras rectas paralelas a las iniciales y determinar que la calculadora
gráfica permite construir cinco puntos a igual distancia y por lo tanto dividir el segmento
̅̅̅̅ en cinco partes iguales. Para realizar la división del segmento en 10 partes iguales, la
actividad permite aplicar nuevamente la técnica de trazado de paralelas a igual distancia, las
cuáles pasen por los puntos medios de cada unidad del eje y. Por último, para dividir el
segmento ̅̅̅̅ en dos partes iguales, se traza la paralela que pase por el valor 2,5 del eje y,
que es el punto medio del segmento ̅̅̅̅, ya que se debe mantener la proporción en ambos
ejes.
Situación 3. PARTE 2
El archivo Situación 3-Parte 2 disponible en el escritorio de la PC del grupo, corresponde
a una representación de la situación anterior, como muestra la Figura 7. Los puntos C y B
son puntos móviles y los demás fijos. Las rectas paralelas, dividen al segmento ̅̅̅̅ en
cinco partes iguales. La planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los
segmentos que las rectas paralelas determinan sobre el eje x y como consecuencia analizar
la relación entre ellos.
Figura 7
a) ¿Qué longitudes posibles puede asignarse a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , para que la
división de segmentos en partes iguales se mantenga?
b) ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento se divida en
partes iguales, de cualquier longitud?
34
Capítulo 3
________________________________________________
La representación gráfica en GeoGebra® se propone con el objetivo de que los alumnos
puedan analizar los posibles valores que puede asignarse a los segmentos, los cuales pueden
ser diferentes según el dinamismo del esquema presentado. Observando el registro en la
hoja de cálculo, podrán concluir que la división del segmento en partes iguales se mantiene
para cualesquier longitud de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅.
Las condiciones que cumple la representación gráfica para que el segmento ̅̅̅̅ se divida en
partes iguales es que las rectas paralelas trazadas desde los puntos determinados en ̅̅̅̅ son
equidistantes y por lo tanto determinan segmentos congruentes en ̅̅̅̅. La representación
gráfica analizada cumple con las condiciones estudiadas en las situaciones 1 y 2, los
segmentos correspondientes sobre las trasversales son determinados por rectas paralelas,
por lo cual es una estructura que se corresponde con el Teorema de Thales, y la división de
segmentos en partes iguales no es una imposición del profesor, sino una consecuencia del
estudio de dicho Teorema. Por lo tanto, a partir del diseño que se propone sería posible al
menos enunciar que es a partir del estudio del Teorema de Thales que los estudiantes
podrían ingresar en el estudio de la división de un segmento en partes iguales.
Los resultados obtenidos en esta situación permitirían afirmar que:
 La calculadora gráfica permite hallar la abscisa de puntos ubicados sobre el eje ,
hallar puntos a igual distancia y dividir un segmento en partes iguales, mediante el trazado
de rectas paralelas equidistantes.
 El teorema de Thales permite justificar la técnica de la división de un segmento en
partes iguales.
Luego de la situación 3, se proponen otras tareas, tendientes a justificar y practicar la
técnica construida para dividir un segmento en partes iguales. La relevancia de partir de la
representación gráfica para concluir en dicha técnica estaría justificada no sólo porque la
misma facilitaría el desarrollo de tareas relativas a la ubicación de números en la recta
numérica, sino también ingresar en otras aplicaciones que podrían derivar de la misma,
como por ejemplo para la resolución de problema de áreas. El segundo grupo de tareas
propuestas se enuncian a continuación:
Tareas (2)
1- Construir una representación gráfica que permita ubicar en una recta numérica los
siguientes números:
,
.
2- Dividir un segmento de 10,5 cm en 8 partes iguales, empleando regla no graduada y
compás.
3- Si se considera un triángulo ABC. Usando solamente regla no graduada y compás,
construir otro triángulo ADC, de manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el área
del triángulo ADC sea del área del triángulo ABC.
35
Capítulo 3
________________________________________________
Además de las tareas enunciadas antes, en esta instancia se propone a los estudiantes
elaborar ellos mismos una síntesis grupal, que les permita explicitar la técnica construida
con las partes 1 y 2 de la situación 3. Los estudiantes recibirán un espacio máximo de una
carilla para colocar todo lo que consideren con relación a esta actividad y como
consecuencia se desarrollará una puesta en común y acuerdo sobre la pregunta ¿Cómo
dividir un segmento en partes iguales?
SÍNTESIS (2)
¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?
El profesor discutirá y elaborará junto con los estudiantes una síntesis de la clase.
Consideramos que entre las respuestas se espera que por ejemplo indiquen los “pasos
mínimos” para obtener las partes iguales de un segmento dado, y se verificará que dicha
técnica se justifique a partir del teorema de Thales de manera adecuada. Una posible
respuesta sería:





Se construye un segmento ̅̅̅ de cualquier medida;
Se traza una semirrecta con origen en el extremo a del segmento;
Se marcan sobre la semirrecta segmentos congruentes de cualquier medida, la
última marca la llamamos por ejemplo o;
Se traza la recta que determinan o y b;
Se trazan las rectas paralelas a ̅̅̅ que pasan por los otros puntos que se marcaron
sobre la semirrecta, y así queda dividido en segmento en partes iguales
Con la Situación 4 se espera ingresar en el estudio de triángulos semejantes. Como en las
demás situaciones, la 4 también se plantea en dos partes. En la Parte 1, se promueve la
construcción en lápiz y papel de triángulos con lados proporcionales y se espera que
analicen las propiedades que cumplen dichos triángulos. En la Parte 2 se presenta un
problema en apariencia similar, pero cuyo análisis debe realizarse en Geogebra®, con el
objetivo de analizar y considerar los diferentes casos en términos de posiciones de los
lados, y esperando que los estudiantes reconozcan las condiciones que cumplen los mismos,
para dar lugar a la definición de los triángulos semejantes.
36
Capítulo 3
________________________________________________
Situación 4. PARTE 1
Dado el triángulo ABC:
a) Construir otro A´B´C cuyos lados sean proporcionales. Justificar.
b) Analizar los ángulos correspondientes y establecer las relaciones posibles.
c) ¿Cómo son los triángulos que cumplen estas condiciones?
Esta situación permite a los estudiantes construir un triángulo cuyos lados sean
proporcionales a los del triángulo dado. Se espera en esta situación que apliquen lo
estudiado antes, ya que al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se determinan
segmentos proporcionales, los cuales son lados correspondientes de los triángulos. La
aplicación del teorema de Thales verifica entonces la proporcionalidad entre los dos pares
de lados correspondientes, de cualquier triángulo en esas condiciones, y para comprobar
que el tercer par de lados también es proporcional se pueden realizar mediciones y plantear
la razón entre estos.
Otra posible respuesta de los estudiantes podría ser considerar una razón de
proporcionalidad determinada, por ejemplo , y a partir de allí construir el nuevo triángulo
(Figura 7.4), aplicando la técnica de división de un segmento en partes iguales. Estas
opciones de construcción que se mencionaron antes, se muestran en las siguientes figuras,
pero de ningún modo se quiere dejar la idea de que no hay otras, estas son posibilidades:
Figura 7.1 Construcción de triángulo A´B´C
Figura 7.2 Construcción de triángulo A´B´C
37
Capítulo 3
________________________________________________
Figura 7.3 Construcción de triángulo A´B´C
Figura 7.4 Construcción de triángulo A´B´C
En el análisis de los ángulos correspondientes de los triángulos, los alumnos podrán afirmar
que son congruentes, justificando desde las relaciones entre los ángulos determinados entre
paralelas y transversales, que ya han estudiado antes, aunque consideramos que tal vez
tengan que reencontrarse con estas definiciones para poder considerarlas.
Insistimos una vez más que en esta situación será fundamental contar con conexión a
internet o libros de matemática en el aula, para que los estudiantes puedan reencontrase con
el estudio de los ángulos entre paralelas, pues si bien lo habrían estudiado antes en esta
edad escolar, es posible que sea necesario reingresar en este estudio.
La Situación 4 Parte 2 introduce el problema de la “generalización” de las propiedades
enunciadas en la Parte 1, con una situación similar a la anterior pero que requiere del
software Geogebra® para analizar una variedad de casos de manera relativamente sencilla
y alcanzar las generalizaciones por parte de los estudiantes.
Situación 4. PARTE 2
En el archivo Situación 4- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada
grupo, se ha representado el problema anterior utilizando GeoGebra. Los puntos
representados A, B, C, y D se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos F y E son
fijos. Como se muestra en la Figura 8, la planilla de cálculo anexa permite registrar las
longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar algunas relaciones entre los
mismos.
38
Capítulo 3
________________________________________________
Figura 8
a) ¿Qué características de los triángulos cambian cuando se modifican las longitudes de
los lados de los mismos a partir de los “puntos móviles”?
b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los lados
homólogos correspondientes de cada triángulo. ¿Siempre los lados son proporcionales?
Justificar.
c) ¿Cómo son los ángulos correspondientes cuando se modifican las longitudes de los
lados? Analizar al menos 10 casos.
d) Representar gráficamente las posiciones posibles que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para
que la relación entre los lados y ángulos analizados se cumpla. Justificar la decisión.
Mediante esta actividad los estudiantes pueden analizar diferentes casos, observando que
los triángulos cambian de tamaño, pero mantienen su forma. Comparando las razones entre
los lados correspondientes, para cada nueva representación gráfica las razones son
constantes, por lo tanto los lados son siempre proporcionales; la justificación estaría dada a
partir de la aplicación del teorema de Thales. En cuanto a los pares de ángulos
correspondientes de los triángulos, se observa que los mismos se mantienen congruentes
entre sí.
Luego de experimentar y realizar modificaciones al esquema inicial, los alumnos pueden
determinar las posibles posiciones que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para que se determinen
triángulos semejantes: el segmento ̅̅̅̅ debe ser paralelo a cualquiera de los tres lados y
puede trazarse tanto en el interior como en el exterior del triángulo, en este último caso
prolongando los otros dos lados del triángulo.
Los resultados obtenidos de las situaciones 3 y 4 permitirían afirmar que:
 Pueden construirse triángulos cuyos lados sean proporcionales justificando su
construcción desde el teorema de Thales. Los triángulos que cumplen esta condición tienen
forma similar pero diferente tamaño.
39
Capítulo 3
________________________________________________
 Los triángulos cuyos lados homólogos son proporcionales y sus ángulos
correspondientes congruentes se denominan semejantes, siendo la razón de semejanza el
valor de la razón entre las longitudes de lados proporcionales.
 Para construir dos triángulos semejantes puede aplicarse la técnica del trazado de una
paralela a un lado del triángulo, justificado desde la siguiente propiedad: Toda recta
paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos o a sus prolongaciones, divide
a éstos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero.
Las tareas correspondientes a la situación 4, permiten aplicar la propiedad estudiada con
respecto al trazado de una paralela a uno de los lados del triángulo, de tal manera que la
razón de proporcionalidad entre los lados se corresponde con la razón de semejanza.
Como se ha hecho con las demás situaciones, se propone aquí otro conjunto de tareas que
permita a los estudiantes revisar lo reconstruido.
Tareas (3)
1- Dado el triángulo ABC construir un triángulo semejante AB’C’ con razón de
semejanza
.
40
Capítulo 3
________________________________________________
2- Los triángulos ABC y DEF son semejantes ¿Cuál es la razón de semejanza entre ellos?
3- Dado el triángulo ABC, determinar el valor de x sabiendo que ̅̅̅̅ es paralela a ̅̅̅̅ .
4I)
Decide si los siguientes pares de triangulos son semejantes. Justifica.
41
Capítulo 3
________________________________________________
II)
III)
Las tareas anteriores permitirían también a los estudiantes elaborar una técnica para
construir triángulos semejantes, como aplicación del Teorema de Thales. Para formalizar
estas técnicas y ponerlas a consideración de toda la clase, se propone otra síntesis, a cargo
de los estudiantes, que les permita sintetizar lo construido en estas situaciones:
42
Capítulo 3
________________________________________________
SÍNTESIS (3)
Las situaciones 4 Parte 1 y 2 permitieron construir y analizar características y
propiedades de la semejanza de triangulos. Se dice que:
Dos triangulos son semejantes si y sólo si tienen sus ángulos correspondientes iguales y
sus lados homólogos proporcionales:
Si BC // B´C´
 
A  A


 
ABC  AB´C´   B  B´ y AB  AC  CB
AB´ AC´ C´B´
 
C  C´

Para construir dos triángulos semejantes:
Los estudiantes completarían la síntesis correspondiente a la semejanza de triángulos
considerando que para construir dos triángulos semejantes se traza una recta paralela a uno
de los lados.
Se propone como actividad final otra síntesis, donde el profesor entrega una carilla en
blanco para completar por los estudiantes, donde ellos puedan sintetizar qué es lo que han
estudiado durante la implementación.
En el Capítulo 4 a continuación, se presentan los resultados de la implementación de dicho
dispositivo y las respuestas alcanzadas por los estudiantes a lo largo de las situaciones,
tareas y síntesis.
43
Capítulo 4
Capítulo 4
___________________________________________________
ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
1.
Introducción
En esta investigación hemos implementado un dispositivo didáctico diseñado para el
estudio del Teorema de Thales de una manera diferente a la habitual, a partir de una
cuestión engendrada en un REI, el cual se ha presentado y justificado en el capítulo
anterior. En este capítulo nos centraremos en describir y analizar las características de la
OM efectivamente reconstruida en el aula. Además se describen las modificaciones que
se producen como consecuencia de introducir un diseño basado en preguntas, a partir de
las funciones didácticas de topogénesis, cronogénesis y mesogénesis, que se presentan
en el desarrollo de las clases.
Para realizar el análisis de los resultados obtenidos a partir de la implementación del
dispositivo, se utilizan los protocolos escritos de los estudiantes, las notas de campo del
profesor/investigador y las transcripciones de los registros de audio de cada clase. Se
realiza por un lado la descripción de las OMs efectivamente reconstruidas en el aula; y
por el otro, las modificaciones en la distribución de las responsabilidades entre los
agentes de la clase, profesor y estudiantes, lo que conforma el análisis de la topogénesis;
como se constituye y gestiona el medio didáctico M de la clase, la mesogénesis; y por
último cómo evoluciona el tiempo didáctico durante la implementación del dispositivo,
la cronogénesis.
Para el análisis de los procesos de estudios efectivamente realizados a partir del
dispositivo propuesto, vamos a presentar un análisis situación a situación, lo que
permite describir los resultados obtenidos en cada caso. Este dispositivo comienza a
partir del estudio de la cuestión Q0: ¿Cómo construir una calculadora gráfica? De esta
se desprenden otras preguntas que guían el proceso de estudio:


Q1: ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica?
Q2: ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos
correspondientes sean proporcionales?
Estas dos preguntas son abordadas a partir de las situaciones 1 y 2, las cuales permiten
reconstruir la OM correspondiente al Teorema de Thales y su institucionalización en la
clase.


Q3: ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?
Q4: ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento de
cualquier longitud se divida en partes iguales?
Estas dos cuestiones son abordadas a partir del estudio de la situación 3 las cuales
permiten la reconstrucción de una de las aplicaciones del teorema: la división de un
segmento en partes iguales.

Q5: ¿Qué condiciones debe cumplir una construcción para que los lados
correspondientes de dos triángulos sean proporcionales?
45
Capítulo 4
___________________________________________________
Esta pregunta es abordada desde la situación 4 para el estudio de la semejanza de
triángulos.
Estas cuestiones han permitido construir las condiciones necesarias y suficientes para el
cumplimiento del Teorema de Thales, así como también han permitido una
institucionalización propia por parte de los estudiantes de una de las aplicaciones de
dicho teorema: la división de un segmento en partes iguales; y la reconstrucción de la
OM de semejanza de triángulos, utilizando las propiedades desarrolladas inicialmente
por el diseño. El análisis de estas cuestiones permitirá evaluar el dispositivo propuesto,
considerando que otras posibles preguntas a estudiar pueden ser de gran relevancia para
futuras implementaciones y para la ampliación o ajuste del mismo.
2. Análisis de las situaciones implementadas
2.1.1 Situación 1-Parte 1
Esta situación inicial tiene por objetivo que los estudiantes encuentren la relación de
proporcionalidad entre los segmentos correspondientes, y resuelvan una operación
matemática de forma gráfica.
Situación 1 - PARTE 1
El estudio de Q: ¿Cómo construir una calculadora gráfica?, permite obtener cálculos
numéricos como resultado de establecer relaciones entre los segmentos de la Figura 1.
Se sabe que las rectas de la figura ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son transversales.
Figura 1: Representación gráfica de los segmentos para obtener cálculos numéricos.
a) ¿Qué relación entre los segmentos puedes establecer para obtener la longitud x
correspondiente al segmento ̅̅̅̅? Justificar
b) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica?
c) Obtener otras posibles representaciones gráficas para calcular x, con las longitudes de
los segmentos dados y justificar cada construcción.
46
Capítulo 4
___________________________________________________
En la primera clase, el docente/investigador solo observó la actividad matemática de los
estudiantes sin realizar intervenciones, la responsabilidad de la tarea fue asumida por los
estudiantes, a pesar de la restricción inicialmente puesta por estos, pues estaban
acostumbrados hasta ese momento a que el profesor siempre comenzaba explicando,
cosa que no ocurrió. Para responder a este problema inicial, realizaron mediciones u
operaciones erróneas sin poder establecer la relación esperada entre los segmentos, y sin
justificar sus respuestas. Entre los intentos de respuestas posibles al problema se puede
mencionar la resta entre las longitudes de los segmentos dados y el planteo de una regla
de tres simple entre los segmentos. La proporcionalidad entre segmentos no fue
estudiada en 3° año por este grupo, y por lo tanto no justificaron inicialmente su
resolución desde el concepto de proporcionalidad geométrica. El protocolo del
estudiante A19, correspondiente a la Figura 1, representa la iniciativa de los estudiantes
de aplicar una resta de segmentos para calcular el valor de .
A19
Figura 1. Protocolo correspondiente al alumno A 19
En la segunda clase, el docente propone a los estudiantes retomar la situación, y tratar
de verificar y justificar la respuesta planteada inicialmente. Las primeras discusiones
permitieron dar cuenta que lo construido no se correspondía con lo solicitado en el
problema, y como consecuencia continuaron buscando alternativas y trataron de
justificar la respuesta. Inicialmente representaron la gráfica dada con medidas reales y
comprobaron que la resta de segmentos no es válida como respuesta. Indagaron
entonces sobre el posible cálculo que permita encontrar el valor de
, y la
operación hallada fue planteada como la operación matemática que permite resolver
esta calculadora gráfica. Esto puede observarse en el protocolo del estudiante A35 en la
Figura 2.
A35
Figura 2. Protocolo correspondiente al alumno A 35
47
Capítulo 4
___________________________________________________
Otro grupo de estudiantes planteó una relación de proporcionalidad entre los segmentos
dados y el segmento x, mediante la aplicación de “la regla de tres simple”, técnica que
fue considerada como la operación matemática que la calculadora gráfica permite
resolver. Esta actividad matemática de los estudiantes puede observarse en la Figura 3
que muestra el protocolo del alumno A20.
A20
Figura 3. Protocolo correspondiente al alumno A 20
En la siguiente clase se realizó una puesta en común en el pizarrón para compartir las
producciones de los alumnos. A partir de la resolución de la regla de tres simple se
planteó la operación matemática que esta calculadora gráfica permite construir. Un
estudiante planteó la resolución de los ítem a) y b) y el docente incorporó al medio la
pregunta ¿en qué situaciones se aplica la regla de tres simple? ¿Qué relación existe
entre los segmentos?, lo que permitió recuperar en la clase las nociones de
proporcionalidad directa, razón y proporción. Para justificar la relación encontrada entre
los segmentos, los estudiantes investigaron en Internet los conceptos de razón y
proporción. En la Figura 4 se muestra el protocolo del alumno A15 donde se expone lo
trabajado en el pizarrón y la definición construida en común acuerdo entre los grupos.
A15
Figura 4. Protocolo correspondiente al alumno A15
La última pregunta de la situación 1, involucra la construcción de representaciones
gráficas que permitan calcular el valor de . En primera instancia, los estudiantes
realizaron construcciones similares al esquema dado. Para elaborar una respuesta a este
problema se introducen al medio algunas preguntas por parte de los alumnos: ¿Qué
hacer con el segmento
sin emplearlo como dato? ¿Cómo deben disponerse los
48
Capítulo 4
___________________________________________________
segmentos dados para obtener el segmento ? A partir del planteo de estas preguntas,
los estudiantes realizaron un trabajo exploratorio, debatieron en grupo y luego de varios
intentos fallidos, un grupo representó un esquema válido para el cálculo del segmento ,
como puede observarse en la Figura 5 que contiene el protocolo del estudiante A10.
A10
Figura 5. Protocolo correspondiente al alumno A10
A partir de la elaboración de esta respuesta y de las discusiones entre los grupos de
estudio, surgieron otras posibles representaciones gráficas, como la de los alumnos A10,
A23 y A27, que se muestran a continuación.
A10
Figura 6. Protocolo correspondiente al alumno A10
49
Capítulo 4
___________________________________________________
A23
A27
Figura 7. Protocolos correspondientes a los alumnos A23 y A27
Los estudiantes no están familiarizados con el tipo de problema propuesto, pero retoman
algunas herramientas de años anteriores como lo es la aplicación de la regla de tres
simple. En la elaboración de respuestas a este problema los estudiantes construyeron
una nueva técnica: resolver una operación matemática aplicando técnicas de geometría
sintética. Esta situación permitió reconstruir el concepto de proporcionalidad geométrica
a partir del establecimiento de una relación de proporcionalidad entre segmentos,
logrando así la construcción de una calculadora gráfica propia que resuelve la operación
matemática buscada.
2.1.2 Situación 1-Parte 2
En la Situación 1- Parte 2, se presentó el esquema anterior en el software GeoGebra®,
con el objetivo de que los estudiantes puedan obtener una generalización de la
resolución anterior resuelta en lápiz y papel. La geometría dinámica permite analizar
distintas disposiciones del esquema inicial y describir como consecuencia las
50
Capítulo 4
___________________________________________________
condiciones que debe tener una representación gráfica para que se determinen
segmentos proporcionales.
Situación 1 - PARTE 2
En el archivo Situación 1- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada
grupo, se ha representado el problema anterior utilizando como soporte el software de
geometría dinámica GeoGebra. Este software permite desplazar puntos y analizar
relaciones entre ellos. Los puntos representados A, B, C, D y J se construyeron como
puntos “móviles”; y los puntos I y E son fijos. Como se muestra en la Figura 2, la
planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las
longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 2
a) ¿Cuál es la relación entre los segmentos representados? Justificar.
b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los
segmentos determinados. Justificar.
c) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? ¿Cuántos
resultados posibles podemos obtener? ¿Por qué?
d) ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos
correspondientes sean proporcionales?
Se dispuso de una neetbook por grupo, estimulando así el debate en el análisis de las
distintas representaciones gráficas obtenidas. Los alumnos observaron que para cada
nuevo esquema los segmentos son proporcionales. En la Figura 8, correspondiente al
protocolo del grupo G04, puede observarse una modificación del esquema inicial con
las respectivas longitudes de segmentos y razones entre los mismos en la hoja de
cálculo. Es importante aclarar que la profesora antes de comenzar la actividad cargó a
los siete grupos un archivo con las celdas de la planilla configuradas, pues el objetivo es
que los estudiantes analicen las relaciones entre los segmentos para concluir en la
proporción entre los mismos, que determinaría la razón constante que se observa en la
figura que sigue.
51
Capítulo 4
___________________________________________________
G04
Figura 8. Visualización de la pantalla del software del grupo G04
En general los estudiantes respondieron que la proporción se mantiene constante a partir
del análisis de los valores observados en la hoja de cálculo, otros grupos justificaron que
los segmentos son proporcionales por la existencia de rectas paralelas y transversales en
las distintas representaciones gráficas analizadas. En las figuras 9 y 10 se muestran los
protocolos de los alumnos A34 y A35, respectivamente.
A34
Figura 9. Protocolo correspondientes al alumno A34
A35
Figura 10. Protocolo correspondientes al alumno A35
En cuanto a la operación matemática que esta calculadora gráfica permite resolver, los
estudiantes expresaron la proporción entre los segmentos. Luego de un tiempo
considerable de trabajo, el docente decide realizar una puesta en común en el pizarrón,
introduciendo nuevamente al medio la cuestión: ¿Cuál es la operación matemática que
52
Capítulo 4
___________________________________________________
permite obtener el valor de x? por lo que los alumnos propusieron despejar x de la
proporción y hallar finalmente la operación matemática. La respuesta a los posibles
valores que puede tomar el segmento x fue que puede tomar distintos valores mientras
se mantengan constantes las razones y se cumpla la proporción entre los segmentos. En
la Figura 11 pueden observarse los resultados obtenidos en el pizarrón, tomando como
representante el protocolo del alumno A26.
A26
Figura 11. Protocolo correspondiente del alumno A26
Al resolver esta segunda parte de la situación 1, los estudiantes reafirmaron la operación
matemática que esta calculadora gráfica permite resolver, así como también la
condición que debe cumplir la representación gráfica para resolverla: los segmentos
correspondientes son proporcionales en representaciones gráficas que tienen rectas
paralelas y transversales, como puede observarse en la respuesta del alumno A20 de la
Figura 12.
A20
Figura 12. Protocolo correspondiente al alumno A20
En la Situación 1 Parte 1 y 2 hubo diferencias respecto a la enseñanza tradicional, que
ha sido introducida hasta entonces por la misma profesora, que ahora propone ingresar
en el estudio del Teorema de Thales a partir de situaciones, que aquí son descritas por
las funciones mesogénesis, cronogénesis y topogénesis. En la Situación 1- Parte 1, los
estudiantes solicitaron la ayuda del profesor constantemente, ya que no estaban
acostumbrados a resolver tareas de este tipo, y reclamaron la explicación del profesor.
En este caso, el docente actuó como “guía” introduciendo preguntas al medio para que
los estudiantes puedan avanzar en el estudio, en lugar de explicar como lo ha hecho
hasta el momento. Más allá de esto, los alumnos realizaron varios intentos de
producción de sus respuestas, de construcción de nuevas representaciones gráficas para
53
Capítulo 4
___________________________________________________
el cumplimiento de la tarea solicitada. Los reiterados intentos de respuestas, y sobre
todo la resistencia inicial de los estudiantes, produjeron modificaciones en la
cronogénesis, identificando una considerable dilatación del tiempo didáctico previsto.
Los principales cambios que afectan al estudio, cuando el profesor ya no explica más,
producen modificaciones importantes en la topogénesis que en este caso permite a los
estudiantes ocupar su lugar.
Con relación a la Parte 2 de esta situación, también hubo modificaciones en el nivel de
la mesogénesis, ya que se incorporó un soporte de geometría dinámica que permite
observar diferentes casos en un tiempo reducido y dedicar atención exclusiva al estudio
de la operación matemática que la calculadora gráfica permite resolver, esto es otra
novedad para un estudio que no se corresponde con una enseñanza tradicional. Cuando
hay un profesor que explica, en el medio todo está determinado por lo que él dice y
quiere mostrar. El software permitió a los estudiantes tomar sus propias decisiones con
relación a la cantidad de casos y posiciones de los segmentos que los grupos estuvieran
dispuestos a considerar, con el objetivo de arribar a conclusiones sobre la
proporcionalidad de segmentos en determinadas condiciones. Por otro lado, es
destacable el hecho de que los estudiantes no tuvieron inconvenientes en emplear el
software. El tiempo del estudio estuvo dedicado a realizar observaciones y descubrir
relaciones geométricas a partir del software, y se corresponde con lo esperado por el
profesor. Con respecto a las responsabilidades que cada agente asumió en la resolución
de esta Parte 2, hubo modificaciones en la topogénesis con respecto a la Parte 1, ya que
los estudiantes mostraron mayor autonomía, ocupando un lugar más importante en la
clase.
2.2.1 Situación 2. Parte 1
En la Situación 2, se presenta en el software GeoGebra® un esquema diferente al de la
Situación 1, junto con una hoja de cálculo que permite a los estudiantes analizar la
proporción
, considerando los posibles valores que pueden tomar los segmentos a
y b para que la proporción se cumpla.
Situación 2 - PARTE 1
En el archivo Situación 2- Parte 1, se representan gráficamente longitudes para los
segmento a y b que cumplen con la relación dada:
. Los puntos A, B, D, E y J son
puntos “móviles”; y los puntos C y F fijos. Como se muestra en la Figura 3, la planilla
de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las
longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
54
Capítulo 4
___________________________________________________
Figura 3
Las rectas paralelas s//r//t determinan los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal z de
longitud 3 cm y 4 cm respectivamente; y la longitud de los segmentos ̅̅̅̅
y
̅̅̅̅
sobre la transversal g.
a) ¿Qué longitud puede asignarse a los segmentos y b para que cumplan con la
relación dada
?
b) ¿Cuántos valores posibles pueden admitir dichos segmentos? Justificar
Durante el desarrollo de esta situación los estudiantes dedicaron un tiempo breve para
su análisis y la elaboración de respuestas. Inicialmente tuvieron inconvenientes en
asociar los segmentos a las celdas de la hoja de cálculo y el docente orientó entonces la
observación de las medidas de los segmentos en las celdas correspondientes. En la
Figura 13 se presenta la imagen del archivo analizado por el grupo G02.
G02
Figura 13. Visualización de la pantalla del software del grupo G02
55
Capítulo 4
___________________________________________________
Luego de observar el archivo, los alumnos comienzan a responder los ítems de la
actividad. Un estudiante del grupo 6 afirma que “los valores de a y b deben ser mayores
o iguales que 3”, el docente solicita la justificación a dicha respuesta y se produce un
debate en la clase donde otros grupos dan ejemplos de razones iguales a 0,75 donde a y
b no necesariamente tienen que ser mayores a 3. En la Figura 14 se muestra la respuesta
del alumno A37. Otros estudiantes afirmaron que a debe ser menor que b porque la
razón es menor a un entero, entonces el docente incorpora al medio la pregunta
¿podemos asignar cualquier valor a los segmentos siempre que a sea menor que b?,
algunos respondieron afirmativamente y otros respondieron que “a debe ser menor que
b pero además las razones deben ser iguales” planteando algunos ejemplos en el
pizarrón como se muestra en la Figura 15, donde se ha elegido el protocolo del
estudiante A34..
A37
Figura 14. Protocolo correspondiente al alumno A37
A34
A37
Figura 15. Protocolo correspondiente al alumno A34
A partir de las discusiones acerca de los posibles valores que pueden tomar los
segmentos a y b, se realizó una puesta en común y se escribieron las conclusiones en el
pizarrón: “los valores que pueden tomar y son muchos, a debe ser menor que b,
deben ser positivos pero siempre que las razones sean iguales a para que la proporción
entre los segmento exista”. En la Figura 16 que contiene el protocolo del alumno A24,
puede observarse la respuesta que los estudiantes consiguieron construir en esta
situación, que fue la consensuada entre los grupos.
56
Capítulo 4
___________________________________________________
A24
Figura 16. Protocolo correspondiente al alumno A24
Esta situación permitió reconstruir el concepto de razón y proporción, los grupos
pudieron determinar los posibles valores que puede asignarse a los segmentos a y b y
también concluir que los segmentos son proporcionales porque se mantiene constante la
razón entre estos.
2.2.2 Situación 2. Parte 2
En la segunda parte de esta situación se emplea nuevamente el soporte GeoGebra® y se
crea un archivo que contiene la misma proporción que en la actividad anterior, con un
esquema en apariencia similar pero con características diferentes, ya que las rectas
paralelas no se mantienen a partir del desplazamiento de los puntos móviles, lo que
permitiría a los estudiantes describir las condiciones que debe cumplir la gráfica para
que los segmentos sean proporcionales.
Situación 2- PARTE 2
En el archivo Situación 2- Parte 2, se representan gráficamente las longitudes de los
segmentos a y b determinados sobre una de las rectas transversales. Los puntos D, E y F
son puntos “móviles”; y los puntos A, B y C fijos. Como se muestra en la Figura 4, la
planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅
y ̅̅̅̅ según los “movimientos” que realicen a partir de los puntos “móviles”.
57
Capítulo 4
___________________________________________________
Figura 4
a) ¿Se mantiene la relación
? ¿Por qué?
b) ¿Qué condiciones debe cumplir la representación gráfica para que se verifique esta
relación?
Los alumnos se dispusieron a movilizar algunos puntos de la representación gráfica, que
aparentemente no presentaban problemas, pero que los cálculos no funcionaban como
ellos esperaban. A modo de ejemplo, en la Figura 17 se presenta la imagen del archivo
analizado por el grupo G05 con relación a la Situación 2 Parte 2.
G05
Figura 17. Visualización de la pantalla del software del grupo G05
Los estudiantes observaron que la gráfica tiene características diferentes, las rectas que
inicialmente son paralelas, ya no lo son.; y analizando los valores en la hoja de cálculo
respondieron que “las razones entre los segmentos correspondientes no son iguales y
por lo tanto los segmentos correspondientes no son proporcionales”. En la Figura 18
correspondiente al protocolo del alumno A33 puede observarse una de las respuestas
dadas por lo estudiantes a esta situación.
58
Capítulo 4
___________________________________________________
A33
Figura 18. Protocolo correspondiente al alumno A33
Con respecto a las condiciones que debe cumplir la gráfica para que se cumpla la
relación de proporcionalidad entre los segmentos, los alumnos asumieron por
comparación con la actividad anterior, que las rectas r, s y t deben ser paralelas para que
los segmentos correspondientes sean proporcionales. Estas conclusiones de los
estudiantes, se ejemplifican en este trabajo a partir del protocolo del estudiante A31 en
la Figura 19.
A31
Figura 19. Protocolo correspondiente al alumno A31
En la Situación 2, los estudiantes presentaron mayor autonomía para el trabajo en clase.
Las respuestas fueron propuestas exclusivamente por ellos, ya que prácticamente no
hubo intervenciones por parte del docente, como sí ocurrió en la Situación 1. El topos
del alumno fue central en la elaboración de las respuestas, y el profesor reservó su lugar
a la presentación de las situaciones y gestión de las puestas en común, realizando
preguntas en lugar de ser quien defina los resultados de la situación y los explica. En
cuanto a la cronogénesis, el tiempo de trabajo fue el esperado, y esto puede deberse a la
confianza que los alumnos adquirieron con esta forma de estudiar y con el manejo del
software. Recuperaron las respuestas de la Situación 1, obtenidas en lápiz y papel
mediante aplicación de técnicas de geometría sintética, complementando con técnica de
59
Capítulo 4
___________________________________________________
geometría dinámica. La inserción del software de geometría dinámica es central en este
estudio, ya que las generalizaciones son alcanzadas por los diferentes casos que los
estudiantes en los distintos grupos logran construir.
Los estudiantes confirmaron la condición que debe cumplir la representación gráfica
para que los segmentos correspondientes sean proporcionales y esto permitió entonces
generalizar las condiciones planteadas con anterioridad en la Situación 1 y facilitó al
docente la institucionalización del Teorema de Thales, el cual se presentó como una
síntesis de las situaciones resueltas. Se brindó un tiempo para que cada grupo pueda leer
la síntesis, se realizó una puesta en común y los estudiantes presentaron otras
proporciones posibles. En la Figura 20 se presenta la síntesis de las Situaciones 1 y 2.
SINTESIS (1)
Las situaciones anteriores se resuelven por recurrencia al Teorema de Thales. La
definición de este teorema se enuncia a continuación.
Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más transversales, los segmentos
determinados en una de las transversales son proporcionales a sus correspondientes en
la otra transversal.
En el esquema:
Dadas las rectas paralelas P//Q//R y las transversales T y S se cumple que:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
Figura 20. Síntesis de las situaciones 1 y 2
60
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Capítulo 4
___________________________________________________
2.2.3. Tareas Situación 1 y 2.
Luego de la institucionalización del Teorema de Thales, se propusieron las tareas
correspondientes a las Situaciones 1 y 2 que conducen a la aplicación de la técnica
construida en las clases anteriores: Realizar construcciones gráficas que determinen
segmentos proporcionales para calcular el valor de una operación matemática.
Esta técnica estudiada se justifica desde el Teorema de Thales, que permite el planteo de
las proporciones correspondientes. Entregadas las tareas, los estudiantes comienzan con
la resolución de las mismas, en las cuales se aplica el teorema empleando técnicas de
geometría sintética y analítica.
Tareas
1. Construir una representación gráfica que permita calcular el valor de
2. Identificar qué representación gráfica corresponde a la operación:
I
II
III
IV
61
.
. Justificar.
Capítulo 4
___________________________________________________
V
VI
3- Dada la siguiente proporción:
. Construir una representación gráfica que
permita calcular el valor de x.
¿Cuál es la operación matemática que dicha proporción permite resolver? ¿Cuáles son
los valores posibles que puede admitir a?
4- En el archivo Tarea 1.4 que se encuentra disponible en el escritorio de su PC, se ha
̅̅̅̅
̅̅̅̅
representado la proporción ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ como se muestra en la Figura 5. La planilla de
cálculo anexa permite registrar los movimientos y analizar la proporción entre los
segmentos dados.
Figura 5
a)
¿Qué valores posibles pueden asignárseles a los segmentos ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
para que sean proporcionales?
b)
¿Qué sucede si los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son iguales?
62
Capítulo 4
___________________________________________________
5-Calcular el valor de x en cada una de las siguientes representaciones gráficas:
I)
II)
II)
La Tarea 1 es una tarea inversa al problema de la Situación 1, se solicita a los
estudiantes una representación gráfica que permita resolver la operación matemática
dada. Sin mayor dificultad los estudiantes ingresaron en la construcción de
representaciones gráficas con lápiz y papel que cumplan las condiciones estudiadas y
que permitan calcular el valor de . Los estudiantes A15 y A23, construyeron
representaciones gráficas similares al esquema presentado en la Situación 1-Parte 1,
donde los segmentos están determinados sobre las rectas paralelas (Figura 21); otros
estudiantes como A17 y A31 elaboraron una respuesta determinando los segmentos
proporcionales sobre las transversales, como se muestra en la Figura 22. Por su parte, el
alumno A32 representa una gráfica distinta a los demás grupos, como se observa en la
Figura 23, planteando una proporción donde el segmento
está contenido en el
segmento ̅̅̅̅.
63
Capítulo 4
___________________________________________________
A15
A23
Figura 21. Protocolo correspondiente a los alumnos A15 y A23
A17
A31
Figura 22. Protocolos correspondientes a los alumnos A17 y A31
A32
Figura 23. Protocolo correspondiente al alumno A32
64
Capítulo 4
___________________________________________________
Con relación a la Tarea 2, los grupos seleccionaron las representaciones gráficas que
corresponden con la operación dada. En general se cometieron pocos errores, y algunos
grupos resolvieron de manera incompleta al no considerar algunos esquemas posibles.
Los estudiantes justificaron sus respuestas con el planteo de la proporción
correspondiente a cada esquema y considerando la condición estudiada en las
situaciones anteriores. En la Figura 24 puede observarse el protocolo de A20, que
contiene como respuesta los ítems de las gráficas que permiten resolver la operación
matemática del enunciado y la justificación de su elección.
A20
Figura 24. Protocolo correspondiente al alumno A20
Posteriormente se realizó la corrección de la Tarea 3 que se coloca con el objetivo de
calcular el valor de en forma gráfica y encontrar la operación matemática que permite
resolver la proporción inicial, considerando dos segmentos de valor , el segmento y
el segmento igual a 1. Entre las respuestas a esta tarea se identifica que algunos grupos
indicaron la operación matemática como:
como puede observarse en el caso de
A22 (Figura 25) quien además construyó una representación gráfica con rectas paralelas
y transversales, sin asignar previamente un valor al segmento .
A22
Figura 25. Protocolo correspondiente al alumno A22
Otros grupos despejaron en la proporción inicial y determinaron que la operación
matemática es
√ , como se muestra en el protocolo de A19 quien realiza una
representación gráfica con valores enteros para a y x. Todos los grupos coinciden en
cuánto a los valores posibles que puede asignarse al segmento , los cuales deben ser
positivos. En cuanto a la construcción de la representación gráfica para hallar el valor de
, se observa una disposición correcta de los segmentos, pero en general las gráficas no
permitieron calcular el valor de x, pues en muchos casos el valor de fue determinado
previamente por los estudiantes con un valor entero, y el valor de resuelto en forma
analítica, como se muestra en la siguiente figura.
65
Capítulo 4
___________________________________________________
A19
Figura 26. Protocolo correspondiente al alumno A19
La Tarea 4 tiene por objetivo analizar los posibles valores que pueden asignarse a los
segmentos correspondientes para que sean proporcionales, incluyendo la posibilidad de
que los mismos sean congruentes, a partir del estudio de diversos casos en el software.
En el protocolo de la Figura 27 correspondiente al grupo G04, el cual es representativo
del trabajo realizado por todos los grupos, se observa el registro de los movimientos
realizados, que se detallan en la hoja de cálculo adjunta al gráfico. Los estudiantes
coincidieron en que las razones se mantienen constantes porque se cumplen las
condiciones estudiadas en la Situación 1 y 2. Se muestra en la Figura 28 la justificación
de los alumnos A04 y A22.
G04
Figura 27. Visualización de la pantalla del software del grupo G04
66
Capítulo 4
___________________________________________________
A04
A22
Figura 28. Protocolo correspondiente a los alumnos A04 y A22 respectivamente
Cuando se realizó la puesta en común, se retoma el caso del ítem b) donde los
estudiantes debían analizar la posibilidad de la igualdad entre los segmentos que
conforman una de las razones. En sus respuestas todos indicaron que si los segmentos
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son iguales, los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ también son iguales entre sí, pero no lo
justificaron. El docente realizó una intervención y solicitó a los estudiantes justificar y
verificar las respuestas dadas. Luego del trabajo en los grupos, se realizó otra puesta en
común en el pizarrón y de esta manera se abordó a la igualdad de segmentos como
puede observarse en el protocolo de A27, justificando de esta manera la igualdad entre
los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ .
A27
Figura 29. Protocolo correspondiente al alumno A27
En la Tarea 5, se presenta una tarea inversa a las Tareas 1 y 2, ya que los estudiantes
calculan el valor de mediante la aplicación del Teorema de Thales y la propiedad
fundamental de las proporciones. En el protocolo de A05, se muestra la respuesta
completa de uno de los grupos.
67
Capítulo 4
___________________________________________________
A05
Figura 30. Protocolo correspondiente al alumno A05
Con la resolución de las Situación 1 y 2 y las tareas se estaría en condiciones de indicar
que las actividades permitieron ingresar en el estudio del Teorema de Thales sin
mayores dificultades, ya que los estudiantes llegaron a construir una técnica geométrica
que permite resolver una operación matemática a partir de la proporcionalidad entre
segmentos. De todas formas, los estudiantes demuestran que el “manejo” de técnicas
algebraicas es superior que el de las técnicas geométricas, y esto se evidencia en los
protocolos, dado que principalmente intentan responder o verificar sus respuestas
realizando cálculos. Esto podría ser una consecuencia de las actividades desarrolladas
en las clases tradicionales, dado que luego de que el profesor explica, se brinda más
tiempo a la resolución de tareas en el marco aritmético y algebraico que en el
geométrico; o al menos esta es la experiencia del profesor que implementa este
dispositivo. Por este motivo, se requirió de un tiempo más extenso que lo habitual para
la producción de las respuestas a estas situaciones y a las tareas, lo que influye
directamente en el dominio del tiempo reloj requerido para el estudio de las cuestiones.
2.3.1 Situación 3. Parte 1
Esta situación permite construir una de las aplicaciones del Teorema de Thales: la
división de un segmento en partes iguales, a partir de la identificación de la abscisa de
un punto dado en un sistema cartesiano; y la ubicación de otros puntos a igual distancia.
Situación 3. PARTE 1
La calculadora gráfica permite también construir puntos a igual distancia unos de otros.
En la Figura 6 se representan en el sistema de ejes cartesianos las rectas paralelas que
determinan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Los demás ̅̅̅̅ ,̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, se forman por
intersección de dichas rectas con los ejes
68
Capítulo 4
___________________________________________________
Figura 6
a) ¿Cuál es la abscisa correspondiente al punto D? Justificar la respuesta.
b) ¿Es posible obtener los puntos
,
y
? ¿Cuál es la relación entre los
puntos construidos, y el segmento ̅̅̅̅?
c) ¿Es posible dividir el segmento ̅̅̅̅ en 10 partes iguales? ¿Y en dos partes iguales?
Justificar
Para la primera pregunta de esta actividad, todos los grupos pudieron hallar el valor de
la abscisa del punto
, aplicando la proporción correspondiente entre los segmentos
determinados en el esquema y la propiedad fundamental de las proporciones. En los
protocolos de A22 y A23, se observa que algunos estudiantes plantearon la proporción
justificando su validez desde el cumplimiento de las condiciones de la representación
gráfica, mientras que otros estudiantes aplicaron técnicas de cálculo sin justificar su
procedimiento.
A22
Figura 31. Protocolo correspondiente al alumno A22
69
Capítulo 4
___________________________________________________
A23
Figura 32. Protocolo correspondiente al alumno A23
Con respecto al ítem b), algunos grupos obtuvieron los puntos solicitados de forma
aproximada, sobre el eje de las abscisas, dividiendo el segmento ̅̅̅̅ en 5 partes iguales
realizando mediciones o trazando mediatrices del segmento en forma reiterada como lo
hizo el estudiante A29. Otras respuestas se elaboraron a partir del trazado de rectas
paralelas al segmento ̅̅̅̅ que pasan por los puntos a igual distancia sobre el segmento
̅̅̅̅, y se determinaron las intersecciones de estas rectas con el segmento ̅̅̅̅,
obteniendo así las fracciones solicitadas como se muestra en el protocolo del alumno
A15 en la Figura 34.
A29
Figura 33. Protocolo correspondiente al alumno A29
70
Capítulo 4
___________________________________________________
A15
Figura 34. Protocolo correspondiente al alumno A15
Para responder el ítem c) los estudiantes aplicaron nuevamente el trazado de rectas
paralelas equidistantes. En el protocolo del alumno A23 se muestra la aplicación de
dicha técnica para la división del segmento en dos partes iguales con su respectiva
justificación. En el caso de la división del segmento en 10 partes iguales sólo indicaron
como aplicar la técnica sin realizar la construcción, como se muestra en la Figura 36.
A23
Figura 35. Protocolo correspondiente al alumno A23
71
Capítulo 4
___________________________________________________
A10
Figura 36. Protocolo correspondiente al alumno A10
Esta situación permitió a los estudiantes aplicar el teorema de Thales mediante el
planteo de la proporción entre los segmentos, y la aplicación de la propiedad
fundamental de las proporciones para encontrar el valor de la abscisa de un punto
ubicado en el eje x. El trazado de paralelas equidistantes permitió ubicar puntos a igual
distancia, hallar las fracciones solicitadas y dividir un segmento en partes iguales. Una
respuesta no esperada por el docente fue el trazado de mediatrices para dividir el
segmento en 5 partes iguales, ya que dicha técnica no permite resolver este problema.
2.3.2 Situación 3. Parte 2
En la Situación 3 Parte 2, se plantea una situación similar a la anterior utilizando
GeoGebra® con el objetivo de que los alumnos generalicen la aplicación de la técnica
de dividir un segmento en partes iguales y puedan institucionalizarla mediante una
síntesis.
Situación 3. PARTE 2.
El archivo Situación 3-Parte 2 corresponde a una representación de la situación anterior,
como muestra la figura 7. Los puntos C y B son puntos móviles y los demás fijos. Las
rectas paralelas, dividen al segmento ̅̅̅̅ en cinco partes iguales. La planilla de cálculo
anexa permite registrar las longitudes de los segmentos que las rectas paralelas
determinan sobre el eje x y como consecuencia analizar la relación entre ellos.
Figura 7
72
Capítulo 4
___________________________________________________
a) ¿Qué longitudes posibles puede asignarse a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, para que la
división de segmentos en partes iguales se mantenga?
b) ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento se divida en
partes iguales, de cualquier longitud?
Como se observa en el protocolo del grupo G07, los estudiantes se dispusieron a
modificar la estructura inicial a partir del desplazamiento de los puntos móviles y a
realizar observaciones. En general los grupos coincidieron en que los segmentos pueden
tomar distintos valores positivos, y que la condición que debe cumplir la representación
gráfica es la existencia de rectas paralelas equidistantes. Estas respuestas pueden
observarse en la Figura 38 con el protocolo del alumno A20.
G07
Figura 37. Visualización de la pantalla del software del grupo G07
A20
Figura 38. Protocolo correspondiente al alumno A20
Los grupos 2 y 7, agregaron que la condición para que el segmento se divida en partes
iguales es la relación de proporcionalidad entre los segmentos determinados en ̅̅̅̅ y
̅̅̅̅̅, aunque no justifican su respuesta. Mientras que en el grupo 6, aplicaron lo
estudiado en la tarea 1.4 de las Situaciones 1 y 2 y plantearon que si las rectas paralelas
determinan segmentos iguales en ̅̅̅̅, al mover los puntos, los segmentos determinados
sobre la otra transversal ̅̅̅̅, también serán iguales. En la Figura 39 puede observarse el
protocolo de los alumnos A32 y A37 que contienen estas respuestas.
73
Capítulo 4
___________________________________________________
A32
A37
Figura 39. Protocolo correspondiente a los alumnos A32 y A37
En la clase siguiente se realizó una puesta en común de la Situación 3-Parte 2, y en
general los grupos coincidieron en cuanto a las condiciones que debe cumplir la
representación gráfica para que el segmento se divida en partes iguales. El grupo 7
expuso su respuesta en el pizarrón, que derivó en una conclusión como respuesta, tal
como puede observarse en el protocolo del alumno A32.
A32
Figura 40. Protocolo correspondiente al alumno A32
En la clase siguiente los estudiantes se dispusieron a realizar una síntesis grupal sobre el
procedimiento: división de un segmento en partes iguales. Cada integrante del grupo
realizó un trabajo exploratorio construyendo diferentes representaciones gráficas, y a
partir de allí intercambiar sus producciones para completar en forma grupal la síntesis
solicitada por la profesora. En la Figura 41 puede observarse una de las representaciones
gráficas del alumno A09, quien aplicó la técnica estudiada en las situaciones anteriores,
mientras que algunos estudiantes en sus primeras construcciones dividieron segmentos
aplicando el trazado de mediatrices. En este momento el docente realizó una
intervención para guiar a los alumnos a aplicar la técnica estudiada en la Situación 3 e
introdujo al medio cuestiones acerca de la medida posible del segmento y la dirección
de la semirrecta auxiliar. A partir del análisis de estas cuestiones, los estudiantes
escribieron la síntesis correspondiente a la aplicación de la técnica, la cual puede
observarse en la Figura 42 que contiene la respuesta del grupo G06 seleccionado como
un prototipo.
74
Capítulo 4
___________________________________________________
A09
Figura 41. Protocolo correspondiente al alumno A09
G06
Figura 42. Síntesis de la Situación 3 correspondiente al grupo G6
75
Capítulo 4
___________________________________________________
En la Situación 3 la incorporación de la geometría dinámica permitió a los estudiantes
analizar posibles modificaciones a la gráfica inicial, entregada en lápiz y papel, y
reconstruir las condiciones que cumple una gráfica para que los segmentos
correspondientes sean proporcionales así como también describir las condiciones para
que un segmento de cualquier longitud se divida en partes iguales.
Durante el trabajo exploratorio, los estudiantes pudieron incorporar nuevas cuestiones y
realizar diversas construcciones gráficas para elaborar una respuesta. El trazado de la
mediatriz para dividir el segmento en partes iguales no fue una respuesta esperada por el
profesor por lo que fue necesaria su intervención solicitando analizar si la mediatriz
permite dividir un segmento en cualquier cantidad de partes. La aplicación de la técnica
del trazado de mediatrices no es suficiente entonces para elaborar una respuesta a la
pregunta ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales? y es aquí donde la técnica del
trazado de paralelas adquiere sentido.
2.3.3. Tareas Situación 3
Estas tareas se entregan a los alumnos luego de la síntesis, para reconstruir lo estudiado.
Como siempre luego de cada tarea, se realiza una corrección de cada una de las mismas.
Se espera con estas tareas, que los estudiantes refuercen la aplicación de la técnica
estudiada en la Situación 3 para dividir un segmento en partes iguales a partir del
trazado de rectas paralelas a igual distancia.
Tareas
1- Construir una representación gráfica que permita ubicar en una recta numérica los
siguientes números:
,
.
2- Dividir un segmento de 10,5 cm en 8 partes iguales, empleando regla no graduada y
compás.
3- Si se considera un triángulo ABC. Usando solamente regla no graduada y compás,
construir otro triángulo ADC, de manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el
área del triángulo ADC sea del área del triángulo ABC.
En la resolución de la Tarea 1, algunos estudiantes ubicaron los números racionales
solicitados en diferentes rectas numéricas. Otros no aplicaron la técnica estudiada y lo
hicieron mediante la representación de fracciones equivalentes. El docente decide
entonces realizar una puesta en común y que, a partir de las respuestas compartidas
puedan corregir las tareas y aplicar la técnica estudiada. En el protocolo del alumno A31
se muestra un ejemplo de la resolución de esta tarea.
76
Capítulo 4
___________________________________________________
A31
Figura 43 Protocolo correspondiente al alumno A31
En cuanto a la Tarea 2, algunos grupos aplicaron la técnica de la división de segmento
en partes iguales estudiada en la Situación 3 sin inconvenientes como se muestra en el
protocolo del alumno A02. Sin embargo otros estudiantes no aplicaron la técnica
esperada, sino que nuevamente dividieron el segmento mediante el trazado reiterado de
mediatrices del segmento, ya que era posible al tener que dividirlo en 8 partes iguales.
En este momento también fue necesario realizar una puesta en común, que permita
recuperar cuál es la respuesta más acertada para el grupo de estudio y posterior
aplicación de la técnica de división de segmento en partes iguales mediante el trazado
de rectas paralelas. Tal vez lo indicado en esta tarea hubiese sido solicitar la división de
un segmento en una cantidad impar de partes, para que los estudiantes consideren la
necesidad de aplicar si o si la técnica del trazado de paralelas, justificando que eso
también vale para la cantidad par de divisiones que se soliciten realizar a un segmento.
En la Figura 44 puede observarse la resolución de esta tarea por parte del alumno A02.
A02
A02
Figura 44. Protocolo correspondiente al alumno A02
En la resolución de la Tarea 3, entre los intentos de respuestas posibles al problema los
estudiantes han: realizado mediciones, efectuado cálculos numéricos, dividido el
triángulo en tres partes, y se dividió la base en tres partes iguales, obteniendo así el
punto solicitado en la misma. El grupo 3 respondió a la consigna aplicando la técnica
estudiada, trazando una semirrecta auxiliar que permitió dividir la base
en tres
77
Capítulo 4
___________________________________________________
partes iguales y considerar la tercera parte como la base del nuevo triángulo
. En la
Figura 45 se muestran los intentos de respuestas de los alumnos A17 y A26
respectivamente, mientras que en la Figura 46 se puede observar la respuesta de A05
quien aplicó la técnica del trazado de paralelas para resolver el problema.
A17
A26
Figura 45. Protocolos correspondientes a los alumnos A17 y A26 respectivamente.
A05
Figura 46. Protocolo correspondiente al alumno A05
78
Capítulo 4
___________________________________________________
En la Situación 3-Parte 1 y 2, se emplea como herramienta un sistema de coordenadas
cartesianas para hallar la abscisa de un punto, por lo que esta técnica que pertenece al
marco de la geometría sintética, se complementa con la tarea de ubicar puntos en la
recta numérica que corresponde a la geometría analítica. Se modificó entonces el medio
al introducir actividades que permiten complementar las técnicas sintéticas con técnicas
analíticas. En cuanto a la cronogénesis, la aplicación del software permitió a los
estudiantes obtener resultados en un tiempo menor que si se realizara la misma tarea en
lápiz y papel, tal como sucedió en las Situaciones anteriores, aunque se observaron
dificultades para retomar la técnica alcanzada cuando se da un segmento de determinada
longitud y se solicita dividirlo en partes iguales. En la producción de respuestas a la
Situación 3, el docente tuvo que intervenir en reiteradas ocasiones, con el objetivo de
justificar la incompletitud de la técnica del trazado de mediatrices para los casos de
división de un segmento en partes impares, que se corresponde claramente con una
debilidad del diseño; y por otro lado, evitar que realicen mediciones para dividir un
segmento en partes iguales, por lo que las intervenciones por parte del docente fueron
mayores, respecto de las situaciones anteriores. Insistimos que las mismas se evitan si se
da un segmento cuya longitud no pueda obtenerse exactamente con la regla, y si además
se solicita dividir el segmento en una cantidad impar de partes, o una cantidad par que
no se corresponda con una potencia de 2, por ejemplo 10 partes. Es en este sentido que
se reconoce una debilidad en el diseño, que tendrá que ser contemplado en futuras
implementaciones.
2.4.1 Situación 4. Parte 1
Con la Situación 4. Parte 1, se espera que los estudiantes construyan el concepto de
triángulos semejantes como una de la aplicación del Teorema de Thales, ya que se
solicita la construcción de triángulos cuyos lados sean proporcionales.
Situación 4. PARTE 1
Dado el triángulo ABC:
Figura 8
a) Construir otro A´B´C cuyos lados sean proporcionales. Justificar.
b) Analizar los ángulos correspondientes y establecer las relaciones posibles.
c) ¿Cómo son los triángulos que cumplen estas condiciones?
79
Capítulo 4
___________________________________________________
Luego de debatir en grupo, los integrantes del grupo 2 consideraron como la razón de
proporcionalidad entre los lados de ambos triángulos a
y construyeron entonces
el triángulo A´B´C a partir del punto C, tomando la medida de la mitad de cada lado.
Esta construcción permitió observar posteriormente que el lado ̅̅̅̅̅̅del nuevo triángulo
es paralelo al lado ̅̅̅̅ . En la Figura 47 puede observarse esta respuesta, mientras que en
la Figura 48 puede observarse una respuesta diferente por parte del estudiante A22,
quien consideró también la mitad de cada lado pero luego de ubicar el punto medio del
lado ̅̅̅̅ , trazó la paralela al lado ̅̅̅̅ que pasa por este punto, quedando determinado así
el triángulo solicitado.
A33
Figura 47. Protocolo correspondiente al alumno A33
80
Capítulo 4
___________________________________________________
A22
Figura 48. Protocolo correspondiente al alumno A22
El grupo 7 elaboró una respuesta diferente, como se muestra en el protocolo de la Figura
49, el estudiante A35 ubica primero el punto B´ sobre el lado ̅̅̅̅, luego plantea la
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
proporción entre los lados de cada triángulo:
, y despeja el lado ̅̅̅̅̅ para hallar
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
su longitud ubicando luego el punto
Cuando traza el segmento correspondiente al
lado ̅̅̅̅̅̅, resulta ser paralelo al lado ̅̅̅̅.
A35
Figura 49. Protocolo correspondiente al alumno A35
81
Capítulo 4
___________________________________________________
Por su parte, los integrantes del grupo 1 extendieron los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , y trazaron la
paralela al lado ̅̅̅̅ , de tal manera que los lados correspondientes de los triángulos sean
proporcionales. En el protocolo del alumno A09 pueden observarse las mediciones
realizadas y el planteo de las proporciones correspondientes con los cálculos que
permiten verificar su construcción. En otro grupo de trabajo, el estudiante A35 trazó una
recta paralela al lado ̅̅̅̅ que interseca a los otros dos lados del triángulo sin realizar
mediciones y planteó la proporción de los lados contenidos en las transversales,
considerando además la posibilidad de que los lados paralelos también sean
proporcionales. En las figuras 50 y 51 pueden observarse estas respuestas y las
justificaciones de las mismas para la cual se ha recuperado la condición estudiada en las
situaciones 1 y 2.
A09
Figura 50. Protocolo correspondiente al alumno A09
82
Capítulo 4
___________________________________________________
A35
Figura 51. Protocolo correspondiente al alumno A35
Para responder a la consigna b), los alumnos indicaron en primer lugar que los ángulos
correspondientes de cada triángulo son iguales realizando mediciones, pero no lograron
establecer las relaciones entre estos y justificar sus respuestas. El concepto de ángulos
entre paralelas fue estudiado en 2° Año de Educación Secundaria, pero surge la
necesidad de recuperar el concepto, por lo que el docente propone la investigación en
Internet. Los estudiantes realizaron la búsqueda en la web, como lo hizo el estudiante
A26 y compartieron la información con los demás grupos.
A26
Figura 52. Protocolo correspondiente al alumno A26
En cuanto a la producción de respuestas para el ítem c), los estudiantes continuaron con
el método de la investigación en la web y pudieron definir el concepto de triángulos
semejantes. En el protocolo de A22 se muestra una de las respuestas seleccionadas por
los estudiantes.
A22
Figura 53. Protocolo correspondiente al alumno A22
83
Capítulo 4
___________________________________________________
Luego de la resolución de esta situación, se realizó una breve puesta en común entre los
grupos, comparando las respuestas obtenidas y coincidiendo en que los triángulos que
cumplen las características estudiadas se denominan semejantes.
2.4.2 Situación 4. Parte 2
En esta situación se presenta el problema anterior en un archivo de GeoGebra®. El
objetivo es que los estudiantes analicen las características y propiedades de cualquier
par de triángulos semejantes, y generalicen la condición necesaria para la construcción
de los mismos.
Situación 4. PARTE 2
En el archivo Situación 4- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada
grupo, se ha representado el problema anterior utilizando GeoGebra®. Los puntos
representados A, B, C, y D se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos F y E
son fijos. Como se muestra en la Figura 8, la planilla de cálculo anexa permite registrar
las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar algunas relaciones entre
los mismos.
Figura 9
a) ¿Qué características de los triángulos cambian cuando se modifican las longitudes de
los lados de los mismos a partir de los “puntos móviles”?
b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los lados
homólogos correspondientes de cada triángulo. ¿Siempre los lados son proporcionales?
Justificar.
c) ¿Cómo son los ángulos correspondientes cuando se modifican las longitudes de los
lados? Analizar al menos 10 casos.
d) Representar gráficamente las posiciones posibles que puede tomar el segmento ̅̅̅̅
para que la relación entre los lados y ángulos analizados se cumpla. Justificar la
decisión.
84
Capítulo 4
___________________________________________________
En la Figura 54, se puede visualizar el archivo analizado por el grupo G02. Luego de
observar la representación dinámica del software, los estudiantes confirmaron que la
característica principal es que los triángulos cambian de tamaño, en cada nuevo par de
triángulos se modifican las medidas de los ángulos y de los lados, pero la razón de
semejanza se mantiene constante, y la igualdad entre los ángulos correspondientes de
los ángulos que se forman, también; como se muestra en el protocolo de A34 (Figura
55).
G02
Figura 54. Visualización de la pantalla del software del grupo G02
A34
Figura 55. Protocolo correspondiente al A34
En cuanto al análisis de las razones entre los lados homólogos, los estudiantes
detectaron que para cada movimiento existe una nueva razón de semejanza y que los
lados correspondientes son proporcionales. La justificación en general estuvo dada
desde la observación de las razones en la hoja de cálculo, aunque el alumno A29
justificó considerando que los lados de los triángulos son siempre proporcionales por la
existencia de paralelas que determinan segmentos correspondientes proporcionales,
condición estudiada en las primeras situaciones. En la Figura 56 se muestran los
protocolos de los alumnos A20 y A29.
A20
A29
Figura 56. Protocolos correspondiente a los alumnos A20 y A29 respectivamente
85
Capítulo 4
___________________________________________________
En cuanto a la comparación de los ángulos correspondientes de los triángulos, los
estudiantes coincidieron en que si bien se modifican, son congruentes entre sí para cada
nuevo par de triángulos. En la Figura 57 se muestra la respuesta de A17.
A17
Figura 57. Protocolo correspondiente al alumno A17
Para responder la última consigna de esta situación, los estudiantes analizaron las
posibles posiciones que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para que los triángulos sean
semejantes. Primeramente, probaron con trazar el segmento ̅̅̅̅ en otra ubicación
manteniendo la relación de paralelismo con el lado ̅̅̅̅ , el alumno A32 justifica que las
condiciones que debe cumplir la representación gráfica para que los triángulos sean
semejantes es la existencia de un ángulo común y un par de lados paralelos, como se
muestra en la Figura 58.
A32
Figura 58. Protocolos correspondiente a los alumnos A32 respectivamente
Luego de un tiempo de trabajo, algunos estudiantes consideraron la posibilidad de trazar
la paralela a cualquiera de los tres lados, como puede observarse en el protocolo de
A33. En general, los grupos exponen el procedimiento realizado sin justificar su
decisión, solo algunos estudiantes como se muestra en el protocolo de A23 (Figura 60)
lo hacen planteando la proporción correspondiente entre los lados de los triángulos
construidos.
86
Capítulo 4
___________________________________________________
A33
Figura 59. Protocolo correspondiente al alumno A33
A23
Figura 60. Protocolo correspondiente al alumno A23
87
Capítulo 4
___________________________________________________
Al finalizar con la resolución de la Situación 4-Parte 2 se entrega a los estudiantes la
síntesis correspondiente a la Situación 4 para completar en forma grupal. Se muestra a
continuación el trabajo del grupo G07.
G07
Figura 61. Síntesis de Situación 4 correspondiente al Grupo G07
La Situación 4 permitió a los alumnos construir triángulos cuyos lados sean
proporcionales aplicando nuevamente una técnica de geometría sintética, el trazado de
la recta paralela a uno de sus lados; analizar la relación de congruencia que existe entre
los ángulos homólogos y definir el concepto de triángulos semejantes con el uso de
Internet. El archivo en Geogebra® permitió analizar distintos pares de triángulos
semejantes y verificar las características que cumplen estos pares de triángulos.
La aplicación del Teorema de Thales permitió entonces construir triángulos semejantes,
y justificar sus respuestas a partir del planteo de las proporciones correspondientes,
retomando las condiciones estudiadas en las primeras situaciones del diseño. En la
síntesis, los estudiantes pudieron describir cómo construir dos triángulos semejantes, sin
necesidad de que sea el profesor quien explique cómo hacerlo.
2.4.3 Tareas Situación 4.
Luego de la resolución de la Situación 4 se proponen las tareas para el refuerzo y la
aplicación del concepto de triángulos semejantes.
88
Capítulo 4
___________________________________________________
Tareas
1- Dado el triángulo ABC construir un triángulo semejante AB’C’ con razón de
semejanza
.
2- Los triángulos ABC y DEF son semejantes ¿Cuál es la razón de semejanza entre
ellos?
89
Capítulo 4
___________________________________________________
3- Dado el triángulo ABC, determinar el valor de x sabiendo que ̅̅̅̅ es paralela a ̅̅̅̅ .
4- Decide si los siguientes pares de triángulos son semejantes. Justifica.
I)
II)
III)
90
Capítulo 4
___________________________________________________
En la Tarea 1, los estudiantes de algunos grupos interpretaron que el triángulo dado
tiene una relación de semejanza
con respecto al triángulo por construir, como se
muestra en la respuesta del alumno A26 de la Figura 62. Los estudiantes dividieron dos
lados del triángulo
en tres partes iguales aplicando la técnica estudiada en la
Situación 3, obteniendo así los puntos y como los vértices del triángulo semejante
.
A26
Figura 62. Protocolo correspondiente al alumno A26
Otros estudiantes consideraron la razón correspondiente como se muestra en el
protocolo de A37, quien para la elaboración de su respuesta toma la longitud de los
lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ con el compás y triplica esta medida manteniendo la amplitud del ángulo
comprendido ̂ . Para finalizar la construcción une los extremos de los dos lados del
nuevo triángulo construyendo así el lado ̅̅̅̅̅̅ paralelo al lado ̅̅̅̅ .
A37
Figura 63. Protocolo correspondiente al alumno A37
91
Capítulo 4
___________________________________________________
Otras de las respuestas producidas a esta tarea son las construcciones de los alumnos
A32 y A29. En el trabajo de A32 se observa en la Figura 64 que el estudiante construye
el triángulo semejante aplicando la propiedad del trazado de la paralela a uno de los
lados. Inicialmente plantea la razón
entre los lados paralelos para hallar el valor
̅̅̅̅̅̅
del lado
; luego manteniendo la amplitud del ángulo común y prolongando los
lados no paralelos, construye el triángulo solicitado.
A32
Figura 64. Protocolo correspondiente al alumno A32
En la resolución de A29 que se observa en la Figura 65, el alumno extiende los lados
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , obteniendo los lados ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ de tal manera que se cumpla la relación
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
. Luego traza el segmento ̅̅̅̅̅̅ y realizando mediciones se cumple que
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
, por lo tanto comparando los tres pares de lados correspondientes de cada
triángulo, el nuevo triángulo construido resulta ser semejante al primero.
̅̅̅̅
A29
Figura 65. Protocolo correspondiente al alumno A29
92
Capítulo 4
___________________________________________________
Con respeto a la Tarea 2, se observa como el alumno A20 plantea las dos razones de
semejanza posibles entre los triángulos, aunque algunos estudiantes consideraron una
razón de semejanza y justificaron su respuesta no sólo con el planteo de las
proporciones sino también desde la congruencia de los ángulos homólogos, como lo
hizo A10
A20
.
A10
Figura 66. Protocolos correspondientes a los alumnos A20 y A10 respectivamente
Para la resolución de la Tarea 3, en ninguno de los grupos se aplicó la proporcionalidad
entre los lados homólogos, en general los grupos aplicaron el teorema de Thales,
mediante el planteo de la proporción entre los segmentos correspondientes sobre los
lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , como se muestra en los protocolos de los alumnos A27 y A24 a
continuación, quienes han presentado proporciones distintas y válidas como respuestas.
A23
Figura 67. Protocolo correspondiente al alumno A23
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Capítulo 4
___________________________________________________
A24
4
Figura 68. Protocolo correspondiente al alumno A24
Para la Tarea 4, las respuestas de los estudiantes se basan en la comparación de los
lados homólogos y los ángulos correspondientes de los triángulos dados. Sin embargo,
hubo variaciones en las respuestas: el alumno A32 compara los tres pares de lados
homólogos y los ángulos correspondientes como se observa en la Figura 69; en cambio,
A35 justifica la semejanza de triángulos comparando solamente dos pares de lados
homólogos sin considerar la relación entre los ángulos, la cual se considera una
respuesta incorrecta ya que no son datos suficientes para decidir si los triángulos son
semejantes; en cambio es una respuesta válida para justificar que no lo son como sucede
en el ítem II). Para el caso del ítem III) la respuesta elaborada por el estudiante es
correcta, ya que justifica la relación de semejanza desde el cumplimiento de la
propiedad estudiada en la Situación 4- Parte 1: Si en un triángulo se traza una línea
paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al
triángulo dado. Las respuestas de A35 se muestran en la Figura 70 y a continuación
puede observarse en la Figura 71 una justificación general de la resolución del alumno
A37.
A32
Figura 69. Protocolo correspondiente al alumno A32
94
Capítulo 4
___________________________________________________
A35
Figura 70. Protocolo correspondiente al alumno A35
A37
Figura 71. Protocolo correspondiente al alumno A37
Luego de la puesta en común y corrección de las tareas correspondientes a la Situación
4, se realiza una síntesis grupal de las actividades desarrolladas en este dispositivo. Se
espera que los estudiantes plasmen los conocimientos construidos durante la
implementación de este diseño didáctico cuyo objetivo general es el estudio del
95
Capítulo 4
___________________________________________________
Teorema de Thales. Todos los grupos sintetizaron los conocimientos estudiados en tres
partes fundamentales: el Teorema de Thales, la división de un segmento en partes
iguales y triángulos semejantes. En la Figura 72 puede observarse la síntesis del grupo
G06, la cuál es representativa del trabajo realizado por los estudiantes de la clase en esta
síntesis final.
G06
Figura 72. Síntesis final correspondiente al grupo G06
Las situaciones 3 y 4 permitieron construir dos aplicaciones del teorema de Thales: la
división de un segmento en partes iguales y la construcción de triángulos semejantes.
Los estudiantes pudieron relacionar estas situaciones de aplicación con las Situaciones 1
y 2, ya que en la elaboración de sus respuestas plantearon las proporciones
correspondientes. La resolución de la Situación 4 permitió retomar algunas de las
representaciones gráficas realizadas en la Situación 1 y aplicar la técnica de dividir un
segmento en partes iguales, estudiada en la Situación 3. Es importante destacar que
fueron los mismos estudiantes los que incorporaron al medio, la posibilidad de trazar
una paralela a un lado de un triángulo para construir otro cuyos lados sean
proporcionales, descubriendo así la propiedad de los triángulos semejantes.
96
Capítulo 4
___________________________________________________
3. Descripción de las funciones mesogénesis, topogénesis y cronogénesis como
consecuencia de la implementación.
A partir del análisis de los resultados obtenidos, podemos destacar a nivel topogenético,
que el reparto de responsabilidades durante la implementación del dispositivo didáctico
propuesto, genera cambios sustanciales en el contrato didáctico vigente en la institución
donde se realizaron las implementaciones de las situaciones. El profesor es el director
de estudio e investigación y su principal función es dedicar un tiempo considerable a los
estudiantes para que elaboren sus respuestas con la mayor autonomía posible y
responsabilidad en la construcción del conocimiento. Su rol es planificar las actividades
de estudio, la estimación del tiempo que se dedica a cada situación y cada tarea y a la
gestión de las herramientas apropiadas para utilizar en el medio. Esto ha sido un
obstáculo para el profesor, pues quien realizó la implementación siempre fue un
profesor tradicional, y a él mismo le resultó de una dificultad enorme ingresar al menos
parcialmente en una nueva forma de hacer en el aula. Podríamos decir que el primero en
generar la resistencia al cambio es el profesor quien insistía permanentemente en la
pregunta ¿pero esto, los chicos si yo no lo explico, lo van a hacer? El paso a paso de la
implementación le permitió tomar conocimiento del potencial de los estudiantes para
responder a una situación, y como consecuencia caer en la cuenta que el principal
problema es pensar en las situaciones adecuadas, para generar en los estudiantes la
posibilidad de que sean ellos quienes con marchas y contramarchas llegan a lo que hay
que estudiar, bajo la dirección del profesor, ahora director del estudio.
Resulta lógico que los estudiantes inicialmente presentan mucha resistencia, porque el
profesor que hasta entonces les explicaba primero todo, ahora viene a clase con una
situación y no explica más. En su condición, aceptan progresivamente los cambios en la
forma de trabajo y asumen sus responsabilidades. La primera tiene que ver con el hecho
de que aceptan comenzar a trabajar en grupos y a responder a las actividades que da el
profesor. Y más lentamente ingresan en el hecho de formular nuevas preguntas a
estudiar, defender y justificar sus respuestas. Así es que en esta transición, el medio
permanece en constante construcción por la clase, el profesor introduce situaciones, y
toda información en el momento considerada como “pertinente”, ofreciendo a su vez los
espacios a los estudiantes para que comiencen a “encontrar” respuestas a esas
situaciones. Por su parte, los estudiantes ingresan, además de las respuestas, nuevas
preguntas, tal vez por la complejidad de las tareas involucradas, así como también
construyen nuevas herramientas que son valoradas positivamente por el profesor, aun
las que no son correctas.
En el nivel mesogenético se han obtenido resultados importantes para la investigación,
sobre todo por las características y propiedades que las representaciones gráficas
permitieron construir a lo largo de la implementación del dispositivo. Es cierto también,
que decisiones inadecuadas por parte del profesor anularon algunas preguntas que
hubieran aportado resultados significativos, que en futuras implementaciones serán por
supuesto consideradas.
El principal temor del docente, una vez que asumió que no era necesario que explique,
que los estudiantes podían hacer por ellos mismos muchas cosas interesantes, fue el
problema del tiempo, el profesor quería asegurarse que cumpliría con su planificación.
Teniendo en cuenta que el diseño se implementó a fin del ciclo lectivo, esto impulsó al
docente a acelerar los tiempos en algunas tareas, para cumplir con la implementación
97
Capítulo 4
___________________________________________________
del dispositivo didáctico y con el tiempo estipulado, lo que produjo algunos obstáculos
que se podrían haber sorteado si se priorizara una enseñanza útil a los alumnos en lugar
de cumplir con cada detalle de lo planificado. El factor cronogenético ha afectado
entonces fuertemente las decisiones que se han tomado al interior del estudio de las
cuestiones.
La descripción de los alcances y limitaciones de las OMs reconstruidas en el aula a
partir de las implementaciones realizadas, serán reconsideradas y revisadas para las
futuras implementaciones, que por supuesto requieren de mejoras del dispositivo
propuesto en el marco de este trabajo.
98
Capítulo 5
Capítulo 5
___________________________________________________
CONCLUSIONES
En este trabajo hemos presentado y analizado algunos resultados de la implementación
de un dispositivo didáctico en un curso de 4to Año de la escuela secundaria, que permitió
construir las características y propiedades del Teorema de Thales y de sus potenciales
aplicaciones: división de un segmento en partes iguales y triángulos semejantes. El
dispositivo que se propone se origina a partir de una pregunta derivada de un REI
propuesto por Chevallard (2009) engendrado por la pregunta Q0: ¿Cómo construir una
calculadora gráfica? Una vez más justificamos que el diseño propuesto surge de
analizar las derivaciones posibles del REI propuesto por Chevallard y el desarrollo de
una pregunta derivada, con lo cual de ningún modo pretendemos decir que diseñamos
un REI. Simplemente se implementa un dispositivo didáctico compuesto por 8
situaciones (4 dadas en dos partes), actividades de síntesis a cargo de los estudiantes y
el profesor y tareas. Las situaciones comprenden actividades en lápiz y papel y en un
software de geometría dinámica para generalizar las propiedades de las OMs que se
estudian.
La profesora que implementa el dispositivo no tiene experiencia en una enseñanza como
la que se propone en este trabajo y los estudiantes tampoco. Ambos inicialmente
presentaron resistencia y poco a poco fueron ingresando en una nueva forma de hacer en
el aula. Entre los resultados se señalan algunas consecuencias favorables de la
implementación, en el intento por ingresar en una pedagogía escolar muy apartada de la
práctica habitual de la profesora y los estudiantes. Esto se evidencia tanto por los
conocimientos que han sido objeto de construcción y reconstrucción por los estudiantes
en el aula a partir del diseño propuesto; como así también por las modificaciones
necesarias en las decisiones que ha tomado la profesora y que le han permitido gestionar
y guiar la implementación del dispositivo de manera apropiada; a la vez que los
estudiantes también ocuparon un espacio y alcanzaron un protagonismo que antes no
tenían.
Con relación a la pegunta acerca de los alcances y limitaciones del dispositivo didáctico
propuesto para estudiar el Teorema de Thales en la escuela secundaria, luego de la
descripción situación a situación presentada en el capítulo anterior, se puede concluir
que entre los alcances es posible mencionar los siguientes puntos:

La implementación del dispositivo ha permitido la construcción de las
características y propiedades del Teorema de Thales utilizando la geometría como
recurso. La resolución de la situación 1, posibilitó a los estudiantes encontrar una
relación de proporcionalidad entre los segmentos correspondientes y resolver una
operación matemática de forma gráfica aplicando técnicas de geometría sintética.
En el marco geométrico se ha logrado entonces analizar muchas de las posibles
representaciones gráficas que cumplen con el teorema.

Las diferentes representaciones gráficas construidas con lápiz y papel, junto con la
resolución de tareas en el software de geometría dinámica en las primeras
situaciones, hicieron posible la generalización de las condiciones que debe
cumplir la construcción gráfica para que los segmentos correspondientes sean
proporcionales. El empleo del software Geogebra® junto con la aplicación de
técnicas de cálculo algebraico fueron centrales para alcanzar estos resultados.
100
Capítulo 5
___________________________________________________

Por otro lado, la utilización apropiada de las técnicas de geometría analítica para
la ubicación de puntos a igual distancia en el plano cartesiano, complementándose
con la aplicación de la técnica de geometría sintética del trazado de rectas
paralelas equidistantes, es otro resultado relevante. Los estudiantes han
reconstruido una de las aplicaciones del teorema: la división de un segmento en
partes iguales. La resolución de las tareas de la situación 3 permitió ubicar puntos
en la recta numérica y los estudiantes incorporaron nuevos interrogantes al medio,
como por ejemplo: ¿Cómo ubicar una fracción aplicando el procedimiento de
división de un segmento? ¿Cómo ubicar un número que supere la unidad?

En el marco de la geometría sintética, al que se ingresó nuevamente desde la
situación 4, fue posible obtener triángulos cuyos lados sean proporcionales a partir
de la aplicación del Teorema de Thales. En el marco de la geometría dinámica fue
posible generalizar las características y propiedades de los triángulos semejantes,
y las posibles posiciones del segmento paralelo a un lado.

El uso de la herramienta informática GeoGebra®, permitió generalizar las
características y propiedades del teorema; favoreció el complemento de ambos
tipos de técnicas geométricas, ya que las representaciones realizadas por los
estudiantes con lápiz y papel luego fueron trasladadas al plano cartesiano para
realizar un análisis más exhaustivo y encontrar relaciones entre los elementos de
estos esquemas. El uso de Internet en el aula ha permitido reforzar las definiciones
de razón y proporción estudiadas años anteriores y conceptualizar la definición de
triángulos semejantes.
También pueden identificarse luego del análisis de la implementación, limitaciones que
serán consideradas más adelante para futuras puestas en el aula. Una de ellas se refiere
al problema de realizar cálculos en forma gráfica. La dificultad de aplicar las técnicas de
geometría sintética se refleja en la insistencia por parte de los estudiantes de resolver
problemas en el marco algebraico, esto se debe a que los estudiantes están
acostumbrados a resolver situaciones en el marco analítico-algebraico y no en el marco
geométrico. Esto se plantea como una limitación, pues la geometría ha desaparecido de
hecho en la escuela secundaria, y en el diseño se proponen estas situaciones con el
objetivo de utilizar técnicas de geometría sintética “sencillas” que no hacen más que
dificultar enormemente la tarea. Con esto no queremos decir que no deban utilizarse las
mismas, sino que habría que presentar modificaciones al diseño para que las mismas no
sean la única alternativa al menos al inicio.
Otras restricciones están vinculadas con las dificultades que conllevan introducir
cambios en la enseñanza, que afectan al manejo de los tiempos, la organización del
trabajo en el aula y la evaluación. Podemos mencionar:
1) El problema del profesor para asumir su papel de director, y a la vez dejar el
espacio a los estudiantes para que sean ellos los que asumen la responsabilidad de
dar las respuestas.
2) El problema de la “gestión” del dispositivo y más específicamente con la toma de
decisiones adecuadas para que el dispositivo funcione tal como fue planeado. Es un
gran obstáculo poner en práctica una enseñanza que ya no depende de la
101
Capítulo 5
___________________________________________________
explicación del profesor o del libro, más aún para alguien que ha sido formado y ha
enseñado de una forma tradicional.
3) El problema de las restricciones institucionales, la necesidad de cumplir con los
contenidos del diseño curricular, y el problema de la dilatación del tiempo escolar
han sido un obstáculo sobre todo al inicio para la profesora pues sobre todo
preguntaba ¿y si no llego a enseñar todo lo que debo? Esto lleva mucho tiempo,
claro que comparado con una enseñanza tradicional, sí.
Las modificaciones no sólo se corresponden con la dilatación del tiempo reloj. Estos
cambios fueron descritos a partir de las funciones didácticas propuestas por Chevallard
y se describen como sigue. En el nivel mesogenético, se presentan grandes cambios,
sobre todo con relación al saber. Este ya no es una consecuencia directa de la
explicación del profesor, sino que o reconstruido por la clase.
En el nivel de la cronogénesis, además de la dilatación del tiempo descrita antes, nos
interesa destacar el potencial del software de geometría dinámica, dado que ha
permitido realizar generalizaciones muy importantes, alcanzadas por los estudiantes en
períodos de tiempo breves.
En el nivel topogenético, se presentaron inicialmente dificultades tanto para el profesor
como para los estudiantes. El profesor al inicio no creía posible el hecho de dar el lugar
a los estudiantes para que a partir del diseño y de una dirección apropiada de su parte,
puedan arribar a resultados esperados. Se resistía a abandonar su rol activo en la clase, a
“quitar” como principal actividad la explicación a los estudiantes, y la más importante
hasta entonces. Para los estudiantes también fue un obstáculo aceptar que el profesor ya
no explica más. Las principales resistencias de los estudiantes se presentan aquí, cuando
tienen que comenzar a estudiar algo que no saben lo que es y que no tienen quien se los
diga para hacerlo como se les indica. Pero principalmente, fue difícil para el docente
aceptar que los alumnos pueden resolver de manera autónoma las situaciones
problemáticas y aceptar que él es uno más de la clase. Sin embargo consideramos que
esta es una de las contribuciones más importantes de este trabajo para la profesora.
Fue gracias a este trabajo que la profesora pudo pasar por la experiencia de aceptar que
hay una alternativa a la enseñanza tradicional y que es posible introducir un cambio
muy importante en una clase cualquiera, por pequeño que este cambio sea.
102
Capítulo 6
Capítulo 6
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TAD_II/listado_comunicaciones.htm.
109
ANEXO
PROTOCOLOS CORRESPONDIENTES AL ESTUDIANTE A10
Situación 1 - Parte 1
El estudio de la pregunta ¿Cómo construir una calculadora gráfica?, permite obtener
cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones entre los segmentos de la
Figura 1. Sabiendo que las rectas ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son transversales.
Figura 1: Representación gráfica de los segmentos para obtener cálculos numéricos
a)
¿Qué relación entre los segmentos puedes establecer para obtener la longitud x
correspondiente al segmento ̅̅̅̅ ? Justificar
b)
¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica?
c)
Obtener otras posibles representaciones gráficas para calcular x, con las
longitudes de los segmentos dados y justificar cada construcción.
111
112
113
114
115
Situación 1 - Parte 2
En el archivo Situación 1- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada
grupo, se ha representado el problema anterior utilizando como soporte el software de
geometría dinámica GeoGebra. Este software permite desplazar puntos y analizar
relaciones entre ellos. Los puntos representados A, B, C, D y J se construyeron como
puntos “móviles”; y los puntos I y E son fijos. Como se muestra en la Figura 2, la planilla
de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes
de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 2
a) ¿Cuál es la relación entre los segmentos representados? Justificar.
b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los
segmentos determinados. Justificar.
c) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? ¿Cuántos
resultados posibles podemos obtener? ¿Por qué?
d) ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos
correspondientes sean proporcionales?
116
117
Situación 2 - Parte 1
En el archivo Situación 2- Parte I, se representan gráficamente longitudes para los
segmento a y b que cumplen con la relación dada:
. Los puntos A, B, D, E y J son
puntos “móviles”; y los puntos C y F fijos. Como se muestra en la Figura 3, la planilla de
cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de
los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 3
Las rectas paralelas s//r//t determinan los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal z de
longitud 3 cm y 4 cm respectivamente; y la longitud de los segmentos ̅̅̅̅
y ̅̅̅̅
sobre la transversal g.
a)
¿Qué longitud puede asignarse a los segmentos y b para que cumplan con la
relación dada
?
b)
¿Cuántos valores posibles pueden admitir dichos segmentos? Justificar
118
Situación 2 - Parte 2
En el archivo Situación 2- Parte 2, se representan gráficamente las longitudes de los
segmentos a y b determinados sobre una de las rectas transversales. Los puntos D, E y F
son puntos “móviles”; y los puntos A, B y C fijos. Como se muestra en la Figura 4, la
planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y
̅̅̅̅ según los “movimientos” que realicen a partir de los puntos “móviles”.
Figura 4
a)
¿Se mantiene la relación
? ¿Por qué?
b)
¿Qué condiciones debe cumplir la representación gráfica para que se verifique esta
relación?
119
120
121
122
123
Situación 3. Parte 1
La calculadora gráfica permite también construir puntos a igual distancia unos de otros.
En la Figura 6 se representan en el sistema de ejes cartesianos las rectas paralelas que
determinan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Los demás ̅̅̅̅ ,̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, se forman por
intersección de dichas rectas con los ejes
Figura 6
a)
¿Cuál es la abscisa correspondiente al punto D? Justificar la respuesta.
b)
¿Es posible obtener los puntos
,
,y
? ¿Cuál es la relación entre los
̅̅̅̅
puntos construidos, y el segmento
?
c)
¿Es posible dividir el segmento ̅̅̅̅ en 10 partes iguales? ¿Y en dos partes iguales?
Justificar
124
125
Situación 3. Parte 2
El archivo Situación 3-Parte 2 corresponde a una representación de la situación anterior,
como muestra la figura 7. Los puntos C y B son puntos móviles y los demás fijos. Las
rectas paralelas, dividen al segmento ̅̅̅̅ en cinco partes iguales. La planilla de cálculo
anexa permite registrar las longitudes de los segmentos que las rectas paralelas
determinan sobre el eje x y como consecuencia analizar la relación entre ellos.
Figura 7
a)
¿Qué longitudes posibles puede asignarse a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, para que la
división de segmentos en partes iguales se mantenga?
b)
¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento se divida
en partes iguales, de cualquier longitud?
126
Tareas (2)
1Construir una representación gráfica que permita ubicar en una recta numérica los
siguientes números:
,
.
2Dividir un segmento de 10,5 cm en 8 partes iguales, empleando regla no graduada y
compás.
3Si se considera un triángulo ABC. Usando solamente regla no graduada y compás,
construir otro triángulo ADC, de manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el área
del triángulo ADC sea del área del triángulo ABC.
127
128
Síntesis (2)
¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
Síntesis (3)
Las situaciones 4 parte 1 y 2 permitieron construir y analizar características y propiedades
de la semejanza de triángulos. Se dice que:
Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen sus ángulos correspondientes iguales y
sus lados homólogos proporcionales:
Si BC // B´C´
 
A  A


 
AB
AC
CB
ABC  AB´C´   B  B´ y


AB´ AC´ C´B´
 
C  C´

Para construir dos triángulos semejantes:
139
140